T.C.

SELCUK UNIVERSITESI

FEN BILIMLERI ENSTITUSU

Jeodezide Zaman Dizilerinin

Dalgacık (Wavelet) Analizi

R. Alpay ABBAK

DOKTORA Semineri

Jeodezi ve Fotogrametri Muhendisligi

Anabilim Dalı

KONYA, 2007

ICINDEKILER

Icindekiler i

Sekil Listesi iii

Simge Listesi iv

1 GIRIS 1

2 TANIMLAR VE KAVRAMLAR 4

2.1 Zaman Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Periodiklik, Peryot ve Frekans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Frekans Bilgisine Neden Ihtiyac Duyulur? . . . . . . . . . . . . . . 6

3 WAVELET (DALGACIK) ANALIZI 7

3.1 Fourier Analizine ve Dalgacık Teorisine Giris . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 Dalgacık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.2 Olcek ve Zaman Fikri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.3 Kısa Zaman Fourier Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Dalgacık Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Dalgacıgın Matematiksel Temelleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1 Surekli Dalgacık Donusumu . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.2 Ayrık Dalgacık Donusumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Dalgacık Olcegi ile Fourier Frekansı Arasındaki Iliski . . . . . . . 17

4 SAYISAL UYGULAMA 18

i

4.1 Monte-Carlo Yontemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Gercek Verilerle Uygulama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 SONUC VE ONERILER 25

5.1 Sonuclar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Oneriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kaynaklar 26

ii

SEKIL LISTESI

3.1 Sinus dalgası ve bir dalgacık ornegi . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Sinusoid ve dalgacıkta olcek faktoru . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Zaman icerisindeki frekans degisimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Kısa zaman Fourier analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Dalgacık Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.6 Haar dalgacıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7 PDF’in birinci turevinden olusan dalgacık . . . . . . . . . . . . . 15

3.8 Meksika sapkası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.9 Fourier donusumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Test zaman dizisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Fourier spektrumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Dalgacık spekturumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Test zaman dizisi (duragan olmayan) . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5 Fourier spektrumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.6 Duragan olmayan dizinin dalgacık spekturumu . . . . . . . . . . . 22

4.7 Antalya mareograf istasyonu 1990 yılı ocak ayı saatlik gozlemleri . 22

4.8 Deneysel gozlemlerin dalgacık spekturumu . . . . . . . . . . . . . 23

4.9 Deneysel gozlemlerin dalgacık Spekturumu . . . . . . . . . . . . . 24

iii

SIMGE LISTESI

dt zaman artısı

e dogal sayı

f frekans

f gozlem vektoru, ayrıca zaman dizisi

j kompleks sayı

n veri sayısı

s olcek degeri

σ standart sapma

ω acısal frekans

ψ ana dalgacık

t zaman

τ dalgacıgın konumu

T peryot

W pencere fonksiyonu

iv

1. GIRIS

Jeodezi zamanın bir fonksiyonu olarak yeryuzunun seklini ve cekim alanını

belirlenmesiyle ugrasan bir bilim dalıdır. Soz konusu sekil ve cekim alanı

problemini cozebilmek icin bazı jeodezik gozlemler yapılır. Acı, kenar, dogrultu,

yukseklik farkı, gravite ve yeni nesil uydu teknikleriyle yapılan olcmeler bu

gozlemlere birer ornektir.

Soz konusu gozlemlerin hemen hepsi dogada var olan fiziksel kuvvetlerin etkisi

altındadır. Bu nedenle olculerin icerisinde fiziksel kuvvetlerin etkisi bulunmak-

tadır. Arastırmacı ve bilim adamları modellemeye calıstıkları fiziksel gerceklere

iliskin olculeri etkileyen doga olaylarını ve etkilerini belirlemek ister. Dolayısıyla

olculerin, bu etkileri cıkaracak bicimde tasarlanmaları gerekir.

Bu kapsamda degerlendirilen olcu gruplarına ilk ornek zaman dizileridir. Zaman

dizileri bir rasgele surecin sonucunda olusan ardısık gozlemler toplulugudur.

Zaman dizilerinde iki cesit degisken vardır. Bunlar, bagımlı (istenen fiziksel

buyukluk) ve bagımsız yani cogu kez zaman ya da konum olarak gerceklesen

degiskenlerdir. Zaman dizilerinin olusturulmasındaki temel hedef; gozlenen

fiziksel buyuklugun zaman/konum icerisindeki davranısına bakarak buyuklugun

dogasının anlamak ve elde edilen bulgulardan gelecege iliskin kestirimlerde

bulunmaktır.

Herhangi bir bagımsız (zaman ya da konum) degiskene baglı olarak gerceklesen

ve zaman dizileri olarak adlandırdıgımız ardısık (tekrarlı) gozlemlerin analizi

bu calısmanın konusunu olusturmaktadır. Konu istatistigin onemli alanlarından

biri oldugundan yerbilimleri, muhendislik ve ekonomi gibi birbirinden cok farklı

disiplinlerde uygulama gormektedir.

Gozlenmis (deneysel) zaman dizileri, sinyal (signal) ve gurultu (noise) olarak

adlandırılan iki unsurdan olusur. Gurultu kısmı duzenli (sistematik) ve duzenli

olmayan olmak uzere iki kısımda incelenir. Sistematik gurultunun genel formu

1

(yapısı/davranısı) bilinir ama buyuklugu her zaman dizisi icin ayrı ayrı hesaplanır.

Ornegin zaman dizisinde datum kayıklıgının varlıgı zaman dizisinin cizilmesiyle

farkedilebilir; buna karsın kayıklık miktarı, analiz islemiyle ortaya cıkarılır.

Duzenli olmayan (rasgele) gurultu ise hesapla belirlenemez, ortalama ve varyans

degeri sıfıra esittir. Bu nedenle rasgele gurultu zaman dizisinin butununde diziye

ait momentleri (ortalama deger ve varyans) etkilemez. Analistler bahsedilen

gurultu bilesenlerini belirler ve sinyal adı verilen kısmı ortaya cıkarmaya calısılır.

Bir zaman dizisinden sinyali cıkarma islemi gizli periyodiklik problemi olarak

adlandırılır; bunu belirleme isine spektral analiz adı verilir.

Zaman dizilerinin analizi soz konusu oldugunda ortalama degerlerin bulunmasına

dayanan basit modellerden, degisik frekanslardaki sinyallerin kestirilmesine kadar

dayanan genis bir yelpazeye rastlamak mumkundur. Harmonik, Fourier, Wavelet

(dalgacık) analizi ve diger sayısal filtreler (hareketli ortalama, alcak gecis ve

kalman filtreleri gibi) bunlardan bazılarıdır.

Yukarıda sozu gecen her analiz yonteminin avantajları ve dezavantajları vardır.

Sinyalde aranan unsurun veya sinyalin karakteristik ozelligine gore analiz yontemi

secilir. Son yıllarda gelistirilen dalgacık analiz yontemi arastırmacı ve bilim

adamlarınca en etkin yontem oldugu ifade edilmektedir. Bu calısmada za-

man dizilerinin analizinde kullanılan dalgacık analizi hakkında temel teori ve

kavramlar acıklanmaya calısılacaktır. Teoriyi guclendirmek ve konunun daha iyi

anlasılmasını saglamak amacıyla jeodezi alanından sayısal uygulama ornekleri

verilecektir. Literaturde konuyla iliskili jeodezi alanında yapılmıs bircok eser

bulunmaktadır. Ornegin kısa ve anlaması basit bir calısma olarak Baykut vd.

(2006)’nin calısması gosterilir. Calısmada surekli (continous) GPS verilerinin

analizinde dalgacık metodu uygulanmıstır. Jeofizik alanında yapılmıs bir diger

ornek calısma Torrence ve Compo (1998)’dir. Calısmada 3 aylık periyotlarla

gozlenmis deniz duzeyi sıcaklıkları analiz edilmistir. Jeodinamik alanından bir

calısma da Keller (2004)’dir. Yeryuvarının nutasyon hareketinin analizi yapılmıs,

kutp salınım hareketinin belli zaman aralıklarıyla olustugu belirlenmistir.

Bu calısmada dalgacık analizi yontemi deniz duzeyi gozlemlerine uygulanmıstır.

2

Bu amacla Antalya mareograf istasyonuna ait 1990 yılı saatlik verileri kul-

lanılmıstır. Soz konusu veriler aylık gruplar halinde ayrı ayrı analizi gerceklestiril-

mistir. Elde edilen bulgular geleneksel yontemle karsılastırılmıstır. Ay’ın

ve Gunesin cekim etkisiyle deniz duzeyi gozlemlerinin gunluk ve yarı gunluk

periyodiklikler sergilemesi olagandır. Buna karsın bu yontemle soz konusu

periyodikliklerin yerellestirilmesi yapılarak yarı gunluk hareketlerin bir hafta

arayla olustugu ortaya cıkarılmıstır.

3

2. TANIMLAR VE KAVRAMLAR

Bu calısmanın esasını zaman dizilerinin dalgacık analizi teskil etmektedir. Bu

baglamda zaman dizileri nedir? ne ise yarar? ozellikleri nelerdir? sorularına

cevap verildigi kısım bu bolumde ele alınacaktır.

2.1 Zaman Dizileri

Bir fiziksel buyuklugun bir veya birden cok bagımsız degiskene gore durumunu

veren gozlemler topluluguna zaman dizisi denir. Burada dikkat edilmesi gereken

husus gozlemlerin toplanma zamanlarına gore sıralanmasıdır.

Bagımsız degisken ne olabilir? Genellikle; zaman bagımsız degisken olarak alınır

ve bu yuzden zaman dizileri olarak adlandırılmıslardır. Buna karsın jeodezide

konumun bagımsız bir degisken olarak alındıgı da sıklıkla gorulur. Ornegin gravite

(cekim alanı) gozlemleri konuma baglı olarak elde edilir.

Zaman dizilerinin meydana gelisi; Fiziksel olayın takibi icin etkiledigi buyuklugun

bagımsız degiskene durumunu belirten ardısık gozlemlerle incelenir. Bu gozlemler

bir cizime aktarıldıgında olayın davranısı hakkında kabaca bir fikir elde edilebilir.

Dizideki gozlemler zamana baglı olarak surekli (kesintisiz) sekilde gozleniyorsa

surekli (continous) diziler (orn. sismograf verileri), surekli degil de belli

zaman aralıklarında gozleniyorsa ayrık (discrete) diziler adı verilir. Ornegin

her 5 dakika aralıklarla bir sıcaklık degerlerinin kaydedilmesi gibi. Surekli

diziler sayısal analize uygun olmadıgından ayrık dizileri haline getirilmesi gerekir

(sayısallastırma).

Bu temel bilgilerin yanısıra, zaman dizilerinin kullanıcıya sagladıgı 4 cesit fonksiy-

onel ozelligi vardır. Bunlar; tanımlama, acıklama, tahmin ve kontroldur. Kısaca

zaman dizileriyle fiziksel buyuklugun davranısı tanımlanır, diger degiskenlerle

iliskisi acıklanır, gelecekteki alacagı degerinin tahmini yapılır ve son olarak

beklentilerin uzerinde deger alacagında kontrol isleminde kullanılır.

4

Zaman dizisi bir cizime aktarıldıgında fiziksel buyuklugun davranısı hakkında

kabaca fikir elde edilir demistik. Boylece analiz esnasında zaman dizisinin hangi

unsurlardan olustugu ne gibi bilesenler icerdigi hakkında ongorude bulunabilir.

Bu varsayımdan hareketle uygun bir analiz yontemi secilir. Bu secim aranan

bilesenin ozelligine gore de degisir. Ornegin dizideki trendin dogrusal oldugu ve

bunun degeri belirlenmek isteniyorsa y = ax+ b seklinde bir matematiksel model

ongorulur ve buradaki a ve b bilinmeyenleri istenen incelikte belirlenir. Trendin

dogrusal degil de egri seklinde oldugu ongorulurse uygun bir polinomla verilere

yaklasılmaya calısılır. Benzer sekilde, dizinin icindeki gorultuleri ayrıstırmak ve

temel bilesenleri daha iyi fark etmek icin hareketli ortalama (moving average)

teknigi kullanılabilir. Boylece veriler yumusatılır. Bir baska yontem; eger dizileri

olusturan bilesenler periyodik ise spektral analiz yontemiyle soz konusu bilesenler

belirlenir.

2.2 Periodiklik, Peryot ve Frekans

Onceki baslıkta periyodik bilesenler diye bir kavramdan bahsedildi. Kavramı

biraz daha acmak gerekirse, oncelikle periyodiklik ifadesini ele alalım. Belli zaman

aralıklarında tekrar eden surece periyodiklik, bu tur fonksiyonlara periyodik

fonksiyonlar denir. Sinus ve kosinus gibi trigonometrik fonksiyonlar birer

periyodik fonksiyonlardır. Ornegin sinus fonksiyonu kendini 2π de bir tekrar

eder. Bu tekrarlama suresine ”periyot” adı verilir ve genellikle ”T” ile gosterilir.

Fonksiyonun her tekrarında bir dalga olusur. Teorik olarak her dalganın birbirine

es deger olması beklenir. Ama uygulamada hatalar nedeniyle bir onceki dalga ile

bir sonraki dalga birbirine benzemez. Dalganın iki ust gecisi arasındaki zaman

aralıgına periyot demistik. Peryodun tersi ”salınım hızı” olarak da bilinen frekansı

verir. Bu gecen dalga sayısıdır ve ”f” ile sembolize edilir.

5

2.3 Frekans Bilgisine Neden Ihtiyac Duyulur?

Frekans kavramı arastırmacılar icin cok onemlidir. Cunku cogu arastırmacı bir

dizinin veya fonksiyonun icinde birden fazla gorulen periyodik bilesenleri ayrı ayrı

ogrenmek ister. Bir fonksiyonun frekans bilgisi ne isimize yarar? Bunu guncel

hayattan bir ornekle acıklamaya calısalım.

Bir insanın kalp grafigini (EKG: Elektro Kardiyo-Grafik) gozonunde bulun-

duralım. Bu grafik kalp atıslarının zamana baglı degisimini gosterir. Bir

kardiyolog saglıklı bir insanda olması gereken grafigin seklini iyi bilir. Onemli

sayılabilecek bir sapma oldugunda hastada bir saglık problemi bulundugu ortaya

cıkar.

Zaman dizisine bakarak saglık problemini bir cırpıda acıkca gorulmesi mumkun

degildir. Bu nedenle zaman alanındaki grafigin kardiyologlar tarafından frekans

alanına donusturulmesi onun daha iyi anlasılabilmesi acısından onemlidir. Cunku

frekans alanı dizinin icerdigi sinyaller veya baska bir deyislegozlenen doga olayının

davranısı ve bu davranısa neden olan fiziksel kuvvetler hakkında daha kolay bilgi

edinmemize yardımcı olur.

Frekans alanının, onemi nedeniyle zaman alanını soz konusu alana donusturen

matematiksel araclara ihtiyac duyulmaktadır. Bu islemi geceklestirecek bircok

analiz yontemi vardır. Wigner dagılımı, Fourier, Hilbert ve Radon donusumu

bunlardan sadece birkacıdır (Qiao, 2005). Basta Fourier donusumu en bilinen ve

sık kullanılan yontemdir. Son zamanlarda (son 20 yıl icerisinde) populeritesini

arttıran yeni yontem ise dalgacık (wavelet) analizidir. Bir sonraki bolumde

dalgacık analizi hakkında tanımlamalar ve acıklamalar yapılacaktır.

6

3. WAVELET (DALGACIK) ANALIZI

Dalgacık analizi kullanım olarak oldukca yeni olmasına karsın, temelleri 1805

yılında Joseph Baptiste Fourier tarafından atılmıstır. Fourier’in calısmasının

temelini olusturan frekans analizi konusunun sonraları hem onemli hem de etkili

bir yontem oldugu ispatlanmıstır. Uygulamada gunumuzde sıkca karsımıza

cıkmaktadır.

Sadece frekans analizinin yeterli olmadıgı kanaatine varılarak, frekans analizinden

olcek analizine gecis yapılmıstır. Cunku olculen ortalama dalgalanmaların farklı

olceklerdeki analizleri gurultuye daha az duyarlı oldugu acıkca gorulmustur.

Yani zaman dizilerinin geneline iliskin kararlar vermek yerine bolgesel olcekte

olusan kucuk dalgalanmaların onemli olabilecegi gundeme gelmistir. Dolayısıyla

kullanıcılar icin dalgacık analizi secenek olmustur.

Simdiki kullanımıyla ”dalgacık” sozu ilk kez Alfred Haar’ın (1909) doktora tezinin

ekler kısmında kullanılmıstır.

Paul Levy, Brownian hareketini (parcacıkların raslantısal hareketini) modelley-

erek dalgacık teorisine katkı saglamıstır (1930–1950). Levy, parcacıkların

raslantısal hareketini Haar’ın olcek degiskenli temel fonsiyonlarının (Haar dal-

gacıgı) Fourier temel fonksiyonlarına oranla daha iyi modelledigini ispat etmistir.

Dalgacık teorisinin esasları hakkındaki ayrıntılar ilk defa Jean Morlet ve Alex

Grossmann yonetimindeki Marsilya Teorik Fizik Merkezi calısma grubu tarafından

1985 yılında ortaya atılmıstır.

Dalgacık analizi yontemleri Yves Meyer ve meslaktasları tarafından gelistirildi.

Ana algoritma Mallat (1988)’ın calısmasına dayanmaktadır. Bundan sonra

dalgacık analizi konusunun uluslararası bir yon kazandıgı gorulur. Ozellikle

Daubechies, Coifman ve Wickherhouser adlı arastırmacılar onemli calısmalarıyla

konuya ivme kazandırmıslar. Bu asamadan sonra dunya literaturunde sıkca

duyulmaya baslandı (1988–1989).

7

3.1 Fourier Analizine ve Dalgacık Teorisine Giris

Zaman dizilerinin analizinde en iyi bilinen ve en cok kullanılan Fourier Teknigidir.

Fourier analizi, bir sinyalin farklı frekanslarını hesaplar. Diger bir bakıs acısıyla;

bir sinyali zaman tabanlıdan frekans tabanlı hale donusturur.

Fourier analiziyle bir zaman dizisini meydana getiren frekans bilesenlerinin belir-

lenmesine karsın dezavantajlara da sahiptir. Frekans alanına donusum sırasında

zaman bilgisi yok olur. Yani bir sinyalin Fourier donusumune baktıgımızda ozel

bir olayın nerede gerceklestigine dair bir sey soylemek mumkun olmaz.

Eger sinyalin karakteristik ozelligi zaman boyunca degismez ise (yani sinyal

duragan ise) bu dezavantaj onemli degildir. Buna karsın cogu sinyal onemli

sayılabilecek duragansızlıklar veya gecici ozellikler (egim, ansızın degisim, kırılma

ve olayların baslangıc ve bitislerini) icerir. Bu beklenmedik ozellikler belki de

sinyalin en can alıcı kısımlarını olusturmaktadır. Fourier analiz bunları belir-

lemeye elverisli degildir. Bu nedenle soz konusu kullanılacak analiz yonteminin

zaman dizisindeki duragansızlıklara duyarlı olması gerekir. Dalgacık yontemi bu

konuda Fourier teknigine secenek olabilir.

... ...

Sekil 3.1: Sinus dalgası ve bir dalgacık ornegi

3.1.1 Dalgacık

Kelime anlamıdan yola cıkılarak kabaca tanımlamak gerekirse dalgacık; dalganın

kucugu anlamına gelmektedir. Bir dalgacık, sınırlı zamanda etkili dalga bicimidir.

8

Ornegin Fourier analizinin temelini olusturan sinus dalgasını dusunelim. Sinisoi-

dlerin belli bir sınırı yoktur. −∞’dan +∞’a kadar uzanan aralıkta surekli olarak

kendini tekrar eder durur. Ayrıca sinisoidlerin hem yumusak gecisleri vardır hem

de predikte edilebilirler. Buna karsın dalgacıklar duzensiz ve asimetrik ozellik

egilimindedir (Sekil 3.1).

Fourier analizde sinyal, sinus fonksiyonunun farklı frekansları cinsinden ifade

edilebilirken, dalgacık analizinde ise durum biraz farklıdır. Sinyal, ana dalgacıgın

belirli bir olcekte ve zamanda bir miktar kaydırılmasıyla elde edilebilir.

3.1.2 Olcek ve Zaman Fikri

Dalgacık analizi bir sinyale zaman ve olcek perspektifinden bakmayı saglar.

Olcek, yerel duzenlilik hakkında fikir sunarken, zaman dalgacıgın olusum anını

ifade eder.

−1

0

1

−1

0

1

−1

0

1

f(t) = sin(t) → s = 1

f(t) = sin(2t) → s = 12

f(t) = sin(4t) → s = 14

f(t) = ψ(t) → s = 1

f(t) = ψ(2t) → s = 12

f(t) = ψ(4t) → s = 14

π2

π2

π2

π

π

π

3π2

3π2

3π2

2π

2π

2π

Sekil 3.2: Sinusoid ve dalgacıkta olcek faktoru

Olcekleme islemi, bir fonksiyonu yatay eksen boyunca belli bir oranda sundurmek

9

ya da buzmektir. Olcek faktoru s ile sembolize edilir. Sekil 3.2 de sinus ve

dalgacık fonksiyonunda olcek faktorunun etkisi yer almaktadır. Kısaca, olcek

faktoru kuculdukce dalgacık aynı oranda sıkıstırılır.

Dalgacık analizinde onemli bir unsur ise meydana gelen ani degisimlerin belirleyen

zamandır. Kırılma anı, kenar tespiti ve kısa zaman olusumlarının izlenmesi

dalgacık analizinin amaclarındandır.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−2

−1

0

1

2

Sekil 3.3: Zaman icerisindeki frekans degisimi

Sekil 3.3 de goruldugu uzere zaman, ilerledikce sinyalin frekansında degisimler

olabilir. Yani sinyal belli zamanlarda farklı frekanslar icermektedir. Bu durumda

sinyalin yapısının duragan olmadıgı ortaya cıkar. Bu tip sinyallerin analizinde

frekans degisimlerinin yerinin de tespit edilmesi gerekir.

Klasik analiz yontemlerinde genellikle sinyalin icinde bulundurdugu frekans

bilesenleri belirlenir. Bu bilesenler sinyalin tumunde bulundugu varsayılır. Bu

varsayım her zaman dogru degildir. Sekil 3.3’deki sinyal bunun en guzel ornegidir.

Oyle bir matematiksel arac olmalıdır ki; sinyalin her anında olusan degisimleri

izleyebilsin.

3.1.3 Kısa Zaman Fourier Analizi

Fourier analizinin zamanlama eksikligini gidermek icin, Gabor (1946) sinyali

zaman alanında kucuk bolumler (pencereleme) halinde analiz edebilecegi fikrini

10

ortaya atmıs ve basarıyla uygulamıstır.

Pencere

Zaman

Gen

lik

Zaman

Gen

lik

Sekil 3.4: Kısa zaman Fourier analizi

Kısa zaman Fourier Analizi bir sinyalin zaman ve frekans gorunusu arasında

uzlasmasını saglar. Yani sinyalin ne zaman ve hangi frekansla olustugu hakkında

bilgi verir. Fakat bu bilgiler sınırlı dogrulukla elde edilir. Cunku dogruluk

pencerenin boyutuyla ilgilidir (Sekil 3.4). Pencere boyutu buyukse frekans

cozunurlugu iyi, pencere boyutu kucukse frekans cozunurulugu dusuk olur (Lee

vd., 1999).

Yontem, zaman sinyali f(t) ve bir yaklasık zaman penceresi w(t) ile carpılmasıyla

klasik Fourier teknigiden turetilir. Boylece sinyal kullanıcının tercihine baglı

buyuklukteki zaman penceresiyle adım adım analiz edilmis olur. Kayan pencerenin

yerlestirilmesi zaman boyutunun ekler ve zaman degiskenli frekans analizini

gerceklestirir. Boylece standart Fourier analizinden farklı olarak asagıdaki esitlik

elde edilir.

F (τ, ω) =

∫ +∞

−∞

f(t) w(t− τ)e−jω tdt. (3.1)

Yontemin zaman ve frekans bilgileri arasında uzlası saglaması faydalı iken,

dezavantajı sectigimiz ozel pencere tum frekanslar icin aynı olmasıdır. Diger

bir deyisle KZFD’de yuksek ve alcak frekans bilesenleri icin pencere fonksiyonu

genisliginin degistirilmesi mumkun degildir. Sadece farklı pencere fonksiyonu

genislikleri ile KZFD birkac kez tekrarlanarak sinyalin birkac zaman-frekans

gosterimi elde edilebilir. Fakat bu tarz bir analiz hem zaman kaybı hem

de gereksiz islemlere sebep oldugundan kullanıslı degildir. Dolayısıyla cogu

11

sinyal daha fazla esnek bir yaklasım ister. Boylece pencerelerin boyutu daha

dogru zaman veya frekans bilesenini belirlemek icin degismelidir. Bu nedenle

yontem ihtiyacı tam anlamıyla saglayamamıs ve baska bir yonteme gereksinim

duyulmustur.

3.2 Dalgacık Analizi

Dalgacık analizi degisken boyutlu bolgelerde pencereleme teknigidir. Ayrıca hem

uzun zaman aralıgında alcak frekans bilgisini hem de kısa zaman aralıgında yuksek

frekans bilgilerini belirlememize yardımcı olur. Yani bir bakısta hem ormanı hem

de agacları gormektir (Graps, 2006).

Zaman

Gen

lik

Zaman

Olc

ek

Sekil 3.5: Dalgacık Analizi

Dalgacık analizi; kısa zaman Fourier analizinin aksine zaman-frekans alanını degil,

zaman-olcek alanını kullanır (Sekil 3.5). Sekilde goruldugu uzere analiz sonucu

tek boyutlu bir cizgi degil, alanlar olusur.

Dalgacık analizi ne is yapar? Dalgacık analizinin en onemli avantajı yerel analizi

yapabilmesidir. Yani buyuk sinyali kucuk alanda analiz edebilmesidir. Ornegin

kucuk bir sureksizlik noktası olan bir sinus sinyalini dusunelim. Boylesi bir sinyal

gercek hayatta deneysel olarak kolayca bulmak mumkundur. Bu sinyalin Fourier

analizi sonucunda elde edilen spektral bilesenlerin cizimi ilginc birsey ifade etmez.

Cunku karsımıza sinyali temsil eden duz bir spektrum (2 zirve) cıkar. Buna

karsın dalgacık analizi sonucunda elde edilen spektral bilesenlerin cizimi zaman

12

icerisindeki sureksizligin kesin yerini gosterir.

Iste dalgacık analizi bosluklu, egimli, kırılma noktalı, sureksizlik noktası bulunan

sinyallerin analizinde kullanılan uygun bir analiz yontemidir. Bunların yanı

sıra geleneksel yontemlere gore karsılastırıldıgında dalgacık analizi yardımıyla

bir sinyali sıkıstırma (compression) veya arındırma (de-noising) islemi sinyalin

orjinalini bozmadan kolayca yapılabilir (Misiti vd., 2004).

3.3 Dalgacıgın Matematiksel Temelleri

Kısa zaman Fourier analizinde bir pencere fonksiyonu bulunurken, dalgacık

analizinde bir dalgacık (ψ(x)) fonksiyonu kullanılmaktadır. Soz konusu dal-

gacık fonksiyonu olceklendirilip ve zaman alanında kaydırılarak analiz islemi

gerceklestirilir. Bu durumda, oncelikle dalgacıgın matematiksel tanımını yapalım

ve cesitleri hakkında bilgi edinelim.

Dalgacık nitelik yonunden ele alınacak olunursa, oncelikle asagıdaki iki sartı

saglayan bir gercek degerli fonksiyon ψ(x) olması gerekir (Percival ve Walden,

2002):

• ψ’nin integrali sıfırdır:∫

∞

−∞

ψ(x)dx = 0 (3.2a)

• ψ’nin karesinin integrali bire esittir:

∫

∞

−∞

ψ2(x)dx = 1 (3.2b)

Yukarıdaki esitlikleri saglayan her ψ(x) fonksiyonu dalgacık olarak adlandırılır.

Ornegin en basit anlamda yukarıdaki esitligi saglayan en temel dalgacık fonsiyonu

13

Haar dalgacıgı olarak bilinmektedir. Bu dalgacıgın matematiksel gosterimi,

ψ(H)(x) ≡

−1/√

2, −1 < x ≤ 0;

1/√

2, 0 < x ≤ 1;

0, aksi takdirde.

(3.3)

seklindedir. Sekil 3.6 soz konusu dalgacıgın grafigini ifade etmektedir.

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1

0

1

2

Sekil 3.6: Haar dalgacıgı

Baska bir dalgacık ornegi vermek gerekirse, Gauss’un can egrisi olarak ad-

landırdıgımız olasılık yogunluk fonksiyonunu (PDF: Probability Density Func-

tion) dusunelim. Fonksiyon

φ(x) =e−x2/2σ2

√2πσ2

(3.4)

esitligiyle gosterilir. Bunun birinci turevi bir dalgacıgı ifade eder. Yeni olusan

fonksiyon,

ψ(fdG)(x) =

√2xe−x2/2σ2

σ3/2π1/4(3.5)

halini alır. Bu ifadenin grafik gosterimi Sekil 3.7’de yer almaktadır.

Daha sonra elde edilen birinci turevin bir kez daha turevi alındıgında olusan

yeni fonksiyon Meksika sapkası (mexican hat) olarak da bilinen yeni bir dalgacıgı

meydana getirir (Sekil 3.8).

ψ(MH)(x) =2(1 − x2/σ2)e−x2/2σ2

π1/4√

3σ(3.6)

14

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1

0

1

2

Sekil 3.7: PDF’in birinci turevinden olusan dalgacık

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1

0

1

2

Sekil 3.8: Meksika sapkası

Yukarıdaki orneklerden de anlasılacagı uzere birbirinden farklı dalgacık fonksiy-

onlarıyla karsılasmak soz konusu olacaktır. Her bir dalgacık fonksiyonun degisik

kullanım alanları mevcuttur. Kullanım alanı analiz yapılacak dizinin karakteristik

ozelligine gore degisir.

3.3.1 Surekli Dalgacık Donusumu

Matematiksel olarak Fourier analiz sureci Fourier donusumuyle gosterilir.

F (ω) =

∫

∞

−∞

f(t)e−jωtdt (3.7)

(3.7) esitligi f(t) sinyalinin bir kompleks ustel ile carpılıp toplanmasıyla elde

edilir. Donusumun amacı iste bu Fourier katsayılarını hesaplamaktır. Boylece

bir sinyal, Fourier donusumu yardımıyla bilesenlerine ayrılır. Her bilesenin ayrı

15

genligi ve frekansı vardır. Bu islemi Sekil 3.9’da grafik olarak gosterilmektedir.

Fourier

Transform

...

Sekil 3.9: Fourier donusumu

Benzer sekilde Surekli Dalgacık Donusumu (SDD), dalgacık fonksiyonunun (ψ)

kaydırılıp bir olcekle carpıldıktan sonra zaman alanı boyunca toplanmasıdır.

Bunun matematiksel ifadesi,

SDD(τ, s) =1

√

|s|

∫

∞

−∞

f(t)ψ(t− τ

s)dt (3.8)

bicindedir. Buradaki s olcek ve τ konumu ifade etmektedir. SDD’nin sonucunda

olcek ve konum fonksiyonu olan bircok dalgacık katsayıları C elde edilir.

SDD’nin algoritmasının acıklamak istersek, bu islem 5 adımda tanımlanır.

Bunlar;

1. bir dalgacık al ve orijinal sinyalin baslangıc bolumuyle karsılastır,

2. dalgacık ile sinyal arasındaki korelasyon katsayısı C’yi hesapla, katsayı ne

kadar buyukse benzerlik te o kadar fazla olacaktır,

3. dalgacıgı bir miktar saga kaydır, adım 1 ve 2’yi tum sinyali kaplayana kadar

tekrarla,

4. dalgacıgı olceklendir ve 1., 2. ve 3. adımları tekrarla,

5. tum olcekler icin 1 ila 4 nolu adımları tekrarla.

16

Bu islemleri yaptıktan sonra sinyalin farklı bolgelerinde farklı olceklerde katsayılar

elde edilir. Bu katsayılar orijinal sinyalin regresyon sonuclarını gosterir.

Elde edilen katsayılar nasıl gosterilmeli ki; kolayca yorumlanabilsin. Bunun icin;

x→ zaman, y → olcek ve xy → C’nin buyuklugune gore renklendirme yapılarak

grafige aktarılmalıdır.

3.3.2 Ayrık Dalgacık Donusumu

Eger olası tum olcek aralıgında dalgacık analizi yapılırsa cok buyuk veri yıgınları

olusur. Bunlardan kacınmak icin analist belirli olcek grupları tespit eder ve bu

aralıkta analizleri yapar. Cogunlukla en pratik ve kullanıslı yol, olcek ve konum

degerleri ikinin kuvveti olacak sekilde secilmesidir. Iste soz konusu isleme Ayrık

Dalgacık Donusumu (ADD) adı verilir. Matematiksel kuram olarak SDD’den

hic bir fark yoktur. Sadece hesap sınırı dizinin zaman alanına, olcek ve konum

degerleri de analistin tercihine baglıdır.

3.4 Dalgacık Olcegi ile Fourier Frekansı Arasındaki Iliski

Fourier analizi, bir sinyali farklı frekanslardaki bilesenlerine ayırırken, dalgacık

analizi islemi farklı olceklerde gerceklestimektedir. Amac sinyalin icerisindeki gizli

periyodikligin belirlenmesi oldugundan, bu durumda olcek ile frekans arasında bir

iliski kurmak gerekir. Bu iliski s = 1f

dir. Frekansla olcek arasında ters orantı

olmakla birlikte, Fourier periyodu dalgacık olcegine esit degil, denktir. Yani ana

dalgacıgın tipi degistiginde periyotla olcek arasındaki oran da degisir. Ornegin

Morlet dalgacıgının olcegi Fourier periyoduna hemen hemen esitken, Meksikalı

sapkasında olcek Fourier periyodunun 1/4 katıdır (Torrence ve Compo, 1998).

Bu nedenle analiz isleminden once olcek-periyot iliskisi iyi bilinmelidir.

17

4. SAYISAL UYGULAMA

Onceki bolumde anlatılan dalgacık teorisini daha iyi anlasılması icin sayısal uygu-

lamaların yapılması daha faydalı olacaktır. Oncelikle analiz islemi, bilesenleri

bilinen test dizisinde yapılarak metodun kullanılabilirligi test edilecektir.

4.1 Monte-Carlo Yontemi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

Zaman (sn)

Gen

lik

(m)

Sekil 4.1: Test zaman dizisi

Matematiksel donusumler ham sinyallerde belirlenemeyen detaylı bilgileri elde

etmek icin kullanılır. Bu amacla asagıdaki uygulama Fourier ile dalgacık

yonteminin karsılastırmaları yapılarak elde edilecektir.

Pratikte daha cok zaman alanında sinyaller bulunur. Yani zamanın bir fonksiyonu

olarak olculmus bir sinyal soz konusudur. Boylesi bir gosterim cogu kez sinyalin

icinde bulunan gizli periyodiklikleri gostermeye yetmez. Bu nedenle sinyal zaman

alanından frekans alanına donusturulmesi daha uygun olur.

18

Ornegin 8, 4, 2 ve 1 Hertz (saniyedeki devir sayısı) frekansları olan bir sinyali

dusunelim. Bu sinyalin periyotları sırasıyla 0.125, 0.25, 0.5 ve 1 dir (f =

1/T ). Soz konusu sinyalin zaman alanındaki gosterimi Sekil 4.1’de verilmistir.

Matematiksel ifadesi,

f(t) = cos(2π

0.125t) + cos(

2π

0.25t) + cos(

2π

0.5t) + cos(

2π

1t)

seklindedir.

Sinyalin Fourier donusumuyle elde edilen spekturumu Sekil 4.2 de verilmistir.

0 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.0000

20

40

Periyot

Spek

tral

yogu

nlu

k(×

105)

Sekil 4.2: Fourier spektrumu

Yine aynı sinyalin dalgacık donusumuyle elde edilen spektrumu Sekil 4.3’te

verilmistir. Sekil dikkatlice incelenirse, baslangıcta ongurulen periyotların

bulundugu bolgeler koyu renkle cevrilmis beyaz alanlar olarak karsımıza cıkar.

Bu demek oluyor ki; zaman dizisinin soz konusu kısımlarında periyodikler var ve

zaman alanı boyunca aynı yogunlukta kalmaktadır.

Simdi ise zaman dizisinin duragan olmadıgını varsayalım. Yani zaman alanı

boyunca degisen frekanslar icerdigini kabul edelim. Bu durumun matematiksel

gosterimi,

19

Zaman

Per

yot

Test Datasinin Dalgacik Güç Spekturumu

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.03125

0.0625

0.125

0.25

0.5

1

2

Sekil 4.3: Dalgacık spekturumu

f(t) =

cos( 2π0.125

t), 0 < t ≤ 10;

cos( 2π0.250

t), 10 < t ≤ 20;

cos( 2π0.500

t), 20 < t ≤ 30;

cos( 2π1.000

t), 30 < t ≤ 40;

seklinde olacaktır. Elde edilen zaman dizisinin grafigi Sekil 4.4’te gorulmektedir.

Ikinci tip zaman dizisinin Fourier spekturum grafigi Sekil 4.5’de verilmistir.

Onceki Fourier spektrumuyla benzer goruntu elde edilmistir yine 4 tane zirve

(peak) ve zaman bilgisi yok! Buna karsın aynı dizinin dalgacık spekturumu Sekil

4.6 de gosterilmektedir.

20

0 10 20 30 40−2

−1

0

1

Zaman

Gen

lik

Sekil 4.4: Test zaman dizisi (duragan olmayan)

0 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.0000

20

40

Periyot

Spek

tral

yogu

nlu

k(×

105)

Sekil 4.5: Fourier spektrumu

4.2 Gercek Verilerle Uygulama

Uygulama icin Antalya mareograf istasyonunun 1990 yılına ait saatlik deniz

duzeyi gozlemleri secilmistir. Bu gozlemler istasyonun analog kayıt urettigi

doneme ait oldugundan, Harita Genel Komutanlıgınca kaba hataları duzeltildikten

sonra sayısallastırılarak analize uygun hale donusturulmustur (HGK, 1991).

Ornek olarak ocak ayı saatlik gozlemleri Sekil 4.7’de gorulmektedir.

Analiz islemi icin Matlab programlama dilinde yazılmıs kodlardan faydanılmıstır

(bak.Torrence ve Compo (1998)). Analiz islemine baslamadan once bazı

21

Zaman

Per

yot

Test Datasinin Dalgacik Güç Spekturumu

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.03125

0.0625

0.125

0.25

0.5

1

2

Sekil 4.6: Duragan olmayan dizinin dalgacık spekturumu

0 168 336 504 6720.75

1.00

1.25

Zaman (saat)

Den

izduze

yi(m

)

Sekil 4.7: Antalya mareograf istasyonu 1990 yılı ocak ayı saatlik gozlemleri

parametrelerin programa girilmesi gerekir. Bunların basında ana dalgacıgın

(mother wavelet) tipinin secilmesidir. Literaturde sayısız dalgacık turune

22

rastlanır. Bunlardan en cok bilinen ve kullanılan Haar, Meksikalı sapkası,

Daubechies ve Morlet’tir. Dalgacıgın secimi daha cok verinin karakteristik

ozelligine ve analistin tercihine baglıdır.

Zaman (saat)

Per

yot

Ocak Gözlemlerinin Dalgacik Güç Spekturumu

0 100 200 300 400 500 600 700

4

8

16

32

64

128

256

Sekil 4.8: Deneysel gozlemlerin dalgacık spekturumu

Morlet dalgacıgı karmasık sayıları icermesi nedeniyle hem genlik hem de faz

bilesenini aynı anda tespit edebilir (Lau ve Weng, 1995). Ayrıca bu dalgacık

ani degisimler yapmayan yumusak gecisleri olan zaman dizilerinde daha iyi sonuc

verir. Uygulamada kullanılan zaman dizileri bu tipe uyan davranıs gosterir.

Dolayısıyla bu calısmada Morlet dalgacık tipi kullanılmıstır.

Diger girilmesi gereken parametre olcek degerinin artıs miktarıdır. Bu deger

ne kadar kucuk olursa olası periyotlar ayrıntılı bir sekilde incelenmis olur.

Uygulamada 0.05 olarak alınmıstır. Bu degerden kucuk olması islem hızını

dusurmekten baska bir ise yaramayacaktır. Ayrıca veri toplama aralıgının be-

lirtilmesi gerekmektedir. Burada saatlik veriler girilmis, dolayısıyla 1 alınmıstır.

Antalya mareograf istasyonuna ait 1990 yılı saatlik gozlemleri aylık gruplara

23

bolunmesiyle analize baslanmıstır. Daha sonra her grup ayrı ayrı analiz edilmistir.

Analiz sonucu elde edilen grafiklere ornek olarak Sekil 4.8 ve 4.9 verilebilir.

Zaman (saat)

Per

yot

Subat Gözlemlerinin Dalgacik Güç Spekturumu

0 100 200 300 400 500 600

4

8

16

32

64

128

256

Sekil 4.9: Deneysel gozlemlerin dalgacık Spekturumu

Sekiller dikkatlice incelendiginde, dusey eksende 12–13 duzeylerinde (siyah renkle

cevirili alan) periyodiklik oldugu acıkca gorulmektedir. Deniz duzeyi gozlemleri

ayın ve gunesin cekim etkisiyle yarı gunluk periyodiklikler gostermesi olagandır.

Diger klasik yontemle yapılmıs calısmalarda da benzer sonuclar bulunmustur

(Abbak, 2005). Ancak bu analizde ise ek olarak periyodikligin yerellestirilmesi

yapılmıstır. Grafige yeniden goz atılırsa, birer hafta aralıklarla periyodiklik

olusmaktadır. Iste bu calısmayı digerlerinden ayıran en onemli ozellik budur.

24

5. SONUC VE ONERILER

5.1 Sonuclar

Bu calısmada zaman dizilerinin analizinde kullanılan dalgacık yontemi tartısılmıstır.

Dalgacık analizi hakkında temel teori ve kavramlar anlatılmıstır. Teoriyi

daha da guclendirmek icin once test verileriyle analiz yapılmıs ve yontemin

kullanılabilirligi hakkında bir uygulama gerceklestirilmistir. Daha sonra deneysel

bir zaman dizisi olarak deniz duzeyi gozlemleri secilmistir. Soz konusu veri-

lerin analizi sonucunda dalgacıkların etkin bir analiz metodu oldugu kanaatine

varılmıstır. Simdiye kadar ki yapılan calısmaların aksine farklı bir perspektif

yakalanmıstır.

Analizle birlikte bu yontemin geleneksel yonteminlere gore ustun yonlerinin

oldugu fark edilmistir. Bunlardan en onemlisi; duragan olmayan verilerin

analizine kolayca uygulanabilmesidir. Zaten deneysel verilerin hemen hepsi

duraganlıgı bozan bilesenler (trend, ani degisim, kırılma noktası vs.) icermektedir.

Klasik yontemlerde ise zaman dizisi duragan olmasa da analiz esnasında duraganmıs

gibi kabul edilir. Bu durum ise analizin objektifligi acısından dogru bir tutum

degildir.

Her yontemde oldugu gibi hic suphesiz bu yontemin de eksik kaldıgı noktalar

vardır. Yontemde verilerin arasında kısa boslukların olması veya esit aralıklı

olmaması durumunda enterpolasyonla ilgili kısımların doldurulması gerekir. Aksi

takdirde algoritma geregi dogru bir analiz yapılması mumkun degildir.

Hızlı Fourier analizinde oldugu gibi veri sayısı ikinin kuvveti kadar sayıda (N =

2n) olması gerekir. Olmadıgı takdirde analiz yapılması icin veriler en yakın ikinin

kuvvetine kadar sıfır ile doldurulur. Bu suni bir mudahele anlamına gelmektedir.

Dalgacık analiz sonucunda elde edilen grafikler incelendiginde, periyodiklikler

nicelik olarak belirlenir. Yani test dizisinin analizi sonucu Sekil 4.3’te goruldugu

25

uzere ”1” frekansının oldugu bolgelerde periyodiklik bulunması gerekirken, bu

deger 0.9 ila 1.1 arasında olabilir. Bu durum analistin istemeyecegi bir

belirsizliktir.

Benzer sekilde veriler farklı olcu kaynaklarından elde edilebilir ve dolayısıyla farklı

agırlıkta veriler olusur. Bu durumda yontemin yapabilecegi hic birsey yoktur.

Agırlık unsurunu gozardı etmek zorunda kalınır.

5.2 Oneriler

Atmosferik ve jeolojik kosullar nedeniyle frekansında ani degisimler gosteren

deneysel zaman dizilerin analizinde bu yontemin kullanılması sonucların yorum-

lanmasını kolaylastırmaktadır. Dolayısıyla yer bilimleriyle ugrasan arastırmacılara

bu yontemi kullanması tavsiye edilebilir.

Analiz islemi sırasında olcek degisim miktarı olması gerektigi duzeyde belirlen-

melidir. Cok kucuk olması islem hızının yavaslatırken, cok buyuk olması da

frekansın cozunurlugunu dusurmektedir.

Bir boyutlu fonksiyonun (orn. zaman dizisi) dalgacık donusumu sonucunda iki

boyutlu fonksiyon, iki boyutlu fonksiyonun (orn. goruntu) dalgacık donusumu

sonucunda dort boyutlu fonksiyon ortaya cıkar(Valens, 1999). Gunumuz teknolo-

jisiyle dort boyutlu fonksiyonu elde eden analizi yapmak cok zor degildir. Bu

nedenle ileriki calısmalarda gravite haritalarının analizide kullanılacak etkin bir

yontem olarak karsımıza cıkacaktır.

26

KAYNAKLAR

Abbak, R. A. (2005). Deniz duzeyi gozlemlerinin en kucuk karelerle spektralanalizi. Master’s thesis, Selcuk Universitesi, Fen Bilimleri Enstitusu, Konya.

Baykut, S., Akgul, T., ve Ergintav, S. (2006). Modeling and Analysis of NoiseCharacteristics of GPS Data. In IEEE 14th Signal Processing and Applications

Conference, Antalya, Turkey, 17-19 April 2006.

Graps, A. (2006). Introduction to wavelets. World Wide Web, http://www.

amara.com.

HGK (1991). Erdek, Mentes Izmir, Bodrum ve Antalya Mareograf Istasyonları1990 yılı Saatlik Deniz Seviyesi Degerleri. Harita Genel Komutanlıgı, Ankara.

Keller, W. (2004). Wavelets in Geodesy and Geodynamics. Walter de GruyterGmbH & Co., 1st edition.

Lau, K. M. ve Weng, H. (1995). Climate Signal Dedection Using WaveletTransform: How to Make a Time Series Sing. Bulletin of the American

Meteorological Society, Volume: 76:pages:2391–2402.

Lee, J. J., Lee, S. M., Kim, I. Y., Min, H. K., ve Hong, H. S. (1999). Comparisonbetween Short Time Fourier and Wavelet Transform for Feature Extraction ofHeart Sound. IEEE TENCON, Volume: 102:18–55.

Misiti, M., Misiti, Y., Oppenheim, G., ve Poggi, J. M. (2004). User’s Guide on

Wavelet Toolbox 4 for MATLAB. Matworks Incoorperation.

Percival, D. B. ve Walden, A. T. (2002). Wavelet Methods for Time Series

Analysis. Cambridge University Press, second edition.

Qiao, F. (2005). Introduction to Wavelet: A Tutorial. In Workshop on Wavelet

Application in Transportation Engineering,January 09, 2005.

Torrence, C. ve Compo, G. P. (1998). A Pratical Guide to Wavelet Analysis.Bulletin of the American Meteorological Society, Volume: 79:pages:61–79.

Valens, C. (1999). A Really Friendly User Guide to Wavelet. World Wide Web,http://www.cs.unm.edu/~williams/cs530/arfgtw.pdf.

27