TEMA 1. EL MOVIMIENTO

FÍSICA Y QUÍMICA 4º ESO

ÍNDICE:1. Magnitudes escalares y vectoriales.2. El movimiento.

2.1. Posición.2.2. Trayectoria, espacio recorrido y desplazamiento.2.3. Velocidad.2.4. Aceleración.

3. Movimiento rectilíneo y uniforme (MRU).3.1. Ecuación del MRU.3.2. Gráficas del MRU.

4. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).4.1. Ecuaciones del MRUA.4.2. Gráficas del MRUA. 4.3. Movimiento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR)4.4. Movimiento de caída libre.

5. Encuentro de móviles.

1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES★ MAGNITUD: Cualquier propiedad de la materia que se puede medir. Ej: masa, velocidad, tiempo,...

★ MAGNITUDES ESCALARES: Quedan determinadas por un nº y una unidad. Ej: masa, tiempo,...

★ MAGNITUDES VECTORIALES:○ Para determinarlas es necesario indicar:- Módulo (valor numérico) - Unidad- Dirección - Sentido - PUnto de aplicación ○ Se representan mediante un vector. ○ Para indicar que una magnitud es vectorial se dibuja una flecha encima de su símbolo.

Ejemplos: velocidad ( ), aceleración ( ), fuerza ( . ).○ Para hacer referencia al módulo de una magnitud vectorial, se representa el símbolo entre

barras o se omite la flecha encima del símbolo. Ejemplo: v o I I

Ejemplo de una magnitud vectorialUn coche se desplaza 12 km en la carretera que une Ribera con Villafranca. ¿Dónde se encuentra el coche al final de su recorrido?

No podemos responder a esta pregunta con la información que nos proporciona el enunciado. Además del módulo (12) y la unidad (km), necesitamos conocer:- la dirección. - el sentido en el que se mueve el coche (¿va de Villafranca a Ribera o de Ribera a

Villafranca?)

La dirección es la de la línea recta sobre la que se dibuja el vector.

El sentido viene indicado por la punta de la flecha (cada dirección tiene dos posibles sentidos).

2. EL MOVIMIENTO

2. EL MOVIMIENTO★ CINEMÁTICA: rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta

las causas (fuerzas) que lo producen.

★ MÓVIL: Cualquier cuerpo en movimiento. Ej. coche, corredor, avión, pelota,...

★ SISTEMA DE REFERENCIA: ○ Punto o conjunto de puntos respecto de los cuales se describe el movimiento de un cuerpo. ○ Es necesario establecer un sistema de referencia porque el movimiento es relativo.

Ej. ¿Se mueve una persona que está sentada dentro de un autobús?- Si tomamos como referencia La persona se mueve ya que su posición cambia

la parada de autobuses respecto al punto de referencia (parada bus).- Si tomamos como referencia La persona está parada ya que su posición no.

el asiento del conductor cambia respecto al punto de referencia (asientodel conductor)

2.1. Posición ❖ Posición (x): Es el punto en el que se encuentra un móvil respecto del punto que hemos

tomado como referencia.

❖ Cuando el móvil se mueve en línea recta (movimiento rectilíneo), la posición viene dada por el punto x en el que se encuentra el móvil.➢ Si x es positivo ➡ El móvil se mueve hacia la derecha del punto de referencia.➢ Si x es negativo ➡ El móvil se mueve hacia la izquierda del punto de referencia.

❖ Ejemplo:

xrojo = - 100 m xamarillo = 150 m

2.2. Trayectoria, espacio recorrido y desplazamiento❏ Trayectoria:

- Línea que resulta de unir los puntos correspondientes a las distintas posiciones por las que ha pasado el móvil

- Si la rueda del coche estuviera manchada de pintura, la trayectoria sería la línea que queda dibujada en el suelo.

- PUede ser:- rectilínea.- curvilínea (circular, parabólica, elíptica,...)

❏ Desplazamiento ( ):- Es un vector que une la posición inicial del móvil (xi o x1) con la posición final (xf o x2).- Módulo del vector desplazamiento: x = xf-xi

→si x es positivo, el móvil se desplaza hacia la derecha.→si x es negativo, el móvil se desplaza hacia la izquierda.

x = 200 m - 50 m = 150 m x = - 150 m - 50 m = -200 m

❏ ESpacio recorrido o distancia recorrida (s): - Es las distancia que recorre el móvil.- Su unidad en el SI es el metro (m).

Ejemplos de desplazamiento y distancia recorrida

s = 40 mx =60 m - 20 m = 40 m

s = 90 mx =30 m - 0 m = 30 m

s = x cuando el móvil:- se mueve en línea recta.- no retrocede.

s ≠ x en los demás casos

2.3. Velocidad❖ Velocidad: Es la rapidez con la que cambia la posición de un cuerpo.

➢ Velocidad media (vm): - Se usa cuando el intervalo de tiempo es grande.

- Unidad en el SI: m/s. También se usa km/h.

➢ Velocidad instantánea (vi): - Velocidad del móvil en cada instante.

❖ Ejemplo: Un coche recorre 50 km en 0,5 h. - Su velocidad media es:

❖ Si durante toda la trayectoria vm = vi ⇒ Movimiento uniforme (la velocidad no cambia)

❖ Si a lo largo de la trayectoria vm ≠ vi ⇒ Movimiento no uniforme o variado (la velocidad cambia)

vm = =x xf - xi

t tf - ti

vm = = 10050 km km 0,5 h h

- Su velocidad instantánea es la que marca el velocímetro en cada instante (unas veces marca más de 100 y otras menos de 100 km/h)

❖ La velocidad es una magnitud vectorial:

❖ Para describirla necesitamos conocer:➢ PUnto de aplicación: es la posición del móvil en cada momento.

➢ Dirección: - ES tangente a la trayectoria.- En el movimiento rectilíneo coincide con la trayectoria.

➢ Sentido: - El mismo que el vector desplazamiento. - Viene indicado por el signo de la velocidad:

→ Si es + ➡ el móvil se mueve hacia la derecha.→ Si es - ➡ el móvil se mueve hacia la izquierda.

➢ Módulo:vm = =x xf - xi

t tf - ti

vm = x t

→ →

2.4. Aceleración❖ Aceleración: Es la rapidez con la que cambia la velocidad de un cuerpo.

➢ Es una magnitud vectorial:- Punto de aplicación: la posición del móvil en cada momento.

- Módulo:

- Dirección: en el movimiento rectilíneo, tiene la misma dirección que v y x.- Sentido:

➢ Unidad en el SI: m/s2

v vf- via = = t tf - ti

→ →

→ →El opuesto a v si el móvil está frenando (la velocidad disminuye, a es -).

va = t

→ →

El mismo que v si el móvil está acelerando (la velocidad aumenta, a es +)

3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)

3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)★ La trayectoria es rectilínea s = x

módulo★ La velocidad es constante en dirección a = 0 ; vm = vi = v

sentido3.1. Ecuación del MRU★ Ecuación de la posición o del movimiento: ecuación que indica la posición del móvil en cada instante. ★ Para obtener esta ecuación despejamos la posición final (xf) de la ecuación de la velocidad:

v = tf - ti

xf - xi Si ti = 0 v =

txf - xi v · t = xf- xi v · t + xi = xf

xf = xi + v · t

xf: posición del móvil en el instante t (cambia a medida que avanza el tiempo).xi: posición de la que partió el móvil.v: velocidad del móvil.t: tiempo.

Ecuación de la posición o ecuación del movimiento

Ejemplo 1 MRUUn coche parte de un punto situado a 3 m del origen y lleva una velocidad de 10 m/s. a) Escribe la ecuación de la posición para este móvil.b) Calcula la posición del móvil cuando hayan pasado 5 s. c) Calcula el tiempo que tarda el móvil en llegar a un punto situado a 200 m del origen.

Indica que todas las magnitudes están expresadas en unidades del Sistema Internacional:

- xf y xi en metros- v en m/s- t en segundos

a) Datos: Desarrollo:xi = 3 m. Ecuación de la posición: xf = xi + v · tv = 10 m/s Ecuación de la posición para este móvil: xf = 3 + 10 · t (SI)

t = 5 s

b) Para calcular la posición del móvil cuando han pasado 5 s, sustituimos en la ecuación de la posición t = 5 s.

xf = 3 + 10 · t (SI) xf = 3 + 10 · 5 xf = 3 + 50 xf = 53 m

xf = 200m 200 - 310

= t

200 - 310

t = = 19,7 s

c) Para calcular el tiempo que tarda el móvil en llegar a un punto situado a 200 m del origen, sustituimos xf = 200 m en la ecuación de la posición y despejamos t.

xf = 3 + 10 · t 200 = 3 + 10 · t 200 - 3 = 10 · t

Ejemplo 2 MRUUna moto parte del origen con una velocidad de 90 km/h.a) EScribe la ecuación de la posición para la moto.b) ¿A qué distancia se encontrará la moto del origen cuando hayan pasado 30 min?c) ¿Cuánto tiempo tarda la moto en estar a 10,5 km del origen?

Km 1000 m 1 h · · = 25 m/s h 1 km 3600 s

a) Datos: Desarrollo:xi = 0 Expresamos la v en unidades del SI: v = 90 km/h

v = 90

Ecuación de la posición: xf = xi + v · tEcuación de la posición para este móvil: xf = 0 + 25 · t (SI)

xf = 25 · t (SI)

60 s · = 1800 s 1 min

b) Como debemos trabajar en unidades del SI, transformamos los min en s y después sustituimos en la ecuación de la posición:

Datos: Desarrollo:t = 30 min Expresamos el tiempo en segundos: t = 30 min

Sustituimos en la ecuación de la posición: xf = 25 · t = 25 · 1800 = 45 000 m

1000m · = 10 500 m 1 km

10 500 m = 420 s 25 m/s

c) Como debemos trabajar en unidades del SI, transformamos los km a m y sustituimos en la ecuación de la posición:

Datos: Desarrollo:xf = 10,5 km Expresamos xf en m: xf = 10,5 km

Sustituimos en la ecuación de la posición:

xf = 25 · t → 10 500 = 25 · t → t =

3.2. Gráficas del MRU❏ GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO (X-t)

En el MRU el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales (su velocidad es constante)

❏ GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO (V-t)

La velocidad no cambia en todo el movimiento.

★ Ninguna de las dos gráficas representa la trayectoria del móvil.

MRU

Ejemplo 1. Representación gráfica MRURepresentar las gráficas x-t y v-t de un móvil cuya ecuación de la posición es: xf = 10 + 15 · t (SI)

t (s) xf (m)

0 10

1 25

2 40

2. Representar los valores obtenidos.

❖ Gráfica x-t: 1. Calcular los valores de xf para t= 0, 1 y 2s.

❖ Gráfica v-t: comparando la ecuación general con la ecuación de este

movimiento, observamos que la velocidad del móvil es 15 m/s. xf = xi + v · t

xf = 10 + 15 · t

Ejemplo 2. Representación gráfica MRURepresentar las gráficas x-t y v-t de un móvil cuya ecuación de la posición es: xf = 20 - 3 · t (SI)

2. Representar los valores obtenidos.

t (s) xf (m)

0 20

1 17

2 14

❖ Gráfica x-t: 1. Calcular los valores de xf para t= 0, 1 y 2s.

❖ Gráfica v-t: comparando la ecuación general con la ecuación de este

movimiento, observamos que la velocidad del móvil es - 3 m/s. xf = xi + v · t

xf = 20 - 3 · t

La v es - porque el móvil se mueve hacia la izquierda.Por eso, los valores de x disminuyen con el tiempo y la gráfica x-t es descendente.

Ejemplo 3. Representación gráfica del MRUObtener la ecuación de la posición para un móvil cuya gráfica x-t es la que aparece a continuación:

Necesitamos obtener los valores de xi y v.- xi es la posición del móvil cuando t = 0. En la

gráfica se observa que xi = 5m.

xi

- v es la pendiente de la recta. Para calcularla se eligen dos puntos de la recta y se aplica la fórmula de v

● (ti, xi)(1, 15)

● (tf, xf)(3, 35)

xf - xi 35 m - 15 m v = = = 10 m/s tf - ti 3 s - 1s

Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación de la posición: xf = xi + v · t

xf = 5 + 10 · t (SI)

4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)

4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)★ La trayectoria es rectilínea s = x ★ La aceleración es constante v cambia de manera uniforme

4.1. Ecuaciones del MRUA★ Ecuación de la velocidad: ecuación que indica la velocidad del móvil en cada instante. ★ Para obtener esta ecuación despejamos la velocidad final (vf) en la ecuación de la aceleración:

a = tf - ti

vf - vi Si ti = 0 a =

tvf - vi a · t = vf- vi a · t + vi = vf

vf: velocidad del móvil en el instante t (cambia a medida que avanza el tiempo).vi: velocidad inicial del móvil.a: aceleración del móvil.t: tiempo.

vf = vi + a · t Ecuación de la

velocidad

★ Ecuación de la posición en el MRUA

Ecuación de la posición en el MRU: xf = xi + v · t →

Ecuación de la posición en el MRUA xf = xi + vm · t →

Calculamos el valor medio de la velocidad (vm) como la media entre vi y vf:Sustituimos vf = vi + a · t en la ecuación de vm:

Por tanto,

Sustituimos la expresión obtenida para vm en la ecuación de la posición:

Esta ecuación no se puede usar en el MRUA porque v no es constante.

vm representa el valor medio de la velocidad

Ecuación de la posición

★ Ecuación de la posición en el MRUA

xf: posición del móvil en el instante t (cambia a medida que avanza el tiempo).xi: Posición inicial del móvil.vi: velocidad inicial del móvila: aceleración del móvil.t: tiempo.

Recuerda que:- x se mide en metros.- v se mide en m/s - t se mide en s- a se mide en m/s2

Ejemplo 1 MRUAa) Escribe la ecuación de la velocidad de un coche que tiene una aceleración constante de 5 m/s2

y partió con un velocidad inicial de 2 m/s. b) Determina la velocidad del coche cuando han pasado 3 s desde que inició su movimiento.c) ¿En qué instante el móvil tendrá una velocidad de 22 m/s?

a) Datos: Desarrollo:vi = 2 m/s Ecuación de la velocidad: vf = vi + a · ta = 5 m/s2 Ecuación de la velocidad para este móvil: vf = 2 + 5 · t (SI)

t = 3 s

b) Sustituimos t = 3 s en la ecuación de la velocidad:

vf = 2 + 5 · t vf = 2 m/s + 5 m/s2· 3 s vf = 2 m/s + 15 m/s v = 17 m/s

vf = 22 m/ s

c) Sustituimos vf = 22 m/s en la ecuación de la velocidad:

vf = 2 + 5 · t 22 m/s = 2 m/s + 5 m/s2 ·t 20 m/s = 5 m/s2 ·t t = 4 s

Ejemplo 2 MRUAUna moto se mueve con una aceleración constante de 5 m/s2. a) Escribe la ecuación de la posición para esta moto teniendo en cuenta que partió de un punto

situado a 10 m del origen con una velocidad inicial de 3 m/s. b) Determina la posición de la moto cuando han pasado 15 s desde que inició su movimiento.

a) Datos: Desarrollo:xi = 10 m. Ecuación de la posición: vi = 3 m/sa = 5 m/s2 Ecuación de la posición para este móvil: (SI)

Ejemplo MRUAb) Sustituimos t = 15 s en la ecuación de la posición:

t = 15 s

Ejemplo 3 MRUALa ecuación del movimiento de un móvil con MRUA es xf = 7 + 8·t + 5·t2 (SI). Indica xi, vi y a.

Comparamos la ecuación general de la posición para el MRUA con la ecuación de la posición de este móvil:

xf = 7 + 8·t + 5·t2

Por tanto, xi = 7 m

vi = 8 m/s

= 5 →a = 10 m/s2

4.2. Gráficas del MRUA❏ GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO (X-t)

En el MRUA el espacio que recorre el móvil en 1 s aumenta a medida que pasa el tiempo ya que su velocidad está aumentando.

★ Ninguna de las gráficas representa la trayectoria. La trayectoria es una línea recta.

❏ GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO (V-t)

La velocidad aumenta uniformemente a medida que pasa el t.Cada segundo que pasa la v aumenta 10 m/s.

❏ GRÁFICA ACELERACIÓN-TIEMPO (a-t)

La a se mantiene constante durante todo el movimiento.

Ejemplo 1. Representación gráfica MRUARepresentar las gráficas x-t, v-t y a-t de un móvil cuya ecuación de la posición es: xf = 10 + 4 · t + 8·t2 (SI)

t (s) xf (m)

0 10

1 22

2 50

3 94

2. Representar los valores obtenidos. ❖ Gráfica x-t:1. Calcular los valores de xf para t= 0, 1, 2 y 3 s.

t (s) vf (m/s)

0 4

1 20

2 36

❖ Gráfica v-t: 1. Obtener la ecuación de la velocidad a partir de la ecuación de la posición:

2. Calcular los valores de vf para t= 0, 1, 2s.

xf = 10 + 4·t + 8·t2

vf = 4 + 16·t

3. Representar los valores obtenidos.

❖ Gráfica a-t: A partir de la ecuación de la posición o de la velocidad se deduce el valor de la aceleración:

vf = vi + a · t

vf = 4 + 16 · t

v (m/s)

Ejemplo 2. Representación gráfica del MRUAObtener la ecuación de la velocidad para un móvil cuya gráfica v-t es la que aparece a continuación:

Necesitamos obtener los valores de vi y a.- vi es la velocidad del móvil cuando t = 0. En

la gráfica se observa que vi = 5m/s.

vi

- a es la pendiente de la recta. Para calcularla se eligen dos puntos de la recta y se aplica la fórmula de a

● (ti, vi)(1, 15)

● (tf, vf)(3, 35)

vf - vi 35 m/s - 15 m/s a = = = 10 m/s2

tf - ti 3 s - 1s

Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación de la velocidad: vf = vi + a · t

vf = 5 + 10 · t (SI)

4.3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE RETARDADO (MRUR)

★ La aceleración es negativa v está disminuyendo (vf es menor que vi)

★ Ecuación de la velocidad:

★ Ecuación de la posición:

vf = vi - a · t

Ejemplo 1 MRURUn tren que marcha a la velocidad de 72 km/h frena a razón de 0,5 m/s2. Halla:a) El tiempo que tarda en detenerse.b) El espacio recorrido en ese tiempo.

a) Datos: Desarrollo:

vi = 72 Km/h = 20 m/s Ecuación de la velocidad: vf = vi + a · t

a = - 0,5 m/s2 (frena) Ecuación de la velocidad para este móvil: vf = 2O - 0, 5 · t (SI)

vf = 0 (se detiene) Sustituimos vf = O y despejamos t: 0 = 20 - 0,5 · t → t = 40 s

b) Escribimos la ecuación de la posición para este movimiento:

Al ser un movimiento rectilíneo, el espacio recorrido (s) es igual al desplazamiento ( x)

Sustituimos t = 20 s para calcular el espacio recorrido:

Recorre 400 m antes de detenerse.

Gráficas del MRUR❏ GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO (X-t)

En el MRUR el espacio que recorre el móvil en 1 s disminuye a medida que pasa el tiempo ya que su velocidad está disminuyendo (frena).

★ Ninguna de las gráficas representa la trayectoria. La trayectoria es una línea recta.

❏ GRÁFICA ACELERACIÓN-TIEMPO (a-t)

La a se mantiene constante durante todo el movimiento.El valor negativo de a indica que v está disminuyendo.

❏ GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO (V-t)

Cada segundo que pasa v disminuye 2 m/s hasta detenerse.

v = 0, el móvil se detiene.

DISTANCIA DE FRENADO Y DISTANCIA DE SEGURIDAD EN CARRETERA★ Distancia de frenado: distancia que recorre un vehículo desde que acciona el freno hasta que

se detiene. Depende de: - la velocidad que lleve el vehículo.

- el estado de la carretera. - el estado de los frenos.

★ Distancia de seguridad: distancia que debe separar a un vehículo del que va delante para que, en caso de necesidad, permita al conductor de detrás frenar a tiempo, evitando un choque con el conductor que va delante.

★ Tiempo de reacción del conductor: El tiempo que tarda el conductor en reaccionar es al menos 1 s. Depende de: - si está descansando o no.- si está distraído (uso de teléfono, manejo de radio, falta de visibilidad por niebla,...)

4.4 MOVIMIENTO VERTICAL★ El movimiento vertical puede ser

★ En ambos casos los objetos se ven sometidos a la aceleración de la gravedad (g).

★ Criterio de signos:- Utilizamos el eje Y en lugar del X.- Tomamos el origen en el suelo (Y = 0)- Las posiciones por encima del suelo son +

y las que están por debajo son -.- Las velocidades que tienen sentido hacia arriba son +

y las que tienen sentido hacia abajo son -.- La aceleración de la gravedad es - porque tiene sentido hacia abajo.

Caída libre

Lanzamiento vertical

Se trata de MRUA

❏ ECUACIONES DEL MOVIMIENTO VERTICAL➔ Ecuación de la posición:

En la ecuación de la posición del MRUA

◆ Sustituimos xf y xi por yf e yi.◆ a = - g

➔ Ecuación de la velocidad:

En la ecuación de la velocidad del MRUA

◆ Sustituimos a = - g

vf = vi + a · t

CAÍDA LIBRE

➢ El objeto se deja caer ➡ vi = 0

LANZAMIENTO VERTICAL

➢ El objeto deja de subir cuando su velocidad es 0

➡ vf = 0

Ejemplo movimiento de caída libreSe deja caer una pelota desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo.a) Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo.b) Halla la velocidad con la que la pelota llega al suelo.

a) Datos: Desarrollo:yi = 20 m Sustituimos los datos en la ecuación de la posición:yf = 0 (llega al suelo) a = -9,8 m/s2

vi = 0 (se deja caer) Despejamos el valor de t:

t = 2.02 s

→ → →

b) Para calcular la velocidad con la que llega al suelo, sustituimos t = 2.02 s en la ecuación de la velocidad:

vf = vi -g·t → vf = 0 -9,8 m/s2·2,02 s → vf = - 19,8 m/s

El signo negativo de la velocidad se debe a que la pelota está bajando.

Ejemplo lanzamiento verticalSe lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m/s. Calcula la altura máxima a la que llega.

t = 3,06 s; yf = 46m

a) Datos: Desarrollo:yi = 0 m Sustituimos los datos en la ecuación de la posición y de la velocidad:

a = -9,8 m/s2

vi = 30 m/s

vf = 0 (en la altura máx) Despejamos t en la ecuación de la velocidad y sustituimos el resultado en la ecuación de la posición:

Gráficas del movimiento de caída libre❏ GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO (X-t)

. ★ La gráfica no representa la trayectoria. ★ La trayectoria es una línea recta.

El móvil está inicialmente a 20 m del suelo.

Su altura disminuye hasta que a los 2 s llega al suelo.

El espacio que recorre en 1 s aumenta a medida que pasa el tiempo porque la velocidad está aumentando

Gráficas del movimiento de caída libre (continuación)❏ GRÁFICA ACELERACIÓN-TIEMPO (a-t)

La a se mantiene constante durante todo el movimiento.

El valor negativo de a se debe a que el vector aceleración está dirigido hacia abajo.

❏ GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO (V-t)

La velocidad inicial es O.

Cada segundo que pasa v aumenta 9,8 m/s.

Los valores negativos de v se deben a que el vector velocidad está dirigido hacia abajo.

MRU

xf = xi + v·t

MRUA

vf = vi + a·t

MRUR

vf = vi - a·t

CAÍDA LIBRE

vf = - g·t

5. ENCUENTRO DE MÓVILES

MÓVILES QUE SE CRUZANDos vehículos (A y B) parten uno al encuentro del otro desde dos localidades separadas 700 m. El vehículo A se mueve a 20 m/s mientras que el B se mueve a 15 m/s. Si los dos vehículos salen al mismo tiempo y mantienen su velocidad constante durante todo el movimiento:a) ¿Qué tiempo ha transcurrido cuando se encontraron?b) ¿En qué punto se encuentran?c) Dibuja la gráfica posición-tiempo para cada uno de los móviles.

Representación esquemática del problema:

Tomamos como origen el punto del que parte el móvil A.

a) Escribimos la ecuación de la posición para cada móvil. Los dos móviles tienen MRU:

Para el móvil A: xA = 20 ·t (la posición inicial de A es O)Para el móvil B: xB = 700 - 15 ·t (su velocidad es negativa porque se mueve hacia la izquierda)

No hacemos distinción entre el tiempo transcurrido para A y el transcurrido para B porque los dos móviles salen al mismo tiempo, por tanto, el tiempo transcurrido es el mismo para los dos.

En el momento en el que se cruzan sus posiciones coinciden: xA = xB

Igualamos las ecuaciones de la posición de los dos móviles y despejamos el valor de t: xA = xB

20 ·t = 700 - 15 ·t 35·t = 700t = 20 s.

Los dos móviles se cruzan cuando han transcurrido 20 s desde que iniciaron su movimiento.

b) Para calcular la posición en la que se cruzan sustituimos t = 20 s en cualquiera de las dos ecuaciones de la posición: xA = 20 ·t → xA = 20 · 20 = 400 m xB = 700 - 15 ·t →xB = 700 - 15 ·20 = 400 m

Se encuentran a 400 m del origen.

c) Como los móviles se encuentran a los 20 s, debemos dibujar las gráficas, al menos, hasta que han transcurrido 20 s.

t (s) xA (m)

0 0

10 200

20 400

30 600

t (s) xB (m)

0 700

10 550

20 400

30 250

A

B

MÓVILES QUE SE PERSIGUENUn viajero llega tarde al puerto y pierde el barco. Éste partió hace una hora y se encuentra navegando a 40 km/h. El viajero no se rinde y contrata los servicios de una embarcación que navega a 60 km/h. a) ¿A qué distancia de la costa alcanzará al barco?b) ¿Qué tiempo necesitará para ello?

Representación esquemática del problema:

Tomamos como origen la costa.

b) Escribimos la ecuación de la posición para cada móvil. Los dos móviles tienen MRU:Para el móvil A: xA = 40 ·tA (la posición inicial de A es O)Para el móvil B: xB = 60 ·tB (la posición inicial de B es O)

B salió cuando A ya llevaba una hora navegando, por tanto, tB= tA- 1

En el momento en el que B alcanza a A sus posiciones coinciden: xA = xB

Igualamos las ecuaciones de la posición de los dos móviles y despejamos el valor de t: xA = xB

40 ·tA = 60 ·tBSustituimos tB= tA- 1

40 ·tA = 60 ·(tA- 1)Despejamos el valor de tA .

40 ·tA = 60 ·tA- 60-20 ·tA = - 60

tA= 3 h

Podemos dejar la velocidad en km/h porque el tiempo está en horas.

tB = 2 h → B necesita 2 h para alcanzar a A

a) Para calcular la distancia de la costa a la que B alcanza a A, sustituimos los valores obtenidos para t en las correspondientes ecuaciones de la posición:

xA = 40 ·tA → xA = 40 · 3 = 120 km

xB = 60·tB →xB = 60 ·2 = 120 km

B alcanza a A a 120 km de la costa.