Tem I Campo El Ctrico y Potencial 2Sem07(1)

ELECTROMAGNETISMO (FIS-620)INGENIERIA PLAN COMUN

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA

DEPTO.DE FÍSICA

PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES, PRUEBAS Y EXAMENES

PRIMER SEMESTRE 2005 A PRIMER SEMESTRE 2007 Tema I: Campo eléctrico y potencial.

a

Y

a

+q -q

-q -q

PROBLEMA I.1: Cuatro cargas puntuales están en los vértices de un cuadrado de lado a, como muestra la figura. Determine, en función de k, q y a:

a) el vector campo eléctrico en la posición de la carga +q, b) la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga +q.

X

SOLUCION: a) Llamando 321 , EyEE

rrr a los vectores señalados, tenemos:

iakqE ˆ

21 =r

jakqE ˆ

22 =r

)ˆˆ(4

2)ˆˆ(22

2)ˆº45ˆº45(cos

)2( 2223 jia

kqjiakqjseni

akqE +=+⋅=+=

r

Y

-q -q

-q +q

a

a

3Er

2Er

1Er X

Por lo tanto, el campo eléctrico resultante en esa posición es:

)ˆˆ(35,1)ˆˆ)(421( 22321 ji

akqji

akqEEEE +=++=++=

rrrr

b) )ˆˆ(35,1 2

2

jiakqEqF +==

rv

Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 1

PROBLEMA I.2: a 2q P Dos cargas puntuales positivas iguales 2q

se encuentran en los vértices opuestos de un cuadrado de lado a. Una tercera carga Q está en

aaotro de los vértices del cuadrado. Encontrar el signo y valor de la carga Q (en función de q), de modo que el campo eléctrico en el cuarto vértice (punto P de la figura) sea cero.

Q 2q a SOLUCION:

Llamando 21 , EErr

a los campos

eléctricos de las dos cargas de valor 2q y 3Er

al campo de la carga desconocida Q en el punto P, debe cumplirse:

0321

rrrr=++ EEE .

a

a

a

Q

2q

2q

a P1Er

2Er

3Er

Es inmediato concluir que la carga Q debe ser negativa. Y se debe tener 321 EEE

rrr=+

Se sabe que 222122akq

aqkEE =

⋅== .

Por lo tanto, 222

22

2121 ⋅=+=+

akqEEEE

rr (1)

Como 23 2aQk

E =r

, (2)

igualando (1) y (2), se concluye que qQ 24= Entonces, qQ 24−=


PROBLEMA I.3: Cuatro cargas puntuales se encuentran en los vértices de un rectángulo de lados a y 2a, como muestra la figura.

a) Encuentre el campo eléctrico en el centro del rectángulo, en términos de k, q y a. b) Encuentre la fuerza eléctrica sobre una carga Q = - 2q , colocada en el centro del

rectángulo. Y

X

2a

a

+3q

+3q

+q

+q

SOLUCION:

a) Numerando las cargas (1), (2), (3), (4), 2a

1Eθ 4E

r

3Er

2Er

r

a

+3q (3)

+3q (4)

+q

+q(1)

(2)como se muestra, se tiene que

222221 54

45)2( a

kqa

kqaa

kqEE ==+

==

2243 512

45

3akq

aqkEE =

⋅==

Por simetría, las componentes de los vectores en la dirección del eje Y se anulan entre sí, de modo que sólo interesan las componentes en la dirección “X”:

θcos121 EEE xx == ; θcos343 EEE xx == ,

con 5

2

45

cos2

==a

aθ

Entonces el campo eléctrico resultante en el centro del rectángulo es:

2223131 5532

52)

512

54(2cos)(222

akq

akq

akqEEEEE xxx −=⋅−=−=−= θ

Y en forma vectorial iakqE ˆ55

322

−=r

b) Se tiene: ia

kqEqEQF ˆ55

6422

2

=−==rrr


PROBLEMA I.4: Tres cargas puntuales de igual magnitud q, aunque no todas del mismo signo, se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a.

a) Determine la fuerza ejercida (magnitud y dirección) sobre la carga superior +q. b) Encuentre el vector campo eléctrico en el punto P,

ubicado en el punto medio entre las cargas negativas.

a/2 -q

+q

-q

a

P

y

x

c) ¿Dónde debe situarse una carga Q = - 4q de manera que el campo eléctrico en P sea cero? Exprese sus respuestas en términos de k, q y a. SOLUCION:

a)

Sean Fi y Fd las fuerzas que las cargas inferiores izquierda y derecha ejercen respectivamente sobre la carga superior. Tienen el mismo módulo:

2

2

akqFF di ==

Las componentes de estos vectores a lo largo del eje x se anulan. Las componentes a lo largo del eje y se suman. Entonces, la fuerza resultante es:

-q

+q

-q

a

a/2 P

iFr

dFr

y

x

jakqj

akqjFF i

ˆ3ˆ232)ˆ(º30cos2 2

2

2

2

−=⋅−=−=r

b)

-q

+q

-q

a

P

h

iEr

dEr

sEr

y

x

El campo en P es: 3EEEE di

rrrr++=

Como iEr

y dEr

se anulan,

)ˆ(23 jhkqEE −==

rr , donde h es la altura del triángulo.

Pero 2222

43)

2( aaah =−=

Por lo tanto, jakqE ˆ

34

2−=r

c) Para que 0

rr=E en P, el campo creado por la carga Q debe estar dirigido hacia arriba y

de magnitud 234

akqEQ = . Como Q es negativa, debe estar situada en la zona y>0.

El punto debe tener una ordenada y tal que:

222 344akq

ykq

ykQ

== . Por lo tanto, ay 3=


PROBLEMA I.5: Tres cargas puntuales, dos de igual valor Q y otra - 2Q, están ubicadas a lo largo del eje X , como muestra la figura. Determine, en función de k, q y a:

a) el vector campo eléctrico en el punto S, b) el potencial eléctrico en el punto S, c) la diferencia de potencial entre los puntos

P y S, es decir, VS – VP. SOLUCION:

a) Llamando 321 ,, EEErrr

a los vectores dibujados y a los módulos 321 ,, EEErespectivos, se tiene:

221 25akQEE ==

223 8162

akQ

aQkE =

⋅=

Al sumar los tres campos, las componentes a lo largo del eje X de los vectores 21 EyE

rr se

anulan, y sólo contribuyen a la suma las componentes a lo largo del eje Y.

y

4a

-2Q QQx

S

1Er

-3a 3a

2Er

y

4a

-2Q QQ

y

S

P

3a-3a

-4a

θ3Er

x

θcos121 EEE yy == , con 54cos =θ

Por lo tanto, el campo eléctrico en el punto S está dado por:

jakQj

akQj

akQ

akQjEEES

ˆ061,0ˆ)81

1258(ˆ)

854

252(ˆ)cos2( 222231 −=−=−⋅⋅=−= θ

r

b) , 321 VVVVS ++=

donde a

kQVV521 ==

akQ

aQkV

242

3 −=⋅

−=

Entonces: a

kQa

kQa

kQa

kQa

kQVS 1,0101)

21

52(

252 −=−=−=−⋅=

c) Como la distancia desde el punto P a cada carga es la misma que la distancia desde el

punto S a las cargas, SP VV = ⇒ 0=− PS VV


PROBLEMA I.6:

B

y

A

P

a

a a

3q 2q -q O

Tres cargas puntuales, de valores -q, 3q y 2q están ubicadas en los puntos A, O y B indicados en la figura. Encuentre:

a) la fuerza eléctrica que se ejerce sobre la carga 2q ubicada en B,

b) el vector campo eléctrico en el punto P, c) el potencial eléctrico en el punto P.

x

SOLUCION:

BAO -q 2q 3q

2a a

y

x2Fr

1Fr

a) De acuerdo con el dibujo se obtiene:

21 FFFrrr

+=

iakqi

akqi

akqi

aqki

aqkF ˆ

211ˆ6ˆ

2ˆ6ˆ

)2(2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=+−=⋅

+⋅

−=r

b) , 321 EEEErrrr

++=

con [ ] )ˆˆ(22

ˆº45ˆº45cos2 221 ji

akqjseni

akqE −−=−−=

r

[ ] )ˆˆ(2

)ˆº45ˆº45cos2

2222 ji

akqjseni

aqkE +−=+−

⋅=

r

BAO -q 2q 3q

a a

a

y

P

3Er

2Er

1Er

ja

qkE ˆ323

⋅=

r

xPor lo tanto

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−−= ji

akqE ˆ)3

21

221(ˆ)

21

221(2

r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= ji

akqE ˆ)

2213(ˆ

223

2

r

c) )2

13(32

22321 +=++−=++=

akq

akq

akq

akqVVVVP


PROBLEMA I.7:

P

y

x

+Q

-Q

+2Q

30º

Tres cargas puntuales: q1= +2Q; q2 = -Q; y q3 = +Q, se encuentran sobre una semicircunferencia de radio R en las posiciones indicadas en la figura. Calcule, en función de k, Q y R :

a) el campo eléctrico resultante en el origen del sistema de referencia, b) el potencial eléctrico resultante en el punto

)2

,0( RP =

SOLUCION:

a) De acuerdo al dibujo: y

+Q

-Q

+2Q

30º x 2E

r

3Er

1Er

)ˆ21ˆ

23(2)ˆº30ˆº30(cos2

221 jiRkQjseni

RQkE −=−

⋅=

r

⇒ )ˆˆ3(21 jiRkQE −=

r

iRkQE ˆ

22 −=r

jRkQE ˆ

23 =r

Por lo tanto, el campo eléctrico resultante en el origen es:

iRkQi

RkQE ˆ73,0ˆ)13( 22 =−=

r

b) El potencial en el punto P es la suma de los y

x

+Q

30º

+2Q

-Q

P

potenciales debido a cada carga puntual:

R

kQ

R

QkV3

4

232

1 =⋅

=

R

kQ

R

kQV5

2

252 −=−=

RkQ

R

kQV3

2

233 ==

R

kQRkQVP 07,2)

31

51

32(2

=+−=


PROBLEMA I.8: Y

r30º

q q

q

P

O

Tres cargas puntuales idénticas de valor +q, están igualmente espaciadas en una circunferencia de radio r, como indica la figura. Determine:

a) el campo eléctrico resultante en el centro de la circunferencia (punto O),

Xb) el potencial eléctrico en el centro de la circunferencia,

c) el potencial eléctrico en el punto superior de la circunferencia (punto P). SOLUCION:

a) Sean 1Er

, 2Er

y los vectores campo eléctrico 3Er Y

qq

q

30º

P

O

r 3Er

1Er

2Er

debido a cada una de las cargas. Se tiene:

2321 rkqEEE ===

X )ˆ

21ˆ

23()ˆº30ˆº30cos( 221 ji

rkqjseni

rkqE −−=−−=

r

)ˆ21ˆ

23()ˆº30ˆº30(cos 222 ji

rkqjseni

rkqE −=−=

r

jrkqE ˆ

23 =r

Por lo tanto: 0321

rrrrr=++= EEEE

b) rkqVVV === 321

Por lo tanto:

rkqVVVV 3

321 =++=

c) En este caso:

rkqVV == 21

r

kqV23 =

Por lo tanto:

r

kqr

kqrkqVVVV

25

22321 =+⋅=++=


PROBLEMA I.9: Cuatro cargas puntuales idénticas, cada una

h

a

z

-Q

+q

+q

+q

con carga +q, están fijas en los vértices de un cuadrado de lado a, ubicado en un plano horizontal. Una quinta carga puntual –Q se encuentra a una altura h de dicho plano, a lo largo de una línea perpendicular al plano del cuadrado y que pasa por su centro. Encontrar:

a) la fuerza ejercida sobre –Q por las otras cuatro cargas,

b) la altura a la cual debe ubicarse la carga –Q para +q que la fuerza ejercida sobre ella sea máxima. SOLUCION:

a) Todos los vectores fuerza tienen la misma magnitud F y se encuentran en los planos diagonales de la pirámide que se forma al unir cada carga +q con la carga -Q. Si nos ubicamos en uno de esos planos, la figura que se observa es:

+q(1)

+q(3)+q(4)

+q(2)

-Q z

a

h

3Fr

1Fr

-Q

θ 3Fr

1Fr

a 2

h

+q(3)

+q(1) Las componentes horizontales de los cuatro vectores se anulan entre sí, de modo que el vector resultante es la suma de las componentes verticales: )ˆ(cos4 kFFtotal −= θ

r

con

2

22

4321 ah

kqQFFFFF+

=====rrrr

y

2

cos2

2 ah

h

+

=θ

Por lo tanto, la fuerza total sobre la carga –Q es:

kah

kqQhFtotalˆ

2

4

23

22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=r

b) Para que la fuerza ejercida sobre la carga –Q sea máxima, debemos hacer

0=dh

dFtotal y resolver la ecuación que resulta para encontrar h.

Haciendo la derivada se obtiene

0)

2(

324

252

2

22

2

=+

−+=

ah

hahkqQ

dhdFtotal ,

de modo que 2ah =


PROBLEMA I.10: Se tiene un anillo de radio R con una carga total Q uniformemente distribuida. Determine:

a) el potencial eléctrico en un punto P ubicado en el eje, a una distancia x del plano en que se encuentra el anillo, b) la diferencia de potencial entre el punto centro del anillo y un punto sobre el eje, a una distancia

x R

P

x = 3R del centro del anillo. SOLUCION:

P

x R

dq

r

a) El potencial dV debido a un elemento de carga dq en el punto P está dado por:

22 Rx

kdqr

kdqdV+

==

Integrando sobre todo el anillo:

∫∫+

=+

=+

=222222 Rx

kQdqRx

kRx

kdqV

b) Usando el resultado anterior:

RkQxV == )0(

10)3()3(

22 RkQ

RRkQRxV =

+==

Diferencia de potencial:

RkQ

RkQxVRxV 68,0)1

101()0()3( −=−==−=

PROBLEMA I.11: Dos cargas puntuales, q1 = +q y q2 = -q , están localizadas en los puntos (0, d) y (0, -d) respectivamente. Un anillo de radio 3d con su centro en (12d, 0) y su eje a lo y

5d

q1

q2

P2d

7d

largo del eje x , posee una densidad lineal de carga +λ . Encontrar:

a) el campo Er

generado por q1 y q2 x en un punto P ubicado en (5d, 0),

b) el campo Er

generado por el anillo cargado en el punto P,

c) el campo total Er

en el punto P. Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 10

SOLUCION:

a) Campo debido a las cargas puntuales:

22221 26)5( dkq

ddkqEE =

+==

Como las componentes en la dirección x se anulan , el campo en P generado por q1 y q2 es: Edipolo = 2E1 senθ , donde

sen θ = 261

26 2=

d

d.

y

5d

q1

q2

P

2Erθ

1Er

Er

2d x

Por lo tanto, jd

kqEdipoloˆ

262

223−=r

Edr

2Edr

Edr φ

b) Campo generado por el anillo:

Tomando dos elementos simétricos de carga elemental dq y largo dl :

22221 58)7()3( dkdq

ddkdqdEdE =+

==

donde dq = λdl

Por simetría, las componentes de dE1 y dE2 a lo largo del eje y se anulan, de modo que

dEx = dE1 cos φ , con cos φ = 587

587

=d

d

Entonces

2232 )58()(7

587

58)(

ddk

ddkdEx

ll λλ=⋅=

E integrando sobre todo el anillo:

d

kdd

kdd

kE2

322322

358

423258

7

)58(

7 λππλλ=⋅⋅== ∫ l

Entonces id

kEanilloˆ

58

422

3

λπ−=

r

c) Campo total en P :

id

kjd

kqEEE anillodipoloˆ

58

42ˆ26

22

3223

λπ−−=+=

rrr


PROBLEMA I.12:

a

x

z

P

b

En el plano XY y centrado en el origen, hay dos anillos de radios a = 1 m y b = 2 m. El anillo de radio b posee una densidad de carga λb = 10 µC/m. Determine:

a) el potencial eléctrico en un punto P, situado a 5 m sobre el eje Z, debido al anillo de radio b, b) la densidad lineal de carga del anillo de radio a,

y para que el potencial eléctrico en el punto P sea igual a cero.

SOLUCION:

a) El potencial en P debido a un elemento de carga del anillo de radio b está dado por:

22 bh

kdqdV+

= ,

donde “h” es la distancia desde el plano XY al punto P, y lddq bλ=

Integrando sobre el anillo:

∫∫+

=+

⋅=

+=

+=

22222222

22

bh

bk

bh

bkd

bh

k

bh

dkV bbbb

bλππλλλ

ll

VVb5

22

69

101,225

210101092⋅=

+

⋅⋅⋅⋅⋅=

−π

b) Para que el potencial en P sea igual a cero debe cumplirse: 0=+ ba VV ,

donde el potencial debido al anillo de radio b se conoce y el potencial debido al anillo de radio a está dado por:

ba

a Vah

akV −=

+=

22

2 λπ ,

similar a la relación encontrada en (a) para el anillo de radio b. Despejando de ecuación anterior:

mC

kaahVb

aµ

ππλ 19

1109215101,2

2 9

22522

−=⋅⋅⋅+⋅

−=+

−=


PROBLEMA I.13:

λ1

λ2

y

P

Un anillo de radio R = 2 m posee una densidad de carga λ1 = 3,0 µC/m en la mitad superior y λ2 = - 5,0 µC/m en la mitad inferior, como se indica en la figura. Determine:

x a) el potencial eléctrico en el punto P situado en el eje del anillo, a una distancia

z x = 10 m del plano del anillo, b) el potencial eléctrico en el centro del anillo, c) el trabajo necesario para trasladar una carga Q = 4,0 µC desde el punto P al centro del

anillo. SOLUCION: a) Se elige un elemento de carga dq del anillo. En función de la densidad de carga se tiene lddq λ= El potencial en P debido a este elemento de carga es.

22 Rx

dkr

kdqdV+

==lλ

Para la mitad superior del anillo se tiene:

RRx

kd

Rx

k

Rx

dkV π

λλλ⋅

+=

+=

+= ∫∫ 22

1

22

1

22

11 l

l

Reemplazando valores:

kVV 6,16210

210310922

69

1 =+

⋅⋅⋅⋅⋅=

− π

Análogamente, el potencial debido a la mitad inferior del anillo en P está dado por

kVRRx

kV 7,27

210

2)105(10922

69

22

22 −=

+

⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅

+=

− ππλ

El potencial eléctrico en el punto P es: kVVVVP 1,117,276,1621 −=−=+= b) El potencial en el centro del anillo se puede calcular a partir de la expresión anterior haciendo x = 0.

kVVVV

kVkV

kVkV

O 6,564,141)105(109

8,84103109

21

6922

6911

−=+=−=⋅−⋅⋅⋅==

=⋅⋅⋅⋅==−

−

πλπ

πλπ

c) JVVQW PO

336 1018210)1,116,56(104)( −− ⋅−=⋅+−⋅=−⋅= Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 13

PROBLEMA I.14: Un disco de radio a = 6 cm posee una densidad de carga superficial uniforme σ = 12 nC/m2. Alrededor del disco se coloca un anillo de radio b = 8 cm y densidad lineal uniforme de carga λ. Determine:

λb

h

σa

P × a) la carga total del disco, b) el potencial debido al disco cargado en el punto P que se encuentra en el eje, a una distancia h = 10 cm de su centro c) la densidad lineal de carga λ del anillo de modo que el potencial total en el punto P sea cero.

SOLUCION:

nCmmnCaQdisco 136,006,012 22

22 =⋅⋅== πσπa)

b) Tomemos primero en el disco un anillo de radio

r y espesor dr, con carga dq. El potencial en P debido a este elemento de carga es:

22 rh

kdqdV+

= , con rdrdq πσ 2⋅=

El potencial total en P debido al disco se obtiene integrando

[ ] )(222 220

22

022

hahkrhkrh

rdrkVaa

−+=+=+

= ∫ σπσπσπ

Reemplazando los valores dados:

VV 28,11)10,006,010,0(10121092 2299 =−+⋅⋅⋅⋅= −π

c) Debe cumplirse 0=+ anillodisco VV ⇒ discoanillo VV −= Calculemos el potencial debido al anillo en el punto P:

2222

2

bh

bk

bh

kQV anillo

anillo+

⋅=

+=

λπ

Reemplazando los valores conocidos:

VVanillo 28,11103,3508,010,0

08,01092 9

22

9

−=⋅=+

⋅⋅⋅= λλπ

Y despejando mnC

mC 319,010319,0 9 −=⋅−= −λ


PROBLEMA I.15: Un cascarón esférico conductor de radio interior R y exterior 2R contiene una carga neta 3Q. En el centro geométrico

3Q

-Q R2R se coloca una carga puntual negativa –Q.

a) Determine el potencial eléctrico para puntos del espacio con r 2R. ≥b) Si el potencial en el cascarón es de 10 V y R = 0,18 m , determine la magnitud de la carga Q. c) Para la misma configuración, encuentre el trabajo necesario para trasladar una carga puntual +Q desde un punto a r1 = 0,50 m hasta un punto a r2 = 0,20 m, medidos desde el centro del cascarón.

SOLUCION:

a) Para r ≥ 2R estamos fuera del cascarón. El campo eléctrico es radial y es el mismo que produce una carga puntual de valor (3Q-Q) ubicada en el centro. Por lo tanto:

rrkQE ˆ2

2=r

Este resultado también puede ser obtenido a partir de la ley de Gauss. La variación de potencial correspondiente a un desplazamiento rdrd ˆ⋅=l

r fuera del cascarón

es:

drrkQdEdV 2

2−=•−= l

rr

e integrando rkQdr

rkQdVV

rV 222

0

=−== ∫∫∞

b) En la superficie del cascarón se tiene entonces:

RkQ

RkQVRV R ===

22)2( 2

⇒ nCCk

RVQ R 2,0102,0109

18,010 99

2 =⋅=⋅⋅

=⋅

= −

c) [ ])()( 12 rVrVQVQUW −⋅−=∆⋅−=∆−=

r2 es un punto dentro del cascarón y, por ser éste un conductor, el potencial dentro de él es constante e igual al potencial en la superficie . El punto r1 >2R queda fuera del cascarón. Por lo tanto:

y VVrV R 10)( 22 == VrkQrV 2,7

50,0102,010922)(

99

11 =

⋅⋅⋅⋅==

−

⇒ nJJW 56,01056,0)2,710(102,0 99 −=⋅−=−⋅⋅−= −−


PROBLEMA I.16: Una barra de largo 2L tiene una carga positiva +4Q distribuida uniformemente, y se encuentra sobre el eje X con sus extremos en los puntos x = -L y x = +L. Determine, en función de k, Q y L:

a) el potencial eléctrico en el punto y

L -L 2L

( 2L,0) debido a la barra cargada, b) el campo eléctrico en el punto ( 2L,0), c) la fuerza sobre una carga +Q

x colocada en dicho punto. SOLUCION:

a) Un elemento de carga dq ubicado a una distancia x del origen y de largo dx, crea

x

y

L -L 2L

2L-x en el punto (2L,0) un potencial dado por:

xLkdqdV

−=

2 , x

donde dxLQdx

LQdxdq 2

24

=== λ .

Integrando sobre toda la barra:

[ ] 3ln22ln22

22

2

LkQxL

LkQ

xLdx

LkQ

xL

dxLQk

V L

L

L

L

L

L

=−−=−

=−

⋅=

−−−∫∫ ,

donde se usó integral dada en tabla.

b) Para calcular el campo eléctrico en el punto (2L,0) tomamos el mismo elemento de carga anterior, que crea en el punto un campo dado por:

ixL

dxLQk

ixL

kdqEd ˆ)2(

2ˆ

)2( 22 −

⋅=

−=

r ,

e integrando:

iLkQi

LkQi

xLLkQi

xLdx

LkQE

L

L

L

L

ˆ34ˆ

322ˆ

212ˆ

)2(2

222 =⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=

−=

−−∫

r.

También aquí se usó integral dada en tabla.

c) La fuerza sobre una carga +Q colocada en el punto (2L,0) puede calcularse a partir del

campo eléctrico en dicho punto:

iL

kQEQF ˆ3

42

2

==rr


PROBLEMA I.17:

P y=2L ×

y=0

y=L

y Una varilla delgada de longitud L, uniformemente cargada con una densidad lineal de carga λ, está colocada en posición vertical a lo largo del eje y, como muestra la figura.

a) Determine el campo eléctrico en el punto P, ubicado en x = 0, y = 2L.

b) En el punto P se coloca una esferita cargada de masa m = 2 gramos. Determine la magnitud y signo de la carga que debe tener la esferita para que permanezca en reposo en P. Considere L = 1,6 m y λ = 5,0×10-3 C/m.

x SOLUCION: a) En la varilla elegimos un pequeño elemento de carga “dq” a una distancia “y” de la base, de largo “dy”. Éste se encuentra a una distancia (2L – y) del punto P. El campo creado por dicho

y

y=0

dq y=L

y

y=2L × P Edr

elemento de carga en el punto P está dado por:

jyL

kdqEd ˆ)2( 2−

=r

donde dq = λdy . Integrando sobre toda la varilla se tiene:

jyL

dykEdEL

ˆ)2(0

2∫ ∫ −== λ

rr

xy de la tabla se obtiene:

jL

kjyL

kEL

ˆ2

ˆ2 0

λλ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=r

b) Para que la esferita esté en reposo en P, su peso debe ser de igual magnitud que la

fuerza eléctrica. El signo de la carga “q” de la esferita debe ser positivo.

Entonces mgqE = ⇒ mgLqk

=2λ

Eqr

gmr Y despejando “q”:

nCCCkmgLq 42,11042,1

100,51096,11010222 939

3

=⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅== −

−

−

λ


PROBLEMA I.18:

y= -3L

y=3L

y=L

y

x

En el plano XY se ubica una barra cargada de longitud 2L, coincidente con el eje Y. La barra tiene una carga negativa -Q uniformemente distribuida. En el punto (0, -3L) se encuentra una carga puntual de valor desconocido.

a) Determine el valor y signo de la carga puntual, de modo que el campo eléctrico resultante en el origen sea cero.

b) Encuentre el potencial eléctrico resultante en el punto ( L,0 ) .

y=0 SOLUCION:

a) Campo eléctrico debido a la barra cargada ( BEr

) : Se toma un elemento de carga en la barra a una distancia “y” del origen, de largo dy

dyL

Qdydq2

== λ

BEr

qEr

y

La magnitud del campo debido a ese elemento de carga en el origen es

22 2 ydy

LkQ

ykdqdEB == x

Integrando

jL

kQjydy

LkQE

L

LB

ˆ3

ˆ2 2

3

2 == ∫r

,

donde se ha considerado que la barra está cargada negativamente. El campo eléctrico generado por la carga puntual en el origen ( qE

r) debe ser tal que anule al

campo anterior. Por lo tanto, esta carga debe ser negativa.

jLkqEq

ˆ)3( 2−=

r

Debe cumplirse entonces 22 93 Lkq

LkQ

= ⇒ Qq 3−=

q

L 3L

y

dq

y

x

b) Potencial eléctrico debido a la barra cargada (VB) : Nuevamente tomamos elemento de carga (dq) en la barra, de largo dy , a una distancia “y” del eje x. Integrando:

∫∫+

−=+

−=

L

LB

Lydy

LkQ

LydqkV

3

2222 2)(

( )[ ]L

kQL

kQLyyL

kQVL

LB 47,021103ln

2ln

23

22 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−=++−=

Potencial debido a la carga puntual (Vq) :

L

kQL

kQLL

QkVq 95,010

3)3(

)3(22

−=−=+

−=

Entonces, el potencial eléctrico resultante en el punto (L,0) es:

L

kQVVV qB 42,1−=+=


PROBLEMA I.19: a) Una barra de longitud L tiene una carga Q uniformemente distribuida y está alineada

con el eje x (Ver figura 1). Demuestre que el potencial en el punto A, ubicado a una distancia y del extremo izquierdo de la barra es

V )ln(22

yLyL

LkQ ++

=

b) Determine el potencial en el punto B debido a dos barras paralelas, una de longitud L y otra de longitud 2L, cada una de ellas con una carga 2Q uniformemente distribuida (Ver figura 2).

y SOLUCION:

a) Tomando un pequeño elemento de carga dq

22 yx

kdqdV+

=

Pero dxLQdxdq == λ

Entonces ∫∫+

==L

yxdx

LkQdVV

0 22

( )[ ]LyxxL

kQV 022ln ++= = ( )[ ]yyLL

LkQ lnln 22 −++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=

yyLL

LkQVA

22

ln

b) Debido a la barra inferior (carga 2Q y largo L con y = a) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

aLaL

LkQV

22

1 ln2

Debido a la barra superior (carga 2Q y largo 2L con y = 2a) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

aLaL

LkQ

aLaL

LkQV

2222

2 ln2

442ln2

2

Entonces:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=+=

aLaL

LkQVVVB

22

21 ln3

y

A

xFigura 1

B

2a

a

Figura

y

A

y

dx dq

x

x


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Tem I Campo El Ctrico y Potencial 2Sem07(1)