Tema 1.- MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE … · MODELO BINOMIAL (VA discreta finita numerable) X ... 1.1.2.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS - Uniforme - Exponencial - Normal

Estadística I.

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Tema 1.- MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

1.1. Modelos de variables aleatorias discretas y continuas.

1.1.1. Discretas

1.1.2. Continuas

1.2. Distribuciones derivadas de la normal.

1.3. Teorema Central del Límite.

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1.1.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS.

1.1.1.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

- Binomial (proceso Bernoulli)

- Poisson

PROCESO BERNOULLI (Modelo de variable dicotómica)

Si analizamos de un individuo una determinada característica, medimos su ÉXITO o FRACASO.

Ej. En un examen si un individuo supera la prueba (éxito) o no la supera (fracaso).

p = probabilidad de éxito

(1-p) = q = probabilidad de fracaso

E(x) = ∑ xi · pi = p

Var (x) = p · q

Pero si en vez de analizar un solo individuo, miro varios individuos y miro si es éxito o fracaso y

luego concluimos con que hay “tantos éxitos” y “tantos fracasos” generalización

MODELO BINOMIAL!

1. MODELO BINOMIAL (VA discreta finita numerable) X B (n,p)

X es una variable que sigue un modelo binomial si lo que está contando es el número de éxitos

que hemos obtenido en “n” repeticiones independientes de un proceso Bernoulli.

Valor mínimo que puede tomar = 0

Valor máximo que puede tomar = n

Parámetros de la distribución

X B (n,p)

n = nº total de individuos, artículos…que se analizan

p = probabilidad de lo que se analiza

Xi Pi

ÉXITO 1 p

FRACASO 0 (1-p) = q

∑ = 1

Estadística I.

3



Función de probabilidad

xinxi ppXi

nXiXP

)1·(·)(

No es un cociente, es un número combinatorio )!(!

!

xinxi

n

Xi

n

E(X) = n · p

Var (x) = n · p · q

Propiedad reproductiva

Si tengo 2 variables aleatorias independientes y cada una de ellas sigue un modelo binomial

X1 B (n1, p)

X2 B (n2, p)

Deben tener la misma probabilidad de éxito del suceso!

Y = X1 + X2

Y B (n1+n2, p)

2. MODELO POISSON (VA discreta infinita numerable) X P (λ)

X es una variable que sigue un modelo de Poisson y está contando el nº de sucesos que

ocurren en un intervalo de observación (normalmente de tipo temporal). Ej: llamadas al 091

en media hora.


Valor máximo que puede tomar = + Por lo que probabilidades como P(x 3) no habrá

más opción que hacerlo por el complementario 1 – P(X<3)


X P (λ), siendo λ el número medio de sucesos que ocurren en el intervalo fijado.

Función de probabilidad

er

rxPr

·!

)(

E(x) = λ

Var (x) = λ

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Si tengo 2 variables aleatorias independientes y cada una de ellas sigue el modelo de Poisson:

X1 P (λ1)

X2 P (λ2)

Y = X1+X2

Y P (λ1+ λ2)

RELACIÓN MODELO BINOMIAL Y POISSON

Partiendo de una binomial bajo determinadas condiciones su cálculo y probabilidad se puede

hacer por Poisson. Estas condiciones son:

- muchas repeticiones n (Se considera n grande a partir de 30)

- probabilidad muy pequeña p 0 (Se considera p pequeña por debajo de 0,10)

E(x) = λ = n · p

1.1.2.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

- Uniforme

- Exponencial

- Normal

1. MODELO UNIFORME

X es uniforme si toma valores EQUIPROBABLES dentro de un intervalo definido y finito.

Función de densidad

ab

1 a < x < b Sólo en este intervalo tenemos definida la variable

f(x) = 0 resto

f(x)

ab

1

área de un rectángulo

a b

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Antes de “a” NO hay probabilidad y después de “b” tampoco.

Será lo mismo P (3 ≤ x ≤ 6) que P (6 ≤ x ≤ 9) porque hay la misma distancia.

2)(

abxE

12

)()(

2abxVar

2. MODELO EXPONENCIAL X E(λ)

Hace referencia al tiempo que transcurre entre 2 sucesos consecutivos, por lo que siempre

tomará valores positivos, porque se trata de tiempo.


Valor máximo que puede tomar = +

Función de distribución

)(1)( 000 XFeXXP

X

0)( 0

XeXXP

1)( xE

2

1)(

xVar


xe · x > 0

f(x) = 0 resto

3. MODELO NORMAL

Es la distribución más frecuente de todas. A medida que aumentamos el tamaño de la

muestra, casi todas las distribuciones tienden a comportarse como una distribución normal.

Valor mínimo que puede tomar = -

Valor máximo que puede tomar = +

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X ~ N (μ, 2 )


2

2

2

)(

2·

2

1)(

x

exf

Gráfico de la función de densidad

- +

μ - μ μ -

› Valor máximo en μ.

› Función creciente en μ- y decreciente en μ+ .

› Simétrica respecto a μ

› La función ni crece ni decrece siempre al mismo ritmo, es decir, existen puntos de

inflexión que vienen marcados por la desviación estándar ( ).

› Área total de la función = 1.

› La función nunca corta los ejes, es asintótica.

Tabla normal estándar

Z ~ N (0,1)

μ = 0

2 = 1

-1 0 +1

Función de densidad de la N(0,1)

2

2

·2

1)(

z

ezf

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Estandarización

Para pasar de un Normal que no es (0,1) a una Normal (0,1) ESTANDARIZACIÓN

xZ ~ N (0,1)

Ej. Para pasar de X ~ N (20,5) a una X ~ N (0,1): 5

20x


X ~ N ( 2

1,1 ) Y = X1 + X2 X ~ N ( 2

2

2

1,21 )

X ~ N ( 2

2,2 ) Y = X1 - X2 X ~ N ( 2

2

2

1,21 )

1.2.- DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL.

1. DISTRIBUCIÓN CHI – CUADRADO

Consideramos una sucesión de “n” variables aleatorias normales estandarizadas e

independientes entre sí: ,1Z ,2Z ,3Z … nZ, . Si se elevan al cuadrado y las sumamos, nos

origina una nueva variable ( 2

n ) siendo n el grado de libertad.

2

11

222

2

2

1

2 )()...(

n

i i

iin

i

inn

XZZZZ

Siempre van a ser valores positivos ya que está al cuadrado. Pero es una distribución

ASIMÉTRICA!

- VALOR ESPERADO E ( 2

n ) = n

- VARIANZA Var ( 2

n ) = 2n

La tabla muestra la probabilidad que hay por encima de ese valor “a”:

a

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2. DISTRIBUCIÓN T – STUDENT

Surge a partir del cociente entre una variable normal estándar y una chi – cuadrado

independientes entre sí y siguen la siguiente relación:

n

Zt

n

n2

- VALOR ESPERADO E ( nt ) = 0

- VARIANZA Var ( nt ) = 2n

n si n > 2

Es una distribución SIMÉTRICA! Y también su tabla recoge la probabilidad acumulada a partir

de un valor “a”.

a

Si n es grande (n ≥ 100) los resultados son parecidos a la distribución normal.

3. DISTRIBUCIÓN F – SNEDECOR

Tenemos 2 chi – cuadrados (n igual o diferente) y se dividen sus grados de libertad:

m

nFm

n

mn 2

2

,

Es una distribución ASIMÉTRICA! Y también recoge la probabilidad acumulada a partir de un

valor “a”.

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a

Ejercicio 1. Si la variable A se distribuye como una χ2 con 10 grados de libertad, calcula que valor de A

deja por debajo un 99% de probabilidad.

Mirando las tablas de una χ2 con 10 grados de libertad encontramos que el resultado es igual a 23.2092.

Ejercicio 2. Si la variable B se distribuye como una t-Student con 20 grados de libertad, calcula la probabilidad siguiente: P(A<2,84).

Mirando las tablas de una t con 20 grados de libertad encontramos que el resultado es igual a 0.995

Ejercicio 3. Si la variable C se distribuye como una F-Snedecor con 10 grados de libertad en el numerador y 5 en el denominador, calcular que valor deja por debajo un 99% de probabilidad.

Mirando las tablas de la F (tabla de 99%), encontramos que este valor es 10,05.

1.3.- TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Nos permite aproximarnos a distribuciones normales cuando de partida no lo son. Tenemos

una sucesión de variables aleatorias con las siguientes características:

- Independientes.

- Idénticamente distribuidas (todas Poisson, todas uniformes, etc…).

- Su E(x) y Var(x) son iguales.

La variable que obtengo de sumar X1, X2, … , Xn es una nueva variable que converge hacia una

Normal.

E(∑Xi) = ·n

Var(∑Xi) = 2·n

∑Xi N( 2·;· nn )

Nota: La aproximaremos a la normal cuando n ≥ 30

Estadística I.

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Corrección de continuidad

Cuando pasamos de una distribución Binomial, Poisson… (variables discretas) con n≥30, a una

Normal (variable continua) se tiene que hacer una “corrección de continuidad”, considerando

mayor probabilidad y sumando o restando 0,5 al valor que me presenten.

Ejercicio 1. La probabilidad de que una persona que entra en una administración de lotería, juegue a

la primitiva es de un 60%. Si en un día entran 110 personas, la probabilidad de que más de 75 jueguen

a la primitiva es de aproximadamente…

Ejercicio 2. Observando las cifras de ventas de coches de un concesionario y sabiendo que las ventas

son independientes se sabe que las ventas diarias siguen una distribución Uniforme entre 20 y 30

coches diarios. Determina la probabilidad que tiene el concesionario de vender más de 4.920 coches

transcurridos 200 días.

Ejercicio 3. En una bodega especializada en vinos, el número de botellas que se rompen diariamente es

una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = 3. Calcular la

probabilidad de que en un año (365 días) el número de botellas rotas esté entre 1000 y 1100.

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Tema 2.- ELEMENTOS DE LA TEORÍA DEL MUESTREO

2.1. Conceptos básicos: muestra aleatoria y estadístico.

2.2. Distribuciones de algunos estadísticos en el muestreo.

2.3. Momentos poblacionales y muestrales.

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2.1.- CONCEPTOS BÁSICOS: MUESTRA ALEATORIA Y ESTADÍSTICO.

Población: conjunto de todos los individuos que son objeto del estudio. El censo recoge

información de toda la población.

Muestra: subconjunto representativo de la población que se utiliza cuando no es viable

analizar la población. El tamaño de la muestra dependerá del grado de exactitud que

queramos dar a nuestro estudio. Generalmente, a mayor tamaño de la muestra, obtendremos

resultados más fiables, pero también nos supondrá mayores costes. La encuesta recoge

información de la muestra. Ejemplo: Imaginemos que queremos realizar un estudio sobre la estatura

de los alumnos de la facultad de Económicas. En este caso, la población serían todos los alumnos de la

facultad. Una muestra sería escoger al azar una parte de estos alumnos, por ejemplo, una clase de

segundo.

Una muestra aleatoria de tamaño “n” es una sucesión de n variables aleatorias (X1, X2, … , Xn)

independientes entre sí e idénticamente distribuidas según el comportamiento poblacional:

- Idénticamente distribuidas E (X1) = E (X2) = E (Xn) y Var (X1) = Var (X2) = Var (Xn)

- Independientes

▪ Discretas: P (X1, X2, … , Xn) = P (X1) · P (X2) ·…· P (Xn)

▪ Continuas: f (X1, X2, … , Xn) = f (X1) · f (X2) ·…· f (Xn)

Estadístico: valor numérico calculado a partir de los elementos de la muestra que describe las

características muestrales.

Parámetro: valor numérico calculado a partir de todos los elementos de la población que

describe las características poblacionales.

Muestreo: proceso seguido para la extracción de una muestra, la cual ha de ser aleatoria. Los

estadísticos que se obtienen de una muestra (estimadores estadísticos) nos permitirán

arriesgarnos a predecir una serie de resultados para toda la población. De estas predicciones y

del riesgo que conllevan se ocupa la Inferencia Estadística.

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TIPOS DE MUESTREO

1. Muestreo aleatorio simple (MAS)

2. Muestreo sistemático

3. Muestreo aleatorio estratificado

4. Muestreo por conglomerados

1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (MAS)

Puede ser de 2 tipos:

- MAS sin reposición de los elementos: cada elemento extraído de la población se

descarta para la siguiente extracción.

- MAS con reposición de los elementos: las observaciones se realizan con

reemplazamiento, por lo que la población es idéntica en todas las extracciones y

por tanto podría ocurrir que el mismo elemento fuese otra vez analizado.

2. MUESTREO SISTEMÁTICO

Es una variante del MAS para la cual necesitamos definir el “coeficiente de elevación”:

n

NCE , siendo “N” el tamaño de la población y “n” el tamaño de la muestra (nº de

observaciones).

Ejemplo. Un barrio tiene 1000 viviendas. Tenemos una muestra de 40 observaciones. ¿Cuánto será

el CE?

N = 1000

n = 40

CE = 1000/40 = 25

El primer valor que cogeremos de la muestra será aleatorio, pero el resto ya están predeterminados:

1er valor = 18 (elegido al azar)

2ndo valor = 18 + 25 = 43

3r valor = 43 + 25 = 68

Etc.

- Este muestreo se puede aplicar fácilmente si se dispone de un listado de toda la

población.

- Presenta el inconveniente de tener que ordenar previamente la población de menor a

mayor.

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3. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

- Consiste en dividir la población en subpoblaciones de forma que se agrupen los

elementos que más se asemejan entre sí. Cada subpoblación recibe el nombre de

“estrato” y dentro de cada estrato se lleva a cabo un MAS. La muestra final se

obtiene como la combinación de todas las submuestras de todos los estratos.

- La medida de la muestra de cada estrato se denomina “afijación”, la cual puede

ser:

▪ Uniforme o simple: en todos los subgrupos se obtiene una muestra de

igual tamaño. Si hay L subgrupos tendremos n1 = n2 = n3 = … = n / L

▪ Proporcional: muestra proporcional al número de elementos en cada

estrato. Tendremos: n1 / N1 = n2 / N2 = n3 / N3 = … = n / N

▪ Óptima: la diferencia con la anterior es que en este caso conocemos la

desviación estándar, la cual la multiplicamos en el denominador.

Tendremos: n1 / S1· N1 = n2 / S2 · N2 = n3 / S3 · N3 = … = n / S · N

Ejemplo. Sabemos que el tamaño de la población es de N = 10.000 individuos y que el tamaño

de la muestra debe ser de n = 400 individuos.

- Viviendas tipo A = 2.000 individuos

- Viviendas tipo B = 7.000 individuos

- Viviendas tipo C = 1.000 individuos

- TOTAL = 10.000 individuos = N

Además sabemos que la desviación estándar es S1 = 100, S2 = 50 y S3 = 10.

¿Cómo haremos el reparto de la muestra entre los diferentes subgrupos/estratos?

Afijación uniforme o simple n1 = n2 = n3 = n / L = 400 / 3 = 133,3 individuos cada

subgrupo

Afijación proporcional n1 / 2.000 = n2 / 7.000 = n3 / 1.000 = n / N

n1 / 2.000 = n2 / 7.000 = n3 / 1.000 = 400 / 10.000

▪ n1 = 2.000 · 400 / 10.000 = 80

▪ n2 = 7.000 · 400 / 10.000 = 280

▪ n3 = 1.000 · 400 / 10.000 = 40

▪ TOTAL = 80 + 280 + 40 = 400 = n

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Afijación óptima

n1 / 2.000 · 100 = n2 / 7.000 · 50 = n3 / 1.000 · 10 = n / N

n1 / 2.000 · 100 = n2 / 7.000 · 50 = n3 / 1.000 · 10 = 400 / (2.000 · 100 + 7.000 · 50 + 1.000 · 10)

▪ 143000.560

400)100000.2(1

n

▪ 250000.560

400)50000.7(2

n

▪ 7000.560

400)10000.1(3

n

▪ TOTAL = 143 + 250 + 7 = 400 = n

4. MUESTREO POR CONGLOMERADOS

Cogemos como muestra un conjunto de elementos de la población que se pueden considerar

como bastante representativos de la misma. La idea es conseguir que cada conglomerado sea

una miniatura de la población. Ejemplo: Si en lugar de seleccionar de forma aleatoria personas para

medir su capacidad adquisitiva o de consumo se seleccionan, por ejemplo, familias, se dice que el

muestreo es por conglomerados.

2.4. DISTRIBUCIONES DE ALGUNOS ESTADÍSTICOS EN EL MUESTREO

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL )(x

Sea X1, X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con media E(X) = μ y varianza Var(X) =

σ2. El estimador más razonable de la media poblacional μ es la media muestral que verifica las

siguientes propiedades:

1. )(xE = x = El valor esperado de la media muestral es la media de la población.

Demostración:

))(...)()((1

)...(1

)( 21321 nn XEXEXEn

XXXXEn

xE

Al estar idénticamente distribuidas

n

n

nxE )...(

1)(

2. n

xVar2

)(

http://www.economia48.com/spa/d/capacidad/capacidad.htm

http://www.economia48.com/spa/d/consumo/consumo.htm

http://www.economia48.com/spa/d/familia/familia.htm

http://www.economia48.com/spa/d/muestreo/muestreo.htm

http://www.economia48.com/spa/d/conglomerados/conglomerados.htm

Estadística I.

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Demostración:

)...(1

)...

()( 212

21

n

n XXXVarnn

XXXVarxVar

Al ser independientes ))(...)()((1

)( 212 nXVarXVarXVarn

xVar

Al estar idénticamente distribuidas nn

nxVar

2

2

2

)(

3. Desviación estándar )(x = n

4. La distribución de x depende de la distribución de la población X. Por ejemplo, si X es

Normal, la distribución de x también lo será. Para muestras grandes, por el Teorema

Central del Límite, la distribución de X puede aproximarse por una Normal (si n ≥ 30)

sea cual sea la distribución inicial. Por tanto:

Si X Normal ( , ); entonces x Normal ( ,n

)

Ejemplo 1. Considere una población representada por una variable aleatoria X que viene representada

por la siguiente función de densidad: xxf2

1)( si 0 ≤ x ≤ 2 y 0 para el resto. Si seleccionamos una

muestra de tamaño 35, determina la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 1,32.

Ejemplo 2. Sea X una población con distribución N (90, σ = 20).

a) Si se obtiene una muestra de tamaño 16, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral x

sea mayor o igual que 92?

b) Determinar el tamaño muestral para que la probabilidad de que la media muestral sea menor

o igual que 98 sea P ( x ≤ 98) = 0, 99.

Ejemplo 3. Dada una distribución uniforme X U (10, 20) calcula E (2 x - 5) y Var (5 x - 4), sabiendo

que el tamaño muestral es 100.

Ejemplo 4. Tenemos una población definida por la siguiente ley de probabilidad:

x 1 2 3

P(x) 0,2 0,3 0,5

Sabiendo que el tamaño de la muestra aleatoria es 2, calcula )(),(),18(),(),( xVarxExVarxVarxE

Estadística I.

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Ejemplo 5. Dada la siguiente función de probabilidad, calcula E(x), Var (x), CV(x) y )7

10(

xE .

X 0 1 2

P(x) 0,2 0,6 0,2

Ejemplo 6. De una población binomial de parámetros 3 y 0,5 extraemos una muestra aleatoria simple

de tamaño 2. Nos piden determinar ).(),(),10

(),(),( xVarxVarx

ExExE

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

Sea X1, X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con media E(X) = μ y varianza Var(X) =

σ2. El estimador más razonable de la varianza poblacional σ2 es la varianza muestral (S2) que

verifica las siguientes propiedades:

1. 22)( SE El valor esperado de la varianza muestral es la varianza de la

población.

2. 1

)( 2

2

n

xXiS y por tanto: )1()( 22 nSxXi

3. Y si hacemos: 2

2

2

2)1()(

nSxXi ésta se distribuye como una

chicuadrado2

1n

4. Si X Normal ( , ); entonces 2

2 )1(

nS

2

1n

Ejemplo 7. Cuando un proceso de producción está funcionando correctamente, la resistencia de los

componentes sigue una distribución Normal con desviación estándar de 3,6. Se toma una muestra

aleatoria de 4 componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 30?

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL CUANDO σ DESCONOCIDA

- Si conocida (lo hemos visto anteriormente)

X Normal ( , )

Estadística I.

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Cogemos una muestra de tamaño n

x Normal ( , )n

n

xZ

x

Normal (0,1)

- Si desconocida

Vamos a necesitar dos expresiones que ya conocemos:

n

xZ

x

y

2

2 )1(

nS

2

1n (chicuadrado con n-1 grados de libertad)

Además la fórmula de la t-Student:

n

Zt

n

n2

Substituimos y obtenemos:

n

S

x

S

n

x

S

n

x

n

nS

n

x

tn

2

2

2

2

1

)1(

Y por último tenemos que:

n

S

x 1nt Ahora no se aproxima a una chicuadrado, sino a una t-Student!!!!

Ejemplo 8. En cierta ciudad la cantidad mensual de gasolina utilizada por cada vehículo sigue una

Normal con media de 160 litros. Si se toma una muestra de tamaño 9 y se obtiene una varianza

muestral de 81 litros2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre

155,224 y 164,776 litros?

Ejemplo 9. Los salarios diarios pagados al personal se distribuyen Normalmente con media de 8350

u.m y desviación típica de 750 u.m. Cual debe ser el tamaño de la muestra para que la probabilidad de

que la media muestral difiera en valor absoluto de la media poblacional en menos de 250 u.m sea de

0,9.

Estadística I.

19



DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES

- Si varianzas poblacionales conocidas ( 2

x y 2

y )

Tenemos:

X Normal ( x , x )

Y Normal ( y , y )

Hemos seleccionado dos muestras: xn x y yn y ; y sabemos que:

x Normal ( x , )xn

y Normal ( y , )yn

¿Cuál será la diferencia de medias muestrales?

x - y Normal, ¿de qué parámetros? Procedemos a buscarlos…

E( x - y ) = E( x ) – E( y ) = x - y

Var( x - y ) = Var( x ) + Var( y ) (porque son independientes)

Siendo x

x

nxVar

2

)(

y y

y

nyVar

2

)(

queda:

x - y Normal

y

y

x

x

ynn

22

x ;

Si ahora quisiéramos estandarizar:

yx

Z

y

y

x

x

yx

nn

yx

22

)()(

Normal (0,1)

Estadística I.

20



Arreglando el denominador queda:

yxyxy

y

x

x

nnnnnn

11)

11(2

22

(En este caso es conocida!!)

Finalmente queda:

yx

Z

yx

yx

nn

yx

11

)()(

Normal (0,1)

Ejemplo 10. El precio en euros de los paquetes de tabaco de cierta marca se distribuyen según una

Normal con media 2,65 euros y desviación típica 0,6 euros; mientras que el precio de otra marca

distinta sigue una distribución Normal con media 2,15 euros y desviación típica de 0,8 euros. Si una

persona compra 25 paquetes de la primera marca y 24 de la segunda marca, determine la

probabilidad de que el precio medio de la primera muestra sea superior al precio medio de la segunda

como mínimo en 0,6 euros.

- Si varianza poblacional desconocida

Suponemos que 2

x = 2

y

Tenemos:

X Normal ( x , x )

Y Normal ( y , y )

Hemos seleccionado dos muestras, xn y yn , y habrá que calcular no sólo x y y ,

sino también 2

x y 2

y .

A partir de ponderar las varianzas muestrales:

2

)1()1(

)1()1(

)1()1( 2222

2

yx

yyxx

yx

yyxx

pnn

SnSn

nn

SnSn

2

)1()1( 22

yx

yyxx

pnn

SnSn

Estadística I.

21



Si ahora quisiéramos estandarizar, debemos substituir p en el denominador de

la expresión para el caso en el que sí conocemos , y quedaría:

yx

Z

yx

p

yx

nn

yx

11

)()(

2 yx nnt

IMPORTANTE!!! En el caso en que sí conocemos , la yx

Z

se distribuye como

una Normal (0,1), pero en el caso en que no conocemos , la yx

Z

se distribuye

como una 2 yx nnt .

Ejemplo 11. El gasto diario en euros en llamadas de teléfono de dos sucursales de una empresa sigue

una distribución Normal de esperanza matemática de 8 para la primera y una distribución Normal de

esperanza matemática de 7 para la segunda sucursal. Se seleccionan 6 días en la primera sucursal

obteniendo una varianza de 4 euros2 y de 4 días en la segunda sucursal obteniendo una varianza

también de 4 euros2. ¿Cuál es la probabilidad de que de la primera sucursal, el gasto medio supere al

gasto medio de la segunda en más de 3,40125 euros. (Consideramos que las varianzas poblacionales

son iguales).

DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES )(2

2

y

x

S

S

Varianza muestral = S2

Varianza poblacional = 2

Consideramos 2 variables que se distribuyen por una Normal:

X Normal ( x , x ) xn 1

)( 2

2

x

xn

xXiS

2

2 )1(

x

xx nS

2

1xn

Y Normal ( y , y ) yn 1

)( 2

2

y

yn

yYiS

2

2 )1(

y

yy nS

2

1yn

Estadística I.

22



Teniendo en cuenta la expresión de F-Snedecor a partir de dos chicuadrados, obtenemos:

1

12

1

2

1

2

2

,

y

n

x

n

m

n

mn

n

n

m

nF

y

x

Si substituimos:

1

)1(

1

)1(

2

2

2

2

y

y

yy

x

x

xx

n

nS

n

nS

2

2

2

2

x

y

y

x

S

S

1,1 yx nnF

Ejemplo 12. El precio en euros de los paquetes de tabaco de cierta marca se distribuyen según una

Normal con media 2,65 euros y desviación típica 0,6 euros; mientras que el precio de otra marca

distinta sigue una distribución Normal con media 2,15 euros y desviación típica de 0,8 euros. Si una

persona compra 25 paquetes de la primera marca y 24 de la segunda marca, determine la

probabilidad de que la varianza muestral de la primera marca sea menor que el doble de la varianza

muestral de la segunda marca.

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL )ˆ( p

Se desea estimar la proporción p de individuos de una población que tiene una determinada

característica. Para ello se toma una muestra de elementos de la población, anotando un 1 si

dicho elemento tiene la característica, y 0 en otro caso, es decir, se tiene una muestra X1,…, Xn

de una Binomial (1, p).

Sabemos que en una binomial:

E (x) = n · p

Var (x) = n · p · q

Estadística I.

23



Un estimador razonable de p es la proporción de elementos de la muestra que tiene dicha

característica, es decir:

n

Xp ˆ

Siendo X el número de individuos de la muestra que poseen la característica que nos interesa

analizar.

Se verifican las siguientes propiedades:

E )ˆ( p = E (n

X) =

n

1 E (x) =

n

pn = p siendo p = proporción poblacional.

Var )ˆ( p = Var (n

X) = 2)

1(n

Var (x) = 2n

qpn

n

qp

La distribución de p depende de la distribución de la población X, pero cuando n es

grande (n≥30) entonces:

p Normal ( p, n

pp )1( )

Si queremos estandarizar:

n

pp

ppZ p

)1(

ˆˆ

Normal (0,1)

Ejemplo 13. Una fábrica de bicicletas produce únicamente bicicletas de color azul y rojo, vendiendo la

misma cantidad de cada color. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 200 últimas bicicletas

vendidas, más del 40% sean rojas?

Ejemplo 14. En el proceso de producción de una empresa, el 1% de los productos sale defectuoso. Para

corroborarlo se obtiene una muestra de tamaño n = 25 y se estima la proporción de productos

defectuosos. Estimar la probabilidad de que la proporción estimada sea mayor que el 2%.

Estadística I.

24



DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

MUESTRALES )ˆˆ( yx pp

De la población X se extrae una muestra xn y de la población Y se extrae una muestra yn ,

siendo xn y yn independientes entre sí.

Se obtienen las proporciones muestrales asociadas: x

xn

Xp ˆ y

y

yn

Xp ˆ

Se necesitaran tamaños muestrales grandes para aproximarlo a una Normal.

xp Normal ( xp , x

xx

n

pp )1( )

yp Normal ( yp , y

yy

n

pp )1( )

Además tenemos que:

E )ˆˆ( yx pp = E ( xp ) – E ( yp ) = xp - yp

Var )ˆˆ( yx pp = Var ( xp ) + Var ( yp ) = x

xx

n

pp )1( +

y

yy

n

pp )1(

Por tanto, tenemos:

yx pp ˆˆ Normal xp - yp ;

y

yy

x

xx

n

pp

n

pp )1()1(

Si estandarizamos:

yx ppZ ˆˆ

y

yy

x

xx

yxyx

n

pp

n

pp

pppp

)1()1(

)()ˆˆ(

Ejemplo 15. Una empresa conoce que los clientes morosos que compran el producto A son el 15% y los

clientes morosos que compran el producto B son el 10%. Del producto A se obtiene una muestra

aleatoria de 100 clientes y para el B de 64 clientes, con la finalidad de establecer las respectivas

proporciones muestrales de clientes morosos. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de

proporciones muestrales de clientes morosos entre ambos productos no supere el 5%?

Estadística I.

25



Ejercicios resumen

Ejemplo 16. El volumen de gastos en innovación tecnológica de las empresas del sector alimentario

tiene asociada una Normal con volumen medio de 77.000 millones de euros. Si se dispone una muestra

aleatoria relativa de 27 empresas del sector que poseen un volumen medio de gastos en innovación de

74.000 millones de euros con deviación estándar muestral de 5.100 millones de euros, determina la

probabilidad de que el gasto medio muestral esté comprendido entre 75 y 78 (miles de millones de

euros).

Ejemplo 17. De un estudio sobre la edad de los trabajadores de una empresa se ha observado que los

varones tienen desviación de 9 años y las mujeres de 7 años. Si se analizan 2 muestras: una de 38

trabajadores, con media de 38 años y la otra de 34 trabajadoras, con una media de 34 años, calcula la

probabilidad de que las diferencias de edad media a nivel muestral según el sexo del trabajador no

supere los 3 años.

Ejemplo 18. De la muestra de 38 trabajadores se obtiene una desviación estándar de 8 años, mientras

que de la muestra de 34 trabajadores la desviación estándar es de 5 años. Valora si la probabilidad de

que la diferencia muestral de edades medias sea inferior a 3 años se mantiene como antes en casi el

30%. Tienen la misma varianza pero con valor desconocido.

Ejemplo 19. Dada 2 poblaciones Normales con varianza 4,5 y 7 respectivamente, calcula la

probabilidad de que si se dispone de una muestra de cada población con nx = 10 y ny = 12, el cociente

de sus varianzas muestrales sea inferior a la unidad.

2.5. MOMENTOS POBLACIONALES Y MUESTRALES

Los momentos son los valores que caracterizan una distribución, y por tanto, son muy útiles

para comparar distribuciones, ya que cuantos más momentos potenciales iguales presenten

dos distribuciones, más parecidas serán. La expresión general de cálculo respecto a un origen

arbitrario Ot del momento de orden r es:

Mr = ∑ Ni

niOtXi r )(

Los hay de dos tipos:

- Respecto al origen

- Respecto a la media

Estadística I.

26



Momentos respecto al origen (Ot =0)

El momento respecto al origen de orden r es:

ar = N

nixi r

▪ 0a = 1

▪ 1a = x

Momentos respecto a la media

El momento respecto a la media de orden r es:

Mr = N

nixxi r )(

▪ 0M = 1

▪ 1M = 0

▪ 2M = 2A – 2

1A = S2 = N

nixi 2

- )(x 2

Cuando nos referimos a la población los llamamos MOMENTOS POBLACIONALES y cuando nos

referimos a la muestra hablamos de MOMENTOS MUESTRALES.

Estadística I.

27



Tema 3.- ESTIMACIÓN PUNTUAL

3.1 Introducción al proceso de estimación.

3.2 Propiedades de los estimadores puntuales.

3.3 Métodos de estimación puntual.

Estadística I.

28



3.1 INTRODUCCIÓN AL PROCESO DE ESTIMACIÓN

El proceso de estimación se ocupa de obtener valores aproximados de parámetros

poblacionales.

- Estimación puntual: se asigna al parámetro un valor en concreto.

- Estimación por intervalo: se encuentra un intervalo en el que está incluido el

parámetro con una determinada confianza.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Su objetivo consiste en encontrar un valor que sea el mejor pronóstico acerca del valor real del

parámetro que nos interesa, utilizando la información a priori si está disponible y la

proporcionada por la muestra.

Tenemos un parámetro desconocido )( que hace referencia a la población y que tendremos

que estimar. Lo que haremos es establecer un estimador )ˆ( a partir de la muestra que será

una función de los estimadores muestrales.

3.2 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES

1.- INSESGADEZ

)ˆ(E Estimador insesgado

)ˆ(E Estimador sesgado

)ˆ()ˆ( ESesgo

o Estimador insesgado 0)ˆ( Sesgo

o Estimador sesgado:

Sesgo + )ˆ(E Se SOBREVALORA el verdadero valor del

parámetro poblacional.

Sesgo – )ˆ(E Se INFRAVALORA el verdadero valor del

parámetro poblacional.

Estadística I.

29



Si cuatro estimadores tuviesen la misma esperanza matemática pero distinta varianza y

tuviésemos que escoger uno, escogeríamos el que tenga MENOR VARIANZA, porque supone

tener MENOR DISPERSIÓN.

Ejemplo 1. En la distribución de una variable aleatoria X se sabe que se distribuye como una Binomial

de parámetros m y p. En muestras de tamaño n se estima p mediante 2 estimadores distintos:

m

xp 1ˆ

1

ˆ2

m

xp

¿Cuál de los 2 estimadores es insesgado? En el que sea sesgado indique el signo.

pm

pm

mxE

mm

xEpE

)(

1)ˆ( 1 Insesgado

11)(

1

1

1)ˆ( 2

m

pm

mxE

mm

xEpE

Sesgado

pm

pmppEpSesgo

)

1()ˆ()ˆ( 22

Recordemos que:

)ˆ(E Sesgo negativo.

Y en nuestro caso (probemos, por ejemplo, con m=2 y p=0,5).

ppE )ˆ( 2

Conclusión:

Sesgo negativo.

2.- ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM)

)ˆ()ˆ(ˆ)()ˆ( 22

2 sesgoVarEeEECM

e2= error de la estimación

Estimador insesgado ECM = varianza

Estadística I.

30



Ejemplo 2. n = 3 (X1, X2, X3)

X ¿? )25,( 2

Posibles estimadores de :

)2(5

1ˆ

)2(4

1ˆ

3212

3211

XXX

XXX

Obtener los ECM de los dos estimadores.

1. -

)ˆ()ˆ( 1

2

1 SesgoVarECM

))()(4)((16

1))2(

4

1()ˆ( 3213211 XVarXVarXVarXXXVarVar

8

75

8

253

8

3

16

64

16

1 22222

4

4)2(

4

1))()(2)((

4

1)ˆ( 3211 XEXEXEE INSESGADO

0)ˆ(()ˆ( 11 ESesgo

8

750

8

75)ˆ( 2

1 ECM

2. -

)ˆ()ˆ( 2

2

2 SesgoVarECM

))()(4)((25

1))2(

5

1()ˆ( 3213212 XVarXVarXVarXXXVarVar

625

256

25

64

25

1))()(4)((

25

1 2222

321

XVarXVarXVar

5

4)2(

5

1))()(2)((

5

1)ˆ( 3212

XEXEXEE SESGADO

5

1

5

5

5

4

5

4)ˆ(()ˆ( 22

ESesgo

25

16)

5

1(6)ˆ(

22

2

ECM

Estadística I.

31



3.- EFICIENCIA RELATIVA (λ)

Se comparan los ECM de 2 estimadores ( y ~

) del mismo parámetro poblacional ( ).

)~

(

)ˆ(

ECM

ECM

< 1 Se escoge el NUMERADOR, por tener ECM MENOR

> 1 Se escoge el DENOMINADOR, por tener ECM MENOR

4.- EFICIENCIA ABSOLUTA

será un estimador eficiente en términos absolutos del parámetro si cumple que:

1. es un estimador insesgado de )ˆ(E

2. Cualquier otro estimador insesgado de ( *) nunca tendrá una varianza inferior al

anterior ( ) Var( *) ≥ Var( )

Nota: “Estimador lineal insesgado óptimo” = este estimador es una función lineal de las

observaciones muestrales. El hecho de que sea insesgado nos dice que el sesgo es 0, y que sea

óptimo nos dice que es un estimador con varianza mínima.

3.2.1 PROPIEDADES ASINTÓTICAS PARA n GRANDE

1.- INSESGADEZ ASINTÓTICA

)ˆ(lim En Un estimador es insesgado asintóticamente si a medida que n ,

el valor esperado del estimador se acerca cada vez más al verdadero valor del parámetro

poblacional, llegando a ser igual en el límite.

2.- CONSISTENCIA

Un estimador es CONSISTENTE en MEDIA CUADRÁTICA si el error de su ECM disminuye a

medida que aumenta el tamaño de la muestra, llegando en el límite a ser 0:

0)ˆ(lim ECMn .

Un estimador es CONSISTENTE si a medida que n su distribución se concentra

alrededor del parámetro poblacional.

Estadística I.

32



Un estimador es CONSISTENTE en PROBABILIDAD si a medida que aumenta n, la

probabilidad de que el estimador se aproxime al parámetro poblacional es cada vez

mayor, llegando en el límite a ser 1.

Ejemplo 3. Disponemos de la siguiente función de densidad de una distribución Uniforme:

1)( xf

para 0 ≤ X ≤ y 0 para el resto. Se toma una muestra de tamaño 5 y se definen los siguientes

estimadores de fita ( ):

▪ x2ˆ

▪ 51

~XX

Busca el sesgo, ECM y la eficiencia relativa de ambos.

Ejemplo 4. Considere la siguiente población:

Xi 1 4

P(x) p 1- p

Tenemos que:

3

4ˆ

xp

Sabiendo que p es un estimador insesgado diga si p es consistente y obtenga la estimación del

parámetro p para n=3 y x =3.

3.3 MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL

3.3.1 MÉTODO DE LOS MOMENTOS

Consiste en igualar los momentos de la población con los momentos de la muestra, para

estimar un parámetro desconocido.

Considere una población representada por una variable aleatoria X cuya distribución de

probabilidad está definida sobre k parámetros desconocidos.

Denotamos por r al momento ordinario de la distribución poblacional que vendrá definido

por )( r

r xE .

Establecemos que r depende de k parámetros ),...,,( 21 k .

Estadística I.

33



Sea una muestra aleatoria de tamaño n (X1, X2, … , Xn) que se obtiene sobre la población. El

momento ordinario muestral es: r

r Xn

a1

.

Para construir los estimadores de los k parámetros se propone exigir la igualdad entre los

momentos ordinarios poblacionales y muestrales. Por tanto se extiende la igualdad a los k

primeros momentos de la siguiente forma:

),...,,( 2111 ka

),...,,( 2122 ka

… Sistema de r equaciones

),...,,( 21 krra

RESUMEN

1 parámetro desconocido

▪ )(1 xE

▪ xa 11

2 parámetros desconocidos

▪ )(1 xE

▪ xa 11

▪ )( 2

2 xE

▪ n

Xia

2

22

¡¡¡IMPORTANTE!!! Los estimadores que obtengamos por este proceso son CONSISTENTES

pero NO puedo afirmar que sean insesgados, tendré que comprobarlo.

PROCESO PARA ESTIMAR UN PARÁMETRO POR EL MÉTODO DE LOS MOMENTOS

Sabiendo que:

▪ )(1 xE

▪ xa 11

Estadística I.

34



1º.- Calculamos )(xE

2º.- Igualamos xxE )( y ponemos el “sombrerito” en el parámetro desconocido.

3º.- Aislamos el parámetro con el “sombrerito”.

4º.- Hacemos la estimación.

Ejemplo 5. Sea la siguiente función de densidad: 1)( cXCxf si 0 < X < 1, y 0 para el resto,

siendo C > 0. Estima el parámetro )ˆ(C por el método de los momentos. Haz la estimación para una

muestra de tamaño 4 de los siguientes valores: 0, 2, 3 y 5.

Ejemplo 6. Sea la siguiente función de densidad: 2

)(2)(

xxf

si 0 ≤ X ≤ , y 0 para el resto.

Calcula el estimador por el método de los momentos y di si cumple la propiedad de insesgadez y la de

consistencia.

Ejemplo 7. Sea la siguiente función de densidad: 3

23)(

xxf si 0 ≤ X ≤ , y 0 para el resto. Calcula

el estimador por el método de los momentos.

3.3.2 MÉTODO DE LA MÁXIMA – VEROSIMILITUD

Se basa en la idea de que poblaciones diferentes generan muestras diferentes y es más

probable que una muestra proceda de algunas poblaciones en vez de otras, o dicho de otra

manera, ES MÁS VEROSÍMIL.

Los estimadores que obtengamos por este proceso son CONSISTENTES y ASIMPTÓTICAMENTE

EFICIENTES (a medida que aumenta el tamaño muestral, la varianza del estimador tiende al

valor mínimo).

Los estimadores M.V son los valores que maximizan la función de verosimilitud y son los

valores de los parámetros desconocidos que generarían con MAYOR FRECUENCIA la muestra

observada.

PROCESO PARA ESTIMAR UN PARÁMETRO POR EL MÉTODO DE LA M.V

1º.- Buscar la función de verosimilitud (l) l ( ; X1, … , Xn)

Estadística I.

35



2º.- Determinar la función logarítmica (L)

3º.- Hacer 0

L

4º.- Buscar los estimadores

Ejemplo. Tenemos: 1)( cxcxf si 0 < x < 1 y c > 0. Calcula c .

▪ Establecemos una única observación n=1 X1

En la función de verosimilitud (l) consideramos la “c” NO como un parámetro (como en la

función de densidad), sino como una variable no aleatoria y “X1” será un valor fijo y no una

variable aleatoria (como lo era en la función de densidad).

La función de verosimilitud será: l (X1; c)

En este caso: l (X1; c) = 1

1

cxc

Ahora hay que buscar cual es la “c” que maximiza la función

▪ Establecemos dos observaciones n=2 X1, X2

La función de verosimilitud será: l (X1, X2; c)

En este caso: l (X1, X2; c) = f (c, X1) · f (c, X2) = 1

2

1

1

cc XcXc 1

21

2 )( cXXc

▪ Establecemos “n” observaciones n=n (X1, X2,…,Xn)

La función de verosimilitud será: l (X1, X2,…,Xn; c)

En este caso: l (X1, X2,…,Xn; c) = f (c, X1) · f (c, X2) · … · f(c, Xn) =

11

21

11

2

1

1 )()...(... c

i

nc

n

nc

n

cc XcXXXcXcXcXc

productorio

Estadística I.

36



Ahora hay que buscar para que valor de “c” se maximiza la función de verosimilitud, para ello

utilizaremos la función logarítmica de verosimilitud (L).

l = 1)( c

i

n Xc aplicamos ln a ambos lados.

ln l = ln [ 1)( c

i

n Xc ] = L

Sabiendo que el logaritmo de un producto es suma de logaritmos:

ln (a · b) = ln a + ln b

Hacemos:

ln [ 1)( c

i

n Xc ] = ln nc + ln 1)( c

iX

Sabiendo que:

ln ak = k · ln a

ln nc + ln 1)( c

iX = n · ln c + (c – 1) · ln )( iX

Ahora derivamos:

Aplicando 0c

L

, obtenemos:

)ln()(ln11

ii Xc

nX

cn

c

L

Es una constante

Ahora igualamos a 0:

0)ln(ˆ

iXc

n ahora le ponemos el “sombrerito” del estimador

)ln(ˆ

iXc

n

)ln(ˆiXcn

)ln(ˆ

iX

nc

Estimador de máxima verosimilitud

Estadística I.

37



TEORÍA PREGUNTAS TIPO TEST

▪ La propiedad de insesgadez de un estimador puntual se interpreta como: los posibles

valores del estimador estarán próximos al valor del parámetro poblacional, ya que en

promedio, coinciden con éste.

▪ Si es un estimador insesgado, NO puede ser inconsistente.

▪ Un estimador consistente, NO siempre es insesgado.

▪ La estimación puntual de un parámetro toma distinto valor numérico dependiendo de la

muestra.

▪ Un estimador puntual es un estadístico muestral que aproxima el valor de un

parámetro, y es siempre una variable aleatoria.

▪ Estimador insesgado se verifica: 22ˆ)ˆ(ˆ EEE

▪ Estimador es asintóticamente insesgado?

o )ˆ(lim En Sí es asintóticamente insesgado

▪ Estimador es consistente?

o )ˆ()ˆ()ˆ( 2 SesgoVarECM

o )ˆ(ESesgo

o 0)ˆ(lim ECMn Sí es consistente

▪ nXiE

▪ No es verdad que:

o Un estimador sesgado nunca pueda proporcionar una estimación perfecta

(error de estimación igual a 0).

o Los estimadores consistentes son siempre insesgados en muestras pequeñas.

▪ ¿Qué significa que un estimador sesgado infravalore el valor desconocido de una

parámetro poblacional?

o Que ECM > Var

▪ Ningún estimador insesgado de la media poblacional tiene varianza menor que la media

muestral.

▪ Poblaciones normales con 2

x y 2

y ny y nx, y se calculan los estimadores insesgados

de 2

xS y 2

yS . Es correcto que: 2

2

2

2

x

y

y

x

S

S

1,1 yx nnF

Estadística I.

38



▪ 2222

11)1()(

n

nSE

n

n

n

SnE

n

xxE

▪ En una población Normal ( 2, ) si un estimador insesgado de tiene como varianza

n

22 se puede afirmar que: “La media muestral )(x es el doble de eficiente”.

▪ Método de los momentos (1º calcular E(x))

o Si te dan: f(x) = 2x Se hará dxxfxxE )()( (Porque 2x contiene

una x).

o Si te dan: f(x) = 5

1

b para 5 < x < 6 Se hará

2

65

2)(

baxE (Porque

5

1

b no contiene x).

▪ El estimador MV del parámetro de una Poisson, es la media muestral porque

xMV y .

▪ Función de verosimilitud si te dan una variable discreta:

x 0 1 2

p p 1 – p p + 2

Frec. abs. 2 4 3

l = p2 · (1 – p)4 · (p + 2)3

ln l = 2 · ln p + 4 · ln (1 – p) + 3 · ln (p + 2)

Pero si te dicen que es una Binomial (1,p) con muestra (0, 1, 0, 0)

x p

0 1 – p

1 p

l = (p,0) · (p,1) · (p,0) · (p,0)

l = (1 – p) · p · (1 – p) · (1 – p) = p · (1 – p)3

ln l = ln p + 3 · ln (1 – p)

▪ ln Xi = ln Xi

▪ Si la variable es una Normal ( 2, ), la función de verosimilitud tranformada (L) es:

Estadística I.

39



o

2

2

2 )(2

1ln

2)

2

1ln(

Xi

nnL

▪ Si la variable es una Poisson ( ) la L será:

o L = nXiXi lnln

▪ Función de verosimilitud:

o 1 cXc 1)( cn Xic

o xe

Xin e

o X )1(

)()1( Xin

▪ En la función de verosimilitud de una muestra se desconoce el valor de los parámetros,

pero son conocidos los valores muestrales.

▪ Para calcular un parámetro desconocido, NO siempre coinciden las fórmulas de cálculo

del estimador por el método de los momentos y el de la MV.

Estadística I.

40



Tema 4.- ESTIMACIÓN POR INTERVALO

4.1. Definición de intervalo de confianza

4.2. Intervalo de confianza para la media

4.3. Intervalo de confianza para la diferencia de medias

4.4. Intervalo de confianza para la proporción

4.5. Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

4.6. Intervalo de confianza para la varianza

4.7. Elección tamaño de la muestra

Estadística I.

41



4.1 DEFINICIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA

Inconveniente estimación puntual NO proporcionan información sobre la magnitud del

error cometido en la estimación.

Intervalo de confianza = conjunto de valores que con una determinada probabilidad (grado de

confianza) contiene el verdadero valor del parámetro a estimar.

Grado o nivel de confianza = 1 = probabilidad que tiene el intervalo de contener el

verdadero valor del parámetro.

Una vez establecido el grado o nivel de confianza, determinaremos el límite inferior y superior

del intervalo para establecer:

P (límite inferior < < límite superior) = 1

4.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

4.2.1 Varianza poblacional conocida )( 2

1

/ 2 / 2

-Z / 2 Z / 2

1)(2/ 2/

nZx

nZxP

n

Zx

2/

▪ n

Z

2/

Error de la estimación

▪ 2/ Z Se busca a partir del grado de confianza ( 1 ):

Estadística I.

42



o Si ↑ ( 1 ) los valores de Z se vuelven + grandes y ↓ la

longitud del intervalo.

o Si ↓ ( 1 ) al revés.

La longitud del intervalo será: Longitud = 2 · (n

Z

2/

)

▪ ↑ longitud si ↑

▪ ↓ longitud si ↑ n

Por ejemplo, si 1 = 0,95 = 0,05

1 = 0,95

/ 2 = 0,025 / 2 = 0,025

-Z0,05/2 Z0,05/2

▪ P (Z > Z0,025) = 0,025

▪ P (Z > 1,96) = 0,95 + 0,025 = 0,975 (Hemos sacado el 1,96 de las tablas)

▪ 95,0)96,196,1( n

xn

xP

▪ n

x

96,1

Ejemplo 1. Una población se puede modelizar por la variable aleatoria X que recoge el peso de los

paquetes procedentes de cierta máquina. Se sabe que esta población es Normal con valor esperado

desconocido y = 200.

n = 25 x = 1.050

X Normal ( , 200)

a) ¿Cuál es la estimación por intervalo de si fijamos el nivel de confianza al 90%?

b) ¿Cómo quedaría si ↑ ( 1 ) al 99%?

Estadística I.

43



4.2.2 Varianza poblacional desconocida

1)(2/ ,12/ ,1

n

Stx

n

StxP nn

n

Stx n 2/ ,1

Ejemplo 2. La duración de un producto se distribuye según una Normal con media de 200 horas. Si un

consumidor compra 10 unidades del producto y exige que con una probabilidad del 95% la vida media

de los 10 productos sea al menos de 190 horas. ¿Cuál ha de ser el valor que pueda tener la desviación

estándar de la duración de los productos?

Ejemplo 3. X Normal (µ,3). n = 25 x = 10.

a) Calcular un intervalo de confianza para µ si cogemos un grado de confianza del 95%.

b) Si quisiéramos cometer un error máximo de una unidad, ¿cuál debería ser el tamaño muestral

apropiado?

4.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES

4.3.1 Varianzas poblacionales conocidas (2

xy

2

y)

1)()(

22

2/

22

2/

y

y

x

x

yx

y

y

x

x

nnZyx

nnZyxP

y

y

x

x

nnZyx

22

2/ )(

4.3.2 Varianzas poblacionales desconocidas

1

11)(

11)(

2/ ,22/ ,2

yx

nynxyx

yx

nynxnn

tyxnn

tyxP

Estadística I.

44



yx

nynxnn

tyx11

)(2/ ,2

2

)1()1( 22

yx

yyxx

nn

SnSn

Ejemplo 4. En un laboratorio de medios audiovisuales de un colegio ha llegado una dotación gratuita

de retroproyectores procedentes de dos casas distribuidoras. Antes de realizar una compra posterior

se comprobó las horas de vida de las muestras respectivas siendo nA = 6 x A = 626; nB = 5 x B =

419. Además se sabe que A es de 18,42 y B es de 27,02. Se pide construir el intervalo de

confianza del 95% para la diferencia de medias bajo el supuesto de que el número de horas de vida de

ambas marcas sigue la ley normal.

Ejemplo 5. En una encuesta realizada a 25 familias de la ciudad A se ha obtenido una media de 35.650

u.m de gasto mensual en alimentación y una desviación estándar de 15.000 u.m (información de la

muestra). En otra ciudad B la media de gasto mensual obtenido a una encuesta realizada a 12

personas es de 32.800 u.m con una desviación estándar de 17.000 u.m. Si se supone que los gastos

mensuales en alimentación en las dos ciudades son Normales con igual varianza, determinar el

intervalo de confianza al 95% para la diferencia de valores esperados.

4.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA POBLACIONAL

1))1()1(

(2

1

22

2

1

2

nn

SnSnP

Extremo inferior Extremo superior

1))1()1(

(2

1

22

2

1

2

nn

SnSnP

Extremo superior Extremo inferior

Ejemplo 6. En una muestra de 10 botellas de aceite se observa que la varianza del peso de estos

envases es de 34 gr2. Con un grado de confianza del 90% obtener un intervalo de confianza para la

varianza poblacional del peso de los envases de oliva bajo el supuesto de que siga una ley normal.

Ejemplo 7. De una población normal se extrae la siguiente muestra aleatoria:

Estadística I.

45



Xi 3 4 6 7 9 13

ni 2 4 6 5 2 1

a) Halla un intervalo de confianza al 95% para la media de esa población.

b) Calcula un intervalo de confianza al 90% para la varianza poblacional.

Ejemplo 8. Para la estimación del parámetro media poblacional ( ) con varianza conocida (2

conocida) se elabora un intervalo de confianza del 90%. Determinar el número de observaciones

necesarias para aumentar el nivel de confianza de dicho intervalo al 95%.

4.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

Proporción = proporción de individuos que tengan un determinada característica.

1

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2/ 2/ n

qpZpp

n

qpZpP

n

qpZp

ˆˆˆ

2/

Al ↑ amplitud intervalo ↓ su precisión!!!

Ejemplo 9. Se desea construir un intervalo de confianza para la proporción de familias que poseen

cierto electrodoméstico. Para ello se escoge una muestra de 200 individuos de los cuales 157

resultaron poseer tal electrodoméstico. Proceda a construir el intervalo de confianza para la

proporción poblacional con los grados de confianza del 90%, 95% y 99%. ¿Qué observa a partir de

pasar de un % a otro %?

4.6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

POBLACIONALES

1

ˆˆˆˆ

)()ˆˆ(2/ 2/

Z

n

qp

n

qp

ppppZP

y

y

x

x

yxyx

Estadística I.

46



y

y

x

x

yxn

qp

n

qpZpp

ˆˆˆˆˆˆ

2/

Ejemplo 10. Se quiere analizar en 2 colectivos el gasto de consumo alimenticio. Del primer colectivo se

extrae una muestra de 200 personas de las cuales 70 declararon realizar un gasto superior a 3.000

u.m. En el segundo colectivo se escoge una muestra de 120 personas de las cuales 80 afirmaron gastar

por encima de esas 3.000 u.m. Se pide el intervalo de confianza al 90% para la diferencia de

proporciones de individuos que tienen un gasto por encima de las 3.000 u.m en los respectivos

colectivos.

4.7. ELECCIÓN TAMAÑO DE LA MUESTRA

4.7.1. Intervalo de confianza para la media

Si me fijan la AMPLITUD

2

22/

24

A

Zn

Si me fijan el ERROR DE ESTIMACIÓN

2

22/

2

e

Zn

4.7.2. Intervalo de confianza para la proporción poblacional

Si me fijan la AMPLITUD y me dan p y q

2

2/ 2 ˆˆ4

A

qpZn

Si me fijan la AMPLITUD y NO me dan p y q

Método máxima olgura: p = q = 0,5 (si no nos dan las proporciones)

2

2/ 2 5,05,04

A

Zn

Si me fijan el ERROR DE LA ESTIMACIÓN y me dan p y q

2

2/ 2 ˆˆ

e

qpZn

Si me fijan el ERROR DE LA ESTIMACIÓN y NO me dan p y q

p = q = 0,5 (si no nos dan las proporciones)

2

2/ 2 5,05,0

e

Zn

Estadística I.

47



Tema 5.- CONTRASTE DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS

5.1 Conceptos básicos.

5.2 Tipos de errores.

5.3 Contraste para la media.

5.4 Contraste para la diferencia de medias.

5.5 Contraste para la varianza.

5.6 Contraste para la igualdad de varianzas.

5.7 Contraste para la proporción.

5.8 Contraste para la diferencia de proporciones.

5.9 Análisis de la varianza (ANOVA)

Estadística I.

48



5.1 CONCEPTOS BÁSICOS

En el caso de la ESTIMACIÓN objetivo: obtener aproximaciones al valor o valores

desconocidos de la población.

En el caso de la CONTRASTACIÓN objetivo: definir si ciertas hipótesis formuladas sobre la

población son aceptables o no, utilizando la información muestral.

Hipótesis estadística: afirmación acerca del valor de un parámetro o parámetros, la cual se

desea analizar utilizando la información muestral para finalmente tomar una decisión sobre su

validez.

En cualquier contraste nos vamos a encontrar 2 hipótesis:

› Hipótesis nula = Ho

› Hipótesis alternativa = HA

Mientras la evidencia empírica NO diga lo contrario, me quedaré con Ho, porque la Ho

contiene la información que a priori es cierta, y necesita una evidencia empírica para

rechazarla a favor de HA.

Buscaremos un estadístico de prueba donde incorpore la hipótesis nula (Ho) que lo que haga

sea valorar la discrepancia entre Ho y la información muestral.

5.2 TIPOS DE ERRORES

= Probabilidad (Error tipo I) = Probabilidad (rechazar Ho / Ho cierta)

= Probabilidad (Error tipo II) = Probabilidad (aceptar Ho / HA cierta)

ACEPTAR Ho RECHAZAR Ho

Ho

cierta Decisión correcta

Error tipo I con probabilidad (nivel

de significación)

HA

cierta Error tipo II con probabilidad Decisión correcta

Estadística I.

49



- Si mantenemos fijo el tamaño muestral:

o Si ↑ ↓

o Si ↓ ↑ ↓ potencia

- Si ↑ el tamaño muestral:

o ↓ y ↓

- Potencia de contraste = 1

o A menor Probabilidad (Error tipo II) mayor potencia del contraste

1 .

o Nos interesa una potencia de contraste alta (0,9 por ejemplo) ya que la

probabilidad de aceptar Ho cuando HA es cierta es menor (0,1 por ejemplo).

- Región aceptación: conjunto de valores donde si cae dentro el valor estadístico de

prueba, la conclusión es aceptar la Ho.

- Región de rechazo o crítica: conjunto de valores donde si cae dentro el valor del

estadístico de prueba, la conclusión es rechazar la Ho.

- Potencia: nos indica la probabilidad de rechazar la Ho cuando es falsa.

- Valor crítico: es aquel valor que nos separa la región crítica (RC) de la región de

aceptación (RA).

FASES DE CUALQUIER CONTRASTE

1. Definir el contenido de Ho y HA.

2. Establecer “ ” y “n” con los que vamos a trabajar.

3. Formular el estadístico de prueba que nos permita valorar si existe discrepancia entre

la información empírica y la información relativa a los parámetros poblacionales (Ho).

4. Establecer a partir del recorrido del estadístico de prueba la RC y la RA.

5. Calcular el estadístico de prueba a partir de la información muestral.

6. Dar el resultado del contraste, después de comparar el estadístico de prueba con los

valores asociados a la RC y a la RA.

Estadística I.

50



5.3 CONTRASTE PARA LA MEDIA Ho µ = µo

5.3.1 conocida [X Normal ( 2, )]

conocida

- Estadístico de prueba:

n

xZ

0*

N (0,1) si Ho es cierta

- Valores críticos:

1 - 1 - 1 -

/ 2 / 2

A dos colas A una cola A una cola

HA : 0 HA : 0 Ho : 0

0

Si *Z <

2/ Z se ACEPTA Ho.

Si *Z >

2/ Z se RECHAZA Ho.

0

Si *Z > Z se RECHAZA Ho.

Si *Z < Z se ACEPTA Ho.

0

Si *Z >- Z se ACEPTA Ho.

Si *Z <- Z se RECHAZA Ho.

Estadística I.

51



Ejemplo 1. Se sabe que la varianza de cierta población normal es 4. Extraemos una muestra de 5 con el

objetivo de contrastar:

Ho: µ = 2 HA: µ = 3

Si = 5%, determine la región crítica para la x .

Ejemplo 2. Se sabe que la desviación estándar de cierta población normal es 20. Extraemos una

muestra de tamaño 100 con el objetivo de contrastar, a un nivel de significación del 5%:

Ho: µ = 100 HA: µ = 120

Determinar región crítica y potencia de contraste para la x .

Ejemplo 3. Se sabe que la desviación estándar de cierta población normal es 20. Extraemos una

muestra de tamaño 64 con el objetivo de contrastar, a un nivel de significación del 10%:

Ho: µ = 115 HA: µ = 110

Determinar región crítica y potencia de contraste para la x .

5.3.2 desconocida [X Normal ( 2, )]

Desconocidos

- Estadístico de prueba:

n

S

xZ 0*

tn-1 si Ho es cierta

- Valores críticos: (mismos que en conocida)

Similitudes entre el intervalo de confianza para la media de una población y las

regiones de aceptación para la contrastación respecto a la media poblacional

Parto de una población Normal: X N ( , ) y quiero realizar este contraste.

Ho : 0

HA : 0

Estadística I.

52



Suponemos que = 5%. Calculamos la región de aceptación:

96,196,1 0

n

x

nx

nx

96,196,1 0

El intervalo de confianza del 95% es simplemente el intervalo que contiene todas las hipótesis

acerca de la media de la población ( 0 ) que serían aceptadas en una contrastación a 2 colas

(inferior y superior) con un nivel de significación del 5%.

5.4 CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS Ho µx = µy µx - µy = 0

5.4.1 conocida

= 0

N (0,1)

5.4.2 desconocida

= 0

2nynxt

y

y

x

x

yx

nn

yxZ

22

)()(*

yx

yx

nn

yxt

11

)()(*

2

)1()1( 22

yx

yx

nn

SnSn

Estadística I.

53



Ejemplo 4. Con la finalidad de determinar si la velocidad que se consigue es independiente de la hora

en que se realiza el trayecto se ha efectuado un seguimiento de una muestra de coches en 2 franjas

horarias diferentes y se han obtenido los siguientes resultados relativos a los km que se habían

recorrido durante 1 hora:

- Franja 1: 151 n 5701 X 21892

1 X

- Franja 2: 122 n 2402 X 50182

2 X

Contrastar hipótesis de que la velocidad que se puede conseguir es independiente de la hora de

circulación. Se asume distribución Normal en ambas poblaciones e igual varianza. = 5%

5.5 CONTRASTE PARA LA VARIANZA Ho 2

0

2 y HA 2

0

2

2

0

22

*

)1(

Sn 2

1n

5.6 CONTRASTE PARA IGUALDAD DE VARIANZAS Ho 22

yx y HA 22

yx

2

2

*y

x

S

SF Fnx-1, ny-1

menorS

mayorS2

2

Fn,m o m,n

5.7 CONTRASTE PARA LA PROPORCIÓN Ho p = p0 y HA 0pp

n

qp

ppZ

0

0ˆ

* N (0,1)

5.8 CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Ho pX = pY pX - pY = 0 y

HA pX - pY 0

= 0

)11

(

)()ˆˆ(*

yx

yxyx

nnqp

ppppZ

N (0,1)

yx

yyxx

nn

pnpnp

ˆˆ

Estadística I.

54



5.9 ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA)

Nos permite comparar medias, pero no sólo 2 (Ho: µx = µy) sino 3, frente a la alternativa (HA)

de que al menos una de esas medias sea diferente de las otras dos.

Necesitaremos “k” muestras y los siguientes supuestos:

1. NORMALIDAD a nivel poblacional.

2. MUESTRAS INDEPENDIENTES entre sí.

3. La VARIANZA POBLACIONAL )( 2 es la MISMA en todas las muestras.

La variabilidad de los datos de las muestras tiene 2 orígenes.

- La variación explicada por las diferencias entre las muestras (variación explicada).

- Variaciones de tipo aleatorio que existen dentro de cada muestra (variación NO

explicada).

Por tanto tenemos que:

V. total = V. entre muestras + V. dentro de las muestras

V. total = V. explicada + V. no explicada

VT = VE + VNE

Ahora tendremos que buscar el estadístico de prueba.

- Si hacemos kn

VNE

obtenemos un estimador insesgado de la varianza poblacional

)( 2 que hemos dicho que era única.

- Si hacemos 1k

VE sólo cuando la H0 es cierta resultará que también es un

estimador insesgado de la varianza poblacional )( 2 .

Estadística I.

55



El estadístico de prueba surge de comparar estos dos estimadores, y hay que saber la TABLA

ANOVA:

Fuentes de variación

Suma de cuadrados Grados

de libertad

Suma media de cuadrados

V. explicada (VE)

- 2)( Tjj xxn

- 22

Txnxn k – 1 1

2

1

k

VES Si H0 es cierta será un

estimador insesgado de 2 .

V. no explicada (VNE)

2)( jij xx

n – k kn

VNES

2

1 Estimador insesgado de

2 .

Variación total

- 2)(Tij xx

- 22

Txnx n – 1

k = muestras

n = nº observaciones

Estadístico de prueba:

2

2

2

1*S

SF knkF ,1

Dado un determinado nivel de significación ( ) Si *F knkF ,1 Se rechaza H0 de

igualdad de varianza, y por tanto al menos 1 es diferente.

Ejemplo 5. Los estudiantes de cuatro facultades diferentes realizan el mismo examen de sociología. Se

utilizaron métodos de enseñanza distintos en cada uno. Cogemos una muestra aleatoria de 5 alumnos

de cada una, cuyas informaciones se anotan en esta tabla:

Facultad 1 Facultad 2 Facultad 3 Facultad 4

84 88 114 140

124 76 124 116

112 116 120 120

96 116 136 124

124 104 116 130

Las notas siguen una distribución Normal. ¿Afecta el método de enseñanza al resultado obtenido en el

examen?

Estadística I.

56



Ejemplo 6. Se pretende saber si la nueva forma de envase de un producto de limpieza ayuda a

incrementar las ventas del mismo. Para ello, el director comercial de la empresa fabricante decide

introducir el producto bajo un nuevo envase en solo uno ( Z ) de tres establecimientos ( X, Y, Z ),

considerados del todo homogéneos, excepto en esa circunstancia. Al cabo de 5, 4 y 6 días

respectivamente, se observan las ventas diarias del producto en cada uno de los establecimientos,

obteniendo los siguientes resultados:

Establecimiento X Establecimiento Y Establecimiento Z

35 40 50

50 30 60

40 45 30

20 35 30

30 55

65

Si suponemos que las ventas de cada establecimiento siguen una distribución Normal, con estos datos,

¿qué puede aconsejar usted al director comercial? = 5%

Estadística I.

57



Tema 6.- CONTRASTES DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICOS

6.1. Hipótesis sobre la distribución

- Contraste de bondad de ajuste

- Contraste de independencia

Estadística I.

58



6.1. HIPÓTESIS SOBRE LA DISTRIBUCIÓN

Hay veces que no se dispone de la suficiente información de la distribución poblacional o bien

no se puede asumir con garantías suficientes una expresión algebraica para dicha distribución.

En estos casos, el aprendizaje a partir de los datos muestrales NO puede reducirse a investigar

algún parámetro desconocido, para ello utilizamos contrastes de hipótesis no paramétricos.

CLASIFICACIÓN DE LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICOS

1. Contraste de bondad de ajuste: se emplea para verificar si un conjunto de datos

muestrales procede de una población con una cierta distribución de probabilidad.

1.1. Contraste 2 de Pearson

1.1.1. Parámetros de la población conocidos

1.1.2. Parámetros de la población desconocidos (hay que estimarlos)

1.2. Contraste de Kolmogorov – Smirnov

2. Contraste de independencia: se emplea para evaluar si 2 características que se analizan

conjuntamente en una población son independientes o no.

1. CONTRASTE DE BONDAD DE AJUSTE

Se emplea para verificar si un conjunto de datos muestrales procede de una población con una

cierta distribución de probabilidad.

1.1. Contraste 2 de Pearson

1.1.1. Parámetros de la población conocidos

H0: F (x) = F0 (x) la muestra procede de una población con distribución F0 (x). HA: F (x) ≠ F0 (x) la muestra NO procede de una población con distribución F0 (x).

n nº observaciones para cada subgrupo total (Oi )

Oi frecuencias observadas

Estadística I.

59



Ei frecuencias esperadas Ei = n · Pi Su valor tendrá que ser de al menos 5. Si

por ejemplo E2 = 4 habrá que agrupar, y a la 2

1k habría que restarle el número

de agrupaciones que has tenido que hacer.

Estadístico de prueba cuando H0 es cierta:

Ei

EiOi

2

2

*

)( 2

1k

Ejemplo 1. El gerente de una planta industrial pretende determinar si el nº de empleados que acuden

al consultorio médico de la planta se encuentra distribuido en forma equitativa, durante los 5 días

laborales de la semana. Con base a 1 muestra de 4 semanas completas de trabajo se observó el

siguiente número de consultas:

L M M J V TOTAL

Oi (nº personas que van = frecuencias observadas)

49 35 32 39 45 200

Pi (probabilidad) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1

Ei (frecuencias esperadas) 40 40 40 40 40

= 5% nivel de significación

¿Existe alguna razón para creer que el número de empleados que asiste al consultorio médico NO se

encuentra distribuido en forma equitativa durante los días laborales de la semana?

Ejemplo 2. Para estudiar la productividad de los operarios en una gran factoría se ha escogido una

muestra de 200 operarios correspondiendo:

O1 = 12 a la sección 1ª 8%





Si se afirma que la muestra pretendía ser proporcional al total de operarios de cada una de las

secciones y éstas los distribuyen en los % expresados, realizar contraste al 5% de nivel de significación.

Estadística I.

60



1.1.2. Parámetros de la población desconocidos (hay que estimarlos)

H0: F (x) = F0 (x; n ,...,, 21 )

HA: F (x) ≠ F0 (x; n ,...,, 21 )

Estadístico de prueba cuando H0 es cierta:

Ei

EiOi

2

2

*

)( 2

1 ahk

h = nº parámetros estimados

a = en caso de Ei < 5, a es el nº de veces que necesito agrupar, sino es 0

Ejemplo 3. En una facultad se selecciona una muestra de 100 alumnos y se mide:

Contrastar la hipótesis de que esta muestra procede de una población normal. De su conclusión con un

nivel de significación de 5%.

Ejemplo 4. En una empresa constructora se ha observado el nº de accidentes que ocurren en 130 días

laborables, obteniendo la siguiente distribución de frecuencia:

Contrastar hipótesis que el nº de accidentes por día sigue una Poisson con media 0,9.

Altura Nº alumnos

1,50 – 1,60 6

1,60 – 1,70 28

1,70 – 1,80 40

1,80 – 1,90 22

1,90 – 2,00 4

Nº accidentes por día Nº de días = Oi

0 69

1 42

2 15

3 4

4 0

Estadística I.

61



1.2. Contraste de Kolmogorov – Smirnov

▪ NO se puede utilizar NUNCA para variables nominales, porque hay que ORDENAR los

datos.

▪ H0: F (x) = F0 (x) HA: F (x) ≠ F0 (x)

▪ Este contraste se basa en comparar las frecuencias relativas de la muestra (frecuencia

empírica) y las correspondientes a la función de distribución de la población planteada

por la H0 (frecuencia teorica):

o Si la diferencia es bastante grande Se rechaza H0

o Si la diferencia es pequeña Se acepta H0 la muestra proviene de la

población especificada por la H0.

▪ Necesitaremos establecer el nivel de significación y buscar el estadístico de prueba

(Dn):

)()(max 0 XiFXiFDn n

- Siendo Fn(Xi) la frecuencia relativa acumulada de Xi a la muestra:

N

nF i

n frecuencia empírica

▪ El criterio de decisión, fijado , será:

o Si Dn > D Se rechaza H0 (siendo Dn, el estadístico de prueba y D el valor

en tablas)

o Si Dn < D Se acepta H0

COMPARACIÓN CONTRASTE 2 DE PEARSON – CONTRASTE KOLMOGOROV

1. 2 agrupaciones sí cuando Ei < 5, Kolmogorov NO.

2. 2 aplicable a cualquier escala (nominal, ordinal…), Kolmogorov solo ordinal.

3. 2 necesario muestras grandes, Kolmogorov se puede utilizar en muestras pequeñas.

4. 2 se pueden estimar parámetros desconocidos, Kolmogorov debe estar todo

especificado.

Estadística I.

62



2. CONTRASTE DE INDEPENDENCIA

Se emplea para evaluar si 2 características que se analizan conjuntamente en una población

son independientes o no.

H0: variables cualitativas independientes No hay relación entre las dos características.

HA: variables cualitativas NO independientes Sí hay relación entre las dos características.

Se hace a partir de una tabla de contingencia o tabla de doble entrada, y debe de ocurrir:

- Para que sean características independientes Eij = (ni · nj) / n

- Eij > 5 porque sino hay que agrupar

El estadístico de prueba será, si H0 es cierta:

Eij

EijOij

2

2

*

)( 2

)1)(1( sr

Estadística I.

63



Tema 7.- EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE (MRLS)

7.1. Especificación e hipótesis básicas del modelo

7.2. Estimación por MCO

7.3. Propiedades de los estimadores

7.4. Estimadores máximo verosímiles

7.5. Bondad de ajuste

7.6. Estimación por intervalos de confianza

7.7. Contrastes de hipótesis

7.8. Test de la bondad de ajuste

Estadística I.

64



7.1 ESPECIFICACIÓN E HIPÓTESIS BÁSICAS DEL MODELO

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE (MRLS)

Con frecuencia, nos encontramos en economía con modelos en los que el comportamiento de

una variable, Y, se puede explicar a través de una variable X; lo que representamos mediante:

Y = f (X)

Si consideramos que la relación que liga Y con X es lineal, entonces se puede escribir así:

Y = + ·Xi

Pero la relación anterior rara vez es exacta, sino que más bien son aproximaciones en las que

se han omitido muchas variables de importancia. Es por ello que debemos incluir un término

de perturbación Ui , que es una variable aleatoria que recoge el conjunto de factores que

inciden en la variable Y y que no están explicados por la variable X.

Y = + · Xi + Ui

X = variable independiente, explicativa, exógena, no aleatoria

Y = variable dependiente, explicada, endógena, aleatoria

y = parámetros de regresión

i = hacer referencia a la observación

HIPÓTESIS BÁSICAS DEL MODELO

1. Entre X e Y existe una relación lineal estocástica

o Y = f (X) relación entre X e Y de tipo determinista, porque para un valor de X sólo

hay un valor de Y.

o Y = + · Xi + Ui relación entre X e Y de tipo estocástica, porque para un valor de

X hay una distribución de probabilidad de valores de Y.

2. Cada uno de los valores de X tiene asociada una variable aleatoria Ui donde:

0)( UiE

Estadística I.

65



Esto garantiza que todos los factores recogidos por Ui no afecten de forma sistemática

al valor esperado de Y.

3. El término de perturbación Ui asociado a cada valor de X tiene varianza constante:

2)( uUiVar

Esta hipótesis recibe el nombre de homoscedasticidad, que supone que la dispersión

de Y respecto a su valor esperado se mantiene constante para cualquier valor de X.

4. Ui ),0( 2

uN

5. Los términos de perturbación asociados a cada uno de los diferentes valores de X no

están autocorrelacionados y por lo tanto, la variación que presenta una observación

determinada NO se ve afectada por otras observaciones realizadas.

0),( UjUiCov

6. La variable X NO es aleatoria, ya que puede ser controlada por el investigador.

7. Los parámetros desconocidos del modelo son constante en el muestreo.

PARA BUSCAR Yi

Y = + · Xi + Ui

Ui Normal, por lo tanto: Yi Normal

)(YiE X

Demostración:

XXUiEXiEUiXiEYiE 0)()()()(

)(YiVar 2

u

Demostración:

220)()()()( uuUiVarXiVarUiXiVarYiVar

Yi Normal 2; uXi

Estadística I.

66



ESTIMACIÓN DE y

Generalmente, y son desconocidos y hay que estimarlos. Para ello hay 2 métodos:

- MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios)

- Máxima verosimilitud

ESTIMACIÓN DE y POR MCO

Al ajustar la recta a la nube de puntos observados (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3), … , (Xn,Yn) se desea

minimizar las distancias verticales de cada valor ajustado (Yi*) con el valor observado (Yi)

siendo la recta ajustada: Yi = + · Xi , siendo el valor de Y cuando X = 0 y siendo la

pendiente de la recta ajustada que mide la variación del valor Y debido a la variación de 1

unidad de X.

Yi

RECTA AJUSTADA iY + · Xi

Yi

ei

Yi

Xi

La nube de puntos puede representarse mediante infinitas rectas. El objetivo de

este método es seleccionar la que mejor las representa, estableciendo como criterio conseguir

que los residuos o errores (ei), es decir, que la distancia entre las observaciones y la recta

ajustada sea mínima! Y determinar así los coeficientes y que mejor se ajusten a la línea

de puntos.

= pendiente de la recta de regresión poblacional

= pendiente estimada de la recta de regresión muestral

Estadística I.

67



Yi = + · Xi

xy ·ˆˆ tomará su valor mínimo cuando 0x

2ˆ

x

xy

S

S o

x

y

xyS

Sr o

X

Y

Demostración:

2222

·

)(

))·((

ˆ

xn

Xi

n

Yi

n

Xi

n

YiXi

n

xXi

n

yYjxXi

S

S

S

S

SS

S

S

Sr

x

xy

x

y

yx

xy

x

y

Sabiendo que:

yx

xy

xySS

Sr

22 Rr

R = coeficiente de correlación (intensidad de asociación lineal entre X e Y)

2R = coeficiente de determinación (mide la bondad de ajuste)

1. = pendiente estimada de la recta de regresión muestral = nos da la estimación del

incremento del valor esperado de Y cuando X se incrementa en una unidad.

2. = ordenada en el origen en la recta de regresión muestral = nos da la estimación del

valor esperado de Y cuando X vale 0.

3. e = errores o residuos Sabemos que 0)( ei , por lo tanto sabemos seguro que

la media de los residuos también será nula: 0e

4. Los residuos y la variable X están interrelacionados (su covarianza vale 0):

0),( xeiCov

5. Además también 0)ˆ,( iYeiCov , siendo iY los valores estimados.

6. La media de los valores observados de Y es igual a la media de los valores estimados

( yy ˆ )

Estadística I.

68



7. La recta de regresión muestral de Y sobre X ( iY + · Xi) siempre pasa por el punto

( x , y ).

8. La pendiente de la recta de regresión ( ) tiene el mismo signo que la covarianza (Sxy)

y que el coeficiente de correlación lineal (rxy).

9. Los estimadores por MCO de y son INSESGADOS e intentan MINIMIZAR LOS

ERRORES O RESIDUOS.

Ejemplo 1. Calcula con los siguientes datos la recta de regresión muestral estimada de Y.

12

1

756i

Yi

12

1

108i

Xi

12

1

2 1020i

Xi

12

1

6960i

YiXi

ESTIMACIÓN DE LA VARIZANZA DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN )( 2

u

Los residuos (ei) de la regresión pueden considerarse estimaciones de los valores del término

de perturbación (ei Ui).

Se puede estimar la varianza del término de perturbación:

2ˆ 1

2

22

n

ei

S

n

i

uu

Error estándar de la regresión = es una medida absoluta de variabilidad de los datos

observados a la recta estimada. También indica hasta qué punto se ajusta la recta de regresión

muestral a las observaciones de la variable dependiente. Cuanto MENOR sea, MAYOR AJUSTE.

2

1

2

n

ei

S

n

iu

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES

1. LINEALIDAD

Ambas expresiones y se obtienen como una función lineal de la variable

dependiente y son variables aleatorias.

2. INSESGADEZ

)ˆ(E y )ˆ(E

Estadística I.

69



3. VARIANZA MÍNIMA (EFICIENCIA)

2

2

22ˆ

)(

1)ˆ(

xXi

x

nSVar u

2

2

2ˆ

)()ˆ(

xXiSVar u

Siendo 2

ˆ 1

2

22

n

ei

S

n

i

uu la varianza del término de perturbación.

o Si ↑ 2

u ↑ 2

S y 2

S

o Si ↑ dispersión de X ↓ 2

S y 2

S

4. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Normal

2

2

2

)(

1,

xXi

x

nu

La desviación estándar seria:

ˆ

2

2

)(

1

xXi

x

nu

Normal

2

2

)(,

xXi

u

La desviación estándar seria:

ˆ

2)( xXi

u

Ejemplo 2. Los precios (Xi) y cantidades de manzanas vendidas en cierta tienda (Yi) se supone que

tienen relación lineal: Yi = + · Xi + Ui; siendo negativa (ya que a mayor precio, menor

cantidad vendida). Además: n= 12, x =70, y =100, ))·(( yYjxXi = 3550, 2)( xXi =

2250 y 2)( yYi = 6300. Calcula la recta de regresión y las varianzas de los estimadores.

Estadística I.

70



ESTIMADORES MÁXIMO VEROSÍMILES DE , Y 2

u

Partimos de: Yi Normal 2; uXi

Y sabemos que la f(x) asociada a un modelo Normal es 2

2

2

)(

2·

2

1)(

x

exf

MVMCO ˆˆ

MVMCO ˆˆ

BONDAD DE AJUSTE

Nos permite analizar la proximidad de la recta ajustada a la nube de puntos. Para su medida se

utiliza el COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN:

1)

2

2

2

)(

)*(

yYi

yYi

STC

SCR

VT

VER

VE = Variación explicada por la propia recta de ajuste

VT = Variación total

SCR = Suma de los cuadrados de la recta

STC = Suma total de los cuadrados

2) El coeficiente de determinación es la parte de la variación total explicada por la recta de

ajuste.

VEVEVT , donde VE es la variación NO explicada (debida a otras causas).

22 2)*()( eiyYiyYi

VE también puede denominarse SCE (suma de los cuadrados de los errores = 2ei ).

3) El coeficiente de determinación toma valores entre 0 y 1, ambos incluidos: 2R = [0,1].

Estadística I.

71



4) Expresión de cálculo del coeficiente de determinación:

2

22

2

)(

)(*

yYi

xXib

STC

SCRR

o

2

2

2

)(11

yYi

ei

STC

SCER

5) Según el valor de 2R :

Si 2R = 1 SCE = 0 El conjunto de residuos o errores son 0 y la recta

pasaría exactamente por todos los puntos caso de AJUSTE PERFECTO.

Si 2R = 0 SCR = 0 Toda la variación de Y viene explicada por los

residuos o errores. La recta ajustada de Y sobre X es paralela al eje de las x,

trazada a la altura de a* y aunque varíe el valor de la variable X, no hay

ninguna variación de la variable Y.

Los puntos intermedios entre 0 y 1 son los + habituales en el mundo real.

Cuanto + se aproxime a 1 el coeficiente de determinación, mayor será el

grado de ajuste entre las variables X e Y.

6) El coeficiente de determinación y el de correlación entre 2 variables se relacionan con esta

expresión:

2R = 2r

7) También se puede demostrar el pendiente de la recta:

x

y

S

Srb *

8) El coeficiente de correlación se obtiene a partir del de determinación y su signo lo

determina la covarianza (Sxy):

2Rr

Estadística I.

72



9) Es importante destacar que aunque hay relación numérica entre el coeficiente de

determinación y el de correlación, cada uno tiene una finalidad diferente:

Coeficiente de determinación analiza la proporción de la variación o

varianza total explicada por la regresión.

Coeficiente de correlación mide el grado de asociación lineal entre 2

variables.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

- Para

o Si se conoce u

INTERVALO DE CONFIANZA = ˆ

2

ˆ Z

Siendo ˆ

2

2

)(

1

xXi

x

nu

o Si NO se conoce u buscamos 2

1

2

n

ei

S

n

iu

INTERVALO DE CONFIANZA = ˆ2ˆ Stn

Siendo S

2

2

)(

1

xXi

x

nSu

- Para

o Si se conoce u

INTERVALO DE CONFIANZA = ˆ

2

ˆ Z

Siendo

ˆ

2)( xXi

u

Estadística I.

73



o Si NO se conoce u buscamos 2

1

2

n

ei

S

n

iu

INTERVALO DE CONFIANZA = ˆ2ˆ Stn

Siendo

S

2)( xXi

Su

- Para 2

u

-

PROBABILIDAD INTERVALO DE CONFIANZA =

1)

ˆ)2(ˆ)2((

2

1

2

2

2

2

2

u

u

u nnP

Valor 2

2n más grande Valor 2

2n más pequeño

2

2n

1

/ 2 / 2

2

1 2

2

Ejemplo 3. Establezca los intervalos de confianza para , y 2

u disponiendo de los siguientes

datos:

n = 20

P (t18 < 2,101) = 0,975

1 = 0,95

Yi = 9,4 – 0,025Xi

S 12

S 0,013

Estadística I.

74



CONTRASTES DE HIPÓTESIS

Contraste respecto al parámetro

Pasos a realizar

1. Establecer la Ho y la HA.

Ho : 0 (NO hay pendiente)

HA: 0

0

0

Si Aceptamos Ho NO es significativamente ≠ 0 y la variable X NO tiene influencia

sobre las variaciones de Y.

Si Rechazamos Ho es significativamente ≠ 0 y la variable X tiene influencia sobre las

variaciones de Y.

2. Establecer el estadístico de prueba (dependerá de si conocemos u o no)

u conocida

ˆ

ˆ* Z N (0,1)

u desconocida buscamos uS

ˆ

ˆ*

St 2nt

3. Establecer el nivel de significación ( ) para buscar la RA (región de aceptación) y la

RC (región crítica o de rechazo)

Si HA: 0 A dos colas

1

/ 2 / 2

RC RA RC

Estadística I.

75



Si HA: 0 A una cola (a la derecha)

1

/ 2

RA RC

Si HA: 0 A una cola (a la izquierda)

1

/ 2

RC RA

Si el estadístico de prueba cae en la RA SE ACEPTA LA Ho

Si el estadístico de prueba cae en la RC SE RECHAZA LA Ho

Contraste respecto al parámetro


Ho : 0

HA : 0

0

0


u conocida

ˆ

ˆ* Z N (0,1)


ˆ

ˆ*

St 2nt

Estadística I.

76



3. Establecer el nivel de significación ( ) para buscar la RA (región de aceptación) y la

RC (región crítica o de rechazo) (MISMAS INTERPRETACIONES QUE PARA )

Ejemplo 4. Tenemos la siguiente relación entre la demanda y el precio del café:

Yi = 2,691 – 0,47953Xi

Errores estándar de cada estimador: 121,0ˆ S y 114,0ˆ S

663,02 R

uS = 0,1286

Efectúa el contraste de y para:

Ho: 0 (NO hay pendiente) Ho: 0

HA: 0 HA: 0

Contraste con información a priori (test individual de los parámetros)


Parámetro :

Ho : 0 Siendo 00

HA : 0

0

0

Parámetro :

Ho : 0 Siendo 00

HA : 0

0

0

Estadística I.

77




Parámetro :

u conocida

ˆ

0ˆ

*

Z N (0,1)


ˆ

0ˆ

*S

t

2nt

Parámetro :

u conocida

ˆ

0ˆ

*

Z N (0,1)


ˆ

0ˆ

*S

t

2nt

Hacer ejercicio 6.20, 6.19 y 6.17

TEST DE LA BONDAD DE AJUSTE

Ho y HA:

- Ho : 02 R

- HA : 02 R 02 R porque 2R no puede ser negativo A una cola!

Estadístico de prueba:

2

2

1

)2(*

R

RnF

2,1 nF

- Además sabemos que

ˆ

ˆ*

St y

2tF Ft

Estadística I.

78



NOTAS:

- En Y = + · Xi + Ui el ECM (Error Cuadrático Medio) del estimador es igual a su

VARIANZA.

- Si nos dan:

Se refiere a cuando Ho: 0 o bien Ho: 0

y es

ˆ

ˆ*

St o bien

ˆ

ˆ*

St

- VARIACIÓN TOTAL (VT) – REGRESIÓN (VE) = 2ei (VNE)

- Error típico de la estimación = uS

- Error típico coeficientes = S y

S

Coeficientes Estadístico t

Intercepción

Variable X

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Tema 1.- MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE … · MODELO BINOMIAL (VA discreta finita numerable) X ... 1.1.2.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS - Uniforme - Exponencial - Normal