Teildruck – Kopiervorlagen Lambacher Schweizer 8€¦ · Mathematik für Gymnasien Teildruck – Kopiervorlagen Die vollständige Sammlung ist im Digitalen Unterrichtsassistenten

Bundesland

8

Nordrhein-Westfalen

Lambacher SchweizerMathematik für Gymnasien

Teildruck – KopiervorlagenDie vollständige Sammlung ist im Digitalen Unterrichtsassistenten zu finden, ISBN 978-3-12-733484-5

Bildquellennachweis

U1.1 Masterfile Deutschland GmbH (Siephoto), Düsseldorf; U1.2 Corbis (JS Productions), Berlin

Sollte es in einem Einzelfall nicht gelungen sein, den korrekten Rechteinhaber ausfindig zu machen, so werden berechtigte Ansprüche selbstverständlich im Rahmen der üblichen Regelungen abgegolten.

1. Auflage 1 5 4 3 2 1

| 2023 22 21 20 19

Alle Drucke dieser Auflage sind unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden. Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr des Druckes.

Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis § 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Fotomechanische oder andere Wiedergabeverfahren nur mit Genehmigung des Verlages.

© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2019. Alle Rechte vorbehalten. www.klett.deDas vorliegende Material dient ausschließlich gemäß § 60b UrhG dem Einsatz im Unterricht an Schulen.

Autorinnen und Autoren: Matthias Grosche, Thomas Jörgens, Thorsten Jürgensen-Engl, Judith Lohmann, Dr. Wolfgang Riemer, Raphaela Sonntag, Heike Spielmans

Redaktion: Stephanie Aslanidis, Julia Malmbré, Heike ThümmlerHerstellung: Katja Schumann

Layout: Petra Michel, BambergUmschlaggestaltung: Petra Michel, BambergIllustrationen: imprint, ZusmarshausenSatz: imprint, Zusmarshausen

© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2019 | www.klett.de | Alle Rechte

vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen

Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.

Autor: Marc Zeller

S 1

I Lineare Funktionen, 1 Funktionen

Einstieg: Funktionen

1 Der abgebildete Graph beschreibt den Flug eines Hubschraubers. Dabei wird der Zeit x die Flughöhe y zugeordnet.

a) Ermittle mithilfe des Graphen in Fig. 1 die Flughöhe…

… nach 1 Minute: … nach 5 Minuten:

b) Ermittle mithilfe des Graphen in Fig. 1 die Zeit, bis der Hubschrauber

eine Höhe von 100 m erreicht hat.

Fig. 1

c) Begründe, dass der Graph in Fig. 2 für diese Situation nicht sinnvoll

ist.

Fig. 2

Merke:

1.) Wenn es bei einer Zuordnung zu jedem x-Wert genau einen y-Wert gibt, nennt man die Zuordnung eine

Funktion. 2.) Liegt der Punkt P (a| b) auf dem Graphen einer Funktion f, schreibt man dafür 𝐟 (𝐚) = 𝐛.

Das bedeutet, dass der Graph der Funktion f an der Stelle 𝐱 = 𝐚 den Funktionswert b annimmt.

2 Der Tankinhalt des Hubschraubers nimmt während des Flugs ab. Der Flugzeit x (in Minuten) wird der Tankinhalt f (x) (in Liter) zugeordnet.

a) Begründe, dass es sich hierbei um eine Funktion handelt.

b) Der Tankinhalt f (x) kann mit dem Funktionsterm f (x) = 600 − 4 x berechnet werden. Fülle die Tabelle

aus.

Flugzeit x (in min) 0 10 30 50 80 100

Tankinhalt f (x) (in l)

c) Trage die Werte aus Teilaufgabe b) in das Koor-

dinatensystem ein und zeichne damit den Graphen.

d) Bestimme f (40) und deute den Ausdruck im Kon-

text.




Autor: Marc Zeller

I Lineare Funktionen, 1 Funktionen Lösungen

Einstieg: Funktionen, S 1

1 a) nach 1 Minute: ca. 40 m; nach 5 Minuten: ca. 100 m b) nach ca. 2,5 min

c) Der Graph passt nicht, weil sich der Hubschrauber nicht an einem Zeitpunkt in zwei verschiedenen Höhen

befinden kann.

2 a) Ja, es handelt sich um eine Funktion, denn zu einer gegebenen Zeit existiert immer nur genau ein Tankinhalt.

b)

Flugzeit x (in min) 0 10 30 50 80 100

Tankinhalt f (x) (in l) 600 560 480 400 280 200

c)

d) f (40) = 440

Nach 40 Minuten sind noch 440 l im Tank.




Autor: Marc Zeller

S 2


Trainingsblatt

1 Abgebildet ist der Graph einer Funktion f. a) Ermittle mithilfe des Graphen folgende Werte.

f (− 1) = ; f (3) = .

b) Die Punkte P und Q liegen auf dem Graphen der

Funktion f. Vervollständige mithilfe des Schaubilds

die Koordinaten der beiden Punkte und notiere sie in

der Funktionenschreibweise wie in Teilaufgabe a).

P (5 | ),

Q ( | 7),

c) An welchen Stellen besitzt der Graph den Wert

3?

d) An welcher Stelle besitzt der Graph den größten

Funktionswert?

2 Gegeben ist die Funktion f. Fülle jeweils die Wertetabelle aus und zeichne damit den Graphen in

das Koordinatensystem.

a) f (x) =1

2 x + 2 b) f (x) = − x + 1

a) x − 2 − 1 0 1 2

y

b) x − 2 − 1 0 1 2

y

3 Der Graph von f beschreibt die Höhe einer Kerze, die zum Zeitpunkt x = 0 angezündet wurde.

a) Deute folgenden Ausdruck im Kontext: f (2) = 8

b) Begründe, warum der Ausdruck f (6) = − 2 in

diesem Kontext nicht sinnvoll ist.

c) Welche Funktion passt zur Situation?

A f (x) = − 2,5 x + 13 B f (x) = 2,5 x − 13

C f (x) = − 2,5 x − 13 D f (x) = − 13 x + 2,5




Autor: Marc Zeller


Trainingsblatt , S 2

1 a) f (− 1) = − 2; f (3) = 6 b) P (5 | − 𝟐); 𝐟 (𝟓) = − 𝟐 Q (𝟐 | 7); 𝐟 (𝟐) = 𝟕

c) An den Stellen x = 0 und x = 4 besitzt der Graph den Wert 3.

d) An der Stelle x = 2 besitzt der Graph den größten Wert.

2 a) f (x) =1

2 x + 2

x − 2 − 1 0 1 2

y 1 1,5 2 2,5 3

b) f (x) = − x + 1

x − 2 − 1 0 1 2

y 3 2 1 0 − 1

3 a) Nach 2 h Brenndauer ist die Kerze noch 8 cm hoch. b) Nach 6 h Brenndauer wäre die Kerze − 2 cm hoch, was nicht möglich ist.

c) f (x) = − 2,5 x + 13




Autoren: Heike Steinwand-Schatz, Marc Zeller S 3


Trainingsblatt

1 Welche Graphen gehören zu einer Funktion? Kreuze an.

2 Tom und sein Vater machen am Wochenende einen Ausflug. Sie fahren mit dem Fahrrad zu einem See und angeln.

a) Tom sagt: „Zuerst stieg die Straße an. Da bin ich wirklich Iangsam gefahren. Als es dann wieder bergab

ging war ich viel schneller. Am Schluss war die Straße eben. Nur an der Ietzten Linkskurve vor dem See

musste ich bremsen.‟ Welcher Graph passt zu seiner Aussage? Begründe.

b) Toms Vater sagt: „Bergauf bin ich immer noch schneller als mein Sohn. Oben auf dem Hügel habe ich auf

Tom gewartet. Bergab war es umgekehrt. Tom war vor mir am See. Um die Linkskurve vor dem See fahre ich

auch Iangsamer als Tom.“ Zeichne in das Koordinatensystem oben zu Toms Graph einen passenden Graphen

für die Fahrt von seinem Vater ein.

3 Zeichne im Heft mindestens drei verschiedene Rechtecke, die alle einen Umfang von 20 cm haben.

a) Notiere in der Tabelle mögliche Längen der

Grundseite x. Die Länge der benachbarten Seite ist

damit auch festgelegt. Trage nun den jeweiligen

Flächeninhalt y des Rechtecks in die Tabelle ein.

Länge x der

Grundseite (in cm)

Flächeninhalt y des

Rechtecks (in cm2)

b) Zeichne den zugehörigen Graphen mithilfe der

Wertetabelle aus Teilaufgabe a).

c) Welche Längen der Grundseite sind möglich,

welche nicht?




Autoren: Heike Steinwand-Schatz, Marc Zeller



1 Funktion; keine Funktion; Funktion; keine Funktion

2 a) Graph 1 passt am besten. Bei Graph 2 steigt die Geschwindigkeit zu lange an und er wird über längere Zeit wieder langsamer. Graph 3 hat einen Zeitpunkt, an dem man mehrere Geschwindigkeiten gleichzeitig

ablesen kann. Das ist unmöglich.

b)

3 individuelle Lösung, zum Beispiel: a)

Länge x der Grundseite (in cm) 1 2 3 4 5 6 7

Flächeninhalt y des Rechtecks (in cm2) 9 16 21 24 25 24 21

b)

c) Es sind nur positive Längen von weniger als 10 cm möglich. Längen von 10 cm und größer sind ebenso

wenig möglich wie negative.





Illustratorin: Dorothee Wolters, Köln S 4

I Lineare Funktionen, 2 Funktionen mit der Gleichung y = m ⋅ x

Einstieg: Funktionen mit der Gleichung 𝐲 = 𝐦 ⋅ 𝐱

1 100 g „Süße Mischung‟ kosten 1,10 €. Dem Gewicht x wird der Preis y zugeordnet.

a) Fülle die Wertetabelle aus und berechne den

Quotienten Preis : Gewicht.

Gewicht x (in g) 50 100 200 300 500

Preis y (in €)

Quotient yx

(in €g

)

Was fällt dir auf?

b) Welche Funktionsgleichung passt? A f (x) = 1,10 ⋅ x B f (x) = 0,011 ⋅ x C f (x) = 0,55 ⋅ x

2 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 2 x sowie deren Graph.

a) Gib die fehlenden Werte in der Wertetabelle an.

x 0 1 2 3 4

y

b) Beschreibe, wie sich der y-Wert ändert, wenn

sich der x-Wert um 1 erhöht.

c) Zeichne am Graphen von g drei Steigungsdrei-

ecke ein und gib die Funktionsgleichung von g an.

d) Erkläre, wie man ohne Schaubild an der Werte-

tabelle die Steigung der Geraden ablesen kann.

e) Zeichne den Graphen der Funktion h (x) = − 2 x mithilfe eines Steigungsdreiecks in das vorhandene

Koordinatensystem ein.

3 Vervollständige den Merksatz.

Alle Graphen einer Funktion f mit der Funktionsgleichung 𝐲 = 𝐦 ⋅ 𝐱 verlaufen durch den Punkt P ( | ).

Die Zahl m gibt die an. Diese gibt an, wie sich der y-Wert ändert, wenn der x-Wert

um Einheit zunimmt.

4 Die Wertetabelle gehört zu einer Funktion f. Beschreibe im Heft, wie sich der y-Wert ändert, wenn

sich der x-Wert um eins erhöht und gib die Funktions-

gleichung an.

x 0 1 2 3

y 0 1,5 3 4,5





I Lineare Funktionen, 2 Funktionen mit der Gleichung y = m ⋅ x Lösungen

Einstieg: Funktionen mit der Gleichung 𝐲 = 𝐦 ⋅ 𝐱, S 4

1 a) Gewicht x (in g) 50 100 200 300 500

Preis y (in €) 0,55 1,10 2,20 3,30 5,5

Quotient yx (in

€

g) 0,011 0,011 0,011 0,011 0,011

Der Quotient y

x bleibt gleich.

b) B: f (x) = 0,011 ∙ x

2 a) x 0 1 2 3 4

y 0 2 4 6 8

b) Der y-Wert erhöht sich in jedem Schritt um 2.

c) g (x) = 0,5 x

d) Erhöht sich der x-Wert um 1, so gibt die Erhö-

hung des y-Werts die Steigung an.

e) siehe Schaubild

3 Alle Graphen einer Funktion f mit der Funktions-gleichung 𝐲 = 𝐦 ⋅ 𝐱 verlaufen durch den Punkt

P (𝟎 | 𝟎).

Die Zahl m gibt die Steigung an. Diese gibt an, wie

sich der y-Wert ändert, wenn der x-Wert um eine

Einheit zunimmt.

4 Der y-Wert erhöht sich in jedem Schritt um 1,5. f (x) = 1,5 x




Autor: Marc Zeller S 5


Trainingsblatt

1 Gegeben sind die Graphen der Funktionen f, g, h und k.

a) Zeichne jeweils ein Steigungsdreieck ein und lies

die Steigung m ab.

b) Gib die Funktionsgleichungen der Ursprungs-

geraden f, g, h und k an.

f: m = ; f (x) =

g: m = ; g (x) =

h: m = ; h (x) =

k: m = ; k (x) =

2 Bestimme mithilfe der Wertetabelle die Funktionsgleichung der Form f (x) = m ⋅ x und zeichne den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein.

a) f (x) =

x −1 0 1 2

y 0 2,5 5

b) f (x) =

x −1 0 1 2

y −3 0

c) f (x) =

x −1 0 1 2

y 1,5 −1,5

3 a) Zeichne die Geraden f, g und h in das Koordinatensystem ein.

f (x) = 0,5 x; g (x) =3

2 x; h (x) = −

7

4 x

b) Prüfe rechnerisch, ob die Punkte P, Q, R und S

auf einem der Graphen in Teilaufgabe a) liegen.

P (12 |6); Q (24|−42); R (18 |25); S (12 |18)




Autor: Marc Zeller



1 f (x) = 3 x; m = 3 g (x) = x; m = 1

h (x) = − 0,5 x; m = − 0,5

k (x) = − 2 x; m = − 2

2 a) f (x) = 2,5 x

x −1 0 1 2

y −2,5 0 2,5 5

b) f (x) = 3 x

x −1 0 1 2

y −3 0 3 6

c) f (x) = − 1,5 x

x −1 0 1 2

y 1,5 0 −1,5 −3

3 a) siehe Abb. rechts b) Der Punkt P liegt auf f, der Punkt Q liegt auf h

und Punkt S liegt auf g.

Punkt R liegt auf keiner der drei Geraden.




Autor: Marc Zeller

S 6


Trainingsblatt

1 Die Wertetabelle gehört zu einer Funktion, deren Graph eine Ursprungsgerade ist. Gib die Funktionsgleichung an und fülle die Lücken in der Wertetabelle.

a) b)

x 2 4 6 8

y 24

x 5 10 15 20

y − 70

f (x) = f (x) =

2 Überprüfe rechnerisch, welche der Geraden g, h und k durch den Ursprung verlaufen.

3 Gezeichnet ist der Graph der Funktion

f (x) = − 2

3 x.

a) Spiegelt man die Gerade an der x-Achse, erhält

man den Graphen der Funktion g. Gib die Funktions-

gleichung der Geraden g an. g (x) =

b) Die Gerade h schneidet die Gerade der Funk-

tion g rechtwinklig im Ursprung. Gib die Funktions-

gleichung der Geraden h an. h (x) =

c) Finde heraus, welcher Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Funktionen gelten muss, damit

folgende Merksätze erfüllt sind. Vervollständige die Merksätze.

I) Die Geraden zweier Funktionen f (x) = m1 ⋅ x und g (x) = m2 ⋅ x liegen symmetrisch zur x-Achse,

wenn für die Steigungen gilt: .

II) Die Geraden zweier Funktionen f (x) = m1 ⋅ x und g (x) = m2 ⋅ x liegen symmetrisch zur y-Achse,

wenn für die Steigungen gilt: .

III) Die Geraden zweier Funktionen f (x) = m1 ⋅ x und g (x) = m2 ⋅ x schneiden sich rechtwinklig im

Ursprung, wenn für die Steigungen gilt: .




Autor: Marc Zeller



1 a) b) x 2 4 6 8

y 12 24 36 48

x 5 10 15 20

y − 17,5 − 35 − 52,5 − 70

f (x) = 6 x f (x) = − 3,5 x

2 Die Ursprungsgerade durch R (18 | 210) hat die Gleichung f (x) =35

3 x. Mit der Punktprobe lässt sich

nachweisen, dass der Punkt S auch auf dem Graphen von f liegt. Die Gerade ist eine Ursprungsgerade.

Die Ursprungsgerade durch P (50 | 225) hat die Gleichung g (x) = 4,5 x. Da der Punkt Q nicht auf dem Gra-

phen der Funktion g liegt ist die Gerade durch P und Q keine Ursprungsgerade.

Die Gerade h ist eine Ursprungsgerade, dessen Funktionsgleichung h (x) = 0,25 x ist.

3 a) g (x) =2

3 x

b) h (x) = −3

2 x

c) I) Die Geraden zweier Funktionen f (x) = m1 ⋅ x und g (x) = m2 ⋅ x liegen symmetrisch zur x-Achse,

wenn für die Steigungen gilt: 𝐦𝟏 = − 𝐦𝟐.

II) Die Geraden zweier Funktionen f (x) = m1 ⋅ x und g (x) = m2 ⋅ x liegen symmetrisch zur y-Achse, wenn

für die Steigungen gilt: 𝐦𝟏 = − 𝐦𝟐.

III) Die Geraden zweier Funktionen f (x) = m1 ⋅ x und g (x) = m2 ⋅ x schneiden sich rechtwinklig im Ursprung,

wenn für die Steigungen gilt: 𝐦𝟏 = − 𝟏

𝐦𝟐.




Autor: Sven Rempe

S 7

I Lineare Funktionen, 3 Die Funktionsgleichung verstehen

Einstieg: Die Funktionsgleichung verstehen

1 Ein Lastwagenanhänger wird mit Kies beladen. Dabei wiegt 1 m3 Kies 1,5 Tonnen. Fülle die Tabellen aus. a) Situation 1: Dem Kiesvolumen wird seine Masse zugeordnet.

x: Volumen (in m3) 0 1 2 3 4 5

y: Masse (in t)

Funktionsgleichung aus Situation 1: f (x) =

b) Situation 2: Dem Kiesvolumen wird die Masse des beladenen Anhängers (Anhänger samt Kies)

zugeordnet, wobei der Anhänger eine Masse von 2 t hat.

x: Volumen (in m3) 0 1 2 3 4 5

y: Gesamtmasse (in t)

c) Zeichne die Graphen aus den Situationen 1 und 2 in das

Koordinatensystem.

d) Nenne Gemeinsamkeiten der beiden Graphen.

e) Nenne Unterschiede der beiden Graphen.

f) Wie geht der Graph aus Situation 2 aus dem Graphen der Situation

1 hervor?

g) Findest du für Situation 2 eine Funktionsgleichung?

g (x) =

Merke:

Die Funktion aus Situation 2 ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung 𝐟 (𝐱) = 𝐦 ⋅ 𝐱 + 𝐭.

Ihr Graph ist eine Gerade, die die y-Achse im Punkt 𝐏 ( | ) schneidet. Sie hat die Steigung

m = . Den y-Wert von P nennt man y-Achsenabschnitt der Geraden.

2 a) Was ändert sich an der Funktionsgleichung, wenn der Anhänger nun 3 t wiegt?

b) Wie ändert sich der Graph?

c) Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn nun Sand mit einer Masse von 1,3 Tonnen pro m3 auf einen

Anhänger der Masse 3 t geladen wird?




Autor: Sven Rempe

I Lineare Funktionen, 3 Die Funktionsgleichung verstehen Lösungen

Einstieg: Die Funktionsgleichung verstehen, S 7

1 a)

x: Volumen (in m3) 0 1 2 3 4 5

y: Masse (in t) 0 1,5 3 4,5 6 7,5

f (x) = 1,5 x

b)

x: Volumen (in m3) 0 1 2 3 4 5

y: Gesamtmasse (in t) 2 3,5 5 6,5 8 9,5

c) siehe Abbildung rechts

d) Die beiden Graphen verlaufen parallel. Sie haben die gleiche

Steigung.

e) Die beiden Graphen haben nicht den gleichen y-Achsenabschnitt.

f) Graph 2 ist gegenüber dem Graphen 1 um zwei Einheiten nach

oben verschoben.

g) g (x) = 1,5 x + 2

Merke: Steigung m = 𝟏, 𝟓; Punkt P (𝟎|𝟐).

2 a) Der y-Achsenabschnitt beträgt nun 3. b) Der Graph wird nun um eine weitere Einheit nach oben verschoben.

c) g (x) = 1,3 x + 3




Autorin: Heike Steinwand-Schatz

S 8


Trainingsblatt

1 Jede Zeile stellt eine lineare Funktion auf drei verschiedene Arten (mit Tabelle, mit einer Funktions-gleichung und durch den Graphen) dar. Fülle die Lücken aus.

Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du dir die entsprechende Hilfe (vgl. S 9) holen.

Tabelle Funktionsgleichung Graph

a) x − 2 − 1 0 1 2

y − 3 − 1 1 3 5

y = 2 x + 1

Hilfe 2

Hilfe 1

b) x − 2 − 1 0 1 2

y − 1 2

y =

Hilfe 2 Hilfe 3 Hilfe 1

c) x − 2 − 1 0 1 2

y 3 0

y =

Hilfe 4 Hilfe 4 Hilfe 4

d) x − 2 − 1 0 1 2

y

y = −2 x − 3

Hilfe 5

e) x − 2 − 1 0 1 2

y

und

x − 2 − 1 0 1 2

y

y =

(gepunktete Linie)

und

y =

(durchgezogene Linie)

Erkennst du eine Symmetrie? Hilfe 6 Hilfe 6





S 9


Trainingsblatt − Hilfekarten

Knicke an den gestichelten Linien und falte von rechts zweimal. Schneide an den dicken Linien durch. Jede

Hilfe kann nun stufenweise aufgefaltet werden.

Hilfe 1 Bestimme den

y-Achsenabschnitt c

und die Steigung m.

c kannst du in der

Tabelle ablesen. (Wo?)

Um wie viel ändern sich

(steigen) die y-Werte,

wenn man x um 1

erhöht?

Die Funktionsgleichung

lautet y = m · x + c.

c ist der y-Wert von

x = 0.

c + m ist der y-Wert

von x = 1.

Hilfe 2 Zeichne die Punkte

P (x | y) ins Koordinaten-

system und verbinde sie.

Aus

x − 2

y − 3

wird der Punkt

P (−2 |−3).

Das Schaubild ist eine

Gerade.

Sollten die Punkte nicht

auf einer Geraden lie-

gen, musst du den Feh-

ler suchen.

Zeichne mindestens

zwei Punkte ein und

verbinde sie.

weitere Tipps:

1. Die Gerade muss

durch den Punkt P (0 | c)

gehen.

2. Nimm zum Zeichnen

zwei Punkte, die weit

voneinander entfernt

sind. Das erhöht die

Genauigkeit.

Hilfe 3 Lies c ab.

(Wo sieht man den

y-Achsenabschnitt?)

Bestimme dann m (die

Steigung der Geraden).

Um wie viel ändert sich

(steigt) der y-Wert, wenn

man x um 1 erhöht?

Du findest c + m immer

als y-Wert zum x-Wert 1.

Schreibe die Funktions-

gleichung der Funktion

auf und berechne damit

die anderen Werte.

weitere Tipps:

Wenn der x-Wert um 1

größer wird, wird der

y-Wert um m größer.

Hilfe 4 Bestimme m.

Welcher y-Wert wird

dem x-Wert 0 zuge-

ordnet?

Um wie viel ändert sich

m, wenn x um 3 (um 1)

erhöht wird?

m kann auch negativ

sein.

Der Graph ist immer

noch eine Gerade durch

P (0 | c), nur „fällt“ sie,

wenn m negativ ist, d. h.

wenn der x-Wert um 1

größer wird, wird der

y-Wert kleiner.

weitere Tipps:

Du musst nur zwei

Punkte kennen, um den

Graphen zeichnen zu

können.

Hilfe 5 Setze in der Funktions-

gleichung für x die

Werte der Tabelle ein,

berechne das Ergebnis

und trage es bei y ein.

Überlege dir, wie der

Graph für m = −2

verlaufen muss.

Welche Punkte kannst

du mit m = −2 und

c = −3 direkt angeben?

Zeichne die Punkte ein.

Liegen sie auf einer

Geraden?

Wenn nein, suche den

Fehler.

(Du musst mit negativen

Zahlen rechnen.

Denke daran

− 2 − 3 = −5)

Hilfe 6 Lies c ab.

(Wo sieht man den y-

Achsenabschnitt?)

Bestimme m mit dem

Steigungsdreieck.

Du kannst auch m + c

bei x = 1 ablesen.

Überlege: Ist die

Steigung positiv oder

negativ?

Die Tabelleneinträge

kannst du direkt aus den

Punkten am Graph

ablesen oder mit der

Funktionsgleichung

berechnen.






Trainingsblatt , S 8 und S 9

Tabelle Funktionsgleichung Graph

a) x − 2 − 1 0 1 2

y − 3 − 1 1 3 5

y = 2 x + 1

b) x − 2 − 1 0 1 2

y − 7 − 4 − 1 2 5

y = 𝟑𝐱 − 𝟏

c) x − 2 − 1 0 1 2

y 3 2 1 0 − 1

y = − 𝐱 + 𝟏

d) x − 2 − 1 0 1 2

y 1 − 1 − 3 − 5 − 7

y = − 2 x − 3

e) x − 2 − 1 0 1 2

y 8 5 2 − 1 − 4

und

x − 2 − 1 0 1 2

y − 8 − 5 − 2 1 4

y = −𝟑 𝐱 + 𝟐

(gepunktete Linie) und

y = 𝟑 𝐱 − 𝟐

(durchgezogene Linie)

Die Graphen sind achsensymmetrisch zur

x-Achse und zur Geraden mit der Gleichung

x =23




Autoren: Sven Rempe, Heike Steinwand-Schatz S 10


Trainingsblatt

Ein Netzbetreiber bietet verschiedene Telefonie-Tarife an.

Tarif I (Prepaid)

Grundgebühr: 0 €, Minute: 8 ct

Tarif II (Telefonie-Spaß)

Grundgebühr: 7,00 €, Minute: 3 ct

Tarif III (200 – fun)

Grundgebühr: 13,00 €

200 Minuten inklusive, dann

jede Minute 2 ct

1 a) Wie hoch ist bei diesen Tarifen die Monatsrechnung? Fülle die Tabelle aus.

Telefonzeit pro Monat (in Minuten) 50 125 150 200

Preis Tarif I (in €)

Preis Tarif II (in €)

Preis Tarif III (in €)

b) Zeichne die Graphen zu den Tarifen I, II und III

(bis 200 Minuten) ins Koordinatensystem ein.

c) Gib für die Tarife die Funktionsgleichungen an. x

gibt dabei die Telefonzeit in Minuten an und y die

Kosten in €.

Tarif I: y =

Tarif II: y =

Tarif III (bis 200 Minuten) y =

2 a) Sabrina telefoniert nicht mehr als 100 Minuten im Monat. Welcher Tarif ist für sie am günstigsten?

b) Beschreibe, wie Sabrina mithilfe der Graphen herausfinden kann, bei wie vielen Minuten Telefonzeit

welcher Tarif am günstigsten ist?

c) Bestimme, welcher Tarif für 300 Minuten Telefonzeit im Monat am günstigsten ist.

3 Für den Tarif III gilt ab 200 Minuten die Funktionsgleichung y = 0,02 ⋅ (x − 200) + 13. Erläutere die Bedeutung…

… des Faktors 0,02:

... des Summanden 13:

… von (x − 200):




Autoren: Sven Rempe, Heike Steinwand-Schatz



1 a)

Telefonzeit pro Monat (in Minuten) 50 125 150 200

Preis Tarif I (in €) 4,00 10,00 12,00 16,00

Preis Tarif II (in €) 8,50 10,75 11,50 13,00

Preis Tarif III (in €) 13,00 13,00 13,00 13,00

b) siehe Abbildung rechts

c) Tarif I: y = 0,08 x,

Tarif II: y = 0,03 x + 7,

Tarif III: y = 13

2 a) Tarif I b) Derjenige Tarif ist am günstigsten, dessen Graph

für eine bestimmte Zeit x unterhalb aller anderen

Graphen verläuft.

c) Tarif I: 24,00 €, Tarif II: 16,00 €, Tarif III: 15,00 €

3 Die Bedeutung des Faktors 0,02: Preis in € pro Minute Telefonzeit

Die Bedeutung des Summanden 13: Grundgebühr

in €

Die Bedeutung von (x − 200): Telefonzeit abzüg-

lich der 200 Minuten, die in der Grundgebühr

enthalten sind.




Autor: Sven Rempe S 11

I Lineare Funktionen, 4 Funktionsgleichungen bestimmen

Einstieg: Funktionsgleichungen bestimmen

1 a) Begründe, dass die gezeichnete Gerade die Gleichung

f (x) =1

2 x + 2 hat.

b) Die Punkte A (1 | 2,5) und B (2 | 3) liegen auf f.

Zeichne zwischen A und B das Steigungsdreieck ein und erkläre, wie du

daran ablesen kannst, dass die Steigung der Geraden 1

2 beträgt.

c) C hat die Koordinaten (4 | 4). Auch am Steigungsdreieck zwischen A und C kann man ablesen, dass die

Steigung der Geraden 1

2 beträgt. Erkläre, woran man dies erkennt.

d) Die Punkte D (− 2 | 1) und E (8 | 6) liegen ebenfalls auf f. Wie kann man ohne D und E ins

Koordinatensystem einzutragen, nur mithilfe deren Koordinaten, die Steigung der Geraden berechnen?

Vervollständige den Merksatz:

Verläuft eine Gerade g durch die Punkte A (xA | yA) und B (xB | yB), so berechnet man die Steigung m dieser

Geraden mit der Formel m =

.

2 Die Punkte P und Q liegen auf einer Geraden. Berechne für jedes Punktepaar die Steigung der Geraden durch P und Q an.

a) P (0 | 5), Q (1 | 7); m = b) P (1 | 5), Q (3 | 7); m =

c) P (2 | 5), Q (4 | 1); m = d) P (−2 | −3), Q (1 | 0); m =

3 Angenommen, wir kennen von der Geraden mit f (x) = m ∙ x + b deren Steigung m =1

2 und wissen, dass

der Punkt E (8 | 6) auf ihr liegt. Dann lässt sich der y-Achsenabschnitt b berechnen, indem man die Koordinaten

von E einsetzt und die entstehende Gleichung nach b auflöst:

f (x) =1

2∙ x + b ⇒ 6 =

1

2∙ ______ + b ⇒ 6 = ______ + b ⇒ b = ________ Also gilt: f (x) =

4 Bestimme den y-Achsenabschnitt der Geraden f, auf der Q (8 | 4) liegt.

a) f (x) = 2 ∙ x + b ⇒ 4 = 2 ∙ ______ + b ⇒ b = ________

b) f (x) =1

4 ∙ x + b ⇒ ______ =

1

4∙ ______ + b ⇒ b = ________

c) f (x) = − 3 ∙ x + b ⇒ ______ = _______ ∙ ______ + b ⇒ b = ________

5 Bestimme die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b einer Geraden, die durch die Punkte A (2 | 4) und B (4 | −8) verläuft in deinem Heft und gib die Gleichung dieser Geraden an.




Autor: Sven Rempe

I Lineare Funktionen, 4 Funktionsgleichungen bestimmen Lösungen

Einstieg: Funktionsgleichungen bestimmen, S 11

1 a) Die Steigung beträgt 0,5 und an der Stelle x = 0 beträgt y = 2. b) Der x-Wert erhöht sich um 1 und der y-Wert um 0,5, also beträgt die Steigung 0,5.

c) Gegenüber dem vorigen Steigungsdreieck erhöht sich der x-Wert auf 3, dementsprechend der y-Wert um 3

mal 0,5.

d) m =yE − yDxE − xD

=6 − 1

8 − (− 2)=

5

10= 0,5

Verläuft eine Gerade g durch die Punkte A (xA | yA) und B (xB | yB), so berechnet man die Steigung m dieser

Geraden mit der Formel 𝐦 =𝐲𝐁 − 𝐲𝐀𝐱𝐁 − 𝐱𝐀

.

2 a) m = 2 b) m = 1 c) m = − 2 d) m = 1

3 6 =1

2∙ 𝟖 + b ⇒ 6 = 𝟒 + b ⇒ b = 𝟐; also gilt: f (x) =

𝟏

𝟐𝐱 + 𝟐

4 a) 4 = 2 ∙ 8 + b ⇒ b = −12 b) 4 =1

4∙ 8 + b ⇒ b = 2

c) 4 = −3 ∙ 8 + b ⇒ b = 28

5 m =− 8 − 4

4 − 2= −6, y = − 6 x + b ⇒ 4 = − 6 ∙ 2 + b ⇒ b = 16, y = − 6 x + 16




Autor: Sven Rempe

S 12


Trainingsblatt

1 Bestimme die Steigung der Geraden g durch die Punkte P und Q.

a) P (2 | 1), Q (6 | 4): m = = b) P (1 | −2), Q (5 | 5): m = =

c) P (−1 | 5), Q (1,5 | 10): m = = d) P (−5 | 2), Q (−2 | 4): m = =

e) P (2 | 1), Q (6 | −4): m = = f) P (1 | −2), Q (5 | −5): m = =

g) P (−1 | 5), Q (1,5 | −10): m = = h) P (−5 | 2), Q (−2 | −4): m = =

2 Lies die Koordinaten von jeweils zwei Punkten der gezeichneten Geraden ab und bestimme damit die Steigung der Geraden. Überprüfe mithilfe eines Steigungsdreiecks.

Gerade g:

Koordinaten der abgelesenen Punkte:

( | ) und ( | )

berechnete Steigung: m =

Gerade h:


( | ) und ( | )


Gerade k:


( | ) und ( | )


3 Der Punkt A liegt auf der Geraden g. Bestimme den y-Achsenabschnitt c.

a) g (x) = 2 x + c, A (3 | 5)

b) g (x) = − x + c, A (−3 | 5)

c) g (x) =2

3 x + c, A (6 | −4)

4 Die beiden Punkte A und B liegen auf der Geraden g. Ordne ihnen die passenden Steigungen und Geradengleichungen zu.

a) A (3 | 0), B (5 | 4) b) A (−3 | 2), B (−6 | 0) c) A (4 | −5), B (−2 | 1) d) A (7 | −9), B (10 | −15)

e) A (5 | −4), B (−13 | 14) f) A (1,5 | 3), B (4,5 | 3) g) A (−6 | −18), B (11 | 16) h) A (−6 | 7), B (−4 | 5)

A) m = 0 B) m = 2 C) m = −2 D) m = 3

E) m =2

3 F) m = − 1 G) m = − 2,5 H) m = 1,5

1) y = − x − 1 2) y = − 2 x + 5 3) y =2

3 x + 4 4) y = − x + 1

5) y = 3 6) y =2

3− 3 7) y = 2 x − 6 8) y = 0 ∙ x + 3

Zusammen gehören:




Autor: Sven Rempe



1 a) m =4 − 1

6 − 2=

3

4 b) m =

5 − (− 2)

5 − 1=

7

4 c) m =

10 − 5

1,5 − (− 1)=

5

2,5= 2

d) m =4 − 2

− 2 − (− 5)=

2

3 e) m =

−4 − 1

6 − 2=

−5

4 f) m =

− 5 − (− 2)

5 − 1=

− 3

4

g) m =− 10 − 5

1,5 − (− 1)=

− 15

2,5= − 6 h) m =

− 4 − 2

− 2 − (− 5)=

− 6

3= − 2

2 Gerade g: Koordinaten der abgelesenen Punkte: (3 | 2) und (2 | 0), m = 2 Gerade h: Koordinaten der abgelesenen Punkte: (0 | 3) und (6 | 0), m = − 0,5

Gerade k: Koordinaten der abgelesenen Punkte: (−2 | 0) und (0 | 2), m = 1

3 a) 5 = 2 ⋅ 3 + c ⇒ c = − 1 b) 5 = − (− 3) + c ⇒ c = 2 c) − 4 =2

3 ⋅ 6 + c ⇒ c = − 8

4 zusammen gehören: a) B) 7), b) E) 3), c) F) 1), d) C) 2), e) F) 4), f) A) 5), g) B) 7), h) F) 4)




Autor: Sven Rempe

S 13


Trainingsblatt

1 Der Punkt A liegt auf der Geraden g. Berechne die Steigung der Geraden und damit die fehlende Koordinate des Punktes B, der ebenfalls auf g liegt.

a) g (x) = m ⋅ x + 3, A (2 | 5), B (3 | y)

b) g (x) = m ⋅ x − 5, A (−2 | 5), B (x | 0)

c) g (x) = m ⋅ x + 1, A (1 | 4), B (x | 0)

d) g (x) = m ⋅ x − 2, A (3 | 4), B (−4 | y)

2 Untersuche rechnerisch, ob die angegebenen Punkte allesamt auf der gleichen Geraden liegen können.

a) A (3|6), B (−3 | 2), C (−6 | 0), D (9 | 9) ja nein

b) A (3 | −2,5), B (6 | −3), C (0 | −2), D (−12 | 0) ja nein

c) A (4 | 2), B (16 | −7), C (−8 | 10), D (−2 | 3,5) ja nein

d) A (9 | 12), B (−9 | 10), C (3 |34

3), D (−3 |

32

3) ja nein

3 Prüfe, ohne zu zeichnen, ob es eine solche Gerade geben kann.

a) Eine Gerade, deren y-Achsenabschnitt 4 beträgt, verläuft durch die Punkte A (3 | 2) und

B (−2 | 5). ja nein

b) Eine Gerade mit Steigung 4

3 verläuft durch den Punkt P (3 | 2) und hat den

y-Achsenabschnitt − 2. ja nein

c) Die Punkte R (−9 | 4) und Q (3 | −16) liegen auf einer Geraden mit y-Achsenabschnitt

− 11. ja nein

Platz für Nebenrechnungen

4 Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug, bei dem es seine Flughöhe gleichmäßig verringert. Eine Minute nach Beginn des Landeanflugs befindet es sich in 9 km Höhe, nach weiteren 1,5 Minuten noch in 7,2 km Höhe.

Die Gerade g mit g (x) = m ∙ x + b beschreibt die Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit x.

a) Trage in die Wertetabelle die Daten aus dem Text ein:

Zeit x nach Beginn des Landeanflugs (in Minuten)

Flughöhe g (x) (in km)

b) Bestimme eine Gleichung von g.

c) In welcher Höhe hat der Landeanflug begonnen?

d) 5 Minuten nach Beginn des Landeanflugs befindet sich das Flugzeug in 2 km Höhe. Untersuche, ob die

Sinkgeschwindigkeit des Flugzeugs zugenommen oder abgenommen hat.




Autor: Sven Rempe



1 a) 5 = 2 m + 3 ⇒ m = 1 ⇒ y = 6 b) 5 = − 2 m − 5 ⇒ m = − 5 ⇒ x = − 1

c) 4 = m + 1 ⇒ m = 3 ⇒ x = −1

3 d) 4 = 3 m − 2 ⇒ m = 2 ⇒ y = − 10

2 a) Die Gerade durch A und B hat die Gleichung y =2

3x + 4, C liegt auf der Geraden, D nicht.

b) Die Gerade durch A und B hat die Gleichung y = −1

6x − 2, C und D liegen auf der Geraden.

c) Die Gerade durch A und B hat die Gleichung y = −3

4x + 5, C und D liegen nicht auf der Geraden.

d) Die Gerade durch A und B hat die Gleichung y =1

9x + 11, C und D liegen auf der Geraden.

3 a) Nein: Die Gerade durch den Punkt B hat die Steigung −1

2. Die Geradengleichung lautet y = −

1

2x + 4.

A liegt nicht auf dieser Geraden.

b) Ja: P liegt auf der Geraden y =4

3x − 2.

c) Ja: Die Gerade durch den Punkt R hat die Steigung −5

3. Die Geradengleichung lautet y = −

5

3x − 11.

Q liegt auf dieser Geraden.

4 a)

Zeit x nach Beginn des Landeanflugs (in Minuten) 1 2,5

Flughöhe g (x) (in km) 9 7,2

b) m =7,2 − 9

2,5 − 1= −

6

5, y = −

6

5x +

51

5

c) In 10,2 km Höhe.

d) x = 5: y = 4,2. Das Flugzeug hat also irgendwann seine Sinkgeschwindigkeit vergrößert.





Illustratorin: Dorothee Wolters, Köln

S 14


Extra: Pokaljagd – Wer sammelt die meisten Trophäen?

Hier sind lineare Funktionen oder ihre Graphen mit Worten beschrieben. Stelle dir jeweils den Graphen im Kopf

vor und gib die Funktionsgleichung der Funktion an. Du kannst die Graphen auch rechts skizzieren.

1 Bestimme die Gleichung der Geraden mit der Steigung 11, die durch den Punkt (2 | 13) geht.

2 Bestimme die Gleichung der Geraden mit der Steigung − 1, die durch den Punkt P (−3 | 3,5) geht.

3 Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P (−1 | 2) und Q (3 | 14) geht.

4 Liegen die Punkte A (−4 | 7), B (1 | 15) und C (16 | −1) auf einer Geraden? Wenn ja, gib ihre

Gleichung an. Wenn nein, begründe warum nicht.

5 Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung y = 3 x − 6. Gib die Gleichung der Geraden an,

die parallel dazu ist und durch den Punkt P (0 | 2)

verläuft.

6 Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = 4 x − 8. Gib die Gleichung der Geraden an,

die die y-Achse im gleichen Punkt schneidet, aber

in gleichem Maße fällt wie g steigt.

7 Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = −1,5 x − 3. Gib die Gleichung der Geraden

an, die die x-Achse im gleichen Punkt schneidet,

aber in gleichem Maße steigt wie g fällt.

8 Die Punkte A (a | 4) und B (−2 | −5) liegen auf einer Geraden mit der Steigung

34. Bestimme a und die

Gleichung der Geraden.






Extra: Pokaljagd – Wer sammelt die meisten Trophäen?, S 14

1 y = 11 x − 9

2 y = − x + 0,5

3 y = 3 x + 5

4 Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Die Gerade durch A und B hat eine positive Steigung, die durch B und C eine negative.

5 y = 3 x + 2

6 y = − 4 x − 8

7 y = 1,5 x + 3

8 a = 10; y =3

4x − 3,5




Autor: Sven Rempe

S 15

I Lineare Funktionen, 5 Nullstellen und Schnittpunkte

Einstieg: Nullstellen und Schnittpunkte

1 Jan hat sich in einem Zoogeschäft Fische ge-kauft, die er in einer wassergefüllten Tüte nach Hau-

se transportiert. Dummerweise hat die Tüte ein Loch,

sodass gleichmäßig Wasser ausläuft. Die Wasser-

menge nimmt gemäß f (x) = − 0,1 x + 3 ab. Dabei

wird x in Minuten gemessen und f (x) in Litern.

a) Wie viele Liter Wasser sind zu Beginn in der

Tüte?

b) Wie viel Wasser läuft in einer Minute aus?

c) Zeichne den Graphen dieser Funktion.

d) Bestimme zeichnerisch, nach wie vielen Minuten

die Tüte kein Wasser mehr enthält.

e) Welche Koordinaten hat der Punkt, der beschreibt, wann die Tüte leer ist?

Die Stelle, an der der Graph der Funktion die x-Achse schneidet heißt Nullstelle. Um die Nullstelle zu be-

stimmen wird die Stelle xn gesucht, an der der y-Wert Null ist:

Ansatz: 𝐲 = 𝟎: − 0,1 x + 3 = 0 | − 3

− 0,1 x = − 3 | ∶ (− 0,1)

x = 30, d. h. f (30) = 0

2 Berechne die Nullstellen der linearen Funktionen. a) f (x) = 2 x + 3 b) f (x) = −2 x + 3 c) f (x) = 5 x − 4

y = 0 ∶ 2 x + 3 = 0

3 Die beiden Geraden mit f (x) = 2 x − 1 und g (x) = − x + 2 verlaufen nicht parallel, sie haben also einen gemeinsamen Punkt, den man Schnittpunkt

nennt. Der Schnittpunkt liegt an der Stelle x, an der f (x) mit g (x) übereinstimmt:

2 x − 1 = − x + 2.

a) Löse diese Gleichung schrittweise im rechten Kasten.

b) Bestimme den y-Wert des Schnittpunktes S und gib dessen Koordinaten an.

2 x − 1 = − x + 2 | + x

= | + 1

= | ∶ 3

x =

c) Begründe, warum es keine Rolle spielt, ob der y-Wert des Schnittpunktes mit f (x) oder mit g (x) berechnet

wird.

4 Bestimme in deinem Heft die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden f (x) = 2 x − 1 und g (x) = −2 x + 1 wie in Aufgabe 3.




Autor: Sven Rempe

I Lineare Funktionen, 5 Nullstellen und Schnittpunkte Lösungen

Einstieg: Nullstellen und Schnittpunkte, S 15

1 a) 3 Liter b) 0,1 Liter c) siehe Abbildung

d) Nach 30 Minuten ist die Tüte leer.

e) (30 | 0)

2 a) 2 x + 3 = 0 ⇒ 2 x = −3 ⇒ x = −1,5 b) −2 x + 3 = 0 ⇒ −2 x = −3 ⇒ x = 1,5

c) 5 x − 4 = 0 ⇒ 5 x = 4 ⇒ x = 0,8

3 a) 2 x − 1 = −x + 2 | + x 𝟑 𝐱 − 𝟏 = 𝟐 | + 1 𝟑 𝐱 = 𝟑 | ∶ 3 x = 𝟏

b) y = f (1) = 2 ∙ 1 − 1 = 1 oder

y = g (1) = −1 + 2 = 1

c) x wurde ja so bestimmt, dass f (x) = g (x) gilt.

4 2 x − 1 = −𝟐 𝐱 + 𝟏 | + 𝟐 x 𝟒 𝐱 − 𝟏 = 𝟏 | + 𝟏

4 x = 𝟐 | ∶ 𝟒

x = 𝟎, 𝟓

y = f (𝟎, 𝟓) = 𝟎 ⇒ S (𝟎, 𝟓 | 𝟎)




Autor: Sven Rempe

S 16


Trainingsblatt

1 Bestimme die Nullstellen der Geraden.

a) f (x) = x + 3: y = 0: ⇒ x =

b) f (x) = 3 x + 3: y = 0: ⇒ x =

c) f (x) = − 3 x + 3: y = 0: ⇒ x =

d) f (x) = − 3 x − 3: y = 0: ⇒ x =

2 Gegeben ist die Gerade mit f (x) = 3 x + 4. Bestimme die Stelle, für die gilt:

a) f (x) = 4: 3 x + 4 = ⇒ 3 x = ⇒ x =

b) f (x) = − 2:

c) f (x) = − 0,5:

3 Gegeben ist die Gerade mit f (x) = 4 x. Bestimme x so, dass f (x) = g (x) gilt:

a) g (x) = 2 x + 4 ⇒ 4 x = 2 x + 4 ⇒ x = ⇒ x =

b) g (x) = − 2 x − 3:

c) g (x) = − 0,5 x + 9:

4 a) Berechne den x-Wert, an dem f (x) = g (x) gilt, in Deinem Heft. (1) f (x) = 2 x + 2, g (x) = x + 3 (2) f (x) = − x + 1, g (x) = x + 3 (3) f (x) = 4 x − 3, g (x) = x + 3

(4) f (x) = − x + 3, g (x) = x − 3 (5) f (x) = − 3x + 5, g (x) = x − 3

b) Trage die Geraden aus Teilaufgabe (1) bis (3) ins linke Koordinatensystem und die Geraden aus den

Teilaufgaben (4) und (5) ins rechte Koordinatensystem ein. Lies die Koordinaten der Schnittpunkte ab und

überprüfe somit deine Lösungen.




Autor: Sven Rempe



1 a) x = − 3 b) x = − 1 c) x = 1 d) x = − 1

2 a) 3 x + 4 = 4 ⇒ 3 x = 0 ⇒ x = 0 b) 3 x + 4 = − 2 ⇒ 3 x = − 6 ⇒ x = − 2 c) 3 x + 4 = − 0,5 ⇒ 3 x = − 4,5 ⇒ x = − 1,5

3 a) 4 x = 2 x + 4 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2 b) 4 x = − 2 x − 3 ⇒ 6 x = −3 ⇒ x = −0,5 c) 4 x = − 0,5 x + 9 ⇒ 4,5 x = 9 ⇒ x = 2

4 a) (1) 2 x + 2 = x + 3 ⇒ x = 1, S (1 | 4) (2) − x + 1 = x + 3 ⇒ 2 x = −2 ⇒ x = −1, (3) 4 x − 3 = x + 3 ⇒ 3 x = 6 ⇒ x = 2, S (2 | 5) S (−1 | 2) (4) − x + 3 = x − 3 ⇒ 2 x = 6 ⇒ x = 3, S (3 | 0) (5) − 3 x + 5 = x − 3 ⇒ 4 x = 8 ⇒ x = 2, S (2 |−1)

b)




Autor: Sven Rempe

S 17


Trainingsblatt

1 Die Gerade mit f (x) = 2 x + 2 schneidet die Gerade g im Punkt S(−3 | −4). Gib (falls möglich) eine Gleichung von g an, für die gilt:

a) g hat eine positive Steigung. g (x) =

b) Der y-Achsenabschnitt von g ist Null. g (x) =

c) g hat negative Steigung und einen negativen y-Achsenabschnitt. g (x) =

d) g hat negative Steigung und einen positiven y-Achsenabschnitt. g (x) =

2 Bestimme Gleichungen für die beiden Geraden und berechne damit deren Schnittpunkt.

3 Der Graph einer linearen Funktion mit y = m ⋅ x + c hat die angegebene Nullstelle xn. Bestimme entweder die Steigung oder den y-Achsenabschnitt.

a) y = m x + 3, xn = − 3

b) y = −3 x + c, xn = 2

c) y = m x + 2, xn = − 1

d) y = − 2 x + c, xn = − 1

4 Widerlege die Aussagen jeweils mit einem Gegenbeispiel a) Jede lineare Funktion hat eine Nullstelle.

Gegenbeispiel:

b) Hat die lineare Funktion einen steigenden Graphen, so liegt die Nullstelle stets auf der negativen x-Achse.

Gegenbeispiel:

c) Wenn der Graph einer linearen Funktion einen positiven y-Achsenabschnitt hat und fällt, dann hat er eine

negative Nullstelle.

Gegenbeispiel:

d) Wenn sich bei zwei parallelen Geraden der y-Achsenabschnitt um zwei unterscheidet, beträgt die Differenz

der beiden Nullstellen ebenfalls 2.

Gegenbeispiel:




Autor: Sven Rempe



1 a) individuelle Lösung, zum Beispiel g (x) = x − 1

b) g (x) =4

3 x

c) individuelle Lösung, zum Beispiel g (x) = −x − 7

d) g existiert nicht, da sich unter diesen Bedingungen für negative x-Werte positive y-Werte ergeben würden.

2 g (x) = −1

3 x + 2, h (x) = − x − 1, Schnittpunkt: S (−4,5 | 3,5)

3 a) 0 = − 3 m + 3 ⇒ m = 1 b) 0 = − 6 + c ⇒ c = 6 c) 0 = − m + 2 ⇒ m = 2 d) 0 = 2 + c ⇒ c = − 2

4 a) Zum Beispiel f (x) = 2 b) Zum Beispiel f (x) = x − 2

c) Zum Beispiel f (x) = − x + 2

d) Zum Beispiel f (x) = 2 x + 2 und g (x) = 2 x + 4

f hat die Nullstelle − 1 und g die Nullstelle − 2




Autorin: Wiebke Bucholzki S 18

I Lineare Funktionen, Check-out

Check-out Kapitel I

Schätze dich mithilfe der Checkliste ein.

Checkliste

Lerntipps zum Nacharbeiten

1. Ich kann Informationen aus dem

Funktionsgraphen entnehmen. Beispiel 1 auf Seite 9

Seite 33: A. 1 und 2

Seite 34: A. 12

Seite 41: Runde 1 A. 1

2. Ich kann für lineare Funktionen eine

Wertetabelle erstellen und den

Graphen zeichnen.

Beispiel 2 auf Seite 9 Seite 9: A. 3


3. Ich kann den Graphen einer linearen

Funktion mithilfe eines geeigneten

Steigungsdreiecks zeichnen.

Beispiel 1 auf Seite 13


Seite 14: A. 3

Seite 15: A. 7

Seite 33: A. 3

4. Ich kann die Funktionsgleichung

einer linearen Funktion mithilfe ihres

Graphen aufstellen.




Seite 35: A. 17

Seite 41: Runde 2 A. 1 a)


einer linearen Funktion im Sach-

zusammenhang aufstellen.


Seite 22: A. 18

Seite 35: A. 14



einer linearen Funktion mithilfe

zweier Punkte bzw. aus gegebenen

Daten aufstellen.

Beispiel 1 und 2 auf

Seite 24

Seite 27: A. 15


Seite 36: A. 20


7. Ich kann Nullstellen und x-Werte

von linearen Funktionen rechnerisch

ermitteln.


Seite 34: A. 10


Seite 41: Runde 2 A. 1 b)

8. Ich kann Nullstellen und Schnitt-

punkte im Sachkontext bestimmen

und interpretieren.

Beispiel 2 auf Seite 29 Seite 34: A. 11


Überprüfe deine Einschätzung.

Zu 1. Aus Funktionsgraphen Informationen entnehmen Bei einem Frosch wurden im Labor bei wechselnden

Umgebungstemperaturen die Herzfrequenzen ge-

messen. Der Graph zeigt die Ergebnisse.

a) Deute folgende Aussagen im Kontext:

h (10) = 20 und h (25) > h (15)

b) Ermittle mithilfe des Graphen, wie hoch die Herz-

frequenz eines Froschs bei Zimmertemperatur (22 °C)

ungefähr ist.






Zu 2. Lineare Funktionen in Wertetabellen und als Graph darstellen

Vervollständige die Wertetabelle und zeichne damit

den Graphen der linearen Funktion.

x − 2 0 1 2 4 5

y 2 1,5 − 1

Zu 3. Graphen linearer Funktionen mithilfe ei-nes geeigneten Steigungsdreieck zeichnen

Zeichne die Graphen der Funktionen f mit

f (x) = −4

5 x und g mit g (x) = x − 2.

Zu 4. Funktionsgleichungen mithilfe von Graphen aufstellen Bestimme die Funktionsgleichungen der Geraden f

und g.

Zu 5. Funktionsgleichungen im Sachzusammenhang aufstellen Die Rechnung eines Klavierstimmers setzt sich aus einer Fahrkostenpauschale von 66 € und dem Stundenlohn

von 31 € zusammen.

a) Bestimme eine Funktionsgleichung der Funktion f: Zeit (in h) → Rechnungsbetrag (in €).

b) Zeige, dass der Punkt P (2,5 | 143,5) zum Graphen von f gehört. Deute dies im Kontext.

c) Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:

(1) Für 1,25 Stunden Arbeit berechnet der Klavierstimmer 105 €.

(2) Wenn der Rechnungsbetrag bei 166,75 € liegt, hat der Klavierstimmer 3,25 Stunden Arbeit abgerechnet.






Zu 6. Funktionsgleichungen mithilfe von zwei Punkten bzw. Daten aufstellen a) Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte A (−1,6 | 6) und

B (0,4 | 2) verläuft.

b) Wegen einer notwendigen Reparatur muss ein zu 30 % gefüllter Öltank entleert werden. Nach einer Entlee-

rungsdauer von 8 Minuten ist der Öltank noch mit 640 l gefüllt, nach 13 Minuten nur noch mit 440 l. Stelle eine

Funktionsgleichung für die lineare Funktion f: Entleerungsdauer (in Minuten) → Füllmenge (in l ) auf und be-

rechne mithilfe der Funktionsgleichung das Fassungsvermögen des Öltanks.

Zu 7. Nullstellen und x-Werte rechnerisch ermitteln Gegeben ist die Funktionsglei-

chung der Funktion f mit

f (x) =3

4x − 6,5.

a) Bestimme die Stelle x, für die

der Funktionswert 10 ist.

b) Bestimme die Nullstelle der

Funktion f.

Zu 8. Nullstellen und Schnittpunkte im Sachkontext bestimmen und interpretieren a) Eine Autovermietung geht davon aus, dass sich die Benzinmenge im Tank eines Pkws beim Fahren mit

gleichbleibender Geschwindigkeit durch die Funktion f mit f (x) = −0,06 x + 45 beschreiben lässt. Dabei gibt x

den zurückgelegten Weg in km und f (x) den restlichen Tankinhalt an. Berechne, nach wie vielen km der Tank

leer wäre.

b) Die Vermietung bietet ein bestimmtes Fahrzeug mit zwei verschiedenen Tarifen an:

Angebot für Wenigfahrer: w (x) = 0,25 x + 30; Angebot für Vielfahrer: v (x) = 0,2 x + 50.

Dabei gibt x den zurückgelegten Weg (in km) an und w (x) bzw. v (x) den gesamten Tagespreis (in €) an.

Berechne, wie viele Kilometer man an einem Tag fahren müsste, damit sich das Angebot für Vielfahrer lohnt.




Autorin: Wiebke Bucholzki

I Lineare Funktionen, Check-out Lösungen

Check-out Kapitel I, S 18 – 20

1 a) Bei einer Umgebungstemperatur von 10 °C hat der Frosch eine Herzfrequenz von 20 Schlägen

pro Minute. Die Herzfrequenz des Frosches ist bei

25 °C höher als bei 15 °C.

b) Bei Zimmertemperatur schlägt das Herz des

Frosches etwa 55-mal pro Minute

2

x − 2 0 1 2 4 5 6

y 3 2 1,5 1 0 − 0,5 − 1

3

4

f: y-Achsenabschnitt: 0

b = 0; m =2

5 (vgl. Abb.) ⇒ f (x) =

2

5 x

g: y-Achsenabschnitt: 3

b = 3; m = −1

2 (vgl. Abb.) ⇒ g (x) = −

1

2 x + 3

5 a) Der Klavierstimmer nimmt für jede Arbeitsstunde 31 €, also m = 31. Auch wenn er noch nicht mit seiner Arbeit begonnen hat (x = 0), berechnet er bereits eine Fahrkostenpauschale von 66 €, d. h. der

y-Achsenabschnitt ist b = 66. Also ist f (x) = 31 x + 66.

b) f (2,5) = 31 ⋅ 2,5 + 66 = 143,5; P gehört zum Graphen von f.

Für seine 2,5-stündige Arbeit berechnet der Klavierstimmer 143,50 €.

c) (1) f (1,25) = 31 ⋅ 1,25 + 66 = 104,75

Die Aussage (1) ist falsch, da er für 1,25 Stunden Arbeit 104,75 € berechnet.

(2) f (3,25) = 31 ⋅ 3,25 + 66 = 166,75; Die Aussage (2) ist wahr.




Autorin: Wiebke Bucholzki

I Lineare Funktionen, Check-out Lösungen

6 a) f (x) = m x + b. A (−1,6 | 6) und B (0,4 | 2) liegen auf dem Graphen von f.

Dann ist m =2 − 6

0,4 − (− 1,6)=

− 4

2= −2.

Einsetzen von (−1,6 | 6) ergibt: 6 = (−2) ⋅ (−1,6) + b

6 = 3,2 + b | −3,2

2,8 = b Also ist f (x) = −2 x + 2,8

b) P (8|640) und Q (13|440) liegen auf dem Graphen von f mit f (x) = m x + b.

m =440 − 640

13 − 8=

− 200

5= − 40

Einsetzen von (8 | 640) ergibt:

640 = (− 40) ⋅ 8 + b

640 = − 320 + b | + 320

960 = b

Also ist f (x) = −40 x + 960

Zum Beginn der Reparatur (x = 0) enthält der Tank 960 l, zu diesem Zeitpunkt ist er zu 30 % gefüllt.

Insgesamt hat der Tank also ein Volumen von 960 l

30⋅ 100 = 3200 l.

7 a) 3

4x − 6,5 = 10 | + 6,5

3

4x = 16,5 | ∶

3

4

x = 22, d. h. f (22) = 10

b) 3

4x − 6,5 = 0 | + 6,5

3

4x = 6,5 | ∶

3

4

x = 82

3, d. h. f (8

2

3 ) = 0

8 a) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion f. −0,06 x + 45 = 0 | − 45

−0,06 x = −45 | ∶ (−0,06)

x = 750

Der Tank wäre bei diesen Annahmen nach 750 km

leer.

b) Gesucht ist die Schnittstelle der Funktionen w

und v.

0,25 x + 30 = 0,2 x + 50 | −0,2 x − 30

0,05 x = 20 | ∶ (0,05)

x = 400

Man müsste mehr als 400 km an einem Tag fahren,

damit sich das Angebot für Vielfahrer lohnt.

Documents

Teildruck – Kopiervorlagen Lambacher Schweizer 8€¦ · Mathematik für Gymnasien Teildruck – Kopiervorlagen Die vollständige Sammlung ist im Digitalen Unterrichtsassistenten