TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO

DE MEXICO

LOS REYES, LA PAZ MARTES 03 DE ABRIL DEL 2011

CANO RAMOS JOSÉ LUISFERNÁNDEZ TRUJILLO BRENDA IVONNE

SILVA ESCOBAR EDUARDOSOTO MORALES CEFERINO

CARLOS GUTIERREZ REYNAGA

LICENCIATURA EN CONTADURIA

ESTADÍSTICAS ADMINISTRATIVAS

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD, BINOMIAL, POISSON HIPERGEOMETRICA, NORMAL,

GRAFICA.

4 C11

INTRODUCCION

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA Y DE POISSON

 VARIABLE ALEATORIA.Es un evento numérico cuyo valor se determina mediante un proceso aleatorio. Si a cada uno de los valores numéricos de una variable aleatoria x se le asigna un valor de probabilidad, ya sea mediante una lista o una función matemática, el resultado es una distribución de probabilidad. La suma de las probabilidades de los posibles resultados numéricos debe ser 1.0. Cada uno de los valores de probabilidad se puede denotar mediante el símbolo f(x), que indica que interviene una función matemática mediante P(x=x), que indica que la variable aleatoria puede adoptar diferentes valores, o simplemente mediante P(X). Si se trata de una variable aleatoria discreta, los valores, por tanto se pueden listar en una tabla todos los valores numéricos de la variable con sus probabilidades correspondientes. Hay varias distribuciones de probabilidad estándar que pueden servir como modelos para una amplia gama de variables aleatorias discretas que se utilizan en los negocios. DESCRIPCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.De la misma manera como ocurre con las colecciones de datos muéstrales y poblacionales, con frecuencia es útil describir una variable aleatoria en términos de su media y su varianza o desviación estándar. La media (a largo plazo) de una variable aleatoria x se llama valor esperado y se denota por E(x).  En el caso de una variable discreta, la media es el promedio ponderado de todos sus posibles valores numéricos empleando las probabilidades respectivas como factores de ponderación, debido a que la suma de los factores de ponderación (probabilidades) es 1.0, la formula (3.3) se puede simplificar, y el valor esperado en el caso de una variable aleatoria discreta es

INDICE

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA, POISSON, NORMAL.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

BINOMIAL DEFINICION

EJERCICIOS DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD POISSON

EJERCICIOS

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA

EJERCICIOS

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL

EJERCICIOS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

es una de las distribuciones de probabilidad más útiles ( control de calidad, producción, investigación). tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no ocurrencia de éste (llamado fracaso). los términos o calificativos de "éxito y fracaso" son solo etiquetas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.

EJEMPLO DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD BINOMIAL

1._

Una fábrica de medicamentos realiza pruebas clínicas con 100 nuevos fármacos potenciales. Cerca del 20% de las sustancias que alcanzan esta etapa reciben finalmente la aprobación para su venta ¿Cuál es la probabilidad de que se aprueben al menos 15 de los 100 medicamentos? suponga que se satisfacen las hipótesis de la distribución binomial, y utilice una aproximación normal con corrección por continuidad.Solución formula

p ( x=k ) [ nk ] pk .qn−k

La media (valor esperado) de y es μ=100 (0.2 )=20 ; la desviación estándar es

σ √100 (0.2 ) (0.8 )=4.0¿

¿la probabilidad buscada es 15 o mas medicamentos se aprueben.

Como y= está incluido, la corrección por continuidad consiste en tomar el evento como y ≥14.5

p¿

2._

Un examen consta de 10 preguntas al as que hay que contestar si o no suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y,en consecuencia, contestan al azar, hallar :a) probabilidad de obtener 5 aciertos b) probabilidad de obtener algún aciertoc) probabilidad de obtener al menos 5 aciertos Es una distribución binomial, la persona solo puede acertar o fallar la pregunta

Suceso A= (éxito)=acertar la pregunta→ p=p ( A ) 0.5SucesoA=noacertar la pregunta→q=p ( A )=0.5Distribución binomial de parámetros n=10 , p=0.5→B (10 ;0.5 )

A) Probabilidad de obtener 5 aciertosObtener exactamente 5 aciertos k=5, aplicamos la formula:

P ( X=K )=[ nk ]Pk .qnk →k=5n=10 p=0.5q=0.5→P ( x=5 )=[ 105 ] . (0.5 )5 . (0.5 ) 10−5

[ nk ]= n

k ! (n−k )!numeros combinatorios→ [ 10

5 ]=¿

P(x=5)=¿b) Probabilidad de obtener algún aciertop ( x≥ 1 )=p ( x=1 )+ p ( x=2 )+ p ( x=3 )+ p ( x=4 )+p (x=5 )+p (x=6 )+ p ( x=7 )+ p ( x=8 )+ p ( x=9 )+ p (x=10)El suceso “obtener algún acierto “es el suceso contrario a “no obtener ningún acierto “

P ( X=0 )=[ 100 ] . (0.5 ) . (0.5 )10=0.00100

px (≥ 1 )=1−p ( x=0 )→ p ( x≥ 1 )=−0.00100=0.999c) probabilidad de obtener al menos 5 aciertos acertar 5 o masp ( x≥ 5 )=p ( x=5 )+ p ( x=6 )+ p ( x=7 )+ p ( X=8 )+ p ( x=9 )+ p (x=10 )p ( x≥ 5 )=0.2461+0.2051+0.1172+0.0439+0.0098+0.0010=06231

3._

la probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado en farmacia es 0.3Hallar la probabilidad de que un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso finalice la carrera

a) ninguno de los siete finalice la carrerab) b)finalicen todosc) al menos dos acaben la carrera d) hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que acabaran la carrera

A=” obtener el tiulo”→ p=p ( A )=0.3A= “ no obtener el tiulo “→q=P ( A )=1−0.3=0.7→B=7 ;0.3

A) ninguno de los siete finalice la carrera x=0

P ( x=k )=[ nk ] pk .qn−k →k=0n=7 p=0.3q=0.7→ p ( x=0 )=[ 7

0 ] . (0.3 ) . (0.7 ) 7−0=0.0824

b) finalicen todos x=7

p(x=k)=[ nk ] pk .qn−k →k=7n=3 p=0.3q=0.7→ p=( x=7 )=[ 7

7 ] . (0.3 )7. (0.7 )0=0.0002

c) al menos dos terminan la carrerax≥ 2

calculamos la probabilidad del suceso contrario , probabilidad que no termine ninguno mas la probabilidad de que termine uno P ( x≥ 2 )=1−¿

La probabilidad de que termine ninguno:P ( X=1 )=[ 71 ] . (0.3 )1. (0.7 ) 6=0.2471

P ( X ≥2 )=1−[ P ( X=0 )+P ( X=1 )→P ( X ≥ 2 )=1−[ 0.0824+0.2471 ] ]=06705D) Media y desviación típicaMedia μ=n . p=7.0,3=2.1Desviación típica σ √n . p .q √7.0,3 .0,7=1.2124

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES HIPERGEOMETRICA

En la distribución Hipergeométrica X=cantidad de resultados éxitos en una muestra aleatoria (sin reposición) de tamaño n, tomada de una población de tamaño N y de la cual N1 satisface una característica ó propiedad (éxito) antes del muestreo y N2 no la satisface (fracaso).

1._Consideramos tomar una muestra de 10 de las 87 cuentas de una compañía de las 87, 13 tenían errores. Encuentre p(2 cuentas incorrectas en la muestra. SoluciónTenemos N=87 , n=10 , Nϵ=13 y , por lo tanto ,Nf =74 ;queremos p ( y=2 ) .

pγ (2 )(13

2 )7410

−2

❑

❑❑ ( 87

10 )=

1,175,600,000,0004000,800,000,000

=.294

2._¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?Sea X igual al número de piezas de la muestra del proveedor local. Entonces, x tiene unaDistribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(x=4). Por consiguiente,

P(x=4)=

P ( x=4 )¿(100

4 )(2000 )

(3004 )

=0.0119

¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?

P ( x≥ 2 )

n=¿(100

2 )(2002 )

(3004 )

+(100

3 )(2001 )

(3004 )

+(100

4 )(2000 )

(3004 )

=0.298+0.098+.0119=0.408¿

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

P ( X ≥ )=1−P ( X=0 )=1−(100

0 )(2004 )

(3004 )

+0.196

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSONDescribe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado (tiempo, volumen, temperatura, etc...).La distribución se basa en dos supuestos:

1°) La probabilidad es proporcional a la extensión del intervalo.

2°) Los intervalos son independientes.

Esta distribución es una forma límite de la distribución binomial, cuando la probabilidad de éxito es bien pequeña y n es grande ,a esta distribución se llama "Ley de eventos improbables", lo cual significa que la probabilidad de p es bien pequeña .La probabilidad de Poisson es una probabilidad discreta; puesto que se forma por conteo

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

EJEMPLOS DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Suponga que “y” el número de trabajos que llegan a un centro de cálculo en un lapso de media hora, tiene una distribución de poisson con una media de 0.2 por minuto. Utilice una aproximación normal para encontrar P (Y≤10).SOLUCIÓN µ =( 0.2/minuto ) = 6 de la tabla 3 del apéndice tenemos queP ( Y ≤ 10 ) = P ( Z≤ 10−6 ) = P ( Z ≤ 1.63 ) = .9484 √6

1._Si en una empresa se presentan para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y 8 son mujeres, calcular " El número de hombres contratados."

N = {13 aspirantes para cubrir 2 vacantes}A = {Número de hombres contratados}E0 = Se contratan x0 = 0 hombres, equivale a contratar (n - x0) = 2 mujeres.E1 = Se contratan x1 = 1 hombres, equivale a contratar (n - x1) = 1 mujeres.E2 = Se contratan x2 = 2 hombres, equivale a contratar (n - x2) = 0 mujeres.

E E

M = 5 N-M =8 N =13

X = 0 n-x = 2 n =2

DesarrollandoN = 13 total de aspirantesM = 5 aspirantes hombresN-M = 8 aspirantes mujer n = 2 vacantes totalesx = 0,1,2 hombres posibles a contratarn-x = 2,1,0 mujeres posibles a contratar

5 8 0 2 P (Eо) = P (0, 13,5,2) = = 28 = 0.3588 = 35.88 % 13 78 2

5 8 1 1P(E1) = P (1,13,5,2) = = 40 = 0.5128 = 51.28 % 13 78 2

5 8 2 0 P (E2) = P (2,13,5,2) = = 10 = 0.1282 = 12.82 % 13 78 2MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y D DISPESIÓN µ = n M N

Ejercicio distribución poisson

El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de poisson si el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos 3 pacientes?

1. X ¿ 32. λ

3. λ=(12060 )=2

4.

P ( x≥ 3 )=1−P (x ≥3 )=1 ⟦P ( x=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 ) ⟧=1

¿1−(2E00 ! )∗e E−2 ⟧ n (n−1 ) x2

2!+(2E2

1 ! )∗e E−2 ⟧=1−0 ´ 1353−0 ´ 2707−0 ´ 2707=0 ´ 3233…

4.- LA PROBABILIDAD DE QUE ENTREN 3 PACIENTES CADA MINUTO ES DE

32´33 %

DISTRIBUCIÓN NORMAL

se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales

Ejercicio de distribución normal1._La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:Entre 60 kg y 75 kg.

P ¿= 0.9525-0.952 (1−0.9996 )=09521.500=476

2. Más de 90 kg.

p ( x>90 )=p( z> 90−703 )=p (z>6.67 )=1−p ( Z<6.67 )=1−1=0.500=0

3. Menos de 64 kg.

p ( x<64 )=p (Z< 64−703 )=p (Z←2 )=1−p ( Z≤ 2 )=1−07772=0.02128 .500=11

4.64 kg.

pp ( x=64 )=p(z=64−703 )=p (z=−2 )=0.500=0

5.64 kg o menos.p ( x≤ 64 )=p (x<64 )=11

Ejercicio 2.

La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:

a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?

b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?

a) Personas que vivirán (previsiblemente) más de 75 años

Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 años

Y=75.685

=1.4

Por lo tanto:

P ( x>75 )=(Y >1.4 )=1−P (Y <1.4 )=1−0,9192=0,0808

Luego, el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años.

b) Personas que vivirán (previsiblemente) menos de 60 años

Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años

Y=60−685

=−1.6

Por lo tanto:

P ( x<60 )=(Y <−1.6 )=P (Y >1.6 )=0,0548 X 100

Luego, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a esta edad.