Upload
dinhdiep
View
227
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu:1. Menjelaskan definisi dari matriks2. Melakukan operasi matriks3. Menggunakan sifat-sifat operasi matriks dan
aturan aritmatika matriks4. Membedakan tipe matriks5. Membentuk sistem linear dalam notasi matriks
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Pendahuluan
Matriks merupakan tool untuk mendapatkan solusidari persoalan sistem linear.
TEORI
Operasi Matriks dan Sifatnya
Kombinasi Linear
Perkalian Matriks
Tipe-tipe Matriks
Notasi-notasi
Menu TeoriDefinisi Matriks
Sistem Linear Dalam Bentuk Matriks
Contoh Simpulan LatihanObjektif
TEORI
Definisi dan Notasi Matriks
a11 a12 a1n···
a21 a22 a2n···
··· ··· ···am1 am2 amn···
baris (m)
kolom (n)
=m×nA
matriks
kuantitas
entri = aij atau (A)ij
Simpulan LatihanObjektif Contoh
Notasi Vektor
Matriks Am×n
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
][ 21 naaa =a
Matriks baris dan kolom: – huruf kecil cetak tebal– vektor
=
mb
bb
2
1
b
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Operasi Matriks (1)
Matriks A dan B adalah sama
– Ukuran sama
– Entri yang bersesuaian sama
Hasilkali cA (c adalah skalar) Perkalian tiap entri A dengan c
A = B ↔ (A)ij = (B)ij atau aij = bij
(cA)ij = c(A)ij = caij
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Operasi Matriks (2)
Jumlah A+B
– Ukuran sama
– Penjumlahan entri yang bersesuaian sama
Selisih A-B
(A + B) ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij
(A – B)ij = (A)ij – (B)ij = aij – bij
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Sifat-sifat Operasi Matriks
Asumsi ukuran matriks berikut sesuai
Operasi berikut adalah valid
ABBA +=+
CBACBA ++=++ )()(
CABBCA )()( =
ACABCBA +=+ )(
ACABCBA −=− )(
aCaBCBa ±=± )(
bCaCCba ±=± )(
)()()( aCBCaBBCa ==
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Kombinasi Linear
• Matriks A1, A2, …, An berukuran sama
• c1, c2, …, cn adalah skalar
Kombinasi linear:
nn AcAcAc +++ 2211
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Perkalian Matriks (1)
rjirjijiij bababaAB +++= 2211)(
Matriks Amxr dan Brxn
Hasilkali AB:
Perkalian matriks melalui kolom dan baris
kombinasi linear
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Perkalian Matriks (2)
Partisi matriks
=
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaa
A
=
2221
1211
AAAA
Partisi ke dalam vektor baris
=
3
2
1
rrr
Partisi ke dalam vektor kolom
][ 4321 cccc=
=
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaa
A
=
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaa
A
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Perkalian Matriks: kolom dan baris (3)
Perkalian matriks menggunakan kolom
][][ 2121 nn AAAAAB bbbbbb ==
=
=
B
BB
BAB
mm a
aa
a
aa
2
1
2
1
Perkalian matriks menggunakan baris
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Perkalian Matriks: kolom dan baris (4)
• Perkalian matriks tanpa menghitung semuahasilkalinya
• Cara melakukan perkalian:
Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B]
Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Perkalian Matriks: kombinasi linear (5)
Matriks dan vektor
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
=
nx
xx
2
1
x
Perkalian matriks dengan vektor
++
+
=
+++
++++++
=
mn
n
n
n
mmnmnmm
nn
nn
a
aa
x
a
aa
x
a
aa
x
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
A
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
2211
2222121
1212111
x
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Transpos
Matriks Amxn
– transpos A AT
– matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom
(AT)ij=(A)ji
Transpos matriks bujursangkar
1 -2
3 00 50
7
4
A = AT =1 -2
3 00 50
7
4
A =
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Transpos
Sifat-sifat:
((A)T)T = A
(A ± B)T = AT ± BT
(kA)T = kAT
(AB)T = BTAT
Jika A dapat dibalik (di-invers-kan)
(AT)-1 = (A-1)T
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Trace
• Matriks bujursangkar• Jumlah entri dalam diagonal utama
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A 332211)(tr aaaA ++=
−−
−−
=
01243721
48530721
B 110751)(tr =+++−=B
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Nol
Matriks dengan semua entri bernilai nol
Operasi dengan matriks nol
0000
000000
000
AAA =+=+ 00
0=− AA
AA −=−0
000 == AA
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Identitas
• Matriks bujursangkar dengan diagonal bernilai 1 dan entri lainnya bernilai nol
• Notasi: I• Jika ukuran diperhatikan: In
• Perkalian dengan matriks Am×n
=
100010001
3I
AAIn =
AAIm =
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Elementer
Matriks nxn yang diperoleh dari matriks identitas Inmelalui satu operasi baris elementer
Tukar baris 1 dengan baris 4 dari I4
Kalikan baris 2 dari I2 dengan -3 1 0
0 1–3
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Elementer
• Matriks nxn yang diperoleh dari matriks identitasIn melalui satu operasi baris elementer
Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I3pada baris pertama
100010301
Kalikan baris pertama dari I3 dengan 1
100010001
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Elementer
Perkalian matriks dengan matriks elementer
E: matriks hasil operasi baris pada Im
A: matriks mxn
EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama denganE pada matriks A
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Elementer
Perkalian matriks dengan matriks elementer
Matriks Am×n
−=
044163123201
A
=
103010001
E
−=
9104463123201
EA
Matriks Em
Matriks EA
3b1+b3
3b1+b3
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Diagonal
Matriks bujursangkar
Bentuk lain: D = diag(d1,d2,∙∙∙, dn)
=
nd
dd
D
00
0000
2
1
Perkalian matriks dengan matriks diagonal
=
232222212
131121111
232221
131211
2
1
00
adadadadadad
aaaaaa
dd
=
322311
222211
122111
2
1
3231
2221
1211
00
adadadadadad
dd
aaaaaa
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Segitiga
Matriks segitiga bawah(lower triangular)
Matriks segitiga atas(upper triangular)
333231
2221
11
000
aaaaa
a
33
2322
131211
000
aaaaaa
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya: Simetris
Sifat-sifat matriks simetris
Matriks bujursangkar
A=AT
Jika dan hanya jika aij = aji
−
−6337
−
805034541
4
3
2
1
000000000000
dd
dd
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Tipe Matriks dan Operasinya
Matriks Amxn dan ATnxm
Hasilkali matriks dengan transposnyao AAT (berukuran mxm)
o ATA (berukuran nxn)
o matriks bujursangkaro simetris
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Sistem Linear dalam Bentuk Matriks
Sistem linear:– m persamaan– n variabel
11212111 bxaxaxa nn =+++
22222121 bxaxaxa nn =+++
mnmnmm bxaxaxa =+++ 2211
Sistem linear: persamaan matriks
=
+++
++++++
mnmnmm
nn
nn
b
bb
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
2
1
2211
2222121
1212111
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Sistem Linear dalam Bentuk Matriks
Perkalian matriks:
=
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
=
mmnmm
n
n
baaa
baaabaaa
bA
21
222221
111211
][Matriks augmentasi:
A x = b
Contoh Simpulan LatihanObjektif TEORI
Teori CONTOH
Contoh (1)
=
xA
312
=
4312
B4 =1) Matriks A=B?
2) Dapatkan A+B, A-B, ½C dengan
=
131432
A
−−
=531720
B
−=
1202268
C
A+B =A-B =
½C =
Simpulan LatihanObjektif
CONTOH
Contoh (2)
3) Kombinasi linearCBACBA 2
121 )1(22 +−+=+−
−+
−
−−+
=
601134
531720
262864
=
1334218
Kombinasi linear dari matriks A, B dan C
koefisien 2, -1 dan ½
Simpulan LatihanTeoriObjektif
CONTOH
Contoh (3)
4) Hasilkali matriks
−=
257213103414
B
=
062421
A
=AB
Simpulan LatihanTeoriObjektif
CONTOH
Contoh (4)
5) Perkalianmatriks melaluikolom dan baris:
−=
257213103414
B
=
062421
A
062421
Matriks kolom ke-2 dari AB:
−
257213103414
Matriks baris pertama AB:
−
711
−
=4
27
]421[ ]13302712[=
Simpulan LatihanTeoriObjektif
CONTOH
Contoh (5)
6) Hasil kali matriks:
−=31
2x
−−=
−−+
−
−
39
1
23
2 3
123
1211
2
−−
−=
212321
231A
−−=
−
−−
−
39
1
31
2
212321
231
Perkalian langsung:
Kombinasi linear:
Simpulan LatihanTeoriObjektif
CONTOH
Contoh (7)
8) Bentuk sistem linear berikut dalam matriks dandapatkan solusinya
985352432
31
321
321
=+=++=++
xxxxxxxx
Simpulan LatihanTeoriObjektif
SIMPULAN
Matriks
1. Operasi matriks dapat dilakukan bila ukuranmatriks memungkinkan terjadinya operasi tersebut
2. Pengetahuan tentang tipe-tipe matriksmemudahkan untuk melakukan operasi matriksberdasarkan karakteristik dari matriks-matrikstersebut
3. Bentuk sistem linear dalam notasi matriksmemberikan kemudahan dalam penyelesaiannya
LatihanTeoriObjektif Contoh