TEHNIČKA MEHANIKA...CyC A. S xxdA SxA AA = ... Za ose translatorno pomerenog koordinatnog sistema 0

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA- PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 10. PREDAVANJE -

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA:

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

Površina ravnih preseka;

Statički momenti ravnih preseka;Promena statičkih momenata ravnih preseka pri translaciji koordinatnog sistema;Statički momenti ravnih preseka za centralne (sopstvene) ose;

Momenti inercije ravnih preseka;Promena momenata inercije ravnih preseka pri translaciji koordinatnog sistema – Štajnerova teorema;Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka;Izračunavanje momenata inercije složenih preseka;

SADRŽAJ PREDAVANJA

Poprečni presek štapa je definisan

zatvorenom linijom u ravni

normalnoj na uzdužnu osu štapa.



Poprečni presek predstavlja

geometrijsku figuru (sliku)

površine A [m2] u presečnoj ravni

koja je normalna na uzdužnu osu

štapa ili grede.

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

y

z

x

y

Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih

geometrijskih oblika.

Primeri:


OTPORNOST MATERIJALAGEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

Oblici (geometrija) ravnih poprečnih preseka štapa

1. Površina ravnog preseka: A ;

2. Težište površine ravnog preseka: C ;

3. Statički moment površine za osu x ili osu y : Sx , Sy ;

4. Momenti inercije ravnih preseka: Ix , Iy , Ixy ;

5. Momenti otpora ravnih preseka: Wx , Wy .



OSNOVNE KARAKTERISTIKE OBLIKA POPREČNOG PRESEKA

x

y



1. Površina poprečnog preseka

Površina je najjednostavnija karakteristika ravnog preseka.

Približna vrednost površine zadatog ravnog preseka može da se odredi

sabiranjem površina elementarnih površi na koje se deli dati presek.

Tačna vrednost površine se određuje integraljenjem, kada je elementarna

površina beskonačno mala, a broj elementarnih površi teži beskonačnosti:

∑=

Δ=Δ++Δ+Δ=n

iin AAAAA

121 .....

i 0 1 lim

n

iA i An

A A dAΔ →

=→∞

= Δ =∑ ∫

Dimenzija površine je [L2], a meri se

jedinicama [m2] ili [cm2].



Dva štapa jednakih površina poprečnog preseka A=b·h, opterećena jednakim

opterećenjem na savijanje, različito se deformišu:

Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike ravnih preseka, i to:

statički momenti površine, momenti inercije i momenti otpora ravnih preseka.



2. Statički momenti ravnih preseka (1/8)

Približna vrednost statičkog momenta ravnog preseka za osu u ravni je

definisana kao zbir proizvoda elementarnih površina i normalnog

rastojanja težišta te elementarne površi od ose.

Približna vrednost statičkog momenta ravnog preseka:

Za osu x:

Za osu y:

1 11

....n

x n n i ii

S y A y A y A=

= Δ + + Δ = Δ∑

∑=

Δ=Δ++Δ=n

iiinny AxAxAxS

111 ....




Tačna vrednost statičkog momenta ravnog preseka za osu u ravni jednaka

je graničnoj vrednosti izraza za srednju vrednost statičkog momenta

ravnog preseka kada je elementarna površina beskonačno mala (teži nuli),

a broj elementarnih površi tom prilikom teži beskonačnosti.

Tačna vrednost statičkog momenta površine ravnog preseka:

Za osu x:

Za osu y:

i 0 1lim

n

x i iA i An

S y A ydAΔ →

=→∞

= Δ =∑ ∫

i 0 1

limn

y i iA i An

S x A xdAΔ →

=→∞

= Δ =∑ ∫




Def.: Statički moment ravnog preseka (moment površine prvog reda) za

osu u ravni jednak je određenom integralu po datoj površini proizvoda

normalnog rastojanja ma koje tačke elementarne površi od izabrane ose i

te elementarne površine.

Dimenzija statičkog momenta je [L3], a meri se jedinicom [cm3].

;xA

S ydA= ∫ .yA

S xdA= ∫




Izrazi za određivanje koordinata težišta ravnih površi, mogu se na osnovu

definicije statičkog momenta ravnog preseka napisati u obliku:

1 ;yC y C

A

Sx xdA S x A

A A= = ⇒ = ⋅∫

1 .xC x C

A

Sy ydA S y AA A

= = ⇒ = ⋅∫



2. Statički momenti ravnih preseka (5/8)2.1 Statički momenti ravnih preseka za paralelne ose

(Promena statičkih momenata ravnih preseka pri translaciji koordinatnog sistema) (1/2)

;xA

S ydA= ∫ ;A

S dAξ η= ∫ ;y bη= +

;yA

S xdA= ∫ ;A

S dAη ξ= ∫ ;x aξ= +

( )xA

S b dA S bAξη= + = +∫

( )yA

S a dA S aAηξ= + = +∫




( ) ;xA

S b dA S bAξη= + = +∫ ( )yA

S a dA S aAηξ= + = +∫

Def.: Statički moment ravnog preseka u odnosu na neku osu jednak je

zbiru statičkog momenta u odnosu na paralelnu osu i proizvoda površine

i normalnog rastojanja između osa.

2.1 Statički momenti ravnih preseka za paralelne ose(Promena statičkih momenata ravnih preseka pri translaciji koordinatnog sistema) (2/2)



2. Statički momenti ravnih preseka (7/8)2.2 Statički momenti ravnih preseka za centralne (sopstvene) ose (1/2)

( ) ( )

0;x

x C CA A S

S b dA y dA S y A

S

ξ

ξ

η η= + = + = + ⇒

⇒ =

∫ ∫

( ) ( )

0;y

y C CA A S

S a dA x dA S x A

S

η

η

ξ ξ= + = + = + ⇒

⇒ =

∫ ∫

Osa koja prolazi kroz težište površi zove se centralna, težišna, ili

sopstvena osa.

Za ose translatorno pomerenog koordinatnog sistema 0ξη , koje prolaze

kroz težište C ravnog preseka čija je površina A, važi da je b=yC i a=xC .




0;Sξ = 0;Sη =

2.2 Statički momenti ravnih preseka za centralne (sopstvene) ose (2/2)

Def.: Statički momenti ravnog preseka za centralne (težišne, sopstvene)

ose jednaki su nuli.



3. Momenti inercije ravnih preseka (1/26)

Aksijalni momenti inercije,

Polarni moment inercije,

Centrifugalni moment inercije.

Momenti inercije ravnih preseka su momenti površine drugog reda.

Dimenzija aksijalnih momenata inercije je [L4], a mere se jedinicom [cm4].




Za ravan (poprečni) presek povšine A, koji je podeljen na konačan broj

elementarnih površi ∆Ai i za koju je uzeta elementarna površina dA,

definicije momenata inercije u približnom obliku, a zatim i u tačnom obliku

po primeni graničnih vrednosti na prethodni oblik, date su kao:




Def.: Aksijalni (osni ili ekvatorijalni) moment inercije površine A za neku

osu jednak je zbiru proizvoda kvadrata rastojanja ma koje tačke

elementarne površine od te ose i elementarne površine, tj. jednak je

određenom integralu po datoj površini proizvoda kvadrata normalnog

rastojanja ma koje tačke elementarne površi od izabrane ose i te

elementarne površine:

2 2 21 1

1;....

n

x n n i ii

I y A y A y A=

= Δ + + Δ = Δ∑i

2 2

0 1lim ; 0;

n

x i i xA i An

I y A y dA IΔ

Δ→

=→∞

= = >∑ ∫

2 2 21 1

1;....

n

y n n i ii

I x A x A x A=

= Δ + + Δ = Δ∑i

2 2

0 1lim ; 0;

n

y i i yA i An

I x A x dA IΔ

Δ→

=→∞

= = >∑ ∫




Def.: Polarni moment inercije površine A za neku tačku (pol) jednak je

zbiru proizvoda kvadrata rastojanja ma koje tačke elementarne površine

od te tačke i elementarne površine, tj. jednak je određenom integralu po

datoj površini proizvoda kvadrata rastojanja ma koje tačke elementarne

površi od izabrane tačke i te elementarne površine:

2 2 20 1 1

1.... ;

n

n n i ii

I r A r A r AΔ Δ Δ=

= + + =∑

i

2 20 00 1

lim ; 0.n

i iA i An

I r A r dA IΔ

Δ→

=→∞

= = >∑ ∫



3. Momenti inercije ravnih preseka (5/26)Između vrednosti aksijalnih momenata inercije za dve uzajamno upravne

ose i polarnog momenta inercije za tačku preseka ovih osa postoji veza .

Kako je r 2 = x2 + y2, polarni moment inercije jednak je zbiru aksijalnih

momenata inercije za dve uzajamno upravne ose koje se seku u polu:

( )2 2 2 2 20 0; 0.x y

A A A A

I r dA x y dA y dA x dA I I I= = + = + = + >∫ ∫ ∫ ∫




Def.: Centrifugalni moment inercije površine A za par uzajamno

upravnih osa jednak je zbiru proizvoda normalnih rastojanja ma koje

tačke elementarne površine od tih osa i elementarne površine, tj. jednak

je određenom integralu po datoj površini proizvoda normalnih rastojanja

ma koje tačke elementarne površi od izabranih osa i te elementarne

površine:

1 1 11

;....n

xy n n n i i ii

I x y A x y A x y A=

= Δ + + Δ = Δ∑

i 0 1lim ; 0.

n

xy i i i xyA i An

I x y A xydA IΔ

Δ ><→

=→∞

= =∑ ∫




Aksijalni i polarni momenti inercije imaju uvek pozitivne vrednosti, jer su

elementarne površine i kvadrati rastojanja od osa ili pola uvek pozitivne

vrednosti.

Centrifugalni moment inercije može da ima različiti znak ili da bude jednak

nuli, što zavisi od znaka koordinata težišta elementa površine dA.

Za površine u prvom i trećem kvadrantu su centrifugalni momenti inercije

pozitivne veličine, jer su koordinate istog znaka, a za površine u drugom i

četvrtom kvadrantu su negativne, jer su koordinate različitog znaka.




Centrifugalni moment inercije za ose od kojih je bar jedna osa simetrije

mora biti jednak nuli.

Primer:

Svakoj elementarnoj površini dA desno od

ose y odgovara ista takva, kao slika u

ogledalu, dA’ levo od nje ( x’ = -x ). Zbirni

centrifugalni moment inercije ove dve

elementarne površine mora biti jednak nuli,

jer je

( ) 0.dA dAxy xyI I x y dA x y dA′+ = + − =




Štajnerova teorema se odnosi na dva

koordinatna sistema sa paralelnim

osama (0xy i Cξη), od kojih jedan

koordinatni sistem (Cξη) mora da ima

koordinatni početak u težištu C

ravnog preseka.

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose(Promena momenata inercije ravnih preseka pri translaciji koordinatnog sistema) (1/9)




Ako se koordinatni sistem 0xy

translatorno pomeri do položaja Cξη ,

gde je C ( xC = a ; yC = b ) težište

posmatranog ravnog (poprečnog)

preseka površine A, onda nastala

transformacija koordinata ma koje

tačke elementarne površine dA može

da se napiše u obliku izraza:

i .

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose(Promena momenata inercije ravnih preseka pri translaciji koordinatnog sistema) (2/9)

ξ+= ax η+= by



3. Momenti inercije ravnih preseka (11/26)3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka pri translaciji koordinatnog sistema) (3/9)

( )

2

2

2 2

2 2

0

,

2

2

xA

xA

A A A

I y dA y b

I b dA

dA b dA b dA

I b S b A I b Aξ ξ ξ

η

η

η η

=

= = + ⇒

⇒ = + =

= + + =

= + + = +

∫

∫

∫ ∫ ∫

Matematički iskaz Štajnerove teoreme





( )

2

2

2 2

2 2

0

,

2

2

yA

yA

A A A

I x dA x a

I a dA

dA a dA a dA

I a S a A I a Aη η η

ξ

ξ

ξ ξ

=

= = + ⇒

⇒ = + =

= + + =

= + + = +

∫

∫

∫ ∫ ∫






( )( )

0 0

, ,xyA

xyA

A A A A

I xydA x a y b

I b a dA

dA a dA b dA ab dA

I a S b S abA

I abA

ξη ξ η

ξη

ξ η

η ξ

ξη η ξ

= =

= = + = + ⇒

⇒ = + + =

= + + + =

= + + + =

= +

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

Matematički iskazŠtajnerove teoreme

Koordinate težišta a i b ulaze sa svojim predznacima, tako da pri translacijikoordinatnog sistema može doći do uvećanja ili smanjenja centrifugalnogmomenta inercije.





( )2

2 2

0

2 2

2

, ;

C C

x y

x y

I r

C C

I I b A I I a A

I I I

I I a b A

I r A

ξ η

ξ η

= + = +

= + =

= + + + =

= +






Momenti inercije u odnosu na ose koordinatnog sistema Cξη sa početkom

u težištu ravnog preseka: zovu se sopstveni momenti

inercije, a drugi sabirci u izrazima: zovu se

položajni momenti inercije.

, , , CI I I Iξ η ξη2 2 2, , ,C C C C Cy A x A x y A r A

ŠTAJNEROVA TEOREMA: Moment inercije za osu paralelnu težišnoj

jednak je zbiru sopstvenog i položajnog momenta inercije.





Primenom Štajnerove teoreme je moguće sračunati momente inercije za

težišne ose (sopstvene momente inercije) ukoliko su poznati momenti

inercije za njima odgovarajuće paralelne ose 0x i 0y:

AyII Cx2+= ξ

AxII Cy2+= η

AyxII CCxy += ξη

20 C CI I r A= +

2x CI I y Aξ = −

2y CI I x Aη = −

xy C CI I x y Aξη = −

20C CI I r A= −

⇒





Sopstveni aksijalni momenti inercije, a samim tim i sopstveni polarni

moment inercije, imaju uvek pozitivne i manje vrednosti u odnosu na

odgovarajuće momente inercije za svaku paralelnu osu.

Od svih momenata inercije u odnosu na skup paralelnih osa, najmanju

vrednost ima moment inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz težište

poprečnog preseka.



3. Momenti inercije ravnih preseka (18/26)3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (1/7)

Primer 1. Odrediti koordinate težišta i momente inercije pravougaonika. (1/3)

( ) 0

, 0 | ;h

ho

A

dA bdy y h A dA bdy by bh= ≤ ≤ ⇒ = = = =∫ ∫

2|

21 2

0)( bxhbhbh

hdxx

A

xdAx b

o

b

AC =⋅⋅=

⋅==∫∫

2|

21 2

0)( hybbhbh

hdxy

A

ydAy h

o

b

AC =⋅⋅=

⋅==∫∫

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡

2,

2, hbCyxC CC





;dA bdy=3 3

2 20

( ) 0

|3 3

hh

xA

y bhI y dA y bdy b= = = ⋅ =∫ ∫

;dA hdx=3 3

2 2

( ) 0

|3 3

bb

y oA

x hbI x dA x hdx h= = = ⋅ =∫ ∫

0 , 0x b y h≤ ≤ ≤ ≤2 2 2 2

0 0( ) 0 0 0 0

| |3 2 4

b h b hb h

xyA

x y b hI xydA xydxdy xdx ydy= = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

0 y h≤ ≤

0 x b≤ ≤





23 3 3 32

3 2 3 4 12x Cbh h bh bh bhI I y A bhξ

⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

23 3 3 32

3 2 3 4 12y Cb h b b h b h b hI I x A bhη

⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

0224

22

=⋅⋅−=−= bhhbhbAyxII CCxyξη




Primer 2. Odrediti koordinate težišta trougla i aksijalne momente inercije zaose x, ξ i x1. (1/2)

( ); ; 0x h y bdA xdy x h y y hb h h

−= = ⇒ = − ≤ ≤

( )( )

h 2

0A 0 2 2

hb b y bhA dA h y dy hyh h

⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

( )( ) ( )

2 32

00 0

1 1 1 12 3 3

2

h hh

CA

b b b y y hy ydA y h y dy hy y dy hbhA A h A h h⎛ ⎞

= = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫




Primer 2. Odrediti koordinate težišta trougla i aksijalne momente inercije zaose x, ξ i x1. (2/2)

( )( ) ( )2 2 2 3

0 0

3 4 4 4 4 3

03 4 3 4 12 12

h h

xA

h

b bI y dA y h y dy hy y dyh h

b y y b h h b h bhhh h h

= = ⋅ − = − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = − = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

23 3 3 32

12 3 2 12 18 36x Cbh h bh bh bh bhI I y Aξ

⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1

23 3 2 32 4

36 3 2 36 9 2 4x Cbh h bh bh h bh bhI I h y A hξ

⎛ ⎞= + − ⋅ = + − ⋅ = + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠



3. Momenti inercije ravnih preseka (23/26)3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (6/7)Primer 3. Odrediti polarni i aksijalne momente inercije kružnog preseka.

2 ;dA rdrπ= 0 :r R≤ ≤

( )

22

00 0

2 2 2 ;2

R RR

A

rA dA rdr rdr Rπ π π π= = = = =∫ ∫ ∫

( )

4 42 2 3

0 00 0

2 2 2 ; 4 2

R RR

A

r RI r dA r rdr r drπ π π π= = ⋅ = = =∫ ∫ ∫

40 .

2 4x yI RI I π

= = =

Aksijalni momenti inercije kružnog preseka su zbog osne simetrije jednaki za svecentralne pravce.



3. Momenti inercije ravnih preseka (24/26)3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (7/7)Primer 4. Odrediti polarni i aksijalne momente inercije kružnog prstena.

Aksijalni momenti inercije kružnog prstena su zbog osne simetrije jednaki za svecentralne pravce.

( )2

2 2 2 2 21 2 1 1 , ;r rA A A R r R R

R Rπ π π π ψ ψ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − = − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )44 4 4 4

1 2 40 0 0 1 1 ;

2 2 2 2R r R r RI I I

Rπ π π π ψ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( )4

40 1 .2 4x yI RI I π ψ= = = −



3. Momenti inercije ravnih preseka (25/26)3.1.2 Izračunavanje momenata inercije složenih preseka (1/2)

Momenti inercije složenog ravnog preseka, površine , sračunavaju

se kao zbirovi momenata inercije pojedinih delova tog preseka računato u

odnosu na istu osu, pol ili par uzajamno upravnih osa:

∑=

=n

iiAA

1

;1

)(∑=

=n

i

ixx II ;

1

)(∑=

=n

i

iyy II ;

1

)(∑=

=n

i

ixyxy II



3. Momenti inercije ravnih preseka (26/26)3.1.2 Izračunavanje momenata inercije složenih preseka (2/2)

Primer 5. Izračunati aksijalni moment inercije za x-osu složenog ravnog preseka

2 22

1 2 3 2 ;2 4a aA A A A a= + + = + +

3 3 3 4 4 41 2 3 42 2 2 19 .

12 3 12 12 3 24 24( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x xa a a a a a a a aI I I I a⋅

= + + = + + = + + =

1. Definisati statičke momente ravnog preseka za ose Dekartovog

koordinatnog sistema 0xy.

2. Koja osa se naziva centralnom? Kolika je vrednost statičkog

momenta ravnog preseka za centralnu osu?

3. Definisati momente inercije ravnog preseka za ose Dekartovog

koordinatnog sistema 0xy.

4. Dokazati Štajnerovu teoremu o momentima inercije za

paralelne ose od kojih je jedna centralna.

Kontrolna pitanja 10



Documents

TEHNIČKA MEHANIKA...CyC A. S xxdA SxA AA = ... Za ose translatorno pomerenog koordinatnog sistema 0