TD DYNAMIQUE DU POINT TD DYNAMIQUE DU POINT

EXERCICE N°1 (!)

TSI 1 - TD Dynamique 1/8

2.

2.1.

2.2.

2.3.

3.1. Alice, assise sur sa chaise de bureau, exerce une force constanteF pour lancer une balle vers la droite. Quelle est la norme de F si la balle,de masse mballe, voit sa vitesse varier de Dvballe en Dt secondes?

(A)mballe Δvballe

Δ t(B) 1

2mballe Δvballe

Δ t

3.2. Si la masse d'Alice est MAlice, que vaut la norme de sa vitesse après qu'elle ait lancé laballe?

(A)mballeΔ vballe

M Alice(B)

mballe Δ vballe

mballe+M Alice

3.3. Si Alice pèse plus lourd que la balle, lequel de ces graphes représente les mouvementsd'Alice et de la balle?

EXERCICE N°2 (!)

Vil Coyote tend un piège à Bip-Bip: juché sur unpromontoire rocheux à une hauteur H au-dessus d'uneroute rectiligne horizontale, il attend sa proie, prêt à fairebasculer une enclume sur la tête de Bip-Bip.

L'enclume (assimilable à un point) commence sachute verticale sans vitesse initiale au moment où Bip-bip,qui se déplace à une vitesse V0 constante le long de laroute, se trouve à une distance d du point de chute. Onsuppose que les lois de la physique s'appliquent à l'universdes Looney Tunes.

Le piège imaginé par Vil Coyote a-t-il fonctionné?

Données: H = 30,0 m; taille de Bip-bip: h = 1,20 m; d = 50,0 m; masse de l'enclume:m = 20,0 kg; V0 = 110 km.h-1; g = 9,81 m.s-2.

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EXERCICE N°3 (!!)

Un avion humanitaire vole à une altitude h = 6000 m à la vitesse v0 = 750 km.h-1. Il laissetomber un colis de masse m de nourriture et de médicaments en passant à la verticale d'un point A.

1. Déterminer le temps nécessaire pour que le colis atteigne le sol.

2. Quelle est la distance parcourue par l'avion pendant ce temps?

3. A quelle distance du point A se trouve le colis quand il arrive sur le sol?

4. Que se passe-t-il si l'avion a initialement une trajectoire inclinée vers le bas d'un angleb = 10° par rapport à la verticale?

5. L'avion est initialement dans les mêmes conditions qu'à la question précédente. De quellehauteur aurait-on dû lâcher le colis pour qu'il tombe à une distance de moins de 100 m du point A?

EXERCICE N°4: Mesure d'un coefficient de frottement fluide (!!!)

Une bille en acier, de masse volumique ra = 7900 kg.m-3 et derayon R = 5,00 mm tombe dans de la glycérine de masse volumiquerg = 1260 kg.m-3. La bille est soumise à la poussée d'Archimède exercée par laglycérine. Tout se passe alors comme si, dans l'expression du poids, lamasse volumique de la bille était ra - rg au lieu de ra (la masse m'ainsi obtenue est appelée masse effective). De plus, la bille subit, lorsqu'elle possède la vitesse v , uneforce de frottement fluide f =−λ v avec λ=6πηR o ù h est uneconstante appelée viscosité de la glycérine. L'accélération de lapesanteur vaut g = 9,81 m.s-2.

1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse de la bille.

2. Exprimer la durée Dt du régime transitoire, ainsi que la vitesse limite v l atteinte par labille.

3. L'expérience est réalisée dans un tube vertical contenant de la glycérine. On lâche la billeà la surface du liquide, choisie comme référence des altitudes. Puis on mesure la durée Dt' = 1,6 smise pour passer de l'altitude z1 = 40 cm à z2 = 80 cm. En déduire l'expression puis la valeur de laviscosité h. Pourquoi ne pas avoir réalisé la mesure depuis la surface?

4. Que vaut numériquement Dt? Commenter.

5. Même si on peut résoudre analytiquement l'équation différentielle de la question 1, il estintéressant d'opter pour une résolution numérique à l'aide de la méthode d'Euler. On pourra alorsfacilement visualiser l'influence des différents paramètres de l'expérience: rayon de la bille, matériauconstitutif de la bille, hauteur de chute, milieu dans lequel la bille se déplace,... Cette méthode derésolution numérique permet en outre de comprendre l'influence des frottements: ils peuvent êtrelinéaires comme dans la situation traitée dans l'exercice (dans ce cas f =−λ v ) ou quadratiques

TSI 1 - TD Dynamique 3/8

(dans ce cas f =−λ ' v v et l'équation différentielle ne peut alors plus être résolue analytiquement).

5.1. A l'aide de la simulation disponible sur le site de la classe (ou ici:https://trinket.io/glowscript/ce9629ba27) , vérifier que les valeurs de la durée du régime transitoireet de la vitesse limite sont compatibles avec celles qu'on obtient par le calcul.

5.2. Simuler l'expérience pour une bille chutant dans différents milieux pour unemême hauteur de chute (1 m par exemple). Quel est le meilleur choix à faire si l'expérience a pourbut la mesure de la viscosité du milieu?

Milieu (à 20°C) Eau Huile de moteur10W30

Miel Goudron

Viscosité (kg.m-1.s-1) 1,005.10-3 0,17 5.103 2,3.1011

5.3. Examiner l'influence de la forme des frottements (linéaires ou quadratiques) surla vitesse limite atteinte et la durée du régime transitoire.

EXERCICE N°5 (!!)

Le 8 décembre 2009, Cristiano Ronaldo marque uncoup franc de 33 m face à Marseille. Le ballon passe au-dessus du mur (situé à 9,15 m du tireur) pour aller seretrouver dans la lucarne (sous la barre transversale du but,à 2,44 m de hauteur).

Evaluer la vitesse du ballon lors du tir de Ronaldo.

EXERCICE N°6: Descente à ski (!!)

Bob, assimilé à un point B, descend une piste de ski, selon la ligne de plus grande pentefaisant un angle a avec l'horizontale. L'air exerce une force de frottement supposée de la forme

F=−λ v , où l est une constante positive et v la vitesse du skieur.On note T et N les composantes tangentielle et normale de la réaction de la neige et f

le coefficient de frottement dynamique tel que ∥T∥=f ∥N∥ .On choisit comme origine de l'axe (Ox) de la ligne de plus grande pente la position initiale

du skieur, supposé partir à l'instant initial avec une vitesse négligeable. On note (Oy) la normale àla pente dirigée vers le haut.

1. Calculer les normes de T et N .

2. Déterminer la vitesse et la position du skieur à chaque instant.

3. Montrer que Bob atteint une vitesse limite vlim

. Application numérique: l = 1,0 kg.s-1;

m = 80 kg, a = 45°, f = 0,90 et g = 9,81 m.s-2.

TSI 1 - TD Dynamique 4/8

4. Déterminer la date t1 où Bob a une vitesse égale à v lim

2.

5. A la date t1, Bob tombe. On néglige alors la résistance de l'air et on considère que lecoefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10. Déterminer la distance parcourue par Bob,dans cette position peu glorieuse, avant de s'arrêter.

EXERCICE N°7 (!!!)

Une boule de flipper en acier de masse m,initialement placée dans son logement cylindriquefixé sur le plateau du flipper, repose contrel'embout d'un ressort (supposé idéal) de raideur kdont l'autre extrémité est fixée, en O, au fond dulogement. Le joueur comprime alors le ressort aumaximum et le relâche à l'instant t = 0.

Le plateau du flipper est incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale. La longueur à videdu ressort est L0; elle vaut Lr lorsque la boule est au repos contre l'embout du ressort et diminuejusqu'à Lc quand le ressort est comprimé au maximum.

On néglige les frottements entre la boule et le plateau du flipper.

1. Déterminer la valeur maximale Lcmax de Lc permettant à la boule de flipper de quitterl'embout du ressort.

2. Dans les conditions précédentes, déterminer la distance maximale que la boule de flipperpeut parcourir sur le plateau avant de redescendre.

EXERCICE N°8 (!!!)

Un enfant esquimau joue sur le toit de son igloo. L'enfant se laisseglisser depuis le sommet S de l'igloo, qui a la forme d'une demi-sphère derayon r et de centre O. La position de l'enfant, assimilé à un pointmatériel M de masse m, est repérée par l'angle θ=(Oz ,OM ) , (Oz)étant la verticale ascendante.

L'enfant décolle-t-il? Si oui, pour quel angle?

Indication: une équation de la forme θ=Asin (θ) s'intègre assez facilement aprèsmultiplication par θ , en n'oubliant pas la constante d'intégration. En déduire une relation entre

θ(t ) et θ(t ) .

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EXERCICE N°9: Pendule simple (!!)

Un pendule simple est constitué d'un point matériel M, de masse m, lié à l'extrémité d'unetige rigide de diamètre négligeable et de longueur L, l'autre extrémité étant fixe en un point O. Onsuppose que le mouvement a lieu dans le plan vertical (xOy), et on repère la position de M parl'angle θ=(Ox ,OM ) . On néglige tout frottement avec l'air environnant. On pourra visualiser lasituation à l'aide de la simulation disponible sur le site de la classe (ou ici:https://trinket.io/glowscript/b7489091bf ).

1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'angle q.

2. En déduire l'équation, appelée intégrale première du mouvement: θ2−2gL

cos(θ)=cste .

De quoi dépend la constante?

3. Le portrait de phase est constitué de courbes ayant l'équation précédente, pourdifférentes valeurs de la constante. Son allure est, avec q en radians et θ en rad.s-1:

3.1. A quel type de mouvement correspond la courbe (1)? la courbe (2)?

3.2. Considérons l'ellipse (3), correspondant à un mouvement d'oscillateurharmonique. Déterminer les expression de q(t) et θ(t ) dans ce cas. A partir de la lecture dugraphe, déterminer la longueur L du pendule.

3.3. On suppose maintenant qu'on lance le pendule, depuis la position θ = 0, avecune vitesse horizontale v = 9,0 m.s-1. Déterminer son type de mouvement d'après le graphe.

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EXERCICE N°10: Régime forcé en mécanique (d'après Centrale TSI 2012) (!!!)

Les astronautes des missions Apollo XV et suivantes ont utilisé pour leurs déplacements unvéhicule spécialement adapté: le rover lunaire. Ce véhicule est sommairement modélisé par unparallélépipède de masse mR, de centre de gravité G, reposant sur une roue de centre O de massenégligeable. Le vecteur OG reste toujours vertical.

Les positions du centre de gravité et du centre de la roue par rapport à la position de repossont notées respectivement z (t )=zG (t ) et z O(t) . Le véhicule est relié à la roue par unesuspension modélisée par un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 et un amortisseur fluide de

coefficient d'amortissement b. La force exercée sur la masse mR est donnée par

F f=−β (dzdt

−dz 0

dt ) uz .

1. Préciser l'allongement Dl du ressort au repos.

Le sol lunaire, accidenté, est tel que z O(t)=Acos (ωt ) . On considère que la roue du roverreste constamment en contact avec le sol.

2. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que z(t) vérifiel'équation différentielle

z+ω1 z+ω02z= f (t)

en précisant les expressions de w0, w1 et de la fonction f(t) en fonction des données.

3. Montrer que l'amplitude complexe du mouvement du point G en régime forcé est telleque

H = zzO

=

1+ jωω1

ω02

1+ jωω1

ω02

−ω2

ω02

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4. Montrer que pour k suffisamment faible, H se réduit à la fonction de transfert d'un filtrepasse-bas du premier ordre dont on exprimera la pulsation de coupure wc en fonction de b et mR.

5. Le sol lunaire accidenté est modélisé par une surface ondulée de période spatiale l, de

telle sorte que z O(x )=Acos(2πxλ ) . Le rover se déplace sur cette surface suivant la loi

x O(t)=v×t o ù v est une constante. Montrer que zO(t) est bien la fonction sinusoïdalez O(t)=Acos (ωt ) proposée précédemment. Relier w, l et v.

6. Dans les conditions de la question 4, l'amplitude du mouvement vertical de G doit êtrelimitée à environ le dixième de celle de O, pour v = 14 km.h-1, l = 1 m et mR = 700 kg.

6.1. Proposer une valeur pour b.6.2. Proposer une valeur pour k. A quoi sert le ressort?6.3. Quel serait le comportement de ce véhicule sur un terrain de même nature, à la

surface de la Terre?

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