Tema 0

1HOJADIBUJO TÉCNICO ITEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.

• IGUALDAD Dos figuras son iguales cuando tienen sus lados y ángulos iguales y dispuestos en el mismo orden.

• Igualdad por copia de ángulos

1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB

2. Con centro en B’ se traza un ángulo igual al B

3. Se transporta el segmento B’C’ = BC4. Se repite la operación con todos los vértices

Dado el polígono ABCDE


1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y

2. Se proyectan los vértices sobre el eje X

3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y

4. Se trazan perpendiculares a X’ e Y’

5. Se unen los vértices hallados


• Igualdad por coordenadas


• Igualdad por radiación

1. Se elige un punto O y se une con los vértices del polígono2. Con centros en O y O’ se trazan dos circunferencias del mismo radio

3. Por copia de ángulos se trazan las rectas que parten de O’4. Sobre cada recta se llevan las distancias O’A’, O’B’, etc



• Igualdad por triangulación

1. Se une un vértice con todos los demás2. Por copia de triángulos se construyen todos los que se han formado



• Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento

3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.


• División de un segmento en partes proporcionales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ

3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t.4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I


1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados

• Producto y división entre dos segmentos

1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados

Producto entre dos segmentos

División entre segmentos

E

1C

B

D

C D

A B

C

B E

r

A

s

1

D

A C

A B

Ar

s


• Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada

1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC

2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC

3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E

4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB

Dado el segmento AB

DA B C1

E

A B


• Media proporcional

1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados2. Se traza el punto medio E del segmento AD y la semicircunferencia de radio EA3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto F

4. El segmento BF es la media proporcional a los segmentos dados.


• Tercera proporcional

1. Se trazan dos rectas r y s que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre r y CD sobre s3. Con centro en A y radio AD se describe un arco4. Por el punto E se traza la paralela a BD

5. El segmento AF es la tercera proporcional


• Cuarta proporcional

1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera que se corten2. A partir del punto A se lleva AB sobre la recta r y CD sobre la recta s3. Sobre la recta r y a continuación del segmento AB se traslada EF

4. Por el punto F se traza la recta paralela a BD5. El segmento DG es al cuarta proporcional


• Potencia de un punto

Potencia de un punto

Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante

Eje radical

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas

p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD


• Eje radical de dos circunferencias (I)

Circunferencias secantes

Se determina uniendo los dos puntos A y B de intersección de ambas circunferencias


• Eje radical de dos circunferencias (II)

Circunferencias tangentes

Se determina trazando la recta tangente común a ambas circunferencias


• Eje radical de dos circunferencias (III)

Circunferencias exteriores

1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O1 3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O2 4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O1O2


• Centro radical de tres circunferencias

Dadas tres circunferencias

1. Se halla el eje radical e de las circunferencias de centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical e’ de las circunferencias de centro O2 y O3 3. El centro radical O se localiza en la intersección de los ejes radicales hallados

O3

1O

O

e'

O2

e


• Semejanza directa por radiación

Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.

SEMEJANZA

Sea la razón de semejanza 2/31. Se elige un punto O y se une con todos los vértices2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman tantas partes como indique el numerador (2)

3. A partir del punto A’ se trazan paralelas


A la relación entre los segmentos proporcionales se le llama razón de semejanza.


• Semejanza por coordenadas

1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y2. Se proyectan los vértices sobre el eje X3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las distancias O’C’x = 2/3(OCx), O’C’y = 2/3(OCY), ...

6. Se unen los vértices hallados5. Se trazan perpendiculares a X e Y



• Semejanza inversa por radiación

Sea la razón de semejanza -2/31. Se elige un punto O y se une con todos los vértices2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman, en sentido contrario, tantas partes como indique el numerador (2)3. A partir del punto A’ se trazan paralelas



• Escala gráfica

1. Sobre una cartulina se trazan dos rectas paralelas2. Se trasladan tantas unidades reducidas como quepan3. La primera división se divide en diez partes iguales (contraescala)4. Se numeran todas las divisiones

El objeto real se mide siempre con la regla natural (E.1:1)En el dibujo se mide con la escala gráficaSe hace coincidir el extremo derecho del segmento con una división enteraLos decimales se observan en la contraescala gráfica


• Escala transversal

1. Sobre una recta r se construye una escala gráfica2. Se trazan 10 rectas paralelas a r con distancias iguales entre sí3. Se trazan perpendiculares a r por los puntos de división de la escala gráfica4. En las contraescalas de la primera y última paralelas se unen los puntos 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, etcPara medir, las unidades se observan en la escala gráfica, las décimas en la contraescala inferior y las centésimas en el número de la paralela


• Triángulo universal de escalas1. Se construye un triángulo de manera que uno de los lados quede dividido en 10 cm2. Se une cada uno de los puntos de división con el vértice opuesto A3. Otro de los lados se divide en diez partes y se trazan paralelas al primer lado, donde van formándose las diversas escalas4. Por debajo de la escala natural se forman las escalas de ampliación


• Triángulos: clasificación

Clasificación según sus lados

Triángulo equiláteroTriángulo isóscelesTriángulo escaleno

Clasificación según sus ángulos

Triángulo rectánguloTriángulo acutánguloTriángulo obtusángulo


• Triángulos: rectas y puntos notables (I)

Altura

Es la perpendicular trazada a un lado desde el vértice opuesto

Ortocentro

Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo

Mediana

Es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto

Baricentro

Punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo


• Triángulos: rectas y puntos notables (II)

Mediatriz

Es la perpendicular trazada a un lado por su punto medio

Circuncentro

Punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo

Bisectriz

Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales

Incentro

Punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo


• Triángulos: rectas y puntos notables (III)

Bisectrices exteriores

Son las bisectrices de los ángulos exteriores

El punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita

Los puntos de intersección de las tres bisectrices exteriores de un triángulo son los centros de las circunferencias exinscritas


• Construcción de triángulos

Construir un triángulo conociendo sus tres lados

1. Sobre una recta se toma uno de los lados

2. Con centro en A y radio igual al segundo lado, se traza un arco3. Con centro en B y radio igual al tercer lado se traza otro arco

Construir un triángulo equilátero conociendo la altura

1. Se divide la altura en tres partes iguales2. Con centro en C y radio CB se traza una circunferencia 3. Por el punto A se traza la perpendicular a la altura AB


• Construcción de triángulos isósceles (I)

Construir un triángulo isósceles conociendo la base y la altura

Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y la altura

1. Sobre una recta se toma un punto A y se traza la perpendicular

2. A partir de A se traslada la altura3. Haciendo centro en B y radio igual al lado se traza un arco

1. Sobre una recta se toma la base2. Se traza la mediatriz del segmento AB

3. A partir de C se lleva la altura


• Construcción de triángulos isósceles (II)

Construir un triángulo isósceles conociendo la base y un ángulo adyacente

1. Sobre una recta se toma la base

2. En A se transporta el ángulo dado

3. En B se transporta el ángulo dado

Construir un triángulo isósceles conociendo la base y el ángulo opuesto

1. Sobre una recta se toma la base

2. Se traza la mediatriz de AB

3. Sobre un punto C cualquiera se construye el ángulo dado4. Por A y B se trazan paralelas al ángulo


• Construcción de triángulos rectángulos

Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto

Construir un triángulo rectángulo conociendo un cateto y el ángulo opuesto

1. Sobre una recta r se coloca el cateto2. Por A se traza la perpendicular a AB3. Con centro en B y radio la hipotenusa se traza un arco

1. Sobre una recta r se coloca el cateto2. Por A se traza la perpendicular a AB3. Por un punto arbitrario C se traslada el ángulo dado4. Por B se traza la paralela al lado del ángulo


• Cuadriláteros: clasificación

Paralelogramos

CuadradoRectánguloRombo

Trapecios

IsóscelesRectánguloEscaleno

Romboide Trapezoide


• Construcción de cuadrados

Construir un cuadrado conociendo el lado

Construir un cuadrado conociendo la diagonal

1. Sobre una recta se dibuja el lado2. Por A se dibuja la perpendicular

3. Con centro en A y radio AB se dibuja un arco4. El cuarto vértice se halla trazando arcos de radio AB

1. Se dibuja la diagonal2. Se traza la mediatriz de AC

3. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC


• Construcción de rectángulos

Construir un rectángulo conociendo un lado y la diagonal

Construir un rectángulo conociendo la suma de los lados y la diagonal

1. Se dibuja la diagonal AC2. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC3. Con centros en A y C y radio el lado se trazan dos arcos

1. Se dibuja el segmento AE igual a la suma2. Por un extremo se traza una recta a 45º

3. Con centro en A y radio la diagonal, se traza un arco4. Por C se traza la perpendicular a AE5. El cuarto vértice se halla trazando arcos


• Construcción de rombos

Construir un rombo conociendo el lado y una diagonal

Construir un rombo conociendo un ángulo y su diagonal

1. Se dibuja la diagonal AC2. Con centro en A y radio el lado se dibuja un arco3. Con centro en C y radio el lado se dibuja otro arco

1. Se construye el ángulo dado2. Se traza la bisectriz del ángulo

3. Sobre la bisectriz se traslada la diagonal4. Por C se trazan paralelas a los lados del ángulo


• Construcción de romboides

Construir un romboide conociendo sus lados y un ángulo

Construir un romboide conociendo sus lados y la altura

1. Se dibuja el ángulo dado2. Sobre los lados del ángulo se transportan las dimensiones de los lados3. El cuarto vértice se halla trazando dos arcos de radio igual a los lados

1. Se dibuja el lado AB2. Se traza la perpendicular al lado AB3. Sobre la perpendicular se traslada la altura4. Por E se traza la paralela a AB5. Con centros en A y B y radio el otro lado se trazan dos arcos


• Construcción de trapecios

Construir un trapecio escaleno conociendo los cuatro lados

Construir un trapecio escaleno conociendo sus bases y sus diagonales

1. Se dibuja el primero de los lados AB2. Sobre AB se traslada el lado opuesto AE3. Con centro en E y radio igual al tercer lado se dibuja un arco4. Con centro en B y radio igual al cuarto lado se dibuja un arco5. Con centro en A y C y radios EC y AE respectivamente se dibujan dos arcos

1. Se dibuja una de las bases AB2. Al lado AB se le suma el lado opuesto3. Con centro en A y radio una diagonal, y centro en E y radio la otra diagonal se dibujan dos arcos4. Por C se traza una paralela a la base AB5. Con centro en B y radio EC se dibuja un arco


• Definición y clasificación

Definición

Es el espacio limitado por una línea quebrada, cerrada y plana

Clasificación

Triángulo equilátero: 3 ladosCuadrado: 4 ladosPentágono: 5 ladosHexágono: 6 ladosHeptágono: 7 ladosOctógono: 8 ladosEneágono: 9 ladosDecágono: 10 ladosUndecágono: 11 ladosDodecágono: 12 ladosPentadecágono: 15 lados

Líneas notables

AB: LadoR: Radioa: Apotema

h: Alturad’: Diagonalp: Perímetro

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