Techniques Mathématiques de l'Économiste · 2018. 6. 25. · Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel 1.Calculer si c’est possible AB et BA. 2.Calculer de

Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de LilleLicence 2 / Économie - Gestion

Calcul matriciel

Techniques Mathématiques de l’Économiste

M. Pelini, V. Ledda

24 juin 2018

Livret d’exercices

Table des matières

1 Les matrices1 Les matrices 2

2 Opérations sur les matrices2 Opérations sur les matrices 2

3 Réduction de Gauss-Jordan3 Réduction de Gauss-Jordan 63.1 Matrice inversible3.1 Matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Calcul du rang d’une matrice3.2 Calcul du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Systèmes linéaires4 Systèmes linéaires 94.1 système n×n4.1 système n×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 système n×m4.2 système n×m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Application au calcul de l’inverse d’une matrice4.3 Application au calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Déterminant5 Déterminant 12

6 Diagonalisation6 Diagonalisation 14

Version 0.3

Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel

1 Les matrices

� Exercice 1� Exercice 1Écrire en extension la matrice A = (aij) deM4 définie pour tout (i, j) ∈ ~1;42 par :

aij =1

i + j − 1

� Exercice 2� Exercice 2Écrire en extension la matrice A = (aij) deM4 définie pour tout (i, j) ∈ ~1;42 par :

aij =

i si i = j1 si i > j0 si i < j

.

Que peut-on dire de la matrice A?

� Exercice 3� Exercice 3Soit A = (2(j−1)(k−1))16j,k6n écrire A en extension pour n = 3.

� Exercice 4� Exercice 4Donner la taille des matrices suivantes, et indiquer celles qui sont échelonnées, échelonnéesréduites.

A =

1 2 3 4 10 1 0 0 23 1 2 1 10 0 1 2 30 0 0 0 2

B =1 0 4 1 00 1 0 0 10 0 0 1 3

C =1 0 4 0 0 1 0 4 1 00 1 7 0 1 1 0 4 1 00 0 0 1 3 9 0 4 1 00 0 0 0 0 0 1 4 1 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 Opérations sur les matrices

� Exercice 5� Exercice 5Dans chacun des cas suivants calculer : A + B, AB et BA :

1. A =(

2 3−1 0

)et B =

(−2 43 1

).

2. A =(

1 10 0

)et B =

(0 10 2

).

3. A =(

1 23 4

)et B =

(3 00 3

).

� Exercice 6� Exercice 6On pose

A =(

1 32 5

)B =

(2 5 73 9 2

)C =

1 20 1−2 1

2 M. Pelini, V. Ledda


1. Calculer si c’est possible A ·B et B ·A.2. Calculer de deux manières différentes t(B ·C).3. Que peut-on dire de la matrice tB ·B? Justifier.

� Exercice 7� Exercice 7 Le fleuristeUn fleuriste fabrique trois types de bouquets :

— le «Rosy» : avec 10 roses blanches, 10 roses rouges, 3 lys et 7 œillets, vendu 23 e ;— le «Neige» : avec 8 roses blanches, 10 lys et 5 œillets blancs, vendu 19 e ;— le «Sang» : avec 5 roses rouges, 10 œillets rouges et 5 roses blanches, vendu 15 e.

Un comité d’entreprise commande 51 «Rosy», 48 «Neige» et 37 «Sang». Répondre à l’aide d’uncalcul matriciel aux questions suivantes :

1. Combien le fleuriste a besoin de fleurs de chaque type pour répondre à cette commande ?2. Quel est le prix de cette commande?

On détaillera la démarche sans donner nécessairement de réponses chiffrées aux questions.

� Exercice 8� Exercice 8 La biscuiterieUne entreprise fabrique deux qualités de biscuits et vend trois sortes de paquets contenant desmélanges de ses biscuits. Les compositions des biscuits et les contenus des paquets sont donnéspar les tableaux suivants :

QualitéStandard Premium

beurre 35 40farine 33 25sucre 28 35œufs 14 15

PaquetsP1 P2 P3

Standard 225 70 273Premium 275 280 147

QuantitésP1 1 200P2 2 520P3 850

Quantités (en gramme) de produitsnécessaires pour fabriquer 100

grammes de biscuits.

Contenus des paquets (en gramme). Nombre de paquetsproduits aujourd’hui.

Quelles sont les quantités totales de produits nécessaires pour assurer la fabrication du jour?

� Exercice 9� Exercice 9Vérifier l’associativité du produit matricel avec les matrices suivantes :

A =(

0 2 −1−2 −1 2

), B =

1 0 1−1 1 −20 2 1

et C = −2 11 0

0 2

.� Exercice 10� Exercice 10

On pose A =(

1 2 3−2 1 0

)et B =

(4 0−2 5

)Calculer de deux manières différentes t(BA).

� Exercice 11� Exercice 11Déterminer toutes les matrices X de l’ensembleM2(R) vérifiant :

1.(

0 10 2

)X =

(0 00 0

);



2.(

1 10 1

)X =

(1 00 1

).

� Exercice 12� Exercice 12

On considère la matrice M =(a cb d

)∈M2(R) où a, b, c et d sont quatre nombres réels.

Démontrer que : M2 − (a+ d) M + (ad − bc) I2 = O2.� Exercice 13� Exercice 13Résoudre dansM2(R) le système :

X + Y =(−3 1−1 3

)X + 2Y =

(6 45 3

) (S)d’inconnues X et Y.

� Exercice 14� Exercice 14On considère l’ensemble des matrices :

E =

M ∈M3 telles que M = a b c2c a b

2b 2c a

où a, b et c sont trois nombres réels

1. Montrer que toute matrice de E peut s’écrire de manière unique M = aI3 + bB + cC, où B et Csont des matrices que l’on précisera.

2. Calculer BC, CB, B2 et C2. En déduire que le produit de deux matrices M et M′ de E estencore un élément de E.


On considère la matrice A =(

1 2 −1 3−1 0 2 1

).

Calculer : tA ·A et A · tA.� Exercice 16� Exercice 16

On considère les matrices : A =(

1 10 1

)et B =

(1 11 0

).

1. Calculer (AB)2 et A2B2.

2. Commenter ce résultat ?


On considère les matrices : A =

1 1 1−1 1 −30 −1 0

et B = −1 −1 11 0 −1

3 1 −2

.1. Calculer AB, BA, (A + B)2 et A2 + 2A ·B + B2. Que remarquez vous?2. Calculer t(AB) et (tA)(tB)




On considère la matrice A =

1 2 −32 5 −15 12 −5

.Déterminer tous les vecteurs U de dimension 3 vérifiant : A ·U = O3.� Exercice 19� Exercice 19

On considère la matrice : A =

0 1 −1 10 0 1 −10 0 0 10 0 0 0

. Déterminer An pour tout n ∈N∗.Remarque. La matrice A est dite nilpotente.

De manière générale, toute matrice triangulaire (inférieure ou supérieure) ayant que des zéros surla diagonale est nilpotente.



2 2 31 3 3−1 −2 −2.

1. Calculer A2.2. Déterminer la matrice B telle que : A2 = A + B.3. (a) Démontrer que : AB = B.

(b) En déduire que : ∀n ∈N∗ on a : An = A + (n− 1)B.



2 2 2−1 −1 −11 1 1

.1. Calculer A2 puis A3. Que remarquez vous?2. Pour tout entier n ∈N∗, conjecturer l’expression de An en fonction de la matrice A. Vérifier

cette conjecture grâce à une récurrence.



α 1 00 α 10 0 α

, α désignant un paramètre réel donné.1. Calculer A2 puis A3.2. (a) Trouver une matrice B telle que A = αI3 + B.

(b) Calculer B2 et B3. En déduire Bk, ∀k > 3.3. En déduire l’expression de An en fonction de n.



1 1 a1 1 b−12 −12 c, où a, b et c sont des nombres réels.



1. Déterminer a, b et c pour que A2 soit la matrice nulle.

2. On considère la matrice : M =

2 1 41 2 4−12 −12 −1. On veut calculer Mn, pour tout n ∈N∗.

(a) Trouver P telle que M = P + I3.

(b) Par récurrence :i. Exprimer M2 et M3 en fonction de I3 et P

ii. Démontrer que, pour tout n ∈N∗, Mn = I3 +nP.(c) Retrouver ce résultat avec la formule du binôme de Newton.

3. On pose Sn = M + ...+ Mn, avec n ∈N∗.

Exprimer Sn en fonction de n.(

Rappel : 1 + ...+n =n(n+ 1)

2

)

3 Réduction de Gauss-Jordan

3.1 Matrice inversible

� Exercice 24� Exercice 24Soient A et B deux matrices carrées n×n telles que A ·B = A + In. Montrer que A est inversible etdéterminer son inverse (en fonction de B).


Soit A =

0 1 11 0 11 1 0

.1. Calculer A2 et vérifier que A2 = A + 2I3, où I3 est la matrice identité 3× 3.2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

� Exercice 26� Exercice 26Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficientsdiagonaux sont tous non nuls.

� Exercice 27� Exercice 27Soit A une matrice carrée d’ordre n ; on suppose que A2 est une combinaison linéaire de A et In :A2 = αA + βIn.

1. Montrer que An est également une combinaison linéaire de A et In pour tout n ∈N∗.

2. Montrer que si β est non nul, alors A est inversible et que A−1 est encore combinaison linéairede A et In.

3. (a) Application 1 : soit A = Jn − In, où Jn est la matrice dont tous les coefficients valent 1,avec n > 1. Montrer que A2 = (n− 2) A + (n− 1) In ; en déduire que A est inversible, etdéterminer son inverse.



(b) Application 2 : Montrer que si n = 2, A2 est toujours une combinaison linéaire de A etI2, et retrouver la formule donnant A−1 en utilisant 2.

� Exercice 28� Exercice 28Déterminer l’inverse de la matrice 1 0 22 −1 3

4 1 8


On considère la matrice P =

1 2 03 −1 10 1 2

.1. Calculer P2, P3 puis P3 − 2P2 − 8P.2. En déduire que la matrice P est inversible et déterminer P−1.

� Exercice 30� Exercice 30On considère la matrice A ∈Mn(R) de la forme A = In −N où N est une matrice nilpotented’ordre p, c’est à dire une matrice pour laquelle les puissances sont nulles à partir du rang p+ 1.

1. Démontrer que A est inversible et que : A−1 = In + N + N2 + ...+ Np.

2. Appliquer le résultat précédent à la matrice : A =

1 1 10 1 10 0 1

. Calculer alors A−1.

3.2 Calcul du rang d’une matrice

� Exercice 31� Exercice 31Trouver le rang des matrices suivantes :

1.

A =

1 3 1 −2 −31 4 3 −1 −42 3 −4 −7 −33 8 1 −7 −8

2.

B =

1 2 −32 1 0−2 −1 3−1 4 −2

3.

C =

1 30 −25 −1−2 3



� Exercice 32� Exercice 32Donner la forme échelonnée réduite de la matrice suivante. Quel est son rang?2 6 1 5 −12 6 2 6 1

1 3 0 2 1

� Exercice 33� Exercice 33On considère la matrice suivante :

M =

1 3 4 27 2 4 80 0 0 0−2 2 5 9

Répondre sans calcul à la question suivante : «Parmi les matrices suivantes laquelle est susceptibled’être la matrice échelonnée réduite ligne-équivalente à M ?». Justifier succinctement.

A =

1 0 0 160 1 0 220 0 1 1990 0 0 0

B =

1 0 2 160 1 0 220 0 1 1990 0 0 0

C =

1 0 0 160 2 0 220 0 1 1990 0 0 0

D =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

� Exercice 34� Exercice 34Donner la matrice échelonnée réduite équivalente à la matrice suivante en déduire le rang de cettematrice.

1 1 3 47 7 2 44 4 2 1−2 −2 2 5


Table des matières

Version 0.3



4 Systèmes linéaires

4.1 système n×n� Exercice 35� Exercice 35Résoudre le système suivant d’inconnues x, y et z :

x+ 3y + 5z = 22−x+ 2y + 3z = 12−12x+ y − z = −13

� Exercice 36� Exercice 36Dans une entreprise de 60 personnes, le salaire mensuel des employés est de 1 500 e, celui destechniciens est de 2 600 e et celui des cadres de 4 200 e. La masse salariale mensuelle de cetteentreprise est de 114 000 e. Si on augmente de 6,4 % le salaire des employés et de 4,5 % celui descadres et des techniciens alors la masse salariale augmente de 5,6%.Quel est le nombre d’employés, de techniciens et de cadres?

� Exercice 37� Exercice 37Les 1 500 salariés d’une entreprise sont répartis dans trois services A, B et C. Pour rééquilibrer leseffectifs des trois services, il a été décidé que :

— 10 % des salariés du service B seront affectés au service C ;— 5 % des salariés du service A seront affectés au service B et 15 % au service C.

Après cette restructuration, le nombre de salariés du service B a diminué de 15 personnes et 159salariés ont été mutés dans le service C.Calculer les effectifs de chaque service avant la restructuration.

� Exercice 38� Exercice 38Un complexe industriel est constitué d’une centrale électrique équipée de turbine à gaz, d’unterminal de gaz naturel liquéfié et d’une station d’alimentation d’une ligne de chemin de fer.

— La centrale électrique utilise pour 1€ d’électricité produite 50 centimes de gaz, 10 centimesd’électricité et 5 centimes de transport ferroviaire ;

— le terminal de GNL utilise pour 1€ de gaz produit 20 centimes d’électricité et 10 centimesde transport ferroviaire ;

— la ligne de chemin de fer utilise pour 1€ de transport 60 centimes d’électricité et 5 centimesde gaz.

Combien le complexe industriel devra-t-il produire d’électricité, de gaz et de transport (en valeur)pour réaliser une production de 1 million d’euros de gaz et de 1,5 million d’euros d’électricité etcinq cents mille euros de transport ?


On considère le système (S) :

ax+ y + z = 1x+ ay + z = ax+ y + az = a2

où a désigne un paramètre réel.

Résoudre le système (S) en discutant selon les valeurs du paramètre a.

� Exercice 40� Exercice 40Résoudre les systèmes suivants :



1. (S) :

x+ y + z = 32y + z = 4x − 2y = −1

2. (S) :

y + 3z + t = 1x+ 2y + z + t = 2y − 4z = 0

4.2 système n×m� Exercice 41� Exercice 41Résoudre les systèmes suivants :

1. (S) :

x+ 2y + 2z = 23x − 2y − z = 52x − 5y + 3z = −4x+ 4y + 6z = 0

.

2. (S) :

x+ 2y − z + 3w = 32x+ 4y + 4z + 3w = 93x+ 6y − z + 8w = 10

.

� Exercice 42� Exercice 42Résoudre le système suivant :

x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 12x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 + 3x5 = 12x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 + 2x5 = 23x1 + 5x2 + 8x3 + 6x4 + 5x5 = 3

4.3 Application au calcul de l’inverse d’une matrice


On considère la matrice : B =

1 2 −22 1 −22 2 −3

.1. Calculer B2. En déduire que la matrice B est inversible et préciser B−1.

2. Résoudre dans R le système :

x+ 2y − 2z = 12x+ y − 2z = 32x+ 2y − 3z = 4

.


On considère le système (S) :

x+ 2y − 4z = a−x − y + 5z = b2x+ 7y − 3z = c

où a, b et c sont trois nombres réels donnés.

On pose : X =

xyz

et Y = abc

.10 M. Pelini, V. Ledda


1. Résoudre (S).

2. On pose A =

1 2 −4−1 −1 52 7 −3

.En utilisant la question 1), justifier que A est inversible et préciser A−1

� Exercice 45� Exercice 45Déterminer la matrice inverse des matrices suivantes (après avoir justifié son existence) :

1. A =

1 a b0 1 c0 0 1

où a, b et c sont trois nombres réels donnés.2. A =

1 −a 0 00 1 −a 00 0 1 −a0 0 0 1

où a est un nombre réel donné.


Table des matières

Version 0.3



5 Déterminant

� Exercice 46� Exercice 46Sans aucun calcul, donner le déterminant des matrices suivantes :

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, M1 = 0 1 01 0 0

0 0 1

, M2 = 2 0 00 1 0

0 0 1

, 2I3,N1 =

9 4 01 3 06 2 0

, N2 = 9 4 91 3 1

6 2 6

et N3 = 9 4 181 3 2

6 2 12


On considère les matrices M1 =(1 23 −1

)et M2 =

(0 2−1 0

)1. Calculer M1M2 puis det(M1M2). Comparer ce résultat à det(M1)det(M2).

2. Calculer M1 + M2 puis det(M1 + M2). Comparer ce résultat à det(M1) + det(M2).

� Exercice 48� Exercice 48En utilisant les formules de développement, calculer le déterminant des matrices suivantes

A =

1 2 3 43 −1 −9 130 0 0 20 0 −1 0

et B = 1 −2 32 4 −1

1 5 −2

.� Exercice 49� Exercice 49En utilisant les opérations sur les lignes et les colonnes, calculer le déterminant des matricessuivantes.

A =

12 −1 −

13

34

12 −1

1 −4 1

, B = 2 1 −31 0 2−1 1 1

et C =−2 4 −82 1 3

1 1 1

.� Exercice 50� Exercice 50Calculer les déterminants suivants : ( a, b, c et d désignent des nombres réels donnés)

∆1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∆2 =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 3 0 50 b 0 21 2 c 30 0 0 d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∆3 =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a a a aa b b ba b c ca b c d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣� Exercice 51� Exercice 51


a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

où a désigne un paramètre réel.1. Montrer que le déterminant de la matrice A est égal à

(a+ 3)(a− 1)3 .

2. Pour quelles valeurs du paramètre a la matrice A est-elle inversible ?



� Exercice 52� Exercice 52On considère la matrice

M =

0 1 −1−3 4 −3−1 1 0 .

1. Calculer le déterminant de la matrice M.

2. En déduire que la matrice M est inversible.

3. Calculer M2 puis M2 − 3M + 2I3. En déduire M−1.


1. La lettre n désigne un nombre entier naturel impair supérieur à 2 et A est une matrice deMn(R).Démontrer que si on a : tA = −A alors det(A) = 0.

2. Vérifier le résultat précédent sur la matrice A =

0 1 −4−1 0 34 −3 0

.3. Le résultat démontré à la question 1 est-il encore valable lorsque n est un entier naturel pair

non nul? Justifier la réponse.



0 1 −14 −3 43 −3 λ

où λ est un paramètre réel.1. Exprimer le déterminant de la matrice A, en fonction de λ.

En déduire les valeurs de λ pour lesquelles la matrice A est inversible.

2. (a) Calculer A2.

(b) Pour quelle valeur de λ a-t-on : A2 = I3 ? Que peut-on en déduire pour la matrice A?

3. Par un calcul direct déterminer A−1 et vérifier le résultat de la question 2.b.

� Exercice 55� Exercice 55Les matrices suivantes sont-elles inversibles ?Dans l’affirmative, déterminer la matrice inverse, en utilisant la formule de la comatrice.

A =(

2 1−3 5

), B =

(a b0 c

), C =

3 8 −3−1 −2 1−2 −4 2 et D =

1 1 1 20 3 1 40 0 0 30 0 0 1


1. Pour quelle valeur de m le système suivant est-il de Cramer?x+ y + (1−m)z = m

(1 +m)x − y + 2z = m2x −my + 3z = 0

2. Résoudre ce système dans le cas où m = 1



3. Résoudre ce système dans le cas où m = 0


Soit m ∈R. On considère le système (S) :

x+ y +mz = mx+my − z = 1x+ y − z = 1

d’inconnues x, y, z

1. Pour quelles valeurs de m le système S est-il de Cramer ?2. On suppose m , −1 et m , 1. Résoudre S en utilisant les formules de Cramer.3. Étudier le cas m = −1 puis le cas m = 1.

6 Diagonalisation

� Exercice 58� Exercice 58Pour chacune des matrices suivantes, déterminer les valeurs propres ainsi que les vecteurs proprescorrespondants :

A =(

4 41 4

), B =

(2 54 3

), C =

3 2 0−1 0 00 0 1


1. Diagonaliser la matrice A =(

1 22 1

).

2. On considère la matrice B =(−5 9−4 7

). Montrer que la matrice B n’est pas diagonalisable.

3. Diagonaliser la matrice C =

3 0 0−4 3 4−4 0 7.


On considère la matrice A =(

2a+ 3 −2(a+ 1)a+ 1 −a

).

1. Déterminer les valeurs propres de A.

2. On suppose a , −1.(a) Justifier que A est diagonalisable.

(b) Déterminer une matrice inversible S telle que S−1AS =(a+ 2 0

0 1

)3. Que dire quand a = −1 ?

� Exercice 61� Exercice 61On considère les matrices

A =

1 1 10 0 −1−2 −2 −1 , B =

2 1 1−3 −2 −11 1 0

et D = 0 0 00 −1 0

0 0 1



1. Vérifier que A ·B = B ·A.2. Déterminer les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés.

3. Déterminer une matrice inversible S, de deuxième ligne (−1 1 1) telle que telle que A = SDS−1.4. Calculer S−1 puis B′ = S−1 ·B · S. Vérifier que B′ est diagonale.

Remarque. Dans cet exercice, nous avons fait une diagonalisation simultanée de A et B. C’estpossible quand les matrices A et B commutent.



0 3 2−2 5 22 −3 0

et on appelle P le polynôme caractéristique de lamatrice A.

1. Démontrer que : P(X) = (2−X)2 (1−X).Comment peut-on en déduire le déterminant de A?

2. (a) Déterminer les valeurs propres de la matrice A ainsi que les vecteurs associés.

(b) Diagonaliser la matrice A.

(c) Soit n ∈N∗. Écrire alors An sous la forme d’un produit de trois matrices.

� Exercice 63� Exercice 63On considère la matrice

A =

3 −1 −1−3 1 32 2 0

.1. (a) Montrer que le polynôme caractéristique de la matrice A est : P(λ) = (λ+ 2)(λ− 4)(2−λ).

(b) En déduire que A est diagonalisable et trouver une matrice S inversible telle que S−1 ·A·Ssoit une matrice diagonale D que l’on précisera.

2. Montrer que ∀n > 1,

An = 2n−1 1 + 2

n 1− 2n 1− 2n−2n + (−1)n 2n + (−1)n 2n − (−1)n

1− (−1)n 1− (−1)n 1 + (−1)n

3. (a) Justifier que D et inversible et calculer la matrice D−1. En déduire que A est inversible.

(b) Montrer que A−1 = S ·D−1 · S−1.(c) Calculer alors la valeur de la matrice A−1.



1 1 01/2 3/2 −1/2−1/2 1/2 3/2

1. Déterminer les valeurs propres de A ainsi que les vecteurs propres associés.

2. Justifier que A n’est pas diagonalisable.



3. Soit P la matrice P =

1 1 01 0 10 1 1

.(a) Justifier que P est inversible et calculer P−1.

(b) Calculer T = P−1AP puis Tn, pour tout n ∈N.(c) En déduire An, pour tout n ∈N.



4 6 0−3 −5 0−3 −6 −5.

1. Déterminer les valeurs propres de A ainsi que les vecteurs propres associés.

2. Justifier que A est diagonalisable et la diagonaliser.

3. Exprimer An, pour tout n ∈N.

� Exercice 66� Exercice 66On considère la matrice P.

P =

1 −1 01 a −1a 0 2

1. (a) Pour quelle valeur de a cette matrice est-elle inversible ?

(b) Déterminer l’inverse de P lorsque c’est possible.

2. On pose

A =

2 −2 −13 −3 −1−4 4 1

(a) Montrer que A est diagonalisable.

(b) Soit n un entier naturel. Déterminer An en fonction de n.

3. On pose

B =

−2 3 1−3 4 12 −2 0

(a) La matrice B est-elle diagonalisable?

(b) On pose Q =

1 −1 01 −1 −1−1 0 2 et T =

0 0 00 1 10 0 1

. Vérifier que Q−1 ·B ·Q = T.(c) Calculer T5 et en déduire B5.




On considère les suites (un), (vn) et (wn) définies par :

un+1 = −vn +wnvn+1 = un + 2vn −wnwn+1 = −un − vn + 2wnu0 = v0 = w0 = 1

.

On pose A =

0 −1 11 2 −1−1 −1 2.

1. (a) Déterminer les valeurs propres de A ainsi que les vecteurs propres associés.(On choisira des vecteurs dont la première composante est égale à 1).

(b) Justifier que A est diagonalisable et la diagonaliser.

(c) Exprimer An, pour tout n ∈N.2. Exprimer un, vn et wn en fonction de n.



Éléments de correction

Les éléments de correction n’ont pas pour objectif de donner un corrigé type. Parfois la rédaction estvolontairement lacunaire, c’est au lecteur de combler les manques pour parfaire sa compréhension dessujets abordés.

Correction 1

A =

1 12

13

14

12

13

14

15

13

14

15

16

14

15

16

17

Énoncé de l’exercice n°1.Énoncé de l’exercice n°1.

Correction 2

A =

1 0 0 01 2 0 01 1 3 01 1 1 4

La matrice A est triangulaire supérieure.


Correction 3

A =

1 1 11 2 41 4 16


Correction 4

1. A ∈M5, B ∈M3,5 et C ∈M5,102. A n’est pas échelonnée, B l’est mais n’est pas réduite, C est une matrice échelonnée réduite.


Correction 5

1.

A + B =(

0 72 1

)A ·B =

(5 112 −4

)B ·A =

(−8 −65 9

)2.

A + B =(

1 20 2

)A ·B =

(0 30 0

)B ·A =

(0 00 0

)3.

A + B =(

4 23 7

)A ·B =

(3 69 12

)B ·A =

(3 69 12

)




Correction 6

1. Seul le produit de A par B est réalisable.

A ·B =(11 32 1319 28 24

)2. (a)

B ·C =(−12 16−1 17

)Donc t(B ·C) =

(−12 −116 17

)(b)

t(B ·C) = tC · tB =(−12 −116 17

)3.

tB ·B =

13 37 2037 106 5320 53 53

tB ·B est symétrique car :

(tB ·B)ij =n∑

k=1

b̃ikbkj =n∑

k=1

bkibkj =n∑

k=1

bkjbki =n∑

k=1

b̃jkbki = (tB ·B)ji

Ou encore :t(tB ·B) = tB · ttB = tB ·B

Ainsi t(tB ·B) = tB ·B donc B est symétrique.


Correction 7 Si l’on distingue œillets, œillets blancs et œillets rouges.en posant

F =

10 10 3 7 0 08 0 10 0 5 05 5 0 0 0 10

C = ( 51 48 37 ) P = 2319

15

on peut répondre aux questions par :

1.C · F =

(1079 695 633 357 240 370

)2.

C · P =(

2640)




Correction 8 Posons :

Q =

35 4033 2528 3514 15

T =(225 70 273275 280 147

)et P =

12002520850

Les quantités cherchées exprimées en kilogramme s’obtiennent par :

Q · (T/100) · P× 11000

=

701,6775514,026

596,1585269,0655


Correction 9

A ·B ·C = A ·

−2 33 −52 2

=(−2 0 −5−1 3 2

)·C =

(4 −125 3

)Énoncé de l’exercice n°9.Énoncé de l’exercice n°9.

Correction 10

t(BA) =

4 −128 112 −6


Correction 11

1. Posons X =(a bc d

)(

0 10 2

)X =

(0 00 0

)⇔

(c d

2 · c 2 · d

)(0 00 0

)⇔

{c = 0d = 0

S ={(

a b0 0

)|(a;b) ∈R2

}2. Posons X =

(a bc d

).

(1 10 1

)X =

(a+ c b+ dc d

)=

(1 00 1

)⇔

a+ c = 1b+ d = 0

c = 0d = 1

⇔

a = 1

b = −1c = 0d = 1

S ={(

1 −10 1

)}Énoncé de l’exercice n°11.Énoncé de l’exercice n°11.



Correction 12

M2 =(a2 + bc ac+ dbab+ bd bc+ d2

)= (bc − ad)I2 +

(a2 + ad ac+ dcab+ bd d2 + ad

)= (bc − ad)I2 +

(a(a+ d) c(a+ d)b(a+ d) d(a+ d)

)M2 = (bc − ad)I2 + (a+ d) M


Correction 13 Posons A =(−3 1−1 3

)et B =

(6 45 3

). Le système (SS) est équivalent à

{X + Y = A

X + 2Y = B{X + Y = AY = B−A{

X = 2A−BY = B−A

D’où X =(−12 −2−7 3

)et Y =

(9 36 0

).


Correction 14

1.

M =

a b c2c a b2b 2c a

= aI3 + b0 1 00 0 12 0 0

︸︷︷︸B

+c

0 0 12 0 00 2 0

︸︷︷︸C

2.

B·C =

2 0 00 2 00 0 2

= 2I C·B = 2 0 00 2 0

0 0 2

= 2I B2 = 0 0 12 0 0

0 2 0

= C C2 = 0 2 00 0 2

4 0 0

= 2BSoit M et M′ deux matrices de E.

M ·M′ = (aI + bB + cC)(a′I + b′B + c′C)M ·M′ = aaI + ab′B + ac′C + ba′B + bb′C + 2bc′I + ca′C + 2cb′I + 2cc′BM ·M′ = (aa+ 2bc′ + 2cb′)I + (ab′ + ba′ + 2cc′)B + (ac′ + bb′ + ca′)C

Donc M ·M′ ∈ E.




Correction 15

tA ·A =

2 2 −3 22 4 −2 6−3 −2 5 −12 6 −1 10

A · tA =(

15 00 6

)


Correction 16

1.

(AB)2 =(

5 22 1

)A2B2 =

(4 31 1

)2. Donc en général pour les matrices (AB)2 , A2 ·B2, C’est tout à fait normal, en effet (AB)2 =

ABAB , AABB.


Correction 17

1.

AB =

3 0 −2−7 −2 4−1 0 1 BA =

0 −3 21 2 12 6 0

(A + B)2 = 6 0 −4−12 1 4−6 0 10

A2 + 2A ·B + B2 =

9 3 −8−20 −3 7−9 −6 11

2.

t(AB) =

3 −7 −10 −2 0−2 4 1 (tA)(tB) =

0 1 2−3 2 62 1 0


Correction 18 Soit

xyz

un vecteur vérifiant A ·U = O3. 1 2 −3 02 5 −1 0

5 12 −5 0

. 1 2 −3 00 1 5 00 2 10 0

. 1 2 −3 00 1 5 00 0 0 0

.



En remontant le système on obtient y = −5z et x = 13z, donc l’ensemble des vecteurs tels queA ·U = O3 est

{z

13−51

|z ∈R}.Énoncé de l’exercice n°18.Énoncé de l’exercice n°18.

Correction 19

A2 =

0 0 1 −20 0 0 10 0 0 00 0 0 0

A3 =

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

A4 = O4∀n > 4,An = O4


Correction 20

1.

A2 =

3 4 62 5 6−2 −4 −5

2.

A2 =

2 2 31 3 3−1 −2 −2+

1 2 31 2 3−1 −2 −3︸︷︷︸

B

3. (a) Il suffit de faire le calcul !

(b) Procédons par récurrence sur n > 1. La proposition est clairement vrai pour n = 1.Supposons qu’elle soit vraie au rang n.

An+1 = A(An) = A · (A + (n− 1)B) = A2 + (n− 1)AB = A + B + (n− 1)B = A +nB

Ainsi la proposition est héréditaire. D’après le principe de récurrence, ∀n ∈N∗ on a :An = A + (n− 1)B.


Correction 21

1.

A2 =

4 4 4−2 −2 −22 2 2

= 2A A3 = 8 8 8−4 −4 −4

4 4 4

= 4AIl semblerait que

An = 2n−1A



2. Nous procédons par récurrence. La proposition est vraie au rang 1. Supposons la propositionvraie au rang n.

An+1 = A ·An = A · 2n−1A = 2n−1A2 = 2n−1 · 2A = 2nA

Ainsi la proposition est héréditaire. D’après le principe de récurrence, pour tout entier n ∈N∗,An = 2n−1A.


Correction 22

1.

A2 =

α2 2 ·α 1

0 α2 2 ·α0 0 a2

A3 = α

3 3 ·α2 3 ·α0 α3 3 ·α20 0 α3

(a) B =

0 1 00 0 10 0 0

(b) B2 =

0 0 10 0 00 0 0

et ∀k > 3, B=O32. Remarquons que I3 et B commutent, on peut donc appliquer la formule du binôme de

Newton. Pour n > 3 on a :

An = (αI3 + B)n =

n∑k=0

(n

k

)Bk(αI3)

n−k =2∑

k=0

(n

k

)αn−kBk

An =

αn 0 0

0 αn 00 0 αn

+0 nα

n−1 00 0 nαn−1

0 0 0

+0 0 α

n−2 n(n−1)2

0 0 00 0 0

An =

αn nαn−1 αn−2 n(n−1)2

0 αn nαn−1

0 0 αn


Correction 23

1.

A2 =

12 · (−a+ 4)

12 · (−a+ 4) a · c+ a+ b

12 · (−b+ 4)

12 · (−b+ 4) b · c+ a+ b

12 · (−c − 2)

12 · (−c − 2) c

2 − 12 · a−12 · b

Clairement pour que A2 soit nulle, il est nécessaire que a = 4, b = 4 et c = −2. On vérifiefacilement que cette condition est suffisante.



2. (a)

P =

1 1 41 1 4−12 −12 −2

C’est la matrice A pour a = 4, b = 4 et c = −2. Donc P2 = O3.(b) i.

M2 = (I + P) · (I + P) = I + 2P + P2 = I + 2P =

3 2 82 3 8−1 −1 −3

M3 = (I + P) ·M = (I + P) · (I + 2P) = I + 3P + P2 = I + 3P =

4 3 123 4 12−32

−32 −5

ii.

Mn+1 = M ·Mn = (I + P) · (I +nP) = I +nP + P +nP2 = I + (n+ 1)P

(c) On remarque que P et I3 commutent. Puis, on applique la formule du binôme de Newton.Toutes les puissances de P supérieures ou égales à 2 étant nulles, on a :

Mn = (I + P)n = I3 +(n

1

)P = I3 +nP

3.

Sn =n∑

k=1

Mk =n∑

k=1

I3 + kP = nI3 +n∑

k=1

kP = nI3 +n(n+ 1)

2P =

n+ n(n+1)2

n(n+1)2 2n(n+ 1)

n(n+1)2

n(n+1)2 +n 2n(n+ 1)

−n(n+1)4 −n(n+1)

4 n−n(n+ 1)

Sn =

n(n+3)

2n(n+1)

2 2n(n+ 1)n(n+1)

2n(n+3)

2 2n(n+ 1)−n(n+1)4 −

n(n+1)4 −n

2


Correction 24A ·B = A + In⇔ A · (B− In) = In

Donc A est inversible à gauche, donc tout simplement inversible et A−1 = (B− In).


Correction 25

1.

A2 =

2 1 11 2 11 1 2

= A + 2I3



2. Ainsi A · 12(A− I3) = I3, A est inversible et A−1 = 12(A− I3) =

−12

12

12

12 −

12

12

12 −

12

12


Correction 26 Si A est inversible alors A−1 ·A = I, donc A est ligne équivalente à In qui possèden pivots. Supposons que A possède un élément nul sur sa diagonale. Donc A est échelonnée,on peut réduire la matrice à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes. Donc A est ligneéquivalente à une matrice échelonnée réduite qui possède au plus n− 1 pivots. Cela nous amène àune contradiction car A est ligne équivalente à une matrice échelonnée réduite unique.Réciproquement. Soit A une matrice triangulaire supérieure. Si tous les termes diagonaux sontnon nuls, la matrice est échelonnée et possède n pivots alors on peut échelonnée et réduire lamatrice à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes (Li ← 1ai Li , puis Lj ← Lj − ajiLi pour j > i).La matrice équivalente sera l’identité.Donc il existe une matrice inversible P telle que P ·A = In, la matrice A est inversible.


Correction 27

1. Procédons par récurrence.

An+1 = A ·An = A · (αnA + βnI) = αnA2 + βnA = αn(αA + βI) + βnA = (αnα+ βn)A +αnβI

Au passage {αn+1 = αnα+ βn

βn+1 = αnβ

avec α1 = 1 et β1 = 1.

2. Supposons que β , 0. Dans ce cas :

A · (A−αI) = βI⇔ A · 1β

(A−αI) = I

La matrice A est donc inversible et A−1 = 1β (A−αI)3. (a)

0 1 1 · · · 11 0 1 · · · 1...

. . ....

1 1 · · · 0 11 1 · · · 1 0

2

=

n− 1 n− 2 n− 2 · · · n− 2n− 2 n− 1 n− 2 · · · n− 2...

. . ....

n− 2 n− 2 · · · n− 1 n− 2n− 2 n− 2 · · · n− 2 n− 1

= (n− 2)A + (n− 1)I

Comme n− 1 , 0, A est inversible et A−1 = 1n−1(A− (n− 2)I)


Correction 28

A−1 =

−11 2 2−4 0 16 −1 −1



Remarque 1. Il peut-être intéressant de vérifier à l’aide d’un logiciel. Par exemple avec XcasXcas.


Correction 29

1.

P2 =

7 0 20 8 13 1 5

P3 = 7 16 424 −7 10

6 10 11

P3 − 2P2 − 8P = −15 0 00 −15 0

0 0 −15

2. D’après la question précédente P3 − 2P2 − 8P = −15I3. Ainsi P · −115 (P

2 − 2P − 8I3) = I3 et lamatrice P est inversible.

P−1 =−115

(P2 − 2P− 8I3) =1

15

3 4 −26 −2 1−3 1 7


Correction 30

1. Il suffit de vérifier que In + N + N2 + ...+ Np est bien l’inverse de A.

(In −N) · (In + N + N2 + ...+ Np) = In −Np+1 = In

2. A = I3 +

0 1 10 0 10 0 0

N =

0 −1 −10 0 −10 0 0

N2 =0 0 10 0 00 0 0

N3 = O3A−1 = I3 +

0 −1 −10 0 −10 0 0

+0 0 10 0 00 0 0

=1 −1 00 1 −10 0 1


Correction 31


http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php


Remarque 2. Pour les matrices B et C, il est plus simple de transposer les matrices et de travaillersur les lignes, en sachant que rang(tB) = rang(B).

Remarque 3. Il peut-être intéressant de vérifier à l’aide d’un logiciel. Par exemple avec XcasXcas.

1. rang(A) = 2

2. rang(B) = 3

3. rang(C) = 2


Correction 32 La matrice est ligne-équivalente à 1 3 0 2 00 0 1 1 00 0 0 0 1

Donc son rang vaut 3.


Correction 33 Remarquons tout d’abord que la matrice M possède une ligne de 0, donc son rangest au plus 3. On peut donc exclure la matrice D. La matrice C a un pivot différent de 1, doncla matrice C n’est pas échelonnée-réduite. La matrice B a trois pivots égaux à 1, mais dans latroisième colonne, il y a un coefficient non nul au dessus du pivot, donc la matrice B n’est paséchelonnée-réduite.Seule la matrice A est potentiellement la matrice échelonnée réduite ligne-équivalente à M.


Correction 34 La matrice est ligne équivalente à1 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Donc son rang vaut 3.


http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php



Correction 35

S = {(1;2;3)}

Vous pouvez utiliser l’outil solveuse linéairesolveuse linéaire sur un serveur wims pour vérifier votre réponse.


Correction 36 Soit e, t, c les nombres respectifs d’employés, de techniciens et de cadres de l’entre-prise.

e+ t + c = 60

1500e+ 2600t + 4200c = 1140001500× 1,064e+ 2600× 1,045t + 4200× 1,045 = 114000× 1,056 1 1 1 6015 26 42 1140

1596 2717 4389 120384

1 1 1 600 11 27 2400 0 456 1824

En remontant le système, on obtient : c = 4, t = 12 et e = 44.Dans l’entreprise, il y a donc 44 employés, 12 techniciens et 4 cadres.


Correction 37 On note a, b et c les effectifs de chaque service avant la restructuration. L’énoncépeut se traduire par :

a+ b+ c = 15000,05a− 0,1b = −150,15a+ 0,1b = 159

a+ b+ c = 15000,05a− 0,1b = −15

0,2a = 144⇔

a+ b+ c = 1500

0,05a− 0,1b = −15a = 720

⇔

a+ b+ c = 1500

b =−15− 0,05× 720

−0,1= 510

a = 720c = 1500− 720− 510 = 270

b = 510a = 720

Donc, avant la restructuration, les effectifs étaient respectivement de 720, 510 et 270 personnes.



http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?lang=fr&+module=tool%2Flinear%2Flinsolver.fr


Correction 38Il s’agit de modéliser un système économique par un tableau entrées-sorties. Ce modèle simple aété développé par l’économiste américain d’origine soviétique Wassily LeontiefWassily Leontief et a été utilisé àgrande échelle.

E G TE 0,9 -0,5 -0,05G -0,2 1 -0,1T -0,6 -0,05 1

Répondre au problème revient à résoudre le système suivant :0,9 -0,5 -0,05 1,5-0,2 1 -0,1 1-0,6 -0,05 1 0,5

ou encore9 -5 -0,5 15-2 10 -1 10-6 -0,5 10 5

Après résolution, on peut conclure que pour atteindre ses objectifs le complexe doit produire pour2,78 millions d’euro d’électricité (409/147), pour 1,78 millions d’euro de gaz (262/147) et pour

2,25 millions d’euro de transport (332/147).

Le paradoxe de LeontiefLe paradoxe de Leontief, Les tableaux entrées-sortiesLes tableaux entrées-sorties

Pour aller plus loin


Correction 39

Méthode n°1 a 1 1 11 a 1 a1 1 a a2

1 a 1 a0 −a+ 1 a− 1 a · (a− 1)0 0 (−a+ 1) · (a+ 2) (−a+ 1)(a+ 1)2

Cas a=1 La matrice augmentée devient : 1 1 1 10 0 0 0

0 0 0 0

Donc le système est compatible et x+ y + z = 1, l’ensemble des solutions est :

S = {(1− y − z;y;z)|(x;y) ∈R2}


http://fr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontiefhttp://www.alternatives-economiques.fr/le-paradoxe-de-leontief_fr_art_1199_64110.htmlhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_entr%C3%A9e-sortie


Cas a=-2 La matrice augmentée devient : 1 −2 1 −20 3 −3 60 0 0 3

Le système est incompatible et n’a pas de solution.

Cas a < {1;−2} Le système admet une unique solution et en remontant le système, on obtient :

z =(−a+ 1)(a+ 1)2

(−a+ 1) · (a+ 2)=

(a+ 1)2

a+ 2

y = −a+ z = −a+ (a+ 1)2

a+ 2=

1a+ 2

x = a− z − ay = a− (a+ 1)2

a+ 2− aa+ 2

= −a+ 1a+ 2

S = {(−a+ 1a+ 2

;1

a+ 2;(a+ 1)2

a+ 2)}

Méthode n°2

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 11 a 11 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 1− a2 1− a1 a 10 1− a a− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣1− a2 1− a1− a a− 1

∣∣∣∣∣ = −(1− a)2 ∣∣∣∣∣1 + a 11 −1∣∣∣∣∣

Ainsi det(A) = −(1− a)2(−1− a− 1) = (1− a)2(a+ 2), le déterminant s’annule pour a = 1 ou a = −2.Les cas a = 1 et a = −2 se traitent de la même manière que précédemment. Lorsque a < {1;−2}, onpeut calculer l’inverse à l’aide de la comatrice.

Com(A) =

a2 − 1 1− a 1− a

1− a a2 − 1 1− a1− a 1− a a2 − 1

A−1 =

1(1− a)2(a+ 2)

a2 − 1 1− a 1− a

1− a a2 − 1 1− a1− a 1− a a2 − 1

X = A−1 ·

1aa2

=

−a−1a+2

1a+2

a2+2·a+1a+2

S = {(−a+ 1

a+ 2;

1a+ 2

;(a+ 1)2

a+ 2)}


Correction 40



1. S = {(−1;0;4)}.2. 0 1 3 1 11 2 1 1 2

0 1 −4 0 0

L2↔ L1

L3← L1 − L3

1 2 1 1 20 1 3 1 10 0 7 1 1

x, y et z sont des variables essentielles et t une variable libre et

z =17

(1− t) y = 47

(1− t) x = 17

(2t + 5)

S = {(17

(2t + 5);47

(1− t); 17

(1− t)|t ∈R}


Correction 411. S = {(2;1;−1)}.2. S = {

(−5w2 − 2y +

72 ; y;

w2 +

12 ; w

)|w ∈R}


Correction 42S = {

(−x3 − 2x4 + 1; −x3 + 1; x3; x4 −1

)|(x3;x4) ∈R2}


Correction 431. B2 = I3, B est involutive. B−1 = B.

2.

BX =

134

⇔ X = B134

⇔ X =−1−3−4


Correction 441. xy

z

= −16a− 11b+ 3c7a/2 + 5b/2− c/2−5a/2− 3b/2 + c/2

2. Le système A ·X = Y admet une unique solution, donc A est inversible, de plus X = A−1 ·Y,

on en déduit :

A−1 =

−16 −11 372 52 −12−52

−32

12




Correction 45 Les matrices sont triangulaires supérieurs et les éléments diagonaux sont tous nonnuls. Donc les matrices sont inversibles.

1.

A−1 =

1 −a a · c − b0 1 −c0 0 1

2.

A−1 =

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a0 0 0 1


Correction 46 det(I3) = 1, det(M1) = −1 (échange de deux lignes), det(M2) = 2, det(2I3) = 8,det(N1) = 0 (colonne nulle), det(N2) = 0 (deux colonnes identiques) et det(N3) = 0 (C3 = 2C1).


Correction 47

1. D’après le cours det(M1M2) = det(M1)det(M2)

2. det(M1 + M2) = −9, det(M1) + det(M2) = −5


Correction 48

1. det(A) = −142. det(B) = 9


Correction 49 det(A) = 76 , det(B) = −10 et det(C) = 0


Correction 50∆1 = −8 ∆2 = abcd ∆3 = a(b − a)(c − b)(d − c)


Correction 51

1.

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 + a 3 + a 3 + a 3 + a

1 a 1 11 1 a 11 1 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3 + a)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3 + a)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 01 a− 1 0 01 0 a− 1 01 0 0 a− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Donc det(A) = (a+ 3)(a− 1)3.



2. La matrice A est inversible si et seulement si a < {1;−3}.


Correction 52

1. det(M) = 2, vous pouvez vérifier vos calculs à l’aide d’XcasXcas.

2. Le déterminant étant non nul, la matrice M est inversible.

3. M2 =

−2 3 −3−9 10 −9−3 3 −2

M2 − 3M + 2I3 = O3, donc 3M −M2 = 2I3 et M · (12(3I3 −M)) = I3, donc

M−1 =12

(3I3 −M) =

32−12

12

32−12

32

12−12

32


Correction 53

1. det(A) = det(tA) = det(−A) = (−1)ndet(A) = −det(A) car n est impair. Donc det(A) = 0.2. À faire...

3. Non. Par exemple si B =(

0 1−1 0

)alors tB = −B et det(B) = 1 , 0.


Correction 54

1. det(A) = −4λ+ 15. La matrice A est inversible si et seulement si det(A) , 0, i.e. λ , 154 .2. (a)

A2 =

1 0 −λ+ 40 1 4 ·λ− 163 ·λ− 12 −3 ·λ+ 12 λ2 − 15

(b) On vérifie rapidement que A2 = I3 si et seulement si λ = 4. On peut en déduire que

lorsque λ = 4, A−1 = A.


https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html


3. En utilisant par exemple la formule donnant l’inverse de A à partir de la comatrice, onobtient :

A−1 =1

4λ− 15

3 ·λ− 12 λ− 3 −14 ·λ− 12 −3 43 −3 4

On vérifie bien que lorsque λ = 4, A−1 = A.


Correction 55

A−1 =1

13

(5 −13 2

)B−1 =

1ac

(c −b0 a

)pour ac , 0

Les matrices C et D ne sont pas inversibles. (C : L3 = 2L2. D : matrice triangulaire supérieure avecun 0 sur la diagonale)


Correction 561.

S =

1 1 1−m1 +m −1 22 −m 3

det(S) = m(m− 2)(m+ 2)2. S = {(43 ;

−13 ;−1)}

3. S = {(−3x2 ;x2 ;x)|x ∈R}


Correction 571. ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 m1 m −11 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1−m2Le système est de Cramer si et seulement si m < {−1;1}.

2. Lorsque le système est de Cramer, il admet une unique solution :(2·m

(m+1) 0(m−1)(m+1)

)3. (a) Cas m = 1 1 1 1 11 1 −1 1

1 1 −1 1

1 1 1 10 0 −2 00 0 0 0

Le système admet une infinité de solution, les variables x et z sont essentielles etl’ensemble des solutions est

{(1− y,y,0)|y ∈R}



(b) Cas m = −1 1 1 −1 −11 −1 −1 11 1 −1 1

1 1 −1 −10 −2 0 20 0 0 2

Le système n’admet aucune solution.


Correction 58 σA = {2;6} et v2 =(−21

), v6 =

(21

)σB = {7;−2} et v7 =

(11

), v−2 =

(−54

)σC = {2;1} et v2 =

2−10

, v1 = −11

0

, v′1 = 00−1

,Énoncé de l’exercice n°58.Énoncé de l’exercice n°58.

Correction 59

1. PA = (X − 3) · (X + 1), v3 =(

11

)et v−1 =

(−11

).

On pose P =(

1 −11 1

). (

3 00 −1

)= P−1 ·

(1 22 1

)· P

2. PB = (X − 1)2. Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre 1 : résolvons lesystème BX = X. (

−6 9 0−4 6 0

) (−2 3 00 0 0

)E1 = {

(32

)t | t ∈R}

Le nombre de vecteurs propres associés à 1 est strictement inférieur à l’ordre de multiplicitéde 1 dans le polynôme caractéristique, donc la matrice B n’est pas diagonalisable.

3. PC = (X − 7)(X − 3)2. Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre 3 : résolvonsle système CX = 3X. 0 0 0 0−4 0 4 0−4 0 3 0

⇔ 1 0 −1 00 0 0 0

0 0 0 0

⇔ z = x⇔ xyz

= x 10

1

+ y 01

0

Donc



E3 = {x

101

+ y 01

0

| (x;y) ∈R2}Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre 7 : résolvons le système CX = 7X. −4 0 0 0−4 −4 4 0−4 0 0 0

⇔ 1 0 0 00 1 −1 0

0 0 0 0

⇔ z = y et x = 0⇔ xyz

= y 01

1

E7 = {y

011

|y ∈R}La matrice C est diagonalisable et 7 0 00 3 0

0 0 3

=0 1 01 0 11 1 0

−1

·C ·

0 1 01 0 11 1 0


Correction 60

1. ∣∣∣∣∣2a+ 3− x −2(a+ 1)a+ 1 −a− x∣∣∣∣∣ = x2 − (3 + a)x+ 2 + a = (x − 1)(x − (a+ 2))

Les valeurs propres de A sont 1 et a+ 2.

2. (a) Dans ce cas A est une matrice deM2 qui possède 2 valeurs propres distinctes, donc Aest diagonalisable.

(b) i. Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre 1.

(2a+ 2 −2(a+ 1) 0a+ 1 −a− 1 0

)⇔

(a+ 1 −a− 1 0

0 0 0

)⇔

(1 −1 00 0 0

)⇔ x = y car a , −1

E1 = {x(

11

)|x ∈R}

ii. Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre a+ 2.(a+ 1 −2(a+ 1) 0a+ 1 −2a− 2 0

)⇔

(a+ 1 −2(a+ 1) 0

0 0 0

)⇔

(1 −2 00 0 0

)⇔ x = 2y car a , −1

Ea+2 = {y(

21

)|y ∈R}

Ainsi

S =(2 11 1

)



3. Cas où a = −1, dans ce cas la matrice ne possède qu’une valeur propre : 1. Et A = I2 ; lamatrice est une matrice diagonale.


Correction 61

1. Facile ! !

2. PA = X · (X − 1) · (X + 1), A a trois valeurs propres distinctes, donc A est diagonalisable.

E0 = {

1−10

x |x ∈R}, E1 = { 01−1

x |x ∈R} et E−1 = { −11

1

x |x ∈R}.3.

S =

1 0 −1−1 1 10 −1 1

4.

S−1 =

2 1 11 1 01 1 1

et

B′ = S−1 ·B · S =

1 0 00 −1 00 0 0


Correction 62

1.

det(A−XI3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣−X 3 2−2 5−X 22 −3 −X

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣−X 3 2−2 5−X 20 2−X 2−X

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−X)∣∣∣∣∣∣∣∣−X 3 2−2 5−X 20 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−X)∣∣∣∣∣∣∣∣−X 1 2−2 3−X 20 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣Ainsi

P(X) = (2−X)(−X(3−X) + 2) = (2−X)(X2 − 3X + 2) = (2−X)(X − 1)(X − 2) = (2−X)2 (1−X) .

Le déterminant de A vaut P(0) = 4.

2. (a) La matrice possède deux valeurs propres : 1 et 2.

E1 ={ 11−1

x |x ∈R}

E2 ={ 10

1

x+ 02−3

y | (x;y) ∈R2}



(b) 2 0 00 2 00 0 1

= 1 0 10 2 1

1 −3 −1

−1

·

0 3 2−2 5 22 −3 0

· 1 0 10 2 1

1 −3 −1

(c)

An =

1 0 10 2 11 −3 −1

· 2

n 0 00 2n 00 0 1

· 1 0 10 2 1

1 −3 −1

−1

Si l’on mène les calculs à leurs termes :

An =

−2n + 2 3 · 2n − 3 2n+1 − 2

−2n+1 + 2 2n+2 − 3 2n+1 − 22 · 2n − 2 −3 · 2n + 3 −2n + 2


Correction 63

1. (a)

det(A−λI3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣3−λ −1 −1−3 1−λ 32 2 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣2−λ −1 −1

0 1−λ 32−λ 2 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−λ)∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −10 1−λ 31 2 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣det(A−λI3) = (2−λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −10 1−λ 30 3 1−λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−λ)∣∣∣∣∣1−λ 33 1−λ

∣∣∣∣∣ = (2−λ)((1−λ)2 − 9)det(A−λI3) = (2−λ)(−2−λ)(4−λ) = (λ+ 2)(λ− 4)(2−λ)

(b) A possède 3 valeurs propres 2 à 2 distinctes donc A est diagonalisable.La matrice S est composée de 3 vecteurs propres associés à chaque valeur propre.On obtient (cf. exercice (6262)) :

S =

1 −1 0−1 0 10 −1 −1

D = 4 0 00 2 0

0 0 −2

2. A = S ·D · S−1 et en itérant on obtient : An = S ·Dn · S−1.

Calculons S−1, det(S) = 2 et en utilisant la formule qui donne l’inverse en fonction de lacomatrice on obtient :

S−1 =

12

−12

−12

−12

−12

−12

12

12

−12

= 12 1 −1 −1−1 −1 −1

1 1 −1

En effectuant le produit S ·Dn · S−1, on obtient le résultat annoncé.



3. D est inversible car c’est une matrice diagonale dont tous les éléments sont non nuls.

D−1 =

14 0 00 12 00 0 −12

4.

A · (S ·D−1 · S−1 = S ·D · S−1 · S ·D−1 · S−1 = I3Donc A est inversible et A−1 = S ·D−1 · S−1

5. En effectuant le produit, on obtient :

A−1 =

38

18

18

−38

−18

38

12

12 0

= 18 3 1 1−3 −1 3

4 4 0


Correction 64

1. PA = (X − 2)(X − 1)2, A a deux valeurs propres 1 et 2.

E1 ={ 10

1

x |x ∈R} et E2 = { 11

0

x |x ∈R}.2. La matrice A n’est pas diagonalisable car le nombre de vecteurs propres indépendants associés

à la valeur propre 1 est strictement inférieur à l’ordre de multiplicité de 1 dans le polynômecaractéristique PA.

3. (a)

P−1 =12

1 1 −11 −1 1−1 1 1

(b)

T =

2 0 00 1 10 0 1

Tn =

2n 0 0

0 1 n0 0 1

4.

An =12

−n+ 2n + 1 n+ 2n − 1 n− 2n + 1

2n − 1 2n + 1 −2n + 1−n n n+ 2


Correction 65 Exercice très similaire à l’exercice (6262).

1. χA(X) = −(X − 1)(X + 2)(X + 5), σA = {1;−2;−5}.



2. A possède 3 valeurs propres distinctes 2 à 2 donc A est diagonalisable.

D = P−1 ·A · P avec :

D =

1 0 00 −2 00 0 −5

et P = 2 1 0−1 −1 0

0 1 1

3. An = P ·Dn · P−1

P−1 =

1 1 0−1 −2 01 2 1

Dn =

1 0 00 (−2)n 00 0 (−5)n

An =

2− (−1)n · 2n 2− (−1)n · 2n · 2 0

−1 + (−1)n · 2n −1 + (−1)n · 2n · 2 0− (−1)n · 2n + (−1)n · 5n − (−1)n · 2n · 2 + (−1)n · 5n · 2 (−1)n · 5n


Correction 66

1. (a)

(b)

P−1 =1

3a+ 2

2 · a 2 1−a− 2 2 1−a2 −a a+ 1

2. (a) PA[X] = −X3 + X = −(X + 1)(X − 1)X. A est diagonalisable et pour a = −1 la matrice P estune matrice de passage qui «diagonalise» A.

(b)

An =

2 −2 −1− (−1)n + 2 (−1)n − 2 −1(−1)n · 2− 2 − (−1)n · 2 + 2 1

3. (a) PB[X] = −X(X − 1)2 et dim(E0) = 1 mais dim(E1) = 1 < 2, donc B n’est pas diagonalisable.

(b)

(c)

T5 =

0 0 00 1 50 0 1

B5 = −6 7 1−7 8 1

2 −2 0


Correction 67



1. (a) 2 0 00 1 00 0 1

= 1 1 0−1 0 1

1 1 1

−1

·A ·

1 1 0−1 0 11 1 1

(b)

(c)

An =

−2n + 2 −2n + 1 2n − 1

2n − 1 2n −2n + 1−2n + 1 −2n + 1 2n

2. Posons Xn =

unvnwn

, d’après l’énoncé Xn+1 = A · Xn. En itérant cette formule on obtientfacilement :

Xn = An ·X0

D’après la question précédente :

Xn =

−2n + 2 −2n + 1 2n − 1

2n − 1 2n −2n + 1−2n + 1 −2n + 1 2n

·111

= −2

n + 22n

−2n + 2

Ainsi pour tout n > 0, un = −2n + 2, vn = 2n et wn = −2n + 2.



Les matricesOpérations sur les matricesRéduction de Gauss-JordanMatrice inversibleCalcul du rang d'une matrice

Systèmes linéairessystème nnsystème nmApplication au calcul de l'inverse d'une matrice

DéterminantDiagonalisation

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