Tatjana Winkler 16.01.2017 Johannes Gutenberg Universität · PDF fileInhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3. Methode der Charakteristiken Konstruktion für die

GasdynamikTatjana Winkler

16.01.2017

Johannes Gutenberg Universität

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Inhaltsverzeichnis1. Thermodynamik

2. Bewegungsgleichung

3. Methode der Charakteristiken �Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses� Entstehung eines Schocks

4. Rankine Hugoniot Bedingungen�Herleitung�Dichteverhältnis und Entropiedifferenz�Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

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Beispiel einer Schockwelle-Projektil mit Überschallgeschwindigkeit-

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Quelle:[WMBK00,S.240 Abb.7.21]

ThermodynamikÄquipartionstheoremJeder Freiheitsgrad f in einem idealen Gas bei Temperatur T besitzt die gleiche innere Energie:

� = �

� ��(1)

wobei k= 1,3806485279∗10-23 J/K (Boltzmann Konstante)

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ThermodynamikBeispiele

Ein Atom mit Freiheitsgrad f = 3 � = ��

Ein Molekül aus n Atomen mit f = 3 � = �� =

��

wobei � = � die universelle Gaskonstante und (Teilchenzahl/Stoffmenge) die Avogadrokonstante bezeichne.

Diatomisches Gas � = ��

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ThermodynamikIdeales GasgesetzMit Hilfe des idealen Gasgesetzes lassen sich Druck, Volumen und Temperatur in einem idealen Gas in Zusammenhang setzen:

�� = ��(2)

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ThermodynamikErstes Gesetz der ThermodynamikDie innere Energie in einem idealen Gas kann sich in andere Energien umwandeln, aber nicht vernichtet werden:

�� = �� + �� (3)

In der Regel ist die Erhöhung der inneren Energie mit einer Volumenvergrößerung verbunden. Das Gas leistet somit die Arbeit �� = −��. Eingesetzt in (3)erhalten wir

�� = �� − ��(4)

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ThermodynamikEntropieThermische Energie, die nicht in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. Sie wird über das Verhältnis von übertragener Wärme und der Temperatur des Gases bestimmt:

�� = �� (5)

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ThermodynamikZweites Gesetz der ThermodynamikDie Entropie in einem idealen Gas kann nicht kleiner werden:

�� = �� − ��(6)

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ThermodynamikBetrachten wir � als eine Funktion von � und � dann erhalten wir für die Änderung der inneren Energie:

�� = ! " # �� +

! # " �� (7)

Durch Vergleich mit dem 2. Gesetz der Thermodynamik folgt:

� ≔ ! " # sowie � ≔ !

# "

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ThermodynamikEnthalpie Energie die das Gas zur Verfügung hat, um es mit der Umgebung auszutauschen. Es gilt:

& = � + ��(8)

Mit dem 2. Gesetz der Thermodynamik (6) folgt:

�& = �� + ��(9)

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ThermodynamikBetrachten wir & als eine Funktion von � und � dann erhalten wir für die Änderung der Enthalpie:

�& = ) " * �� +

) * "

��(10)

Durch Vergleich mit 2. Gesetz der Thermodynamik (9) folgt:

� = ) " *sowie � = )

" *

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ThermodynamikMit dem Satz von Schwarz erhalten wir die folgende Beziehung:

� " * =

# * "

(11)

Analog zur Enthalpie erhalten wir über die Freie Energie , = � − �� die folgende Beziehung:

* � # =

" # � (12)

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ThermodynamikWärmekapazitätWenn das Gas Wärme aufnimmt und somit die Temperatur steigt, können wir die Wärmekapazität - ausdrücken durch

C = �� (13)

Aus dem 1. Gesetz der Thermodynamik (4)folgt

�� = -�� − �� (14)

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ThermodynamikZusammenhang zwischen -# und -*Fall 1: Das Gas nimmt die Wärme bei einem konstanten Volumen auf. Das heißt �� = 0. Eingesetzt in (14)erhalten wir:

�� = -#��↔ -# = �!

��

↔ -#= ! � # =

��(15)

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ThermodynamikFall 2: Das Gas nimmt die Wärme bei einem konstantem Druck auf. Durch Umstellen von Gleichung (14)erhalten wir:

-* = �� + ��

↔ -*= 0�0� *

� 0�0� *

↔-*= � � + �� *

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Thermodynamik Sei nun � eine Funktion, die von �(�, �) und � abhängt. Dann ergibt sich:

-* = 00� �(� �, � , �) + �� *

Anwenden der Kettenregel ergibt

↔ -* = # �

# � * +

! � # + � #

� �

(2�)-* = -# + 0�0� �

+ � 0�0� *

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Thermodynamik

(3)-* = -# + � 0�0� �

0�0� *

(2�)-* =-# + � 0�0� #

0�0� *

(�) -* = -# + �(16)

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ThermodynamikFür ein diatomisches Gas gilt also:

-# = 52�

Sowie

-* = 72�

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ThermodynamikAus (6), (15), (2)und (16)folgt

�"45 =

�� + 46

45 − 1 �## (17)

Dabei bezeichne 7 = 4645 den Isentropenexponent.

Bei einem diatomischen Gas ist 7 = 1.4

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ThermodynamikMit Integration von (17)und dem idealen Gasgesetz (2)folgt

�9: = log �

>7 + 9?@AB

→ � = DEFG5>H (18)

Insgesamt ergibt sich für die innere Energie

� = -#� = *HI2 J (19)

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3. Methode der Charakteristiken�Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen

Flusses� Entstehung eines Schocks

4. Rankine Hugoniot Bedingungen �Herleitung�Dichteverhältnis und Entropiedifferenz�Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

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BewegungsgleichungFür die Bewegung eines reibungsfreien Gases mit kleiner Amplitude (Schallwelle) gilt:

MassenerhaltungKJKL + >M · O = 0(20)

ImpulserhaltungKPKL +

2JM� = 0 (21)

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BewegungsgleichungUm die Bewegung eines reibungsfreien Gases mit großer Amplitude zu beschreiben, brauchen wir noch zusätzlich die Energieerhaltung. Diese erhalten wir mit Hilfe von (20)sowie der Eigenschaft, dass Energie sich aus kinetischer Energie und innerer Energie zusammensetzt.

L

2�> O 2+ >� + M · 2

�> O 2+ >� + � O = 0 (22)

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Bewegungsgleichung

Durch Eliminierung von M · O und KPKL in (22) erhalten wir

K!KL −

*J�

KJKL = 0 (23)

Durch Einsetzen von (23)in den 2. Hauptsatz (6) erhalten wir

K"KL = 0 (24)

Das heißt die Entropie ist entlang einer Schallwelle mit kleiner Amplitude konstant. Solche Strömungen nennt man isentrop.

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BewegungsgleichungFür die Massenerhaltung und Impulserhaltung der Schallwelle mit der Druck –Dichte Beziehung (18)gilt:

Massenerhaltung J L + M · >O = 0(25)

Impulserhaltung P L + O · M · O + �7>HI�M> = 0 (26)

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Flusses�Entstehung eines Schocks


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Methode der Charakteristiken-Konstruktion für die Bewegung eines eindimensionalen Flusses-

Für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses mit Druck-Dichte Beziehung (18)gilt:

J L +

(JP) Q = 0 (27)

P L + O P

Q + �7>HI� J Q = 0 (28)

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Aus der Schallgeschwindigkeit

9 = * J "

= 7�>HI2(29)sowie R

J =2�J 7 − 1 9(30)

erhalten wir durch Einsetzen in (27)und (28)2 R L + 2O R

Q + 7 − 1 9 P Q = 0(31) P L + O P

Q +�RHI2

R Q = 0(32)

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Durch Addition und Subtraktion der Gleichung(32)mit 2

HI2 ∗ (31)erhalten wir:

L O ± �R

HI2 + O ± 9 Q O ± �R

HI2 = 0(33)

Analog zu den Charakteristiken des eindimensionalen Verkehrsflusses betrachten wir nun zusätzlich die Riemann Invarianten:

�± = O ± �R(HI2) (34)

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Für die Riemann Invarianten gilt:

� �T ist konstant auf der Charakteristik UT(B)mit

�VW�L = O + 9(35)

� �I ist konstant auf der Charakteristik UI(t)mit

�VY�L = O − 9(36)

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Flusses� Entstehung eines Schocks


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Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks-

Wir betrachten die Entstehung eines Schocks anhand eines gleichmäßig beschleunigenden Kolbens in einem Zylinder mit Gas. Annahmen:

• Kolben bewegt sich mit gleichmäßiger Beschleunigung Z und somit gilt:

[ B = 2�ZB2

(37)

• Zum Zeitpunkt B = 0 befindet sich der Kolben am Ort [ = 0 und

das Gas bei [ ≥ 2�ZB2

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34



Für die Charakteristiken UIdie zum Zeitpunkt B = 0entstehen, gilt wegen (34):

�I = O − �RHI2 = − �R^

HI2und somit

9 = 9^ + 2� 7 − 1 O(38)

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Für die Charakteristiken UTdie am Kolben entstehen, gilt wegen (35)und (38):

�VW�L = O + 9 = 90 + 2

� 7 − 1 ZB0

und somit folgt mit Integration:

UT B; B0 = 2� ZB02+ 90 + 2

� 7 − 1 at0 B − B^ (39)

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Die Charakteristiken werden sich nach endlicher Zeit BAschneiden, da ihre Steigungen mit steigendem B0 größer werden. Wir nehmen an, dass sich benachbarte Charakteristiken zuerst schneiden. Für `B0 ≪ 1erhalten wir:

UT B, B0+ `B0 ≈ UT B, B0 + `B00UT0B0 (B, B0)

Benachtbarte Charakteristiken schneiden sich also, wenn:

VW L^ = 0

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Leiten wir also (39)nach B0 ab und stellen nachBum dann erhalten wir:

B = 290Z(7 + 1) +

277 + 1 B0

Dies tritt zum ersten Mal für die Charakteristik zu, die zum Zeitpunkt B = 0 entsteht. Daraus ergeben sich:

BA = 290Z(7 + 1)

[A = 29�̂Z(7 + 1)

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Beispiel:

Ein Kolben startet mit einer Beschleunigung von Z = 100cd� in

einen Zylinder der mit Luft gefüllt ist.Dann entsteht eine Schockwelle zum Zeitpunkt BA = 2,84A am Ort [A = 969m, da für Luft 7 = 1.4 und für die Schallgeschwindigkeit 9^ = 341c

d gilt.

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Flusses� Entstehung einer Schockwelle

4. Rankine Hugoniot Bedingungen�Herleitung

�Dichteverhältnis und Entropiedifferenz�Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

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Rankine Hugoniot Bedingungen-Herleitung-

Um die Rankine Hugoniot Bedingungen herzuleiten, betrachten wir uns die Bewegungsgleichungen (20), (21)und (22):

e>eB + >M · O = 0

eOeB +

1>M� = 0

00B

12 > O 2+ >� + M · 1

2 > O 2+ >� + � O = 0

in einer Umgebung der Schockwelle.

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Angenommen, die Schockwelle ist eben und liegt bei [ = A(B).Wir schreiben zunächst (20)in integraler Form

��B f >�[ + [>O]QiQjQj

Qi= 0(40)

und formen den ersten Summanden geschickt um:

��B f >�[ = �

�B ( f +d L

Q2f )Q�

d L>�[ = ( f +

d L

Q2f )Q�

d L

0>0B �[ + >�

Q�

Q2Ak − >lAk

wobei wir mit l den Zustand links der Schockwelle bezeichnen und mit � den Zustand rechts der Schockwelle.

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Für [1 → A(B) und [2 → A(B) in (40)erhalten wir

>l − >� Ak = >lOl − >�O�

Mit Hilfe der Relativgeschwindigkeit Om = O − Ak folgt

>lOml = >�Om� (41)

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Analog erhält man aus den Gleichungen (21)und (22)

>nOmn� + �n = >�Omo� + �o (42)

(2�>lOmn� + >l�l + �n)Oml = (2� >�Omo� + >�� + �o)Om� (43)Die Gleichungen (41), (42)und (43) heißen Rankine Hugoniot Bedingungen

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4. Rankine Hugoniot Bedingungen�Herleitung�Dichteverhältnis und Entropiedifferenz

�Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

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Rankine Hugoniot Bedingungen-Dichteverhältnis und Entropiedifferenz-

Durch Einsetzen der inneren Energie (19)und der Schallgeschwindigkeit können wir die Rankine Hugoniot Bedingungen umschreiben zu:

>lOml = >�Om� (44)

>l Omn� + 2� 9n� = >�(Omo� + 2

� 9o�) (45)2�Omn� +

2HI2 9n� =

2�Omo� +

2HI2 9o� (46)

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Durch Eliminierung von Om� in (44)und 9o� in (46) und geschicktes Umformen von (45)erhalten wir

>l 1 − >l>� Omn� + 1

7 >l − >� 9n� = >� 7 − 127 (1 − >n�

>o�)Omn�

Durch Löschen des Faktors (>l − >�) erhalten wir

7 + 1 JnJo = 7 − 1 + �Rpj

Pqn (47)

48


Durch Einsetzen der Machzahl rl =PqnRn in (47)erhalten wir

schließlich

>�>l =

7 − 1 rn� + 2rn�7 − 1 rn� + 2

Sowie über Symmetrie

>l>� =

7 − 1 ro� + 2ro�7 − 1 ro� + 2

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Daraus folgt rn� > 1 falls ro� < 1.Das heißt, dass der Fluss auf der linken Seite der Schockwelle Überschallgeschwindigkeit hat, wenn er auf der rechten Seite Unterschallgeschwindigkeit hat; und umgekehrt.

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Mit Hilfe der Schockwellenstärke u = *oI*p*n lässt sich eine weitere

Eigenschaft aus den Rankine Hugoniot Bedingungen schlussfolgern:

�� − �n-� = v?w (1 + u)(27 + 7 − 1 u)7

(27 + 7 + 1 u)7

Für u ≪ 1 bezeichnen wir den Schock als schwach und es gilt:

�� − �n-� ~72− 1

1272 u3

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4. Rankine Hugoniot Bedingungen�Herleitung�Dichteverhältnis und Entropiedifferenz� Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

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Rankine Hugoniot Bedingungen-Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand-

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Wir betrachten eine Schockwelle, die an einer ebenen Wand reflektiert und sind an dem Druck interessiert, der dadurch entsteht.Durch Eliminierung von �� und >� in den Rankine Hugoniot Bedingungen (44) und (46)erhalten wir

�HT2 Omn� + Omn Omo − Omn − �H

HT2*pJp = 0 (48)

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Bevor die Schockwelle mit Geschwindigkeit yT die Wand erreicht gilt

Omn = O" − yTsowie (49)

Omo = −yTDurch Substitution in (48)erhalten wir

�HT2 O" − yT 2− O" O" − yT − �H

HT2*FJF = 0 (50)

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Für die Geschwindigkeit −yI der reflektierenden Schockwelle gilt

Omn= O" + yISowie (51)

Omo= yI

Durch Substitution in (48)erhalten wir

�HT2 O" + yI 2− O" O" + yI − �H

HT2*FJF = 0 (52)

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Weiter gilt wegen (50)und (52),dass O" − yT und O" + yILösungen der folgenden Gleichung sind:

O" − yT O" + yI = − H*FJF (53)

Durch Eliminierung von Omo und >� in den Rankine Hugoniot Bedingungen (44)und (46)erhalten wir

�HT2

JpPqp*p = *z

*p +HI2HT2 (54)

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Durch Substituieren von (49)und(51)in (54)erhalten wir

�HT2

Jp PFI{W �

*p = *|*F +

HI2HT2 (55)

�HT2

Jp PFT{Y �

*p = *i*F +

HI2HT2 (56)

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Durch Multiplikation von (55)mit (56)und Anwenden von (53)erhalten wir:

�^�" +

7 − 17 + 1

�2�" +

7 − 17 + 1 = 27

7 + 1 2

Da wir erwarten, dass der Druck im Schock größer ist, nehmen wir�^ ≪ �"an und erhalten somit

�2�" ≈

37 − 17 − 1

Beispielsweise erhalten wir bei Luft (7 = 1.4): �2 ≈ 8�"

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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

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Quellen[WMBK00] - J. Billingham und A. C. King, Wave Motion

Cambridge University Press, 2000.

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