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Tecnologıa deelementos
F. Gabaldon
El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C
TECNOLOGIA DE ELEMENTOS
Felipe Gabaldon Castillo
Madrid, 11 de Enero de 2007
Tecnologıa deelementos
F. Gabaldon
El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Indice
1 El fenomeno de bloqueo
2 La prueba de la parcela
3 Analisis espectral (Q4)
4 Formulaciones mixtas
5 Integracion selectiva
6 Control de Hourglass
7 Formulacion B-bar
8 Modos incompatibles
9 Deformaciones supuestas
10 Conclusiones
Tecnologıa deelementos
F. Gabaldon
El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Contenido
1 El fenomeno de bloqueo. Elasticidad incompresible
2 La prueba de la parcela
3 Analisis modal de la matriz de rigidez
4 Tecnologıas especiales
5 Metodos mixtos
6 Integracion selectiva y reducida
7 Control de “hourglass”
8 La formulacion B
Tecnologıa deelementos
F. Gabaldon
El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Contenido
10 El metodo de modos incompatibles
11 La formulacion con deformaciones mejoradas supuestas
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El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
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Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Introduccion
Ciertas restricciones fısicas conducen a situaciones debloqueo de la formulacion en desplazamientos. Ejemplos:
Elasticidad incompresible.Flexion de vigas y placas delgadas
Concepto: La metodologıa de solucion es minimizar laenergıa potencial total. Utilizar para ello el metodo de loselementos finitos ya introduce una restriccion (se busca elmınimo para una cierta clase de desplazamientos, porejemplo polinomios continuos a trozos). Si ademas existenrestricciones adicionales de tipo fısico, el sistema puedequedar con un exceso de restricciones que hagan que launica solucion del sistema sea la nula.
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Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Introduccion
Ejemplos:
ν → 0,5 en deformacion planat → 0 en vigas y placas
Pueden existir restricciones “escondidas”: plasticidad condeformaciones plasticas de caracter isocorico.
El problema debe plantearse introduciendo una incognitapor cada ecuacion de restriccion.
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Conclusiones
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C Elasticidad incompresible
Ecuacion constitutiva (medio elastico isotropo):
σij = λuk,kδij + 2µu(i ,j)
Si ν → 12 , entonces λ = 2νµ
1−2ν→ ∞
La formulacion en este caso sera:
σij = −pδij + 2µu(i ,j)
ui ,i = 0
Para triangulos lineales de presion constante, se tiene:∫
Ωe
qhuhi ,idΩ = 0 ∀qhcte en Ωe ⇒
∫
Ωe
uhi ,idΩ = 0
es decir, los elementos no cambian de volumen:
III II
I
6?
-
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C El fenomeno del bloqueo. Elasticidad incompresible
Formulacion valida para medios compresibles eincompresibles:
σij = −pδij + 2µu(i ,j)
ui ,i +p
λ= 0
Observaciones
ν =1
2⇒ p = −
σii
3
ν ≈1
2⇒ p ≈ −
σii
3
ν 6=1
2⇒ p = −λui ,i 6=
σii
3
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Conclusiones
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C La prueba de la parcela
Introducida originalmente por Irons en 1965 y revisadaposteriormente por Taylor et al. en 1986 (Individual patchtest).Los estados de deformacion constante (incluyendomovimientos de solido rıgido) han de ser representados demanera exacta.Ha de verificarse, en particular, para un solo elemento.Se debe probar sobre elementos distorsionados.Los modos de deformacion constante y de solido rıgido soncapturados de manera exacta por todos los elementos quepasan la prueba de la parcela. La diferencia entre losdistintos elementos se encuentra en la rigidez de losmodos de flexion.Los modos de flexion no han de tener rigidez infinita en ellımite incompresible. Este es el problema que tiene laformulacion en desplazamientos.
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C Modos de deformacion
Para el elemento bilineal de 4 nodos los modos dedeformacion son:
SR1 SR2 ROT
BG1SHRSTR
DIL
BG2
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C Autovalores
Modos de solido rıgido
λSR1 = 0, λSR2 = 0, λSR3 = 0
Modo volumetrico
λVOL =1
2r
[(λ + 2µ)(1 + r2)+
√4µ(λ + µ)(r2 − 1)2 + λ2(r2 + 1)2
]r =
h
b
En el caso incompresible λVOL → ∞
Flexion
λBG1 =µ + (λ + 2µ)r2
3r, λBG2 =
µr2 + λ + 2µ
3r
con r = h/b. En el problema de flexion de vigas delgadasλBG1 → ∞ o λBG2 → ∞
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C Conclusiones
El fenomeno del bloqueo aparece como consecuencia deuna formulacion numerica inadecuada que da lugar a unproblema con demasiadas restricciones. En concreto, dosdefectos clave son la interpolacion lineal de las respuestasvolumetricas y de corte.
El problema debe solucionarse modificando la formulacionen los terminos que dan lugar a los campos dedeformaciones no constantes. La integracion reducidaelimina la parte no constante de las deformaciones en elelemento, pero da lugar a modos espureos de energıa nula.
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C Tecnologıas especiales
1 Metodos mixtos.
2 Integracion selectiva y reducida.
3 Control de Hourglass
4 Formulacion B
5 El metodo de los modos incompatibles
6 Formulacion con deformaciones supuestas mejoradas
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C Introduccion
Las referencias son muy abundantes
Los metodos mixtos emplean diferentes interpolacionespara diferentes campos: desplazamientos-presion,desplazamientos-tension, desplazamientos-deformacion,etc.
Para que una formulacion mixta tenga garantizada laconvergencia, ha de verificar la condicion deBabuska-Brezzi (problema de checker-board).
Los elementos de orden alto pierden robustez enproblemas no lineales.
No hay un “buen elemento” para todas las clases deproblemas
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C Formulacion fuerte
Dados f, g, h, encontrar u : Ω → R , p : Ω → R tal que:
σij ,j + fi = 0 en Ω
ui ,i + p/λ = 0 en Ω
ui = ui en ∂uΩ
σijnj = t i en ∂tΩ
siendo:σij = −pδij + 2µu(i ,j)
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C Formulacion debil
Sean:
Si = espacio de las soluciones de prueba (desplazamientos)
νi = espacio de las funciones de peso (desplazamientos)
P = espacio de las presiones
Dados fi , ui , t i , encontrar ui ∈ Si y p ∈ P tal que∀δui ∈ νi , δp ∈ P, se verifique:
∫
Ωδu(i ,j)σijdΩ −
∫
Ωδp
(ui ,i +
p
λ
)dΩ =
∫
Ωδui fidΩ+
∫
∂tΩδui t idΓ (1)
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C Metodo de Galerkin
Sean:
Shi = espacio de las soluciones de prueba (desplazamientos)
νhi = espacio de las funciones de peso (desplazamientos)
Ph = aproximacion del espacio de las presiones
Dados fi , ui , t i , encontrar uhi ∈ Sh
i y p ∈ Ph tal que∀δuh
i ∈ νhi , δph ∈ Ph, se verifique:
∫
Ωδuh
(i ,j)σhijdΩ−
∫
Ωδph
(uhi ,i +
ph
λ
)dΩ =
∫
Ωδuh
i fidΩ+
∫
∂tΩδuh
i t idΓ (2)
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C Formulacion matricial
Sustituyendo:
∫
Ωδuh
(i ,j)σhijdΩ = −
∫
Ωδuh
i ,iphdΩ +
∫
Ωδuh
(i ,j)2µuh(i ,j)dΩ
en (2) y haciendo las interpolaciones definidas por:
uh = Nd δuh = Nδu
ph = Npp δph = Npδp
para δu y δp arbitrarios se obtiene:
(K G
GT M
)(d
p
)=
(F
H
)(3)
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C Condensacion estatica
Partiendo del sistema de ecuaciones a nivel elemental:(
ke ge
(ge)T me
) (de
pe
)=
(fe
he
)
kede + gepe = fe (4)
(ge)Tde + mepe = he (5)
si los grados de libertad correspondientes a las presionesson internos, es posible eliminar a nivel elemento el campode presiones llegando a la ecuacion matricial en formaestandar:
Kd = f (6)
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C Condensacion estatica (caso compresible)
La forma de proceder es la siguiente (λ < ∞; me 6= 0):Se elimina pe en (5):
pe = (me)−1[he − (ge)Tde
]
y se sustituye en (4), resultando:
kede = f
e
donde:
ke
= ke − ge(me)−1(ge)T
fe
= fe − ge(me)−1he
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C Condensacion estatica (caso incompresible)
En este caso (λ → ∞; me = 0) se elimina de en (4):
de = (ke)−1 [fe − gepe ] (7)
y se sustituye en (5):
he = (ge)T(ke)−1 [fe − gepe ] (8)
Ahora en (8) se despeja pe :
[(ge)T(ke)−1ge
]pe = (ge)T(ke)−1fe − he
y se sustituye en (7) para obtener de
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C Interpolacion del campo de presiones
La interpolacion de desplazamientos es la estandar. La depresiones puede ser discontinua
¡ No todos los elementos funcionan !:
r =neq
nc
;neq ≡ ecuaciones en desplazamientos
nc ≡ restricciones de incompresibilidad
r = 2 optimo
r > 2 pocas restricciones de incompresibilidad
r < 2 demasiadas restricciones de incompresibilidad
r ≤ 1 bloqueo severo
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C Interpolacion del campo de presiones
r = 1 r = 2
r = 2r = 2 r = 3/2
r = 2/3
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C Integracion selectiva y reducida
Concepto:
Ke =
∫
Ωe
BTDBdΩ
=
∫
Ωe
BTDλBdΩ
︸ ︷︷ ︸Int. red: 1×1
+
∫
Ωe
BTDµBdΩ
︸ ︷︷ ︸Int. comp: 2×2
siendo:σij = λǫkkδij + 2µǫij
Formulacion en desplazamientos.
Teorema de equivalencia (Malkus-Hughes)
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C Control de “hourglass”
Concepto: utilizar integracion reducida anadiendo rigidezartificial a los modos de flexion.
Utiliza parametros escogidos “ad-hoc” para introducir larigidez artificial.
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C La formulacion B
Concepto: ε = Bd
Se considera la descomposicion aditiva de B en:B = Bvol + Bdev, siendo para el cuadrilatero de 4 nodos:
BAvol =
1
3
NA,1 NA
,2
NA,1 NA
,2
0 0
y Bdev = B − Bdev
Se define: B = Bvol|ξ=0 + Bdev
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C La formulacion B
Ejemplo: elemento de 4 nodos bidimensional
B = (B1,B2,B3,B4); BA =
NA,1 0
0 NA,2
NA,2 NA
,1
Se considera la descomposicion aditiva de B en:B = Bvol + Bdev, siendo:
BAvol =
1
3
NA,1 NA
,2
NA,1 NA
,2
0 0
y Bdev = B − Bdev
Se define: B = Bvol|ξ=0 + Bdev
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C El metodo de los modos incompatibles
Concepto: anadir modos de flexion de orden cuadratico.
Interpolacion del campo de desplazamientos:
u =
4∑
A=1
NA(ξ)dA +
2∑
I=1
NI (ξ)αI
siendo: N1(ξ) =1
2(ξ2 − 1), N2(ξ) =
1
2(η2 − 1)
Los αI son grados de libertad internos a nivel de cadaelemento.
Deformaciones: ε = Bd + Gα
G = [G1 G2] GI =
NI ,1 0
0 NI ,2
NI ,2 NI ,1
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C El METODO DE LOS MODOS INCOMPATIBLES
Prueba de la parcela.Han de obtenerse tensiones constantes condesplazamientos lineales:
σ = CBd = constante con α = 0
sustituyendo en la ecuacion variacional∫Ω GT σdΩ = 0,
resulta:
0 =
∫
Ωe
[GTCBdΩ
]d =
[∫
Ωe
GTdΩ
]σ ⇒
∫
Ωe
GdΩ = 0
El elemento original de Wilson no pasa la prueba de laparcela
Taylor modifica los gradientes de los modos incompatibles:
∇N I =j0
jJ−T
0 ∇ξNI
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C Formulacion E.A.S.
Del acronimo ingles Enhanced Assumed Strain
Objetivo: desarrollar un elemento de prestaciones similaresal de Wilson-Taylor y que ademas tenga las caracterısticas:
1 Formulacion variacionalmente consistente2 Formulacion sistematica de diversas familias de elementos3 Generalizacion para problemas con grandes deformaciones
Concepto: el campo de deformaciones compatibles semejora anadiendole un campo de deformaciones“mejoradas”:
ε = ∇Su + ε
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C Formulacion variacional
Funcional de Hu-Washizu
Π(u, ε,σ) =∫
Ω[W (ε) + σ · (∇su − ε)] dΩ−
∫
Ωu ·fdΩ−
∫
∂tΩu ·tdΓ
Ecuaciones variacionales:∫
Ω(∇s(δu) · σdΩ −
∫
Ωδu · fdΩ −
∫
∂tΩδu · tdΓ = 0
∫
Ωδε ·
[∂W
∂ε− σ
]dΩ = 0
∫
Ωδσ · [∇su − ε] dΩ = 0
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C Formulacion variacional
Reparametrizacion con deformaciones mejoradas:
Π(u, ε,σ) =∫
Ω
[W (∇su + ε) − σ · ε)
]dΩ−
∫
Ωu ·fdΩ−
∫
∂tΩu ·tdΓ
Ecuaciones variacionales:∫
Ω(∇s(δu) ·
∂W
∂εdΩ −
∫
Ωδu · fdΩ −
∫
∂tΩδu · tdΓ = 0
∫
Ωδε ·
[∂W
∂ε− σ
]dΩ = 0
∫
Ωδσ · εdΩ = 0
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C Formulacion de elementos finitos
Los espacios funcionales:
V =δu ∈ H1(Ω, Rn) | δu(x) = 0 ∀ x ∈ ∂uΩ
E =δε ∈ L2(Ω, Rnstrs)
S =δσ ∈ L2(Ω, Rnstrs)
se aproximan por los subespacios de dimension finita:
Vh =
δuh ∈ V | δuh = 0; δuh =
nnod∑
A=1
δuANA(ξ); ∀x ∈ ∂uΩ
Eh =
εh ∈ E | εh =
nelm∑
e=1
εe(ξ)χe
Sh =
σh ∈ S | σh =
nelm∑
e=1
σeh(ξ)χe
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C Formulacion de elementos finitos
Eliminacion del campo de tensiones supuestas: los camposde tensiones supuestas se escogen para que seanortogonales al campo de deformaciones mejoradas:
∫
Ωδσh · εhdΩ = 0
De esta manera las ecuaciones variacionales se reducen a:∫
Ω(∇s(δu) ·
∂W
∂εdΩ −
∫
Ωδu · fdΩ −
∫
∂tΩδu · tdΓ = 0
∫
Ωδε ·
∂W
∂εdΩ = 0
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C Formulacion de elementos finitos
Interpolacion del campo de desplazamientos
uh = Nd ⇒ ∇s(δuh) = Bd
Interpolacion del campo de deformaciones mejoradas
εeh = Gαe
No se requiere continuidad de αe entre elementos
Ecuaciones de elementos finitos
fext −A∫
Ωe
BTσ(ε)dΩ = 0
∫
Ωe
GTσ(ε)dΩ = 0
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C Formulacion E.A.S. (linealizacion)
Linealizando las ecuaciones (en la iteracion k):
A[fe,int(de(k) + ∆de(k),αe(k) + ∆αe(k)) − fe,ext
]= 0
he(de(k) + ∆de(k),αe(k) + ∆αe(k)) = 0
mediante Newton-Raphson, se obtiene:
A
fe,int(de(k), αe(k)) +∂fe,int
∂α
∣∣∣∣∣
(k)
∆αe(k) +∂fe,int
∂d
∣∣∣∣∣
(k)
∆de(k)
=
he(de(k), αe(k)) +∂he
∂α
∣∣∣∣(k)
∆αe(k) +∂he
∂d
∣∣∣∣(k)
∆de(k) =
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C Formulacion E.A.S. (linealizacion)
donde:
∂fe,int
∂d
∣∣∣∣(k)
=
∫
Be
BT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))
∂ε∂εB dΩ
∂fe,int
∂α
∣∣∣∣(k)
=
∫
Be
BT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))
∂ε∂εG dΩ
∂he
∂d
∣∣∣∣(k)
=
∫
Be
GT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))
∂ε∂εB dΩ
∂he
∂α
∣∣∣∣(k)
=
∫
Be
GT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))
∂ε∂εG dΩ
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Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Formulacion E.A.S. (linealizacion)
Llamando:
Ce(k) =
∫
Be
∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))
∂ε∂εdΩ
He(k) =
∫
Be
GTCe(k)G dΩ
ΓΓΓe(k) =
∫
Be
GTCe(k)B dΩ
Ke(k) =
∫
Be
BTCe(k)B dΩ
Resultan las ecuaciones matriciales:
A[fe,int(k) + ΓΓΓe,(k)T∆αe(k) + Ke(k)∆de(k) − fe,ext
]= 0
he(k) + He(k)∆αe(k) + ΓΓΓe(k)∆de(k) = 0
Tecnologıa deelementos
F. Gabaldon
El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Implementacion computacional
Conocida la solucion en la iteracion k:
1 Calcular el valor de he(k)
he(k) =
Z
Be
GT·
∂W (x,B · de(k) + G · αe(k))
∂εdΩ
2 Obtener He(k) y ΓΓΓe(k)
3 Obtener mediante “condensacion estatica” ∆αe(k)
∆αe(k) = −
“
He(k)
”−1
·
h
ΓΓΓe(k)· ∆d
e(k) + he(k)
i
4 Actualizar αe(k+1)
αe(k+1) = α
e(k) + ∆αe(k)
Tecnologıa deelementos
F. Gabaldon
El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Implementacion computacional
5 Calcular el vector de fuerzas internas modificado fe,int(k)
y la matrizde rigidez tangente modificada Ke(k)
fe,int(k)
= fe,int(k)
− ΓΓΓe,(k)T·
“
He(k)
”−1
· he(k)
Ke(k) = K
e(k)− ΓΓΓe,(k)T
·
“
He(k)
”−1
· ΓΓΓe(k)
6 Ensamblar y resolver el nuevo sistema de ecuaciones:
R(k)
= Ah
fe,ext
− fe,int(k)
i
K(k)
= AKe(k)
∆d(k+1) =
“
K(k)
”−1
· R(k)
7 Actualizar el vector de desplazamientos
d(k+1) = d
(k) + ∆d(k)
8 Chequear la convergencia
Tecnologıa deelementos
F. Gabaldon
El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Diseno de elementos: Metodologıa
1 Definir en el espacio isoparametrico una matriz deinterpolacion E(ξ), tal que el campo de deformacionesmejoradas tenga la expresion:
E(ξ) = E(ξ) · αe αe ∈ Rnε
2 Obtener la expresion de la matriz G(ξ) de interpolaciondel campo de deformaciones mejoradas en el espacio fısicoε(ξ)
G(ξ) =j0
j(ξ)F−T
0 E(ξ)
Tecnologıa deelementos
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El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
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Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
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FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Diseno de elementos: Ejemplos
Elemento Q4/E4 (Wilson-Taylor)
E(ξ) =
0
@
ξ 0 0 00 η 0 00 0 ξ η
1
A
Elemento Q4/E5 (Simo-Rifai)
E(ξ) =
0
@
ξ 0 0 0 ξη0 η 0 0 −ξη0 0 ξ η ξ2
− η2
1
A
Elemento Q4/E7 (Andelfinger-Ramm)
E(ξ) =
0
@
ξ 0 0 0 ξη 0 00 η 0 0 0 ξη 00 0 ξ η 0 0 ξη
1
A
Tecnologıa deelementos
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El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Diseno de elementos: Requisitos
1 Las columnas de G han de ser linealmente independientes,para que
He =
∫
Be
GT · Ce · G dΩ
sea invertible.
2 Prueba de la parcela (consistencia)
∫
Be
GdΩ = 0
3 Estabilidadεh ∩ ∇
suh = ∅
Implica que la matriz de rigidez condensada no tienemodos de energıa nula, adicionales a los de solido rıgido.
Tecnologıa deelementos
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El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Conclusiones
Autovalores (r = h/b). Modos de flexion
BG1 BG2
Q4 (µ + (λ + 2µ)r2)/3r (µr2 + λ + 2µ)/3r
Q4R 0 0Q4RS µ(2r2 + 1)/3r µ(r2 + 2)/3r
B (9µ + r2(λ + 10µ))/27r (9r2µ + (λ + 10µ))/27r
Q1/E4 4rµ(λ + µ)/3(λ + 2µ) 4µ(λ + µ)/3r(λ + 2µ)
Elemento Q4R : modos de energıa nula
Regimen incompresible (λ → ∞) y flexion de vigasdelgadas (r → ∞): bloqueo de Q4; Q4R ; Q4RS ; B
Q1/E4; Q1/E5 y Q1/E7 equivalentes en paralelogramos
Tecnologıa deelementos
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El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Ejemplos. Sensibilidad a la distorsion
?6 -
?d
l
P = 0,01Nθ
?6 -
?d
l
θ
Distorsion simetrica
Distorsion asimetrica
P = 0,01N
d/l = 0,033
d/l = 0,033
Tecnologıa deelementos
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El fenomenode bloqueo
La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Ejemplos. Sensibilidad a la distorsion
θ Q4 B Q1/E4
0 0,12458 0,12995 0,9966415 0,11080 0,11935 0,9678330 0,08022 0,09275 0,9163245 0,04985 0,06101 0,88451
θ Q4 B Q1/E4 Q1/E5 Q1/E7
0 0,12458 0,12995 0,99664 0,99664 0,9966415 0,09959 0,10467 0,45105 0,45107 0,4510730 0,06148 0,06563 0,26135 0,26143 0,2614545 0,03627 0,03906 0,19824 0,19845 0,19849
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FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Ejemplos. Ensayo de identacion de Prandtl
????
-?
6
H
L
Tecnologıa deelementos
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La prueba dela parcela
Analisisespectral (Q4)
Formulacionesmixtas
Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Ejemplos. Ensayo de identacion de Prandtl
0
50
100
150
200
250
300
0 5 10 15 20
F
EδσY H
Carga lımite exactaQ4
♦
♦
♦♦
♦♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦Q1/E4
+
++
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
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Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Ejemplos. La membrana de Cook
6?
?
6
-
6 F
48
44
16
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Conclusiones
GM
C Ejemplos. La membrana de Cook
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Integracionselectiva
Control deHourglass
FormulacionB-bar
Modosincompatibles
Deformacionessupuestas
Conclusiones
GM
C Ejemplos. La membrana de Cook
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 10 20 30 40 50 60 70
v
N
B
♦
♦
♦
♦♦ ♦
♦Q1/E4
+
+
+ + + +
+Q1/E5
Q1/E7
×
×
×× × ×
×
v : Flecha
N : Elementos por lado
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Conclusiones
GM
C Bibliografıa
Hughes, T.J.R. The Finite Element Method. Linear
static and dynamic finite element analysis. Dover. 2000.
Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L. The Finite
Element Method. Volumen 2: Solid Mechanics.
Butterworth-Heinemann. 2000.
Bathe, K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall,1996.
Onate, E. Calculo de Estructuras por el Metodo de
Elementos Finitos. Analisis estatico lineal. CIMNE.Segunda edicion, 1995.