TEMA 0: PRELIMINARES FISICOS Y MATEMÁTICOS · operador diferencial: k z j y i x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇= Léase nabla, ... Así pues, el gradiente de una función escalar

GEODESIA FÍSICA Preliminares Físicos y Matemáticos

Angel Martín 1

TEMA 0: PRELIMINARES FISICOS Y MATEMÁTICOS

0.1 Campos escalares y vectoriales

Una función escalar es una función que está definida en un cierto conjunto de

puntos en el espacio y cuyos valores son números reales que solo dependen de los

puntos en el espacio pero no de la elección particular del sistema de coordenadas. Por

ejemplo: un campo de temperaturas T= T(x,y,z) dependerá únicamente del punto en el

que estemos midiendo, es evidente que un cambio de sistema de referencia hará que

las coordenadas (x,y,z) pasen a tener valores (x’,y’,z’), sin embargo, los valores de

temperatura en cada punto serán los mismos ya que la temperatura no dependerá del

sistema de referencia elegido, con el fin de indicar este hecho se suele anotar como f(p)

y no f(x,y,z).

En la mayoría de las aplicaciones, el dominio de definición D de una función

escalar f, será una curva, una superficie o una región tridimensional en el espacio. La

función f relaciona cada punto en D con un número real, y se dice que se da un

campo escalar en D:

f(p):D ⎟R ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈3

2

RRR

D

Si P ∈ D f(P) ∈ |R

Ejemplo: La distancia f(p) de cualquier punto P a un punto fijo P0 en el espacio

es una función escalar cuyo dominio de definición D es todo el espacio. f(p) define una

función escalar en el espacio. Si se introduce un sistema de coordenadas cartesianas y

P0 tiene las coordenadas x0, y0, z0, entonces f está dada por la conocida fórmula:

( ) 20

20

20 )()(),,()( zzyyxxzyxfPf −+−+−==

Donde x, y, z son las coordenadas de P. Si se reemplaza el sistema de

coordenadas cartesianas dado por otro sistema cartesiano, entonces, en general, los

valores de las coordenadas de P y P0 cambiarán, pero f(p) tendrá el mismo valor de

antes. De aquí que f(p) es una función escalar.

Se llama superficie isoescalar, equiescalar o de nivel, al lugar geométrico de los

puntos del espacio en los que la función escalar de punto toma el mismo valor. En

consecuencia, la ecuación de una superficie de nivel es:


Angel Martín 2

( ) ctezyxfpf == ),,(

Que, evidentemente corresponde a una superficie.

Por definición de función ésta tiene un único valor en cada punto del dominio

de definición, por lo que por cada punto pasa una, y solo una superficie de nivel de f.

Si a cada punto P de un conjunto dado de puntos en el espacio (por ejemplo,

los puntos de una curva, una superficie o una región tridimensional) se le asigna un

vector )(PA , entonces se dice que se da un campo vectorial en esos puntos y )(PA ,

o simplemente A , es una función vectorial.

Si se introducen las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) sabemos que un vector

se puede definir por sus componentes a lo largo de 3 ejes perpendiculares

cualesquiera, es decir, que un vector se puede descomponer en las componentes Ax,

Ay, Az, figura 1.

El vector →

A se puede expresar, sencillamente, en función de sus componentes

Ax, Ay, Az, empleando los vectores unitarios kji ,, que se definen como vectores de

módulo unidad en las direcciones positivas de los ejes X, Y, Z respectivamente:

Figura 1: Descomposición de un vector en sus componentes Ax, Ay y Az.

X

Y

Z

→

A

Ay

Ax

Az→

k

→

j→

i


Angel Martín 3

kAzjAyiAxA ++=

Se usa la notación cartesiana (X, Y, X) para las coordenadas del punto final del

vector (afijo) en el sistema de referencia definido por los vectores unitarios kji ,, .

Pero también debe tenerse presente que el campo vectorial depende solo de los

puntos de su dominio de definición y que en cualquier punto se define el mismo vector

para cualquier elección del sistema de coordenadas, es decir son campos

independientes del sistema de coordenadas elegido.

Ejemplo: el campo gravitatorio: De acuerdo con la ley de gravitación de Newton,

dos puntos con masas m1 y m2, separados una distancia r, se atraen el uno al otro con

una fuerza cuyo módulo es:

221

rmmKFF ==

Entendiendo esa fuerza como vectorial, es decir, con dirección, sentido, y con

módulo.

Esta fuerza está definida a lo largo de la línea que conecta con los dos puntos;

K es la constante de gravitación universal:

2

3111067,6

sgKgmK −×=

Aunque las masas m1 y m2 se atraen entre sí de una forma completamente

simétrica, es conveniente llamar a una de ellas masa atrayente y a la otra masa

atraída. Por simplicidad, hagamos la masa atraída igual a la unidad (conocida como

partícula testigo: Al menos debe haber 2 masas para que las leyes de Newton tengan

significado, por lo que si queremos evaluar el campo gravitatorio de un solo cuerpo,

debemos introducir esta simplificación ya que servirá para materializar la fuerza

gravitatoria y nos ayudará a calcular el campo) y nombremos a la masa atrayente

simplemente por m:

2rKmFF ==

( )1

Esta fuerza gravitacional puede representarse por un vector F con magnitud o

módulo F, dirección la recta que une la masa atrayente con la atraída y sentido hacia


Angel Martín 4

la masa atrayente, introduciendo las coordenadas cartesianas de manera que el punto

atrayente P0 tenga coordenadas (X0,Y0,Z0) y el punto atraído P coordenadas (X,Y,Z),

entonces:

( ) 20

20

20 )()( zzyyxxr −+−+−=

Suponiendo que r>0 e introduciendo el vector:

( ) kzzjyyixxr )()( 000 −+−+−=

Se tiene que rr = y, por tanto rr

− será el vector unitario en la dirección de P PO, el

signo negativo indica que P está dirigido hacia P0 (el sentido). De esto y utilizando la

ecuación (1) se tiene que:

kr

zzKmj

ryy

Kmir

xxKm

rrKm

rrFF 3

03

03

03

−−

−−

−−=−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

( )2

Esta función vectorial describe la fuerza gravitacional que actúa sobre P.

0.2 Derivada direccional. Gradiente de campo escalar. Potencial. Circulación

Sea un campo escalar en el espacio dado por una función escalar f(p)=f(X,Y,Z),

se sabe que las primeras derivadas parciales de f son las rapideces de cambio de f en

las direcciones de los ejes coordenados. No parece natural restringir la atención a

estas tres direcciones y puede preguntarse por la rapidez de cambio de f en cualquier

dirección. Esta idea tan sencilla conduce a la noción de derivada direccional.

Para definir esa derivada se elige un punto P en el espacio, figura 2, y una

dirección en P, dada por un vector unitario b . Sea C el rayo o dirección de P en la

dirección de b y Q un punto sobre C, cuya distancia a P es S.

Entonces, si el límite:

( ) ( )S

PfQflimSf

S

−=

∂∂

→0


Angel Martín 5

Existe, se llama derivada direccional de f en la dirección de b . Obviamente,

Sf∂

∂ es la rapidez de cambio de f en P a lo largo de la dirección que marca el unitario

b .

De esta forma, ahora existe un número infinito de derivadas direccionales de f

en P, cada una correspondiente a una determinada dirección; vamos a modelizar o

parametrizar esta idea:

Dado un sistema de coordenadas cartesianas, una curva S puede

representarse o parametrizarse mediante la función vectorial, figura 3:

ktzjtyitxtr )()()()( ++=

Figura 2: Definición de derivada direccional.

→

b•

X

Y

Z

→

A

C

P

Q

S


Angel Martín 6

Donde a cada valor tO de la variable real t le corresponde un punto c (el afijo del

vector) que posee como vector de posición el vector ( )→

Otr , es decir, las coordenadas

x(tO), y(tO), z(tO), siendo ese punto C un punto de la curva S.

Una representación de esta forma se denomina representación paramétrica de

la curva S y t recibe el nombre de parámetro de representación.

Así, la variación de una función sobre cualquier curva o línea, definición de

derivada direccional, puede representarse como:

( ) tf

tr

fSf

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂

∂=

∂∂

→

Aplicando la regla de la cadena se obtiene:

tz

zf

ty

yf

tx

xf

tf

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

( )3

Donde tx∂

∂ , ty∂

∂ , tz∂

∂ marcan la variación de cada una de las coordenadas

cartesianas a medida que avanza el parámetro t, o, si se expresa en forma vectorial,

figura 4, se puede expresar utilizando el vector unitario b :

Figura 3: Parametrización de una curva S.

X

Y

Z

S( )→tr

c tr∂∂

→


Angel Martín 7

bktzj

tyi

tx

tr

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

El significado geométrico exacto de la función tr∂

∂→

se dará más adelante.

Todo esto sugiere que se introduzca el vector:

→→→→

∂∂

+∂∂

+∂∂

= kZfj

Yfi

Xffdgra

Y escribir la ecuación (3) en la forma del producto escalar:

→→

⋅=∂∂ bfdSf gra

( )b3

El vector fgrad se llama gradiente de la función escalar f. Introduciendo el

operador diferencial:

kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇

Léase nabla, se puede escribir:

→→→→

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇= kzfj

yfi

xfffdgra

X

Figura 4: Parametrización del vector unitario b .

Y

Z

( )→tr

→

b S


Angel Martín 8

Así pues, el gradiente de una función escalar la transforma a función

vectorial si se aplica el gradiente a cada punto del dominio de la función escalar f.

Por la definición de una función escalar, el valor de f en un punto P depende de

P pero es independiente de las coordenadas y, por otra parte S, la longitud de arco

por donde tiene lugar la derivada direccional, también es independiente de la elección

particular de las coordenadas, por lo tanto la longitud y la dirección de fgrad son

independientes de la elección particular de las coordenadas cartesianas en el espacio.

Ahora busquemos la dirección donde Sf∂∂

se hace máxima: utilizando las

propiedades del producto escalar se tiene que:

αα cosgracosgra→→→

=⋅=∂∂ fdbfdSf

Donde es el ángulo entre b y fgrad . Así Sf∂∂

es máxima cuando

cos=1, es decir, =0 y, entonces →

=∂∂ fdSf gra , lo cual pone de manifiesto que el

vector fgrad lleva la dirección de la máxima variación de la función y sentido

creciente de la misma.

Otra importante propiedad geométrica del gradiente puede obtenerse del

modo siguiente: considérese una función escalar diferenciable f(x,y,z) en el espacio.

Supóngase que para cada constante c, la ecuación:

cteczyxf ==),,(

Representa una curva equiescalar en el espacio.

Recuérdese, además, que una curva en el espacio puede representarse en la

forma paramétrica:

ktzjtyitxtr )()()()( ++=


Angel Martín 9

Si ahora se requiere que esa curva se encuentre sobre la superficie equiescalar,

entonces se obtiene como representación paramétrica de una curva equiescalar o de

nivel:

ctetztytxftrf == )](),(),([))((

Derivando esto para buscar la variación de la función a lo largo de la superficie

equiescalar y aplicando la regla de la cadena se obtiene:

0)·(··· =∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

trfgrad

tz

zf

ty

yf

tx

xf

tf

( )4

Para encontrarle significado geométrico a la ecuación 4, debemos buscárselo,

en primer lugar, a la expresión tr∂

∂→

, ecuación con la que ya nos habíamos

encontrado al analizar la ecuación (3).

Se considera que la tangente a una curva S en un punto P de S se define como

la posición límite de la recta L que pasa por P y otro punto Q de S, conforme Q tiende

a P a lo largo de una curva, figura 5.

Figura 5: Definición de tangente a una curva.

( )→

tr

→

u

O

P

S

L

( )→

Δ+ ttr


Angel Martín 10

Supóngase que S se representa mediante una función vectorial continuamente

diferenciable )(tr donde t es cualquier parámetro. Entonces L tiene la dirección:

( ) ( )

t

trttr

Δ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Δ+

→→

De ahí que el vector:

ttrttrlim

dtdr

t Δ−Δ+

=→Δ

→

)()(0

Si no es el vector cero, tiene la dirección de la tangente a S en P.

Entonces, volviendo a la búsqueda del significado geométrico de la ecuación

(4), sobre una superficie a nivel si el gradiente de f en P no es el vector cero, es

perpendicular a la superficie de nivel S en P, es decir, tiene la dirección de la normal a S en P.

Por lo tanto, resumiendo y volviendo a la definición ideal, la variación elemental

de la función f en cualquier dirección →

b (vector unitario de la dirección S) se puede

expresar como veíamos en la ecuación 3b:

→→

⋅=∂∂ bfdSf gra

Que sabemos se llama derivada direccional de la función f en la dirección dada

por el vector unitario →

b .

El significado geométrico de la derivada direccional será el siguiente: para

cualquier dirección→

b , a partir de P, el valor de la derivada direccional será, figura 6:

α·cosgra→

=∂∂ fdSf


Angel Martín 11

Es decir, la longitud del segmento proyección del →

fdgra sobre la dirección

dada por→

b .

Algunos de los campos vectoriales que ocurren en la física se expresan

mediante funciones vectoriales que pueden obtenerse como los gradientes de

funciones escalares apropiadas. Entonces una función escalar así se llama función de potencial o potencial del campo vectorial correspondiente. El uso de los

potenciales simplifica considerablemente la investigación de esos campos vectoriales.

Uno de los ejemplos más claros es el potencial gravitatorio:

dkmV =

Donde d es, en este caso, la distancia. El vector gradiente coincide con las

componentes del vector fuerza gravitatoria tal como se puede comprobar.

Dado un campo vectorial ),,( zyxFF = se define como circulación elemental

de este campo a lo largo de la curva S a la expresión, figura 7:

Figura 6: Interpretación geométrica de derivada direccional.

→

fdgra

P

α

→

b

S

f=fO


Angel Martín 12

→→

⋅= drFdC

Que extendida a un tramo finito AB de la curva, se traduce en la integral

curvilínea:

∫→→

⋅=B

A

BA drFC

( )5

Supongamos ahora que: →→

= fdF gra

Sustituyendo en la ecuación (5) nos queda:

→→

∫= drfdCB

A

BA ·gra

Y, teniendo en cuenta la definición de derivada direccional:

→→→→→→

=→=→= drfddfdrurfddfurfddrdf ·gra··gra·gra

La cantidad subintegral coincide con la variación elemental de la función f

(con su diferencial df), lo que permite escribir la ecuación (5) de la forma:

•

•

Figura 7: Definición de circulación elemental.

→

F

X

Y

Z

→

r

S

A

B→

dr


Angel Martín 13

A

B

AB

BA ffdfC −== ∫

Es decir, la circulación del campo →

F , entre los puntos A y B sobre la curva es

igual al valor de la función f en B menos el valor de la función f en A y, por tanto,

dicha circulación no depende del camino o curva que une ambos puntos, sino

únicamente de los valores de la función f en ambos puntos.

Así si la función vectorial que define un campo vectorial se obtiene a partir del

gradiente de una función escalar, que dice que el campo es conservativo porque en

un campo así, el trabajo realizado al desplazar una partícula desde un punto P1 a un

punto P2 en el campo solo depende del valor de la función en P1 y P2, pero no de la

trayectoria a lo largo de la cual se desplaza la partícula desde P1 a P2, tal es el caso

del campo gravitatorio.

0.3 Teorema de la divergencia. Teorema de Gauss

Dado un campo vectorial ),,( zyxFF = y una superficie S, se define como

elemento de flujo φd del campo F a través de la superficie S en el entorno de un

punto P de la misma a la expresión, figura 8:

sdFd ·=φ

Figura 8: Definición de flujo elemental.

→

F

→

r

X

Y

Z

P

ds

S

→

ds→

n


Angel Martín 14

Donde F es el valor del campo vectorial en el punto y sd es el vector normal

a la superficie S en P y cuyo módulo es igual a la superficie del elemento diferencial de

área considerando dsds =→

.

En función del vector unitario normal →

n a la superficie, el elemento de flujo es:

dsnFd )··(=φ

Por lo que el flujo total del campo →

F a través de la superficie S se obtiene

integrando:

∫∫∫∫∫∫→→→→→

==⋅=S

nSs

s dsFdsnFdsF ·)·(φ

Esta integral corresponde a la definición de integral de superficie para campos

vectoriales.

En caso de que la superficie a estudiar encierre un volumen se actúa de la

siguiente manera:

Normalmente tendremos la función F definida, y, normalmente, los límites de

integración estarán establecidos, así que deberemos dividir nuestra superficie en

superficies más sencillas y formar la suma. En estas superficies más sencillas es

donde debemos evaluar sd . Para un cubo, por ejemplo, tendríamos, figura 9:

Para la cara 1 que tendrá 1n :

kdydxsdn ··1 =→


jdzdxsdn ··2 =→


idzdysdn ··3 =→


Angel Martín 15

Finalmente para obtener el flujo deberán multiplicarse escalarmente los

elementos anteriores por el correspondiente vector F y sumar el flujo resultante de

cada cara. Por lo tanto, en el caso de una superficie cerrada, el cálculo del flujo a

través de las superficies que encierran el volumen se transforma en variación de ese

flujo, es decir, la suma del flujo de todas las superficies marcará la variación de flujo

en una dirección.

Así este flujo saliente, en caso de calcularse sobre una superficie que encierra

un volumen, también se puede calcular de otra forma considerando un volumen

infinitesimal y un vector F (del campo vectorial del que antes hablábamos) aplicado a

un punto P situado dentro del volumen, y cuyos componentes Fx, Fy, Fz son funciones

de las coordenadas x, y, z como ya sabemos, figura 10:

kzyxFzjzyxFyizyxFxF ),,(),,(),,( ++=

Figura 9: Ejemplo de cálculo de flujo elemental utilizando un cubo.

→

3n X

Y

Z

→

1n

→

2n

dx

dy

dz


Angel Martín 16

El flujo neto a través del volumen que encierra a F en el punto P se obtiene

como la suma de los flujos netos a lo largo de las direcciones X, Y, Z que son

perpendiculares a las caras del paralelopípedo diferencial, flujos a los que se

denominará xdφ , ydφ y zdφ . Se podrá considerar, por tanto, que:

zdydxdd φφφφ ++=

Cada uno de estos sumandos, como flujos netos que son se pueden ver como

las variaciones de flujos en cada una de las direcciones coordenadas (variación de la

función Fx, por ejemplo, a lo largo de una dirección )(x ).

Así se puede ver como la variación de una función en una dirección dada que

no es más que la definición de derivada direccional y, por tanto, de gradiente, que

para que coincida con la definición de flujo dsnFd ··=φ se deberá leer como variación

de la función dada →

F en un punto sobre una superficie a lo largo de una dirección

determinada, por ejemplo, para la dirección del eje x se tendrá:

X

Y

Z

→

F

dx dy

dz P

Figura 10: Cálculo del flujo saliente utilizando un volumen infinitesimal.


Angel Martín 17

dxiFddrurFdd X ··gra··gra→→→→

==φ

Donde para la dirección del eje x, solo debemos evaluar la componente Fx del

vector F , es decir:

)··( dydzFxgradFgrad =

Con lo que, finalmente:

))·(··( idxdydzFxgradd x =φ

Desarrollando la última expresión tenemos:

[ ] [ ] [ ] )·(······ idxkz

dzdyFxjy

dzdyFxix

dzdyFxd x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

+∂

∂=φ

dvx

Fxdzdydxx

Fxdxx

dydzFxd x ·····)··(∂∂

=∂∂

=∂

∂=φ

Siendo dv la diferencial de volumen.

Operando de la misma forma, los restantes flujos netos serán:

dvy

Fyd y ·∂∂

=φ

dvz

Fzd z ·∂∂

=φ

Es decir:

dvFdivdvz

Fzy

Fyx

Fxd ··→

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=φ ( )6

Donde se ha llamado →

Fdiv a ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

zFz

yFy

xFx

Con lo que, finalmente, el flujo será igual a:


Angel Martín 18

∫∫∫ ⋅=→

v

dvFdivφ

Para obtener un significado físico de la divergencia partimos de la ecuación

(6) e introducimos el símbolo nabla para expresar la divergencia:

dvdFFdiv φ

=∇=→→

( )7

Con lo que podemos decir que el significado físico de la divergencia en un

punto P es la cuantificación del flujo del campo vectorial a través de la superficie que

limita un volumen elemental que contiene al punto. En definitiva, expresa el flujo por

unidad de volumen. Además la divergencia transforma a escalar un campo vectorial.

En el desarrollo la dirección se ha tomado como dirigida hacia el exterior del

volumen, si el numerador en la ecuación (7) es positivo quiere decir que el flujo

resultante a través de la superficie que limita al elemento de volumen considerado es

saliente, la divergencia del campo en ese punto es positiva, diciéndose que constituye

un manantial. En caso de que dicho numerador sea negativo, la divergencia es

negativa y el punto constituye un sumidero. Finalmente si la divergencia es nula en

todos los puntos se dice que el campo es solenoidal.

Hemos visto que se puede obtener el flujo saliente a través de las expresiones:

∫∫ ∫∫∫==s v

n dvFdivsdF ··φ

Esta igualdad es la conocida expresión del teorema de la divergencia y que

constituye el teorema de Gauss, que se podría enunciar diciendo: “El flujo saliente de

un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de volumen

de la divergencia extendida al volumen encerrado por dicha superficie”, la integral del

2º miembro es la cantidad de flujo generado (o aniquilado) por la acción combinada de

fuentes y sumideros dentro de un volumen V, el primer miembro es la cantidad de

flujo que sale o entra a través de la superficie S que encierra el volumen V. El teorema

de Gauss expresa el hecho evidente de que ambas cantidades son iguales.

Si se considera la divergencia del gradiente de un campo escalar u, se obtiene

lo que se denomina laplaciano:

)( ugraddiv


Angel Martín 19

Es decir, la divergencia lo es, por definición, de un campo vectorial, que, por

ejemplo, puede estar constituido por el grad de un determinado campo escalar, con

lo que tendremos el flujo de ese potencial (o variación de potencial), que se

representará por:

=Δ=∇=∇∇ uuu 2)(

uzyxz

uyu

xu ·2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

Donde Δ es el operador laplaciano:

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

0.4 Campos centrales y Newtonianos

Un campo escalar se dice que es central, cuando la ecuación que lo

representa es función exclusiva de la distancia a un punto fijo, denominado centro del

campo. Serán, por tanto, campos con simetría esférica con respecto a dicho punto, es

decir, las superficies de nivel serán superficies esféricas con centro el del campo.

Se dice que un campo vectorial es central cuando las líneas de campo

(vectores) son rectas que concurren o parten en un punto, llamado centro del campo, y

el módulo de los vectores son una función que dependerá exclusivamente de la

distancia de dicho punto al centro del campo. Al igual que en el caso de los campos

escalares, son campos con simetría esférica con respecto al centro del campo, figura

11:

Figura 11: Definición de campo vectorial central.


Angel Martín 20

Teniendo en cuenta las características del campo escalar central y del campo

vectorial central, se podrá afirmar que el campo de gradientes asociado a un campo

escalar central es un campo vectorial central.

Si se trabaja en coordenadas esféricas la expresión de dicho campo será:

uddFF )·(=

Siendo F(d) el módulo del campo, función de la distancia de un punto genérico

al centro del campo y que coincidirá con la primera coordenada esférica tomando

como origen dicho centro, y ud el unitario correspondiente, es decir, se tratará de una

función radial únicamente.

El flujo del campo a través de una superficie esférica de radio R y cuyo centro

coincida con el del campo será:

( ) λθθαφ ddsendndFdsnFdSFS SS

⋅⋅⋅⋅⋅±=⋅⋅=⋅= ∫∫ ∫∫∫∫→→→→→→

2cos

En este caso d será el radio R del campo central y θ la colatitud, el ± se

introduce para señalar la circunstancia de que el campo puede ser una fuente o un

sumidero, el valor del módulo del vector →

n es la unidad al tratarse de un vector

unitario, el ángulo entre los vectores del campo y la normal es de cero grados ( 0=α ),

con lo que, al tratarse de una función radial, su coseno será la unidad y, por último,

θsend 2 es el Jacobiano de la función con respecto a las variables de cambio ya que

pasamos a un sistema de coordenadas esférico. La resolución de la integral anterior

es:

∫∫ ∫∫±=±=s

ddsenRFRddsenRRF360

0

180

0

22 ··)(···)( λθθλθθφ

)(4 2 RFRπφ ±= ( )8


Angel Martín 21

El campo newtoniano, con el cual ya hemos trabajado, se enuncia de la

siguiente forma: “una masa puntual, m, crea a su alrededor un campo atractivo de

acuerdo con la ley de Newton”. Por lo tanto el campo newtoniano es un caso particular

de campo vectorial central. El módulo de la fuerza atractiva que esta masa ejerce

sobre una masa puntual colocada a una distancia d de ella, es, de acuerdo con la

citada ley, 2dKmF = .

Por tanto el campo newtoniano creado por m se puede expresar también

utilizando la definición de campo vectorial central de la forma:

( )→→→

−=⋅= uddKmuddFF 2

Con la particularidad para los campos newtonianos de que:

( ) 2

.dctedF =

Con esto estamos en disposición de calcular directamente el potencial de dicho

campo realizando la integral cerrada sobre todas las curvas que generan las líneas

equipotenciales y que únicamente dependen de la distancia al centro del campo:

∫ ∫ ++

=−

== CdKmdd

dKmdddFV 2)·(

Siendo dd la diferencial de distancia. Si se considera que cuando ∞→d , V se

hace nulo, el valor de la constante C se hace cero, con lo cual, el valor del potencial

será, tal y como ya sabíamos:

dKmV =

Para calcular el flujo del campo gravitatorio debemos utilizar la ecuación (8),

obteniendo:

KmdKmR ππφ 44 2

2 ±=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡±=


Angel Martín 22

Donde d=R.

Si dividimos el cuerpo total (de masa M) en pequeños elementos de masa dm

tendremos que:

4 4V V

d Kdm KMϕ ϕ π π= ± = ± = ±∫∫∫ ∫∫∫

Otra forma de obtener este flujo total será considerar una densidad ρ

constante e igual para cada dm de manera que:

dVdm

=ρ

Con lo que la integral anterior se transforma en:

4V

K dVϕ π ρ= ± ⋅ ⋅ ⋅∫∫∫

Con lo que, por el teorema de Gauss encontraremos que:

4V V

K dV div F dVϕ π ρ→

= ± = ± ⋅∫∫∫ ∫∫∫

Con lo que deberá cumplirse que:

4div F Kπ ρ→

= ±

Esta ecuación se está aplicando al campo gravitatorio donde VgradF −= (el

campo de fuerzas es el gradiente de la función escalar V, es decir, hablamos de un

potencial) con lo que se llega a la ecuación de Poisson:

ρπ KVddiv 4)gra( −=→

ρπ KV 4−=Δ

Y, para valores de ρ=0, es decir, fuera de las masas atrayentes, llegamos a la

ecuación de Laplace:


Angel Martín 23

0=ΔV

Que es, sin duda, la más famosa y universal de las ecuaciones diferenciales:

ninguna otra ecuación diferencial expresada en forma tan sencilla tiene tantas

relaciones matemáticas y aplicaciones físicas.

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TEMA 0: PRELIMINARES FISICOS Y MATEMÁTICOS · operador diferencial: k z j y i x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇= Léase nabla, ... Así pues, el gradiente de una función escalar