SVEUČILIŠTE U SPLITU

POMORSKI FAKULTET U SPLITU

ZAVOD ZA BRODOSTROJARSTVO

TEHNIČKA MEHANIKA IIPredavanje V

Nastavnik:

doc.dr.sc.Đorđe Dobrota

SPLIT, ožujak 2020.

Poglavlja u predavanjima

7 DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA7.1.2 Zakon kinetičke energije7.1.3 Zakon o održanju mehaničke energije7.1.4 Zakon količine gibanja7.1.5 Zakon održanja količine gibanja

DINAMIKA KRUTOG TIJELA1 UVOD2 GEOMETRIJA KRUTOG TIJELA3 DINAMIKA RAVNINSKOG GIBANJE TIJELA3.1 Translacija krutog tijela

Zadaci iz skripte-Vježbe

PRIMJER 19 PRIMJER 22

PRIMJER 20

PRIMJER 21

PRIMJER 22

ZNAČAJNI ISHODI UČENJA

Konceptualno znanje

• Objasniti Zakon kinetičke energije i Zakon o očuvanju mehaničke energije kod sustava čestica.

• Objasniti Zakon količine gibanja i Zakon o očuvanju količine gibanja kod sustava čestica.

• Primijeniti navedene zakone za rješavanje dinamičkih problema gibanja sustava čestica.

• Opisati translaciju krutog tijela i primijeniti odnosne zakone dinamike za rješavanje problema translatornog gibanja krutog tijela.

PITANJA

1. Opiši zakon kinetičke energije sustava čestica.

2. Rad kojih unutrašnjih veza između čestica se uzima u obzir , a koje ne?

3. Opiši zakon o očuvanju mehaničke energije sustava čestica.

4. Koje sile ulaze u ukupni impuls sile sustava čestica?

5. Što treba napraviti ako je potrebno izračunati rad unutrašnjih sila?

6. Što treba napraviti ako je potrebno izračunati impuls unutrašnjih sila na

jednu čestica?

7. Što je kruto tijelo?

8. O čemu ovisi gibanje krutog tijela?

9. Što je masa tijela i što ista predstavlja kod translacije krutog tijela?

10. Što je središte mase tijela i čime je određeno?

11. Pomoću kojih kinematičkih veličina se može izračunati brzina i ubrzanje

središte mase tijela?

12. Kada nastupa translacija krutog tijela i prema obliku putanje kakva može

biti?

13. Koliko skalarnih jednadžbi gibanja treba napisati kod pravocrtne ili krivocrtne

translacije krutog tijela?

14. Zašto se kod translacije krutog tijela koristi rotacijska jednadžba gibanja oko

neke točke i kako se ta točka postavlja?

15. Zbog čega za translaciju krutog tijelo vrijede svi zakoni dinamike čestice?

7 DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA

• Sustav čestica je skup međusobno povezanih čestica kod kojih gibanje pojedine čestice ovisi o gibanju svih ostalih čestica.

• Neka se razmatra zatvoreni

sustav od n vezanih čestica

čestica označenih 1,2, ….n.

• Vektor Fi, i = 1, 2, . . . , n,

predstavlja rezultantnu vanjsku

silu koja djeluje na i-tu česticu.

Vanjske sile su uzrokovane

interakcijom čestice s vanjskim

svijetom.

• Primjeri vanjskih sila koje mogu

djelovati na česticu su njena

težina, njena interakcija s drugim

česticama koje nisu uključene u

sustav i reakcije podloge.

Sustav od n čestica

• Prema principu izolacije svaku česticu možemo osloboditi veza s drugim česticama iz sustava.

• Oslobađanjem čestice mase mi pojedinih veza zamišljamo da na česticu umjesto veze djeluje sila ovisna o karakteru veze.

Čestica oslobođena veza s drugim česticama

• Unutar sustava može svaka čestica biti povezana sa svim ostalim česticama pa takvih veza može biti n-1.

• Oslobađanjem čestice mi veze koja je povezuje sa česticom mj

dobiva se sila Sij kao djelovanje čestice mj na česticu mi.

• Sile koje djeluju na česticu kao posljedica tih veza su unutarnje, koje su zajedno s rezultantnom vanjskom silom Fi mjerodavne za gibanje čestice mi.

• Pored vanjskih sila, čestice u sustavu mogu biti predmetom djelovanja unutrašnjih sila. Tako npr., dvije čestice mogu biti spojene oprugom, užetom ili pak se mogu sudariti. Te unutrašnje sile uzrokuju ograničenja.

• Veze u sustavu čestica mogu biti krute, elastične i kinematske.

• Kada su sve veze krute, sustav čestica se ponaša kao kruto tijelo.

• Elastične veze ovise o međusobnom položaju čestica (npr. veza pomoću opruge).

• Svaka čestica u sustavu može u prostoru imati 3 stupnja slobode gibanja, pa za sustav od n čestica ukupan broj stupnjeva slobode iznosi 3n.

• Kinematske veze uvjetuju određeno gibanje jedne čestice u odnosu na drugu.

• Kinematske veze smanjuju broj stupnjeva slobode sustava, a između pojedinih koordinata postoje jednadžbe veze.

• Bez obzira na vrstu veze, unutarnje sile se prema III Newtonovom zakonu javljaju u parovima, tako da je sila Sij na česticu mase mi, koja je posljedica veze s česticom mj, jednaka suprotno usmjerena i kolinearna sili Sji na česticu mj od veze sa česticom mi:

• Vektor rezultante unutrašnjih sila koje djeluju na i-česticu je:

• Za cijeli sustav tada vrijedi da je suma svih unutarnjih sila jednaka 0:

a također i zbroj momenata unutarnjih sila prema nekoj točki O

jednak je nuli:

0ij

i j

S

0ij

i j

r S

ij ji S S ( )i j

1

n

ij

jj i

S

• Parovi unutarnjih sila i parovi momenata unutarnjih sila prema istoj točki međusobno se poništavaju.

• Za idealno krute veze bit će rad sile Sij jednak po iznosu i suprotnog predznaka radu unutarnje sile Sji, dok jer rad unutarnjih sila koje potječu od veza s otporima (npr. prigušenja) uvijek negativan.

7.1 Osnovni zakoni sustava čestica

7.1.1 Jednadžba gibanja

• Newtonov drugi zakon, ∑F=ma, može se koristiti i za izučavanje gibanja sustava čestica. Stoga, sustav od n čestica dovesti će do n vektora jednadžbi gibanja.

• Za svaku česticu u sustavu može se napisati jednadžba gibanja u kojoj je rezultanta svih sila koje djeluju na česticu (vanjske i unutrašnje) jednaka umnošku mase i ubrzanja.

• U nekim dinamičkim problemima je dovoljno razmatrati samo gibanje centra mase sustava.

• Uvodeći pojednostavljenja:

1. -je rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na

sustav čestica, uključujući težine čestica.

2. Unutrašnje sile se pojavljuju kao suprotan kolinearni par sila

jednake magnitude pa se njihova suma poništava, tako da

vrijedi:

3.

• Koristeći gore navedeno može se napisati:

gdje je aC ubrzanje centra mase, a m ukupna masa sustava čestica.

• Rezultantna sila ∑F ne mora prolaziti kroz centar mase (težište) C.

Cm F a

.

1

n

i

i

F F

1 1

0n n

ij

i jj i

S

1

n

i i C

i

m m

a a

Jednadžba gibanja centra mase ima ponekad

ograničenu primjenu pošto ista ništa ne govori

u svezi gibanja pojedinačne čestice ili o veličini

unutrašnjih sila.

• Kako je potrebno izračunati ubrzanje svakog bloka i silu u sajli, korištenje jednadžbe gibanje centra mase sustava nije prikladna. U tom slučaju potrebno je analizirati gibanje svakog bloka pojedinačno koristeći plan slobodnog tijela za oba bloka.

• Sila u sajli je konstantna ukoliko se masa sajle i trenje u koloturi zanemari.

• Pošto su blokovi povezani sajlom konstantne duljine, ovo (unutrašnje) ograničenje uzrokuje da su ubrzanja obaju blokova jednaka, tako da je aA=aB=a..

Plan slobodnog tijela blokova

mA

NA

S

x

y

GA

mBGB

x

y

S

7.1.2 Zakon kinetičke energije

• Razlika ukupne kinetičke energije sustava čestica na kraju perioda gibanja (2) i na početku (1) jednaka je radu svih vanjskih i unutrašnjih sila sustava:

Kinetička energija i-čestice:

Ukupna kinetička energija sustava čestica:

2 1 1 2

2 22 2

2 1

1 1 1 1 11 12 2

k k

n n n n ni i i i

i ij i

i i i i j

E E W

m v m vdr dr

F S

2

2

i iki

m vE

2

1 2

ni i

k

i

m vE

• Kod određivanja rada unutrašnjih sila čestice (krutog tijela) ili sustava čestica (krutih tijela) potrebno je analizirati djelovanje sila na svaku česticu zasebno.

• Krute unutrašnje veze kao što je nerastezljivo uže, sajla i zglobovi izvode jednak i suprotan rad na česticu (kruto tijelo) koji rezultira nulom u ukupnom radu. Razlog jest to što iste tvore jednake, ali suprotne kolinearne parove zbog čega se u analizi sustava odbacuju. Ukoliko se čestice razmatraju zasebno, sile ograničenja takvih veza moraju se uzeti u obzir kod izračuna rada.

• S druge strane elastične unutrašnje veze (koje uključuju opruge) i trenje površina koje klize sposobne su vršiti rad u sustavu, pa se stoga njihove sile ograničenja uzimaju u obzir.

7.1.3 Zakon o održanju mehaničke energije

• Zakon o održanja mehaničke energije u općem obliku glasi jednako kao i kod čestice:

• Potencijalne energije Ep1 i Ep2 su početne i konačne potencijalne energije sustava, tj. suma potencijalnih energija svih konzervativnih sila u sustavu bez obzira da li su vanjske (težina) ili unutrašnje (elastična sila opruge). Kinetičke energije Ek1 i Ek2 su početne i konačne kinetičke energije u sustavu, tj. suma kinetičkih energija svih čestica.

• U slučaju da su neke od sila nekonzervativne, npr. sila trenja ili vanjska sila, primjenjuje se isti izraz kao i kod čestice:

pri čemu je rad nekonzervatinlih sila W1-2 suma radova nekonzervativnih sila u sustavu kako vanjskih tako i unutrašnjih.

2 1 2 1

1 1 1 1

0n n n n

k i k i p i p i

i i i i

E E E E

2 1 2 1 1 2

1 1 1 1 1

( )n n n n n

k k i p i p i i

i i i i i

E E E E W

DODATNI PRIMJERI

• PRIMJER18-2017: Cilindar A ima masu 3 kg, a cilindar B 8 kg. Odredi brzinu cilindra A kada se pomakne prema gore za 2 m počevši iz stanja mirovanja. Pretpostavlja se glatka kolotura čija se masa, kao i masa užeta zanemaruje.

Zadano: mA=3 kg, mB=8 kg, s1,A =0, s2,A=hA=2 m, v0A=v1A=0, v0B=v1B=0.

Položajna skica mehaničkog sustava u primjeru 18-2017.

A

B

vA

s B

EpA=0

2 m vB

1

2

1

2

-

Ep=0

+

A

B

vA

vB EpB=0

S

SS

S

SS

RJEŠENJE:

• Mehanički sustav sastoji se sustava kolotura i dvaju cilindara povezanih užetom.

• Stoga, kinematička ograničenja su sustav kolotura i uže konstantne duljine.

• Sustav kolotura uvjetuje zavisno gibanje tereta (vA≠vB, brzine cilindara su različite), dok su odgovarajuće sile ograničenja:

- sila u užetu S zbog užeta konstantne duljine,

- reakcije u ležajevima kolotura koje se zbog zanemarivanja težina kolotura i užeta ne uzimaju u obzir.

- Pošto se u zadatku traži promjena brzina čestice tijekom zadanog pomaka može se primijeniti zakon o očuvanju mehaničke energije ili zakon kinetičke energije koji omogućuju direktno izračunavanje brzina.

A

B

vAs B

EpA=0

2 m vB

1

2

1

2

-

Ep=0

+

A

B

vA

vB EpB=0

S

SS

S

SS

ZAKON O OČUVANJU MEHANIČKE ENERGIJE• Ukoliko se razmatra cijeli sustav, prema planu slobodnog tijela sustava

djeluju sljedeće sile:

- sila u užetu S;

- težine GA i GB;

- reakcije u koloturama RK1 i RK2 koje se zanemaruju jer se zanemaruje i

njihova masa kao i masa užeta.

A

B

vA

s B

EpA=0

2 m vB

1

2

1

2

-

Ep=0

+

EpB=0

S

SS

S

SS

GA

GB

RK1

RK2

Plan slobodnog tijela

• Prema planu slobodnog tijela zakon o očuvanje mehaničke energije je:

A

B

vA

s B

EpA=0

2 m vB

1

2

1

2

-

Ep=0

+

EpB=0

S

SS

S

SS

GA

GB

RK1

RK2

2 2 2 2 2

2, 1, 2, 1 1 2 1 2 ,

2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1,

2 2

2, 2,

( ) ( ) 0

0

1 10 0 0 0 0

2 2

n n n n n

k i k i p i p i S S i

i i i i i

k A k B k A k B p A p B p A p B

A A B B A A B B

E E E E W W

E E E E E E E E

m v m v m g h m g h

(I)

2

1 1,

10

2k A A AE m v

1, 0p A A AE m g h

→ jer u položaju 1 miruje

2

1, 1,2

10

2k B BE m v → jer u položaju 1 miruje

→ jer je u tom položaju

referentna linija Ep=0

2, 0p B B BE m g h → jer je u tom položaju

referentna linija Ep=0

• U izrazu (I) nepoznanice su brzine v2,A i v2,B i sB=hB.

• Stoga je za njegovo rješavanje potrebno koristiti dodatne kinematičkeizraze koji zbog sustava kolotura proizlaze iz zavisnog gibanja tereta. Time će se isti izraz svesti na jednu nepoznanicu.

• Kada se razmatra cijeli sustav sila u užetu S (nekonzervativna sila) se javlja kao suprotan kolinearan par S=SAB=-SBA pa se time izvodi jednak i suprotan rad na česticu koji rezultira nulom u ukupnom radu zbog čega se u analizi sustava odbacuju.

2 2 2 2 2

2, 1, 2, 1 1 2 1 2 ,

2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1,

2 2

2, 2,

( ) ( ) 0

0

1 10 0 0 0 0

2 2

n n n n n

k i k i p i p i S S i

i i i i i

k A k B k A k B p A p B p A p B

A A B B A A B B

E E E E W W

E E E E E E E E

m v m v m g h m g h

(I)

• Zavisno gibanje cilindara može se odrediti razmatrajući sliku.

vB

vA

AB

PvB

vP=0

ω

r

Miruje

• Veća kolotura miruje, dok manja kolotura ima

tipično ravninsko gibanje krutog tijela, tj.

kotrljanje (po užetu) bez klizanja.

• To znači kako se njeno gibanje sastoji od dva

osnovna gibanja u referentnoj ravnini i to:

translacije tijela s točkom A i rotacije tijela oko

osi koja prolazi tom točkom okomito na

referentnu ravninu.

• U ravnini gibanja tijela uvijek postoji točka čija je

brzina u danom trenutku vremena jednaka nuli.

• Ta se točka naziva trenutni pol brzina P.

• Iako točka P mijenja svoj položaj tijekom

gibanja, uvijek je vP=0 .

• Stoga, gibanje manje koloture može se prikazati kao rotacija tijela kutnom brzinom ω oko trenutnog pola brzine P pa za točke A i B vrijede sljedeći kinematički izrazi:

vB

vA

AB

PvB

vP=0

ω

r

Miruje

2 2

2

A

B A

B A

v r

dv r v

dt

a a

2 2

2

BB

AA

B AB A

B A

sv

t

sv

t

s sv v t

t t

s s

iz kojih se slijedi kako je brzina i ubrzanje cilindra A dva puta manja od brzine

i ubrzanja tereta B i obratno.

• Isto vrijedi i za prijeđene puteve sA (cilindar A ) i sB (cilindar B):

gdje je t vrijeme.

• U sljedećem koraku treba izračunati kinetičke energije i potencijalne energije cilindara u položajima 1 i 2 koristeći pri tomu dobivene kinematičkeizraze da se riješimo nepoznanica.

• Kinetička energija cilindra A:

• Potencijalna energija cilindra A:

• Kinetička energija cilindra B:

• Potencijalna energija cilindra B:

2 2 2

2 2. 2, 2,

1 13 1,5

2 2k A A A A AE m v v v

2, 3 9,81 2 58,86 Jp A A AE m g h

2 2 2 2

2, 2, 2, 2, 2,

1 18 4(2 ) 16

2 2k B B B B A AE m v v v v → jer je vB=2vA

1, 2 8 9,81 2 2 313,92 Jp B B B B AE m g h m g h → jer je hB= sB =2hA= 2sA

• Dobivene energije se uvrste u izraz (I) tako da se dobiva brzina v2A:

• Brzina v2,B:

2 2

2, 2,

2 2

2, 2,

2

2,

2

2,

2,

1 10 0 0 0 0

2 2

1,5 16 58,86 313,92 0

17,5 255,06 0

17,5 255,06

255,063,82 m/s

17,5

A A B B A A B B

A A

A

A

A

m v m v m g h m g h

v v

v

v

v

2, 2,2 2 3,82 7,64 m/sB Av v

• Kada se razmatra cijeli sustav sila u užetu S (nekonzervativna sila) se javlja kao suprotan kolinearan par S=SAB=-SBA pa se time izvodi jednak i suprotan rad na česticu koji rezultira nulom u ukupnom radu zbog čega se u analizi sustava odbacuju.

• Dokaz te tvrdnje je slijedeći:

• Naime, ukoliko se svaki cilindar oslobodi veza i razmatra kao zasebna čestica, potrebno je nacrtati dva plana slobodnog tijela (slika). Kako je mA<mB, teret mase mA giba se, tj. ubrzava prema gore, a teret mase mB

ubrzava prema dole. Pri tome se za obje čestice pretpostavlja pozitivan smjer sila u smjeru njihovog pretpostavljenog gibanja po osi y.

x

S

GB

vBx

2S

GA

vA

y

x

S

GA

y

S

vA

ili

y

Plan slobodnog tijela cilindara

• Rad sile S za cilindar A (pozitivan jer djeluje u smjeru y) tijekom pomaka za sA= 2 m je:

• Rad sile S za cilindar B (negativan je djeluje suprotno od smjera y) tijekom pomaka za sB= 2sA je:

• Ukupni rad je:

• Time je potvrđena tvrdnja.

1 2 ,( ) 2 2 2 4S A AW S s S S

1 2 ,( ) 2 2 2 4S B B AW S s S s S S

2

1 2 1 2 , 1 2 , 1 2 ,( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 0n

S i S S A S B

i

W W W W S S

x

S

GB

vBx

2S

GA

vA

y

x

S

GA

y

S

vA

ili

y

7.1.4 Zakon količine gibanja

• Zakon količine gibanja sustava čestica glasi:

gdje p1 i p2 označavaju količinu gibanja sustava.

• U ukupnom impulsu I dolaze samo vanjske sile budući da je impuls svih unutrašnjih sila sustava jednak nuli. Razlog je što prema trećem Newtonovom zakonu unutrašnje sile tvore jednak, ali suprotan kolinearni par i stoga se ne uzimaju u obzir.

2 2

1 1

2 2

1 1

2 1

1 1 1

2 1

1 1

t tn n n

i ij

i i jt t

t t n n

i ij

i i jt t

dt dt

m m dt dt

p p F S I

v v F S I

2

1

2 1

t

i

i t

m m dt v v F I

• Ukoliko je potrebno izračunati impuls unutrašnjih sila koje djeluju na jednu česticu, tada se ista mora izolirati i razmatrati izdvojeno.

• Količina gibanja i-čestice:

• Zakon količine gibanja za i-česticu:

• Vektorska suma količina gibanja svih čestica daje količinu gibanja sustava:

i i imp v

1

n

i i

i

m

p v

2 2

1 1

2 1

1 1

t tn n

i i i ij

i jt tj i

dt dt

p p F S

• PRIMJER 16-2019: Blok A ima masu mA=3 kg, a blok mB=5 kg. Ukoliko se sustav otpusti iz stanja mirovanja, odredi brzinu bloka B u trenutku vremena t=6 s i silu u užetu S. Pretpostavljaju se glatke koloture čija se masa kao i masa užeta zanemaruje.

Skica mehaničkog sustava u primjeru 16-2019.

A

B

RJEŠENJE:

• Mehanički sustav sastoji se sustava kolotura i dvaju blokova povezanih užetom. Njihovo gibanje je pravocrtno.

• Stoga, kinematička ograničenja su sustav kolotura i uže konstantne duljine.

• Sustav kolotura uvjetuje zavisno gibanje tereta (vA≠vB, brzine cilindara su različite), dok su odgovarajuće sile ograničenja:

- sila u užetu S zbog užeta konstantne duljine,

- reakcije u ležajevima kolotura koje se zbog zanemarivanja težina kolotura i užeta ne uzimaju u obzir.

- Pošto se u zadatku traži promjena brzina čestice tijekom zadatog vremenskog intervala može se primijeniti zakon količine gibanja koji omogućuju direktno izračunavanje brzina.

A

B

ZAKON KOLIČINE GIBANJA

• Kako se traže brzine blokova i sila u užetu

najpogodnije je sustav analizirati tako da se oba tereta

(bloka) razmatraju kao zasebne čestice.

• Ukoliko se svaki teret oslobodi veza i razmatra kao

zasebna čestica, potrebno je nacrtati dva plana

slobodnog tijela (slika ).

• Kako je mA<mB, teret mase mA giba se, tj. ubrzava

prema gore, a teret mase mB ubrzava prema dole. Pri

tome se za obje čestice pretpostavlja pozitivan

smjer sila u smjeru njihovog stvarnog gibanja po

osi y.

Plan slobodnog tijela

Prema planovima slobodnog tijela na blokove djeluju sljedeće sile:

- sila u užetu S;

- težine GA i GB;

Plan slobodnog tijela

• Kako se blok A giba prema gore (pozitivan smjer), a blok B prema dole

(pozitivan smjer), ubrzanja tereta razlikuju se samo po magnitudi. Prema

zakonu količine gibanja dobivaju se sljedeće dvije jednadžbe :

•

•

DINAMIKA KRUTOG TIJELA

1 UVOD

• Tijelo je sustav čestica omeđen granicama.

• Kruto tijelo je tijelo čija promjena oblika je zanemarivauspoređujući je s ukupnim dimenzijama tijela ili s promjenama položaja tijela u cjelini. Drugim rječima, kruto tijelo je poseban sustav čestica kod kojeg je udaljenost između dviju proizvoljnjih točaka nepromijenjiva.

• Za svaku česticu krutog tijela mi, položaja ri može se izračunati brzina vi i ubrzanje ai pomoću:

- brzine centra mase vC,

- kutne brzine ω,

- kutnog ubrzanja α.

• Na taj način, jednađžbe za opći sustav čestica mogu se dalje prilagoditi i primjeniti na tijelo.

2 GEOMETRIJA KRUTOG TIJELA

• Gibanje krutog tijela ovisi o masi, ali i o njenoj raspodjeli.

• Ukupna masa tijela je:

gdje je: dm masa [kg] djelića tijela.

m

m dm

• Središte mase tijela je geometrijska točka C, koja se podudara s težištem tijela T (samo za g=konst. ). Njen položaj definiran je vektorom položaja:

gdje je r vektor položaja djelića tijela.

• Masa tijela je mjera njegovog otpora prema translaciji (ubrzanju, F=m·a), dok je mjera otpora prema rotaciji moment tromosti (inercije) mase tijela (aksijalni moment tromosti).

1

m

rdmm

r

3 DINAMIKA RAVNINSKOG GIBANJE TIJELA

3.1 Translacija krutog tijela

• Translacija tijela nastupa kada glavni vektor vanjskih sila FR

(vanjske sile zbrojene zajedno daju rezultantu silu) što djeluju na tijelo, prolazi kroz središte mase C (težište) tijela. Stoga, sve čestice tijela imaju isto ubrzanje.

A

P

C

y

x

m·aC

F1

F2

F3

FR

Putanja

središta mase C m

• Prema obliku putanje, translacija može biti pravocrtna i krivocrtna.

• Skalarne jednadžbe gibanja kod pravocrtne translacije su:

( )

( )

0

x C x

y C y

CC

F m a

F m a

M I

A

P

C

y

x

m·aC

F1

F2

F3

FR

Putanja

središta mase C m

• Ukoliko je potrebno zbrojiti moment oko neke proizvoljne točke P, izraz za moment može se zamijeniti rotacijskom jednadžbom gibanja:

gdje točka P obično leži okomito u odnosu na pravac djelovanja, a na udaljenosti d.

• Suma momenta ∑MP svih vanjskih momenta i momenata spregova sila oko točke P jednaka je momentu inercijskog vektora m·ac.

P CM m a d A

P

C

y

x

m·aC

F1

F2

F3

FR

Putanja

središta mase C m

• Kod krivocrtnog gibanja (α=0), jednadžbe gibanja su:

• Ukoliko je potrebno zbrojiti momente svih komponenti sila oko neke proizvoljne točke P tijela, izraz za moment može se zamijeniti izrazom:

gdje su e i h krakovi pravca djelovanja

komponenti ubrzanja.

( )

( )

0

n C n

t C t

C

F m a

F m a

M

A

B

C

tm(at)CF1

F2

F3

FR

n

Putanja

središta mase C

m(an)C

P

C

t

m(at)C

n

m(an)C

Putanja

središta mase C ( ) ( )P C t C nM e m a h m a

• Općenito se može reći da će se tijelo translatarno gibati ako rezultanta vanjskih sila prolazi kroz težište.

• Translacija krutog tijela promatra se kao gibanje tijela kojemu je sva masa koncentrirana u središtu mase tijela C, gdje je i hvatište rezultante svih vanjskih sila, a prema D' Alembertovu principu i sila inercije.

• Izraz FR=m·aC, tada je jedina vektorska jednadžba gibanja, koja se ni po čemu ne razlikuje od jednadžbe gibanja čestice mase m na koju djeluje rezultantna sila FR.

• Svi zakoni koji slijede iz te jednadžbe (zakon kinetičke energije, zakon količine gibanja itd.) jednaki su kao i kod gibanja čestice, te sve što je rečeno u dinamici čestice vrijedi i za dinamiku translacije krutog tijela.

POSTUPAK ZA ANALIZU KOD PRIMJENE JEDNADŽBI GIBANJA

• Uspostaviti x-y ili n-t inercijski koordinatni sustav te nacrtati plan slobodnog tijela. Pri tomu treba uzeti u obzir za sve vanjske sile i momente koji djeluju na tijelo, te odrediti njihove pozitivne smjerove.

• Odrediti smjer ubrzanja centra mase tijela.

• Napisati jednadžbe gibanja i odrediti nepoznanice u problemu.

• Ukoliko se odluči koristiti rotacijsku jednadžbu gibanja

tada treba uzeti u obzir moment inercijske sile m·ac. Pri tomu se

točka P obično smješta na sjecištu pravca djelovanja nepoznate ili

čim više nepoznatih sila.

• Ukoliko se tijekom gibanja tijela po hrapavoj površini pojavljuje klizanje, potrebno je koristiti izraz T=μk·N, gdje je μk kinetički koeficijent trenja. Pri tomu sila trenja T uvijek djeluje tako da se suprotstavlja gibanju tijela relativno na površinu kontakta.

P CM m a d

• PRIMJER 17-2019: Automobil u središtu mase C ima masu od m=1650 kg. Koeficijent statičkog trenja između ceste i stražnjih pogonskih kotača je μs=0,8. Izračunaj maksimalno ubrzanje i normalne sile između ceste i prednjeg A te stražnjeg B para kotača pri zadanim uvjetima. Mase kotača se zanemaruju.

Skica automobila u primjeru 18-2018.

1,2 m 1,2 m

C

A B

m

a

D

0,4

m

• RJEŠENJE:

• Pravocrtna translacija -Ubrzanje se pretpostavlja u smjeru osi x.

• Iz plana slobodnog tijela sile koje djeluju su težina G, sila trenja na stražnjimkotačima T i normalne sile reakcije na prednjim i zadnjim kotačima NA i NB. Trenja na prednjim kotačima nema (slobodno se kotrljaju).

• Sila trenja T je usmjerena u smjeru x jer se pogonski kotači kotrljaju bez klizanja. Ukoliko bi se sila trenja T usmjerila u suprotnom smjeru to znači da automobil proklizava ili koči.

• KOTRLJANJE POGONSKIH KOTAČA BEZ KLIZANJA JE UVJET SIGURNE VOŽNJE. ZATO SE MAKSIMALNA BRZINA, A TIME I MAKSIMALNO UBRZANJE TREBA PRILAGODITI UVJETIMA NA CESTI.

Plan slobodnog tijela

• Jednadžbe gibanja za centar mase C kod pravocrtne translacije su:

Krakovi momenta sila s obzirom na točku C.

• U jednadžbama (I), (II) i (III) nepoznanice ubrzanje aC te sile NA i NB.

• Dakle, tri jednadžbe tri nepoznanice-Rješenje supstitucijom.

C

• PRIMJER 18-2019: Kao što je prikazano na slici oba štapa AB i DE zanemarive mase njišu se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kutnom brzinom ω= 5 rad/s, dok je letva BE mase m=50 kg pod djelovanjem sile F= 100 N. Izračunaj sile u štapovima i njihovo kutno ubrzanje u tom trenutku.

Položajna skica mehaničkog sustava u primjeru 18-2019.

1,5

m

1 m 1 m

ω

A

B m

D

C

EF

• RJEŠENJE:

m=50 kg

F= 100 N

ω= 5rad/s______________________________

SAB=?

SDE=?

α=?

• Krivocrtna translacija jer se sve točke (B, C i E) nosača BE gibaju uzduž krivocrtne putanje od kojih svaka ima isti radijus R=1,5 m. Koordinatni sustav-normalni s osima n-t.

1,5

m

1 m 1 m

ω

A

B m

D

C

EF

Plan slobodnog tijela

• Na nosač BE djeluju:

- Težina G u središtu mase C;

- sile u štapovima SAB i SDE ;

- vanjska sila F

• Kutno ubrzanje α iz jednadžbe gibanja po osi t za točku C:

Kutno ubrzanje jednako za

sve točke.

• Sile u štapovima iz jednadžbe gibanja po osi n.

• Nepoznanice u (I) sile u štapovima SAB i SDE – jedna jednadžba dvije nepoznanice.

• Za rješavanje jedne nepoznanice može se koristiti momentna jednadžba statičke ravnoteže oko točke C:

• U ovom problemu su zbog simetričnosti sile u štapovima jednake.

• U protivnom je preko momentne jednadžbe statičke ravnoteže oko točke C (II) trebalo izraziti jednu silu preko druge i dobiveni izraz uvrstiti u (I). Nakon što se izračuna jedna sila, ponovo se iz izraza (I) može izračunati i druga sila.

ZADATAK ZA VJEŽBU

1. PRIMJER18-2017: riješi primjenom Zakona kinetičke energije.

2. PRIMJER 17-2019: Ovaj zadatak se jednostavnije mogao riješiti koristeći rotacijsku jednadžbu gibanja oke neke proizvoljne točke. U tom slučaju se momentna jednadžba statičke ravnoteže mijenja s rotacijskom jednadžbom gibanja oko odabrane točke.

Riješi zadatak koristeći rotacijsku jednadžbu gibanja oko

točke D.

0CM

1,2 m 1,2 m

C

A B

m

a

D

0,4

m