Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť

Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ

Technické kreslenie učebné texty

pre 1. a 2. ročník študijných odborov

8260 6 propagačné výtvarníctvo

8261 6 propagačná grafika

Mgr. Jitka Pukšová

marec 2012

Stredná umelecká škola Ladislava Bielika,

Vajanského 23, Levice

Nitriansky samosprávny kraj

Obsah

ÚVOD ............................................................................................................................... 4

1. ROČNÍK ........................................................................................................................ 5

1 TECHNICKÉ PÍSMO ...................................................................................................... 5

1.1 VÝZNAM TECHNICKÉHO KRESLENIA A ZÁKLADNÉ MATERIÁLY A POMÔCKY POTREBNÉ PRE TECHNICKÉ

KRESLENIE ................................................................................................................................................... 6

1.2 ZÁSADY KRESLENIA OD RUKY A KRESLENIE NÁČRTU................................................................................ 7

1.3 DRUHY ČIAR V TECHNICKOM KRESLENÍ ................................................................................................... 8

1.4 TECHNICKÉ PÍSMO .................................................................................................................................. 8

2 ZÁKLADY RYSOVANIA ................................................................................................ 11

2.1 NORMALIZÁCIA V TECHNICKOM KRESLENÍ ............................................................................................ 12

2.2 DRUHY TECHNICKÝCH VÝKRESOV ......................................................................................................... 13

2.3 FORMÁTY VÝKRESOV............................................................................................................................. 14

2.4 SKLADANIE VÝKRESOV .......................................................................................................................... 15

2.5 ROZMNOŽOVANIE VÝKRESOV ................................................................................................................ 16

2.6 MIERKY ZOBRAZOVANIA NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH ........................................................................ 17

3 TECHNICKÝ VÝKRES .................................................................................................. 18

3.1 ÚPRAVA VÝKRESOVÉHO LISTU ............................................................................................................... 19

3.2 TITULNÝ BLOK VÝKRESOV ..................................................................................................................... 22

4 JEDNODUCHÉ TELESÁ ............................................................................................. 24

4.1 JEDNODUCHÉ TELESÁ ........................................................................................................................... 25

4.2 SIETE MNOHOSTENOV .......................................................................................................................... 25

4.3 SIETE VALCOV A KUŽEĽOV ..................................................................................................................... 30

4.4 SIETE N-BOKÝCH HRANOLOV A IHLANOV .............................................................................................. 31

4.5 SIETE ZREZANÝCH TELIES ..................................................................................................................... 32

4.6 ZAUJÍMA VÁS? ...................................................................................................................................... 34

5 PREMIETANIE ............................................................................................................ 36

5.1 PRAVOUHLÉ PREMIETANIE NA NIEKOĽKO PRIEMETNÍ ............................................................................ 37

6 MONGEOVO PREMIETANIE ...................................................................................... 39

6.1 PRIEMETY BODOV .................................................................................................................................40

6.2 PRIEMETY PRIAMKY .............................................................................................................................. 44

6.3 PRIEMETY ROVINY, STOPY ROVINY ........................................................................................................ 50

6.4 SKUTOČNÁ VEĽKOSŤ ÚSEČKY ................................................................................................................ 56

7 KÓTOVANIE NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH .......................................................... 59

7.1 KÓTOVANIE A PRVKY KÓTOVANIA ..........................................................................................................60

7.2 KÓTOVANIE POLOMEROV, PRIEMEROV, UHLOV, ZAOBLENÍ .................................................................... 65

7.3 SPÔSOBY KÓTOVANIA ............................................................................................................................ 69

8 TECHNICKÉ KRIVKY .................................................................................................. 71

8.1 TECHNICKÉ KRIVKY, ROZDELENIE ......................................................................................................... 72

8.2 ELIPSA ................................................................................................................................................. 73

8.3 METÓDY KONŠTRUKCIE ELIPSY ............................................................................................................. 74

8.4 INÉ TECHNICKÉ KRIVKY ........................................................................................................................ 78

2. ROČNÍK ..................................................................................................................... 82

9 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE ....................................................................................... 82

9.1 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE ..................................................................................................................... 83

9.2 KOSOUHLÉ PREMIETANIE ..................................................................................................................... 85

9.3 PRAVOUHLÁ AXONOMETRIA ................................................................................................................. 86

9.4 ZAUJÍMA VÁS? ...................................................................................................................................... 89

10 OSVETLENIE TELIES ................................................................................................ 92

10.1 OSVETĽOVANIE TELIES ........................................................................................................................ 93

10.2 KONŠTRUKCIA VLASTNÉHO A VRHNUTÉHO TIEŇA ............................................................................... 95

11 PERSPEKTÍVNE ZOBRAZOVANIE .............................................................................97

11.1 PERSPEKTÍVA ....................................................................................................................................... 98

11.2 HISTÓRIA PERSPEKTÍVNEHO ZOBRAZOVANIA ....................................................................................... 99

11.3 ZÁKLADNÉ POJMY .............................................................................................................................. 113

11.4 DRUHY PERSPEKTÍV ........................................................................................................................... 115

11.5 KONŠTRUKCIA PERSPEKTÍVY ............................................................................................................... 119

11.6 ANAMORFÓZA A NESKUTOČNÁ PERSPEKTÍVA ..................................................................................... 122

ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY .............................................................................. 128

4

Úvod

Milí študenti,

prichádza k vám učebný text, ktorý si kladie vysoký cieľ, a to uľahčiť vám

zoznamovanie sa so základnými informáciami predmetu Technické kreslenie. Je

určený všetkým vám, ktorí ste sa rozhodli svoje stredoškolské štúdium zasvätiť

odborom propagačná grafika a propagačné výtvarníctvo na pôde Strednej umeleckej

školy Ladislava Bielika v Leviciach.

Veríme, ţe ste sa uţ s technickým kreslením stretli aj na ZŠ a ţe chápete, akým

prínosom pre váš odborný rast a vašu profesiu do budúcnosti tento odborný

vyučovací predmet je. Veď grafik či výtvarník je často zároveň aj technikom, ktorý

svoj nápad a inšpiráciu aj správne navrhne, zakreslí, narysuje, premietne, okótuje,

a samozrejme aj zrealizuje.

Technické kreslenie je medzinárodným dorozumievacím jazykom všetkých

technikov a ostatných odborníkov. Rozvíja chápanie vzťahov medzi skutočnými

priestorovými objektami a ich zobrazením, buduje priestorovú predstavivosť a

schopnosť čítať a vytvárať technické výkresy,

Veríme, ţe sa tento učebný text stane na dva roky vaším sprievodcom na ceste

za zdokonalením vašich teoretických vedomostí aj praktických zručností a ţe sa

stanete kvalitnými odborníkmi vo svojej profesii.

Prajeme vám veľa trpezlivosti a najmä úspechov pri štúdiu

Mgr. Jitka Pukšová

5

1. ročník

1 Technické písmo

1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály

a pomôcky potrebné pre technické kreslenie

1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu

1.3 Druhy čiar v technickom kreslení

1.4 Technické písmo

6

1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály

a pomôcky potrebné pre technické kreslenie

Kaţdý technik musí mať veľa trpezlivosti, svedomitosti, presnosti

a dokonalých znalostí z oblasti, ktorá úzko súvisí s jeho budúcou

profesiou. Študenti študijných odborov propagačná grafika,

propagačné výtvarníctvo a priemyselný dizajn musia ovládať

základy technického kreslenia, zdokonaľovať vytváranie priestorovej predstavy

a budovať medzipredmetové vzťahy s odbornými predmetmi technológia, prax, či

navrhovanie.

Technické kreslenie a jeho význam:

vypestovanie predstavivosti

nadobudnutie zručnosti a vôľových vlastností v technickom kreslení, ako pri

popisovaní, tak aj pri zhotovovaní výkresov, náčrtov...

schopnosť kresliť náčrty od ruky

vyuţívanie technických noriem a ich aplikácia

čítanie výkresov a inej technickej dokumentácie

Pomôcky a materiály:

rysovacie dosky

príloţník – základné pravítko na kreslenie vodorovných čiar

trojuholníky

ceruzky – tuha 6-8 mm, pri kreslení 75º

kruţidlo – začíname kresliť akoby na číslici 8 na ciferníku hodín v smere

pohybu hodinových ručičiek

nulovacie kruţidlo – malé

priemery

tuhy

liner-graphic

guma – najlepšie z plastov

uhlomer

krividlá Obr. 1 Súprava technických pier

http://www.pisaciepotreby.sk/technickekreslenie/

7

šablóny

rysovací papier

pauzovací papier

Obr.2 Rysovacie pomôcky

1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu

Pri kreslení od ruky dbáme na to, aby sme pohybom ruky a pomôckami nerozotierali

čiary po výkrese. Krátke čiary kreslíme pohybom ruky od zápästia, dlhé čiary

kreslíme pohybom celej ruky.

Najprv kreslíme kruţnice a oblúky, potom k nim pripájame priamky. Vyťahovať

začíname vľavo hore a postupujeme vpravo dolu.

Náčrt slúţi pre prvotné vyjadrenie myšlienky zrozumiteľným obrázkom.

Pri kreslení náčrtu pouţívame mäkkú ceruzku.

Postup pri kreslení náčrtu:

súčiastku si dobre prezrieme a rozhodneme koľko priemetov potrebujeme na

úplné zobrazenie

zvolíme veľkosť obrázkov

pri súmerných rotačných súčiastkach nakreslíme všetky osi

obrysy a hrany súčiastok nakreslíme tenkými plnými čiarami

vytiahneme viditeľné hrany a obrysy hrubými čiarami a neviditeľné obrysy

čiarkovanými čiarami

nakreslíme pomocné a kótovacie čiary, šípky, tapíšeme kóty

vyšrafujeme plochy rezu a prierezu

napíšeme názov súčiastky, materiál ...

8

1.3 Druhy čiar v technickom kreslení

Na zobrazovanie na výkresoch sa pouţíva niekoľko druhov čiar.

Podľa grafického vyhotovenia sa čiary rozdeľujú na :

pravidelné - plné alebo prerušované,

nepravidelné - obyčajne kreslené voľnou rukou.

Podľa vzájomného pomeru hrúbok delíme čiary na tenké a hrubé a veľmi hrubé.

Hrúbka čiar sa volí z geometrického radu, ktorý je odstupňovaný pribliţne s činiteľom

√2: 0,13-0,18-0,25-0,5-0,7-1,0-1,4-2,0 mm.

Pre technické výkresy sa pouţívajú čiary so vzájomne odlišnými pomermi hrúbok.

Obr. 3 Druhy čiar

1.4 Technické písmo

Technickým písmom sa v technike popisuje technická dokumentácia – výkresy,

tabuľky, kóty, poznámky – podľa STN ISO 3098 (01 3115)

Na popisovanie výkresov sa pouţíva prednostne písmo veľkej abecedy a arabské

číslice. Výnimku tvoria zápisy meracích jednotiek, kde sa pouţívajú písmená malej

abecedy – napr. kg, mm...

9

Písmo je charakterizované:

tvarom – býva určený vzorovým predpísaním v tabuľke

veľkosťou – je určená výškou písmen veľkej abecedy v mm

šírkou

hrúbkou = hrúbka čiary

sklonom: kolmé, šikmé 75

Veľkosť písma: (1,8) 2,5 3,5 5,0 7,0 10,0 14,0 (20,0) mm

Typ:

- kolmé a šikmé písmo typu A: výška = 14 × hrúbka

- kolmé a šikmé písmo typu B: výška = 10 × hrúbka

Prednostne sa má pouţívať kolmé písmo abecedy typu B:

Obr. 4 Typy písma

10

Zadanie technickej dokumentácie

1. Do predpísanej šablóny doplňte technické písmo

2. Na výkres narysujte podľa vzoru rôzne druhy čiar a technickým písmom ich

popíšte.

Obr. 5 Technická dokumentácia - druhy čiar

11

2 Základy rysovania

2.1 Normalizácia v technickom kreslení

2.2 Druhy technických výkresov

2.3 Formáty výkresov

2.4 Skladanie výkresov

2.5 Rozmnožovanie výkresov

2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch

12

2.1 Normalizácia v technickom kreslení

Normalizácia je usmernenie ľudskej činnosti z hľadiska hospodárnosti, materiálu,

kvality a vymeniteľnosti výrobkov podľa určitých zásad. Súčasne umoţňuje zvyšovať

produktivitu práce, dosahovať úspory materiálu, lepšie vyuţívať výrobné prostriedky

a zaisťovať bezpečnosť a ochranu zdravia pri práci.

Tvorbu a vydávanie noriem riadi Slovenský ústav technickej normalizácie pomocou

Technických normalizačných komisií vytvorených pre jednotlivé odbory.

Slovenské technické normy (STN) sa označujú podľa toho, aká je ich zhoda

s medzinárodnými normami.

Značku STN XX XXXX majú normy platné len na Slovensku.

Značku STN ISO YYY ( XX XXXX ) majú slovenské technické normy, v ktorých

sú zapracované medzinárodné normy ISO čísla YYY. Číslo v zátvorke (XX XXXX) je

triediace číslo danej normy v sústave STN a má význam:

Obr. 6 Slovenská technická norma

1. trieda normy, ktorá označuje názov odboru pre ktorý norma platí

2. skupina normy

3. podskupina normy

4. poradové čislo

5. doplnkové číslice

Značku STN EN ISO YYY (XX XXXX) majú slovenské technické normy platné

ako európske normy EN a medzinárodné normy ISO čísla YYY

13

Technická normalizácia

umoţňuje sériové, hromadnú a plynulú výrobu, a tým ju urýchľuje a zlacňuje

zvyšuje produktivitu práce, poskytuje výhody národnému hospodárstvu

i spotrebiteľom

zabezpečuje kvalitu výrobkov

dáva predpoklady na dokonalejšie vyuţitie energie, materiálu a surovín, zniţuje

hmotnosť výrobkov

rieši pracovné a ţivotné prostredie

2.2 Druhy technických výkresov

Základom technickej dokumentácie je technický výkres, ktorý je nositeľom technickej

myšlienky a zároveň dorozumievacím prostriedkom medzi technikmi.

Delenie výkresov:

• podľa obsahu a určenia

o výkresy jednotlivých súčiastok čiţe detailné výkresy

o výkresy zmontovaných súčiastok čiţe výkresy zostáv

Obr. 7 Druhy technických výkresov

14

• podľa spôsobu vyhotovenia

o náčrt (škica) - väčšinou sa kreslí ceruzkou voľnou rukou, nemusí sa

kresliť v mierke a udávajú sa v ňom iba základné kóty,

o originál (základný výkres alebo matrica) - kreslí sa ceruzkou alebo tušom,

najčastejšie na pauzovacom papieri. Originál je určený na zhotovenie

kópie a archivuje sa,

o kópia sa zhotovuje z originálu rozmnoţovaním. Kópia sa pouţíva ako

pracovný výkres pre výrobu a montáţ.

2.3 Formáty výkresov

Výkresy kreslíme na papieri určitej veľkosti čiţe formátu. Základným formátom

skupiny A je obdĺţnik plochy 1 m2 s pomerom strán 1: 2 , (1: 1,414). Tento formát

označujeme A0. Ostatné formáty vznikajú postupným delením väčších formátov na

menšie: A1, A2, A3, A4.

Formáty výkresov skupiny A

Obr. 8 Formáty výkresov

Základný formát je A0, má plochu 1m² a strany v pomere 1: 2

Rozmery základných formátov sú v tabuľke

Formáty výkresov sú leţaté (v horizontálnej polohe), iba formát A4 sa prednostne

pouţíva vo vertikálnej polohe (stojatý formát)

15

Tab. 1 Formáty výkresov

Formát a (mm) b (mm)

A4 210 297

A3 297 420

A2 420 594

A1 594 841

A0 841 1189

Predĺžené formáty

V osobitých prípadoch môţeme pouţiť predĺţené formáty. Ich pouţitiu sa však

treba vyhýbať.

Predĺţené formáty sa tvoria kombináciou rozmerov kratšej strany formátov radu A

(napr. A3) s rozmermi dlhšej strany nasledujúcich väčších formátov radu A (napr.

A1). Výsledkom je nový formát, napríklad s označením A3.1.

2.4 Skladanie výkresov

STN 01 3111 určuje spôsoby skladania kópii všetkých druhov technických výkresov.

Výkresy originálov a matíc sa neskladajú.

Kópie výkresov sa môţu skladať na :

voľné zaraďovanie do súboru (zloţiek),

priame zviazanie (zošitie a pod.),

zviazanie (zošitie a pod.) s pásikom na zachytenie.

Skladanie výkresov:

skladanie na formát A4,

skladanie harmonikovite v oboch smeroch,

16

titulný blok má byť vpredu dole.

Obr. 9 Skladanie výkresov

2.5 Rozmnožovanie výkresov

Originály sú veľmi dôleţité tak pre výrobu, ako aj pre dokumentáciu. Preto sa pre

výrobu priamu nepouţívajú, ale ukladajú sa do archívu. V praxi sa pouţívajú kópie,

ktoré môţu byť negatívne, pozitívne, prípadne transparentné.

Pri rozmnoţovaní výkresovej dokumentácie sa dnes pouţívajú rozličné techniky

a spôsoby reprografie.

Diazografia (nesprávne nazývaná svetlotlač) je technika vyuţívajúca na vytvorenie

obrazu vlastnosti diazozlúčeniny (čpavok).

Elektrografia je technika vyuţívajúca vlastnosti fotopolovodičov na vytvorenie

latentného nábojového obrazu, ktorý počas vyvolávacieho procesu púta pigment.

(Xerografia názov podľa prístroja Rank Xerox).

Mikrofilmová technika pouţíva zvitok alebo pásik filmu s mikrozáznamami. Plocha

mikroštítku je 600-krát menšia neţ plocha výkresu A0. Z mikroštítku sa premieta

zväčšený obraz na reprodukčný materiál.

17

2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch

Mierky, ich veľkosť a zapisovanie na všetkých druhoch technických výkresov sa zvolí

podľa :

účelu a obsahu výkresu,

zloţitosti a hustoty kresby zobrazeného predmetu,

poţiadaviek na čitateľnosť a presnosť kresby.

Úplnosť označenia mierky pozostáva zo slova MIERKA (alebo jeho ekvivalentu

v jazyku pouţitom na výkrese a za ním sa uvedie označenie pomeru, napríklad :

MIERKA 1:1 pre skutočnú veľkosť,

MIERKA X:1 pre zväčšenie,

MIERKA 1:X pre zmenšenie.

Ak nemôţe dôjsť k nedorozumeniu, slovo MIERKA sa nemusí uviesť.

Označenie mierky pouţitej na výkrese sa zapisuje do titulného bloku výkresu.

Ak nie je obraz kreslený v mierke, napíše sa v titulnom bloku v rubrike Mierka

písmeno N ako skratka NIE JE.

Mierky zmenšenia: 1:2 1:5 1.10 1:20 1:50 1:100 ...

Mierky zväčšenia: 2:1 5:1 10:1 20:1 50:1 ...

18

3 Technický výkres

3.1 Úprava výkresového listu

3.2 Titulný blok výkresov

19

3.1 Úprava výkresového listu

Výkresový list technického výkresu musí byť orezaný.

Lem – plocha medzi rámikom kresliacej plochy a okrajom orezaného listu

Šírka lemu:

hore, dole, vpravo 10 mm

vľavo kvôli väzbe 20 mm

Rámik kresliacej plochy – súvislá hrubá čiara hrúbky 0,7 mm

Strediace úsečky:

sú štyri,

umiestňujú sa na koncoch dvoch osí súmernosti orezaného listu,

kreslia sa súvislou čiarou hrúbky 0,7 mm,

začínajú sa na leme orientačnej mrieţky a presahujú 5 mm za rámček

plochy na kreslenie.

Obr. 10 Úprava výkresového listu

20

Orezávacie značky:

umiestňujú sa v rohoch výkresového listu

majú tvar prekrývajúcich sa obdĺţnikov s rozmermi 10x5 mm

Obr. 11 Orezávacie značky

Sústava orientačnej mriežky:

podľa normy STN ISO 3098-1,

5 mm od lemu po všetkých stranách,

pri formáte A4 sa robí len na hornej a pravej strane,

dĺţka polí je 50 mm,

delenie začína vţdy od strediacich značiek,

počet polí závisí od formátu,

polia sa označujú zhora nadol veľkými zvislými písmenami (okrem I a O)

po oboch stranách,

polia sprava doľava sa označujú zvislými číslicami,

výška písmen a číslic má byť 3,5 mm,

čiary sústavy orientačnej mrieţky sa kreslia súvislou čiarou hrúbky 0,35

mm.

21

Obr.12 Sústava orientačnej mrieţky

Obr. 13 Technický výkres

22

3.2 Titulný blok výkresov

Výrobný výkres je dorozumievacím prostriedkom medzi konštrukciou a výrobou.

Musí spĺňať poţiadavky noriem a podľa toho musí obsahovať titulný blok.

Titulný blok:

podľa STN ISO 7200 (01 3250)

umiestňuje sa v pravom dolnom rohu

obsahuje:

o identifikačné pole

o doplňujúce polia:

informatívne údaje

technické údaje

administratívne údaje

Informatívne údaje:

Metóda zobrazenia

Hlavná mierka

Dĺţkové jednotky – ak sú iné ako milimetre

Technické údaje:

Spôsob značenia drsnosti povrchu

Tolerancie

Technické normy – materiál, druh, tvar, rozmer

Administratívne údaje:

Formát výkresového listu

Dátum vydania prvého výkresu

Mená a podpisy zodpovedných osôb

23

Obr. 14 Titulný blok

Obr. 15 Titulný blok

24

4 Jednoduché telesá

4.1 Jednoduché telesá

4.2 Siete mnohostenov

4.3 Siete valcov a kužeľov

4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov

4.5 Siete zrezaných telies

4.6 Zaujíma vás?

25

4.1 Jednoduché telesá

Telesá moţno rozdeliť podľa rôznych kritérií.

Jedno možné rozdelenie telies do dvoch skupín je nasledovné:

Mnohosteny, kde patria napr. kocka, hranol, kváder, štvorsten,

rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan.

Všetky ostatné, kde patria napr. rotačný a šikmý valec, rotačný a šikmý

kuţeľ, zrezaný kuţeľ, guľa a jej časti.

V škole budeme pouţívať najčastejšie rozdelenie telies na nasledujúce dve hlavné

skupiny:

Mnohosteny, ktoré sa rozdeľujú do dvoch podskupín:

1) hranoly - hranol, kocka, pravidelný n-boký hranol, kváder...

2) ihlany – ihlan a zrezaný ihlan, pravidelný n-boký ihlan a pravidelný zrezaný

n-boký ihlan, štvorsten a pravidelný štvorsten...

Rotačné telesá: kolmý (kruhový) valec, kolmý (kruhový) kuţeľ a zrezaný

kolmý (kruhový) kuţeľ, guľa a jej časti

4.2 Siete mnohostenov

Pravidelný mnohosten musí spĺňať kritériá:

1. konvexnosť – musí byť konvexný, t. j. kaţdá jeho strana má šancu byť

zvolená, „padnúť“ (napr. konvexný je štvrťkruh, nekonvexný je

trištvrtekruh),

2. steny musia byť pravidelné n-uholníky – najmenší je rovnostranný

trojuholník, teleso je štvorsten,

3. pri kaţdom vrchole musí byť zoskupený rovnaký počet stien (inak by

nebol pravidelný).

26

4. dá sa opísať aj vpísať guľa, t. j. existuje guľová plocha, ktorá obsahuje

všetky vrcholy a guľová plocha dotýkajúca sa všetkých stien zvnútra.

Mnohosteny, ktoré spĺňajú tieto podmienky sú: pravidelný štvorsten,

pravidelný šesťsten, pravidelný osemsten, pravidelný dvanásťsten a

pravidelný dvadsaťsten.

Medzi počtom stien, hrán a vrcholov konvexného mnohostena platí vzťah

(známy asi dvetisíc rokov ), ktorý dostal pomenovanie po matematikovi, ktorý ho

dokázal.

Eulerova veta o mnohostenoch

V kaţdom konvexnom mnohostene, v ktorom označíme s počet stien, h počet hrán,

v počet vrcholov, platí rovnosť

s+v = h+2, resp s+v -h = 2

Mnohosteny

pravidelný štvorsten (tetraéder), steny sú rovnostranné trojuholníky,

pravidelný šesťsten (hexaéder) - kocka, steny sú štvorce,

pravidelný osemsten (oktaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky,

pravidelný dvanásťsten (dodekaéder), steny sú pravidelné päťuholníky,

pravidelný dvadsaťsten (ikosaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky.

Obr. 16 Mnohosteny

http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_4sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_6sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_8sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_12sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_20sten.cg3

27

Sieťou telesa [sieťou mnohostena] sa nazýva súvislý rovinný útvar, ktorý je

zjednotením častí [mnohouholníkov] zhodných s časťami hranice telesa [so stenami

mnohostena], rozloţených v rovine tak, ţe ich opätovným zloţením dostaneme

hranicu telesa [mnohostena]. V prípade mnohostena dotýkajúce sa hraničné

mnohouholníky majú spoločnú celú stranu.

Rozloţiť hranicu telesa (mnohostena) do roviny je moţné viacerými spôsobmi,

ale len niektoré z nich budú jeho sieťami, a teda vhodnými na vytvorenie

(papierového) modelu.

Vytvoriť (takýto) model telesa teda znamená:

zostrojiť sieť telesa (mnohostena),

umiestniť vhodne záloţky na zlepenie.

Najdôležitejšie vlastnosti pravidelných mnohostenov týkajúcich sa počtu

stien, vrcholov a hrán uvedieme prehľadne v nasledujúcej tabuľke:

Tab.2 Dôleţité číselné údaje o pravidelných mnohostenoch.

Počet Počet hrán/strán

Názov

pravidelného mnohostena stien vrcholov hrán

jedného

vrchola

jednej

steny

s v h m n

štvorsten (tetraéder) 4 4 6 3 3

šesťsten (hexaéder) –

kocka

6 8 12 3 4

osemsten (oktaéder) 8 6 12 4 3

dvanásťsten (dodekaéder) 12 20 30 3 5

dvadsaťsten (ikosaéder) 20 12 30 5 3

28

Na nasledujúcom obr.17 sú ukáţky sietí všetkých pravidelných mnohostenov (aj

so záloţkami). Nakreslite ďalšie siete pravidelných mnohostenov a zostrojte si

modely týchto telies.

Obr. 17 Siete pravidelných mnohostenov - platónskych telies aj so záloţkami:

štvorstena, šesťstena, osemstena, dvanásťstena, dvadsaťstena

29

Na obr. 18 je ukáţka hranového a stenového modelu konvexného mnohostena,

mnohostena s čiastočne rozloţenou sieťou a jeho siete

Obr. 18 Konvexný mnohosten

c)

d)

a) b)

30

4.3 Siete valcov a kužeľov

Hranica valcov a kuţeľov je zjednotením ich plášťov a podstáv. Z toho vyplýva

výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P (ak budú dve, pridáme k

písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom Q.

Hranicu rotačného valca tvorí plášť a dve kruhové podstavy. Aby sme zostrojili

sieť valca, rozvinieme plášť do roviny. Preto plášť „rozstrihneme“ pozdĺţ jednej

tvoriacej úsečky a vznikne obdĺţnik. Dĺţky strán tohto obdĺţnika sú určené výškou

valca a obvodom podstavného kruhu.

Hranicu rotačného kuţeľa tvorí plášť a kruhová podstava. Plášť kuţeľa môţeme

tieţ „rozstrihnúť“ pozdĺţ tvoriacej úsečky s dĺţkou s a rozvinúť do roviny. Vznikne

kruhový výsek s polomerom 22 vrs (obr. 14b), pričom dĺţka oblúka sa rovná

dĺţke obvodu kruhovej podstavy l = 2πr. Stredový uhol kruhového výseku má veľkosť

sπ2

srl a obsah kruhového výseku, t.j. obsah plášťa je rsQ

srss ππ2

π2π

π2π 22 .

Obr. 20 Rotačný valec a jeho sieť, rektifikácia kruţnice

S

S

v

r

s

k

k

S

r

k

S

k

r

v

2r

r

O X Y

S

k r

r r r

Z

30°

31

4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov

V tejto časti sa budeme zaoberať vzťahmi, pomocou ktorých vypočítame povrch

jednoduchých hranatých telies, a to hranolov a ihlanov (vrátane zrezaných

ihlanov) a sieťami týchto telies.

Zjednotenie všetkých bočných stien hranola, ihlana alebo zrezaného ihlana

tvorí ich plášť. Hranica kaţdého z týchto telies je zjednotením jeho plášťa

a podstáv. Z toho vyplýva výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P

(ak budú dve, pridáme k písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom

Q.

Obr. 21 Rotačný kuţeľ a jeho sieť

S

r

k

V

s

S

V

v s

k

r

Obr. 22 Pravidelný 3-boký hranol a jeho sieť

C

C

C A

C

B C

C B A

v

a

a

v

B

B A C

C

a

A

A

A

B C

a a

a

w

32

Sieť ihlana z obr. 23 tvorí zjednotenie štyroch rovnoramenných zhodných

trojuholníkov so základňou a, výškou w (w je stenová výška) a jedného štvorca so

stranou dĺţky.

4.5 Siete zrezaných telies

Hranicu zrezaného rotačného kužeľa tvorí plášť a dve kruhové podstavy.

Pretoţe plášte rotačných kuţeľov sú kruhové výseky, plášť zrezaného kuţeľa sa

rozvinie do výseku medzikruţia – výseku kruhového pásu (ako rozdiel kruhových

výsekov - plášťov pôvodného a odrezaného kuţeľa) so stranou dĺţky

2221 )( vrrs , za predpokladu, ţe poznáme polomery podstáv a výšku

zrezaného rotačného kuţeľa. Obsah plášťa zrezaného rotačného kuţeľa je

srrQ )π( 21 .

Obr. 23 Pravidelný 4-boký ihlan a jeho sieť

A

V

A

D

A

B

C P

B

a

w

a

A B

C D

V

v w

a

P S

Obr. 24 Zrezaný kuţeľ a jeho sieť

2r

2

2r

1

s

r2

r1

S1

S2

33

Príklad konkrétnej konštrukcie siete a znázornenie zrezaného pravidelného

šesťbokého ihlana a jeho sieť vidíme na nasledujúcom obr. 25

Obr. 25 Zrezaný pravidelný šesťboký ihlan

34

4.6 Zaujíma vás?

Pravidelné mnohosteny alebo platónovské či Platónove telesá, sú špecifické

mnohosteny. Ich názov naznačuje, ţe boli známe matematikom uţ v starovekom

antickom Grécku. Napriek názvu neobjavil ich samotný Platón (ţil asi v rokoch 428-

347 pred n.l.), ale venoval sa len ich štúdiu v súvislosti s filozofiou. Pravidelné

mnohosteny boli opísané Euklidom (ţil asi v rokoch 365-300 pred n.l.) v 13. knihe

(kapitole) jeho Základov. Pravidelných mnohostenov je len päť typov a tento fakt bol

dokázaný aţ v 18. storočí. Podľa Platóna štvorsten predstavuje oheň, kocka zem,

osemsten vzduch, dvanásťsten éter, materiál, z kt. sú nebo a hviezdy, dvadsaťsten

vodu. Štvorsten, osemsten, dvadsaťsten patria do početnejšej skupiny telies, pretoţe

ich steny sú zhodné rovnostranné trojuholníky, nazývame ich deltaédry (z gréckeho:

stena = éder)..

Platónovské telesá sú geometrickým modelom viacerých (súmerných)

prírodných štruktúr. V chémii sa napr. študuje stavba molekúl a kryštálových mrieţok,

v mineralógii sa podobne študuje geometria kryštálov. Je všeobecne známe, ţe

chlorid sodný (NaCl – kuchynská soľ) kryštalizuje v kockách, ale asi uţ menej, ţe

napr. bór v dokonalých dvadsaťstenoch. Podľa najnovších objavov v biológii aj

mnohé vírusy, o ktorých sa predpokladalo, ţe majú guľovitý tvar, by mali mať tvar

pravidelného dvadsaťstena, napr. vírus detskej obrny a iné. Pravidelné mnohosteny

(ich rovinné grafy) sa študujú aj v teórii grafov.

Ku kaţdému konvexnému mnohostenu sa dá zostrojiť duálny mnohosten tak,

ţe za vrcholy duálneho mnohostena zvolíme stredy stien pôvodného. Potom vzniknú:

- duál štvorstenu = opäť štvorsten

- duál kocky = osemsten

- duál osemstenu = kocka

- duál dvanásťstenu = dvadsaťsten

- duál dvadsaťstenu = dvanásťsten

35

Worling - teória skladania papiera do geometrických tvarov, napr. štvorec,

obdĺţnik, trojuholník, päťuholník, šesťuholník a pod. Popis: Papier A4 - máme štyri

vrcholy, dva susedné, dva protiľahlé, spojte dva protiľahlé vrcholy, stisnite papier,

nechajte preloţené, spojíme dva najvzdialenejšie vrcholy, preloţíme tak, aby vznikla

stredová os, potom narovnáme naspäť, dve protiľahlé najkratšie strany priloţíme na

stredovú os a vznikne päťuholník (moţno).

Stella octangula - Je to hviezdicový mnohosten, ktorý je zloţený z dvoch do

seba prenikajúcich štvorstenov, tak vytvára hviezdu. Všetky steny sú zhodné

rovnostranné trojuholníky. Prienikom dvoch štvorstenov je pravidelný osemsten.

Obr. 19 Stella octangula

Projekt

Siete jednoduchých telies – Poďme sa hrať

Navrhnite a vytvorte model hračky pre deti alebo darčekového predmetu pre

dospelých zloţený z jednoduchých a zrezaných telies. Prezentujte svoj model formou

albumu fotografií.

36

5 Premietanie 5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko

priemetní

37

5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko priemetní

Pre zobrazenie predmetu do rovinnej plochy pouţívame rôzne

druhy premietania. Ak chceme zobraziť celkový tvar predmetu na

jednu plochu, tzv. priemetňu, pouţívame názorné obrazy telesa,

ktoré vyuţívajú tieto druhy premietania: pravouhlá axonometria

a šikmé premietanie. S týmito druhmi premietania sa budeme zaoberať neskôr.

Druhy premietania podľa sklonu premietacích lúčov:

Stredové premietanie: je také, ak premietané lúče vychádzajú z jedného

centra

Kosouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú navzájom rovnobeţné

a dopadajú na premietaciu rovinu šikmo

Pravouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú rovnobeţné a kolmé

na premietaciu plochu

Na dokonalé technické určenie tvaru telesa nestačí jeho názorný obraz. Vidíme len

obmedzený počet hrán a stien telesa. Preto v technickom kreslení zobrazujeme

predmety presnejším spôsobom, tzv. pravouhlým premietaním.

Rovinu, na ktorej zobrazujeme teleso, nazývame priemetňou. Samotný obraz je

priemet. Spôsob, akým teleso zobrazujeme, nazývame premietaním.

Pre technické zobrazovanie je typické, ţe zobrazovaný predmet umiestnime

vzhľadom na priemetne do priečelnej polohy

Priemetňa - rovina, na ktorú premietame

Nárysňa - označenie X,Z . Zobrazuje teleso pri pohľade spredu - 1

Bokorysňa - označenie Z,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zľava - 2

Pôdorysňa - označenie X,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zhora - 3

ľavý bokorys

spodný pohľad

zadný pohľad

38

Obr. 26 Uloţenie priemetní Obr. 27 Pravouhlé premietanie

Obr. 28 Zdruţené priemetne a priemety

39

6 Mongeovo premietanie

6.1 Priemety bodov

6.2 Priemety priamok

6.3 Priemety roviny, stopy roviny

6.4 Skutočná veľkosť úsečky

40

6.1 Priemety bodov

Mongeova projekcia (premietanie) je zobrazovacia metóda, v

ktorej priestorové objekty kolmo premietame do dvoch vzájomne

kolmých priemetní a potom tieto priemetne zdruţíme, t.j. jednu

otočíme okolo ich spoločnej priesečnice o uhol veľkosti 90° .

Zdruţením priemetní získame jedinú rovinu, tzv. nákresňu, v ktorej

máme obidva priemety zobrazovaných priestorových objektov.

Dve navzájom kolmé roviny π, υ v trojrozmernom euklidovskom priestore:

prvá priemetňa – rovina π; v technickej praxi pôdorysňa

druhá priemetňa – rovina υ; υ technickej praxi nárysňa

základnica x – priesečnica rovín π, υ

Obr. 29 Navzájom kolmé priemetne

Kolmé premietanie bodu A:

prvý priemet bodu A – pôdorys A1

Obr. 30 Pôdorysný priemet bodu A

druhý priemet bodu A – nárys A2

Obr. 31 Nárysný priemet bodu A

41

Obr. 32 Priemety bodu A

Združenie priemetní – otočenie O priemetne π okolo priamky x do priemetne υ tak,

aby kladná polrovina roviny π sa otočila do zápornej polroviny roviny υ.

Obr. 33 Zdruţené priemety

združené priemety bodu A (pôdorys, nárys) – usporiadaná dvojica bodov A1,

A2

(ozn. [A1,

A2])

ordinála bodu – spojnica bodov A1

A2

kolmá na základnicu x

Orientácia polpriestorov:

I. kvadrant (π+

, υ+

)

II. kvadrant (π+

, υ-

)

III. kvadrant (π-

, υ-

)

IV. kvadrant (π-

, υ+

)

Obr. 34 Rozmiestnenie kvadrantov

42

I. kvadrant: bod A (x, y>0, z> 0)

Obr. 35 Obraz bodu A v I. kvadrante

II. kvadrant: bod B (x, y 0)

Obr. 36 Obraz bodu A v II. kvadrante

43

III. kvadrant: bod C (x, y

44

6.2 Priemety priamky

Obraz priamky v Mongeovom premietaní je určený prvým a druhým priemetom

priamky.

Stopník priamky je priesečník priamky s priemetňou. Pôdorysný stopník P je

priesečník priamky s pôdorysňou, hľadáme preň prvý a druhý priemet - P1

P2.

Obdobne nárysný stopník N je priesečník priamky s nárysňou a hľadáme preň N1

N2 .

Niektorý stopník aj nemusí existovať, prípadne priamka leţí v niektorej súradnicovej

rovine a preto má nekonečne veľa stopníkov. Nech priamka a je vo všeobecnej

polohe vzhľadom k priemetniam a základnici.

združené priemety priamky – usporiadaná dvojica priamok [a1,a2]

a1 – pôdorys priamky a

a2 – nárys priamky a

Obr. 39 Zdruţené priemety priamky

45

Významné body priamky:

pôdorysný stopník priamky Pa

– priesečník priamky a s priemetňou π (ak existuje);

Pa

= a ∩ π

nárysný stopník priamky Na

– priesečník priamky a s priemetňou υ (ak existuje);

Na

= a ∩ υ

Niektoré špeciálne polohy priamky vzhľadom k priemetniam a základnici, určenie

stopníkov, ak existujú:

Priamka a je kolmá na pôdorysňu

Obr. 40 Priamka kolmá na pôdorysňu

Priamka a je kolmá na nárysňu

Obr. 41 Priamka kolmá na nárysňu

46

Priamka a leţí v rovine kolmej na pôdorysňu a nárysňu

Obr. 42 Priamka v rovine kolmej na obe priemetne

a || π

Obr. 43 Priamka rovnobeţná s pôdorysňou

a || υ

Obr. 44 Priamka rovnobeţná s nárysňou

47

a || x

Obr. 45 Priamka rovnobeţná s oboma priemetňami

Obraz bodu na priamke

Bod A leţí na priamke a práve vtedy, keď pôdorys bodu A1 leţí na pôdoryse priamky a

1,

nárys bodu A2 leţí na náryse priamky a

2.

Obr. 46 Obraz bodu na priamke

48

Obraz dvojice priamok

Priamky a, b sú vo všeobecnej polohe vzhľadom k rovinám π, υ a základnici x.

rovnobežné priamky: a||b

Obr. 47 Rovnobeţné priamky

Obr. 48 Obraz rovnobeţných priamok

49

rôznobežné priamky: axb

Obr. 49 Rôznobeţné priamky

mimobežné priamky: a,b

Obr. 50 Mimobeţné priamky

50

6.3 Priemety roviny, stopy roviny

Rovina je určená zdruţenými priemetmi určujúcich prvkov. Môţu to byť:

tri nekolineárne body

priamka a bod, ktorý na nej neleží

dve rovnobežné rôzne priamky

dve rôznobežné priamky

Obr. 51 Priemet roviny

pα

- pôdorysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou π, ak existuje,

pα

= α ∩ π

nα

- nárysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou υ, ak existuje,

nα

= α ∩ υ

Zápis roviny: α = (a, b, c) = [X(a,0,0) Y(0,b,0) Z(0,0,c)]

Obr. 52 Stopy roviny

51

Špeciálne roviny:

prvá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu π

Obr. 53 Rovina kolmá na pôdorysňu

druhá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu υ

Obr. 54 Rovina kolmá na nárysňu

52

rovina rovnobežná so základnicou x, λ || x;

Obr. 55 Rovina rovnobeţná so základnicou

Obraz bodu a priamky v rovine

Bod leží v rovine práve vtedy, keď leží na priamke

roviny.

Obr. 56 Bod v rovine

Priamka v rovine určenej stopami: pôdorysný stopník priamky leţí na pôdorysnej

stope roviny a nárysný stopník priamky na jej nárysnej stope.

Obr. 57 Priamka a stopy roviny

53

Významné priamky roviny (rovina nemá špeciálnu polohu):

- hlavné priamky

- spádové priamky

Hlavné priamky sú priamky rovnobežné so stopami roviny

hlavná priamka I. osnovy – priamka hI

roviny rovnobeţná s priemetňou π;

hI

= α ∩ π’, π’||π

Obr. 58 Hlavná priamky I. osnovy

hlavná priamka II. osnovy – priamka hII

roviny rovnobeţná s priemetňou υ;

hII

= α ∩ υ’, υ’||υ

Obr. 59 Hlavná priamky II. osnovy

54

Spádové priamky sú priamky kolmé na stopy roviny (kolmé na hlavné priamky

roviny)

spádová priamka I. osnovy – priamka sI

roviny kolmá na hlavné priamky prvej

osnovy hI

;

spádová priamka II. osnovy – priamka sII

roviny kolmá na hlavné priamky druhej

osnovy hII

;

Obr. 60 Spádová priamka I. osnovy

Obraz dvojice rovín

Dve roviny a ich združené priemety:

rovnobežné roviny

α||β

Obr. 61 Rovnobeţné roviny

55

rôznobežné roviny

α ∩ β = r – priesečnica

Obr. 62 Rôznobeţné roviny

56

6.4 Skutočná veľkosť úsečky

Obr. 63 Sklopené body A,B

Obr. 64 Sklopené body A,B

57

Cvičenia

1. Bod A leţí v rovine ρ. Zostrojte chýbajúci prvý priemet bodu A.

Obr. 65 Zadanie a riešenie úlohy

Obr. 66 Iné riešenie úlohy

2. Daným bodom A veďte priamku a rovnobeţnú s danou priamkou b.

Obr. 67 Zadanie a riešenie úlohy

58

3. Daným bodom A veďte priamku a rôznobeţnú s danou priamkou b, ak poznáte

prvý priemet priamky a1.

Obr. 68 Zadanie a riešenie úlohy

4. Zostrojte stopy roviny ρ, ktorá je určená bodom A a priamkou b.

Obr. 69 Zadanie a riešenie úlohy

5. Daný je obraz trojuholníka ABC ⊂ ρ. Zostrojte trojuholník zhodný s trojuholníkom

ABC.

Obr. 70 Zadanie a riešenie úlohy

59

7 Kótovanie na technických

výkresoch

7.1 Kótovanie a prvky kótovania

7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení

7.3 Spôsoby kótovania

60

7.1 Kótovanie a prvky kótovania

Patrí k najzodpovednejšej práci pre kreslení, uľahčuje čítanie výkresov, výrobu

a montáţ.

Kótovanie je určovanie rozmerov súčiastky, jej tvaru a vzájomnej polohy tvarových

prvkov na súčiastke

Prvky kótovania:

kótovacia čiara

ukončenie kótovacej čiary

predlţovacia čiara (pomocná)

odkazová čiara

kóta

Obr. 71 Prvky kótovania

Kótovacia čiara

je to tenká súvislá neprerušovaná čiara

nesmie ju nič kriţovať

výnimočne kreslíme kótovaciu čiaru neúplnú

kótovacia čiara je:

o priamka, ak kótujeme lineárne rozmery

o oblúk, ak kótujeme uhly alebo oblúky a má stred vo vrchole uhla alebo

v strede oblúka

o polpriamka, ak kótujeme polomery, začína v strede kótovaného

polomeru.

61

Ukončenie kótovacej čiary

a) šípkami

otvorené

uzatvorené

uzatvorené a plné (obr. 79)

b) bodkami, krátkymi úsečkami pod uhlom 45º

Obr. 72 Moţnosti kótovania

Obr. 73 Rôzne kótovanie

Predlžovacia (pomocná) čiara

je tenká súvislá čiara

väčšinou je kolmá na kótovaný obrys

môţe sa kresliť aj šikmo, ale v tom prípade musí byť odpovedajúca dvojica

rovnobeţná

kreslí sa vţdy za kótovaciu čiaru 1- 2mm

môţe prechádzať obrysmi, pretínať iné čiary a môţeme ju prerušiť

62

Odkazová čiara

tenká súvislá čiara

kreslí sa vţdy šikmo a na konci môţe byť zalomená vodorovne alebo zvislo

začína bodkou alebo šípkou, prípadne je bez začiatku

o bodkou začína na ploche

o šípkou na hrane

o bez začiatku na kótovacej čiare

vţdy sa vynášajú mimo obraz

ak prechádzajú šráfovaním, musí sa ich sklon výrazne meniť od sklonu

šráfovania

Obr. 74 Odkazové čiary

Obr. 75 Pouţitie odkazových čiar

63

Kóta

je číselný údaj, ktorý udáva rozmer v milimetroch

výška čísla závisí od veľkosti obrázku

písmo - typ B - podľa formátu, hrúbky čiar

kóta sa píše vţdy nad kótovaciu čiaru a vţdy tak, aby sa výkres dal čítať zdola

nahor a sprava doľava

kóta nesmie byť rozdelená ţiadnou čiarou

Obr. 76 Vpisovanie kót

Obr. 77 Vpisovanie kót Obr. 78 Vpisovanie kót

64

Ďalšie vlastnosti prvkov kótovania

- pri kótovaní sa môţe medzi obrysovou a pomocnou čiarou vynechať medzera

- kótovacia čiara je od obrysovej najmenej 7 mm vzdialená

- kótovacie čiary sa musia ukončovať šípkami

- veľkosť šípok je najmenej 2,5 mm

- pri krátkych kótach môţe byť namiesto šípok úsečka sklonená pod uhlom 45º vpravo

- kóta sa umiestňuje nad súvislou kótovacou čiarou vo vzdialenosti 1 mm

- kóta, ktorá nezodpovedá nakreslenému rozmeru sa musí podčiarknuť

- kóty sa uvádzajú v milimetroch, jednotky dĺţky sa neuvádzajú

- uhly sa uvádzajú v stupňoch, minútach a sekundách

- ak pretína šípka obrysovú čiaru, musí sa čiara prerušiť

- kaţdý rozmer kótujeme iba raz

Obr. 79 Šípky a kótovacie čiary

65

7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení

Kótovanie polomerov

pred kótu sa dáva značka "R" (Rádius)

Obr. 80 Kótovanie polomerov

Obr. 81 Rôzne druhy kótovania polomerov

66

Kótovanie priemerov

pred kótu dávame značku ϕ

Obr. 82 Kótovanie priemerov

Obr. 83 Kótovanie priemerov

Obr. 84 Kótovanie priemerov

Obr. 85 Kótovanie priemerov

67

Kótovanie uhlov

Obr. 86 Kótovanie uhlov Obr. 87 Kótovanie uhlov

Kótovanie oblúkov

Stredový uhol

Dĺţkou tetivy

Dĺţkou oblúka

Obr. 88 Stredový uhol Obr. 89 Dĺţka tetivy Obr. 90 Dĺţka oblúka

Kótovanie skosení

vonkajšie skosenie

Obr. 91 Vonkajšie skosenie

68

vnútorné skosenie

Obr. 92 Vnútorné skosenie

Kótovanie zaoblení hrán

polomer zaoblenia

stred polomeru nevyznačujeme

Obr. 93 Kótovanie zaoblenia

Kótovanie opakujúcich sa prvkov

kótujú sa zjednodušene tak, ţe zakótuje sa

jeden pomocou značky násobenia.

na odkazovaciu čiaru sa uvedie celkový počet

prvkov

Obr. 94 Kótovanie opakujúcich sa prvkov

Kótovanie závitov

1. zobrazenie profilu závitu

2. vonkajší priemer

3. stúpanie iba ak je iné ako v STN

4. dĺţka závitu

Obr. 95 Kótovanie závitov na skrutke

69

7.3 Spôsoby kótovania

- reťazcové kótovanie

- kótovanie od jednej základne – je najpouţívanejšie

- zmiešané kótovanie

Obr. 96 Reťazcové kótovanie

Obr. 97 Kótovanie od jednej základne Obr. 98 Zmiešané kótovanie

Zadanie technickej dokumentácie

Narysujte podľa vzoru dva technické výkresy na výkres a na pauzovací papier:

- hriadeľ

- skrutka M12 x 1,5 dĺţky 50 mm

70

Obr. 99 Skrutka M12

Obr.100 Hriadeľ

71

8 Technické krivky

8.1 Technické krivky, rozdelenie

8.2 Elipsa

8.3 Metódy konštrukcie elipsy

8.4 Iné technické krivky

72

8.1 Technické krivky, rozdelenie

Názov „kuţeľosečky“ pomenováva moţnosť ich vytvorenia ako

prieniku rotačnej kuţeľovej plochy a príslušnej roviny rezu.

Kuţelosečky:

elipsa

kruţnica

hyperbola

parabola

Obr. 101 Kuţelosečky

Iné technické krivky:

evolventa

Archimedova špirála

skrutkovica

73

8.2 Elipsa

Elipsa je rovinná krivka, ktorá patrí do triedy kuţeľosečiek. Elipsu moţno definovať

ako mnoţinu všetkých bodov roviny, ktoré majú od dvoch pevných bodov F1 a F2

konštantný súčet vzdialeností, ktorý je väčší ako vzdialenosť týchto bodov.

Body F1, F2 sa nazývajú ohniská, priamka prechádzajúca bodmi F1, F2 sa nazýva

hlavná os elipsy, body A, B v ktorých os elipsy pretína elipsu sú hlavné vrcholy

elipsy, stred úsečky F1, F2 je stred elipsy a priamka kolmá na hlavnú os elipsy

prechádzajúca jej stredom je vedľajšia os elipsy a body C, D, v ktorých vedľajšia os

elipsy pretína elipsu sú vedľajšie vrcholy elipsy.

Obr. 102 Elipsa

Obr. 103 Elipsa

74

8.3 Metódy konštrukcie elipsy

trojuholníková

priečková metóda

metóda oskulačných kruţníc

pásikové metódy

Trojuholníková metóda

Obr. 104 Trojuholníková metóda Obr. 105 Trojuholníková metóda

Priečková metóda

Obr. 106 Priečková metóda

75

Prúžková metóda

rozdielová

Obr. 107 Prúţková metóda rozdielová

súčtová

Obr. 108 Prúţková metóda súčtová

Prúžková konštrukcia elipsy

Majme dĺţky hlavnej a vedľajšej poloosi a, b. Na prúţok papiera si vyznačíme bod X

na jednom konci, bod 1 vo vzdialenosti b a bod 2 vo vzdialenosti a. Keď teraz

budeme pohybovať prúţkom tak, ţe bod 2 sa bude pohybovať po vedľajšej osi a bod

1 zasa po hlavnej osi elipsy, krajný bod X nám opíše hľadanú elipsu. Táto

konštrukcia má svoj názov odtiaľ, ţe na prúţku papiera máme naznačený rozdiel |12|

= a – b

76

Metóda hyperoskulačných rovníc

Obr. 109 Metóda hyperoskulačných rovníc

Metóda hyperoskulačných kružníc

Kvôli presnejšej konštrukcii krivky v jej jednotlivých bodoch pouţívame tzv. oskulačné

kruţnice, ktoré v okolí bodu nahrádzajú oblúk krivky. Oskulačná kruţnica má v bode

krivky tzv. trojbodový dotyk.

Pre konštrukciu krivky kuţeľosečiek v jej vrcholoch vyuţívame tzv. hyperoskulačné

kruţnice, ktoré majú v okolí vrcholov aţ štvorbodový dotyk.

Zostrojíme obdĺţnik SBS´C a jeho uhlopriečku CB. Z bodu S´ zostrojíme kolmicu na

uhlopriečku CB, ktorá pretne osi elipsy v hľadaných stredoch hyperoskulačných

kruţníc SB a SC pre vrcholy B a C (polomer je |SBB| a |SCC|). Stredy SA a SD pre

hyperoskulačné kruţnice pre vrcholy A a D sú symetrické podľa stredu S elipsy so

stredmi SB a SC (pre polomery platí: |SAA| = |SBB|, |SDD| = |SCC|).

77

Kužeľosečky v praxi

Obr. 110 Hyperbola Obr. 111 Parabola

Obr. 112 Elipsa Obr. 113 Parabolický hyperboloid

Obr. 114 Rotačný hyperboloid

78

8.4 Iné technické krivky

Evolventa - krivka, ktorá vzniká valením priamky h po kruţnici p, bod pevne spojený

s priamkou h opíše evolventu.

Postup:

Obvod kruţnice rozdelíme na určitý počet rovnakých dielov, oblúk prislúchajúci

jednému dielu zretifikujeme a nanesieme na dotyčnice vedené ku kruţnici v deliacich

bodoch

Obr. 115 Konštrukcia evolventy Obr. 116 Konštrukcia evolventy

Obr. 117 Evolventa

79

Archimedova špirála – rovinná krivka vytvorená rovnomerným pohybom bodu po

sprievodiči, ktorý sa rovnomerne otáča okolo pólu.

Postup konštrukcie:

Ak sa otočí sprievodič o uhol 2π , bude sa vzdialenosť bodu A od začiatku rovnať r0.

Uhol 2π rozdelíme na n rovnakých dielov a tieţ úsečku r0, na jednotlivé sprievodiče

nanesieme od začiatku postupne dĺţky r0/n, 2r0/n...

Obr. 118 Archimedova špirála Obr. 119 Archimedova špirála

Obr. 120 Archimedova špirála Obr. 121 Archimedova špirála

80

Skrutkovica – priestorová krivka, ktorú opíše bod A rovnomerným otáčaním okolo

osi o a súčasným rovnomerným posuvom v smere tejto osi – pravotočivé

a ľavotočivé

Obr. 122 Skrutkovica

Postup konštrukcie

Obvod kruhovej podstavy valca, na ktorom má byť skrutkovica vytvorená, rozdelíme

na vhodný párny počet rovnakých dielov (napr.12) a rozvinieme ho do priamky. Ak

sa otočí bod o 2π, posunie sa súčasne v smere osi o veľkosť stúpania s. Veľkosť

stúpania s vynesieme na kolmicu v koncovom bode rozvinutého obvodu podstavca

valca. Vznikne tak základný tvoriaci trojuholník, ktorého prepona po navinutí na

valec vytvorí hľadanú skrutkovicu.

81

Obr. 123 Skrutkovica

Obr. 124 Skrutkovica

Obr. 125 Skrutkovica

82

2. ročník

9 Názorné zobrazovanie

9.1 Názorné zobrazovanie

9.2 Kosouhlé premietanie

9.3 Pravouhlá axonometria

9.4 Zaujíma vás?

83

9.1 Názorné zobrazovanie

Na zobrazovanie predmetov na technických výkresoch sa pouţívajú rôzne metódy

premietania normalizované v technických normách ISO 5456-1 aţ 4.

Tieto metódy moţno rozdeliť na dve základné skupiny:

metódy 3D, ktoré poskytujú trojrozmerný pohľad na predmet - názorné

zobrazovanie,

metódy 2D, ktoré zobrazujú predmet dvojrozmernými obrazmi - kolmé

premietanie – zobrazovanie.

V technickej literatúre a v technickej praxi sa často snaţíme vytvoriť

obrazom ţiadúcu predstavu o skutočnom tvare predmetu.

Pouţívame pritom premietanie na jednu plochu, tzv. priemetňu.

Zobrazovanie priestoru do roviny sa uskutočňuje teda špecifickým spôsobom.

Existujú dva základné druhy premietania:

- stredové premietanie (SP)

- rovnobežné premietanie (RP).

Stredové premietanie nie je zobrazovacou metódou. Špeciálnym prípadom je

lineárna perspektíva, ktorá sa pouţíva hlavne v technickej praxi (v architektúre

a stavebníctve - návrhy projektov stavieb a pod.).

Obr. 126 Stôl s kompozíciou v RP a SP

84

Rovnobežné premietanie je zobrazenie, ktoré spĺňa poţiadavku názornosti,

príslušná teória aj praktické zostrojovanie rovnobeţných priemetov sú jednoduché

a pochopiteľné pre študentov stredných škôl.

Názorné zobrazovanie je také zobrazenie predmetov, z ktorého je z jedného

obrázka zrejmý celkový tvar predmetu.

Názorné obrázky zostrojujeme spravidla týmito druhmi rovnobežného

premietania:

- kosouhlé premietanie (šikmé premietanie)

- pravouhlá axonometria

85

9.2 Kosouhlé premietanie

Najjednoduchším spôsobom názorného zobrazovania tvaru telies je kosouhlé

premietanie. Priemetom čelnej steny je obraz jej skutočnej veľkosti i tvaru. Šikmé

priemety hrán bočnej steny sú skrátené. Pri skosení priemetu na 45º sa rozmer

bočnej steny skráti na ½ (k).

kosouhlé premietanie – uhol medzi osami x,y = 135º, k=0,5

Ak k = 1 - kavalierna alebo kavalierska perspektíva

Ak je izometrický na vodorovnú priemetňu – vojenská perspektíva

Obr.127 a) vojenská perspektíva, b) kavalierna perspektíva, c) kosouhlé premietanie

Vojenská perspektíva je zobrazenie vhodné na technické výkresy pouţívané v

urbanizme pri návrhu sídlisk a zostrojovaní priemetov objektov s komplikovaným

pôdorysom a zloţitou stavbou. Priemety súradnicových osí x a y sú kolmé, a platí

p : q : r = 1 : 1 : 1, čiţe jx = jy = jz

Kavalierna perspektíva je šikmé premietanie, v ktorom sa premieta do roviny

rovnobeţnej s nárysňou alebo bokorysňou. Pouţívala sa uţ v 16. a 17. storočí pri

zhotovovaní plánov (tzv. vedút) dôleţitých miest a sídlisk. Priemety súradnicových

osí x a z, príp. y a z sú kolmé, a p : q : r = 1 : 1 : 1, jx = jy = jz.

Obe spomenuté zobrazenia sa pouţívali na vojenské účely, praktickosť konštrukcií

prevládala nad dobrou názornosťou.

86

9.3 Pravouhlá axonometria

V praxi sa pouţívajú dva druhy axonometrického premietania:

a) izometria – uhly osí x, y, z = 120º, k = 1

b) technická dimetria – uhly osí x, z = 97º, uhly osí z, y = 131º, k = 0,5

Obr. 128 Izometria

Obr. 129 Dimetria

V izometrii pri zobrazení kocky sú priemety kruţníc zhodné elipsy, ktorých

osi sú zhodné s uhlopriečkami kosoštvorcov, do ktorých sa premietajú steny kocky.

http://www.google.sk/imgres?q=technick%C3%A1+dimetria&hl=sk&rlz=1R2GFRE_skSK358&biw=1280&bih=600&tbm=isch&tbnid=3Pz-LnGFXiUMcM:&imgrefurl=http://rodkovar.webzdarma.cz/2011/10/Axonometricke-promitani.html&docid=o9LJmjMDf-8npM&imgurl=http://b.wz.cz/photo800600/r/rodkovar_webzdarma_cz/35/dimetrie2.jpg&w=566&h=454&ei=py5NT6vlGYqnhAf-1aQU&zoom=1

87

Ak je skutočná veľkosť strany kocky s a ak nanášame rozmery neskrátene, potom

dĺžky osí elíps sú:

2a = 1,226.s

2b = 0,707.s

V dimetrii sa kruţnice vpísané do stien kocky zobrazia ako elipsy e1, e2, e3. Elipsa e1

v priečelnej stene blíţi kruţnici a elipsy e2 a e3 sú zhodné a platí:

2a1 = 2a2 = 2a3 = 1,06.s

2b = 0,955.s

Zobrazovanie predmetov na jednu priemetňu je obtiaţne najmä pri rotačných

tvaroch, kde treba kresliť elipsy. To je jedna z hlavných príčin, prečo sa názorné

priestorové zobrazovanie pouţíva na technických výkresoch len zriedkavo. Kosouhlé

a axonometrické obrazy pouţívame iba ako doplnok k technickým výkresom

v kolmých pravouhlých priemetoch.

Obr. 130 Vyuţitie izometrie

88

Obr. 131 Názorné zobrazenie

89

9.4 Zaujíma vás?

Snaha človeka zobraziť rôzne priestorové objekty do roviny

vznikla z praktických potrieb. Niektoré prvky zobrazovania

trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny boli známe uţ

pomerne dávno pred naším letopočtom (napr. náčrt mestského plánu

Nippuru, starého kultového sumerského strediska, asi 15. storočie pred n.l.). Metódy

na zobrazenie priestoru do roviny sa rozvíjali postupne a veľmi dlho, boli podmienené

prvotnou snahou umelcov o verné zobrazenie okolitého sveta. Po kolmom premietaní

(plány miest) to bola lineárna perspektíva, ktorú objavili aţ renesanční umelci (14.-

16. storočie) a bola pouţívaná a rozvíjaná ako názorná metóda veľmi blízka

ľudskému vnímaniu očami okrem maliarov zo začiatku aj architektmi a staviteľmi pri

navrhovaní stavieb. Ciele zobrazovania však boli a sú u maliarov aj architektov a

staviteľov rôzne. Technický obraz priestorového útvaru musí byť nielen názorný, ale

aj presný a mal by sa dať jednoducho zostrojiť, a na druhej strane z obrazu

v nákresni by sa mali dať určiť niektoré vlastnosti priestorového útvaru, ako napr.

tvar, rozmery a pod. Z týchto dôvodov sa v technických aplikáciách vyuţívajú metódy

zobrazovania priestoru do roviny, ktorých základom je rovnobeţné premietanie. Tieto

presné metódy skúma samostatná matematická a technická disciplína - deskriptívna

geometria. Jej teoretické základy vypracoval dôsledne aţ na konci 18. storočia

francúzsky matematik, geometer a fyzik Gaspard Monge (1746-1818) vo svojej

knihe „Géométrie descriptive“.

90

Zadanie technickej dokumentácie

Zobrazte kocku

- v kosoúhlom premietaní

- v izometrii

Obr. 132 Kocka v kosoúhlom premietaní

91

Obr. 133 Kocka v izometrii

92

10 Osvetlenie telies

10.1 Osvetľovanie telies

10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého

tieňa

93

10.1 Osvetľovanie telies

Kaţdý predmet, ktorý pozorujeme v priestore je osvetlený.

Dôleţitým sprievodným javom osvetľovania je tieň. Niektoré steny sú vţdy odvrátené

od zdroja svetla a sú teda vo vlastnom tieni. Nepriehľadné teleso súčasne bráni

priechodu svetla na podloţku a okolité objekty a vytvára tak vrhnutý tieň.

Podľa zdroja svetla rozlišujeme osvetľovanie:

rovnobežné - svetelné lúče sú rovnobeţné (zdroj svetla je nekonečne

vzdialený - slnečné lúče)

stredové - svetelné lúče vychádzajú z jedného bodu ( zdroj svetla je bodový

napr. osvetlenie ţiarovkou)

Skonštruovaním vrhnutých a vlastných tieňov predmetov vyvoláme dokonalý

priestorový dojem.

Pri osvetľovaní v technickom kreslení pracujeme so zidealizovanými podmienkami:

osvetlenie je rovnobeţné (svetelné lúče sú rovnobeţné, podobne ako je to

pribliţne pri slnečných lúčoch)

osvetľované útvary sú nepriehľadné a neodráţajú slnečné lúče

Osvetľovanie v mongeovej projekcii:

Vrhnutý tieň bodu na rovinu je priesečník svetelného lúča vedeného týmto

bodom so záchytnou rovinou (priemetňou).

Rovinný útvar leţiaci v rovine rovnobeţnej s priemetňou a jeho vrhnutý tieň sú

útvary zhodné, vzájomne posunuté v smere svetla.

Vrhnutý tieň kruţnice v rovine rovnobeţnej s priemetňou je opäť kruţnica,

posunutá do priemetne v smere svetla.

94

Technické osvetľovanie

často sa pouţíva pri osvetľovaní fasády budov. Šírka tieňa v oknách a

dverách udáva hĺbku ich zapustenia

rovnobeţné osvetľovanie, svetelné lúče sú rovnobeţné s telesovou

uhlopriečkou kocky, zvierajú so základnicou uhol 45 stupňov.

Obr. 134 Osvetľovanie telies

Obr. 135 Vrhnutý tieň

95

10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého tieňa

Obr. 136 Vlastný a vrhnutý tieň telesa

Obr. 137 Vlastný a vrhnutý tieň ihlanu

96

Obr. 138 Vlastný a vrhnutý tieň telesa

Obr. 139 Vlastný a vrhnutý tieň kuţeľa

97

11 Perspektívne zobrazovanie

11.1 Perspektíva

11.2 História perspektívneho zobrazovania

11.3 Základné pojmy

11.4 Druhy perspektív

11.5 Konštrukcia perspektívy

11.6 Anamorfóza a neskutočná perspektíva

98

11.1 Perspektíva

Kaţdý, kto sa pustí do kreslenia zátišia alebo krajiny, narazí na

problém zobrazenia hĺbky priestoru. Vynorí sa otázka, ako zobraziť

trojrozmerný priestor na ploche papiera. Na preštudovanie zákonov

perspektívy je nutné venovať trochu viac času, ale my sa pokúsime

tento problém zjednodušiť a poukázať iba na to, čo je pre nás najdôleţitejšie.

Perspektíva je vlastne spôsob, akým naše oči vnímajú priestorové vzťahy

medzi predmetmi. Povedané inými slovami a veľmi jednoducho – čím sú predmety

vzdialenejšie, tým sa nám zdajú menšie. Ilustrujme si túto vetu na veľmi známom

príklade – predstavte si, ţe stojíte na koľajniciach a očami hľadáte ich neviditeľný

koniec. Bude sa Vám zdať, ţe koľaje sa v diaľke zbiehajú do jedného bodu, hoci

viete, ţe v skutočnosti sú rovnobeţné. Človek, stromy a vôbec všetky predmety

stojace v diaľke sa vám budú zdať menšie ako sú naozaj.

Keď sa postavíte pod vysokú budovu, ktorá má rovnobeţné strany, tieto sa vám

budú javiť akoby sa do výšky zbiehali. Keby ste strany budovy predĺţili, priamky by

sa stretli v jednom bode. Na pochopenie tohto javu si musíme objasniť niekoľko

dôleţitých pojmov: pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a ktoré sa

nám zdajú zbiehavé, sa volajú úbežníky. Stretávajú sa v bode, ktorý nazývame

úbežníkový bod.

Samozrejme, tento bod v skutočnosti neexistuje, pouţívame ho len ako pomôcku

pri konštruovaní perspektívneho zobrazovania. Keď kreslíme, je dôleţité vedieť, kde

sa vlastne tento bod nachádza. Nachádza sa na horizonte, a to je rovina presne vo

výške našich očí. Pozor – tento horizont nie je totoţný s horizontom krajiny! Keď je

pozorovaný predmet vo vyššej pozícii ako pozorovateľ, úroveň jeho očí – a teda

horizont – bude zníţený. Takémuto zobrazovaniu hovoríme aj ţabia perspektíva.

Keď kreslíme predmety z vysokého stanovišťa, povieme, ţe kreslíme z vtáčej

perspektívy.

99

11.2 História perspektívneho zobrazovania

Staroveký Egypt

Uţ Egyptskí výtvarníci pozorovali, ţe postavy v ich blízkosti sú veľké a naopak

s rastúcou vzdialenosťou od pozorovateľa sa zmenšujú aţ sa nakoniec úplne

"stratia". Na kresbách, ktoré znázorňovali akýsi dej, bol vţdy ústrednou postavou

faraón, jeho kňazi a úradníci. Faraón však vynikal svojou veľkosťou v popredí, kňazi

boli menší, vojaci ešte menší a úplne najmenší boli radoví ľudia. Postavy sú

kreslené mimoriadne realisticky, avšak len z profilu a bez pouţitia perspektívy.

Jedná sa teda o významovú perspektívu, čo znamená, ţe Egypťania zdôrazňovali

veľkosťou hodnosť alebo moc kaţdej postavy, preto je faraón najväčším.

Obr. 140 Egyptská perspektíva

Staroveký Rím

Prvú zmienku o perspektíve nájdeme v Ríme a to u rímskeho architekta a

staviteľa Vitruvia Pollia. Ten tvrdil: "Potom, čo určíme stredový bod, musia sa čiary

ako v prírode zbiehať v projekčnom bode zorných paprskov tak, ţe mnohé časti sa

zdajú ustupovať dozadu, zatiaľ čo iné vystupujú dopredu."

Slovo perspektíva však nemá rovnaký význam po celú dobu ľudstva. V

minulosti sa slovo perspektíva pouţívalo k označeniu súboru poučiek z geometrickej

optiky. Tieto poučky dnes môţeme nájsť v Euklidových spisoch, v ktorých ide o

zdôraznenie priamočiareho šírenia svetla. Euklides ale objavil omnoho viac pre

deskriptívu. Skúmaním optiky zistil, ţe náš vizuálny obraz sa skladá z priamok, ktoré

100

vychádzajú z oka a tvoria kuţeľ. A tak sa objavujú prvé pokusy o perspektívne

zobrazenie predmetu. Nakoľko však rímska ríša zaniká, vývoj sa spomaľuje.

Zopakujme si

Ako by ste definovali jednoduchými slovami pojem perspektíva?

Čo platí pre znázorňovanie blízkych a vzdialených predmetov v perspektíve?

Ako sa nazývajú pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a zdajú sa

nám zbiehavé?

V akom bode sa tieto priamky zbiehajú?

Čo chápeme v perspektíve pod pojmom horizont?

Kde sa nachádza horizont v porovnaní s pozorovaným predmetom pri ţabej a kde pri

vtáčej perspektíve ?

Ako sa nazýva perspektíva pouţívaná v umení Starovekého Egypta?

Aký je princíp perspektívy pouţívanej v Starovekom Egypte?

Ako sa volal rímsky architekt, ktorý ako jeden z prvých začal vyuţívať perspektívu?

101

Renesancia

14. storočie, obdobie renesancie, najlepšie charakterizuje nová architektúra,

ktorá pouţitím jednoduchých geometrických tvarov a symetrie usiluje o jasné

definovanie a ovládnutie priestoru. O to sa snaţí aj maliarstvo. Od prvých nesmelých

pokusov sa v priebehu krátkej doby jedného storočia podarilo prevaţne florentským

maliarom nájsť všetky dôleţité zákonitosti lineárnej perspektívy. Jej pouţitie im

umoţňovalo maľovať úplne bezchybné perspektívne obrazy. Pritom toto hľadanie

nestavalo na znalostiach matematiky a geometrie, ale bolo prevaţne intuitívne,

odvodené od priameho pozorovania a pokusov.

V tomto období sa objaví muţ menom Giotto, ktorý vysloví nesúhlas so

svetskou byzantskou abstrakciou. Tento maliar ako prvý do svojej tvorby zahrňuje

perspektívu. Príklad jeho chápania perspektívy je vidieť na obrázku Giottovej fresky

Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi (okolo 1325, obr.141), ktorá sa nachádza v

kostole Santa Croce vo Florencii. Giotto uţ vedel, ţe na vyvolanie ilúzie

rovnobeţných čiar treba namaľovať čiary, zbiehajúce sa k spoločnému úbeţníku. Na

druhej strane však úbeţník priamok prislúchajúcich miestnosti ako celku a úbeţník

priamok prislúchajúcich baldachýnu, sú rôzne. Zdá sa preto, ţe obraz má dva hlavné

body (t.j. úbeţníky

priamok idúcich do hĺbky)

a aj dva horizonty. To

znamená, ţe u Giotta je

perspektíva akoby

"lokálna", rôzne prvky

architektúry sú zakreslené

v rôznych pohľadoch.

Obr. 141 Giotto, Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi

Ďalším intuitívnym perspektívcom bol Amerogio Lorenzetti. Jeho obraz

Zvestovanie (1344) uţ prináša do maliarstva úplne novú hodnotu. Všetky hĺbkové

priamky, ktoré sú kolmé na rovinu obrazu, sa zbiehajú v jedinom úbeţníkovom bode.

Z geometrického hľadiska je na obraze zaujímavá dlaţba, pomocou ktorej Lorenzetti

102

vyvoláva ilúziu hĺbky priestoru. Bočné hrany dlaţdíc sa zbiehajú do jediného bodu,

ktorý je súčasne aj hlavným bodom obrazu (t.j. obraz je maľovaný vo frontálnom

pohľade). To je v súlade s geometrickými princípmi. Keď si však do siete dlaţdíc

zakreslíme uhlopriečky, zistíme, ţe tieto tvoria krivku. Z geometrického hľadiska je to

nesprávne, lebo v skutočnosti je

diagonálou priamka, a pri stredovom

premietaní sa táto musí zobraziť opäť

na priamku. Preto čiara tvorená

uhlopriečkami dlaţdíc na obraze by

mala byť priamkou. Otázka, ako

správne zobraziť dlaţbu predstavovala

váţny technický problém. Lorenzetti uţ

vie, ţe dlaţdice na obraze sa musia

postupne zmenšovať, ale ešte nevie

podľa akého pravidla. Pravidlo, ako sa

majú na obraze zmenšovať dlaţdice

objavil aţ Alberti.

Obr. 142 Lorenzetti, Zvestovanie

V renesancii perspektíva opäť oţíva aj vďaka architektovi menom Filippo

Bruneleschi, ktorý je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie

perspektívy.. Pri stavbe florentského domu vytvoril systém vyuţívajúci pôdorys i

nárys, čo umoţňovalo pomocou priesečníkov rovnobeţiek nakresliť perspektívne

zobrazenie. Jeden jeho priateľ maliar, architekt a historik Vassari o ňom povedal:

"Vynález perspektívy uspokojil Filippa natoľko, ţe rýchlo namaľoval Plaza de San

Giovanni a reprodukoval krásu čiernobielych mramorových dlaţdíc, ktoré ubiehali do

vnútra chrámu."

Vďaka jeho technike namaľoval Masaccio svoju Najväčšiu trojicu. Vassari sa

k tejto freske opäť vyjadruje: "Ale to najkrásnejšie, keď opomenieme postavy, je

perspektívny obraz tabuľovej valenej klenby pri pohľade zdola. Optické skrátenie je

tak skvele namaľované, ţe strop pôsobí ako reliéf".

103

Obraz znázorňuje imaginárnu architektúru,

výklenok, v ktorom je Kristus na kríţi a pod ním kľačia

modliace sa postavy donátorov (obrazy tých, ktorí dielo

financovali), ďalej pod nimi akoby zo steny vystupuje

Adamov hrob s kostrou, ako symbol ľudskej

pominuteľnosti v kontraste s večnosťou Najsvätejšej

trojice. Po odhalení diela boli údajne súčasníci

zaskočení jeho dokonalosťou. Vraj v prvých

okamţikoch pri vstupe do chrámu verili, ţe vidia

skutočný výklenok alebo dokonalý reliéf.

Obr. 143 Masaccio, Najsvätejšia trojica

Ďalším významným architektom, ktorý sa zaoberal hĺbkovou perspektívou bol

Leon Battista Alberti. Vo svojej knihe O maliarstve uvádza vzorec na zistenie

vzdialenosti medzi opakujúcimi sa tvarmi v hĺbke. Výtvarníci túto vzdialenosť len

odhadovali a väčšinou dosť nepresne.

Na Albertiho nadviazal taliansky maliar Andrea Mantegna. Jeho

vynachádzavé narábanie s perspektívou a iluzionistickými efektmi spôsobuje, ţe svet

jeho obrazu akoby prekračoval

svoje hranice a vnucuje sa do

priestoru diváka. Na jeho obraze

Oplakávanie mŕtveho Krista

pouţíva dramaticky skrátenú

perspektívu. Divák má pocit,

akoby nohy Krista vystupovali

z obrazu a keď sa vzďaľuje od

obrazu, zdá sa, ţe ho postava

sleduje.

Obr. 144 Andrea Mantegna, Oplakávanie mŕtveho Krista

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/3/36/Andrea_Mantegna_-_The_Dead_Christ.jpg

104

V 15. storočí bola Albertiho metóda ešte zdokonalená maliarom Pierom della

Franceskom. V tejto

dobe bola perspektíva

prvýkrát v dejinách

umenia povaţovaná

za umenie riadnej

výstavby obrazu.

Obr.145 Piero della Francesca, Bičovanie Krista

Veľmi významným renesančným perspektívcom bol Leonardo da Vinci, ktorý

vo svojej knihe uvádza: "Perspektíva je ako pohľad na teleso, ktoré leţí za

sklenenou tabuľou a v nej sa odráţa". Objavil dvojstredovú atmosférickú

perspektívu. Jeho vyspelú perspektívu je vidieť na obrazoch ako sú: Klaňanie troch

kráľov, Posledná večera, Madona v skalách.

Obr. 146 Leonardo da Vinci, Posledná večera

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/11/Piero_-_The_Flagellation.jpg

105

Okrem podrobného štúdia perspektívy zistil Da Vinci a Raffaello aj nedostatky

perspektívneho zobrazovania. V rohoch obrazu vo veľkej vzdialenosti od hlavného

bodu sú obrazy extrémne skreslené. Ak si divák prezerá obraz z rôznych stanovíšť

a ak je plátno široké, môţe sa stať, ţe v určitých pohľadoch vidíme nevýhody

lineárnej perspektívy. Toto skreslenie sa môţe prejaviť tým viac, čím väčší zorný

uhol obrazu zvolíme. Typickými príkladmi sú diela Klaňanie troch kráľov od Leonarda

a Aténska škola od Raffaella.

Obr.147 Leonardo da Vinci, Klaňanie troch kráľov Obr. 148 Leonardo da Vinci, Madona v skalách

Obr. 149 Raffaelo Santi, Aténska škola

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Leonardo_da_Vinci_-_Adorazione_dei_Magi_-_Google_Art_Project.jpghttp://www.google.sk/imgres?q=da+vinci&hl=sk&sa=X&rlz=1R2GFRE_skSK358&biw=1280&bih=600&tbm=isch&prmd=imvnsb&tbnid=rp9ZfVNKx8JiaM:&imgrefurl=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonardo_da_Vinci_-_Virgin_of_the_Rocks_-_WGA12694.jpg&docid=3XeaU93jIa26aM&imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Leonardo_da_Vinci_-_Virgin_of_the_Rocks_-_WGA12694.jpg&w=807&h=1270&ei=_9ZCT6qQD8vOsgbU5ozCBA&zoom=1

106

Okrem Leonarda da Vinci sa štúdiom perspektívy v renesancii veľmi podrobne

zaoberal aj nemecký maliar Albrecht Dürer. Bol to maliar s veľkým talentom, ktorý

bol obdarený fantáziou a ohromným pozorovacím talentom. Mal pocit, ţe umenie by

malo mať správne teoretické základy. Navštívil Bolognu, aby sa naučil umeniu

„tajnej perspektívy“, ktorej zákonitosti podrobne študoval a prakticky overoval. Svoje

vedomosti uverejnil vo svojej práci Pojednanie o meraní.

Obr. 150 Dürerove štúdie

Obr. 151 Dürerove štúdie

V renesancii tieţ Quido Ubaldo del Monte uskutočnil dôkaz o tom, ţe sa

rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu. Tento dôkaz sa nazýva punctu

concursuum.

http://www.naturalpigments.com/education/images/draughtsman.jpg

107

Perspektíva, podobne ako iné veľké myšlienky svojej doby, bola ohromne

precenená. Nebola vţdy chápaná ako jedna zo zloţiek správneho maliarstva, ale ako

jeho podstata. Niektoré maliarske diela sa zvrhli v akúsi geometrické cvičenia, i keď

krásne. Príkladom je Zvestovanie so

svätým Emidiom od Carla Crivelliho

z roku 1486. Kvalita perspektívnej

kompozície bola chápaná ako

merítko umeleckej hodnoty diela.

Vlastná myšlienka obrazu často

ustupovala do pozadia.

Obr. 152 Carl Crivelli, Zvestovanie so svätým Emidiom

108

Zopakujme si

Ako sa volal taliansky renesančný maliar, ktorý ako prvý do svojej tvorby zahrňuje

princípy perspektívy a ktorá freska je typickým príkladom jeho chápania perspektívy?

Aká chyba perspektívy je na obraze Lorenzettiho Zvestovanie?

Ktorý renesančný architekt je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie

perspektívy?

V čom je prínos dokonalej perspektívy na Massaciovej freske Najsvätejšia trojica?

V akej knihe sa Alberti venoval výpočtom vzdialeností v perspektíve?

Ako sa volá obraz Andrea Mantegnu, na ktorom perfektne pouţil dramaticky skrátenú

perspektívu?

Uveďte tri najdôleţitejšie diela Leonarda da Vinci, na ktorých je najviac vidieť jeho

vyspelú perspektívu.

Uveďte dvoch maliarov a názvy ich diel, ktoré sú typickými príkladmi nevýhody

lineárnej perspektívy, ktorá má priveľký zorný uhol.

Ako sa volal renesančný nemecký maliar, ktorý podrobne aj prakticky študoval

perspektívu a spracoval jej teoretické zákonitosti v knihe Pojednanie o meraní?

Ako sa volá dôkaz o tom, ţe sa rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu?

Uveďte jeden príklad maliara, ktorého perspektíva sa stala takmer geometrickým

cvičením na úkor myšliebky obrazu?

109

Baroko

Zobrazované figúry majú v tomto období expresívne gestá, často sú

deformované, bez ohľadu na anatómiu, len aby dobre vyjadrili náboţenský záţitok

a odovzdanie. Perspektíva z obrazu zmizla. Prejavuje sa len na postavách a vo

výzdobe interiérov. Znalosť perspektívy totiţ umoţňovala efektnú iluzionistickú

výzdobu, imaginárne pokračovanie priestoru. Z maliarov tohto obdobia vyuţíval

intuitívne zásady perspektívy holandský maliar Jan van Eyck (1441). Jeho obrazy

vynikali takmer fotografickou presnosťou, neskôr bolo jeho oko nazývané teleskopom

a mikroskopom zároveň.

Dôkazom je jeho dokonalý

naturalistický portrét Portrét manţelov

Arnolfiniovcov (1434). Takmer sa nechce

veriť, ţe Eyck nepoznal správnu

geometrickú konštrukciu lineárnej

perspektívy. Ak si však predĺţime línie

spárov podlahy, stropu a okna, vidíme, ţe

sa pretínajú v niekoľkých rôznych

úbeţníkoch. Sú však veľmi blízko seba,

takţe dojem priestoru je vynikajúci.

Obr. 153 Jan van Eyck, Portrét manţelov Arnolfiniovcov

Iným maliarom – perspektívcom v období baroka bol v katolíckom Španielsku

pôsobiaci Diego Veláquez (1599 - 1660), a to priamo na kráľovskom dvore. Bol

veľkým priaznivcom perspektívy, geometrie a optiky. Na obraze Las Meninas (1656)

zobrazuje princeznu, dvorné dámy a tieţ seba ako kreslí kráľa a kráľovnu. Tí sa

odráţajú v zrkadle na protiľahlej strane miestnosti. Perspektíva Veláquezovho

ateliéru je jednoduchá a bezchybná. Všetko sa zbieha k jedinému úbeţníku

110

zvýraznenému svetlou plochou otvorených dverí. Perspektíva však nepôsobí

prehnane, je zmäkčená tmavým pozadím a krivkou postáv v prednom pláne.

V nasledujúcich umeleckých obdobiach uţ od konca 16. storočia je perspektíva ako

výrazový prostriedok takmer nepouţívaná. Mnoho umelcov ju zavrhuje ako otrockú

a zväzujúcu metódu. Zobrazenie

priestoru je nahradené inými

umeleckými prostriedkami – hrou

tieňov, svetla a farieb. Často sa však

maliari dopúšťajú hrubých chýb

a priestupkov proti jej zákonom.

Paradoxne, keď maliarstvo lineárnu

perspektívu opustilo, geometri

a matematici ju teoreticky povýšili.

Z umeleckých smerov dodrţiavajúcich

zásady perspektívy bol výraz