PSI - 2011/2012 1

TD C3 - Correction

1 Équation de propagation du potentiel électromagnétique dans levide

1. La condition de jauge de Lorentz s'écrit :

div−→A + µ0ε0

∂V

∂t= 0

2. Déterminons tout d'abord l'équation di�érentielle véri�ée par le potentiel scalaire V dans levide :

0 =︸︷︷︸MG

div−→E =︸︷︷︸

def V

div

(−−−→gradV −

∂−→A

∂t

)=︸︷︷︸

div(−−→grad

)=∆

−∆V −∂(div

−→A)

∂t

En utilisant la condition de jauge de Lorentz, on obtient une équation de d'Alembert :

∆V − µ0ε0∂2V

∂t2= 0

avec la célérité :

c =1

√µ0ε0

3. Établissons maintenant l'équation di�érentielle véri�ée par le potentiel vecteur−→A dans le

vide :

−→rot(−→rot

−→A)

=︸︷︷︸def de

−→A

−→rot

−→B =︸︷︷︸

MA

µ0ε0∂−→E

∂t

En utilisant la formule d'analyse vectorielle :−→rot

−→rot =

−−→grad div −−→

∆ et la dé�nition de V :

−−→grad

(div

−→A)−−→

∆−→A = µ0

−→j − µ0ε0

[−−→grad

(∂V

∂t

)+

∂2−→A∂t2

]

En�n, en utilisant la jauge de Lorentz, on obtient encore la même équation de d'Alembert(vectorielle cette fois-ci) :

−→∆−→A − µ0ε0

∂2−→A∂t2

=−→0

2 TD C3 - Correction

3 Ondes électromagnétiques planes progressives

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4 Ondes sphériques

On considère une région de l'espace vide de charges et de courants située autour d'une source dechamp électromagnétique à symétrie sphérique. On cherche à déterminer l'expression générale desondes émises par la source dans la zone vide.

1. L'équation véri�ée par les composantes du champ électromagnétique est l'équation de D'Alem-bert, où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Par exemple pour la composante radialedu champ électrique :

∆Er −1

c2∂2Er

∂t2= 0

2. La source étant à géométrie sphérique, le champ créé est également à symétrie sphériqueautour d'un point O et est donc invariant par rotation de θ ou φ autour du point O. Onrecherche donc Er sous la forme Er(r, t).

3. En utilisant le formulaire d'analyse vectorielle, l'équation de D'Alembert devient :

1

r2∂

∂r

(r2

∂Er

∂r

)−

1

c2

(∂2Er

∂t2

)= 0

4. Recherchons une solution de cette équation sous la forme Er(r, t) =h(r, t)

r. L'équation précé-

dente devient :∂2h

∂r2−

1

c2∂2h

∂t2= 0

Ainsi, h est solution de l'équation de d'Alembert undimensionnelle résolue dans le premierchapitre sur les ondes, de sorte qu'on peut écrire directement que h est une superposition desdeux ondes suivantes :

h(r, t) = f(r − ct) + g(r + ct)

Finalement, on en déduit que :

Er(r, t) =f(r − ct)

r+

g(r + ct)

r

Remarque : On peut également injecter la solution proposée directement dans l'équation etvéri�er qu'elle convient.

5. À t = t0 �xé, le champ électrique radial est constant sur la surface dé�nie par r = cste, desorte que les surfaces d'onde sont sphériques, et l'onde est dite sphérique.

Le premier terme est progressif dans le sens de −→u r, alors que le second dans le sens de −−→u r,d'où la dénomination d'ondes sphériques progressives.

4 TD C3 - Correction

6 Ondes polarisées circulairement

1. L'onde tourne dans le sens horaire, car en x = 0 par exemple, la première fois que le champ

Ey s'annule, pour ωt =π

2, Ez < 0.

2. Avec−→E =

−→E 0e

i(kx−ωt), on en déduit que :

Re[−→E]= Re

[−→E 0

]cos(kx− ωt)− Im

[−→E 0

]sin(kx− ωt)

Cette expression s'identi�e donc au champ électrique si et seulement si :

−→E 0 = E0

−→uy − iE0−→uz

3. Pour une onde polarisée circulairement en sens inverse ayant la même amplitude, le champélectrique est dé�ni par :

E′x = 0; E′

y = E0 cos(kx− ωt); E′z = −E0 sin(kx− ωt)

L'expression de son amplitude complexe est alors donnée par :

−→E

′0 = E0

−→u y + iE0−→u z

7 Ondes polarisées

1. L'onde se propage suivant l'axe (Ox), et on en déduit que Ex = 0, donc :Ex = 0

Ey = E0y cos(ωt− kx)

Ez = E0z cos(ωt− kx)

avec :E0z

E0y= tan

(π

3

)=

√3.

2. L'onde se propage selon (Oy), on en déduit que Ey = 0.Ex = E0x cos(ωt− ky)

Ey = 0

Ez = E0z cos

(ωt− ky ±

π

2

)

Le grand axe est selon (Oz), on en déduit que E0z = 3E0x.

3. L'onde est polarisée linéairement selon (Oy) donc Ex = 0 et Ez = 0. La direction de propa-gation est dans le plan (zOx) à π/4.

Ex = 0

Ey = E0y cos

(ωt−

kx+ kz√2

)Ez = 0

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9 Ré�exion sur un métal réel

1. La loi d'Ohm locale−→j = γ

−→E n'est valable que si ω ≪ 1014 rad.s−1 environ. Dans un conduc-

teur ohmique, le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction (cf.chapitre B2).

D'autre part, en utilisant l'équation locale de conservation de la charge, la loi d'Ohm locale et l'équa-tion de Maxwell-Gauss, on peut établir l'équation di�érentielle véri�ée par la densité volumique decharge :

∂ρ

∂t+

γ

ε0ρ = 0

soit

ρ(M, t) = ρ(M, t0) exp

(− t− t0

τ

)avec τ =

ε0γ

≪ T =2π

ω

On pourra donc considérer que ρ = 0. Finalement, en suivant la démarche habituelle (suite pagesuivante)

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