TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske studije, III semestar · 2 Upravan i kos udar ta£ke o nepokretnu prepreku Upravan udar o nepokretnu prepreku Kos udar ta£ke o nepokretnu

Udar i sudarUpravan i kos udar ta£ke o nepokretnu prepreku

Upravan centralni sudar dva telaSudar dva tela koja vr²e ravansko kretanje

TEHNIKA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Doc. dr Stanko ori¢email: [email protected]

Graevinski fakultetUniverzitet u Beogradu

k. god. 2019/20

S.Br£i¢, S.ori¢ Tehni£ka mehanika 2



Sadrºaj

1 Udar i sudarOsnovni pojmovi o udaru i sudaruAnaliza sudara dva telaKoe�cijent udara (sudara)

2 Upravan i kos udar ta£ke o nepokretnu preprekuUpravan udar o nepokretnu preprekuKos udar ta£ke o nepokretnu prepreku

3 Upravan centralni sudar dva telaJedna£ine problema i re²enjaAnaliza re²enja - posebni slu£ajevi

4 Sudar dva tela koja vr²e ravansko kretanjeFormulacija problema i jedna£ina




Osnovni pojmovi o udaru i sudaruAnaliza sudara dva telaKoe�cijent udara (sudara)

Sadrºaj









Udar i sudar krutih tela

Osnovni pojmovi o udaru i sudaru

Udar ili sudar je trenutni kontakt dva tela tokom njihovogkretanja. Udar je kontakt pokretnog tela sa nepokretnim, asudar je kontakt dva pokretna tela

Veoma kratkotrajno mehani£ko dejstvo izmeu dva objekta

Vreme trajanja udara (sudara), odn. kratkotrajnog kontaktadva tela je malo (reda veli£ne n× 10−3 s)Unutra²nje sile veze u kontaktu tela su veoma velikogintenziteta - zovu se udarne sile

Udarne sile su ∞ velikog intenziteta, a ∞ malog vremenaispoljavanja





Udar i sudar







Mehani£ko dejstvo udarnih sila se ispoljava kona£nim udarnimimpulsima

~Iud = limτ→0

∫ t+τt

~F ud(t) dt

gde je τ vreme trajanja udara (sudara)

Za vreme udara (sudara) se zanemaruju uticaji svih sila, osimudarnih

Tokom trajanja udara (sudara) τ zanemaruju se pomeranjasistema

Posledica udara (sudara) je samo nagla (trenutna) promenabrzina (intenziteta, pravca i smera) posmatranog sistema







Udarni impulsi su unutra²nje sile - Princip akcije i reakcije

U analizi udara (sudara) se donekle naru²ava koncept krutogtela

Jedna£ine kojima se opisuje problem sudara (udara) DVATELA su Zakon o promeni koli£ine kretanja i Zakom o promenimomenta koli£ine kretanja u integralnom obliku, gde seposmatraju trenuci neposredno pre i neposredno posle sudara(ili udara):

~K2 − ~K1 = ~IR ~D(S)2 − ~D(S)1 =

~H(S)R

Za sudar materijalnih ta£aka koristi se samo ~K2 − ~K1 = ~IRS.Br£i¢, S.ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Osnovne jedna£ine teorije udara





Sudar dva kruta tela u 3D prostoru







Poznato je kretanje oba tela pre sudara

U nekom trenutku (to je trenutak sudara) dolazi domeusobnog kontakta tela u zajedni£koj ta£ki (ta£ka A)

Ravan π je (zajedni£ka) tangencijalna ravan na povr² (jednogod) tela u ta£ki A

Normala na ravan π je ~n - to je pravac udara

Ako normala ~n prolazi kroz sredi²ta mase oba tela, onda je upitanju centralni sudar ili kolinearan sudar

Ako kon�guracija sudara nije centri£na, onda je sudarekscentri£an (dovoljno je da se sredi²te mase jednog tela presudara ne nalazi na pravcu normale ~n)







Ako su brzine oba tela u zajedni£koj ta£ki A pre sudara upravcu normale ~n, onda je sudar upravan

Ako brzine oba tela u ta£ki A pre sudara nisu u pravcunormale, onda je u pitanju kos sudar

Obi£no se zanemaruje trenje, odn. smatra se da su tela glatkihpovr²ina

Tada se u ta£kama A oba tela javljaju udarni impulsi u pravcuzajedni£ke normale ~n

Udarni impulsi su elementarni impulsi unutra²njih udarnih sila iza njih vaºi Aksiom Akcije i reakcije:

~I1 = ~I = I~n ~I2 = −~I = −I~nS.Br£i¢, S.ori¢ Tehni£ka mehanika 2




Sadrºaj










Analiza sudara dva tela

Dva tela se kre¢u slobodno u 3D prostoru na poznati na£in

U nekom trenutku doe do sudara tela u zajedni£koj ta£ki A

U trenutku sudara (odn. neposredno pre sudara) poznate subrzine sredi²ta mase i ugaone brzine oba tela:

- Telo 1 . . .~v ′S1, ~ω′1

- Telo 2 . . .~v ′S2, ~ω′2

Mogu da se odrede brzine zajedni£ke ta£ke A jednog i drugogtela:

- Telo 1 . . .~v ′A1 = ~v′S1 + ~ω

′1 × ~ρA1 gde je ~ρA1 =

−−→S1A

- Telo 2 . . .~v ′A2 = ~v′S2 + ~ω

′2 × ~ρA2 gde je ~ρA2 =

−−→S2A







Posmatraju se razdvojena tela u trenucima neposredno PRE ineposredno POSLE sudara

Tokom trajanja sudara NEMA pomeranja tela, samo nastajeNAGLA PROMENA u brzinama

Za stanje neposredno posle sudara pretpostave se brzine jednogi drugog tela: to su brzine sredi²ta masa i ugaone brzine tela:

- Telo 1 . . .~v ′′S1, ~ω′′1

- Telo 2 . . .~v ′′S2, ~ω′′2

Takoe se pretpostavi jedan udarni impuls, ~I = I~n, dok jedrugi jednozna£no odreen (akcija i reakcija)

Za svako telo se napi²u zakoni ~K ′′ − ~K ′ = ~I kao i~D ′′ − ~D ′ = ~H za stanja neposredno pre i posle sudara





Stanje brzina neposredno PRE sudara





Stanje brzina neposredno POSLE sudara







Jedna£ine za Telo (I):

m1~v′′S1 −m1~v ′S1 = −~Iud~D ′′1 − ~D ′1 = −~ρA1 × ~Iud

(1)

Jedna£ine za Telo (II):

m2~v′′S2 −m2~v ′S2 = ~Iud~D ′′2 − ~D ′2 = ~ρA2 × ~Iud

(2)

Momenti koli£ina kretanja se odnose na centre masaodgovaraju¢eg tela







Ukupan broj nepoznatih veli£ina je 13:

- brzine sredi²ta masa i ugaone brzine oba tela (2× (3 + 3) = 12)- udarni impuls - samo 1 komponenta u pravcu normale

Ima 13 nepoznatih i 12 jedna£ina

Uvodi se pojam koe�cijenta sudara (udara) kao skalarak ∈ [0, 1]Naru²ava se koncept krutog tela (Njutnova hipoteza sudara)





Sadrºaj










Koe�cijent udara (sudara)

Dve faze sudara: faza kompresije i faza restitucije

U fazi kompresije tela se deformi²u u nekoj okolini ta£ke sudarai meusobno se pribliºavaju

Brzine tela neposredno pre sudara (odn. njihove kineti£keenergije) se smanjuju, uz sabijanje oba tela, sve dozaustavljanja, kada se realizuje i maksimalno deformisanje(sabijanje) oba tela

Kineti£ka energija oba tela je dospela na nulu, a potencijalnaenergija deformacije je dostigla maksimum (kao sabijanjeelasti£ne opruge)







Neposredno posle toga nastaje faza restitucije, gde se centrimasa tela meusobno udaljavalju, uz teºnju da se uspostaviraniji oblik

U fazi restitucije unutra²nja potencijalna energija prelazi ukineti£ku energiju (otpu²tanje "sabijene opruge")

Na kraju faze restitucije tela dobiju neku brzinu koja je manjaili najvi²e jednaka brzini neposredno pre sudara

Obe faze, i kompresije i restitucije, traju veoma kratko ipredstavljaju ukupno vreme trajanja sudara







Za to (prakti£no ∞ malo) vreme ne dolazi do pomeranja tela,ve¢ samo do diskontinualne (skoro trenutne) promene u poljubrzina

Posle sudara, u skladu sa promenjenim brzinama i drugimuslovima (prisustvom veza pre svega), oba tela mogu dazapo£nu neko novo kretanje

Koe�cijent sudara je koli£nik apsolutne vrednosti razlike brzinata£ke sudara oba tela u pravcu normale neposredno poslesudara i apsolutne vrednosti razlike brzina ta£ke sudara oba telau pravcu normale neposredno pre sudara







Koe�cijent sudara dva tela moºe da se izrazi u obliku

k =|∆v ′′n ||∆v ′n|

∈ [0, 1] (3)

U relaciji (3) je

∆v ′′n = (~v′′A2 − ~v ′′A1) · ~n ∆v ′n = (~v ′A2 − ~v ′A1) · ~n

(projekcije relativne brzine u ta£ki sudara na pravac normale,neposredno posle i neposredno pre sudara)







Koe�cijent sudara (udara) ili koe�cijent restitucije je realanbroj koji se nalazi u zatvorenom intervalu [0,1]

Grani£ne vrednosti koe�cijenta sudara su

k = 0 idealno plasti£an sudar

k = 1 idealno elasti£an sudar

Realan sudar (ili udar) je kada je k ∈ (0, 1)Obi£no usvaja da je za realan sudar k = 0.5







Idealno plasti£an sudar (udar), de�nisan sa k = 0, zna£i data£ke sudara jednog i drugog tela neposredno posle sudaraimaju meusobno istu brzinu u pravcu normale (razlika je nula)

Za pravolinijsko kretanje dve materijalne ta£ke idealnoplasti£an sudar zna£i da ta£ke ostaju meusobno slepljene, pase dalje kre¢u kao jedna ta£ka

Idealno elasti£an sudar, de�nisan sa k = 1, zna£i daneposredno posle sudara nema gubitka u kineti£koj energiji,odn. da je ukupna kineti£ka energija oba tele neposredno poslesudara ostala ista kao i neposredno pre sudara.







Alternativna de�nicija idealno elasti£nog sudara (u odnosu naiskaz k = 1), je data sa

T2 − T1 = 0

gde su T2 i T1 ukupne kineti£ke energije oba tela neposrednoposle i pre sudara (ili T ′′, odn. T ′)

Koe�cijent sudara moºe da se eksperimentalno odredi

Posmatra se upravan udar ta£ke o nepokretnu prepreku




Upravan udar o nepokretnu preprekuKos udar ta£ke o nepokretnu prepreku

Sadrºaj









Upravan udar o nepokretnu prepreku





Upravan udar u nepokretnu prepreku

Analiza upravnog udara ta£ke u prepreku

Ta£ka A mase m se kre¢e pravolinijski po pravcu ⊥ nanepokretnu prepreku

Neposredno pre udara u prepreku brzina ta£ke je vA1

Neposredno posle udara ta£ka naglo promeni smer brzine(odbija se od prepreke ne menjaju¢i pravac kretanja)

Ako se ukloni veza (kruta podloga), na ta£ku deluje udarniimpuls IA u pravcu normale na podlogu

Zakon o promeni koli£ine kretanja u integralnom obliku zatrenutak neposredno posle i neposredno pre udara







Vektorska jedna£ina se projektuje na ort ~n:

~K2 − ~K1 = ~I ⇒ mvA2 +mvA1 = I (4)

U jedn. (4) �guri²u 2 nepoznate: brzina vA2 i udarni impuls I

De�ni²e se koe�cijent udara (pretpostavlja se neka vrednost uintervalu [0,1]):

k =vA2vA1

∈ [0, 1]

odakle se dobija:vA2 = k vA1







Dobija se re²enje za udarni impuls i brzinu neposredno posleudara:

vA2 = k vA1 kao i I = mvA1(1 + k)

U slu£aju idealno plasti£nog udara je k = 0, pa je

vA2 = 0 kao i I = mvA1

U slu£aju idealno elasti£nog udara je k = 1, pa je

vA2 = vA1 kao i I = 2mvA1

Za realan udar k ∈ (0, 1) rezultati su izmeuS.Br£i¢, S.ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Primer upravnog udara automobila u prepreku

Posmatra se direktan upravan (£eoni) udar automobila u krutibetonski blok

Automobil je mase m = 1500 kg i udari u prepreku sa brzinomod v = 100km/h = 27.8m/s

Najmanja vrednost udarnog impulsa je za idealno plasti£anudar (automobil ostane "zalepljen" za prepreku v2 = 0):

I = mv1 = 1500× 27.8 = 41 667 [Ns] = 41.7 [kNs]

Ako se smatra da je vreme udara τ = 0.01 s, onda je (kaogruba orjentacija) udarna sila pribliºno jednaka:

Fud =Iudτ

=41.7

0.01= 4166.7 kN = 4.17MN





Upravan udar o nepokretnu prepreku






Odreivanje koe�cijenta udara

Ta£ka A mase m se pusti bez po£etne brzine da padne nahorizontalnu krutu ravan sa poznate visine h1

Neposredno pre udara, brzina ta£ke je jednaka:

T2 − T1 = A1−2 ⇒1

2mv2A1 − 0 = mgh1

odakle se dobija vA1 =√

2gh1

Neposredno posle udara (bez pomeranja) ta£ka dobijenepoznatu brzinu vA2

Usled te brzine, kao po£etne za narednu fazu kretanja, ta£kase kre¢e vertikalno u vis do neke visine h2 gde se zaustavi(posle toga oped pada dole, ali se to ne posmatra)






Odreivanje koe�cijenta udara

Izmeri se visina prvog odskoka h2 (gde je vA = 0)

Potrebna po£etna brzina vA2 da se realizuje kretanje ta£ke dovisine h2 je jednaka

T2 − T1 = A1−2 ⇒ vA2 =√

2gh2

Koe�cijent udara je de�nisan sa

k =vA2vA1

⇒ k =√h2h1





Sadrºaj









Kos udar ta£ke o nepokretnu prepreku

Upadni i odbojni ugao

Ta£ka mase m kre¢e se pravolinijski sa brzinom ~v ′

Na putanji ta£ke se nalazi kruta prepreka i ta£ka A je prodorputanje kroz prepreku, odn. ta£ka udara

Pravac brzine ta£ke zaklapa ugao α sa normalom ~n natangencijalnu ravan na podlogu u ta£ki A

Ugao α je upadni ugao

Kada je α 6= 900, u pitanju je kosi udar o nepokretnu prepreku







Neposredno posle udara u ta£ku A, materijalna ta£ka, pre nego²to se odbije, naglo promeni brzinu

Brzina ta£ke neposredno posle udara je nepoznata brzina ~v ′′

Pravac brzine neposredno posle udara zaklapa odbojni ugao βsa pravcem normale ~n

Uticaj krute podloge na ta£ku se manifestuje udarnimimpulsom ~I u ta£ki udara

Udarni impuls ima pravac normale na tangencijalnu ravanpodloge u ta£ki udara (idealno glatka povr²ina prepreke)





Brzine neposredno PRE i POSLE udara







Koristi se Zakon o promeni koli£ine kretanja za trenutkeneposredno pre i neposredno posle udara:

~K ′′ − ~K ′ = ~I ⇒ m~v ′′ −m~v ′ = ~I / · ~τ~n

(5)

Projektovanjem vektorske jedna£ine (5) na pravce tangente inormale, dobija se

mv ′′τ −mv ′τ = 0mv ′′n +mv

′n = I

(6)







Iz prve od jedna£ina (6) se dobija da su tangencijalnekomponente brzina meusobno iste,

v ′′τ = v′τ (7)

dok u drugoj �guri²u dve nepoznate veli£ine, v ′′n i udarniimpuls I

Koe�cijent udara (restitucije) je dat, u ovom slu£aju, sa

k =|v ′′n ||v ′n|

⇒ k = v′′n

v ′n(8)







Sa ovim se, iz jedn. (6) dobija udarni impuls

I = m (1 + k) v ′n

jer je v ′′n = k v′n

Brzina ta£ke neposredno posle udara je jednaka

v ′′ =√v ′′ 2τ + v

′′ 2n =

√v ′ 2τ + k

2 v ′ 2n

odnosno v ′′ =√

(v ′ sinα)2 + (k v ′ cosα)2, ili, kona£no

v ′′ = v ′√

sin2 α+ k2 cos2 α (9)






Veza izmeu upadnog i odbojnog ugla

Upadni i odbojni ugao de�ni²u pravce brzina neposredno pre ineposredno posle udara:

tanα =v ′τv ′n

tanβ =v ′′τv ′′n

=v ′τk v ′n

=1

ktanα

Prema tome, vaºi relacija

k =tanα

tanβ(10)

Kako je 0 ≤ k ≤ 1, to je onda

tanα ≤ tanβ odn. α ≤ β (11)






Veza izmeu upadnog i odbojnog ugla

Za idealno plasti£an kosi udar o prepreku se dobija:

k = 0 ⇒I = mv ′n = mv

′ cosαv ′′ = v ′′τ = v

′ sinα

β = 900

Za idealno elasti£an kosi udar o prepreku se dobija:

k = 1 ⇒I = 2mv ′n = 2mv

′ cosαv ′′ = v ′

β = α




Jedna£ine problema i re²enjaAnaliza re²enja - posebni slu£ajevi

Sadrºaj









Upravan centralni sudar dva tela


Sudar dva tela je centralni ukoliko zajedni£ka normala natangencijalnu ravan u ta£ki meusobnog kontakta prolazi krozsredi²ta masa oba tela

Sudar dva tela je upravan kada su brzine sredi²ta mase obatela, kao i brzine u ta£ki sudara, neposredno pre sudara, upravcu te zajedni£ke normale

Posmatraju se dva tela, masa m1 i m2, koja se translatornokre¢u duº istog pravca i u istom smeru

Telo mase m1 je iza tela mase m2 i pri tome se kre¢e save¢om brzinom (bez promene pravca i smera)






v

m

K K

m

v1

1 22

0

v

m m

v1

1 22

Immidiatelybefore after

pounding

v1

v2







Brzine tela neposredno pre sudara su v′1 i v′2, pri £emu je

v′1 > v′2

Brzine tela neposredno posle sudara su ozna£ene sa v′′1 i v′′2 , pri

£emu je pretpostavljen isti smer kao i pre sudara

Zakon o promeni koli£ine kretanja, za oba tela zajedno,neposredno posle i neposredno pre sudara, ~K ′′ − ~K ′ = 0, odn.:

(m1v′′1 +m2v

′′2)− (m1v′1 +m2v′2) = 0 (12)

Kada se ne vr²i razdvajanje tela, udarni impuls, kao unutra²njasila veze, ne �guri²e u jedna£ini (~IR = 0)







Koe�cijent sudara (koe�cijent restitucije) je de�nisan sa:

k =v′′2 − v′′1v′1 − v′2

k ∈ [0, 1] (13)

Nema apsolutnih vrednosti: brojilac je >0 jer bi ina£e telo (1)"pro²lo" kroz telo (2), a imenilac je >0 jer ina£e ne bi ni do²lodo sudara

Za grani£ne vrednosti koe�cijenta k:

- k = 0 . . . idealno plasti£an sudar- k = 1 . . . idealno elasti£an sudar

Za sve ostale vrednosti k ∈ (0, 1) . . . realan sudar







Iz de�nicije (13) za koe�cijent sudara k sledi

v′′2 = v′′1 + k(v

′1 − v′2)

Uno²enjem u K ′′ −K ′ = 0 dolazi se do re²enja za brzine obatela neposredno posle sudara:

v′′1 = v′1 − (1 + k)

m2m1 +m2

· (v′1 − v′2)

v′′2 = v′2 + (1 + k)

m1m1 +m2

· (v′1 − v′2)(14)

Brzina prednjeg tela se pove¢ava, a zadnjeg se smanjuje







Razdvajanjem tela i posmatranjem samo jednog, iz relacijeK ′′ −K ′ = I dolazi se do udarnog impulsa:

I = (1 + k)m1m2m1 +m2

· (v′1 − v′2) (15)

Na telo m1 udarni impuls I deluje sa smerom suprotnim od v′1,

a na telo m2 u smeru v′2

Zbog toga je v′′1 < v′1, odn. v

′′2 > v

′2





Sadrºaj










Upravan centralni sudar dva tela - posebni slu£ajevi

Telo ispred, mase m2, miruje, v′2 = 0 , pa na njega naleti telo

m1 sa brzinom v′1

Dobija se re²enje:

v′′1 = v′1 − (1 + k)

m2m1 +m2

· v′1

v′′2 = (1 + k)m1

m1 +m2· v′1

I = (1 + k)m1m2m1 +m2

· v′1 = m2 v′′2






Upravan centralni sudar dva tela - idealno plasti£an

Posmatra se idealno plasti£an sudar: k = 0 (ali sada nijev′2 = 0)

Brzine tela neposredno posle sudara su meusobno iste - obatela se dalje kre¢u kao jedno telo:

v′′1 = v′′2 =

m1 v′1 +m2 v

′2

m1 +m2

Udarni impuls izmeu tela je u ovom slu�aju:

I =m1m2m1 +m2

· (v′1 − v′2)







Posmatra se idealno plasti£an sudar: k = 0, pri £emu telo m2miruje v′2 = 0

Brzine tela neposredno posle sudara su meusobno iste:

v′′1 = v′′2 =

m1m1 +m2

· v′1

Udarni impuls izmeu tela je u ovom slu£aju: I = m2 v′′2

Ako je m1 � m2 onda je v′′1 = v′′2 ≈ v′1Ako je m2 � m1 onda je v′′1 = v′′2 ≈ 0







Posmatra se idealno plasti£an sudar: k = 0, pri £emu se telaistih masa kre¢u jedno drugom u susret, istim brzinama:

v′1 = −v′2 kao i m1 = m2 = m

Brzine tela neposredno posle sudara su meusobno iste ijednake su nuli:

v′′1 = v′′2 = 0

dok je udarni impuls izmeu tela je u ovom slu£aju:

I = 2m1m2m1 +m2

v′1 = mv′2






Upravan centralni sudar dva tela - idealno elasti£an

Posmatra se idealno elasti£an sudar: k = 1

Brzine tela neposredno posle sudara, kao i unutra²nji udarniimpuls, su dati sa:

v′′1 = v′1 −

2m2m1 +m2

· (v′1 − v′2)

v′′2 = v′2 +

2m1m1 +m2

· (v′1 − v′2)

I =2m1m2m1 +m2

· (v′1 − v′2)








Ako su pri tome tela istih masa, m1 = m2 = m, dolazi dorazmene brzina:

v′′1 = v′2 kao i v

′′2 = v

′1

Ako telo m2 miruje, pa na njega naleti telo m1, pri £emu sumase iste m1 = m2 = m, i udar idealno elasti£an, onda je

v′′1 = 0 kao i v′′2 = v

′1








Ako su pri tome tela istih masa, m1 = m2 = m, a tela se

kre¢u meusobno u susret (sa istim brzinama): v′2 = −v′1opet dolazi do razmene brzina:

v′′1 = −v′2 kao i v′′2 = −v′2

Tela istih masa, posle idealno elasti£nog £eonog sudara saistim brzinama, naglo promene smerove svojih brzina i nastaveda se kre¢u istim brzinama udaljuju¢i se

Udarni impuls izmeu tela je tada I = 4mv′2




Formulacija problema i jedna£ina

Sadrºaj









Sudar dve plo£e u ravni

S1

S2

h2

h1

AB

nt tn

I

I1

2

K - K = I

D - D = HS S S

I2

I1 K = m v

S

D = J S

wS

QQ

Y

X






Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k.

Trenuci neposredno pre (..)′ i posle sudara (..)′′

Zakoni o promeni koli£ine kretanja i momenta koli£ine kretanja(za ravno kretanje):

~K ′′ − ~K ′ = ~ID′′S −D′S = HS

gde su koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja dati sa:

~K = m · ~vS DS = IS · ω







Za plo£u A

m1u̇′′1 −m1u̇′1 = −I cos θ

m1v̇′′1 −m1v̇′1 = −I sin θ

Jζ1ϕ̇′′1 − Jζ1ϕ̇′1 = −I sin θx̄Q1 + I cos θȳQ1 = Ih1

(16)

gde su u1 i v1 komponente vektora brzine sredi²ta mase upravcima osa x i y, dok je ϕ̇1 ugaona brzina plo£e A







Za plo£u B

m2u̇′′2 −m2u̇′2 = I cos θ

m2v̇′′2 −m2v̇′2 = I sin θ

Jζ2ϕ̇′′2 − Jζ2ϕ̇′2 = −I sin θx̄Q2 − I cos θȳQ2 = −Ih2

(17)

gde su u2 i v2 komponente vektora brzine sredi²ta mase upravcima osa x i y, dok je ϕ̇2 ugaona brzina plo£e B






Re²enje problema sudara

Nepoznate veli£ine u jedna£inama su:

6 komponenta brzina (neposredno posle sudara) za obe plo£eunutra£nji udarni impuls I

Zavr²na jedna£ina je de�nicija koe�cijenta sudara ilikoe�cijenta restitucije

k =|v′′n2 − v′′n1||v′n1 − v′n2|

k ∈ [0, 1] (18)






Koe�cijent sudara

gde vni, (i = 1, 2) predstavljaju komponente brzine ta£aka Qobe plo£e u pravcu normale n na tangencijalnu ravan u ta£kisudara

Koe�cijent sudara (restitucije) moºe da se usvoji kao:

k = 0 za idealno plasti£an sudark = 1 za idealno elasti£an sudark ∈ (0, 1) za realan sudar






Unutra²nji udarni impuls izmeu plo£a

Jedna£ine (16), (17) i (18), kojih ima 6+1=7, mogu da se re²e

Dobija se unutra²nji udarni impuls izmeu plo£a u obliku:

I = (1 + k)b

a(19)

gde su uvedene oznake

a =

2∑i=1

(1

mi+

h2iJζi

) > 0 b = v′n1 − v′n2 > 0






Brzine plo£a neposredno posle sudara

Sa dobijenim udarnim impulsom datim sa (19) mogu da seodrede brzine sredi²ta masa i ugaone brzine obe plo£eneposredno posle sudara

(ne navode se izrazi)





Primer sa ispita


(a) Prikazati analizu kosog udara materijalne ta£ke u nepokretnuprepreku.

(b) Poznato je da je, u posmatranom slu£aju kosog udara ta£ke unepokretnu prepreku, odbojni ugao β dva puta ve¢i odupadnog ugla α, (pri £emu se oba ugla mere u odnosu nanormalu n na tangencijalnu ravan prepreke u ta£ki udara), kaoi da je brzina ta£ke neposredno posle udara v2 dva putamanjeg intenziteta od intenziteta brzine ta£ke neposredno preudara v1. Odrediti, za taj slu£aj, udarni impuls I, koe�cijentudara k, kao i maksimalnu vrednost upadnog ugla αmax.





Kos udar ta£ke o nepokretnu preprekui

ab

t

n

a

ba

t t

n nn

K

I

12

m

v v v 21

Neposredno PRE udara Neposredno POSLE udara

K I

Kretanje pre udara





Primer sa ispita


Neposredno pre udara, ta£ka je imala brzinu intenziteta v1 £ijipravac zaklapa ugao α sa normalom n

Neposredno posle udara brzina je intenziteta v2 sa pravcemdatim sa uglom β prema normali

Udar ta£ke u prepreku je odreen sa zakonom o promenikoli£ine kretanja za trenutke neposredno posle i neposrednopre udara:

~K2 − ~K1 = ~I (20)

gde je ~I = I~n udarni impuls, koji predstavlja uticaj uklonjeneprepreke na posmatranu ta£ku





Primer sa ispita


Ako se jedna£ina (20) projektuje na pravce tangente τ inormale n, dobija se:

mv2 sinβ −mv1 sinα = 0mv2 cosβ +mv1 cosα = I

(21)

U jedna£inama (21) su nepoznate veli£ine ugao β, intenzitetbrzine v2, kao i udarni impuls I

Ima dve jedna£ine i tri nepoznate veli£ine





Primer sa ispita


U skladu sa Njutnovom teorijom udara, usvaja se, kao poznataveli£ina, koe�cijent udara k ∈ [0, 1]Koe�cijent udara, u ovom slu£aju, predstavlja odnos apsolutnihvrednosti projekcija brzina na pravac normale n neposrednoposle i neposredno pre udara:

k =v2 cosβ

v1 cosα(22)

Iz jedna£ine (22) se dobija relacija

v2 cosβ = kv1 cosα (23)





Primer sa ispita


Prema tome, iz druge od jedna£ina (21) dobija udarni impuls uobliku:

I = m(1 + k)v1 cosα (24)

Imaju¢i u vidu prvu jedna£inu (21), dobija se intenzitet brzineta£ke neposredno posle udara u obliku:

v2 =√v22τ + v

22n =

√(v1 sinα)2 + (kv1 cosα)2 (25)

odnosno, u obliku:

v2 = v1 ·√

sin2 α+ k2 cos2 α (26)





Primer sa ispita


Sa relacijama (24) i (26) su odreeni udarni impuls i intenzitetbrzine ta£ke neposredno posle udara, dok se odbojni ugao βmoºe da odredi ili iz prve jedna£ine (21) ili iz jedna£ine (23), uobliku:

sinβ =v1v2

sinα odn. cosβ = k · v1v2

cosα (27)

Zadatkom se traºi da se posmatra slu£aj kada je odbojni ugaoβ dva puta ve¢i od upadnog ugla α, kao i da je intenzitetodbojne brzine v2 dva puta manji od intenziteta upadne brzinev1





Primer sa ispita


Zna£i, posmatraju se uslovi:

β = 2α v2 =1

2v1 (28)

Imaju¢i ovo u vidu, koe�cijent udara, koji je dat sa (22), morada bude jednak:

k =v2 cosβ

v1 cosα=

1

2· cos(2α)

cosα(29)





Primer sa ispita


Kako je udarni impuls dat sa izrazom (24), to moºe da sedobije izraz za udarni impuls, na primer, u obliku

I =1

2mv1(cos2α+ 2 cosα) (30)

Najve¢a vrednost odbojnog ugla je βmax = 900, ²to odgovara

idealno plasti£nom udaru, odnosno koe�cijentu udara koji jejednak nuli: k = 0

U tom slu£aju je upadni ugao jednak αmax = 450, ali je brzina

v2, videti (26), jednaka v2 = v1 sinα = 0.707v1

²to ne odgovara uslovima zadatka





Primer sa ispita


Relacija (29) koja povezuje koe�cijent udara sa slovimazadatka (28), odn. sa relacijama β = 2α, kao i v2 = 0.5v1,moºe da se napi²e u obliku

cos(2α)− 2 k cos(α) = 0

ili u obliku, uz oznaku x = α,

f(x, k) = cos(2x)− 2 k cos(x) = 0 (31)

Zna£i, da bi se odredio upadni ugao pri kome su zadovoljeniuslovi zadatka, potrebno je da se nae re²enje jedn. (31) uzavisnosti od koe�cijenta udara k kao parametra





Primer sa ispita


Re²avanje (31) moºe da se uradi gra�£kim putem,prikazivanjem funkcije f(x, k), za izabrane vrednostikoe�cijenta udara k kao parametra, u funkciji ugla x = α

Imaju¢i u vidu uslove zadatka, upadni ugao je u intervaluα ∈ [0, 450], odn., u radijanima α ∈ [0, π/4 ≈ 0.785],jer je najve¢a mogu¢a vrednost odbojnog ugla β = 900 (pri£emu to ne odgovara uslovu v2 = 0.5 v1)

Koe�cijent udara se nalazi u granicama k ∈ [0, 1] i varira se saintervalom ∆ k = 0.10





Gra�£ki prikaz funkcije f(x, k)





Primer sa ispita


Uvidom u gra�£ki prikaz f(x, k) moºe da se vidi da se mogu¢ere²enje nalazi u intervalu koe�cijenta udara od k ∈ (0, 0.5)Pri tome, za k = 0 funkcija f(x, k) = 0 za x = π/4, ali tore²enje ne odgovara, jer je v2 = 0.707 v1

Re²enje f(x, k) = 0 za k = 0.5 se dobija za x = 0, ali totakoe ne odgovara, jer pretstavlja upravan a ne kosi udar.

Iz gra�£kog prikaza f(x, k) mogu da se o£itaju (procene)vrednosti upadnih uglova ta£ke za posmatrane vrednostikoe�cijenta udara





Primer sa ispita


Upadni uglovi za diskretne vrednosti koe�cijenta k

Koef. udara Upadni ugao x = αk [radijani] [stepeni ]

0.10 0.71 40.680.20 0.62 35.520.30 0.51 29.220.40 0.36 20.63

Naravno, postoji ∞ mnogo re²enja za k ∈ (0, 0.50)(Napomena: ovo re²avanje se nije o£ekivalo na ispitu)


Udar i sudarOsnovni pojmovi o udaru i sudaruAnaliza sudara dva telaKoeficijent udara (sudara)

Upravan i kos udar tacke o nepokretnu preprekuUpravan udar o nepokretnu preprekuKos udar tacke o nepokretnu prepreku

Upravan centralni sudar dva telaJednacine problema i rešenjaAnaliza rešenja - posebni slucajevi

Sudar dva tela koja vrše ravansko kretanjeFormulacija problema i jednacina

Documents

TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske studije, III semestar · 2 Upravan i kos udar ta£ke o nepokretnu prepreku Upravan udar o nepokretnu prepreku Kos udar ta£ke o nepokretnu