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Technische Mathematik
Installations- und
Heizungstechnik
Bearbeitet von Lehrern an berufsbildenden Schulen und von Ingenieuren(siehe Rückseite)
5. Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 18111
EUROPA-FACHBUCHREIHEfür metalltechnische Berufe
Titelei 2015_ Titelei 2009 23.07.15 10:12 Seite 1
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Autoren der „Technischen Mathematik Installations- und Heizungstechnik
Blickle, Siegfried Dipl.-Ing., Oberstudienrat FreudenstadtFlegel, Robert Wissenschaftlicher Lehrer StuttgartHärterich, Manfred M. A., Oberstudiendirektor DitzingenJungmann, Friedrich Oberstudienrat HeidelbergKüpper, Elmar Dipl. Ing. (FH), Oberstudienrat Wehr-ÖflingenMerkle, Helmut Dipl.-Ing., Studiendirektor ForstUhr, Ulrich Dipl.-Ing., Studiendirektor Rheinfelden
Leitung des Arbeitskreises und Lektorat:
Manfred Härterich, M. A., Oberstudiendirektor, Ditzingen
Bildbearbeitung:
Verlag Europa-Lehrmittel, Abt. Bildbearbeitung, Ostfildern
5. Auflage 2015
Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.
ISBN 978-3-8085-1815-1
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2015 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten© 2001 by http://www.europa-lehrmittel.deSatz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.comDruck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt
Titelei 2015_ Titelei 2009 23.07.15 10:12 Seite 2
3
Die im Verlag Europa-Lehrmittel in der 5. Auflage erschienene „Technische Mathematik Installations- undHeizungstechnik“ dient der Aus- und Weiterbildung im Beruf Anlagenmechaniker/in für Sanitär-, Heizungs-und Klimatechnik.
Der Inhalt des Buches ist auf die einschlägigen Bildungspläne der Bundesländer für Berufliche Schulen und auf die Verordnung über die Berufsausbildung zum/zur Anla -gen mechaniker/in für Sanitär-, Heizungs- und Klimatechnik des Bundes ministeriums ab -gestimmt. Er umfasst den gesamten Lehrstoff der Berufsschul- bzw. Ausbildungsjahresowie weitgehend der Meisterschule und der Technikerschule. Die Inhalte entsprechenden für diesen Fachbereich geltenden technischen Regeln und den gesetzlichen Ver -ordnungen sowie den fachbezogenen Vorschriften, insbesondere den DIN-Normen.
Das Mathematikbuch umfasst dreizehn Kapitel. In den Kapiteln eins bis zwölf ist die In-
stallations- und Heizungstechnik in zwölf Lernbereiche, vergleichbar den Lernfeldern,sachlogisch aufgeteilt und dargestellt. Das Kapitel dreizehn enthält bereichsübergrei-fende Projekte. Bei der Gliederung des Buches wurde von einem Leitprojekt ausgegan-gen, das dem Inhaltsverzeichnis vorangestellt ist. Das Leitprojekt ist als Schnitt durchein Wohngebäude dargestellt und enthält alle erforderlichen Bereiche der Installations-und Heizungstechnik. Der im jeweiligen Kapitel behandelte Teilbereich ist dem Leitpro-jekt entnommen. Eine entsprechende Schnittzeichnung fasst dessen Inhalt in anschau -licher Weise zusammen. Jedem Kapitel ist ein Piktogramm zugeordnet, das jeweils amAußenrand der Seiten angeordnet ist und auf den Inhalt der Seiten hinweist. Dadurchist ein schnelles und müheloses Zurechtfinden im Buch gewährleistet.
Der methodischen Konzeption des Mathematikbuches liegt die Konzeption des Fachbu-ches „Fachkunde Installations- und Heizungstechnik“ zugrunde. Dadurch ist es mög-lich, dass beide Bücher im Unterricht nebeneinander verwendet werden können. DasMathematikbuch soll die mathematischen Lerninhalte der Fachkunde ergänzen und er-weitern, sodass zum einen Aufgaben zum Üben und zum anderen erweiternde Inhaltefür das Berufskolleg und die Fachschulen zur Verfügung stehen. Formeln und Tabellensind farblich hervorgehoben. Viele Zeichnungen, Tabellen und Diagramme veranschau -lichen den Text und ermöglichen es, handlungsorientiert zu arbeiten. In den einzelnenLernbereichen werden Beispiele berechnet und Aufgaben zum Üben und Vertiefen zurVerfügung gestellt. Im letzten Kapitel des Buches werden themenübergreifende Projek-te im Umfang der Berufsschulabschlussprüfung dargestellt.
Die „Technische Mathematik Installations- und Heizungstechnik“ ist als Lernmittel fürSchüler, Schülerinnen und Auszubildende in der Berufsschule, in der Berufsfachschule
und im Berufskolleg sowie in der betrieblichen und überbetrieblichen Ausbildung konzi-piert. Außerdem eignet es sich in der Meisterschule, Technikerschule und Akademie für
handwerkliche Berufe zur Wiedergewinnung und Sicherung des Grundwissens sowiezur Vertiefung der Rohrnetzberechnungen und Anlagenauslegung. Daneben kann es inder Praxis als Informationsquelle und als Nachschlagewerk dienen.
Autoren und Verlag sind allen Benutzern der „Technischen Mathematik Installations- und Heizungs technik“für kritische Hinweise und für Verbesserungsvorschläge dankbar.
Sommer 2015 Die Verfasser
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Einführung
Inhalt
GliederungundGestaltung
MethodischeKonzeption
Zielgruppen
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4
Lernbereiche
Leitprojekt
PWC
GasSpeicherfürDachab-lauf-wasser
313
3144 265217Z
5
6
7
Brenn-wert-kessel
DVGW
T
T
Steue- rung
T
m3
p
1 Grundlagen
2 Rohrberechnungen
3 Rohrleitungsanlagen
4 Trinkwasser-Erwärmungs-anlagen
5 Entwässerungsanlagen
6 Ableitung von Nieder-schlagswasser
7 Gasanlagen
8 Heizungsanlagen
9 Abgasanlagen
10 RaumlufttechnischeAnlagen
11 Elektroanschlüsse beiSHK-Anlagen
12 Kostenrechnung
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5
1.1 Lösungsweg technischer
Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 Größen, Zahlenwert und Einheit . . . . . 121.1.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Rechnen mit dem Taschenrechner . . . . 161.1.4 Schaubilder, Diagramme und
Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Dreisatz- und Prozentrechnen . . . . . . . 21
1.3 Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Längeneinheiten, Maßstäbe . . . . . . . . . 231.3.2 Teilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Gebogene und gestreckte Längen . . . . 261.3.4 Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.1 Flächeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.2 Flächen mit geraden Linien . . . . . . . . . 291.4.3 Flächen mit gebogenen Linien . . . . . . . 321.4.4 Zusammengesetzte Flächen . . . . . . . . . 34
1.5 Volumenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.1 Volumeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.2 Gleichdicke Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.3 Spitze Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.4 Abgestumpfte Körper . . . . . . . . . . . . . . 371.5.5 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.6 Ringförmige Körper . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.7 Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . . 38
1.6 Masse und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7 Kraft und Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . 411.8 Hebel und Drehmoment . . . . . . . . . . . . 421.9 Geradlinige und kreisförmige
Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.10 Mechanische Arbeit, Leistung
und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Rohrabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Freier Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Querschnittsverminderung . . . . . . . . . . 512.4 Rohroberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
.
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 Rohrberechnungen
2.5 Rohrmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Rohrinhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Längen- und Volumenänderung . . . . . . 542.7.1 Längenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7.2 Dehnungsausgleich . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7.3 Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1 Druck in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 613.1.1 Druckeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3 Auftrieb in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Strömung in Rohrleitungen . . . . . . . . . 643.2.1 Volumenstrom, Fließgeschwindigkeit,
Nennweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2 Druckarten in Rohrleitungen . . . . . . . . . 673.2.3 Druckverluste in Rohrleitungen . . . . . . 68
3.3 Pumpenberechnungen . . . . . . . . . . . . . 723.3.1 Förderstrom und Förderdruck . . . . . . . 723.3.2 Pumpenleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.3 Pumpenauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 3.4 Druckerhöhungsanlagen DEA . . . . . . . 77
3.4 Rohrdimensionierung . . . . . . . . . . . . . . 793.4.1 Berechnungs- und Spitzendurchfluss . 793.4.2 Druckverluste, Rohrreibungsdruck-
gefälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.3 Vereinfachte Auswahl der
Rohrdurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.4 Differenzierte Auswahl der
Rohrdurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.1 Wärmemenge bei Temperaturänderung 1044.2.2 Wärmemenge zur Änderung des
Aggregatzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Wassermischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.1 Berechnung von Temperaturen . . . . . . . 1084.3.2 Berechnung von Wassermengen . . . . . 108
3 Rohrleitungsanlagen
4 Trinkwasser-Erwärmungs-anlagen
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4.4 Energie und Leistung . . . . . . . . . . . . . . 1134.4.1 Wärmeleistung und Erwärmzeit . . . . . . 1134.4.2 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4.3 Energiekosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5 Volumenänderung bei Wasser . . . . . . . 120
4.6 Zirkulationsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.6.1 Kurzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.6.2 Vereinfachtes Verfahren . . . . . . . . . . . . . 123
4.7 Speichergrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.7.1 Speicher für Einzel- und Gruppen-
versorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.7.2 Speicher für Nachtaufheizung . . . . . . . 1304.7.3 Speicherauswahl nach der
Bedarfskennzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.8 Solaranlagen zur Trink-
wassererwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.9 Wärmepumpen zur Trink-
wassererwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1 Gefälle von Rohrleitungen . . . . . . . . . . 139
5.2 Bemessen von Abwasser- und
Lüftungsleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.2.1 Schmutzwasserabfluss . . . . . . . . . . . . . 1425.2.2 Anschlussleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.2.3 Schmutzwasser-Fallleitungen . . . . . . . . 1455.2.4 Regenwasser-Fallleitungen . . . . . . . . . . 1465.2.5 Sammel- und Grundleitungen . . . . . . . 1485.2.6 Lüftungsleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.2.7 Rohrweitenberechnung Abwasser . . . . 151
5.3 Bemessen von Abwasserhebe-
anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3.1 Bemessen des Förderstromes . . . . . . . 1575.3.2 Bemessen der Förderhöhe . . . . . . . . . . 1575.3.3 Pumpengröße und Pumpenleistung . . 1595.3.4 Behälter- und Schachtgröße . . . . . . . . . 160
5.4 Bemessen von Abscheide- und
Neutralisationsanlagen . . . . . . . . . . . . . 1625.4.1 Fettabscheider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.4.2 Leichtflüssigkeitsabscheider . . . . . . . . . 1645.4.3 Neutralisationsanlagen . . . . . . . . . . . . . 166
5.5 Längenänderung durch
Temperaturänderung . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6 Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6
.
5 Entwässerungsanlagen
6.1 Zuschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Blechbedarf, Blechgewicht . . . . . . . . . . 171
6.3 Bemessen von Dachrinnen und
Regenwasserleitungen . . . . . . . . . . . . . 1736.3.1 Entwässerung bei Teilfüllung . . . . . . . . 1736.3.2 Dachentwässerung mit
Druckströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.4 Bemessen von Anlagen zur Regen-
wassernutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.5 Längenänderung durch Temperatur-
änderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.6 Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.1 Gasgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.1.1 Volumenänderung durch Druck-
unterschiede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.1.2 Volumenänderung durch Temperatur-
unterschiede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.1.3 Volumenänderung durch Druck- und
Temperaturunterschiede . . . . . . . . . . . . 190
7.2 Gasverbrauch beim Schweißen . . . . . . 1927.2.1 Sauerstoffverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . 1927.2.1 Acetylenverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.3 Gasverbrauch zur Stofferwärmung . . . 194
7.4 Geräteleistung und Wirkungsgrad . . . . 1957.4.1 Nennleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.4.2 Nennbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.4.3 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.5 Anschluss- und Einstellwerte . . . . . . . . 198
7.6 Kostenermittlung für Gasverbrauch . . 200
7.7 Raum- und Verbrennungsluft-
Verbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.8 Dimensionierung von
Niederdruckgasleitungen . . . . . . . . . . . 2047.8.1 Diagrammverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 2047.8.2 Tabellenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.8.3 Berechnung von Flüssiggas-
leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.9 Projekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6 Ableitung von Nieder-schlagswasser
7 Gasanlagen
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7
8.1 Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . 2258.1.1 Wärmeübergangswiderstände . . . . . . . 2258.1.2 Wärmedurchlasswiderstand . . . . . . . . . 2258.1.3 Wärmedurchgangskoeffizient,
U-Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.2 Berechnung der Norm-Heizlast . . . . . . 2288.2.1 Norm-Außentemperatur . . . . . . . . . . . . 2288.2.2 Norm-lnnentemperatur . . . . . . . . . . . . . 2288.2.3 Bauteilkennzeichnung . . . . . . . . . . . . . . 2298.2.4 Gesamt-Norm-Wärmeverlust . . . . . . . . 2308.2.5 Norm-Transmissionswärmeverluste . . 2308.2.6 Norm-Lüftungswärmeverluste . . . . . . . 2328.2.7 Lüftungswärmeverluste bei
freier Lüftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.2.8 Lüftungswärmeverluste bei
maschineller Lüftung . . . . . . . . . . . . . . . 2338.2.9 Räume mit unterbrochenem
Heizbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.2.10 Norm-Heizlast eines Raumes . . . . . . . . 2348.2.11 Norm-Heizlast eines Gebäudes . . . . . . 2348.2.12 Auslegungsheizlast eines Raumes . . . . 2348.2.13 Auslegungsheizlast eines Gebäudes . . 2348.2.14 Bestimmung der Raummaße . . . . . . . . 2358.2.15 Beispielrechnung Norm-Heizlast . . . . . 235
8.3 Heizflächen und Kesselgrößen bei
Zweirohrheizungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.3.1 Auslegungszuschlag . . . . . . . . . . . . . . . 2398.3.2 Norm-Heizleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.3.3 Temperatur-Umrechnungsfaktor . . . . . 2418.3.4 Leistungsminderungen . . . . . . . . . . . . . 2428.3.5 Heizkörpergrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.3.6 Konvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.3.7 Heizkesselgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.3.8 Wärmetauscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.4 Rohrnetzberechnung und Pumpen-
auswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.4.1 Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.4.2 Druckverluste bei Zweirohrheizungen . 2488.4.3 Einzelwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.4.4 Druckverluste in Teilstrecken . . . . . . . . . 2498.4.5 Druckverluste in Thermostatventilen
und Mischern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.4.6 Rohrnetzauslegung und
Pumpendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.4.7 Pumpenauswahl und
Rohrnetzkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5 Einrohrheizungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608.5.1 Massenstrom im Heizkreis . . . . . . . . . . 2608.5.2 Gleiche Temperaturdifferenzen . . . . . . . 2608.5.3 Gleiche Massenströme . . . . . . . . . . . . . 2618.5.4 Bestimmung der Heizflächen . . . . . . . . 262
.
8 Heizungsanlagen
8.5.5 Druckverluste und Pumpen-auslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.6 Fußbodenheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.6.1 Wärmeleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.6.2 Wärmestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.6.3 Fußboden-Oberflächentemperatur . . . 2678.6.4 Rohrabstand und Heizwasser-
temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.6.5 Druckverlust und
Pumpenauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.7 Druckausdehnungsgefäß und
Sicherheitsventil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728.7.1 Wasserinhalt der Heizungsanlage . . . . 2728.7.2 Heizwasserausdehnung . . . . . . . . . . . . 2728.7.3 Wasservorlage im MAG . . . . . . . . . . . . 2738.7.4 Vordruck und Fülldruck im MAG . . . . . 2738.7.5 Enddruck im MAG . . . . . . . . . . . . . . . . . 2748.7.6 Größenbestimmung des MAG . . . . . . . 2748.7.7 Membran-Sicherheitsventil . . . . . . . . . 275
8.8 Öldurchsatz und Auswahl
von Brenndüsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.8.1 Öldurchsatz bei Brennerdüsen . . . . . . . 2768.8.2 Bestimmung der Düsengröße . . . . . . . 276
8.9 Brennstoffbedarf und Brennstoff-
kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2788.9.1 Brennstoffbedarf für die Gebäude-
heizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2788.9.2 Brennstoffbedarf für die Trinkwasser-
erwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2788.9.3 Brennstoffkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.10 Energiekostenvergleich . . . . . . . . . . . . . 279
8.11 Projekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.1 Luftbedarf bei der Verbrennung . . . . . . 285
9.2 Abgasverluste und Wirkungsgrade . . . 2869.2.1 Abgasverluste und feuerungs-
technischer Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . 2869.2.2 Auskühlungsverluste und Kessel-
wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2889.2.3 Anlagenverluste und Anlagen-
wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
9.3 Abgasvolumen und Verbindungs-
stücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.4 Schornsteine, Abgasleitungen . . . . . . . 2929.4.1 Einfachbelegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929.4.2 Mehrfachbelegung . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9 Abgasanlagen
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10.1 Behaglichkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . 29710.1.1 Raumlufttemperatur . . . . . . . . . . . . . . . 29710.1.2 Raumluftgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 29710.1.3 Aktivitätsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29810.1.4 Luftfeuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.2 Grundlagen zur Berechnung von
raumlufttechnischen Anlagen . . . . . . . . 29910.2.1 Einteilung nach DIN EN 13799 . . . . . . . 29910.2.2 Außenluft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29910.2.3 Außenluft nach dem Mindest-
außenluftstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30010.2.4 Außenluftbedarf nach der maximalen
Arbeitsplatz-Konzentration (MAK) . . . . 30110.2.5 Außenluftbedarf nach der
Luftwechselzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.6 Luftumwälzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.3 Berechnungen an Luftkanälen . . . . . . . 30310.3.1 Volumenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30310.3.2 Kontinuitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 30410.3.3 Gleichung von Bernoulli . . . . . . . . . . . . 30610.3.4 Hydraulischer Durchmesser . . . . . . . . . 30810.3.5 Druckverlustberechnung in
Luftkanälen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.4 Ventilatorleistung und Ventilator-
auswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31310.4.1 Ventilatorkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . 31310.4.2 Anlagenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31410.4.3 Gesetzmäßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 31410.4.4 Auswahldiagramme . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.5 Zustandsänderungen der Luft . . . . . . . 31510.5.1 Mollier-Diagramm für feuchte Luft . . . . 31710.5.2 Lufterwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31910.5.3 Luftkühlung und Entfeuchtung . . . . . . . 32010.5.4 Luftbefeuchtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32110.5.5 Luftmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
10.6 Wärmeleistung, Kühlleistung von
Klimageräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32310.6.1 Äußere Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . 32310.6.2 Innere Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . 32310.6.3 Kühllast im Sommer . . . . . . . . . . . . . . . 32410.6.4 Heizlast im Winterbetrieb . . . . . . . . . . . 325
10.7 Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.1 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 32911.2 Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33111.3 Elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . 33211.3.1 Elektrische Leistung bei Wechsel-
spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8
.
11.3.2 Elektrische Leistung bei Dreiphasen-wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.3.3 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . 336
11.4 Anschlussleistung und Absicherung . . 339
11.5 Elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.6 Energiekosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.7 Erwärmzeit und Massenstrom
elektrischer Wassererwärmer . . . . . . . . 34311.7.1 Erwärmzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34311.7.2 Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.8 Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
12.1 Kostenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34712.1.1 Einzel- und Gemeinkosten . . . . . . . . . . 34712.1.2 Fixe und variable Kosten . . . . . . . . . . . . 347
12.2 Zuschlagskalkulation . . . . . . . . . . . . . . 34812.2.1 Entstehung des Angebotspreises . . . . . 34812.2.2 Materialkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34812.2.3 Lohnkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35012.2.4 Gemeinkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35112.2.5 Sonderkosten, Gewinn,
Mehrwertsteuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
12.3 Angebotsbearbeitung . . . . . . . . . . . . . . 35412.3.1 Bauvertragsrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35412.3.2 Vorkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35412.3.3 Nachkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.4 Gerätekosten als Sonderkosten . . . . . . 36212.4.1 Maschinenkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36212.4.2 Kraftfahrzeugkosten . . . . . . . . . . . . . . . 36312.4.3 Schweißkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
13.1 Projekte und Aufgaben im
Handlungsfeld Wassertechnik . . . . . . . 36513.1.1 Projekt 1: Einfamilienhaus . . . . . . . . . . 36513.1.2 Projekt 2: Mehrfamilienhaus . . . . . . . . . 36813.1.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
13.2 Projekte und Aufgaben für die
Handlungsfelder Wärme- und
Lufttechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37113.2.1 Projekt 1: Marbacher Weg . . . . . . . . . . . 37113.2.2 Projekt 2: Etagenwohnung – Ulm . . . . . 37313.2.3 Projekt 3: Tennishalle . . . . . . . . . . . . . . . 37413.2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Anlagen: Tabellen und Formulare . . . . . . . . . . . 377Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11 Elektroanschlüsse beiSHK-Anlagen
12 Kostenrechnung
13 Projekte und Aufgaben
10 RaumlufttechnischeAnlagen
Titelei 2015_ Titelei 2009 23.07.15 10:12 Seite 8
9
Firmenverzeichnis
Die Autoren und der Verlag danken den folgenden Firmen, die sie bei der Bearbeitung der einzelnen The-men durch Beratungen, Druckschriften, Fotos und Retuschen unterstützt haben.
.
Allmess Schlumberger GmbH
Oldenburg
AQUA Butzke-Werke AG
Berlin
aquatherm GmbH
Attendorn
Badische Gas- und Elektrizitäts-
versorgung AG
Lörrach
Bauberufsgenossenschaft
Frankfurt
Bayernwerk AG
München
Berthold Horstmann GmbH
Essen
BEULCO-Armaturen
Gebr. Beul GmbH & Co. KG
Attendorn
Beuth Verlag GmbH
Normenwesen
Berlin
Buderus GmbH
Wetzlar
Centra Bürkle GmbH
Regelsysteme
Ostfildern
D + S Sanitärprodukte GmbH
Schriesheim
DAL – Georg Rost & Söhne GmbH
Porta Westfalica
Dallmer GmbH + Co. Sanitärtechnik
Arnsberg
Danfoss GmbH
Wärme- und Kältetechnik
Heusenstamm
Dornbracht Aloys F.GmbH & Co. KG
Armaturenfabrik
Iserlohn
DURAVIT AG
Hornberg
DVGW
Deutscher Verein des
Gas- und Wasserfaches e.V.
Bonn
E. Missel GmbH Dämmsysteme
Stuttgart
EGGEMANN GmbH
Iserlohn
Elster-Handel GmbH
Mess- und Regeltechnik
Mainz-Kastel
Eternit AG
Berlin
F. W. Oventrop KG
Olsberg
Flamco FLEXCON GmbH
Genthin
fischerwerke Artur Fischer
GmbH & Co. KG
Tumlingen/Waldachtal
FRIATEC AG Sanitär Division
Mannheim
Friedrich Grohe AG
Hemer
Geberit GmbH
Pfullendorf
Gebr. Kemper GmbH + Co., Metallwerke
Olpe
GEORG FISCHER + GF +
Georg Fischer GmbH
Albershausen
Grünbeck Wasseraufbereitung GmbH
Hochstadt
Gütegemeinschaft Bauelemente
aus Titanzink e.V.
Düsseldorf
Halberg GmbH
Entwässserungssysteme
Köln
Hans Grohe GmbH & Co. KG
Schiltach
Hansa Metallwerke AG
Stuttgart
Hilti Aktiengesellschaft
Schaan
HOESCH Metall + Kunststoffwerk
GmbH & Co.
Düren
Honeywell AG, Braukmann-Armaturen
Mosbach
Ideal-Standard
Bonn
Joh. Vaillant GmbH u. Co.
Remscheid
JRG Gunzenhausen GmbH
Rohrsysteme
Neuburg/Donau
JUNG PUMPEN GmbH & Co.
Steinhagen
KABELWERK EUPEN AG
Kunststoffrohrwerk
Eupen
KERAMAG Keramische Werke AG
Ratingen
KESSEL GmbH Entwässerungstechnik
Lenting
KEUCO GmbH & Co. KG
Hemer
LOROWERK K. H. Vahlbrauk
GmbH & Co. KG
Bad Gandersheim
Lunos Lüftung GmbH & Co.
Ventilatoren KG
Berlin
Metabowerke GmbH & Co.
Nürtingen
Passavant-Werke AG
Aarbergen
perma-trade Wassertechnik GmbH
Leonberg
RAUFOSS METALL GMBH
Hemer
Robert Bosch GmbH
Geschäftsbereich Junkers
Wernau
Rotter GmbH & Co. KG
Berlin
RWE Energie AG
Essen
SCHARR Friedrich Scharr oHG
Stuttgart
Schock Bad GmbH
Treuchtlingen
Schubert & Salzer
Ingolstadt-Armaturen GmbH
Ingolstadt
SEPPELFRICKE Systemtechnik
GmbH & Co.
Gelsenkirchen
Sikla GmbH
Befestigungstechnik
Schwenningen
Steinzeug GmbH
Köln
STIEBEL ELTRON GmbH & Co. KG
Holzminden
Testo GmbH & Co.
Lenzkirch
UNICOR Rohrsysteme GmbH
Hassfurt
VDI
Verein deutscher Ingenieure
Düsseldorf
Viega Franz Viegener II,
Sanitär- und Heizungssysteme
Attendorn
Viessmann Werke GmbH & Co.
Allendorf
Villeroy & Boch AG
Mettlach
Wavin GmbH Kunststoff-Rohrsysteme
Twist
Weishaupt GmbH
Brenner und Heizsysteme
Schwendi
Wieland-Werke AG Metallwerke
Ulm
WILO GmbH
Dortmund
Zentralverband SHK
St. Augustin
Titelei 2015_ Titelei 2009 23.07.15 10:12 Seite 9
1.1 Lösungsweg technischer Berechnungen
1.2 Dreisatz- und Prozentrechnen
1.3 Längen
1.4 Flächen
1.5 Volumenberechnung
1.6 Masse und Dichte
1.7 Kraft und Gewichtskraft
1.8 Hebel und Drehmoment
1.9 Gradlinige und kreisförmige Bewegung
1.10 Mechanische Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
1.11 Aufgaben
10
..
..
1 Grundlagen
PWC
GasSpeicherfürDachab-lauf-wasser
313
3144 265217Z
5
6
7
Brenn-wert-kessel
DVGW
T
T
Steue- rung
T
m3
p
Leitprojekt
x2 % OFF
1x Min MR
C AC7 8 9
x4 5 6
+1 2 3
= M+0 EXP
M
Grundlagen
01 (010-035) 2015_01 (010-035) 2009 29.05.15 14:38 Seite 10
11
Technische Berechnungen sind erforderlich,um z. B. Abstände und Rohrlängen zu ermittelnoder Dimensionierungen durchzuführen. Eineunverzichtbare Hilfe sind hierzu Tabellen-bücher und Planungsunterlagen. Diesen kön-nen Informationen entnommen werden, dieAusgangsgrößen zur Lösung der Aufgaben-stellung liefern oder den Rechenweg verein -fachen.
1.1 Lösungsweg technischerBerechnungen
Die Lösung von Aufgabenstellungen in der folgenden Reihenfolge hat sich bewährt:
● Aufgabentext analysieren
Der Text ist langsam durchzulesen, Skizzenoder Zeichnungen sind zu erfassen. Die Fra-gestellung, die oft einen Lösungsweg vorgibt,ist zu berücksichtigen.
● Rechengrößen zusammenstellen
Der Aufgabenstellung werden die gegebenenGrößen entnommen. Sie werden in Form einerGleichung mit Formelzeichen, Zahlenwert undEinheit aufgeschrieben.
● Formel aufschreiben
Die Formel ist entweder bekannt oder muss inder Formelsammlung gesucht werden.
● Formel umstellen
Steht die gesuchte Größe auf der rechten Seite, ist die Formel umzustellen. FehlendeGrößen werden durch Nebenrechnungen er-mittelt und in die Formel übernommen.
● Zahlen mit Einheiten einsetzen
Die Buchstaben der Formel werden durch Zah-lenwert und Einheit ersetzt.
● Ergebnis ausrechnen
Das Ergebnis besteht aus Zahlenwert und Ein-heit. Deshalb muss man beides ausrechnen.Zweckmäßig ist, zunächst eine Überschlags-rechnung vorzunehmen und dann die genaueRechnung mit dem Taschenrechner durchzu-führen. Berechnungen mit dem Taschenrech-ner sollten grundsätzlich zweimal ausgeführtwerden, um Bedienungsfehler auszuschließen.Das Kürzen und Berechnen der Einheiten ist ei-ne zusätzliche Kontrolle des Rechenwegs undist deshalb unverzichtbar.
..
..
1 Grundlagen
freier Querschnitt
18
1
Bild 1: Querschnitt eines Kupferrohres
d = D – 2 · s
d = 16 mm
d = 18 mm – 2 · 1 mm
16 mm · 16 mm ·
Geg.: D = 18 mm s = 1 mmGes.: A
Rechengrößenzusammenstellen
Formelaufschreiben
A =4
d 2 ·
Nebenrechnung:
60 · 3
Zahlen mitEinheiteneinsetzen
A =4
Ergebnisausrechnen
Ergebnisrunden
A = 201 mm2
Überschlags-rechnung:
14
4
180
16 · 16 ·A = 201,06 mm2
Bild 2: Lösungsweg
● Ergebnis runden
Das Ergebnis ist in einer sinnvollen Einheit an-zugeben und zu runden. Beim Runden werdenWerte unter …,5 abgerundet, Werte darüberrundet man auf.
● Übersichtliche Darstellung
Ein übersichtlicher Aufbau des Rechenwegshilft Fehler zu vermeiden. Deshalb schreibtman alle Gleichheitszeichen untereinander.Bruchstriche stehen in Höhe des Gleichheits-zeichens und werden mit dem Lineal gezeich-net. Ergebnisse sind z. B. durch Unterstreichenmit dem Lineal hervorzuheben.
Beispiel:
Es ist der freie Querschnitt eines Kupferrohres Cu 18 � 1 zu ermitteln (Bild 1 und Bild 2).
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Tabelle 2: Griechisches Alphabet1.1.1 Größen, Zahlenwert und Einheit
Die Mehrzahl der technologischen Werte, die z. B. zu messen, dem Tabellenbuch zu entneh-men oder zu berechnen sind, stellen physika -lische Größen dar. Diese Größen sind ein Produkt aus Zahlenwert und Einheit (Bild 1).
Zur vereinfachten Darstellung der Größen wer-den Kurzzeichen verwendet. Zwischen Zahlen-wert und Einheit wird zur Vereinfachung derSchreibweise auf das Malzeichen verzichtet.Kurzzeichen benötigt man auch zum Aufstellenvon Formeln und deren Berechnung, deshalbwerden sie auch als Formelzeichen bezeichnet.
Die Bezeichnung der Größen ist genormt undwird Tabellen entnommen (Tabelle 1).
Die Grundeinheiten sind oft nicht anschaulich,da sie manchmal einen zu kleinen oder zugroßen Zahlenwert ergeben. Aus diesemGrunde benutzt man Vorsilben für Teile oderVielfaches der Grundeinheiten (Tabelle 3).
Beispiel:
1 Zentimeter = �1100� m = 1 cm
⇓ ⇓ ⇓Vorsilbe Umrechnung Einheit
12
..
..
Länge = Zahlenwert · Einheit
Kurzzeichenoder Formelzeichen
Größe
· m
= 12 m
= 12
Bild 1: Grundbegriffe bei Größen
Eine physikalische Größe ist das Produktaus Zahlenwert und Einheit
Tabelle 1: Größen, Formelzeichen und
Einheiten (Auswahl)
Größe Formel- Einheit Einheiten-zeichen zeichen
Länge § Meter m
Zeit t Sekunden s
Temperatur « Grad Celsius °C
Geschwin- v Meter durchdigkeit Sekunde
Volumen- V· Liter durchstrom Sekunde
Dichte ® KilogrammdurchKubikmeter
Leistung P Watt W
kg�m3
î�s
m�s
Klein- Groß Name Verwendungbuch- buch- Größestabe stabe
å Å Alpha Winkel∫ ‹ Beta Winkel© Ì Gamma Winkel∂ ¤ Delta Unterschied™ ‰ Epsilon LeistungszahlΩ ˇ Zeta Verlustbeiwertª Ó Eta Wirkungsgrad« » Theta Temperatur⁄ Û JotaΔ ˆ Kappa¬ fl Lambda Wärmeleitfähigkeitμ ˘ My Rauigkeit~ › Ny≈ Ù Xiø Ø Omikronπ ∏ Pi Kreisberechnung® ¸ Rho Dichte‚ Í Sigma Summe† ˝ Tau¨ Á Ypsilonƒ Ï Phi Feuchte, Heizlastç Ç Chi¥ ‡ Psi∑ „ Omega Widerstand
Tabelle 3: Vorsilben der Einheiten
Vorsilbe Umrechnung Einheiten-zeichen
Mega ... 1 000 000 = 106 M …Kilo ... 1 000 = 103 k …Hekto ... 100 = 102 h …Deka ... 10 = 101 da …
Dezi ... �110� = 0,1 = 10–1 d …
Zenti ... �1100� = 0,01 = 10–2 c …
Milli ... �1 0
100� = 0,001 = 10–3 m …
Mikro ... �1 00
10 000� = 0,000 001 = 10–6 μ …
Zur genauen Beschreibung der Größen wer-den oft auch Buchstaben des griechischen Al-phabets benutzt (Tabelle 2).
01 (010-035) 2015_01 (010-035) 2009 29.05.15 14:38 Seite 12
13
1.1.2 Gleichungen
Mit Gleichungen werden mathematische Zu-sammenhänge und wissenschaftliche Gesetzedargestellt. Die Ausdrücke links und rechtsvom Gleichheitszeichen sind gleich groß. Siewerden deshalb oft mit einer Waage ver -glichen (Bild 1).
Gleichungen dienen dazu, um aus bekanntenWerten, die neuen, unbekannten Werte zu be-rechnen. Diese gesuchten Werte werden inZahlengleichungen meist mit x und in Größen-gleichungen mit der geforderten Größe, z. B.Länge §, bezeichnet. Diese Größe steht links(Bild 2).
Bei Größengleichungen werden die Einheitenstets zum Zahlenwert geschrieben. Bei denEinheiten wird wie mit einer Zahl gerechnet,sie können z. B. miteinander multipliziert oderdividiert werden. Die richtige Einheit ist dieVoraussetzung für die vollständige Angabedes Ergebnisses.
Umformen von Gleichungen
Gleichungen sind oft umzuformen, damit diegesuchte Größe alleine links im Zähler stehtund positiv ist. Es ist möglich, die Seiten voll-ständig zu tauschen oder einzelne Rechenvor-gänge nach besonderen Vorschriften durchzu-führen. Ein vollständiger Seitentausch erfolgt, ohnedass Vorzeichen geändert werden müssen(Bild 3). Die Waage bleibt im Gleichgewicht.
Werden nur Teile der Gleichung verändert,muss dies auf beiden Seiten vorgenommenwerden. Daraus ergibt sich, dass beim Seiten-wechsel eines Teils der Gleichung, dessen Vor-zeichen zu wechseln ist (Bild 4).
..
..
linke Seite Gleichheits-zeichen
rechte Seite
=x
x = 10 + 25
10 + 25
Bild 1: Waage als Symbol der Gleichung
= 35 cm
gesuchterWert = Zahl
Zahlengleichung
gesuchterWert = Größe
Größengleichung
x = 16 + 12x = 28
= 10 cm + 25 cm
Bild 2: Arten der Gleichungen
gesuchter Wert steht rechts
Die Seiten einer Gleichung dürfen vollständig getauscht werden
=10+25 x
=10+25 x
Bild 3: Vollständiger Seitentausch
x = 40
– 5
5
Veränderungen an einer Gleichung
müssen auf beiden Seiten vorge-
nommen werden
+x 5 =
Werte hinzufügen:
+35
x + 5 = 35 + 5
+x = 405
x + 5 = 40
x = 40 – 5x = 35
x = 35
Werte abziehen:
Mit dem Seitenwechselwechselt auch das
Vorzeichen
Werte vervielfachen und teilen:
2 · x =
2 · x = 35 · 2
x = 70 : 2x = 35
Seitenwechsel
35 · 2
2 · x = 70
– 5
Bild 4: Umstellregeln bei Gleichungen
Umstellregeln beim Seitenwechsel:
aus + wird – aus · wird :aus – wird + aus : wird ·
Der Seitenwechsel erfolgt immer mit dergegenteiligen Rechenoperation.
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Beispiele:
5 m = § ⇔ § = 5 m
⇒ Beide Seiten dürfen vertauscht werden.
§ + 1 m = 6 m ⇔ § = 6 m – 1 m
⇒ aus + wird – und aus – wird +
2 · § = 10 m ⇔ § = 10 m : 2
⇒ aus · wird : und aus : wird ·
Potenzen und Wurzeln in Gleichungen sind erforderlich, wenn z. B. Flächen und Längenbestimmt werden müssen (Bild 1).
Zu beachten ist, dass bei umfangreicherenGleichungen die Wertigkeit von Klammer-,Punkt- und Strichrechnung berücksichtigt werden muss.
Klammern in Gleichungen benötigt man, umdie Reihenfolge der Rechenschritte festzulegenund Rechnungen zu vereinfachen. Beim Aus-klammern werden gemeinsame Werte in derRegel als Faktor vor die Klammer geschrieben.Das dazugehörige Multiplikationszeichen vorder Klammer wird nicht geschrieben (Bild 2).
Der Inhalt der Klammer entspricht einer Zahl,die durch diese Klammer geschützt wird. ZumWeiterrechnen müssen Klammern oft entferntwerden.
Klammern können entfallen, wenn ihr Inhaltberechnet wird, ihr Faktor + 1 ist, oder der Fak-tor in die Klammer multipliziert wird (Bild 3,
Bild 4 und Bild 5). Stört ein negatives Vorzei-chen vor der Klammer, wird mit – 1 multipli-
ziert oder mit der Klammer einschließlich desVorzeichens die Seite gewechselt. Die entspre-chenden Rechenschritte sind mit besondererSorgfalt durchzuführen.
14
..
..
Auf beiden Seiten müssen dieselbenRechenschritte mit Größe und Einheitvorgenommen werden
= 5 m= 52 · m2
= 25 m
2
2
= 25 m2
= 25 m2
= 5 m
2
2
2
Bild 1: Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln
Gleiche Größen werdenzusammengefasst:
Die gemeinsamen Faktorenwerden ausgeklammert:
b
U = + b + + b
U = 2 · + 2 · b
U = 2 ( + b)
Bild 2: Klammersetzung
U = 2(3 m + 2 m)
U = 10 m
U = 2 · 5 m
ohne Rechenzeichen
geschützter Inhalt
Klammerinhalt wirdzuerst berechnet
Rechenzeichen wirdgeschrieben
U = 2( + b)
Bild 3: Berechnen des Klammerinhalts
U = 2 ( 3 m + 2 m )
U = 10 m
U = 2 · 3 m + 2 · 2 m
multiplizieren mit jedem Gliedder Klammer
Bild 4: Multiplizieren in die Klammer
10 m = 2 ( + 2 m) Seitenwechsel des Faktors
10 m2
= 1 ( + 2 m) (aus · wird :)
5 m = + 2 m Klammer kann entfallen
5 m – 2 m = (aus + wird –)
3 m = = 3 m Seitentausch
Bild 5: Entfernen eines Faktors vor der Klammer
Zusammenfassung gleicher Größen
D = s + d + s
s = (D – d ) : 2
D = 2s + d vollständiger Seitentausch
2s + d = D Seitenwechsel von d 2s = D – d
Faktor wechselt die Seite
s =D – d
2Klammer und Bruchstrich sind gleichwertig
Bild 6: Gleichung mit Klammern und Brüchen
Klammern und Brüche sind Bestandteile vielerFormeln, hierbei ist zu beachten, dass einBruchstrich eine Klammer ersetzt und um -gekehrt (Bild 6).
01 (010-035) 2015_01 (010-035) 2009 29.05.15 14:38 Seite 14
..
..
15
Aufgaben
1 Das Ergebnis ist sinnvoll zu runden.
a) 0,8214 m + 1,01324 m
b) 14,341 cm + 20,73 cm + 3,21 cm
c) 132,12 mm – 9,361 mm – 10,54 mm
d) 9,362 m2 – 0,4536 m2 + 21,48 m2
e) 18,427 kg + 5,7623 kg – 4,789 kg
f) 0,037 kg + 1,3521 kg + 0,561 kg
g) 34,61 + 7,851 – 0,951 – 234,61 + 466,341
h) 76,5 N – 4,76 N – 24,85 N + 21,22 N
2 Die Lösungen sind überschlägig zu bestimmen.
a) 49 · 105 + 152 · 3 b) 1980 · π + 460
b) 890 · �3,
414� + 69 · π d) 205 · �
32,104
� + 210
e) �331,1040
� + 149 · �3,
414� f) 460 · 12 + �
10240
· 13�
g) 3608 : 9 + 124 · 8 h) �24 · 4
42+ 298� + 110
3 Wozu werden folgende griechischen Buchsta-ben verwendet?
a) å b) © c) „
d) π e) ® f) μ
4 Welche Bedeutung haben folgende Vorsilben?
a) M b) da c) m
d) h e) c f) k
5 Die Zahlengleichungen sind zu berechnen.
a) x + 50 = 70 b) x – 12 = 48
c) 6x – 12 = 60 d) 4x – 42 = 58
e) 16 – 3x = – 14 f) 4 = 2x + 6
g) 7x + 14 = 3x + 54 h) x + 9 = – 3x + 11
i) �6x
� = 0,5 j) �1x8� – 5 = 13
k) 4,5 = �0x,9� l) 2x = 3 (x + 1)
m) 1 = �(x +
42) · 3� n) 2 (3x – 7) = 28 – x
6 Die Gleichungen mit Quadratzahlen, Wurzelnund Klammern sind zu lösen.
a) x2 = 160 – 16 b) 5x2 – 48 = 4x2 + 1
c) x = ;38 – 1�3 d) x = Ö�2�6�7�0
1�
0–� 4�2�0�
�
e) 5x + 2 (6 + x) – 3 = 8 (x + 7) – 16
f) (x + 1) · 4 – 5x + 6 = – 3x + 20
7 Die Größengleichungen sind zu lösen.
a) U – 16 m = 64 m – 12 m
b) A = 2 (18 m2 + 7 m2)
c) A = 0,64 m2 + 3,56 m2 + 4 (1,2 m2 – 0,8 m2)
d) § – 2,45 m = 4,85 m – 5 (0,26 m – 0,12 m)
e) V = 1,2 m · 1,2 m · �3,
414� · 3,6 m – 2,2 m3
8 Die Formeln sind nach jedem Formelzeichenumzustellen.
a) U = 2 (§ + b) b) A = § · b
c) A = d · π · § d) A = 6a2
e) V = �A
3· h� f) A = �
§1 +2
§2� · b
g) n1 · d1 = n2 · d2 h) A = d2 · �π
4�
i) A = �d ·
2π · s� j) V = �
A1 +2
A2� · h
9 Für die Textaufgaben ist zuerst eine Formel zu erstellen und dann die Lösung zu berechnen.
a) Von einem Stab Kupferrohr der Dimension 12�1 von 5 m Länge werden mit einemRohrabschneider nacheinander 76 cm, 137,5cm, 36 cm und 231,5 cm abgetrennt.Wie lang ist der Rest?
b) Ein Lieferwagen hatte ohne Einbauten eine Zulademöglichkeit von 800 kg. Die im Wageneingebaute Werkstatteinrichtung wiegt 220kg. Es werden eine Gewindeschneidmaschinevon 51 kg, zwei Werkzeugkoffer von je 20 kgund ein Koffer mit einem Bohrhammer von 16 kg zugeladen.Wie viel kg können noch genutzt werden?
c) Wie viel Stangen Gewinderohr zu je 6 m Län-ge erhält man für 100 €, wenn 1 m 2,35 €
kostet?
d) Ein Lüftungskanal mit einer Luft durchström-ten Fläche von 3200 cm2 teilt sich in zweigleich große quadratische Rohre auf.Welche Fläche haben diese Rohre jeweils undwie groß sind die Seitenlängen?Dabei gilt: Ages = 2 · A1.
e) Das Gefälle einer Abwasserleitung soll sichwie 1 : 50 ver halten. Wie groß ist, der Höhenunterschied bei einer 6 m langen Abwasserleitung?
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1.1.3 Rechnen mit dem Taschenrechner
Taschenrechner sind ein unentbehrliches Hilfs-mittel, um schnell Berechnungen durchführenzu können. Diese sind mit ihm zwar schnellauszuführen, doch müssen die grundlegendenRechenregeln beachtet werden.
Beim Kauf eines Taschenrechners ist zuberücksichtigen, dass mindestens die Zahl πund die Quadratwurzel als Funktionstastenvorhanden sind, da sie z. B. bei Rohrdimen -sionierungen oft benötigt werden.
Weitere Funktionen sind bei technisch-wissen-schaftlichen Rechnern nötig. Diese Rechnersind Hilfsmittel, um umfangreichere, wieder-kehrende Rechenschritte, wie sie z. B. bei derAuswertung von Laborversuchen nötig sind,schnell durchzuführen (Bild 1).
Rechenbeispiele am einfachen Taschen-
rechner
Bei Taschenrechnern werden die Aufgabeneingegeben, wie man sie schreibt, von linksnach rechts. Dabei ist die dem Rechner ein -programmierte Rechenlogik zu beachten.Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Diesist bei Aufgaben mit Klammern zu berücksich-tigen. Deshalb werden Klammern zuvor in ei-ner Nebenrechnung berechnet (Bild 2).
Taschenrechner sind unterschiedlich. Deshalbist die einprogrammierte Rechenlogik zu prüfen und zu beachten.Man kann Zwischenrechnungen vermeiden,wenn der Rechner Funktionstasten besitzt, wiez. B. ein technisch-wissenschaftlicher Rechner(Bild 1).
Rechenbeispiele am technisch-wissenschaft -
lichen Rechner
Diese Rechner besitzen Zusatzfunktionen, wiez. B. Klammern und Speicher.
Beispiel:
A = 2 · 12 m + 2 · (12 m – 4 m) Rechenfolge
2 * 12 + 2 *(12 - 4) = 40
Die Klammern müssen unbedingt am Rechner ein-gegeben werden.
Speicher vereinfachen wiederkehrende Rechen -operationen mit gleichen Zahlen. Im Displayist zu erkennen, ob im Speicher eine Zahl ab-gelegt ist. Die Bedienung des Speichers erfolgtmeist über vier Zusatztasten (Bild 3).
16
..
..
x2 % OFF
1x Min MR
C AC7 8 9
x4 5 6
+1 2 3
= M+0 EXP
M
Speicherfunktionaktiv
Dis
pla
yFu
nkt
ion
s-ta
sten
Ziff
ern
tast
en
Rec
hen
tast
enS
pei
cher
tast
en
Bild 1: Technisch-wissenschaftlicher Rechner
L = 2 · 12 m + 2 · 8 m
Punktrech-nung zuerst
2 · 12 m = 24 m
2 · 8 m = 16 m
dann Strich-rechnung 24 m + 16 m = 40 m
L = 40 m
Punkt- und Strichrechnung
L = 2 (12 m + 8 m)
Klammerzuerst
12 m + 8 m = 20 m
2 · 20 m = 40 m
L = 40 m
Klammerrechnung
Bild 2: Rechenfolge
Die Rechenfolge von Klammer, Punkt- undStrichrechnung ist stets zu beachten.
Min ersetzt den vorherigen Speicherinhaltdurch die eingegebene Zahl
M+
MR
Min
AC
0 und
Minund
oder
addiert weitere Zahlen zur Zahl im Speicher
zeigt den Inhalt des Speichers an
löscht den Speicherinhalt
Bild 3: Speicherfunktionen eines Taschenrechners
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..
..
17
Aufgaben: Rechnen mit dem Taschenrechner
Die Ergebnisse sind auf höchstens zwei Stellennach dem Komma zu runden.
1 Addition und Subtraktion
a) 45,12 + 237,985 + 2,569+ 587,5
b) 0,576 + 1,236 + 0,098 + 393,82
c) 98,456 – 6,7823 – 0,458 – 21,7923
d) – 0,45 + 6,734 + 0,0457 – 4,361
e) 8,427 m + 5,062 m –1,789 m + 0,675 m
f) 6,033 kg + 1,657 kg – 0,561 kg – 2,675 kg
g) 94,6 î – 7,85 î – 0,65 î + 275,6 î – 66,375 î
h) 60,5 N + 14,75 N – 34,65 N + 51,28 N
2 Multiplikation und Division
a) 4,49 · 78,05 b) 8,986 · 376,60
c) 0,572 · 45,6 · 2,76 d) – 756,2 · 0,0221
e) 935,67 : 23,42 f) 0,0547 : 2,43
g) 67,2 · π h) 3,46 · π : 7,2
i) 0,078 : π · 64,5 j) – 7,89 : 2,21
3 Multiplikation und Brüche
a) �4,6
87,3· 32,14
� b) �5,84 · 2
8,,6774
· 0,45�
c) �02,,9586
··51,,6796
� d) �4,65,65
··00,,413· 0· 0,2,012
�
e) �0,34 · 2
1,726 · 0,75� f) �
–04,35,56
··26,,94161
�
Es ist zu beachten, dass Produkte im Nennerstets als Division auszuführen sind.
4 Rechnen mit Klammern
a) 45,2 · (76,45 – 21,5)
b) (87,3 + 0,754) · 0,98
c) 3,24 + 5,46 · (72,12 – 52,21 – 0,93)
d) (7,21 – 0,36 + 5,63) · π – 2,51 + 0,67
e) (4,56 + 0,21) · 4,28 + 2,1 · (7,98 + 1,23)
f) 8,7 · (4,2 – 2,5) – (8,43 + 1,05) · 0,2
g) π · 76,2 + (6,4 – 3,25) · 71 – 46,2 · π
h) (6,21 – 3,47) · (0,87 + 6,79 – 2,37) · 0,25
5 Quadratzahlen und Wurzeln
a) 32,52 b) 252 · 0,785
c) 52,052 · 0,5 · 3,2 d) (75,5 – 7,6)2 : 4
e) 7 · 2,12 f) 4,2 · (6,05 – 2,16)2
g) (9,23 – 0,34 + 2,7) · 5 + 7,252
h) ;5�0� · 0,36 j) 8,9 · ;9�2�,6�
j) 2,5 · ;8�8�,6� –� 5�6�,2� k) Ö�38
�67
�5�
�
l) Ö�4�6�,
21�1–�,4�5�,6�
�m) Ö�4�4�,
55�,2+�
–3� ,2
�2,
�1�·�π
��
n) 3,2 · y8,24 –� 3 · 0,�61�
6 Rechnen mit dem Speicher
a) (7,21 – 1,4) · 8 – 2,1 · (23,2 – 7,05)
b) (56,2 – 2,11 + 22,52) · 3,1 – 22,52
c) 333 · π + 2 · (250 · π + 333 · π)
d) 60 · π – 14 + 3 · (60 · π + 21)
e) (120 · 2,1 + 65 · 0,2 + 3 · π) : 45,2
7 Gemischte Aufgaben
a) 181,7 · π + 4861 – 591,12 + 3,1 · 0,88
b) �96
15· π� – 66,5 + 18,2 · π + 0,65 ·3,2
c) 54,6 – �4,
01,216
· 3·,414
� + 44,5 · 2,1
d) 4,18 · (10,12 – 4,16) + 57,6 · π
e) 16 · π + 122 · π + 196
f) �125,2 ·
131,5 – 43,1� + 56,2 · 3,1
g) ;1�1�2� + 3 · ;4�,5� –� 0�,2� – 13,2
h) 41,7 · π + 81,16 · �25,55� – 33,6 · (π – 0,33)
8 Berechnungen mit Einheiten
a) A = 25 cm · 23 cm + 40 cm · 65 cm
b) A = 13 mm · 13 mm · �π4
�
c) A = 2 · (32,5 cm2 + 65 cm2) – 42,5 cm2
d) V = 1,25 m · 2,5 m · 5 m – 3,2 m3
e) F = 80,5 N – 2,5 N · �50 cm
20
2
c–m32
2cm2
�
f) A = 8 cm2 +�8,2 cm +
22,4 cm� · 10,5 cm + 460 cm2
g) d = 4,6 cm · π + 6,5 cm – 2 · 81,5 cm – 32,6 cm���
8
01 (010-035) 2015_01 (010-035) 2009 29.05.15 14:38 Seite 17
1.1.4 Schaubilder, Diagramme und
Tabellen
Mit Schaubildern werden z. B. technische Wer-te oder Bilanzen eindeutiger und einfacherdargestellt, als es Texte und Zahlenwerte aus-sagen können. Sie sind übersichtlich undleicht ablesbar.
Säulen-Schaubilder verwendet man, um z. B.Inhalte oder Volumenströme anschaulich zei-gen zu können. Die Darstellung wird in Ausse-hen und Maßstab so gewählt, dass Sachzu-sammenhänge gut erkennbar sind. Zahlenwer-te werden angegeben (Bild 1).
Kreis-Schaubilder gibt es in Flächen- und Ku-chenform, sie dienen zur Angabe von Ge-samtanteilen, wie z. B. bei der Energiegewin-nung oder dem Werkstoffverbrauch (Bild 2).
Balkendiagramme sind Schaubilder, an ihnenkönnen Zusammenhänge abgelesen und Wer-te entnommen oder auch ermittelt werden. Es
18
..
..
sicher gewinnbareErdgasreserven inMrd. t SKE*
Mittel-und
Nahost
26
* Steinkohleneinheiten
Ostländer,China
49
West-europa
6
USA
7
Bild 1: Säulenschaubild
Wasserverbrauch in Liter pro Person und Tag
Klein-gewerbe11
TrinkenKochen
5
Raum-reinigung,Garten, Auto
8Geschirr-spülen 8
Wäsche waschen15
Toilettenspülung35
46
Baden, Duschen,Körperpflege
Bild 2: Kreis-Schaubild
Regler
Zündung
Startventil
Flamme
Hauptventil
Startvorgang bei einem Gasbrenner
5s Betrieb
Wärmeanforderung
Bild 3: Balkendiagramm
10,5 8,9
7,85 7,28
2,71,74
Dichte metallischer Werkstoffe in kg
dm3
Ag Cu St Sn Al Mg
Bild 4: Dichte von Metallen
werden oftmals technische Abläufe darge-stellt, wie z. B. der Startvorgang eines Gas-brenners (Bild 3).
Beispiel:
Für die Dichte der Werkstoffe Silber, Kupfer, Zinn,Stahl, Aluminium und Magnesium ist ein Schaubildzu erstellen. Dazu werden dem Tabellenbuch folgen-de Werte entnommen:
®Ag = 10,5 �dkmg
3� ®Cu = 8,9 �dkmg
3� ®Al = 02,7 �dkmg
3�
®Sn = 7,28 �dkmg
3� ®St = 7,85 �dkmg
3� ®Mg = 1,74 �dkmg
3�
Als mögliche Form des Schaubilds wird einSäulendiagramm gewählt. Die Höhen werdenmaßstäblich gezeichnet. Die Reihenfolge derMetalle kann z. B. nach fallender Dichte vorge-nommen werden. Weitere Details der Darstel-lung werden anschaulich und ansprechend an-geordnet (Bild 4).
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Tabellen können aus Zahlen oder Texten ent-stehen. Sie sind Schaubilder, an denen Zuord-nungen oder Zahlenwerte direkt abgelesenwerden können. Da sie oft benötigt werden,sind sie im Tabellenbuch gesammelt. Sie ge-ben Regeln vor, vereinfachen oder erübrigentechnische Berechnungen. Soll z. B. eine Trink-wasserleitung durch Löten verbunden werden,kann man der Tabelle als Vorschrift ent -nehmen, dass über DN 25 bei Trinkwasser -installationen hartgelötet werden darf. Alleaufgeführten Lote sind zulässig (Tabelle 1).
Umfangreichere Tabellen enthalten oft zusätz-liche Informationen durch Skizzen oder Zeich-nungen sowie Erläuterungen oder Fußnoten(Tabelle 2).
19
..
..
Tabelle 1: Hartlote nach DIN EN 1044 für Kupferrohre
Hartlot Zusammen- Arbeits- Einsatz-setzung temperatur möglich-
in °C keiten
AG 106 34 % Ag(L-Ag34Sn) 36 % Cu
7103 % Sn27 % Zn
AG 203 44 % AG(L-AG 44) 30 % Cu 730
26 % ZnAG 104 45 % AG(L-AG45Sn) 27 % Cu
6703 % Sn25 % Zn
CP 105 2 % Ag(L-Ag2P) 92 % Cu 710
6 % PCP 203 94 % Cu
730(L-CuP6) 6 % P*) Hartlöten für Kupferrohre bei Kalt- und Warm -
wasserinstallationen nicht mehr empfohlen.
Trinkwasser-rohr leitungenab DN 32*
Heizungs-rohrleitungen
Gasrohr -leitungen
Aufgaben
1 Für das Lot AG106 sind die Anteile der Legierungsbestandteile zu ermitteln und in einem Kreis-Schaubild darzustellen.
2 Die Rechnung für eine Rohrinstallation beträgt 1620 € ohne Mehrwertsteuer.
Folgende Kosten sind zu berücksichtigen: Rohre und Fittings 170 €, Rohrbefestigungen60 €, Lohn 520 €, Gemeinkosten 600 € und derGewinn. Die Kostenanteile sind in einemSchaubild darzustellen.
3 Wie viel Liter Wasser enthält ein Gewinderohr DIN EN 10255-M DN 15 bei einer Länge von 6 m?
4 Welchen Außen- und Innendurchmesser hatein Gewinderohr DIN EN 10 255-M DN 25?
5 Welche Masse haben 6 m Gewinderohr DINEN 10 255-M der Nennweite 32?
Grafische Darstellung von Funktionen
Funktionen geben Zusammenhänge verschie-dener Einflussgrößen an. Sie werden inSchaubildern dargestellt, damit die Zusam-menhänge schnell abzulesen und Tendenzenerkennbar sind. Für ihre Darstellung benötigtman ein rechtwink liges Koordinatensystem.Die Waage rechte nennt man x-Achse oder Ab-szisse, die Senkrechte y-Achse oder Ordinate.Bei der Mehrzahl der technischen Schaubilderwird nur die positive x- und y-Achse benutzt,d.h. die Punkte liegen im ersten Quadranten (Bild 1).
Lineare Funktionen zeigen den Zusammen-hang zweier Größen in Form einer Geraden.Alle Zwischenwerte können auf beiden Achsenabgelesen werden. Die Lösungsgenauigkeithängt stets von der Qualität der Zeichnungund insbesondere vom Maßstab ab (Bild 1,
Seite 20).
10 R 3/815 R 1/220 R 3/425 R1
32 R 1 1/440 R 1 1/250 R 2
DN R Din
mm
A´0in
m2/m
sin
mm
din
mm
Ain
cm2
V'in
ä /m
m'in
kg/m
Tabelle 2: Stahlrohre, mittelschwere Gewinderohre DIN EN 10255
A lichter Querschnitt in cm2
A 0́ Rohroberfläche in m2/m
m´ Rohrmasse in kg/m
V ´ Volumen in ä /m
R Whitworth- Rohrgewinde
ss
d D
17,2 0,054 2,35 12,5 1,23 0,12 0,85221,3 0,067 2,65 16,0 2,01 0,20 1,2226,9 0,085 2,65 21,6 3,66 0,37 1,5833,7 0,106 3,25 27,2 5,81 0,58 2,44
42,4 0,133 3,25 35,9 10,12 1,01 3,1448,3 0,152 3,25 41,8 1 3,72 1,37 3,6160,3 0,189 3,65 53,0 22,06 2,21 5,10
+y
-y
+x-xx-Achse oder Abszisse
y-A
chse
od
er
O
rdin
ate
+1
+2
+3
-1
-2
-3-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5
1. Quadrant
4. Quadrant3. Quadrant
2. Quadrant
- x+y
+x+y
-x-y
+x- y
Bild 1: Koordinatensystem
01 (010-035) 2015_01 (010-035) 2009 29.05.15 14:38 Seite 19
20
..
..
0
Um
fan
g U
in m
m
10
20
30
40
50
60
02 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Durchmesser d in mm
Bild 1: Lineare Funktion
Durchmesser D in mm0
Fläc
he
A in
mm
2
100
02 10 20
314300
78,5
200
3,14
16
Bild 2: Nichtlineare Funktion
Aufgaben
1 Für einen 6 m langen Stab Gewinderohr DIN EN 10 255-M DN 15 soll die Masse in einemSchaubild dargestellt werden. Die erforderlichen Werte sind einer Tabelle zu entnehmen. Als Abszisse sollen 1 m ≠ 1 cm und als Ordinate 1 kg/m ≠ 1 cm gewählt werden.
2 Es ist ein Schaubild zu zeichnen, in dem die Oberfläche eines Gewinderohrs DIN EN10 255-M DN 20 über der Rohrlänge angegebenwird.
3 Entsprechend Aufgabe 2 soll der Rohrinhaltüber der Rohrlänge abgelesen werden können.Fertigen Sie ein Schaubild.
4 In einem Schaubild ist die Wärmedehnung vonStahl über der Rohrlänge aufgetragen (Bild 3).
a) Ermitteln Sie die zu erwartende Dehnung eines Stahlrohres von 16 m Länge bei einerTemperaturänderung von 50 K.
b) Mit welcher Dehnung ist zu rechnen, wennein 12 m langes Stahlrohr Temperaturenvon 20 °C bis 60 °C ausgesetzt ist?
5 Zur Überwachung einer Solaranlage wurde dietägliche Einstrahlungsenergie gemessen undfür jeden Monat gemittelt in einem Schaubildfestgehalten (Bild 4).
Lesen Sie je Monat die durchschnittliche Ein-strahlungsenergie ab und bilden Sie die jähr -liche Gesamtsumme.
Län
gen
änd
eru
ng
in m
m
00
2 10 20Rohrlänge o in m
5
10
15
10 K
20 K
30 K
40 K
50 K
60 K70 K80 K
Temperaturdiffe
renz
Bild 3: Wärmedehnung von Stahl
mitt
lere
mo
nat
lich
eE
inst
rah
lun
gse
ner
gie
k
Wh
m2
· Mo
nat
in
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Zeit in MonatenJ F M A M J J A S O N D
Bild 4: Strahlungswerte
Beispiel:
In einem Schaubild werden der Zusammenhang zwi-schen Durchmesser und Umfang eines Zylinders an-gegeben. Bei gegebenem Durchmesser berechnetman den Umfang (U = d · π) in Form einer Werte -tabelle, wählt einen sinnvollen Maßstab, trägt diePunkte ein und verbindet die Hilfspunkte (Bild 1).
Nichtlineare Funktionen ergeben beim Verbin-den der Hilfspunkte eine gebogene Linie. Siehaben den besonderen Vorteil, dass man Ten-denzen der Zusammenhänge der Einflussfak-toren schnell erkennen kann.
Beispiel:
In einem Schaubild wird der Zusammenhang zwi-schen Durchmesser und Kreisfläche dar gestellt. AlsTendenz erkennt man, dass die Fläche (y-Achse)schneller zunimmt als der Durchmesser (x-Achse)(Bild 2).
01 (010-035) 2015_01 (010-035) 2009 29.05.15 14:38 Seite 20
