Upload
rafikwayne
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
EPSTAnnabaEPSTAnnaba Module: Analyse IIT.D..N�4/2012-2013
Intégrales Multiples
Exercice 1 Calculer les intégrale suivantes:1) I =
R R[�1;1]2
jx+ yj dxdy:
2) I =ZZD
x2y2 3p1� x3 � y3 oùD est dé�ni par: x > 0; y � 0 et x3+y3 � 1:
Exercice 2 Calculer les intégralesZZD
f (x; y) dxdy suivantes et tracer
la région D sur laquelle on intègre f:a) D = [1; 2]� [0; 2] et f (x; y) = yexyb) f (x; y) =
px2 + y2 etD =
�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 2y � 0; y � 0; x � 0 et x2 + y2 � 1 � 0
c) f (x; y) = (x� y)2 et D =
�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 1 et 0 � y � x
Exercice 3 Déterminer le centre de masse d�une demi ellipse pour y � 0.Exercice 4 Déterminer la valeur de l�intégrale donnée par: I =
ZZx�x2+y2�1
1(1+x2+y2)2
dxdy:
Exercice 5 Calculer le volume de l�intérieur de l�ellipsoïde d�équation:x2 + 1
2y2 + 3
4z2 + xz = 1:
Exercice 6 Donner les bornes d�intégration deRRRV
f (x; y; z) dxdydz; où
a) V est la région de l�espace limité par le (bi)-cône circulaire z2 = x2 + y2
et le paraboloïde z = x2 + y2:b) V est l�intersection de la boule centrée à l�origine et de rayon 2, et le
cylindre x2 + z2 = 1:
c) V est l�intérieur de l�ellépsoïde d�équationx2
9+y2
4+ z = 1 et au dessus
du plan 2z = 1:Exercices facultatifs:Exercice 1 Soit le domaineD =
�(x; y) 2 R2 : 1 < x <
p2; 0 < xy < 1; x2 + y2 > 2?????????
Calculer
ZZD
xy2dxdy:
Exercice 2 Pour n 2 N, on dé�nit les domaines Dn et Cn comme suit:Dn =
�(x; y) 2 R2=x2 + y2 � n2; x � 0 et y � 0
;
Cn =�(x; y) 2 R2=0 � x � n et 0 � y � n
1-Calculer Jn =
ZZDn
e�(x2+y2)dxdy et J2n =
ZZD2n
e�(x2+y2)dxdy:
2- Considérons les intégrales Kn =
ZZCn
e�(x2+y2)dxdy et In =
nZ0
e�x2
dx::
1
Montrer que Kn = (In)2:
3- Dessiner les domaines Dn, D2n et Cn , et expliquer pourquoi
Jn � Kn � J2n
4- Quelle est la limite de Kn quand n tend vers 1?
5- Evaluer l�intégrale I =
1Z0
e�xdx et en déduire celle de
1Z�1
e�xdx:
Exercice 3 Calculer I =ZZ
x2
a2+ y2
b2�1
�x2 � y2
�dxdy:
Exercice 4 Soient (p1; p2; q1; q2) 2 ]0;+1[4 tel que p1 < p2 et q1 < q2:Calculer l�aire du domaineD =
�(x; y) 2 R2=2p1x � y2 � 2p2x et 2q1y � x2 � 2q2y
:
2