TD1: Dualit e onde-mati ere, amplitudes et interf erence 1 ...perso.ens-lyon.fr/tommaso.roscilde/Fascicule-MecaQ-2014-15.pdf · TD1: Dualit e onde-mati ere, amplitudes et interf erence

Ecole Normale Superieure de Lyon Universite de LyonLicence de Physique, Parcours Sciences de la Matiere, A. A. 2014-2015

Premiere exploration du monde quantique

TD1: Dualite onde-matiere, amplitudes et interference

1 Double fente avec detecteurs

On reprend l’experience de la diffusion d’electrons par la double fente, avec deux modifica-tions importantes.

1.1 Detecteurs imparfaits aux deux fentes

On imagine que pres des deux fentes on place deux detecteurs, qui sont capables de detecterle passage de l’electron par la fente 1 ou 2. On imagine que les electrons passent un parun par les deux fentes, et que les deux detecteurs sont capables de detecter le passage dela particule avec une probabilite f < 1. On fait l’hypothese simplificatrice que les deuxdetecteurs ont des efficacites parfaitement correlees, c’est-a-dire soit ils sont tous les deuxactifs, soit aucun des deux ne l’est (pour prendre un exemple concret, on peut imaginer queles deux detecteurs sont parfaits, mais qu’ils sont allumes au hasard avec une probabilitef).

|s|1

|2

|x

source

écran

détecteur

détecteur

1.1.1

Ecrire l’amplitude et la probabilite correspondante que l’electron soit detecte en |x〉 quandla detection de la fente par la quelle il est passe a eu lieu (Utiliser les symboles |s〉, |1〉, |2〉,etc...: par exemple, l’amplitude d’aller de la source s a la fente 1 s’ecrit comme 〈1|s〉).

1.1.2

Ecrire l’amplitude et la probabilite correspondante que l’electron soit detecte en |x〉 quandaucun detecteur ne s’est declenche.

1

1.1.3

En deduire la probabilite de detection de l’electron en |x〉 quel que soit l’etat des detecteurs.De combien est-ce que le contraste des franges d’interference a ete attenue par rapport aucas sans detecteurs?

1.2 Photo-detecteurs aux deux fentes avec “cross-talk”

Maintenant on essaie de modeliser le processus de detection plus en detail. On imaginede placer une source de photons derriere la paroi centrale de la double fente; les photonsissus de cette source subissent une diffusion Compton par les electrons qui traversent ladouble fente, et sont ensuite captes par un des photo-detecteurs D1 ou D2. On imagine iciavoir des detecteurs parfaits, avec une efficacite de 100%. Les photons etant des particulesquantiques, il faut aussi tenir compte de leur etat final dans le calcul des amplitudes. Enparticulier, on indique par aij , (i, j = 1, 2) l’amplitude qu’un photon, diffuse par un electronqui passe par la fente i, soit detecte dans le detecteur Dj . Ceci signifie qu’on envisage aussile processus ou un photon diffuse par la fente 1 est capte par D2, et vice-versa.

|s|1

|2

|x

source

écran

γ

γ

photo-détecteur

D1

D2

1.2.1

Ecrire l’amplitude de probabilite A(x,D1) que l’electron soit detecte en |x〉 et le photon enD1, puis l’amplitude A(x,D2) que l’electron soit detecte en |x〉 et le photon en D2.

1.2.2

Ecrire la probabilite P (x) que l’electron soit capte en |x〉 independamment de l’etat finaldu photon. Pourquoi est-ce que P (x) 6= |A(x,D1) + A(x,D2)|2 ? Soit a11 = a22 = a eta12 = a21 = b, avec |a|2 + |b|2 = 1 (justifier). Pour quelles conditions sur a et b est-ce qu’onobtient l’interference maximale et l’interference minimale dans l’expression de P (x)?

2 Effet photoelectrique.

L’energie maximale des electrons ejectes d’une photocathode par une radiation de longueurd’onde λ = 253.7 nm (respectivement 589.0 nm) est 3.14 eV (respectivement 0.36 eV).En deduire :1) La valeur de la constante de Planck.

2

2) L’energie minimale d’extraction des electrons.3) La longueur d’onde maximale produisant un effet photoelectrique sur cette photocathode.

3 Diffusion d’electron par un cristal: experience de Davisson-Germer (1927-28)

La premiere mise en evidence de la nature ondulatoire de la matiere (notamment deselectrons) et due a Davisson et Germer, qui montrerent que les electrons sont diffuses parun cristal comme la lumiere est diffusee par un reseau de diffraction. L’experience confirmaquantitativement la theorie de Louis de Broglie pour la premiere fois, ce qui lui permitd’obtenir le prix Nobel en 1929.

θ

d

cannonà electrons

détecteur

Ve−

e−

e−e−

θ

d

cannonà electrons

détecteur

Ve−

e−

e−e−a)b)

PHYSICS: DA VISSON AND GERMER

REFLECTION AND REFRACTION OF ELECTRONS BY ACRYSTAL OF NICKEL

By C. J. DAVISSON AND L. H. GRMRBuLL TELEPHONE LAoBRAToRIEs

Read before the Academy April 23, 1928

In the April number of these PROC1SZDINGS' we reported certain pre-liminary results obtained in experiments in which a homogeneous beam ofelectrons was directed against a 1111 -face of a nickel crystal at variousangles of incidence, and in which observations were made on the intensityof scattering in the plane of incidence as a function of bombarding po-tential and direction. We had found that the incident beam of electronsis regularly but selectively reflected from the crystal face. At a givenangle of incidence the reflected beam is observed whenever the speed of;theincident electrons is comprised within any of certain ranges, and withineach of these ranges the intensity of the beam is characterized by a sharplydefined maximum. The phenomenon was interpreted as the wave me-chanics analogue of the regular selective reflection of monochromatic x-rays from a crystal face.

.23L

02 4 6 io I Ai4 1 22 242

viFIGURE 1

Variation of the intensity of the regularly reflected electronbeam with bombarding potential, for 100 incidence-In-tensity vs. V1/2

In the x-ray phenomenon the intensity of the reflected beam is a maxi-mum when the wave-length of the incident beam satisfies the Bragg for-mula, when, that is, the wave-length has any one of the values, X = (2d/n)cos 0, where d represents the distance between adjacent planes of atomslying parallel to the surface of the crystal, 0 the angle of incidence, and nany positive integer. A complete analogy between the phenomena of elec-tron reflection and x-ray reflection would require that the Bragg formulashould hold also in the case of electrons. This condition, however, is notsatisfied; the wave-lengths at which the beam of reflected electrons at-tains its intensity maxima are not given by X = (2d/n) cos 0.

This failure to conform to the Bragg law is illustrated in figure 1, which isfigure 3 of our previous note (loc. cit.). Observations on the intensity of thereflected beam for angle of incidence 10 degrees are plotted in this figure

619VOL. 14, 1928

c)

Comme montre dans la figure (panneau a), dans l’experience de Davisson et Germer unfaisceau d’electrons est accelere par une difference de potentiel V et collimate vers uncristal de Nickel. Les electrons sont diffuses par les atomes sur la surface du cristal, avec unpas cristallin d, comme indique dans la figure, et captes par un detecteur place a un angled’emergence θ.

3.1

Soit p l’impulsion avec laquelle les electrons arrive sur la surface du cristal. Exprimer pen terme de la longueur d’onde de de Broglie. Quelle condition doit satisfaire p pour quel’onde electronique diffusee par deux atomes voisins sur la surface presente une interferenceconstructive en arrivant au detecteur?

3.2

Le pas cristallin du Ni est d = 2.15 A. Dans l’experience de Davisson et Germer de 1927V= 54 V, qui donne aux electrons une energie cinetique eV (e = 1.6 ∗ 10−19 C). Calculerl’impulsion correspondante (sachant que la masse de l’electron vaut m = 9.1 ∗ 10−31 Kg)et la longueur d’onde de de Broglie. Est-elle comparable avec d? Davisson et Germer

3

trouverent un pic de diffraction a un angle θ = 50o, comme montre dans la figure (panneaub). Verifier que ce pic correspond au premier ordre de diffraction (n = 1). A quel angleauraient-ils trouve le deuxieme pic de diffraction?

3.3

Dans une deuxieme experience en 1928 Davisson et Germer mesurerent la variation del’intensite du faisceau electronique diffuse a un angle donne θ en fonction du voltageV , comme indique dans la figure (panneau c). Expliquer qualitativement la dependenceperiodique de cette intensite en V 1/2. Quelle devrait etre la periode?

4



TD2: Polarisation, spin, et operateurs hermitiques

1 Interferometre de Mach-Zender, experience “which-path”,et “quantum eraser”

Un interferometre de Mach-Zender est compose d’un separateur de faisceau (beam splitter,BS) qui separe un faisceau entrant dans le bras |A〉 en deux faisceaux de meme intensite,diriges sur les deux bras de l’interferometre, |B1〉 et |B2〉. Les deux faisceaux sont ramenessur un deuxieme BS, qui en recombine une partie. Par rapport a l’interferometre MZtraditionnel on ajoute aussi un polariseur horizontal (H) qui selectionne la polarisationH avant que les photons arrivent sur l’ecran de detection. On indique par |X〉|ψ〉 l’etatconjoint de “position” des photons (X) et de polarisation (ψ). L’amplitude du passageentre un etat |X〉|ψ〉 et un etat |X ′〉|ψ′〉 peut etre decomposee en amplitude de passagepour la partie spatiale et pour la partie de polarisation des photons, c’est-a-dire A(X,ψ →X ′, ψ′) = 〈X ′|X〉〈ψ′|ψ〉.

écranBS

BS|A|ψ|B1|ψ

|B2|ψ

|x|H

polariseur H

1.1 Interference dans le MZ standard

Soit |ψ〉 = α|H〉+ β|V 〉 (α, β ∈ C, |α|2 + |β|2 = 1). Ecrire l’amplitude A1 de detection d’unphoton en |x〉|H〉 passant par le bras |B1〉 de l’interferometre, puis l’amplitude A2 associeeau passage par le bras |B2〉. En deduire la probabilite P (x,H) de detection d’un photon en|x〉|H〉. Montrer qu’elle contient un terme d’interference.

1.2 MZ modifie et controle de la figure d’interference

Maintenant on considere un interferometre de Mach-Zender modifie, ou le premier BS de-vient un separateur-polariseur (polarizing beam splitter, PBS), qui est transparent pour lapolarisation |H〉 et completement reflechissant pour la polarisation |V 〉. Donc les deux brasde l’interferometre sont maintenant distingues par leur etat de polarisation. Par contre onimagine que le polariseur devant l’ecran de detection puisse filtrer une polarisation arbitraire|ψ′〉.

5

écranBS

PBS|A|ψ

polariseur

|B1|H

|B2|V |x|ψ

ψ

1.2.1

Soit |ψ′〉 = |H〉 ou |ψ′〉 = |V 〉. A l’aide du calcul precedent, montrer que la figured’interference a ete detruite par l’introduction du PBS.

1.2.2

Soit maintenant |ψ′〉 = a|H〉 + b|V 〉 (a, b ∈ C, |a|2 + |b|2 = 1). Montrer que la figured’interference peut reapparaıtre; pour quels valeurs de a et b sa visibilite est-elle maximale?[Cet exemple montre que le polariseur peut “effacer” l’information additionnelle donneepar l’introduction du PBS - il se comporte donc comme un “effaceur quantique” (quantumeraser)].

2 Experience de Stern-Gerlach avec orientation arbitraire dugradient de champ magnetique

On considere un faisceau d’electrons dont les spins sont tous dans l’etat | ↑z〉 polarise suivantl’axe z. On fait passer ce faisceau par un appareil de Stern-Gerlach dans lequel le gradientde champ magnetique est applique suivant une direction arbitraire n (SGn).

| ↑z

| ↑n

| ↓n

Initialement on imagine qu’un spin polarise suivant la direction n positive est dans un etat| ↑n〉 ∼ α| ↑z〉+ β| ↑x〉, avec α, β ∈ C.

2.1

Ecrire la forme normalisee de | ↑n〉, et trouver l’etat | ↓n〉 qui lui est ortogonal, 〈↓n | ↑n〉 = 0;

6

2.2

Donner la fraction F (↑n) du faisceau d’electrons qui est recoltee dans l’etat de spin | ↑n〉apres avoir traverse l’appareil SGn.

Maintenant on prend le cas le plus general possible, dans lequel n = (cosφ sin θ, sinφ sin θ, cos θ),ou les angles θ, φ sont associes a un referentiel dont l’axe z est l’axe de polarisation initialdes spins des electrons avant de traverser l’appareil SGn.On verra plus tard dans le cours que les etats de spin polarises le long de n s’ecrivent comme

| ↑n〉 = cos(θ/2) | ↑z〉+ sin(θ/2)eiφ | ↓2〉| ↓n〉 = − sin(θ/2)e−iφ | ↑z〉+ cos(θ/2) | ↓2〉 (1)

2.3

Justifier avec un argument simple pourquoi le nombre d’electrons dans chaque faisceau(avec spin | ↑n〉 et | ↓n〉 respectivement) qui sort du SGn ne peut pas dependre de l’angleφ. Ensuite calculer les fractions F (↑n) et F (↓n).

Maintenant on revient a l’analogie entre etats de spin et etats de polarisation en choisissant| ↑n〉 → |H〉 et | ↓n〉 → |V 〉. Donc le SGn agit comme un separateur-polariseur.

2.4

Justifier pourquoi l’etat | ↑z〉 correspond a une polarisation elliptique:

| ↑z〉 → cos(θ/2)|H〉 − eiφ sin(θ/2)|V 〉 . (2)

2.5

Ecrire les composantes du champ electrique E(t) = (Ex(t), Ey(t)) (avec module |E|2 = E0),et justifier que Ex(t) ≤ E0 cos(θ/2) et Ey(t) ≤ E0 sin(θ/2). Le champ E(t) decrit uneellipse dont le grand axe fait avec les axes de coordonnes un angle controle par l’angle φ.Justifier geometriquement que le module du champ qui sort par exemple de la branche Hdu separateur-polariseur ne depend pas de φ, en utilisant le fait que le champ est donne parla projection de l’ellipse sur l’axe x (= H).

3 Questions variees sur les operateurs hermitiques

3.1 Valeurs propres

On suppose que |i〉 et |j〉 sont des kets propres d’un operateur hermitique A. A quellecondition peut-on conclure que |i〉+ |j〉 est aussi un ket propre de A ?

3.2 Projecteurs

3.2.1

Montrer qu’un projecteur Pa = |a〉〈a| est un operateur hermitique. (|a〉 est un ket norme).

3.2.2

Montrer que P 2a = Pa.

7

3.2.3

On considere un ket quelconque |b〉. Montrer que Pa|b〉 est un vecteur propre de Pa etdeterminer la valeur propre correspondante.

3.2.4

Trouver les valeurs propres de Pa.

3.3 Operateur de spin 1/2

L’operateur hermitique A d’un systeme a deux etats est donne par :

A = | ↑ 〉〈 ↑ | − | ↓ 〉〈 ↓ |+ | ↑ 〉〈 ↓ |+ | ↓ 〉〈 ↑ |ou | ↑ 〉 et | ↓ 〉 sont les vecteurs propres de Sz.

Ecrire A en termes des operateurs Sx, Sy et Sz. Trouver les valeurs propres de cet operateuret les kets propres correspondants. On utilisera une representation de l’espace des etats pourfaire le calcul.

8



TD3: Operateurs, valeurs moyennes et mesure

1 Sphere de Bloch pour le spin S = 1/2

Considerons un etat arbitraire normalise d’un spin S = 1/2, qui admet la forme generale (aun terme de phase globale pres):

|ψ〉 = cos(θ/2) | ↑z〉 + sin(θ/2) eiφ | ↓z〉 . (1)

1.1

Calculer les valeurs moyennes 〈Sα〉 = 〈ψ|Sα|ψ〉 pour α = x, y, z, et montrer que 〈S〉 est unvecteur de module ~/2 dont la direction est donnee par les angles (θ, φ) (polaire et azimuthalrespectivement).

1.2

Sur la sphere definie par toutes les directions de 〈S〉 (dite sphere de Bloch) localiser lesetats propres de Sx, Sy et Sz.

2 Systeme a trois etats

On considere un systeme physique dont l’espace des etats a 3 dimensions est rapporte a unebase ( |φ1〉, |φ2〉, |φ3〉 ). Dans cette base, deux operateurs, A et B, sont representes par :

A = a

1 0 00 2 00 0 2

B = b

1 0 00 0 10 1 0

ou a et b sont des constantes positives.

2.1

A et B sont-ils hermitiques ? Commutent-ils ?

2.2

Le systeme physique est a l’instant t = 0 dans l’etat :

|ψ〉 =1√2|φ1〉+

1

2|φ2〉+

1

2|φ3〉

On mesure A a cet instant. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilites ?Calculer 〈A〉 et l’ecart quadratique moyen ∆A.

9

2.3

Le systeme etant toujours dans l’etat |ψ〉, on mesure B. Quelle est la valeur de 〈B〉 ? Quelsresultats peut-on trouver et avec quelles probabilites ? Quel est le ket d’etat du systemeimmediatement apres la mesure ?

2.4

On mesure A et on trouve 2a, puis on mesure B et on trouve b. Quel est l’etat du systemeapres ces deux mesures ? On mesure a nouveau A. Combien trouve-t-on ?

3 Molecule de benzene

Une molecule est formee de 6 atomes A1, A2, ..., A6 formant un hexagone regulier. Onconsidere un electron qui peut etre localise sur le nieme atome (n = 1, 2, ..., 6). L’etatcorrespondant est alors note |φn〉. On se limitera pour les etats de l’electron a l’espaceengendre par les |φn〉, qui sont supposes orthonormes.

3.1

On definit l’operateur R par les relations :

R|φ1〉 = |φ2〉 R|φ2〉 = |φ3〉 ... R|φ6〉 = |φ1〉Est-ce que R est hermitique? Trouver les valeurs propres et les etats propres de R. Montrerque les vecteurs propres de R forment une base orthonormee de l’espace des etats.

3.2

On considere maintenant l’operateur W qui fait sauter l’electron d’un atome a l’autre:

W (|φ1〉) = −a|φ6〉 − a|φ2〉W (|φ2〉) = −a|φ1〉 − a|φ3〉

...

W (|φ6〉) = −a|φ5〉 − a|φ1〉

ou a est nombre reel – on apprendra dans la suite du cours que W est lie physiquement al’energie cinetique de l’electron. Montrer que R commute avec W , et que W = −a(R+ R†).En deduire les etats propres et les valeurs propres de W . Dans les etats propres, l’electronest-il localise sur un site?

4 Theoreme de Hellmann-Feynman

Considerons un operateur H(λ) dependant d’un parametre reel λ. Soit |Ψ(λ)〉 un vecteurpropre norme de H(λ) :

H(λ)|Ψ(λ)〉 = E(λ)|Ψ(λ)〉〈Ψ(λ)|Ψ(λ)〉 = 1.

Demontrer qued

dλE(λ) = 〈Ψ(λ)| d

dλH(λ)|Ψ(λ)〉.

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TD4: Principe(s) d’indetermination de Heisenberg, evolutiontemporelle

1 Principe d’indetermination de Heisenberg pour deux ope-rateurs non commutants

Soient A et B deux operateurs hermitiques qui ne commutent pas, [A, B] 6= 0, et soit |ψ〉un etat arbitraire norme de l’espace d’Hilbert. On definit les operateurs:

δA = A− 〈A〉ψ δB = B − 〈B〉ψ (1)

ou 〈...〉ψ = 〈ψ|...|ψ〉.

1.1

Montrer que (∆ψA)2 = 〈(δA)2〉ψ, ou on a defini (∆ψA)2 = 〈A2〉ψ−〈A〉2ψ. Utiliser l’inegalitede Cauchy-Schwarz pour montrer que

(∆ψA)2(∆ψB)2 ≥ |〈ψ| δA δB |ψ〉|2 (2)

1.2

En introduisant l’anticommutateur A, B = AB + BA, montrer que

δA δB =1

2

([δA, δB] + δA, δB

). (3)

Justifier que [δA, δB] est un operateur anti-hermitique (tel que C† = −C), et δA, δB estun operateur hermitique. Justifier que si C est hermitique, 〈C〉ψ est un nombre reel, et que

si C est anti-hermitique, 〈C〉ψ est un nombre imaginaire pur.

1.3

Conclure avec le principe d’indetermination d’Heisenberg pour deux operateurs non com-mutants:

(∆ψA)(∆ψB) ≥ 1

2|〈[A, B]〉ψ| (4)

2 Theoreme de Ehrenfest et principe d’indetermination deHeisenberg temps-energie

Soit H le Hamiltonien de notre systeme, A un operateur hermitique (dont la definition peutdependre du temps), et |ψ(t)〉 l’etat evolue de notre systeme, qui satisfait l’equation deSchrodinger.

11

2.1

Demontrer le theoreme de Ehrenfest:

i~d

dt〈A〉ψ(t) = 〈[A, H]〉ψ(t) + i~

⟨∂A

∂t

⟩

ψ(t)

(5)

2.2

Pour la suite on imagine que la definition de A ne depend pas du temps. Si [A, H] 6= 0ecrire le principe d’indetermination d’Heisenberg entre A et H a l’instant t. En deduire leprincipe d’indetermination energie-temps:

(∆ψ(t)H) τψ(A) ≥ ~2

(6)

ou

τψ(A) = (∆ψ(t)A)

∣∣∣∣d

dt〈A〉ψ(t)

∣∣∣∣−1

(7)

Justifier que le temps τψ(A) est le temps caracteristique dans lequel la position de la moyennede A se decale d’un intervalle comparable a la largeur de la distribution des valeurs possiblesde A.

2.3

Considerons un noyau instable qui se desintegre par emission d’un proton. Si le temps dedesintegration est τ = 1 µs, quelle est l’incertitude sur l’energie du proton emis?

3 Oscillations de Rabi libres et effet Zenon quantique

Considerons un spin sujet a un champ selon x

H = −ω1Sx (8)

Soit |ψ(t = 0)〉 = | ↑z〉 l’etat initial de l’evolution du systeme.

3.1

Calculer les probabilites (en fonction du temps) de trouver le spin dans un des etats suivants:P (↑z), P (↓z), P (↑x), P (↓x), P (↑y), P (↓y).

3.2

Calculer le vecteur de Bloch en fonction du temps 〈S〉ψ(t), et montrer qu’il decrit desrotations autour de l’axe x.

3.3

On imagine maintenant que l’on mesure regulierement la composante z du spin avec unintervalle de temps τ entre une mesure et la suivante. Donc on peut mesurer aux instants t =0, τ, 2τ etc. Quelle est la probabilite que pendant n mesures successives le spin reste fige dansl’etat | ↑z〉 (effet Zenon quantique)? Montrer que cette probabilite decroıt exponentiellementavec le temps, et que, pour x = τω1 1 le temps caracteristique de “fuite” de l’etat initialest T ≈ 4τ/x2. Justifier sa dependance en ω1 et τ .

12

3.4

Revenons maintenant au probleme sans mesure. A l’instant t0 le champ magnetique estrenverse. Que se passe-t-il pour ce qui concerne l’evolution?

3.5

Question facultative. On considere maintenant un champ magnetique suivant une direc-tion arbitraire

n = (cosφ sin θ, sinφ sin θ, cos θ)

c’est a dire un Hamiltonien H = −ω1Sn. Dans le cas φ = 0, calculer |ψ(t)〉 et 〈S〉ψ(t).

(Suggestion: utiliser le fait que | ↑n〉 = cos(θ/2)| ↑z〉+ sin(θ/2)eiφ| ↓z〉, et en deduire | ↓n〉).

13



TD5: Evolution temporelle: RMN, fontaine atomique

1 Oscillations de Rabi forcees hors resonance

On reprend le probleme d’un spin nucleaire immerge dans un champ magnetique statiquesuivant z et un champ magnetique tournant a la frequence ω dans le plan x et y (schema dela resonance magnetique nucleaire, RMN). Le Hamiltonien du systeme dans le referentieldu laboratoire a la forme:

H(t) = −ω0Sz − ω1

2

(eiωtS+ + e−iωtS−

)(1)

Le Hamiltonien dans un referentiel tournant a la frequence de rotation ω autour de l’axe zest donne par

H = δSz − ω1Sx (2)

ou δ = ω−ω0 est le desaccord par rapport a la resonance; l’etat dans le referentiel tournantevolue avec le Hamiltonien H

i~d

dt|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 (3)

et il est lie a l’etat evolue dans le referentiel du laboratoire par la relation:

|ψ(t)〉 = ei(ωSz/~)t |ψ(t)〉 (4)

1.1

Identifier les vecteurs propres | ↑n〉 (etat d’energie minimale) et | ↓n〉 (etat d’energie maxi-male) de H, et exprimer les vecteurs propres de Sz dans cette base.

1.2

Si l’etat initial est |ψ(0)〉 = | ↑z〉, calculer |ψ(t)〉.

1.3

Montrer que

P (↓z; t) = |〈↓z |ψ(t)〉|2 =ω2

1

Ω2sin2(Ωt/2) (5)

ou Ω =√δ2 + ω2

1 (frequence de Rabi). Tracer les oscillations de Rabi de P (↑z) et P (↓z);quelle est qualitativement l’evolution du spin sur la sphere de Bloch correspondante (dansle referentiel tournant)?

2 Interferometrie de Ramsey

Maintenant on revient au cas resonant, δ = 0, et on choisit un champ tournant tel queω = 2ω1.

14

t = 0

t =

t = T

cavité

t = T −

2.1

On allume le champ tournant pendant un temps Tπ/2 = π/(2ω1) (pulse π/2). Ecrire l’etat

evolue |ψ(Tπ/2)〉 dans le referentiel tournant qu’on obtient si l’etat initial est |ψ(0)〉 = | ↑z〉ou |ψ(0)〉 = | ↓z〉.

2.2

On imagine maintenant que l’etat initial soit | ↑z〉, et apres un pulse π/2, on eteint le champtournant, et on fait changer en meme temps le champ statique selon z de B a B′, telle quel’energie associee passe de ~ω0 a ~ω′0. On laisse en suite evoluer le spin dans le champstatique pendant un temps ∆t. Calculer l’etat evolue jusqu’au temps t+ ∆t.

2.3

Au temps t+ ∆t on revient a la valeur originale du champ selon z, c’est a dire a la valeur~ω0 de l’energie associee, et ensuite on applique un deuxieme pulse π/2. Montrer que l’etatfinal de l’evolution apres la sequence de pulses est (a un facteur de phase pres):

|ψf〉 = sin(φ/2)| ↑z〉+ cos(φ/2)| ↓z〉 (6)

ou φ est un angle a determiner. Discuter le cas φ = 0. Montrer que P (↑z) et P (↓z) montrentdes franges d’interferences “temporelles” (franges de Ramsey) qu’on peut controler avec letemps ∆t.

3 Fontaine atomique

On modelise des atomes de 133Cs comme ayant seulement deux etats internes, qu’on appelera|1〉 et |2〉, avec pour energies E1 = ~ω0/2 et E2 = −~ω0/2 respectivement. Le Hamiltoniendu systeme libre a donc la forme

H = E1 |1〉〈1|+ E2 |2〉〈2| . (7)

Dans une fontaine atomique, des atomes de Cs sont lances vers le haut a travers une cavitea micro-ondes (a la frequence ω), et ils retombent sous l’effet de la gravite, passant unedeuxieme fois par la cavite (voir Figure). Les atomes rentrent dans la cavite au tempst = 0, ils en sortent au temps ε, et ils rentrent a nouveau au temps T − ε, pour sortir

15

definitivement au temps T . A chaque passage par la cavite, on suppose que si l’etat internede l’atome en entree etait |ψ(t)〉 = α|1〉+ β|2〉, en sortie (au temps t+ ε) il sera

|ψ(t+ ε)〉 =1√2

[(α− ie−iωtβ

)|1〉+

(−ieiωtα+ β

)|2〉]. (8)

3.1

On imagine que l’etat initial a t = 0 soit |1〉. Ecrire l’etat apres le premier passage par lacavite.

3.2

Entre les deux passages par la cavite, l’etat interne de l’atome suit son evolution libre,gouverne par le Hamiltonien Eq. ??. Ecrire l’etat au temps T − ε.

3.3

Montrer que, apres le deuxieme passage par la cavite, l’etat a la forme (dans la limite ε→ 0)

|ψ(T )〉 = ie−iωT/2 sin[(ω − ω0)T/2] |1〉 − ieiωT/2 cos[(ω − ω0)T/2] |2〉 . (9)

3.4

Donner la probabilite P (ω) de trouver l’atome dans l’etat |2〉 a l’instant T . Determiner lademi-largeur a mi-hauteur ∆ω de P (ω) autour de la valeur ω0. Que vaut ∆ω pour unefontaine de 1m de haut?(Remarque: ce schema permet d’accorder la frequence de la cavite avec celle de la transitionatomique avec la plus haute precision connue, fournissant le standard de frequence qui donnela definition moderne de la seconde).

16



TD6: Principe d’incertitude, operateur de translation, etmolecule d’ammoniac

1 Le principe d’incertitude position-impulsion et ses consequences

L’inegalite d’Heisenberg liant les incertitudes sur la position et sur l’impulsion pour toutetat quantique,

∆x∆p ≥ ~2

(1)

induit typiquement a faire la consideration suivante: si une particule est confinee sur uneechelle de longueur caracteristique ∆x, elle aura necessairement une energie cinetique finie,associee a une “agitation quantique” qui persiste meme dans l’etat fondamental, et qu’onappelle le “mouvement de point zero”. On estime cette energie cinetique comme

E0 ≈(∆p)2

2m(2)

avec ∆p ≈ ~/(∆x). On verra dans la suite des cours et des TDs que cette estimation estquantitativement correcte. Ici on en explore certaines consequences.

1.1

On considere une particule a une dimension, piegee dans un potentiel exterieur parabolique,V (x) = (1/2)mω2x2. Calculer l’incertitude ∆x qui minimise son energie totale (le resultatdonne une longueur caracteristique, qu’on appelle la longueur de l’oscillateur harmonique).

1.2

Une des plus etonnantes consequences de cette inegalite est la stabilite de la matiere. Eneffet, l’un des problemes du debut du XX siecle etait qu’un electron en rotation autourde son noyau (image classique de l’epoque) devait perdre de l’energie par rayonnement(Bremsstrahlung) et donc s’ecrouler tres rapidement sur celui-ci.

En considerant l’energie totale de l’electron

E =p2

2me− q2

4πε0 r(3)

en deduire son energie minimum, ainsi que la position correspondante, puis faites l’applicationnumerique dans le cas de l’atome d’hydrogene : est-ce-que ca vous rappelle quelque chose(mettre l’energie en eV et la position en A, si ca peut vous aider)? Et d’ou vient la stabilitede la matiere ?

17

2 Commutateur position-impulsion generalise

En utilisant la propriete du commutateur

[AB, C] = A [B, C] + [A, C] B (4)

calculer [xn, p] (Suggestion: par recurrence). Montrer donc que, pour toute fonction f(x)

[f(x), p] = i~ f ′(x) . (5)

3 Operateur de translation des fonctions

Demontrer que

f(x−∆x) = e−∆x ddx f(x) . (6)

4 Polarisabilite de la molecule d’ammoniac

Dans la molecule d’ammoniac NH3 les hydrogenes forment un triangle equilateral, et l’azoteoccupe une position au dessus ou en dessous du centre du triangle. Si la molecule a unefaible energie d’excitation, on peut modeliser l’espace d’Hilbert associe aux mouvements devibration comme restreint a deux seuls etats, “up” |U〉 et “down” |D〉, comme montre enfigure. Meme si une barriere d’energie separe les deux etats, l’atome d’azote peut “tunneler”entre U et D, comme on apprendra dans la suite du cours et des TDs. Le Hamiltonien dusysteme peut etre donc decrit dans la forme suivante (a justifier):

H0 = −η (|U〉〈D|+ |D〉〈U |) + E0 (|U〉〈U |+ |D〉〈D|) (7)

|U |D

d

dH H

H

N

Figure 1: Deux etats de la molecule d’ammoniac NH3 - la fleche indique le moment dipolaireassocie.

4.1

Diagonaliser le Hamiltonien et calculer ses vecteurs propres. Ecrire le Hamiltonien en termede matrices de Pauli et de l’identite. Est-ce que ce Hamiltonien vous est familier? Quelleserait l’evolution du systeme si au temps t = 0 on prepare la molecule dans l’etat |U〉?

4.2

On considere l’operateur moment de dipole electrique:

d = d0 (|D〉〈D| − |U〉〈U |) (8)

Montrer que 〈d〉 = 0 pour les deux etats propres de H0.

18

4.3

Si on applique un champ electrique E a la molecule, son Hamiltonien se transforme en

H = H0 − Ed . (9)

Diagonaliser le Hamiltonien et calculer les valeurs propres. (Suggestion: exprimer le nou-veau Hamiltonien via des matrices de Pauli). Tracer les energies des deux etats propres enfonctions de E. Pourquoi est-ce que, a votre avis, on parle d’un “croisement de niveauxevite”?

4.4

Montrer que, pour un etat |ψ〉 quelconque

〈d〉ψ = −∂〈H〉ψ∂E

. (10)

En deduire le moment de dipole associe aux deux etats propres.(Suggestion: utiliser le theoreme de Hellman-Feynman).Dans la limite des faibles champs d0E η, calculer la polarisabilite de la molecule, χ =(∂〈d〉/∂E)E=0 pour les deux etats propres. Discuter sa dependence en η.

19



TD7: Propagation du paquet d’onde, marche de potentiel

1 Approximation de la phase stationnaire et vitesse de groupe

Considerons un paquet d’onde qui a l’instant t = 0 a la forme

ψ(x, 0) =

∫dk√2π

ψ(k) eikx (1)

ou ψ(k) = |ψ(k)|eiφ(k) = FT[ψ](k) est la transformee de Fourier de la fonction d’onde. Onfait l’hypothese que |ψ(x, 0)|2 ait un maximum en x0(0) et |ψ(k)|2 un maximum en k0.

1.1

Rappeler la relation entre x0 et k0 etablie par l’approximation de la phase stationnaire.

1.2

Maintenant on s’interesse a l’evolution au temps t. Si ωk = Ek/~ est la relation de disper-sion (relation frequence-impulsion) pour la particule libre, demontrer que le maximum de|ψ(x, t)|2 se trouve en

x0(t) = x0(0) + vgt (2)

ou

vg =dωkdk

∣∣∣k=k0

(3)

est la vitesse de groupe du paquet d’onde. Calculer la vitesse pour le cas des particulesmassives (Ek = ~2k2

2m ) et pour le cas des photons (Ek = ~ck), et commenter le resultat.

2 Paquet d’onde gaussien

Maintenant on se focalise sur le paquet gaussien, tel que

ψ(k) =

(a2

2π

)1/4

e−a2

4(k−k0)2 . (4)

2.1

Demontrer que la distribution |ψ(x, 0)|2 est aussi une gaussienne. Soit ∆x = σx la deviationstandard de la distribution dans l’espace reel, et ∆k = σk la deviation standard de ladistribution dans l’espace k. Montrer que pour le paquet gaussien

∆x ∆p =~2. (5)

Justifier la conclusion que le paquet gaussien est le paquet avec indetermination minimale.

20

2.2

Dans le cas des photons 1, montrer que la distribution |ψ(x, t)|2 associee a tout paquetd’onde est une simple translation de la distribution |ψ(x, 0)|2. (Remarque: c’est grace a ceprincipe que toute communication par voie electromagnetique peut marcher!).

2.3

Pour une particule massive, le calcul est beaucoup plus complique. On peut en tout casextraire un aspect fondamental du resultat final en considerant que la transforme de Fourierinverse de ψ(k)e−iωkt est toujours la transformee de Fourier d’une gaussienne (avec unexposant complexe, mais ceci ne fait aucune difference pour ce calcul). Donc on s’attend ace que le paquet d’onde soit aussi une gaussienne, centre sur x0(t). A l’aide du resultat dela question 1.2, ecrire donc la forme qualitative de |ψ(x, t)|2.

2.4

Le resultat du calcul complet du paquet d’onde (qu’on ne vous demande pas de reproduire!),est

|ψ(x, t)|2 =

√2

πa2[1 + 4~2t2/(m2a4)]exp

[−2a2(x− ~k0t/m)2

a4 + 4~2t2/m2

]. (6)

Verifier que la prediction de l’approximation de la phase stationnaire est correcte. Discuterla dependence temporelle de σx(t). En pratique, peut-on envoyer des signales avec des ondesde matiere?

3 Equation de Schrodinger et courant de probabilite.

On considere l’equation de Schrodinger pour une particule dans un potentiel arbitraire

i~∂

∂tψ(x, t) =

[− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]ψ(x, t) (7)

et on veut demontrer qu’elle est equivalente a une equation de continuite pour la probabilitede trouver la particule.

3.1

On multiplie l’equation de Schodinger par ψ∗(x, t), et on soustrait de chaque terme del’equation ainsi multipliee son complexe conjugue. Demontrer que le resultat est

i~∂

∂t|ψ(x, t)|2 = − ~2

2m

(ψ∗

∂2

∂x2ψ − ψ ∂2

∂x2ψ∗). (8)

3.2

Demontrer que l’equation (??) est equivalente a l’equation de continuite

∂

∂tρ(x, t) +

∂

∂xj(x, t) = 0 (9)

1C’est important de remarquer que la description des photons en terme de fonctions d’ondes n’est pas to-talement appropriee - en particulier le photon est une particule ultra-relativiste, et elle n’obeit pas l’equationde Schrodinger non-relativiste qu’on a aborde en cours. Ici la fonction d’onde correspondante au photon doitplutot etre pensee comme une onde electromagnetique, obeissant les equations de Maxwell. La descriptionappropriee du photon en tant que particule elementaire relativiste est en terme de champs quantiques, quevous verrez peut-etre dans la suite des vos etudes.

21

ou ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 est la densite de probabilite, et j(x, t) est la densite de courant deprobabilite

j(x, t) =~

2mi

(ψ∗

∂

∂xψ − ψ ∂

∂xψ∗). (10)

Donc l’equation de Schrodinger est equivalente a l’equation de conservation de la densitede probabilite. A quoi correspondent les quantites mj(x, t) et qj(x, t) (pour une particulede charge q)?

3.3

Calculer le courant associe a l’onde plane

ψk(x, t) =1√2πei(kx−ωkt) . (11)

Commenter le resultat.

4 Marche de potentiel infinie (debut)

On considere une particule dans une marche de potentiel de longueur infinie, V (x) = 0 six < 0 et V (x) = V0 si x > 0.

4.1 Solution generale pour E < V0

4.1.1

Ecrire la solution generale a l’equation de Schrodinger independente du temps dans lesdifferentes regions a potentiel constant, en distinguant le cas E > V0 et E < V0.

4.1.2

En imposant les conditions de passage dans le cas E < V0, demontrer que pour x < 0 lasolution s’ecrit dans la forme

ψ(x) = A (eik + ξk e−ik) (12)

ou ξk est un nombre complexe avec |ξk|2 = 1.

4.1.3

Demontrer que dans le cas x < 0, pour une valeur quelconque de ξk la densite de courantde probabilite est composee de deux termes

j = ji − jr (13)

correspondant au courant incident ji et au courant reflechi jr. On introduit le coefficientde reflexion

R =jrji

; (14)

montrer que R = 1 dans le cas en question. Commenter.

4.2 Reflexion d’un paquet d’onde: retard a la reflexion

On superpose les solutions non normalisables qu’on a trouvees dans la section precedentepour former un paquet d’onde avec amplitude ψ(k) = |ψ(k)|eiφ(k) pour la composante devecteur d’onde k. La distribution |ψ(k)|2 est centree autour de k0 > 0, et, a l’instant t = 0,|ψ(x)|2 est centre autour de x0 = −φ′(k0) < 0.

22

4.2.1

Justifier que pour x < 0 et t = 0 le paquet d’onde s’ecrit comme:

ψ(x) = ψi(x) + ψr(x) =

∫ ∞

0

dk√2π

ψ(k)(eikx + ξk e

−ikx). (15)

Ecrire la forme generique du paquet d’onde a l’instant t.

4.2.2

Montre que le centre du paquet incident ψi(x) decrit le mouvement

x(t) ≈ x0 + vgt (16)

lorsque le centre du paquet reflechi ψr(x) decrit le mouvement

x(t) ≈ −x0 − vg(t− τ) (17)

ou vg et τ sont des constantes a determiner.La forme du paquet d’onde en Eq. ?? ne vaut que pour x < 0. Justifier que l’evolution dupaquet d’onde dans cette region peut etre divisee en trois intervalles temporelles, 1) t < t0,2) t0 < t < t0 + τ , 3) t > t0 + τ , ou t0 est a determiner. Que se passe-t-il dans les differentesintervalles?

4.2.3

Question bonus. Demontrer que τ > 0.

Appendice mathematique

FT−1[e−b(k−k0)2

](x) =

1√2beik0xe−

x2

4b (18)

23

Ecole Normale Superieure de Lyon Universite de Lyon 1Licence de Physique, Parcours Sciences de la Matiere, A. A. 2014-2015


TD8: Marche de potentiel, barriere de potentiel et tunneling

1 Marche de potentiel infinie (continuation)

1.1 Transmission et reflexion pour E > V0.

Maintenant on se place dans le cas E > V0. On veut etudier la transmission d’un paquetd’onde incident du cote x < 0, et donc cherche une solution dans la forme d’une ondeincidente et reflechie pour x < 0, et d’une onde transmise pour x > 0.

ψ1(x) = A1 eik1x +B1 e

−ik1x x < 0

ψ2(x) = A2 eik2x x > 0 (1)

ou k1 et k2 sont a determiner.

1.1.1

Montrer que le coefficient de reflexion s’ecrit comme

R =|B1|2|A1|2

. (2)

On introduit aussi le coefficient de transmission

T =jtji

(3)

ou jt est la densite de courant associee a ψ2. Demontrer que

T =k2

k1

|A2|2|A1|2

. (4)

1.1.2

Montrer que

R =

(k1 − k2

k1 + k2

)2

T =4k1k2

(k1 + k2)2(5)

tel que T +R = 1. Commenter.

2 Barriere de potentiel finie et tunneling

On s’interesse a la transmission a travers d’une barriere de potentiel finie

V (x) =

V0 0 < x < a

0 x < 0, x > a

On considere le cas d’une onde incidente du cote x < 0 pour E < V0 , donc

ψ1(x) = A1 eikx +B1 e

−ikx x < 0

ψ2(x) = A2 e−ρx +B2 e

ρx 0 < x < a

ψ3(x) = A3 eikx x > 0 . (6)

ou k et ρ sont a determiner.

24

2.1

Justifier que le coefficient de transmission prend l’expression

T =|A3|2|A1|2

. (7)

Justifier donc qu’on peu prendre A1 = 1 en Eq. ?? si notre but est celui de calculer T .

2.2

Un calcul un peu fastidieux mene au resultat

A3 =4iρk e−ika

e−ρa (ρ+ ik)2 − eρa (ρ− ik)2. (8)

On se met dans le cas d’une barriere epaisse, ρa 1. Montrer que

T ≈ 16ρ2k2

(ρ2 + k2)2e−2ρa . (9)

Discuter les cas limites du coefficient de transmission pour V0 → ∞, m → ∞, E → 0 .Commenter.

a

x

e−

e−

2.3

Eq. ?? decrit l’effet tunnel, qui trouve une application fondamentale dans la microscopiehomonyme (scanning tunneling microscopy ou STM, qui en 1985 a valu le prix Nobel enphysique a ses inventeurs, G. Binnig et H. Rohrer). La microscopie STM consiste en injecterdes electrons sur une surface par une pointe metallique tenue a une hauteur donnee. Larugosite de la surface est telle que la distance a entre la pointe et les atomes de la surfacevarie en fonction de la position x de la pointe. L’espace entre pointe et atomes agit commeune barriere de potentiel pour les electrons. Donc le courant des electrons injectes dans lasurface est proportionnel a T , et exponentiellement sensible a la distance a. La resolutionest donnee par ξ ≈ 1/(2ρ). Estimer ξ quand V0 − E = 1 eV: peut-on voir les atomes de lasurface un par un?

25



TD9: Potentiels en fonction δ, oscillateur harmonique

1 Potentiels en fonction δ

On considere une particule de masse m, dont l’energie potentielle s’ecrit :

V (x) = −αδ(x) ou α > 0

1.1

Integrer l’equation aux valeurs propres du Hamiltonien entre −ε et +ε. En faisant tendre εvers 0, montrer que la derivee de la fonction propre φ(x) subit, en x = 0, une discontinuiteque l’on calculera en fonction de α, m et φ(0).

1.2

On suppose que l’energie E est negative (etat lie). On a alors :

φ(x) =

A1eρx +A′1e

−ρx (x < 0)

B1eρx +B′1e

−ρx (x > 0)

ou ρ est une constante a determiner.Donner les valeurs possibles de l’energie.

2 Etats classiques de l’oscillateur harmonique

On considere un oscillateur harmonique d’hamiltonien :

H =p2

2m+

1

2mω2x2.

On se propose d’etudier les etats propres |α〉 de l’operateur annihilationa =

√mω/2~ [x+ ip/(mω)], tels que a|α〉 = α|α〉.

2.1

On decompose |α〉 sur la base |n〉 des etats stationnaires de H,

|α〉 =∞∑

n=0

cn(α)|n〉.

En utilisant la relation a|n〉 =√n|n − 1〉, montrer que, pour toute valeur de α complexe,

il existe une relation de recurrence simple entre les cn(α) permettant de les calculer tous apartir de co(α).

En deduire que tout nombre complexe α est valeur propre de a associee a un etat propre|α〉. Calculer les cn(α) correspondants pour que |α〉 soit norme.

26

2.2

Quelle est la probabilite de trouver En = (n + 1/2)~ω lors de la mesure de l’energie del’oscillateur s’il est dans l’etat |α〉 ?

2.3

Calculer la valeur moyenne de l’energie 〈E〉, 〈E2〉 et l’ecart quadratique ∆E dans l’etat |α〉.On pourra ecrire l’hamiltonien sous la forme H = ~ω(n + 1

2) ou n = a†a. Verifier que lavaleur relative de l’energie est d’autant mieux definie que |α| est grand.

2.4

Calculer 〈x〉, ∆x, 〈p〉 et ∆p dans l’etat |α〉. Que vaut dans cet etat ∆x∆p ? Que pensez-vous de ce resultat ?

2.5

On suppose qu’a l’instant to, l’oscillateur est dans un etat |α〉 avec α(to) = αo exp(iφ).Montrer qu’a un instant ulterieur t, il est dans un autre etat propre de l’operateur a, |α(t)〉,et donner la valeur de α(t).

2.6

Que valent, a l’instant t, 〈x〉, ∆x, 〈p〉 et ∆p ?Pourquoi, d’apres vous, appelle-t-on les etats |α〉, pour α 1, etats “quasi-classiques” ?

3 Appendice (facultative): potentiel a double δ

On considere une particule de masse m, dont l’energie potentielle s’ecrit :

V (x) = −αδ(x+ l)− αδ(x− l)

ou α > 0 et l est une longueur constante.

3.1

Calculer les etats lies de la particule, en posant :

E = −~2ρ2

2m

Suggestion: chercher une solution symetrique et antisymetrique (par rapport a l’origine) del’equation de Schrodinger.

3.2

Montrer que les energies possibles sont donnees par la relation :

e−2ρl = ±(

1− 2ρ

µ

)

ou µ est defini par µ = 2mα~2 .

27

3.3

Donner une resolution graphique de cette equation. Montrer qu’il existe un etat fondamentalsymetrique et un etat excite antisymetrique.

28



TD10: Theorie des perturbations, methode des variations

1 Oscillateurs harmoniques faiblement couples

Considerons deux oscillateurs harmoniques a une dimension, de frequences ω et masses midentiques. Les oscillateurs sont faiblement couples par un potentiel qui est fonction deleurs positions

H =p2

1

2m+

1

2mω2x2

1 +p2

2

2m+

1

2mω2x2

2 + γx1x2 (1)

1.1

Re-ecrire le Hamiltonien du systeme en introduisant les operateurs de creation et destructionpour les deux oscillateurs

a1(2) =1√2

(x1(2)

a0+ i

p1(2)√m~ω

)a†1(2) =

1√2

(x1(2)

a0− i

p1(2)√m~ω

), (2)

ou a0 =√~/(mω).

1.2

Justifier pourquoi on peut traiter le terme γx1x2 en tant que perturbation pour les etatsde plus basse energie des deux oscillateurs si la condition γa2

0 ~ω est remplie.

1.3

Soit |n1, n2〉 un etat propre de H pour γ = 0, ou n1 et n2 indiquent les niveaux d’energieoccupes par l’oscillateur 1 et 2 respectivement. Pour mieux visualiser l’etat en question,considerez que la fonction d’onde correspondante est ψn1,n2(x1, x2) = ψn1(x1)ψn2(x2).Enumerer les 3 niveaux energetiques En1,n2 les plus bas, et les etats propres associes.

1.4

Calculer les corrections ∆E(1) et ∆E(2) au premier et deuxieme ordre perturbatif pourl’energie de l’etat fondamental du Hamiltonien imperturbe. Calculer aussi la correction auxvecteur de l’etat fondamental aux premier ordre perturbatif.

1.5

Calculer la correction ∆E(1) au premier ordre perturbatif a l’energie du premier etat excitedu Hamiltonien imperturbe. Montrer que cette correction mene a un clivage entre deuxetats degeneres en absence de la perturbation, et indiquer les etats imperturbes associesaux niveaux clives.

29

2 Methode des variations appliquee a un oscillateur har-monique

On va utiliser la methode des variations pour trouver des solutions approchees de l’oscillateurharmonique.

2.1

Sachant que la fonction d’onde de l’etat fondamental doit avoir une forme en cloche, onchoisit la fonction dite de Lorentz :

ϕγ(x) =1

x2 + γ; γ > 0 (3)

Determiner 〈ϕγ |H|ϕγ〉 et la valeur approchee de E0. Quelle est l’erreur relative, par rapporta ~ω, obtenue entre les valeurs E0 exacte et approchee ?

2.2

Toujours dans la famille des fonctions de forme en cloche, considerons une fonction d’essaiϕα(x) = exp(−αx2), avec α > 0. Determiner la valeur approchee de l’energie E0 de l’etatfondamental de l’oscillateur harmonique. Comparer avec la valeur exacte.

2.3

Soit ϕβ(x) = x exp(−βx2), avec β > 0. Cette fonction est elle orthogonale a ϕα(x) ?

2.4

Calculer 〈ϕβ|H|ϕβ〉 avec ϕβ(x) comme fonction d’essai. Determiner la valeur approchee deE1 et la comparer a sa valeur exacte.

30



TD11: Moment angulaire en mecanique quantique

1 Relation de commutation du moment angulaire

1.1

Demontrer les relations de commutation suivantes

[Lα, xβ] = i~∑

γ

εαβγ xγ [Lα, pβ] = i~∑

γ

εαβγ pγ . (1)

En deduire que [L, p2] = 0 et [L, r2] = 0.

1.2

Depuis la definition de l’operateur moment angulaire orbitalaire L = r × p, re-deriver lesrelations de commutations [Lα, Lβ] = i~

∑γ εαβγL

γ , en se basant sur la connaissance de larelation [xα, pα] = i~.

2 Operateurs de moment angulaire pour l = 1/2 et l = 1

2.1

En utilisant les regles d’action de L+ et L−, montrer que

〈lm|L±|l′m′〉 = ~√l(l + 1)−mm′ δl′,lδm′,m∓1 . (2)

Montrer que pour l = 1/2 cette relation definit les elements des matrices de Pauli (~/2) σ±.

2.2

On considere le sous-espace d’Hilbert engendre par les vecteurs |l = 1,m〉 avec m = −1, 0, 1.Reconstruire les matrices 〈l = 1,m|Lα|l = 1,m′〉 pour α = x, y, z (representation desoperateurs de moment angulaire pour l = 1).

3 Rotateurs rigides couples

On definit rotateur rigide une particule contrainte a bouger sur une sphere de rayon fixe.Un exemple important est celui d’une molecule diatomique A2, qu’on peut approximercomme deux atomes a une distance fixee R. La variable relative au centre de masse estdonc contrainte a la sphere de rayon R. L’energie associee au mouvement relatif au centrede masse est donnee par

H =L2

2I(3)

L = r × p est le produit vecteur entre position et impulsion relatives au centre de masse,et I = mR2/2 est le moment d’inertie du rotateur (m = masse de chaque atome).

31

3.1

Ecrire l’operateur Hamiltonien pour le systeme, et en deduire son spectre d’energie ainsique la degenerescence des ses niveaux d’energie. Montrer que l’ecart entre niveaux d’energieconsecutifs augmente lineairement avec l’indice du niveau.

3.2

On considere maintenant deux molecules diatomiques qui interagissent a travers la com-posante z de leur moment angulaire:

H =L2

1

2I+

L22

2I+ γLz1L

z2 . (4)

Decrire les premiers trois niveaux d’energies et leur degenerescence pour γ = 0.

3.3

Calculer le clivage des trois premiers niveaux du au terme d’interaction.

3.4

Est-ce que les resultats obtenus ci-dessus changent si on considere une interaction du typeLx1L

z2?

32



TD12: Potentiels centraux et atome d’hydrogene

1 Oscillateur tridimensionnel

On considere ici un oscillateur harmonique a trois dimensions

H =p2

2m+

1

2m ω2(x2 + y2 + z2) . (1)

1.1

Demontrer que les valeurs propres du Hamiltonien ont la forme

Enx,ny ,nz = α (nx + ny + nz) + β (2)

ou α et β sont des constantes a determiner. Calculer la degenerescence des trois premiersniveaux d’energie.

1.2

Montrer que l’on peut chercher une solution de l’equation de Schrodinger independente dutemps dans la forme ψ(r) = Rl(r) Ylm(θ, φ), ou Ylm est une harmonique spherique.

1.3

En introduisant les quantites sans dimensions ρ = r√mω/~ et ε = E/~ω, montrer que

l’equation de Schrodinger radiale prend la forme

(− d2

dρ2+l(l + 1)

ρ2+ ρ2 − 2ε

)vl(ρ) = 0. (3)

ou vl(ρ) = Rl(ρ√~/(mω)) ∗ ρ.

1.4

Demontrer que vl(ρ)→ ρl+1 quand ρ→ 0. Dans la limite opposee, ρ→∞, demontrer quevl(ρ) decroit comme une gaussienne.

1.5

On en conclut qu’on peut chercher Rl(r) dans la forme

Rl(r) = ρl yl(ρ) e−ρ2/2 . (4)

On peut demontrer que yl(ρ) = Pln′(ρ) ou Pln′ est un polynome d’ordre 2n′ (pour n′ entierpositif ou zero), et que l’energie correspondante vaut ε = n+ 3/2 avec n = 2n′ + l.Verifier que la degenerescence des trois premier niveaux d’energie donne le resultat attendu.

33

2 Energie cinetique et potentielle de l’atome d’hydrogene

Dans cet exercice on se servira du theoreme du viriel pour calculer la moyenne de l’energiecinetique et potentielle pour les etats propres de l’atome d’hydrogene.

2.1

Soit H = T + V = p2/(2m) + V0xn avec n entier positif. Calculer le commutateur [H, xp].

2.2

En prenant la moyenne du commutateur precedent sur un etat propre de H quelconque,demontrer que

2〈T 〉 = n〈V 〉 . (5)

2.3

Soit V (x) une fonction qui admet un developpement en serie de Taylor autour de x0.Demontrer que, pour les etats propres de H = T + V = p2/(2m) + V (x),

2〈T 〉 = 〈x V ′(x)〉 . (6)

(theoreme du viriel a une dimension).

2.4

En passant a une particule a trois dimensions dans un potentiel central V (r), on admettraque le theoreme precedent se generalise a la forme

2〈T 〉 = 〈r V ′(r)〉 . (7)

(pour le demontrer, il suffit de considerer la moyenne du commutateur [H, r · p]).En deduire que pour les etats propres de l’atome d’hydrogene avec energie En

〈T 〉 = −En 〈V 〉 = 2En . (8)

34



TD13: Effets Paschen-Back et Stark dans l’atomed’hydrogene

1 Effet Paschen-Back

On considere un atome d’hydrogene soumis a un champ magnetique B = Bz suffisammentfort pour pouvoir ignorer les effets de couplage spin-orbit.

1.1

Justifier que le Hamiltonien de l’atome d’hydrogene H0 est modifie en presence d’un champmagnetique comme suit

H = H0 +µBB

~

(glL

z + gsSz)

(1)

ou gl = 1 et gs ≈ 2 sont les facteurs gyromagnetique orbitalaire et de spin respectivement,et µB est le magneton de Bohr electronique.

1.2

Sous l’hypothese que le terme d’interaction spin-orbite soit negligeable par rapport au termede couplage avec le champ magnetique, les etats propres de H ont la forme |n, l,m;S,ms〉ou S = 1/2 et Sz|n, l,m;S,ms〉 = ms|n, l,m;S,ms〉. Etudier le clivage des premiers niveauxd’energie sous l’effet du champ magnetique. On peut proceder en deux pas: 1) d’abord onconsidere le clivage du au couplage entre champ magnetique et moment magnetique orbita-laire; 2) en suite on considere le clivage ulterieure du au couplage entre champ magnetiqueet moment magnetique de spin.Montrer que le niveau n = 2 est clive en 5 sous-niveaux, et que le niveau n = 3 est cliveen 7 sous-niveaux. Estimer l’ecart relatif entre sous-niveaux pour n = 2, ∆E/E2, pour unchamp B = 1 T.

2 Effet Stark

On considere maintenant un atome d’hydrogene soumis a un faible champ electrique E =Ez:

H = H0 − eE(zp − ze) = H0 + eE z (2)

ou ze, zp sont les positions de l’electron et du proton respectivement et z est la variablerelative. On traitera le terme de champ electrique en theorie des perturbations.

2.1

Montrer que l’energie de l’etat fondamental n = 1 n’est pas altere au premier order entheorie des perturbations.

35

2.2

On considere en suite l’effet du champ sur les etats degeneres |n, l,m〉 avec n = 2. Montrerque la matrice 〈2, l,m| z |2, l′,m′〉 n’a que deux elements finis.

2.3

En calculant ces elements, obtenir les corrections ∆E(1) = ±3eEa0 a l’energie au premierordre, et les etats associes aux niveaux clives.

2.4

Calculer le moment de dipole electrique moyen 〈dz〉 = −e〈z〉 des etats clives.

Appendice mathematique

Y0,0(θ, φ) =1√4π

Y1,0(θ, φ) =

√3

4πcos θ

Y1,±1(θ, φ) = ∓√

3

4πsin θe±iφ

R20(r) =1

(2a0)3/2

(2− r

a0

)e−r/(2a0)

R21(r) =1

(2a0)3/2

r√3a0

e−r/(2a0)

∫ ∞

0dx xn e−αx = α−(n+1)n!

36



TD14: Structure hyperfine de l’hydrogene

37

E0

+12

!12

|1" = | + +" +12

+12

|2" = | + !" +12

!12

|3" = | ! +" !12

+12

|4" = | ! !" !12

!12

Sex Se

y Sez Sp

x Spy Sp

z

|+", |!" |1" . . . |4"Sz |+" |!"

Sz|+" = +!2|+" Sz|!" = !!2|!"Sx|+" = +!2|!" Sx|!" = +!2|+"Sy|+" = +i!2|!" Sy|!" = !i!2|+"

SeSp |1" . . . |4"

SexS

pz |4" = Se

xSpz | ! !" =

!!2

" !!!

2

"| + !" = !!2

4|2" .

H0 = E0 I + A!#Se ·

!#Sp = E0 I + A

#Se

xSpx + Se

ySpy + Se

z Spz

$

E0 A A > 0 I

!"ST =

!"Se +

!"Sp

!"ST

!"ST

2

!"ST H0

STz

!"ST

2

!"ST

2

!2j(j + 1) jH0

E0

A!"Se ·

!"Sp

|!# =1

2(|1# !

$2|2# + |4#) .

A = 8, 4706 1043 A h = 6, 6262 10!34

c = 2.998 108 !1

t = 0 |!1# = |1#t > 0

|!2# = |2# t = 0|1# . . . |4# t > 0

z H0

H " = !!"eS

ez + "pS

pz

"B

"e "p

B z

H1 = H0 + H " !"ST

2

H1

H0



TD15: Particules identiques: molecule d’hydrogene,particules traversant une lame separatrice

1 Particules traversant une lame separatrice

On considere une particule preparee a un instant initial ti dans un etat |φ1〉 arrivant surune lame separatrice 50%-50% (voir figure). A un instant ultrieur tf , letat a traverse lalame et l’etat de la particule peut s’ecrire (|φ3〉+ |φ4〉)/

√2, ou φ3 et φ4 designent des etats

normalises se propageant dans chacune des voies de sortie. On a 〈φ3|φ4〉 = 0 (separationspatiale des deux etats).

|φ1

|φ2

|φ3

|φ4

Figure 2: Lame separatrice.

1.1

On prepare une particule identique a la premiere dans l’etat |φ2〉, symetrique de |φ1〉 parrapport la lame, c’est-a-dire arrivant sur la separatrice par la deuxieme voie d’entree. L’etatde cette particule a l’instant tf pourra s’ecrire : α|φ3〉+β|φ4〉 ou α et β sont deux constantescomplexes inconnues pour le moment. Montrer que si deux etats d’un systeme gouvernepar un hamiltonien H sont orthogonaux a un instant initial ti, ils restent orthogonaux dansleur evolution ulterieure. On admettra que la traversee de la lame correspond bien a uneevolution hamiltonienne. En deduire la valeur des coefficients α et β ci-dessus (a une phaseglobale pres).

1.2

On prepare maintenant des systemes composes de deux particules. Un systeme constituede deux particules discernables, l’une dans l’etat |φi〉, l’autre dans l’tat |φj〉, sera representepar le ket produit tensoriel |φi〉 ⊗ |φj〉. On prepare a l’instant ti un systeme de deuxfermions identiques de meme etat de spin (Sz), l’un dans l’etat |φ1〉, l’autre dans l’etat |φ2〉.Comment doit-on ecrire le ket representatif de cet etat ?

40

1.3

Le passage a travers la lame separatrice est sans influence sur l’etat de spin de chaqueparticule et dans ce processus les deux particules sont supposees sans interaction. Quel estl’etat final du systeme a l’instant tf apres la traversee de la separatrice? Peut-on detecterles deux fermions dans la meme voie de sortie ?

1.4

On reprend l’experience precedente avec deux bosons identiques, egalement prepares dansle meme etat de spin, l’un dans l’tat |φ1〉, l’autre dans l’tat |φ2〉. Montrer que les deuxbosons sortent toujours dans la meme voie apres la separatrice.(Ce phenomene est appele effet Hong-Ou-Mandel ou de “photon bunching” quand il estassocie au photons en optique quantique).

2 Molecule d’hydrogene

On modelise la molecule d’hydrogene H2 comme un rotateur rigide compose par deux pro-tons de masse m a une distance fixe R. L’etat classique du rotateur est specifie par lesangles θ, φ qui definissent son orientation spatiale.

2.1

Le Hamiltonien du rotateur rigide est donnee par

H =L2

2I(1)

ou I est le moment d’inertie (a specifier). Justifier que les etats propres |lm〉 de H et Lz sontsymetriques par echange des deux protons si l est pair et antisymetriques si l est impair.

2.2

On considere maintenant l’etat de spin des deux protons. Determiner l’etat de spin si l estpair et si l est impair. Quelle la degenerescence de l’etat fondamental l = 0 du rotateurrigide? Et quelle est la degenerescence du premier etat excite? Dans la limite l → ∞justifier que les etats avec l impair (etats de orthohydrogene) sont 3 fois plus nombreux queles etats avec l pair (etats de parahydrogene).

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Documents

TD1: Dualit e onde-mati ere, amplitudes et interf erence 1 ...perso.ens-lyon.fr/tommaso.roscilde/Fascicule-MecaQ-2014-15.pdf · TD1: Dualit e onde-mati ere, amplitudes et interf erence