Tema 1: Los numeros naturales - Roberto Costas1 Pedro Ramos, Dpto. de Matem aticas (UAH). Matem aticas I. Grado de Educaci on Primaria. Curso 2013-2014 Tema 1: Los numeros naturales

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Pedro Ramos, Dpto. de Matematicas (UAH). Matematicas I. Grado de Educacion Primaria. Curso 2013-2014

Tema 1: Los numeros naturales

∗ N = {1, 2, 3, 4, 5 . . .}

∗ Origen: necesidad de “contar”.

∗ Problema: representacion (oral y escrita) de numeros“grandes”.

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Tipos de sistemas de numeracion

1. Sistemas aditivos∗ El numero se obtiene sumando el valor de los sımbolos que

lo componen.

Imagenes de http://www.ugr.es/ jgodino/edumat-maestros/welcome.htm

∗ Numeracion griega: I = 1, Π = 5, ∆ = 10, H = 100,X = 1000 y M = 10000 (la romana procede de ella).

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Sistemas de numeracion

2. Sistemas aditivo-multiplicativos∗ Si hay que repetir varias veces un numero, eso se indica

con otro numero.

Un ejemplo: el sistema chino

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3. Sistemas multiplicativos (como el nuestro)

∗ Tiene su origen en el sistema hindu. Los sımbolos delsistema hindu eran

(y unos sımbolos adicionales para las potencias de 10).

∗ Entre los siglos V y VIII se prescinde de los sımbolos paralas potencias de 10, pero se utilizan unas barras:

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∗ El cero.

El nombre proviene del sanscrito shunya (vacıo), en arabese llamo sifr Nuestra palabra cifra viene de ahı.

Nuestro sistema de numeracion llega a Europa a traves delos arabes. Al-Jwarizmi escribio el libro “Acerca de loscalculos con los numeros de la India” alrededor del ano 825.

∗ A partir de la introduccion del nuevo sistema denumeracion, la aritmetica se desarrolla de forma muyrapida.

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La introduccion del numero de dos cifras

∗ Enfoque tradicional (1o de primaria):

- Tema 0: repaso de los numeros del 0 al 9.- Tema 1: los numeros del 10 al 19.- Tema 2: los numeros del 20 al 29.- . . .

∗ Inconveniente: Falta de sentido numerico.

Anadir ejemplos decenas y unidades de nuestros libros

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∗ Enfoque alternativo: contamos “haciendo grupos de 10”.

Hay dos “grupos de diez” y 6(o diez, diez y 6).

∗ Ademas, se puede practicar el recuento con ejemplos queayudan a profundizar en ese sentido numerico.

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∗ Una vez practicado el recuento de manera intensiva, ya sepuede:

- 3 grupos de diez y 5 se escribe 35.- el grupo de diez se llama decena.- introducir el cero.

∗ Un alumno que ha seguido este proceso esta en condicionesde contestar a la pregunta:

¿cuantas son 32 + 20?

∗ Estos temas seran ampliados en la asignatura de didacticade las matematicas (3o).

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Decenas y unidades en los libros de texto

∗ Casi siempre, el enfoquede la figura:

∗ Es mejor, durante un tiempo,mostrar las decenas como gruposde diez, explıcitamente, como enla figura:

(El ejemplo es de la segundamitad del primer curso).

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La base b

∗ ¿Por que contamos en base 10 (haciendo “grupos de 10”)?

∗ ¿Como representarıamos lacantidad de la figura situvieramos 8 dedos?

∗ Como 26 = 3× 8 + 2, en base 8 el numero 26 se representacomo 32(8.

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La base b

∗ Expresion de un numero en base b: dado un numeronatural b > 1 (la base), cualquier numero n se puedeexpresar de forma unica como

n = ak · bk + ak−1 · bk−1 + · · ·+ a1 · b + a0.

donde los dıgitos ai toman los valores 0, 1, . . . , b− 1.

n se representa en base b como akak−1 · · · a1a0(b.

∗ ¿Por que estudiar la base b?- Interes didactico.- Conexion de las matematicas con el mundo mas

proximo: informatica.

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Base b: ejercicios

∗ Ejercicios:1. Escribe los 5 primeros numeros en base 2 y los 10

primeros en base 4.2. Efectua la operacion 3504(7 + 30604(7

∗ Ejercicio: ¿como se pasa de base 10 a base b, y al reves?1. Escribe 354(7 en base 10.2. Escribe 928 en base 5.

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El sistema de numeracion oral

∗ Numeros cardinales.

Escribe en letra? 87 065 006.? 72 080 023 002 305 006.

Expresa en forma numerica veintitres mil cuarenta y tresbillones, doscientos cuatro mil dos millones, veinte milcuatro.

∗ Numeros ordinales.

Escribe en letra los ordinales 37o, 76o, 85o, 94o, 101o.

Mas informacion, por ejemplo, aquı:

http://goo.gl/XJiZo (Wikipedia)

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La recta numerica

∗ Una ayuda excelente para desarrollar el sentido numerico (atodos los niveles).

∗ Por ejemplo: a final de 1o

0 100

Situa (de forma aproximada) los numeros 87, 6, 25, 48.

∗ Hacia el final de primaria: situa (de forma aproximada) losnumeros 870100, 6005, 250037, 48025.

0 1000000

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Aritmetica elemental: suma y resta

∗ La suma es una operacion interna en N.

∗ Propiedades: conmutativa, asociativa.

∗ Una vez definida la suma, la resta es facil:

Se dice que a− b = c si b + c = a.

Comentario: entender la resta ası desde el principio tieneimportantes ventajas didacticas. Por ejemplo, deja claro elpapel analogo de b y c (“sustraendo” y “diferencia”). Masen didactica.

∗ La resta no es una operacion interna en N.

∗ La resta nos permite definir un orden en N:

diremos que a < b si b− a ∈ N.

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Suma y resta - Algoritmos

∗ El principal error en Espana: introducir demasiado prontolos algoritmos en columna (los tradicionales).

∗ Mejor: trabajar antes el calculo pensado o calculointeligente (creo que son nombres mas apropiados para lavariante mas util de lo que se suele llamar calculo mental).

∗ Mas en la asignatura de didactica.

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Algoritmos tradicionales

∗ Todos conocemos las tecnicas escritas.

¿Somos capaces de justificar las “llevadas”?

4 2 3 4 3 (5

+ 3 1 4 3 2 (5

6 0 2 4 7 (8

− 3 2 4 6 2 (8

∗ National library of virtual manipulatives:http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html

Numbers and operations → Base blocks substraction

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La multiplicacion

∗ ¿Como introducirla en primaria?

Tenemos 3 platos con 4 rosquillas encada plato. ¿Cuantas rosquillas tenemosen total?

∗ Tenemos 4 + 4 + 4 rosquillas, es decir, 3 veces 4 rosquillas.

¿ 3 veces 4 ↔ 3× 4 ?

∗ En los libros de texto

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La multiplicacion

∗ Veamos que ocurre si asumimos que:a) 3× 4 significa 3 veces 4.b) en la tabla del 2, “contamos de dos en dos”.

∗ La tabla del 2, con “veces” en vez de “por”, quedarıa ...

∗ Conclusion: el orden tradicional de las tablas no concuerdacon la introduccion natural de la multiplicacion.

∗ Mas en didactica.

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Propiedades de la multiplicacion

∗ La geometrıa puede ayudar en laintroduccion y comprension delas propiedades.

∗ Conmutativa: a× b = b× a.

∗ Ojo: no es nada intuitivo que 4 veces 7 sea igual que7 veces 4 ....

4 veces 7 ↔ 4× 7

7 veces 4 ↔ 7× 4

4

7

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Propiedad distributiva

∗ Propiedad distributiva:

a× (b + c) = (a× b) + (a× c)

(a + b)× c = (a× c) + (b× c)

∗ ¿Que sentido tiene en primaria?

∗ En los libros de texto ...

7× (3+5) = 7×3+7×5

7× 8 21 + 35

56 56

¿Para que?

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Propiedad dsitributiva

∗ Sirve para dos cosas:

i) manipulaciones algebraicas: 2(x + 3) = 2x + 6

ii) calculo pensado (inteligente, mental):

13× 8 = (10 + 3)× 8 = 80 + 24 = 104

4× (2 + 5) = 4× 2 + 4× 5

∗ Tambien en este caso, la geometrıa puede ayudar.

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Una ultima propiedad

∗ Propiedad asociativa: a× (b× c) = (a× b)× c

2

3

5

2× (3× 5) = (2× 3)× 5

∗ Mas sobre como introducir la multiplicacion en didactica.

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La division

∗ Un primer comentario: es importante distinguir la idea dedivision y el algoritmo de la division.

∗ Si un nino de 6 anos lleva 8 caramelos al cole y quiererepatirlos (por igual) con un amigo, ¿sabe hacerlo?

∗ Esta idea de reparto es la mejor para introducir la division:se trata de la division partitiva.

∗ Si repartimos 20 caramelos en 4 bolsasiguales, ¿cuantos caramelos habra encada bolsa?

?

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La division

∗ Existe otra interpretacion de la division: Si repartimos 20

caramelos en bolsas con 5 caramelos cadauna, ¿cuantas bolsas necesitaremos?

∗ Esta es la division cuotativa (y no se trabaja lo suficiente).Relacion con medida: ¿cuantas veces “cabe” 5 en 20?

∗ Dos observaciones:i) Una forma sencilla de distinguirlas: pensar en como

resolverıa el problema una persona sin conocimientosmatematicos.

ii) En la division cuotativa, el divisor puede ser un numerono entero: Un grupo de amigos compra 6 pizzas, y selas reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza,¿cuantos amigos son en el grupo?

5 · · · ? · · ·

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La division

∗ Mas en didactica.

∗ Otra idea importante, que hay que trabajar con calma, esla division como inversa de la multiplicacion:

Como 5× 4 = 20, 20÷ 5 = 4 y 20÷ 4 = 5.

∗ Un buen ejercicio para proponer en clase (en primaria),para entender los dos tipos de divisiones:

Inventa dos problemas (uno de cada tipo) cuya solucioncontenga la division 72÷ 6.

∗ ¿Por que no se puede definir la division por 0?

5÷ 0 = ? ↔ ?× 0 = 5

0÷ 0 = ? ↔ ?× 0 = 0

no hay solucion

infinitas soluciones

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Division con resto

∗ Division entera (con resto, o euclıdea)

Dados dos numeros naturales D (dividendo) y d (divisor),existen unos unicos numeros naturales q (cociente) y r(resto) tales que D = q × d + r y 0 ≤ r ≤ b− 1.

∗ Idea de cualquier algoritmo de division:

Aproximar por defecto el dividendo por multiplos deldivisor.

∗ Otro aspecto que no se trabaja lo suficiente: problemasdonde el resto sea lo importante.

Un astronauta hizo un viaje de 505 horas. Si despego a las8 de la manana, ¿que hora era cuando aterrizo?

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La division en N∗ Algoritmos tradicionales para la division:

Algoritmo “usual”(“comprimido”)

Algoritmo “extendido”

6 4 0 2 3

2 71 8 0

1 9

6 4 0 2 3

2 7−4 6

1 8 0

−1 6 1

1 9

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La ensenanza de los algoritmos en primaria

∗ Hasta hace poco, saber calcular, deforma rapida y fiable, era unacompetencia profesional muy valorada.

∗ Dirıa que los alumnos espanoles de primaria dedican almenos 1/3 del tiempo de la asignatura de matematicas a“hacer cuentas”. ¿Tiene esto sentido?

∗ Sin entrar en el debate de fondo (espero que al menos loexploreis en didactica), dos ideas fundamentales:1. En el BOE aparecen el calculo mental, la aritmetica

tradicional, y la calculadora.

2. + ideas, − cuentas.

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Divisibilidad (en N ∪ {0})∗ Dados dos numeros enteros a y c, se dice que c divide a a

si existe un entero q tal que a = q · c (es decir, si en ladivision a÷ c el resto es 0).

c | a significa que c divide a a (c es un divisor de a).

∗ Si c no divide a a, escribiremos c - a.

∗ Si c | a, tambien decimos que a es multiplo de c.

Denotamos por c al conjunto de los multiplos de c.

Ejemplo: 3 = {0, 3, 6, 9, 12, . . .}.

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Divisibilidad

∗ Ejemplos:a) 2 | 36 (porque 36 = 2 · 18),b) 5 - 19 (porque 19 = 3 · 5 + 4).

c) Para cualquier numero entero a, 1 | a.

d) ¿8 | 0? Sı: 8 · 0 = 0.

Cualquier numero natural (distinto de 0) es divisor de 0.

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Divisibilidad

∗ Ejercicio: escribe todos los divisores de 20.

∗ Dado cualquier numero natural n, los numeros 1 y n sonsiempre divisores de n. Al resto de divisores, se les llamadivisores propios.

∗ Def: Un numero primo es un numero natural mayor que 1que no tiene divisores propios (es decir, sus unicos divisoresson el 1 y el propio numero).

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Numeros primos: preguntas basicas

∗ ¿Es n primo?

a) ¿Es 97 primo?

b) ¿Es primo 72648233746283843?

∗ Encuentra todos los numeros primos menores que n:la criba de Eratostenes.Ejemplo (animado) en http://tinyurl.com/ca7v8r6

∗ ¿Cuantos numeros primos hay?

∗ ¿Para que sirven los numeros primos?

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Descomposicion en factores primos

∗ Teorema fundamental de la aritmetica:Todo numero entero se puede descomponer, de maneraunica, en producto de factores primos.

∗ Demostrar que se pueden descomponer es muy sencillo:Si n es primo, hemos terminado.Si no, tiene algun divisor a, y tenemos que n = a · b. Ahorapodemos repetir el razonamiento con a y b.

Que hay solo una descomposicion (salvo el orden, claro)no es tan inmediato, y no lo vamos a demostrar.

∗ Obs: el teorema fundamental de la aritmetica no serıacierto si consideramos 1 como numero primo.

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Descomposicion en factores primos: algoritmo

5544 22772 21386 2693 3231 377 711 111

Por tanto,

5544 = 23 · 32 · 7 · 11

A partir de la descomposicion en factores primos,se pueden escribir todos los divisores, utilizandoel siguiente resultado:

∗ Si ak y bl aparecen en la descomposicion en factores primosde n, entonces ai · bj es divisor de n, para cualesquiera0 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ l. (Y lo mismo se generaliza a mas dedos factores).

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Construccion de divisores

∗ Ejercicio: encuentra todos los divisores del numero 84.¿Cuantos son impares? ¿Cuales son multiplos de 14?

∗ Una formula para el numero de divisores:

Sin = pa1

1 · pa22 · · · p

ak

k

entonces n tiene

(a1 + 1) · (a2 + 1) · · · (ak + 1)

divisores.

∗ Ejercicio: encuentra 3 numeros de 3 cifras que tengan 20divisores.

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Numeros primos: preguntas basicas

∗ Teorema (Euclides, ∼ 300 aC):

Existen infinitos numeros primos.

∗ Demostracion:

Supongamos que hubiera un numero finito. Entonces,podrıamos hacer una lista de todos ellos:

L = {p1, p2, . . . , pn} es la lista de todos los numeros primos.

Consideremos el entero q = p1 · p2 · · · · · pn + 1.

1. q no es un numero primo (no esta en la lista).

2. q no se puede poner como producto de factoresprimos (no tiene divisores en la lista). ¡Imposible!

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Comentarios sobre numeros primos

∗ Dos impares consecutivos que son ambos numeros primosse llaman primos gemelos.

Ejemplos: 3 y 5 son primos gemelos, 11 y 13 tambien.

∗ No se sabe si hay una cantidad finita de primos gemelos.

Los mayores conocidos son p = 65516468355 · 2333333 + 1 yp + 2.

100355 dıgitos

∗ El mayor numero primo conocido (hasta “hoy”) es

p = 243112609 − 1

(12978189 digitos).

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Y todo esto, ¿sirve para algo (practico)?

Buena parte de la seguridad eninformatica (Internet) depende deque no se sabe descomponer enfactores primos numeros grandes.

Clave publica de uno de los sistemascriptograficos mas utilizados: el RSA.(Es un numero entero, de unos 600dıgitos, expresado en basehexadecimal).

Para leer algo mas:http://es.wikipedia.org/wiki/RSA

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Dos propiedades de la divisibilidad

∗ Si c | a, entonces c | (k · a) (para cualquier entero k).

Es decir, si c es un divisor de a, tambien lo es de cualquier

multiplo de a.

∗ Si c | a y c | b, entonces c | (a + b).

∗ Combinando las dos propiedades anteriores, tenemos:

Si c | a y c | b, entonces c | (k · a + j · b) (para cualesquieraenteros k y j).

Ej: como 7 | 49 y 7 | 63, 7 | (14333 · 49 + 38274 · 63).

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Maximo comun divisor

∗ El maximo comun divisor de dos numeros a y b, mcd(a, b),es el mayor entero positivo que es divisor de a y de b.

∗ ¿Por que pueden aparecer aquı dificultades de aprendizaje?

Quiza porque no se pone el suficiente cuidado en diferenciarel concepto en sı mismo del algoritmo para su calculo.

∗ Ejercicios:

a) mcd(40, 15)

b) mcd(38478, 1)

c) mcd(384787, 0)

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Calculo de mcd(a, b)

I) A partir de la descomposicion en factores primos.

Sabiendo que17640 = 23 · 32 · 5 · 72

12474 = 2 · 34 · 7 · 11

calcula mcd(17640, 12474).

El maximo comun divisor de a y b es el producto de losfactores comunes de las descomposiciones en factoresprimos correspondientes.

¿Y la “coletilla” usual del “menor exponente”?

No hace falta: si en la descomposicion de a aparece elfactor 42 y en la de b el factor 45, el factor comun es 42.

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∗ Observese que de la descomposicion en factores primostambien se pueden obtener todos los divisores comunes dedos numeros a y b.

Encuentra todos los divisores comunes de 17640 y 12474.

∗ Con la misma idea, se obtiene la siguiente propiedad:

Los divisores comunes de dos numeros a y b son losdivisores de mcd(a, b).

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II) Algoritmo de Euclides. Basado en el siguiente resultado:

Teorema: Si a = q · b + r, entonces (a, b) y (b, r) tienen losmismos divisores comunes.

∗ Un ejemplo: a = 78, b = 42.

∗ La demostracion. Tenemos que ver dos cosas:1. Si c es divisor de a y de b, entonces es divisor de b y de r.2. Si c es divisor de b y de r, entonces es divisor de a y de b.

∗ Aplicacion al calculo del maximo comun divisor:Si queremos calcular mcd(a, b), hacemos la division yobtenemos la relacion a = q · b + r. Ahora, sabemos quemcd(a, b) = mcd(b, r).

∗ Calcula mcd(78, 42) aplicando el algoritmo de Euclides.

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Comparacion de los algoritmos

∗ Se puede demostrar que el algoritmo de Euclides es muchomejor que el algoritmo que utiliza la descomposicion enfactores primos. Un ordenador puede calcular el maximocomun divisor de dos numeros de, por ejemplo, 500 dıgitos,en cuestion de segundos. Sin embargo, factorizar numerosası requerirıa miles de anos de calculo.

∗ Un ejemplo “pequeno”, para hacer la comparacion a mano.

Calcula el maximo comun divisor de 12319 y 9991 (puedesutilizar la calculadora).

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Maximo comun divisor de varios numeros

∗ La definicion es exactamente igual:

mcd(a1, a2, . . . , ak) es el mayor de sus divisores comunes.

∗ El algoritmo de la descomposicion en factores primostambien es exactamente el mismo:

Sabiendo que17640 = 23 · 32 · 5 · 72

12474 = 2 · 34 · 7 · 11

3591 = 33 · 7 · 19

4998 = 2 · 3 · 72 · 17

calcula mcd(17640, 12474, 3591, 4998).

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Maximo comun divisor de varios numeros

∗ El algoritmo de Euclides se puede adaptar facilmente:

Supongamos que ak es menor o igual que el resto de los ai,para i = 1, . . . , k − 1, y supongamos que hacemos lasdivisiones

ai = qi · ak + ri para i = 1, . . . , k − 1.

Entonces,

mcd(a1, a2, . . . , ak−1, ak) = mcd(r1, r2, . . . , rk−1, ak).

∗ Ejemplo: calcula el maximo comun divisor de los enteros616, 1155, 308 y 693.

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Calculo “mental” del mcd

∗ ¿Por que es util calcular “a ojo” ejemplos como...

a) mcd(9, 24)b) mcd(17, 284)c) mcd(8, 68)

∗ La siguiente propiedad puede ser util:

Si k es un divisor de a y de b, entonces

mcd(a, b) = k ·mcd(a/k, b/k).

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Mınimo comun multiplo

∗ El mınimo comun multiplo de dos enteros a y b, enadelante mcm(a, b), es el menor entero (mayor que cero)que es multiplo tanto de a como de b.

∗ Las dificultades de aprendizaje son del mismo tipo que lasque aparecen con el maximo comun divisor.

∗ Ejercicios:a) mcm(6, 10)

b) mcm(29834, 1)

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Algoritmo para el calculo del mcm

∗ Queremos calcular el mınimo comun multiplo de 3591 y4998 sabiendo que

3591 = 33 · 7 · 19

4998 = 2 · 3 · 72 · 17

1) El entero m = 3591 · 4998 = 2 · 34 · 73 · 17 · 19es multiplo de los dos.

2) Si dividimos m por un divisor comun de ambos, elentero resultante sigue siendo multiplo de los dos.

3) Por tanto, mcm(a, b) =a · b

mcd(a, b).

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Algoritmo para el calculo del mcm

∗ Tambien hemos obtenido el algoritmo “clasico”:

El mınimo comun multiplo de a y b es el producto de losfactores de las descomposiciones en factores primoscorrespondientes, tomando los factores comunes elevados alexponente mayor.

∗ Ejemplo: calcula mcm(3591, 4998) sabiendo que

3591 = 33 · 7 · 19

4998 = 2 · 3 · 72 · 17

∗ Este algoritmo sigue siendo valido para calcular el mınimocomun multiplo de mas de dos enteros.

Ojo: no es cierto que mcd(a, b, c) ·mcm(a, b, c) sea igual alproducto a · b · c.

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Una propiedad del mınimo comun multiplo

∗ Los multiplos comunes de dos (o mas numeros) son losmultiplos de su mınimo comun multiplo.

∗ Dos faros emiten una senal especial cada 16 y 12 minutos,respectivamente. Sabiendo que emiten la senal a la vez alas 0 horas y que empezamos a contemplarlos a las 5 de latarde, ¿en que momento los veremos coincidir por primeravez?

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Reglas de divisibilidad

∗ Aritmetica con restos. Un primer ejemplo: par/impar.

∗ Sea r(a, n) el resto que se obtiene al dividir a entre n.

Pregunta: si conocemos r(a, n) y r(b, n), ¿podemosdeterminar r(a + b, n)?

∗ Si r(a, 3) = 2 y que r(b, 3) = 2, ¿cuanto vale r(a + b, 3)?

∗ Con este tipo de razonamientos, vamos a encontrar lasreglas de divisibilidad (de hecho, reglas para calcularrestos), para el 3, 4, 5, 6, 8 y 9.

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