Tema 1 - Clase

FUNDAMENTOS DE

TEORA DE

12 de Diciembre de 2013

Clculo Numrico Jos Luis Quintero 1

TEORA DE ERRORES

Departamento de Matemtica Aplicada

Facultad de Ingeniera

Universidad Central de Venezuela

1. Los mtodos numricos

2. Fuentes bsicas de errores

3. Definiciones importantes

4. Error de una suma

5. Error de una diferencia

Puntos a tratar



6. Sumatorias y series elementales

7. Algoritmo de Horner

8. Evaluacin de funciones analticas

9. Nmero de condicin

Mtodos numricos

Son tcnicas mediante las cuales es posible formular

problemas matemticos de tal


problemas matemticos de tal forma que puedan resolverse

usando operaciones aritmticas.






Puntos a tratar







Planteamiento del problema (errores delproblema)

Presencia de procesos infinitos en anlisismatemtico (error residual)

Parmetros numricos (error inicial)

Fuentes bsicas de errores


Sistema de numeracin (error porredondeo)

Operaciones con nmeros aproximados(errores de operacin)

Representacin en punto flotante (errorespunto flotante)






Puntos a tratar







El error absoluto en denotado es ladiferencia entre el valor exacto x y elvalor aproximado .

Error absoluto y error relativo

x,x

x


El error relativo en es . El errorrelativo es ms significativo que el errorabsoluto, ya que carece de unidad.

x / xx

El error por redondeo es aquel originadopor las limitaciones que todaherramienta de clculo posee al nopoder representar las cantidades contodas sus cifras.

Redondeo y truncamiento


todas sus cifras.

El error por truncamiento se produce alreducir a un nmero finito deoperaciones un proceso matemticoque es infinito.

La cota o estimacin de un error escualquier nmero no menor que el error.

Si se dice que tiene t

Cota y decimales correctos

tx 0.5 10 , x


Si se dice que tiene tdecimales correctos. Tambin se diceque est correctamente redondeadoa t decimales.

x 0.5 10 , x

x

Utilice las variables especiales

eps, realmin y realmax

para calcular el psilon de la mquina,

psilon de la mquina, realmin y realmax


para calcular el psilon de la mquina,el nmero ms pequeo que la mquinadistingue de cero y la mayor magnitudrepresentada respectivamente.


El psilon de la mquina es el nmero demquina positivo ms pequeo de dobleprecisin tal que522 = 1 1+




realmin es el nmero de mquina positivoms pequeo de doble precisin dado por


ms pequeo de doble precisin dado porque la mquina distingue de

cero

10222 =



realmin es el nmero de mquina positivoms pequeo de doble precisin dado por


ms pequeo de doble precisin dado porque la mquina distingue de

cero

10222 =

realmax es el nmero de mquina msgrande dado por que puede serrepresentado con exactitud

10242

Underflow y overflow

Si un nmero es tal que seproduce un underflow y el computadorconsidera que x es cero

x R x ,<


Underflow y overflow

Si un nmero es tal que seproduce un underflow y el computadorconsidera que x es cero

x R x ,<


Si un nmero es tal que seproduce un overflow y se detienen losclculos

x R x ,>






Puntos a tratar







Error de una suma

El error absoluto de una suma de varios nmeros

aproximados no excede de la suma de los errores absolutos de los nmeros.

Ejemplo.


Ejemplo.

1 2

1 2

1 2

1 2

x 2.10, x 3.05, s 5.15

x 2.00, x 3.00, s 5.00

x 0.10, x 0.0 0.155, s

x x1s 0. 5

= = =

= = =

= = = = = +

Error de una suma

Si todos los nmeros (no nulos) vienen afectados

del mismo signo, la cota del error relativo de su suma no excede del de la mxima cota del

error relativo de cualquiera de ellos.

Ejemplo.


Ejemplo.

1 2 1 2

s 0.151 2 s s 5.15

x x0.10 0.051 2x xx 2.10 x 3.051 21 2

s

0.0291

0.

x 2.10, x 3.05, s 5.15, x 2.00, x 3.00, s 5.00

x 0.10, x 0.05, s 0.15,

0.0476, 0.0164

max(0.0476,0.0164) 0476

= = = = = =

= = = = = = = = = < = =






Puntos a tratar







Error de una diferencia

El error absoluto de una diferencia no excede a la

suma de las cotas de los errores absolutos del minuendo y sustraendo.

Si los nmeros aproximados son nmeros prcticamente iguales y tienen errores absolutos


prcticamente iguales y tienen errores absolutos pequeos, su suma exacta es pequea. La cota del error relativo en este caso puede ser muy grande aun cuando los errores relativos del minuendo y el sustraendo permanezcan pequeos. Esto conduce a una prdida de exactitud. Esto se denomina

cancelacin catastrfica.






Puntos a tratar







Sumatorias

n n

2

i 1 i 1

2n

3

n(n 1) n(n 1)(2n 1)i i

2 6

n(n 1)i

= =

+ + += =

+ =


3

i 1

n

4 3 2

i 1

n(n 1)i

2

ni (n 1)(6n 9n n 1)

30

=

=

+ =

= + + +

Tabla de series elementales







Puntos a tratar







Suponga un polinomio de grado n

con coeficientes reales

Evaluacin de polinomios

n n 1

n n 1 1 0P(x) a x a x ... a x a

= + + + +


con coeficientes reales

y se quiere calcular el valor :

ka (k 0,1,...,n),=

(k)P ( ) (k 0,1,...,n) =


Evaluacin directa:

n(n 1)

n(n 3)

2

2

n adiciones

multiplic

ope

acion

raci

es

ones

+

+


n adiciones

n multiplica

2n operac

ciones

iones

Algoritmo de Horner:


Evaluacin directa:

n(n 1)(n 5)

6

+ +

Algoritmo de Horner:

n(3n 1)+


Diferencia:

n(3n 1)

2

+

n(n 1)(n 2)

6

x=linspace(0,10,300);y=x.*(x+1).*(x+5)/6;z=x.*(3*x+1)/2;plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on

Grfico de una funcin


plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid onxlabel('Grado del polinomio')ylabel ('Nmero de operaciones') legend('Evaluacin tradicional','Algoritmo de Horner')

Grfico de dos funciones en un mismo sistema

150

200

250

300

N

m

e

r

o

d

e

o

p

e

r

a

c

i

o

n

e

s

Evaluacin tradicionalAlgoritmo de Horner


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

Grado del polinomio

N

m

e

r

o

d

e

o

p

e

r

a

c

i

o

n

e

s

x=linspace(0,10,300);y=x.*(x-1).*(x-2)/6;plot(x,y,'b.')xlabel('Grado del polinomio')ylabel ('Nmero de operaciones') title('Diferencia Tradicional-Horner')

Grfico de diferencia de nmero de operaciones

100

120Diferencia Tradicional-Horner


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40

60

80

Grado del polinomio

N

m

e

r

o

d

e

o

p

e

r

a

c

i

o

n

e

s

Algoritmo de Horner completo

i

j j j 1

inicio

leer (n,(a :0 i n), )

desde k 0 hasta (n 1) hacer

desde j (n 1) hasta k hacer

a a a

fin_desde

+

=

=

+


j

fin_desde

d a j

n n

i

factorial(j)

fin_desde

d a factorial(n)

escribir (d :0 i n)

fin






Puntos a tratar







Una funcin real f(x) se denomina analtica enun punto si en la vecindad de estepunto puede desarrollarse en series depotencias (serie de Taylor).

En muchos casos, desarrollar una funcin en

Evaluacin de funciones reales analticas

x R sum

sum=sum+term;n=n+1;term=term*(-1)*x*x/((2*n+1)*(2*n+2));

end


endfun=(1-cos(x))/(x.*x);fun2=((sin(x))^2/(1+cos(x)))/(x.*x);fun3=2*(sin(x/2))^2/(x.*x);fprintf(' n=%1.0f',n)fprintf(' i=%1.0f',i)fprintf(' taylor=%1.28f ',sum)fprintf(' funcion=%1.28f ',fun)fprintf(' funcion2=%1.28f ',fun2)fprintf(' funcion3=%1.28f\n',fun3)x=x.^2;

end

7. Justifique los resultados obtenidosmencionando la existencia de dificultadesnumricas presentes en las frmulas (si lashubiera) para el rango de valores

Ejercicio computacional


hubiera) para el rango de valoresconsiderados (cancelacin catastrfica,divisin por cero, etc).

8. Concluya cul de estas expresiones resultams estable numricamente.






Puntos a tratar







Las palabras condicin y condicionamiento seusan de manera informal para indicar cunsensible es la solucin de un problemarespecto de pequeos cambios relativos en losdatos de entrada.

Un problema est mal condicionado si

Condicin y condicionamiento


Un problema est mal condicionado sipequeos cambios en los datos pueden darlugar a grandes cambios en las respuestas.Para ciertos tipos de problemas se puededefinir un nmero de condicin. Si el nmero esgrande significa que se tiene un problema malcondicionado.

Nmero de condicin para la evaluacin de funciones

Error absoluto (EA):

EAimagenes .EApreimagenes

f(x h) f(x

K

f '(x)) h

=

+


Error relativo (ER):

ERimagenes .ERpreimagenes

f(x h) f(x) h

f(x) x

K

xf '(x)

f(x)

=

+

x=linspace(-1,1,3000);y=exp(x);z=abs(x);plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on

Ejemplo


plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid onxlabel('Preimagenes')ylabel ('Imagenes') legend('Condicin absoluta','Condicin relativa')title('Funciones de condicionamiento para y = exp(x)')

Ejemplo

1.5

2

2.5

3

I

m

a

g

e

n

e

s

Funciones de condicionamiento para y = exp(x)

Condicin absolutaCondicin relativa


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

Preimagenes

I

m

a

g

e

n

e

s

Norma de una matriz

n

ij1 1 j ni 1

n

ij

A max a

A max a

=

=

=


ij1 i nj 1

n n2

ijei 1 j 1

A max a

A a

=

= =

=

=

Nmero de condicin de una matriz

Para una matriz A:

1AA) A( =


donde es una norma matricial

AA) A( =

Pensamiento de hoy

La confianza en si mismoes el primer secreto delxito.


xito.

Emerson

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