F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique, TD Logique Booléenne 1

TD1

Logique booléenne

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique TD Logique Booléenne 2

Vérifier les propriétés suivantes de la fonction OU :● (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C Associativité● A + B = B + A Commutativité● A + A = A Idempotence● A + 0 = A Elément neutre● A + 1 = 1 Absorption

● on va utiliser la table de vérité de la fonction OU

A B A+B0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique TD Logique Booléenne 3

● associativité

A B C A+B B+C (A+B)+C A+(B+C) A+B+C

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique TD Logique Booléenne 4

● associativité

A B C A+B B+C (A+B)+C A+(B+C) A+B+C

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique TD Logique Booléenne 5

● associativité

A B C A+B B+C (A+B)+C A+(B+C) A+B+C

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

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● commutativité

● élément neutre

● élément absorbant

A B A+B B+A

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

A B A+0

0 0 0

1 0 1

A B A+1

0 1 1

1 1 1

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distributivité (1)● A . (B+C) = A.B + A.C

A B C B+C A.(B+C) A.B A.C A.B+A.C

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique TD Logique Booléenne 8

distributivité (1)● A . (B+C) = A.B + A.C

A B C B+C A.(B+C) A.B A.C A.B+A.C

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

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distributivité (2)● A+(B.C) = (A+B).(A+C)

A B C B.C A+(B.C) A+B A+C (A+B).(A+C)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

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distributivité (2)● A+(B.C) = (A+B).(A+C)

A B C B.C A+(B.C) A+B A+C (A+B).(A+C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

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relations d'absorbtionA + A.B = A

A + A.B = A.1 + A.B

= A.(1+B)

= A.1

= A

A.(A+B) = A

= A+A.B

A.(A+B) = A.A+A.B

= A

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relations diverses

A + (A .B) = A+B

= 1.(A+B)

A + (A .B) = (A+A).(A+B)

= A+B

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OU exclusif

A⊕B = A .B+A .BA B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A ⊕B

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OU exclusif

A ⊕B

(A+B).A .B = (A+B).(A+B)

= A .A+A .B+B .A+B .B

= 0+A .B+A .B+0= A .B+A .B

= A⊕B

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OU exclusif (2)

(A.B)+(A .B) = A.B .A .B= (A+B).(A+B)

= A .B+A .B

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OU exclusif (3)

A⊕B = A⊕B = A⊕B

A⊕B = A .B+A .B

= A .B .A.B

= (A+B).(A+B)

= A.B+A .B= A⊕B = A⊕B

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fonction logique réalisée ?

S1

S2

S3

S1 = A.B

S2 = A. A.B

S3 = B.A.B

X = S2 .S3= A. A.B .B. A.B

= A.A.B+B. A.B

= (A+B).A.B

= A⊕B

18F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique, Réseaux et Multimédias TD Logique Booléenne

calcul algébrique

A.C+B.C+A.B = A.C+B.C

A+B = A+A .B A+C = A.C+C

A.C+B.C+A.B = A.C+B.(C+A)

= A.C+B.(C+A.C)

= A.C(1+B)+B.C

= A.C+B.C

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique, TD Logique Booléenne 19

xyzt 00 01 11 10

00

01

11

10

simplification d'une fonction (1)x y z t f

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique, TD Logique Booléenne 20

xyzt 00 01 11 10

00 0 0 0 001 0 1 1 011 0 0 0 010 1 1 1 1

simplification d'une fonction (1)

f = y. z . t +z . tx y z t

f

x y z t f

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

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simplification d'une fonction (2)x y z t f

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

xyzt 00 01 11 10

00 1 0 0 101 0 1 1 011 0 1 1 010 1 0 0 1

f = y.t+ y . tx y z t

f

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simplification d'une fonction (3)x y z t f

0 0 0 0 1

0 0 0 1 X

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 X

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 X

xyzt 00 01 11 10

00 1 0 0 1

01 X 1 1 1

11 0 0 X 1

10 1 X 0 1

f = x. y + z . t+ y . tx y z t

f

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique, TD Logique Booléenne 23

Réponse temporelle d'un circuitA

B

C

Y

Y = A .B+B.C

ABC 00 01 11 10

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

F. Touchard Polytech Marseille Département d'Informatique, TD Logique Booléenne 24

Réponse temporelle d'un circuit

Y

n1

n2

A=0

B

C=1

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Réponse temporelle d'un circuit

A=0

B = 1 -> 0

C=1

Y = 1

n1 0 -> 1

n21 -> 0

B

n2

n1

Y

Glitch

chemin court

chemin critiqueY = 1 -> 0 -> 1

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Réponse temporelle d'un circuit

ABC 00 01 11 10

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

● mise en évidence du glitch

– passage de ABC=001 à ABC=011● pour éviter le glitch

ABC 00 01 11 10

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

Y = A .B+B.C+A .C

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Réponse temporelle d'un circuit

A

B

C

Y

● la porte supplémentaire maintient Y à 1 pendant la transition de B de 1 à 0 pendant que A=0 et C=1