TCC - Felipe Leite

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1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Departamento de Engenharia de Minas

Trabalho de Conclusão de Curso

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE O TILT TESTE E O

ENSAIO DE CISALHAMENTO DIRETO PARA

DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO DE ATRITO INTERNO

BÁSICO DA ROCHA

Felipe Torres Leite

Belo Horizonte2011



2

Felipe Torres Leite


ENSAIO DE CISALHAMENTO DIRETO PARADETERMINAÇÃO DO ÂNGULO DE ATRITO INTERNO

BÁSICO DA ROCHA

Trabalho de Conclusão de Cursoapresentado ao Curso de Engenharia de

Minas da Universidade Federal de Minas

Gerais como requisito parcial para a

obtenção do título de Bacharel em

Engenharia de Minas.

Orientador: Cláudio Lúcio Lopes Pinto

Belo Horizonte



3

2011

Felipe Torres Leite


ENSAIO DE CISALHAMENTO DIRETO PARA

DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO DE ATRITO INTERNO

BÁSICO DA ROCHA

Belo Horizonte, 06 de Dezembro de 2011



4

À minha mãe, por todo sacrifício e

doação ao longo de sua vida para que hoje

mais essa vitória fosse comemorada.



5

AGRADECIMENTOS

Aos professores do DEMIN, em especial ao Cláudio pelo incentivo.

A todos os funcionários do DEMIN, principalmente ao Cléber e ao Ricardo do

LTR, por toda a força e ajuda para a realização deste trabalho.

Aos colegas do curso de Engenharia de Minas, em especial ao David, ao

Lucas e ao Ricardo pela ajuda essencial durante a realização dos testes, para que

este trabalho fosse completo a tempo



6

RESUMO

Este trabalho faz uma revisão bibliográfica sobre as principais maneiras de se

avaliar a resistência de um maciço rochoso, partindo das propriedades que

interferem na resistência da rocha intacta e culminando na avaliação da resistência

das descontinuidades, que na maioria dos casos, é o fator que controla que

estabilidade de uma escavação, desde que a mesma não esteja sujeita a valores

muito altos de tensão in situ.

Sabendo da importância de se determinar os fatores que controlam aresistência das descontinuidades, o presente trabalho busca comparar duas

maneiras diferentes para se obter o valor do ângulo de atrito interno da rocha ( ,

parâmetro muito importante para a avaliação da probabilidade da ruptura de taludes

e deslizamento de blocos em minas subterrâneas. Para tal, foram realizados o

ensaio de tilt teste, e ensaio de cisalhamento direto em duas litologias distintas: uma

rocha itabirítica e uma rocha carbonática.



7

ABSTRACT

This paper is a literature review of the main methods to evaluate the

resistance of a rock mass, starting from the properties that affect the strength of

intact rock and culminating in the evaluation of strength of discontinuities, which in

most cases, is the factor that most control the stability of an excavation, provided that

it is not subject to very high values of in situ stress.

Once it is well known the importance of defining the factors that control the

strength of discontinuities, this paper aims to compare two different ways to evaluatethe basic friction angle of the rock (, which is a very important parameter for

evaluating the likelihood of slope failure and sliding blocks in underground mines.

For this purpose, it was performed the tilt test, and direct shear test on two different

lithologies: a itabiritic rock and a carbonate rock.



8

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Teste de cisalhamento das descontinuidades........................................... 11

Figura 2 - Componente do maciço rochoso............................................................... 14

Figura 3 - Gráfico tensão-deformação ....................................................................... 15

Figura 4 - Propriedades geométricas do maciço rochoso ......................................... 18

Figura 5 - Diagrama mostrando transição da rocha intacta até o maciço rochoso à

medida que se aumenta o tamanho da amostra ....................................................... 22

Figura 6 - Classificação maciço rochoso pelo GSI .................................................... 25

Figura 7 - Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb ...................................................... 27

Figura 8 - Perfis de rugosidade e valores de JRC correspondentes. ........................ 29

Figura 9 - Estimativa para valor de JCS obtido por meio do martelo de Schmidt ...... 30

Figura 10 - O tilt test para determinação do ângulo de atrito das descontinuidades . 31

Figura 11 - Amostras de rocha carbonática e de rocha itabirítica ............................. 32

Figura 12 - Ensaio tilt teste sendo realizado .............................................................. 33

Figura 13 - Corpo de prova antes do ensaio ............................................................. 34

Figura 14 - Corpo de prova após ensaio ................................................................... 35

Figura 15 - Ensaio de cisalhamento direto ................................................................ 36

Figura 16 - Modelo de ensaio de cisalhamento da descontinuidade ......................... 37

Figura 17 - Comportamento mecânico esperado para ensaio de cisalhamento........ 37

Figura 18 - Gráfico tensão cisalhante x tensão normal ............................................. 38

Figura 19 - Ensaio tilt teste realizado em laboratório ................................................ 39

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9

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Classificação de campo da resistência e correlação com a resistência a

compressão uniaxial .................................................................................................. 16

Tabela 2 - Classificação das rochas de acordo com sua coerência .......................... 17

Tabela 3 - Classificação da rocha quanto ao grau de alteração ................................ 17

Tabela 4 - Grau de alteração de maciços rochosos .................................................. 20

Tabela 5 - Grau de fraturamento do maciço rochoso ................................................ 21

Tabela 6 - Classificação de maciços rochosos para fins de engenharia ................... 22

Tabela 7- Resultado tilt teste ..................................................................................... 40

Tabela 8 - Resultados obtidos pelo teste de cisalhamento direto ............................. 41

Tabela 9 - Comparação ângulo de atrito interno básico ............................................ 44



10

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 11

1.1 Objetivo e Relevância .................................................................................. 12

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................... 13

2.1 Introdução a Mecânica das Rochas ............................................................. 13

2.2 Caracterização de maciços rochosos ........................................................... 14

2.2.1 Rocha Intacta ......................................................................................... 15

2.2.2 Descontinuidades .................................................................................. 18

2.2.3 Maciço Rochoso .................................................................................... 20

2.3 Critério de Ruptura ....................................................................................... 23

2.3.1 Critério de Ruptura Generalizado de Hoek-Brown ................................. 23

2.3.2 Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb ................................................... 26

2.3.3 Modelo empírico de resistência ao cisalhamento de Barton .................. 28

3 METODOLOGIA................................................................................................. 31

3.1 Tilt Teste ...................................................................................................... 31

3.2 Teste de Cisalhamento Direto ...................................................................... 34

4 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS .................................................................... 39

5 CONCLUSÀO .................................................................................................... 45

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 46

7 ANEXOS ............................................................................................................ 48



11

1 INTRODUÇÃO

Segundo Hoek (2000) O ângulo de atrito interno básico da rocha (, é

fundamental para o entendimento da resistência ao cisalhamento da superfície das

descontinuidades. O valor do ângulo é aproximadamente igual ao valor do ângulo de

atrito residual (, porém ele é geralmente obtido por meio de testes em amostras

previamente cortadas e retificadas.

A determinação do ângulo de atrito das descontinuidades nos maciços

rochosos, segundo Hu e Cruden (1992), é essencial na avaliação da estabilidade

dos taludes desses maciços, porém como o ensaio de cisalhamento direto paradeterminação do ângulo de atrito interno requer um transporte mais cuidadoso das

amostras do campo para o laboratório, corte da amostra na forma específica para a

realização do ensaio e posterior retificação das suas superfícies, as vezes são

necessários diversos dias apenas para que uma amostra seja ensaiada. Desde que

foi sugerido por Hoek e Bray (1974) que o ângulo de atrito poderia ser obtido por um

simples ensaio de tilt teste, quando claramente há uma fratura existente na

superfície da rocha, outros autores como Cawsey e Farrar (1976) e Barton eChoubey (1977) têm estimado o ângulo de atrito interno de descontinuidades

artificiais pelo ensaio do tilt teste. (HU; CRUDEN, 1992)

Figura 1 - Teste de cisalhamento das descontinuidades



12

1.1 Objetivo e Relevância

O objetivo deste trabalho é comparar dois métodos diferentes para a

determinação do ângulo de atrito interno básico da rocha, obtido por meio do ensaio

do tilt teste, e pelo ensaio de cisalhamento direto.



13

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Introdução a Mecânica das Rochas

A Mecânica das Rochas é uma ciência recente que foi derivada da

Geomecânica na década de 50, quando foi separada do estudo da Mecânica dos

Solos, sendo impulsionada principalmente por grandes avanços nas áreas de

construções pesadas, (fundações de usinas nucleares, barragens e túneis)

estabilidade de poços de petróleo e mineração subterrânea em altas profundidades.

Na década de 60, o estudo sobre Mecânica das Rochas tornou-se autônomo e

reconhecido como disciplina científica, e em 1963 foi criada a ISRM (International

Society for Rock Mechanics) que objetiva incentivar a pesquisa, disseminar o ensino

e o compartilhamento de informações entre profissionais de Mecânica das Rochas,

visando um conhecimento global sobre o assunto. No Brasil, a ABMS (Associação

Brasileira de Mecânica das Rochas e Engenharia Geotécnica) criada em 1950 é a

representante oficial do Brasil nas sociedades geotécnicas internacionais, como o

ISRM.

O estudo da Mecânica das Rochas iniciou-se com o objetivo de se conhecer

as propriedades mecânicas das rochas e de estudar seu comportamento quando

submetida à ação de um esforço externo, como por exemplo, uma escavação que

modifique as tensões iniciais existentes no maciço rochoso. Desta forma, é intuitivo

pensar que a engenharia de minas iria se beneficiar dos conhecimentos gerados por

essa ciência, e também prover grande motivação para o avanço do estudo da

mecânica das rochas. Ainda na década de 60, grande parte do estudo foi

concentrado na determinação das propriedades mecânicas das rochas, sendo

analisada somente a rocha intacta. Porém, a partir dos anos 70 foi observado que o

estudo das descontinuidades das rochas era necessário para o entendimento

completo da estrutura rochosa, especialmente para a aplicação em engenharia civil

e mineração a céu aberto, pois geralmente para escavações próximas a superfície

como taludes, o que controla a estabilidade são as estruturas do maciço rochoso e

suas descontinuidades, como fraturas, planos de acamamento, juntas, falhas e

zonas de cisalhamento, enquanto escavações mais profundas são mais afetadas



14

pelas propriedades da rocha intacta e suas tensões pré-existentes. (HUDSON;

HARISSON, 2007).

Dessa forma, para que um maciço rochoso possa ser estudado, é necessário

que seja analisado separadamente seus dois componentes mecânicos que o

compõem: a rocha intacta e suas descontinuidades. Para isso, deve ser analisada a

reação da rocha quando submetida à aplicação de uma carga. (HUDSON;

HARISSON, 2007).

2.2 Caracterização de maciços rochosos

Em Mecânica das Rochas, os dois componentes mecânicos que compõem o

maciço rochoso são a rocha intacta e suas descontinuidades. Segundo Hudson e

Harrison (2007), a rocha intacta pode ser definida como uma rocha ausente de

fraturas significantes, e desde os anos 60, muita atenção é dada ao comportamento

da rocha intacta em comparação a outros componentes mecânicos do maciço

rochoso, principalmente quando o problema é relacionado à perfuração e desmonte

de rochas, ou quando é consideranda a estabilidade de escavações em rochas de

boa qualidade e frágeis.

Figura 2 - Componente do maciço rochosoFonte: HUDSON; HARRISON, 2007

Em outros casos, o comportamento das descontinuidades da rocha será de

importância máxima para o equilíbrio e estabilidade do maciço, como por exemplo, a

formação de blocos de rocha por interseções entre descontinuidades, e também em

casos de escorregamento do teto e paredes de escavações por uma falha. (BRADYe BROWN, 2004).



15

2.2.1 Rocha Intacta

Para que se possa conhecer o como o maciço rochoso se comporta, é

indispensável conhecer algumas propriedades mecânicas da rocha intacta. Os

principais parâmetros da rocha intacta a serem determinados por ensaios de

laboratório são:

Módulo de Young (E): definido pela inclinação da curva de tensão-deformação do

ensaio de compressão uniaxial da rocha intacta (UCS) é um parâmetro mecânico

importante da rocha, pois proporciona uma medida da rigidez da mesma.

Figura 3 - Gráfico tensão-deformaçãoFonte: HUDSON; HARRISON, 2007

Módulo de Young:

Outro parâmetro importante obtido pela curva tensão-deformação é a resistência a

compressão uniaxial da rocha intacta ().

Coeficiente de Poisson (): O Coeficiente de Poisson mede a deformação

transversal em relação à deformação axial longitudinal da rocha, onde é aplicada a

carga.



16

Coeficiente de Poisson:

Caso não seja possível realizar ensaios laboratoriais para obter estesparâmetros das rochas, foram desenvolvidos alguns outros testes de campo, para

que se pudessem obter com certa aproximação os valores de da rocha intacta.

Tabela 1 - Classificação de campo da resistência e correlação com a resistência a compressãouniaxial

(adaptado de HOEK & BROWN, 1997)

Grau Descrição Identificação de campo Resistência

(MPa)R0 Rocha extremamente fraca Marcada pela unha. 0,25 – 1

R1 Rocha muito fraca Esmigalha-se sobre firmegolpe do martelo degeólogo, pode ser raspadopor canivete.

1 – 5

R2 Rocha fraca Pode ser raspada porcanivete com dificuldade,leve marcação com firmepancada com a ponta do

martelo de geólogo.

5 – 25

R3 Rocha com resistência média Não pode ser raspado porcanivete, amostras podemser fraturadas com umúnico golpe de martelo degeólogo

25 – 50

R4 Rocha resistente Amostras requerem mais deum golpe de martelo degeólogo para fraturar-se.

50 – 100

R5 Rocha muito resistente Amostras requerem muitosgolpes de martelo degeólogo para fraturar-se.

100 – 250

R6 Rocha extremamente resistente Amostras podem serapenas lascadas com omartelo de geólogo.

> 250

A rocha intacta também pode ser classificada pela sua coerência, que é a

resistência que ela oferece ao golpe com martelo de geólogo e ao risco com lâmina

de aço. (GUIDICINI & NIEBLE apud NONATO, 2002)



17

Tabela 2 - Classificação das rochas de acordo com sua coerência(modificado GUIDICINI & NIEBLE apud NONATO, 2002)

Rocha Símbolo Características

Rocha muito coerente C1 Quebra com dificuldade ao golpe domartelo. Superfície dificilmente riscadapor lâmina de canivete

Rocha coerente C2 Quebra com relativa facilidade ao golpedo martelo. Superfície riscável porlâmina de canivete

Rocha pouco coerente C3 Quebra facilmente ao golpe do martelo.As bordas da rocha podem serdesagregadas pela pressão dos dedos.Lâmina de canivete provoca um sulcoacentuado na superfície do fragmento.

Rocha friável C4 Esfarela-se ao golpe do martelo. Rochapode ser desagregada apenas pelapressão dos dedos.

Segundo Pinheiro (2002), a alteração da rocha por ação do intemperismo

resulta em perda de suas características naturais e consequentemente há uma

diminuição de sua resistência mecânica, aumento de sua deformabilidade e

modificação de sua porosidade natural. Portanto foi também desenvolvida umatabela para que se possa ter idéia do grau de alteração da rocha, e como esse fator

pode alterar a resistência da rocha intacta.

Tabela 3 - Classificação da rocha quanto ao grau de alteração(alterado de GUIDICINI & NIEBLE apud PINHEIRO, 2002)

Rocha Símbolo Descrição

Rocha sã ou praticamente sã A1 Sem sinais de alteração claros ou

apenas alterações físicas e químicasincipientes.Rocha medianamente alterada A2 Rocha apresenta-se descolorida e

apresenta minerais primáriosalterados, porém a rocha não éfriável

Rocha muito alterada A3 Rocha parcialmente friável,apresentando minerais muitoalterados e por vezes pulverulentos.

Rocha extremamente alterada A4 Apresenta minerais completamentealterados, a rocha é friável e

completamente descolorida,gradando para cores de solo.



18

2.2.2 Descontinuidades

Segundo Hudson e Harrison (2007), as descontinuidades são aspectos

geológicos, tais como juntas, falhas, planos de acamamento e fraturas, que

representam uma interrupção da continuidade da rocha. Essas feições geológicas

têm propriedades mecânicas e geométricas que muitas vezes governam o

comportamento geral de maciços rochosos, principalmente quando estão

submetidos a uma baixa tensão in situ.

As descontinuidades da rocha podem ser formadas de forma natural durante

o processo de formação da rocha, como acontece em zonas de contato entre duaslitologias diferentes, pela ação de forças cisalhantes induzidas por metamorfismo e

dobramento do pacote rochoso, ou podem ser criadas de forma não-natural pelo ser

humano, que pela abertura escavações e perturbações no maciço rochoso, podem

vir a induzir zonas de tração na rocha, facilitando a rotura da mesma.

As descontinuidades são normalmente descritas por suas propriedades

geométricas, representadas pela figura abaixo, tais como: (HUDSON;HARRISON,

2007); NONATO 2002; ISRM apud PINHEIRO 2002).

Figura 4 - Propriedades geométricas do maciço rochosoFonte: HUDSON; HARRISON, 2007.



19

Espaçamento e frequência: é a distância média entre descontinuidades

adjacentes de uma mesma família medida perpendicularmente. Frequência

significa o numero de descontinuidades por unidade de distância.

Orientação: é a atitude da descontinuidade, definidas pela direção de camada

e pelo ângulo do mergulho.

Persistência: é a extensão da descontinuidade, observada pelo comprimento

do seu traço ao longo de um afloramento.

Rugosidade: apesar das descontinuidades serem consideradas como planas

para efeito de determinação de sua orientação e persistência, suas

superfícies podem conter ondulações em suas paredes, chamadas de

rugosidade. A rugosidade de uma descontinuidade pode ser definida por

tabelas empíricas ou matematicamente.

Abertura: é a distância perpendicular medida entre as paredes adjacentes de

uma descontinuidade.

Preenchimento: a abertura de uma descontinuidade pode ser preenchida por

água ou outro material, como por exemplo, raízes de árvores ou

argilominerais.

Família de descontinuidades: conjunto de descontinuidades paralelas ou

subparalelas que ocorrem segundo preferência por uma zona mecânica

menos resistente da rocha. É conveniente considerar o número de famílias de

descontinuidade que caracterizam certo maciço rochoso.

Resistência das paredes: caracterizada pela resistência da interface entre a

descontinuidade e o maciço rochoso, sendo afetado principalmente pelo grau

de alteração da rocha e pelo intemperismo. Tal propriedade pode ser

estimada por testes manuais, utilizando-se o martelo de Schmidt. Tamanho dos blocos: depende do padrão da família de descontinuidades que

se cruzam, podendo gerar blocos de rochas soltos.

Percolação de água: ocorre quando há fluxo de água por meio das

descontinuidades presente no maciço.



20

2.2.3 Maciço Rochoso

A determinação das propriedades mecânicas globais de um maciço rochoso

in situ permanece, segundo Brady e Brown (2006), até os dias atuais um dos

problemas mais difíceis de mecânica das rochas. Uma das maneiras de se

classificar um maciço rochoso quanto a sua qualidade é a partir de suas feições

geológicas. Tal classificação não é absoluta para fins de engenharia, mas lhe é

atribuída certo valor, principalmente quando se há pouca informação disponível

sobre o maciço rochoso.

Sendo assim, foi proposto pela ISRM a BGD (“Basic Geotechnical

Description), com o objetivo de conter informações para resolução de problemas

práticos.

De um modo geral, a qualidade dos maciços rochosos depende do seu

estado de alteração e do seu grau de fraturamento, e estes índices podem ser

descritos com a ajuda das tabelas abaixo.

Tabela 4 - Grau de alteração de maciços rochosos(alterado de HOEK &BROWN, 2000)

Símbolo Designação Características

W1 são Sem sinais de alteração

W2 pouco alterado Sinais de alteração apenas nas

proximidades das descontinuidades

W3 medianamente alterado Alteração perceptível por todo omaciço

W4 muito alterado Alteração visível em todo maciço e

rocha parcialmente friável

W5 decomposto Maciço apresenta-se completamente

alterado e friável



21

Assim como na tabela para estado de alteração do maciço, o grau de fraturamento

pode ser classificado em cinco categorias diferentes

Tabela 5 - Grau de fraturamento do maciço rochoso(alterado de HOEK & BROWN, 2000)

Símbolo Intervalo entre fraturas (cm) Designação

F1 > 200 muito afastadas

F2 60 – 200 afastadas

F3 20 – 60 medianamente afastadas

F4 6 – 20 próximas

F5 6 muito próximas

De acordo com Hoek e Brown (2000), a resistência de um talude ou de um

maciço rochoso depende do seu tamanho e sua escala relativa, ou seja, quantos

elementos como descontinuidades e outras feições geológicas estão presentes na

estrutura a ser determinada sua resistência. Se a dimensão da escavação for muito

grande, várias descontinuidades controlarão seu comportamento, de modo quequalquer superfície de descontinuidade pode ser responsável pelo seu rompimento.

Contrariamente se a escavação for de um tamanho menor, onde nem todas as

estruturas geológicas contidas no maciço rochoso sejam englobadas, ele terá uma

resistência maio. Se a análise for feita em uma escala menor que o espaçamento

das descontinuidades, o maciço rochoso se comportará como rocha intacta.

Ainda assim, a classificação geológica dos maciços não é totalmente

satisfatória, pois seu resultado depende somente de análise micropetrográfica e

observação macroscópica de amostras ou afloramentos. Para fins de engenharia é

necessário utilizar outros critérios, dos quais fazem parte a utilização de ensaios

físicos. Para classificação da rocha, são normalmente utilizados parâmetros como o

módulo de elasticidade da rocha intacta (E), a resistência a compressão uniaxial (sc)

e a velocidade de propagação das ondas ultrassônicas (Vp), sendo que esta última

propriedade avalia o grau de fraturamento do maciço rochoso, assim como o

tamanho da abertura das descontinuidades.



22

Figura 5 - Diagrama mostrando transição da rocha intacta até o maciço rochoso à medida que

se aumenta o tamanho da amostraFonte: Hoek; Brown, 1988

Sendo assim, são utilizados como critério de classificação dos maciços os

quociente dos valores dos índices físicos obtidos no campo (em um maciço) e dos

valores obtidos em laboratório. Quanto mais próximo do valor obtido em laboratório,

melhor a qualidade do maciço.

Tabela 6 - Classificação de maciços rochosos para fins de engenhariaQualidade do maciço rochoso Vp,m / Vp,l Em / El Frequência das fraturas

muito fraca < 0,4 < 0,2 > 15

Fraca 0,4 – 0,6 0,2 – 0,4 15 – 8

Razoável 0,6 – 0,8 0,4 – 0,6 8 – 5

Boa 0,8 – 0,9 0,6 – 0,8 5 – 1

Excelente 0,9 – 1,0 0,8 – 1,0 < 1



23

De todas as abordagens possíveis para classificação dos maciços rochosos,

a mais utilizada em mineração é a classificação geomecânica que por meio das

propriedades identificadas por observação direta e ensaios realizados consegue dar

uma nota para o maciço rochoso, de acordo com sua qualidade. As principais

classificações geomecânicas que foram propostas são o RMR (Rock Mass Rating)

proposta por Bieniawski (1973) e o índice Q, proposto por Barton (1974). Essas

classificações utilizam parâmetros geométricos das descontinuidades como

espaçamento, rugosidade, grau de alteração, número de famílias de

descontinuidades, percolação de água e também condições mecânicas da rocha,

como o valor da compressão uniaxial da rocha intacta, RQD e condições de tensão

in situ.

2.3 Critério de Ruptura

2.3.1 Critério de Ruptura Generalizado de Hoek-Brown

A versão generalizada do critério de ruptura de Hoek-Brown se apresenta

como uma medida alternativa para determinar a resistência de maciços rochosos

fraturados. Segundo Hoek e Brown (1980), eles escolheram criar um novo critério de

ruptura depois de analisar que nenhum dos antigos critérios existentes eram

capazes de descrever a resposta da rocha intacta sob tensão, de fornecer ainfluência das descontinuidades na rocha e, fornecer também, mesmo que de forma

aproximada o comportamento do maciço rochoso como um todo, contendo diversas

famílias de descontinuidades. De acordo com Sjöberg (1999), a teoria conceitual por

detrás do critério de ruptura de Hoek-Brown é o critério de ruptura de Griffith para

rochas frágeis, mas o processo decorrente foi puramente por tentativa e erro, que

culminaram na seguinte expressão:



24

Onde:

= tensão principal máxima

= tensão principal mínima

= resistência à compressão uniaxial

= valor da constante de Hoek-Brown para maciço rochoso

s, a = constantes que dependem das características do maciço rochoso

Para rocha intacta, s = 1 e a = 0,5 e , a equação pode ser escrita da

seguinte maneira:

Sempre que possível, os valores de e devem ser determinados por uma

análise estatística dos resultados de um conjunto de ensaios de resistência a

compressão triaxial. (HOEK, 2000). Já para a determinação do parâmetro do

maciço rochoso, deve ser introduzido brevemente o conceito do GSI (Geological

Strength Index), que também é uma classificação geomecânica do maciço rochoso,

proposto por Hoek (1994) que se baseia no conceito de que a resistência do maciço

não depende somente da resistência da rocha intacta, mas também da liberdade

que os blocos de rocha formados por suas descontinuidades têm de se movimentar

sob diferentes condições de tensão (HOEK, 2000).

Com ajuda do GSI, pode ser estimado então o valor de para um maciçofraturado: (SJÖBERG,1999)



25

Figura 6 - Classificação maciço rochoso pelo GSIFonte: HOEK, 2000



26

Já os parâmetros s e a são determinados de forma diferente, dependendo da

qualidade do maciço rochoso (SJÖBERG,1999). Para maciços rochosos, cujo valor

de GSI for maior que 25, os parâmetro s e a podem ser estimados pela seguinte

equação:

,

.

Se a qualidade do maciço for pior, e sue GSI for menor que 25 então s e a assumemos seguintes valores:

,

.

2.3.2 Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb

Segundo Sjöberg (1999), na grande maioria dos atuais métodos análise de

mecânica das rochas, como o método do equilíbrio limite e modelos numéricos, a

resistência da rocha é expressa em termos do critério de ruptura linear de Mohr-

Coulomb.A partir dos valores das tensões principais (máxima e mínima), o valor da

tensão normal e tensão cisalhante no plano para qualquer ângulo pode ser

encontrado usando as equações de transformação, representados pelo círculo de

Mohr (HUDSON;HARRISON 2007). Utilizando os conceitos de coesão, definido

também por Harrison e Hudson (2007) como a resistência ao cisalhamento da rocha

quando não há tensão normal aplicada, e ângulo de atrito interno, que é

equivalente ao ângulo de inclinação de uma superfície polida da rocha suficientepara causar o deslizamento de outra rocha similar por este plano, é possível gerar



27

uma envoltória linear de Mohr-Coulomb, que define o tamanho limitante dos círculos

de Mohr.

O critério de ruptura de Mohr-Coulomb é definido por:

onde

tensão cisalhante máxima

tensão normal efetiva

coesão

ângulo de atrito

Figura 7 - Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb

Fonte: HUDSON; HARRISON, 2007.

O critério de ruptura de Mohr-Coulomb é frequentemente usado também para

descrever a resistência ao cisalhamento de descontinuidades. A priori este modelo é

aplicado somente para descontinuidades planares, para a determinação do ângulo

residual de atrito. (PATTON apud Hoek 2000)



28

2.3.3 Modelo empírico de resistência ao cisalhamento de Barton

De acordo com Sjöberg (1999), a resistência ao cisalhamento das

descontinuidades têm sido um tópico de recorrente discussão e pesquisa ao longo

dos anos. A resistência ao cisalhamento de uma descontinuidade em pequena

escala pode ser facilmente testada e descrita, porém, em situações onde a ruptura

está relacionada a uma família de descontinuidades em grande escala é onde se

encontra o real problema ao tentar se avaliar a resistência de tais descontinuidades.

Isso levou Barton et al a propor a seguinte equação empírica para avaliar a

resistência das descontinuidades nos maciços rochosos.

resistência ao cisalhamento

tensão normal

JRC Coeficiente de Rugosidade (Joint Roughness Coefficient)JCR Resistência das paredes das descontinuidades (Joint wall

Compressive Strength)

ângulo de atrito interno básico

Uma estimativa para o valor do JRC pode ser feito comparando-se a aparência da

rugosidade da superfície da descontinuidade com uma série de perfis padrão de

descontinuidade proposto por Barton e Choubey em 1977, apresentado na Figura 7.É importante ressaltar que o valor de JRC pode depender da direção de

deslizamento considerada, uma vez que o perfil da descontinuidade que é

tridimensional está sendo simplificado por meio da seguinte tabela como sendo

unidimensional.



29

Figura 8 - Perfis de rugosidade e valores de JRC correspondentes.Fonte: Barton & Choubey apud Hoek, 2000



30

Uma maneira de se determinar o valor de JCS é utilizando o martelo de

Schmidt, como ilustra a Figura 8 (Deere & Miller apud HOEK, 2000).

Figura 9 - Estimativa para valor de JCS obtido por meio do martelo de SchmidtFonte: Hoek, 2000



31

3 METODOLOGIA

3.1 Tilt Teste

Cruden e Hu (1992), a determinação do ângulo de atrito interno das

descontinuidades do maciço rochoso é essencial para a avaliação da estabilidade

dos taludes desses maciços. Uma das maneiras de se obter o ângulo de atrito

interno da rocha é por meio do tilt teste.

No laboratório de Tecnologia de Rochas da UFMG foram realizados os ensaios de

tilt teste, para cinco diferentes amostras de rocha carbonática e outras cinco

amostras de uma rocha itabirítica, para se determinar o ângulo de atrito interno de

cada uma dessas rochas.

Figura 10 - O tilt test para determinação do ângulo de atrito das descontinuidadesFonte: HUDSON; HARRISON, 2007.



32

Os materiais e equipamentos utilizados nesse trabalho são:

5 amostras polidas e retificadas de uma rocha carbonática

5 amostras polidas e retificadas de uma rocha itabirítica

Mesa de madeira construída para o ensaio

A mesa construída tem aproximadamente 30cm de comprimento, 15cm de largura e

5cm de altura. Conforme o modelo abaixo:

TCC C

Figura 11 - Amostras de rocha carbonática e de rocha itabirítica



33

Figura 12 - Ensaio tilt teste sendo realizado

Cada uma das 10 amostras de rocha (5 sendo rocha carbonática e 5 sendo rocha

itabirítica) foram cortadas e tiveram suas superfícies retificadas para que o teste

fosse realizado. Uma vez preparadas as amostras, elas foram colocadas em cima da

mesa de madeira construída especialmente para a realização dos ensaios, que foi

sendo erguida lentamente até que uma rocha deslizasse sobre a outra, por sua

superfície retificada.

Desta forma, foram realizados 30 ensaios para cada amostra, para se obter uma

média do ângulo, e também para que o escorregamento da amostra fosse realizado

em direções diferentes, uma vez que há anisotropia na superfície dadescontinuidade, mesmo quanto retificada. Para a determinação do ângulo, foi

medida com um paquímetro a hipotenusa do triângulo formado pela inclinação da

mesa (vide Figura 12) que é um valor fixo independentemente do ângulo da mesa, e

para cada ângulo diferente foi determinado o cateto adjacente desde ângulo, obtido

pela projeção horizontal desta hipotenusa. Dessa maneira, por trigonometria, foi

possível calcular o ângulo de atrito interno básico das amostras ensaiadas.



34

3.2 Teste de Cisalhamento Direto

Segundo Hachiich et al & Pinto apud Viecili (2003), o ensaio de cisalhamento

direto é o mais antigo procedimento para determinar a resistência ao cisalhamento

de um material, e baseia-se no critério de Mohr-Coulomb. O teste de cisalhamento

direto, quando realizado em amostras polidas e retificadas é utilizado para a

determinação do ângulo de atrito interno básico, uma vez que não há coesão da

rocha, o critério de ruptura é apenas por fricção entre as faces da rocha.

Os materiais utilizados foram:

cimento grout, (para modelar o corpo de prova)

palitos de bambu

moldes de plástico

2 macacos hidráulicos

Rótulas e discos de aço

Quadro cisalhante do LTR

Figura 13 - Corpo de prova antes do ensaio



35

Figura 14 - Corpo de prova após ensaio

O procedimento consiste em moldar o corpo de prova, utilizando cimento grout de

cura rápida, utilizando um molde plástico com o formato ideal para a utilização do

corpo de prova no quadro cisalhante para a realização do ensaio. Uma vez que os

corpos estão preparados e moldados, eles são levados ao quadro cisalhante para a

realização do ensaio.



36

Figura 15 - Ensaio de cisalhamento direto

As amostras obtidas foram serradas pela metade, criando assim um plano artificial

de fratura. Essa superfície a ser ensaiada foi retificada, de modo a não conter

nenhuma irregularidade. O ensaio pode ser descrito pela aplicação constante de

uma tensão normal constante no corpo de prova, e a de uma tensão cisalhante

crescente em um plano perpendicular ao plano de atuação da tensão normal,

fazendo a amostra se deslocar. O deslocamento é detectado por um relógio, com

precisão para detectar deslocamentos de até 0,01 mm.



37

Figura 16 - Modelo de ensaio de cisalhamento da descontinuidade

O ensaio foi realizado nas 5 amostras de rocha itabirítica e nas 5 amostras de

rocha carbonática, para que fosse possível obter o valor do ângulo de atrito interno

de cada uma das litologias ao final do ensaio, por uma regressão linear. Para isso,

em cada ensaio de cisalhamento direto, foi utilizado um valor diferente de tensão

normal. Os valores escolhidos foram de 2, 4, 6, 8 e 10 MPa. O comportamento

mecânico esperado para o ensaio é um aumento rápido da tensão cisalhante, até

que um valor máximo, a tensão de pico seja atingida, a partir daí é esperado que o

valor de tensão permaneça aproximadamente constante, como ilustra a Figura 17.

Figura 17 - Comportamento mecânico esperado para ensaio de cisalhamento

Para uma descontinuidade plana e retificada, o critério de ruptura de Mohr-Coulomb

não contém o fator coesão em sua equação, uma vez que descontinuidade alguma

possui coesão, o critério de ruptura é apenas por atrito, como mostra a equação

seguinte:



38

E assim, à medida que vão sendo realizados os ensaios, alterando-se os valores

para a tensão normal, o valor do ângulo de atrito interno pode ser calculado pela

inclinação da reta ilustrada na Figura 18, ou através da seguinte equação:

Figura 18 - Gráfico tensão cisalhante x tensão normal



39

4 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Conforme descrito na metodologia, foram realizados 30 ensaios do tilt teste

para cada amostra de rocha, alterando a direção do plano de deslizamento da

mesma, para que fossem corrigidas quaisquer irregularidades em relação a

possíveis estruturas na amostra, que alterassem o valor do ângulo de deslizamento.

A mesa com a amostra foi sendo erguida lentamente, de forma que fosse possível

identificar qualquer início de deslizamento da amostra.

Figura 19 - Ensaio tilt teste realizado em laboratório



40

Para medir o valor da hipotenusa do triângulo formado, foi usado um paquímetro e

assim medida a distância entre os dois parafusos que podem ser observados na

Figura 17. O valor encontrado e considerado para efeito de cálculo do ângulo de

deslizamento para a hipotenusa é fixo e igual a 209,84 mm. O valor do cateto

adjacente que irá variar de acordo com o ângulo obtido, pode ser lido com o auxílio

de duas linhas de nylon amarradas nos parafusos. Desta forma é possível ler com a

ajuda de um papel milimetrado que está fixado na mesa de madeira a projeção

horizontal da hipotenusa do triângulo, e assim, pela seguinte relação trigonométrica

calcular o valor do ângulo de atrito interno básico da rocha:

Foram portando calculados os valores do ângulo de atrito interno básico para cada

uma das amostras, como mostrado na tabela a seguir:

Tabela 7- Resultado tilt teste

Rocha Carbonática Rocha Itabirítica

Amostra 1 Amostra 1 Amostra 2 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 4 Amostra 5

Amostra 5

Em seguida, as mesmas amostras utilizadas no ensaio do tilt teste foram moldadas

para que fossem posteriormente ensaiados no quadro cisalhante.

Foram pré-determinados cinco valores diferentes para a tensão normal que foi

utilizada no ensaio de cisalhamento direto, para que fosse possível depois dos

ensaios traçar uma regressão linear, e assim obter o valor do ângulo de atrito interno

básico para cada uma das litologias ensaiadas.



41

Realizados os ensaios de cisalhamento direto (vide gráficos em ANEXOS),

foram plotados os valores das tensões de pico pelos valores das tensões normais

respectivamente utilizados, resultando nas seguintes tabelas:

Tabela 8 - Resultados obtidos pelo teste de cisalhamento direto

ROCHA CARBONÁTICA

Tensão Cisalhante (MPa) Tensão Normal (MPa)

1,6401 2,029851881

1,6033 3,991251881

3,4946 5,952651881

5,5465 7,914051881

6,5562 9,875451881

ROCHA ITABIRÍTICA

Tensão cisalhante (MPa) Tensão Normal (MPa)

1,6468 2,029851881

3,5466 3,991251881

2,5211 5,952651881

5,8672 7,914051881

5,2482 9,875451881

E a partir da tabela acima, foram traçados os gráficos abaixo, que permitiram a

determinação do ângulo de atrito interno básico para cada uma das rochas

estudadas.



42

Pode ser observado nos gráficos anteriores, que a equação da reta ajustada

possui um termo fixo, que de acordo com o critério de ruptura de Mohr-Coulomb só

deveria existir se estivesse sendo analisada a resistência da rocha intacta, e não da

descontinuidade. Como sabemos que o termo independente da equação de

regressão linear deve ser igual a zero (c = 0), foram traçados outros dois gráficos,

nas quais a reta de regressão linear obrigatoriamente passa pela origem.

y = 0,7023x - 0,4126

R² = 0,9382

0

1

2

3

4

56

7

0 2 4 6 8 10 12

T e n s ã o c i s a l h a n t e ( M P a

)

Tensão Normal (MPa)

Rocha Carbonática

y = 0,4855x + 0,8757

R² = 0,7141

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

T e n s ã o c i s a l h a n t e ( M P a )


Rocha Itabirítica



43

Os valores do ângulo de atrito interno básico puderam ser calculados pelo arco

tangente da inclinação da reta, conforme descrito anteriormente. Os resultados

obtidos estão dispostos na tabela a seguir:

y = 0,6454x

R² = 0,9307

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

T e n s ã o c i s a l h a n t e ( M P a )


Rocha Carbonática

y = 0,6064x

R² = 0,6602

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

T e n s ã o c i s a l h a n t e ( M P

a )


Rocha Itabirítica



44

Tabela 9 - Comparação ângulo de atrito interno básicoRocha Carbonática Rocha Itabirítica

Tilt Teste 24,72 25,90

Cisalhamento Direto 35,08 25,90 Cisalhamento Direto (c=0) 32,84 31,32



45

5 CONCLUSÀO

Os valores do ângulo de atrito interno obtido no tilt teste da rocha carbonática

e da rocha itabirítica foram muito parecidos entre si. O valor do desvio padrão para a

rocha carbonática foi um pouco maior, e isso é justificável pelo fato de que estas

amostras tiveram apenas uma as duas superfícies retificadas, resultando em uma

pequena inclinação da amostra. Portanto, para que o tilt teste não apresentasse

resultados irreais, o ensaio foi realizado em diferentes direções em um número

aproximadamente igual de vezes, resultando ora em um valor de ângulo maior que o

correto, ora menor.

Embora o valor do ângulo de atrito interno para a rocha itabirítica obtido pelo

tilt teste e pelo ensaio de cisalhamento direto obtiveram valores idênticos, o

coeficiente de correlação da regressão linear não foi muito alto, o que pode indicar

algum erro durante a realização do ensaio, ou que simplesmente o valor indicado

não é muito confiável.

Em duas amostras de rocha carbonática, durante a cura do cimento grout,

ocorreu a separação do contato da descontinuidade. Este erro foi consertado

durante a realização do ensaio, porém pode ter sido responsável por alterações do

resultado final.

Em algumas amostras da rocha carbonática, mesmo tendo cuidado para que

a superfície da descontinuidade ficasse o mais horizontal possível, devido a errosdurante o corte das amostras na serra elas ficaram mais inclinadas que o aceitável.

Nessas amostras, o ensaio de cisalhamento direto foi feito na direção perpendicular

ao plano de inclinação máxima da superfície da descontinuidade.

Aparentemente, apenas cinco ensaios de cisalhamento direto não fornecem

dados suficientes para a obtenção de um ângulo de atrito interno básico confiável.



46

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRADY, B.H.G.; BROWN, E.T. Rock Mechanics: for underground mining. Third

edition. Australia: Springer, 2006.

HUDSON, John A.; HARRISON, John P. Engineering Rock Mechanics: anintroduction to the principles. First Edition. London: Pergamon, 2007.

BARTON, N. Shear Strength of Rockfill, Interfaces and Rock Joints, and TheirPoints of Contact in Rock Dump Design. Rock Dumps 2008, Perth, Australia.

HOEK, E.; BROWN, E.T. The Hoek-Brown Failure Criterion – a 1988 Update.

HOEK, E.; BROWN, E.T. Practical estimates of rock mass strength. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, Vol 34, No 8, 1997, pages 1165-1186

PARISEAU, W.G. Design analysis in rock machanics. USA: Taylon & Francis,2007.

PINHEIRO, Antônio Luiz. Análise de Rupturas em Taludes no Morro do Curral,Ouro Preto Minas Gerais. Departamento de Engenharia de Minas. 2002.111p.Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Ouro Preto, Programa de PósGraduação em Engenharia Mineral

NONATO, Cláudia Aparecida. Contribuição à Caracterização Geológica-Geomecânica no Quadrilátero Ferrífero. Departamento de Engenharia de Minas.2002.186p. Tese (Doutorado) – Universidade Federal de Minas Gerais, Programa de

Pós Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas

HOEK, E. Practical Rock Engineering. 2000 Edition

HOEK, E; MARINOS, P. Estimating the geotechnical properties ofheterogeneous rock masses such as flysch. Vancouver, Canada: Springer-Verlag, 2001.



47

SJÖBERG, Jonny. Analysis of large scale rock slopes. Department of Civil andMining Engineering. 1999. 788p. Tese (Doutorado) – Luleå University of Technology,Division of Rock Mechanics. Suécia.

HU XIAN-QIN, D.M CRUDEN. A portable tilting table for on-site tests of thefriction angles of discontinuities in rock masses. International Association of Engineering Geology. Paris, 1992.

VIECILI, Cristiano. Determinação dos parâmetros de resistência do solo de Ijuí apartir do ensaio de cisalhamento direto. Departamento de Tecnologia. 2003 76p.Trabalho de Conclusão de Curso. Universidade Regional do Noroeste do Estado doRio Grande do Sul – UNIJUÍ



48

7 ANEXOS

y = 2,6817x + 0,4839

R² = 0,7697

y = 0,037x + 1,6308

R² = 0,8511

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 T e n s ã o C i s a l h

a n t e ( M P a )

Deslocamento (mm)

Tensão Cisalhante vs DeslocamentoRocha itabirítica (s ≈ 2MPa)

y = 5,3293x - 4,856R² = 0,9967

y = 0,3879x + 2,935

R² = 0,9828

0

0,5

1

1,5

22,5

3

3,5

4

4,5

5

0 1 2 3 4 5

T e n s ã o C i s a l h

a n t e ( M P a )

Deslocamento (mm)

Tensão Cisalhante vs Deslocamento

Rocha itabirítica (s ≈ 4 MPa)



49

y = 4,9815x - 0,7532

R² = 0,9617

y = 0,0927x + 2,4602

R² = 0,8341

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

T e n s

ã o C i s a l h a n t e ( M P a )

Deslocamento (mm)



y = 4,5969x - 6,7213

R² = 0,973

y = 0,2812x + 5,0948

R² = 0,8047

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

T e n s ã o C i s a l h a n t e ( M P a )

Deslocamento (mm)


Rocha itabirítica (s≈ 8 MPa)



50

y = 6,9555x - 11,801R² = 0,8689

y = 0,115x + 4,9663

R² = 0,7791

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14

T e n s ã

o C i s a l h a n t e ( M P a )

Deslocamento (mm)



y = 0,8874x + 0,3971

R² = 0,9237

y = 0,0815x + 1,5259R² = 0,9266

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

T e n s ã o C i s a l h a n t e ( M

P a )

Deslocamento (mm)

Tensão Cisalhante vs. Deslocamento

Rocha Carbonática (s ≈ 2 MPa)



51

y = 2,2056x + 0,6356

R² = 0,9256 y = 0,2637x + 1,4876

R² = 0,9986

0

0,5

1

1,52

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 2 4 6 8 10 12 14


Deslocamento (mm)

Tensão Cisalhante vs. DeslocamentoRocha Carbonática (s ≈ 4 MPa)

y = 3,6685x + 0,5833

R² = 0,9306y = 0,1245x + 3,3958

R² = 0,7789

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20

T e n s ã o C i s a l h a n t e ( M P

a )

Deslocamento (mm)





52

y = 3,0785x + 1,0642

R² = 0,8547

y = 0,0135x + 5,5268

R² = 0,6943

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20 25

T e n s ã o C i

s a l h a n t e ( M P a )

Deslocamento (mm)

Tensão Cisalhante vs. DeslocamentoRocha Carbonática (s ≈ 8 MPa)

y = 4,6684x - 3,4803

R² = 0,9926

y = 0,1834x + 6,1619

R² = 0,7964

0

1

2

3

4

5

6

7

89

10

0 5 10 15 20


Deslocamento (mm)





53

Valores do cateto adjacente, medidos durante a realização do tilt teste

Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 5

1 190 189 190 187 192

2 188 189 189 190 191

3 187 187 191 189 189

4 187 187 190 189 187

5 187 188 189 189 191

6 188 187 188 187 191

7 188 187 190 189 189

8 188 189 191 188 188

9 189 189 189 188 18810 187 188 188 190 190

11 189 189 188 190 190

12 185 188 190 190 191

13 188 187 189 191 189

14 188 189 189 191 189

15 187 186 189 190 187

16 185 186 191 189 191

17 186 185 188 187 189

18 186 189 186 185 189

19 189 188 188 192 190

20 190 188 190 191 188

21 190 188 191 191 188

22 190 190 189 190 189

23 188 189 190 188 190

24 191 190 191 190 189

25 190 189 191 189 189

26 189 190 188 190 187

27 187 189 188 189 187

28 188 190 188 188 188

29 188 189 187 189 188

30 189 190 187 187 191

DIAMETRO 54,60 54,45 54,50 54,45 54,40

MEDIA 188,07 188,30 189,10 189,10 189,17

HIPOTENUSA 209,84

COS θ 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90

θ (rad) 0,46 0,46 0,45 0,45 0,45

θ 26,33 26,19 25,69 25,69 25,65

ROCHA ITABIRÍTICA



54

Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 51 190 187 188 191 189

2 188 188 190 192 189

3 189 187 188 190 189

4 192 190 190 192 192

5 193 191 190 193 191

6 191 191 189 192 191

7 190 193 191 195 193

8 194 190 189 193 190

9 193 191 195 192 191

10 190 192 196 192 193

11 188 193 195 193 188

12 188 194 195 192 191

13 191 194 194 192 193

14 190 194 193 190 191

15 188 194 191 191 192

16 187 191 189 191 192

17 189 192 195 192 192

18 189 192 191 191 191

19 189 191 190 191 19220 189 192 189 191 190

21 189 191 188 191 189

22 190 191 184 189 188

23 190 192 188 188 191

24 189 191 190 186 191

25 190 192 188 189 192

26 191 195 193 188 192

27 193 192 195 187 190

28 189 192 193 188 190

29 192 193 192 189 191

30 190 192 186 190 191

DIAMETRO 67,20 67,05 67,05 67,00 67,00

MEDIA 190,03 191,60 190,83 190,70 190,83

HIPOTENUSA 209,84

COS θ 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91

θ (rad) 0,44 0,42 0,43 0,43 0,43

θ 25,09 24,07 24,57 24,66 24,57

ROCHA CARBONÁTICA

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TCC - Felipe Leite