2

2. SLAGANJE SILA

Sile se nazivaju sueljnim ako se njihovi pravci sijeku u jednoj taki. Sile mogu biti iste napadne linije i tada se one zovu kolinearne sile. A ako su raznih pravaca tada se zovu kose sile.

GRAFIKO ODREIVANJE REZULTANTE

a) Dvije kolinearne sile istog intenziteta a suprotnih smjerova

Uslov ravnotee tijela je

b) Dvije kolinearne sile razliitog intenziteta i suprotnih smjerova

Ovo tijelo e se kretati jednakoubrzanim kretanjem u smjeru vee sile. Dejstvo sila moemo zamjeniti dejstvom sile . Silu nazivamo rezultantom sila . A sile nazivamo komponentama rezultante .

Veliina (intenzitet) rezultante u ovom sluaju jednaka je razlici veliina komponenti .

Grafikom metodom rezlutantu sila moemo dobiti na sljedei nain.

Prvo odaberemo razmjeru za silu.

Zatim nacrtamo sile u toj razmjeri.

Nacrtamo prvo silu . Iz kraja te sile, taka B' nadovezujemo silu . Poetak sile , taka A' spajamo sa krajem sile , taka D'. Na taj nain smo dobili reziltantu sila . Veliinu (intenzitet) sile raunamo tako da du A'D'pomnoimo sa razmjerom .

Smjer rezultante uvijek je okrenut u smjer vee komponente. U ovom sluaju to je sila . Ovdje vai komutativni zakon tj. da red slaganja (nadovezivanja) sila n utie na rezultat.

PRIMJER 1:

Na materijalnu taku A dijeluju kolinearne sile , suprotnih smjerova. Odrediti rezultantu ovih sila a) Analitikom metodom (raunska) i b) Grafikom metodom.

a) Analitiki (raunski) :

b) Grafiki :

Prvo odaberemo razmjeru, u ovom sluaju je najpogodnija Zatim nacrtamo silu u toj razmjeri i to e na crteu iznositi 5cm. Na kraj prve sile nadoveemo drugu silu , takoe u istoj razmjeri pa e ta duina iznositi 2cm

Spajanjem taaka A' i D' dobiemo rezultantu iju veliinu (intenzitet)

odreujemo tako da pomnoimo du A'D' sa razmjerom .

Smjer rezultante je okrenut u smjeru vee komponente, a to je u ovom sluaju .

c) Dvije kolinearne sile istih smjerova

Postupak dobivanja rezultante sila je vrlo slian predhodnim, s tim to se u ovom sluaju vri sabiranje komponenti pa je :

PRIMJER 2 :

U takama B i C ueta, uvrenog u taki A objeeni su tereti . Kolika sila djeluje u taki A.

a) Raunski

b) Grafiki

Slaganje sistema sueljnih sila

a) Slaganje pomou paralelograma

Dvije sueljne kose sile ne mogu se uravnoteiti, one imaju rezultantu. Za iznalaenje rezultante ovih sila koristi se 3. aksioma koja glasi:

Rezultanta dviju kosih sila koje napadaju kruto tijeli u jednoj taki prikazana je dijagonalomparalelograma konstruisanog nad tim silama. Intenzitet rezultante je:

grafiko odreivanje rezultante.

Primjenom Pitagorine teoreme za pravougli trougao dobije se obrazac za izraunavanje intenziteta rezultante :

b) Slaganje pomou trougla sila

Umjesto da crtamo itav paralelogram

Rezultantu sila moemo dobiti i na bri nain, pomou trougla.

Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila.

PUNI RAVNI NOSAI

Vrste punih ravnih nosaa

1. Obini nosa (prosta greda)

2. Ukljeteni nosa (konzola)

3. Nosa (greda) sa prepustima

4. Gerberov nosa

Vrste oslonacaa) Pokretni oslonac :

U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je odreena samo jednom veliinom R. Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca.

b) Nepokretni oslonac

Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) moe imati razne pravce. Zbog toga za

odreivanje otpora potrebna su dva podatka . Kada naemo onda raunamo otpor R.

I njegov poloaj c) Ukljetenje ukljeten oslonac

Za odreivanje otpora u ukljetenju potrebna su tri podatka : moment ukljetenja ili reakcija momenta.

Vrste optereenja

Optereenje koje djeluje na nosae moemo razvrstati na dva naina:

1. Prema veliini dodirne povrine izmeu tereta i nosaa :

a) Koncentrisano optereenje (koje je skoncentrisano u jednoj taki)

b) Kontinualno optereenje

ravnomjerno podjeljeno optereenje (ono se predstavlja pravougaonikom)

neravnomjerno podjeljeno optereenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)

2. Prema nainu dejstva optereenja

Sile najee djeluju upravno na osu nosaa, a mogu biti i kose i ekscentrine, a mogu djelovati i u vidu spregova.

Sile upravne na osu nosaa Kose sile

Ekscentrino horizontalna sila Ekscentrino vertikalna sila

Sile u vidu sprega

ZADATAK : 1

Data je greda prema skici. Odrediti reakciju u osloncima.

a) Analitiki :

b) Grafiki :

Prvo nacrtamo gredu u razmjeri:

Zatim crtamo plan sila. Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P.

Zatim spojimo taku A i B sa polom P. Tako dobijemo krak 1. i 2. koji paralelno prenosimo kroz taku A krak 1, a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu taku

povuemo krak 2. Gdje krak 2 sjee liniju djestva sile kroz tu taku vozimo krak SKrak S paralelno povlaimo kroz pol P i time smo dobili taku c koja odreuje koji se spaja sa takom A.

ZADATAK : 2

Data je greda prema skici, optereena . Odrediti reakciju u osloncima ako je a = 1m.

a) Analitiki:

b) Grafiki:

ZADATAK : 3

Data je greda prema skici. Odrediti reakciju u osloncima.

a) Analitiki :

b) Grafiki :

ZADATAK : 4

Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima.

a) Analitiki :

b) Grafiki :

ZADATAK : 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosa.

a) Analitiki :

b) Grafiki :

ZADATAK : 6

Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosa.

a) Analitiki :

b) Grafiki :

ZADATAK : 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosa.

F=3 KN

L=1m

a) Analitiki :

b) Grafiki :

ZADATAK : 8

Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu.

ZADATAK : 9Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu.

a) Analitiki :

b) Grafiki :

Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosae.1.

2.

3.

4.

PRIMJER 4 :

Teg teine G=100 KN objeen je u taki A pomou ueta AB i AC, iji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30 i 60. Izraunati kolike su unutranje sile u tim uetima.

F1 = MN UF = 2 cm = 60 KN

F2 = NK UF = 3,5 cm = 87 KN

OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze.

Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze.

Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla.

030456090120135150180

sin00,50,7070,86610,8660,7070,50

cos10,8660,7070,50-0,5-0,707-0,866-1

tan00,57711,732-1,732-1-0,5770

PROJEKCIJA VEKTORA SILE

- Projekcije sile na X i Y ose.

X i Y su skalarne veliine

PRIMJER 5 :

Izraunati projekcije X i Y sile F = 10 N ije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao = 30.

X = F cos 30 = 10 0,866

X = 8,66 N

Y = F sin 30 = 10 0,5

Y = 5 N

PRIMJER 6 :

Izraunati veliinu i pravac rezultante sila F1 = 40N, F2 = 20 N, F3 = 10 N i F4 = 30 N, ije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove 1 = 0, 2 = 30, 3 = 90 i 4 = 135.

X1 = F1 cos1 = F1 cos 0 = 40 1 = 40 N

X2 = F2 cos2= F2 cos 30 = 20 0,866 = 17,4 N

X3 = F3 cos3 = F3 cos 90 = 10 0 = 0

X4 = F4 cos4 = F4 cos 135 = 30 (-0,707) = -21,3 N

XR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 17,4 + 0 21,3 = 36,1 N

Y1 = F1 sin1 = F1 sin 0 = 40 0 = 0

Y2 = F2 sin2 = F2 sin 30 = 20 0,5 = 10 N

Y3 = F3 sin 3 = F3 sin 90 = 10 1 = 10 NY4 = F4 sin 4 = F4 sin 135 = 30 0,707 = 21,3 N

YR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 21,3 = 41,3 N

FR =

PRIMJER 7 :

Izraunati unutranje sile F1 i F2 u uetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove 1 = 30 i 2 = 60, ako je u taki A objeen teret G=100 KN.

- uslovi ravnotee

F2 = F1

G = G = G = G = 2F1 F1 =

F2 = 50

Napomena: Ovaj je zadatak uraen na primjeru 4 grafikom metodom i uporedite rezultate.

ZADATAK 8.

O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o, objeena o konac. Ugao koji zatvara konac sa zidom je =30 , a teina kugle G=200N. Odrediti silu u koncu i pritisak kugle na zid.

a) Grafiki:

N= BCUF=1,15 cm115N

S= ACUF=2,3 cm 230N

N=115N S=230N

b)Analitiki:

N=S cos60

S cos30=G

S= 231N

N= 2310,5= 115,5N

ZADATAK: 9

Lopta poluprenika R=30 cm ,teina G=80N lei izmeu dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove 1=30, 2=60 . Kolike potiske FA i FB trpi lopta u takama A i B od strane kosih ravni.

b)Analitiki:

69,26N

39,988NZADATAK: 10

Lopta poluprenika R=10cm ,teine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprenika R1=30cm. Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u takama A i B.

58N 116Nb)Analitiki:

ZADATAK: 11

Kolika mora biti sila F, paralelna sa kosom ravni da bi odrala u ravnotei tijela teine G=20 KN, na kosoj glatkoj ravni iji je nagibni ugao =30.

Izrada

a) Grafiki:

b) Analitiki:

ZADATAK: 12

Pomou konca se na glatkoj strmoj ravni odrava kugla teine 200N. Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao =30, kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge?

a) Grafiki

b) Analitiki

ZADATAK: 13

Dvije kugle teine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni. Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid, nai silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u taki A.

a)Grafiki

Analitiki

FB cos30 - FN1 cos 60 = 0

FB = FN1 FB sin30 + FN1 sin60 - G1 =0

FN1 sin30 + FN1 sin60 - G1 =0

FN1 sin30 + sin60) = G1

FN1 = FN1 = FB = FN1 = 8,658 = 5 KN

FA - FB cos30 - FN2 cos 60 = 0

FA = FB cos30 + FN2 cos 60

FN2 sin 60 - FB sin30 - G2 = 0

FN2 sin 60 = G2 + FB sin30

FN2 = = FN2 = 14,434 KN

FA = FB cos30 + FN2 cos 60

FA = 5 0,866 + 14,434 0,5

FA = 4,33 + 7,217

FA = 11,574 KN

SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNI

Moment sile ta taku

Moment sile koja djeluje na neko tijelo, s obzirom na taku jest proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka, a sputenog okomito iz take O na liniju dejstva sile.

Taku O zovemo centrom momenta, dok udaljenost a take O, od linije sile zovemo krakom sile.

Za moment kaemo da je negativan (ima predznak -). Kada nastoji zakrenuti tijelo oko take O u smjeru kazaljke na satu. Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko take O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kaemo da je pozitivan ( ima predznak + )

Moment sile je takoe vektorska veliina, koja je odreena intenzitetom, pravcem, smjerom i momentnom takom. Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m

Momentno pravilo Moment neke sile ta ma koju taku u ravni jednak je algebarskom zbiru momenta njenih komponenti i za istu taku u ravni (Varinjanova teorema).

VERINI POLIGON

Pomou Verinog poligona odreuje se poloaj rezultante dvije ili vie sila raznih pravaca i raznih napadnih taaka, koje djeluje u istoj ravni.Pomuu plana sila odreuje se vrijednost ( intenzitet) ,pravac i smjer rezultante.

OBJASNITI KONSTRUISANJE VERINOG POLIGONA

Prvi grafiki rad

Neka na plou djeluje tri sile F1=.... , F2=.... i F3=.... . Potrebno je odrediti vrijednost ,pravac ,smjer i poloaj rezultante tih sila.Gradiki uraditi na dvolisnicu bez linija.

ZADATAK : 2

Konstruisati statike dijagrame za prikazani nosa.

SLIKA

1. Reakcije u osloncima

FA = 2 KN FB = 1 KN

2. Transverzalne sile

I POLJE

TxI = FA = 2 KN

II POLJE

TxII = FA F = 2 KN 3 KN = -1 KN

3. Momenti savijanja

I POLJE : MxI = FA x

Za x = 0 : MxI = FA 0 = 0

Za x = 1m : MxI = FA 1 m = 2 KN 1 m = 2KNm

II POLJE : MxII = FA x F (x 1 m)

Za x = 1m : MxII = FA 1 m F (1 m 1 m) = 2 KN 1 m = 2KNm

Za x = 3m : MxII = FA 3 m F (3 m 1 m) = 2 KN 3 m 3 KN 2 m = 6 KNm 6 KNm = 0

4. Maksimalni moment savijanja

Mfmax = 2 KNm

ZADATAK : 3

Konstruisati statike dijagrame za prikazani nosa.

1. Reakcije u osloncima

FA = 1 KN FB = 2 KN

2. Transverzalne sile

I POLJE

TxI = FA = 1 KN

II POLJE

TxII = FA F = 1 KN 3 KN = -2 KN

3. Momenti savijanja

I POLJE : MxI = FA x

Za x = 0 : MxI = FA 0 = 0

Za x = 2m : MxI = FA 2 m = 1 KN 2 m = 2KNm

II POLJE : MxII = FA x F (x 2 m)

Za x = 2m : MxII = FA 2 m F (2 m 2 m) = 1 KN 2 m = 2KNm

Za x = 3m : MxII = FA 3 m F (3 m 2 m) = 1 KN 3 m 3 KN 1 m = 3 KNm 3 KNm = 0

4. Maksimalni moment savijanja

Mfmax = 2 KNm

ZADATAK : 4

Konstruisati statike dijagrame za prikazani nosa.SLIKA

1. Reakcije u osloncima

FA = 1 KN FB = 1 KN

2. Transverzalne sile

I POLJE

TxI = FA = 1 KN

II POLJE

TxII = FA F = 1 KN 1 KN = 0

III POLJE

TxIII = FA F F2 = 1 KN 1 KN 1 KN = - 1 KN

3. Momenti savijanja

I POLJE : MxI = FA x

Za x = 0 : MxI = FA 0 = 0

Za x = 1m : MxI = FA 1 m = 1 KN 1 m = 1 KNm

II POLJE : MxII = FA x F (x 1 m)

Za x = 1m : MxII = FA 1 m F (1 m 1 m) = 1 KN 1 m = 1 KNm

Za x = 2m : MxII = FA 2 m F (2 m 1 m) = 1 KN 2 m 1 KN 2 m = 2 KNm 1 KNm = 1 KNm

III POLJE : MxIII = FA x F (x 1 m) F2 (x 2 m)

Za x = 2m : MxIII = FA 2 m F (2 m 1 m) F2 (2 m 2 m) = 1 KNm

Za x = 3m : MxIII = FA 3 m F (3 m 1 m) F2 (3 m 2 m) = 1 KN 3 m 1 KN 2 m 1 KN 1 m = 3 KNm 2 KNm 1 KNm = 0

4. Maksimalni moment savijanja

Mfmax = 1 KNmZADATAK : 5

Konstruisati statike dijagrame za prikazani nosa.

SLIKA

FA = FB = 2 KN

Mfmax = 2 KNm

ZADATAK : 6

Konstruisati statiki ispitane dijagrame za prikazani nosa.

SLIKAFA = FB = 2 KN

Mfmax = 2 KNm

ZADATAK : 7

Konstruisati statiki ispitane dijagrame za prikazani nosa.

SLIKA

1. Reakcije u osloncima

FA = 0 FB = 4 KN

2. Transverzalne sile

I POLJE

TxI = FA = 0

II POLJE

TxII = FA F1 = 0 2 KN = - 2 KN

III POLJE

TxIII = F F1 + FB = 0 2 KN + 4 KN = 2 KN

3. Momenti savijanja

I POLJE : MxI = FA x

Za x = 0 : MxI = FA 0 = 0

Za x = 1m : MxI = FA 1 m = 0 1 m = 0

II POLJE : MxII = FA x F1 (x 1 m)

Za x = 1m : MxII = 0 F1 (1 m 1 m) = 0

Za x = 2m : MxII = 0 F1 (2 m 1 m) = - 2 KN 1 m = - 2 KNm

III POLJE : MxIII = FA x F (x 1 m) + FB (x 2 m)

Za x = 2m : MxIII = FA 2 m F1 (2 m 1 m) + FB (2 m 2 m) = - 2 KNm

Za x = 3m : MxIII = FA 3 m F1 (3 m 1 m) + FB (3 m 2 m) = 0 3 m 2 KN 2 m + 4 KN 1 m = 0

4. Maksimalni moment savijanja

Mfmax = - 2 KNm

X = F cos

Y = F sin

F1 = 50 KN

F2 = 87 KN