TEMA 1: NÚMEROS REALESblogsaverroes.juntadeandalucia.es/blogprofedemate/files/2017/05/3-Estadística...Estadística y Probabilidad MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º

INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

Estadística y Probabilidad MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-1

ESTADÍSTICA.-

CUALITATIVO OTRAS DEFINICIONES

Cuando la característica

observada no se puede contar ni

medir, se indica mediante

palabras y toma distintas

modalidades.

Ej.: sexo, asignatura preferida,

etc.

POBLACIÓN.- Es el colectivo de elementos al que se refiere el estudio

estadístico.

MUESTRA.- Es una parte de la población.

CARÁCTER ESTADÍSTICO TAMAÑO DE LA MUESTRA.- Es el número de elementos que forman la

muestra.

Es la propiedad o cualidad

que observamos en los

elementos de un colectivo.

Dicha propiedad o cualidad

puede ser de dos tipos:

TIPO DE MUESTREO.- Es el modo de elección de la muestra.

Solo toma valores puntuales.

Suelen ser números naturales.

Ej.: Edad 15, 16, 17, ....

CUANTITATIVO

Cuando la característica

observada se puede contar o

medir, se indica mediante

números.

También se llama variable

estadística. Ej.: Edad, estatura, etc.

VARIABLE DISCRETA

ESTADÍSTICA

Es la ciencia que

estudia los

fenómenos

colectivos,

mediante

la observación

numérica, el

análisis

matemático y la

interpretación

lógica,

investigando

especialmente sus

causas y sus leyes

empíricas.

Puede tomar valores de un intervalo.

Suelen ser números reales.

Ej.: Estaturas entre 160 y 170 cm.

VARIABLE CONTINUA

MEDIA.- Es

n

1i

i

n

1i

ii

f

xf

x

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Tiene por objeto la recogida,

recopilación y reducción de

datos, su organización en tablas

y gráficas y el cálculo de unos

valores que representan al

conjunto de datos.

CENTRALES MEDIANA de un conjunto ordenado de valores

de una variable es el valor, tal que la mitad de los

valores son iguales o inferiores a él, y la otra

mitad igual o superior (Me).

TIPOS

MODA es el valor de la variable con mayor

frecuencia (M0).

DE RECORRIDO es la diferencia entre el valor

mayor y el valor menor de una distribución.

TIPOS DE ESTADÍSTICA

Existen dos tipos de

estadísticas:

VALORES

DISPERSIÓN VARIANZA.- Es

n

1i

i

n

1i

2ii

2

f

)xx(f

DESVIACIÓN TÍPICA o DISPERSIÓN es la

raíz cuadrada de la varianza. Es decir .

ESTADÍSTICA INDUCTIVA

TIPOS DE FRECUENCIAS

Frecuencia absoluta (fi) del valor xi es el número de veces que

aparece dicho valor.

Frecuencia relativa (hi) del valor xi es el cociente entre la frecuencia

absoluta de dicho valor y el nº total de datos. Es decir N

fh i

i .

Frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un valor xi es la suma de las

frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi. Frecuencia relativa acumulada (Hi) de un valor xi es la suma de las

frecuencias relativas de todos los valores anteriores a xi. EJ.: Construye la tabla de frecuencias correspondiente a una clase donde

hay 5 alumnos con 0 suspensos, 4 con 1, 7 con 2, 6 con 3 y 8 con 4 ó más.

Tiene por objeto establecer

previsiones o conclusiones sobre

una población basándose en los

resultados obtenidos de una

muestra.

EJERCICIOS: 1, 2, 3, 4 y 21.




TIPOS DE REPRESENTACIONES GRÁFICAS

También existen otros gráficos como PICTOGRAMA, CARTOGRAMA, PIRÁMIDE DE POBLACIÓN, etc.

EJERCICIOS: 5, 6, 11 y 12.




CALCULO DE LA MEDIANA, MODA, CUARTILES Y PERCENTILES

MEDIANA.- Vamos a distinguir tres casos:

a) Cuando son pocos datos,.- Se ordenan los datos en orden creciente; si el número es impar se toma el valor central y si es par se toma la semisuma de los dos

datos centrales.

b) Cuando son muchos datos.- Construimos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas. Se calcula N/2, y buscamos que volor de F i sobrepasa el valor N/2. La

mediana es el xi correspondiente a dicho Fi. Si coincide N/2 con Fi-1 la media es la semisuma de xi y xi-1.

c) Cuando son intervalos.- En primer lugar, buscamos la clase mediana. Después, a dicha clase se le aplica la expresión:

ervalointdelamplitudc

medianaclaseladeabsolutafrecuenciaf

medianaclaselaaanteriorclaseladeacumuladaabsolutafrecuenciaF

medianaclaseladeeriorinfextremoL

dondecf

F2

N

LM

i

i

1i

eriorinf

ii

1i

eriorinfe

MODA.- Veamos el caso más complicado que corresponde al caso de intervalos. Buscamos la clase modal y le aplicamos la expresión:

frecuenciamayordemodalclaselaaaplicaseformulaEsta

intervalodelamplitudc

modallaaposteriorclaseladelay

modalclaseladeabsolutafrecuencialaentrediferenciaD

modallaaanteriorclaseladelay

modalclaseladeabsolutafrecuencialaentrediferenciaD

modalclaseladeinferiorextremoL

dondecDD

DLM

i

2

1

inferior

i

21

1inferioro

CUARTILES.-

Son tres valores (Q1, Q2 y Q3) que dividen a la distribución en cuatro partes iguales.

Se calculan de forma idéntica a la Mediana pero en lugar de N/2 es N/4 para el Q1, 2 N/4 para Q2 y 3N/4 para Q3.

Si nos fijamos Me=Q2.

PERCENTILES.-

Son 99 valores (P1, P2, P3, ..., P99) que dividen a la distribución en 100 partes iguales.

Se calculan de forma idéntica a la Mediana pero en lugar de N/2 es N/100 para P1, 2N/100 para P2, ..., 99N/100 para P99.

Si nos fijamos Me=Q2=P50.

EJERCICIOS: 16, 19-b y 22.

SIMETRÍA Y ASIMETRÍA

Una distribución es SIMÉTRICA cuando coinciden los valores de la media, la mediana y la moda, es decir oe MMx .

Para ver la simetría de una distribución podemos usar su representación gráfica. La distribución simétrica por excelencia recibe el nombre de

DISTRIBUCIÓN NORMAL, y su gráfica se llama CAMPANA DE GAUSS (figura adjunta).

En la campana de Gauss, el valor máximo correspondiente a la media, siendo los valores centrales más frecuentes que los alejados, además se

cumple que: En )x,x( están el 68.2 % de los datos.

En )2x,2x( están el 95.5 % de los datos.

En )3x,3x( están el 99.7 % de los datos.

Una distribución es ASIMÉTRICA cuando no existe en ella simetría.

EJERCICIO: 25.




PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA.-

1.- En un instituto, en 1º de Humanidades y Ciencias Sociales hay un grupo de 20 alumnos cuyas edades son: 16, 16,

16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 16, 16, 16, 19, 18, 17, 18, 16, 16, 17 y 17. Construye la tabla con los cuatro tipos de

frecuencias que conoces.

2.- Las estaturas, en centímetros, de 20 alumnos de 1º son: 164, 175, 165, 170, 168, 157, 167, 172, 177, 160

168, 160, 164, 174, 170, 182, 161, 171, 173, 194.

Confeccionar la tabla con intervalos de amplitud 10 a partir de 155. Calcula las frecuencias.

3.- Se aplica un test de inteligencia general (cociente intelectual) a 40 alumnos de primero de Bachillerato de un

centro obteniendo los siguientes resultados:

106 136 81 110 95 92 99 106 81 95

110 103 88 81 81 99 110 114 128 103

103 84 95 136 95 88 106 121 106 114

117 92 85 125 95 110 132 95 103 81

Construye una tabla tomando intervalos de amplitud 10 comenzando por 80, y determina: a) Frecuencias absolutas,

relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas. b) ¿Cuántos alumnos tienen un cociente intelectual por

debajo de 100? c) Si se consideran superdotados a partir de 130, ¿hay alguno en clase? d) ¿Qué porcentaje de

alumnos tiene de cociente intelectual 110 o más?

4.- El número de hermanos de 40 alumnos es: 3, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 2, 3, 4, 4, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 4,

2, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 4, 3, 1.

¿Cuántos alumnos tienen 5 o más hermanos? ¿Cuántos 3 o menos?

5.- Las elecciones autonómicas de Andalucía del 12 de junio de 1994 arrojaron los siguientes resultados:

Censo Votantes

Almería 358.834 243.636

Cádiz 815.074 490.488

Córdoba 588.278 429.121

Granada 634.462 436.173

Huelva 342.787 214.608

Jaén 498.134 374.801

Málaga 888.952 570.837

Sevilla 1.263.031 866.381

Andalucía 5.389.552 3.626.045

Calcula: a) Porcentaje de votantes. b) Diagrama de barras para cada provincia del censo y votantes. c) Gráfico de

sectores de los votantes por provincia.

6.- En el diario El País de 23 de enero de 1995 aparece la siguiente información:

a) ¿En qué año la proporción de muertos por accidente fue menor? ¿Y de heridos por

accidente? b) ¿Cuál es la media de accidentes en estos nueve años? ¿Y de heridos?.

¿Y de muertos?

7.- Los resultados de la última jornada de fútbol de Primera División, temporada 1993-1994, fueron:

Albacete Balompié 1 - 1 Real Sociedad C.F.

F.C. Barcelona 5 - 2 Sevilla F.C.

Real Zaragoza C.D. 4 - 1 Real Madrid C.F.




C. Atl. Osasuna 3 - 0 Sporting

Real Valladolid 0 - 0 R.C. Celta

Real C.D. La Coruña 0 - 0 Valencia C.F.

Real Oviedo 1 - 2 C.D. Logroñés

C. Atl. de Madrid 2 - 0 A.D. Rayo Vallecano

R. Racing Club 2 - 1 U.E. Lleida

Atl. Club Bilbao 3- 2 C.D. Tenerife

Considerando los goles metidos por partido, forma una tabla y determina la frecuencia absoluta, relativa, acumulada

absoluta y acumulada relativa.

8.- Con los datos de la tabla anterior, ¿cuál es la media de goles que mete cada equipo? ¿Y la moda? ¿Y la mediana?

9.- Con los datos anteriores forma un diagrama de barras y un polígono de frecuencias. Señala el valor de la

mediana. ¿Se trata de una distribución simétrica o asimétrica?

10.- (Selectividad. Granada, 1994). El siguiente diagrama de barras muestra las calificaciones obtenidas por

un grupo de 50 alumnos.

Construye el histograma correspondiente a las calificaciones numéricas, y calcula la calificación media teniendo en

cuenta el siguiente cuadro de equivalencias:

Suspenso

[0,5)

Aprobado

[5,7)

Notable

[7,9)

Sobresaliente

[9,10)

11.- Una clase de 1º de Bachillerato tiene 20 alumnos, de ellos 13 tienen 16 años, 3 tienen 17 años, 3 tienen 18

años y 1 tiene 19 años. Construye la tabla de frecuencias y calcula: media, moda, mediana, recorrido, varianza y

desviación típica.

12.- En la misma clase del ejercicio anterior se sabe que las alturas de los alumnos son:

Intervalos fi

[155,165) 6

[165,175) 10

[175,185) 3

[185,195) 1

Calcular lo mismo que en el ejercicio anterior.

13.- Al final de la temporada 1993-1994 los goles a favor y los goles en contra de los 20 equipos de Segunda

División fueron los siguientes:

Favor 59 66 56 50 66 58 41 59 47 30

Contra 25 38 36 32 39 41 35 51 41 40

20

14 12

4

0

10

20

30

Susp. Apro. Not. Sob.

Calificaciones

Nº

alu

mn

os




Favor 45 40 40 46 53 29 30 40 38 28

Contra 46 41 49 52 60 48 48 64 68 67

Calcula: a) Media de goles a favor. b) Media de goles en contra. c) ¿Dónde hay mayor dispersión, en goles a favor o

en goles en contra?

14.- Con los datos anteriores determina la asimetría de la distribución de goles a favor y de goles en contra

respecto a la mediana.

15.- Con los datos anteriores determina la moda en cada caso.

16.- Con los datos anteriores determina los cuartiles inferior y superior. En las distribuciones de goles a favor y

de goles en contra, ¿entre qué límites se encuentra el 50% central de datos?

17.- (Selectividad. Almería, 1994). En una población de 25 familias se ha observado la variable x = número de coches que tiene la familia, y se han obtenido los siguientes datos:

0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1,1, 2, 1, 3, 2, 1

Construye la tabla de frecuencias de la distribución de x. b) Construye el diagrama de barras y explica si es

simétrica la distribución. c) Calcula la moda, la media y la mediana.

18.- (Selectividad. Málaga, 1994). Los sueldos mensuales en una empresa son los siguientes: 1 director, 1.800 €

; 3 jefes, 1.500 € ; 6 encargados, 900 € y 9 operarios, 600 €. Calcula el sueldo medio, la moda y la mediana.

19.- (Selectividad. Jaén, 1994). Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de

respuestas correctas se refleja en la tabla siguiente:

Respuestas

correctas [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80)

Número 40 60 75 90 105 85 80 65

a) Haz un histograma con estos datos y calcula la media y desviación típica de respuestas correctas. b) Calcula la

mediana y el cuartil inferior. ¿Qué miden estos parámetros?

20.- Dos equipos de baloncesto tienen cada uno en su plantilla 15 jugadores con las siguientes edades:

A: 18, 20, 22, 23, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27

B: 20, 20, 21, 21, 21, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 27

Calcula para cada equipo: a) Edad media. b) Desviación media. c) Varianza. d) Desviación típica.

21.- (Selectividad. Extremadura, 1996). La tabla siguiente (que aparece incompleta) resume las calificaciones

obtenidas por los 80 alumnos de COU de cierto instituto.

Calificación Frec. absoluta Frec. relativa

Suspensos ... 0.375

Aprobados 20 ...

Notables 16 ...

Sobresaliente ... ...

Completa la tabla con las frecuencias absolutas y relativas que faltan.




22.- (Selectividad. Jaén, 1994). Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde f, F y h representan, respectivamente, la frecuencia absoluta, acumulada y relativa.

xi fi Fi hi

1 4 0.08

2 4

3 16 0.16

4 7 0.14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

Calcula la media, la mediana, la moda, los cuartiles y algún percentil de esta distribución.

23.- Las calificaciones de dos amigos en las cinco evaluaciones de la asignatura de Inglés han sido:

A: 4, 7, 6, 4, 4 B: 3, 4, 5, 6, 7

¿Cuál tiene mayor media? b) ¿Cuál tiene mayor desviación típica? c) ¿Cuál tiene mayor coeficiente de variación?

24.- La siguiente tabla muestra el número de empresas según su número de trabajadores en 1990:

Nº de trabajadores Nº de

empresas

0-10 1207

10-20 888

20-50 1501

50-100 792

100-200 784

200-500 519

Se pide: a) ¿Cuál es la mediana y la desviación típica? b) ¿Entre qué valores se encuentra el 50% central de datos?

25.- De los 200 alumnos que responden a una prueba de 12 ítems, el 10% responde correctamente a 3 ítems, el

50% a 7, el 30% a 10 y el resto al total de ítems de la prueba. Calcula: a) Media aritmética, mediana y moda.

b) ¿Cuántos alumnos se encuentran en el intervalo )x,x( ?

26.- Procede como en los Investiga que tiene el libro en este capítulo y calcula x y de la siguiente distribución:

xi fi

2·108 1

6·108 2

10·108 3

14·108 4




DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.-

DEFINICIONES.-

Una distribución se denomina bidimensional o de dos variables cuando para cada elemento de una

población o muestra se consideran los valores correspondientes a dos características cuantitativas distintas.

Frecuencia absoluta bidimensional (fi).- Es el número de veces que aparece cada par de valores (xi,yi) de

las variables.

La suma de las frecuencias absolutas bidimensionales es igual al número total de elementos considerados:

f1+f2+f3+....fi = N

Frecuencia relativa bidimensional (hi).- Es el resultado de dividir la frecuencia absoluta bidimensional

por el número total de elementos considerados: N

fh i

i

PARÁMETROS.- Cada una de las variables xi ó yi se pueden tratar por separado como distribuciones

unidimensionales. Por tanto para cada una de ellas se pueden definir: la media yóx , la mediana, la moda, la

varianza 2y

2x ó , la desviación típica yx ó . Además vamos a definiremos dos nuevos parámetro:

CENTRO de GRAVEDAD de una distribución bidimensional, es el punto dado por )y,x( .

COVARIANZA que es un parámetro que relaciona las dos distribuciones yxN

yxf

ni

1i

iii

xy

EJEMPLOS de cálculo de parámetros:

1) Tabla simple:

8,750

390y82,2

50

141x 89,0...894,0

50

4056,0...556,0

50

38,15yx

436,08,782,250

1078xy

2) Tabla de doble entrada:

Perdidos (yi)

[0,5) [5,10) [10,15) [15,20)

Ganados

(xi)

[5,10) 1 4

[10,15) 4 2

[15,20) 4 3

[20,25) 1 1

xi yi fi fi·xi fi·yi xxi 2i )xx(

2

ii )xx(f yyi 2i )yy(

2

ii )yy(f iii yxf

1 10 1 1 10 -1,82 3,3124 3,3124 2,2 4,84 4,84 10

2 9 10 20 90 -0,82 0,6724 6,7240 1,2 1,44 14,4 180

3 8 20 60 160 0,18 0,0324 0,6480 0,2 0,04 0,8 480

3 7 16 48 112 0,18 0,0324 0,5184 -0,8 0,64 10,24 336

4 6 3 12 18 1,18 1,3924 4,1772 -1,8 3,24 9,72 72

50 141 390 15,3800 40 1078

En esta tabla se cuentan los partidos

ganados y perdidos por un equipo

durante una temporada:




Si trabajamos con las marcas de clases:

Marcas de clase: Perdidos (yi)

2,5 7,5 12,5 17,5

Ganados

(xi)

7,5 1 4

12,5 4 2

17,5 4 3

22,5 1 1

Pasamos la tabla a una normal:

Calculamos: 1420

280y14

20

280x

91,3...905,320

30577,4...769,4

20

455yx 111414

20

3700xy

NUBE DE PUNTOS. CORRELACIÓN.-

Nube de puntos.- Es la representación gráfica de las distribuciones bidimensionales. Cada punto tiene

por coordenadas el par de valores que toman las variables.

Correlación.- Es la teoría que estudia la relación o dependencia que existe entre las dos variables que

intervienen en una distribución bidimensional.

Características de las correlaciones.-

1. La correlación es lineal o curvilínea según que el diagrama de puntos se condense en torno a una

línea recta o a una curva.

2. La correlación es positiva o directa cuando a medida que crece una variable la otra también crece.

La correlación es negativa o inversa cuando a medida que crece una variable la otra decrece.

La correlación es nula cuando no existe ninguna relación entre ambas variables; en este caso los

puntos del diagrama están esparcidos al azar, sin formar ninguna línea, y se dice que 1as variables

están incorreladas.

3. La correlación es de tipo funcional si existe una función que satisface todos los valores de la

distribución.

En caso contrario será tanto más fuerte o más débil, dependiendo de la mayor o menor tendencia de

los valores de distribución a satisfacer una determinada función.

ix iy fi fi·xi fi·yi xxi 2i )xx(

2

ii )xx(f yyi 2i )yy(

2

ii )yy(f iii yxf

7,5 12,5 1 7,5 12,5 -6,5 42,25 42,25 -1,5 2,25 2,25 93,75

7,5 17,5 4 30 70 -6,5 42,25 169 3,5 12,25 49 525

12,5 12,5 4 50 50 -1,5 2,25 9 -1,5 2,25 9 625

12,5 17,5 2 25 35 -1,5 2,25 4,5 3,5 12,25 24,5 437,5

17,5 12,5 4 70 50 3,5 12,25 49 -1,5 2,25 9 875

17,5 17,5 3 52,5 52,5 3,5 12,25 36,75 3,5 12,25 36,75 918,75

22,5 2,5 1 22,5 2,5 8,5 72,25 72,25 -11,5 132,25 132,25 56,25

22,5 7,5 1 22,5 7,5 8,5 72,25 72,25 -6,5 42,25 42,25 168,75

20 280 280 455 305 3700




A continuación representamos varios diagramas de dispersión, indicando la relación que existe entre las

variables X e Y:

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL.- El procedimiento más frecuente utilizado para asignar

valores a las distintas correlaciones es a partir del coeficiente de correlación de Pearson, que se define:

yx

xyr

El signo del coeficiente r viene dado por el signo de la covarianza, ya que las desviaciones típicas son

siempre positivas. Así pues, el signo de la covarianza decide el comportamiento de la correlación:

Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.

Si la covarianza es nula, no existe correlación.

Se demuestra que el coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre -1 y 1. Veamos

qué tipo de dependencia existe entre las variables X e y según el valor de r:

1.- Si r = -1, todos los valores de la variable bidimensional (X, Y) se encuentran situados sobre una recta;

en consecuencia, satisfacen la ecuación de una recta. Entonces se dice que entre las variables X e Y existe

una dependencia funcional.

2.- Si -1 < r < O, la correlación es negativa y será tanto más fuerte a medida que r se aproxima a -1, y

tanto más débil a medida que se aproxima a O. En este caso se dice que las variables X e Y están en

dependencia aleatoria.

3.- Si r = 0, no existe ningún tipo de relación entre las dos variables. En este caso se dice que las variables

X e Y son aleatoriamente independientes.

4.- Si 0 < r < 1, la correlación es positiva y será tanto más fuerte a medida que r se aproxima a 1 y tanto

más débil a medida que se aproxima a 0. En este caso se dice que las variables X e Y están en dependencia

aleatoria.

5.- Si r = 1, todos los valores de la variable bidimensional (X, Y) se encuentran situados sobre una recta; en

consecuencia, satisfacen la ecuación de una recta. En este caso se dice que entre las variables X e Y existe

una dependencia funcional.




RECTAS DE REGRESIÓN. ESTIMACIÓN.-

En la mayoría de los fenómenos socioeconómicos la relación entre las variables es lineal. En otros casos,

cuando la nube de puntos tenga forma parabólica se tratará de una regresión cuadrática, y cuando los

puntos se ajusten a funciones exponenciales se tratará de una regresión exponencial. Nosotros nos

limitaremos al estudio de la regresión lineal.

Nos interesa encontrar la recta que mejor se ajuste a la nube de puntos, siempre que la dependencia sea

lineal. Para conseguirlo buscamos la recta que se encuentra a menos distancia de los puntos. El

procedimiento que utilizaremos se denomina el método de los mínimos cuadrados, se puede demostrar que

la recta que buscamos es:

Para estimar la y conocida x: )xx(yy2

x

xy

Para estimar la x conocida y: )yy(xx2

y

xy

EJEMPLO.- La siguiente tabla muestra las temperaturas medias en una ciudad española a lo largo del primer

semestre:

E F M A M J

Temperatura máxima (x) 16 17 19 19 21 25

Temperatura mínima (y) 7 10 12 13 15 19

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal. b) ¿Qué tipo de relación existe entre las variables?.

c) Determina la recta de regresión de y sobre x. d) ¿Qué temperatura mínima cabe esperar cuando la máxima

sea de 20o?. ¿Y cuando sea de 38°?. e) ¿Qué temperatura máxima cabe esperar cuando la mínima sea de 14°?.

¿Y cuando sea de 0°?.

Solución.- Haciendo cálculos se obtiene: 77,1077,393,267,12y5,19x xyyx

a) El coeficiente de correlación es: 98,077,393,2

77,10r

yx

xy

b) La relación es directa al ser r > 0 y es una correlación fuerte (está próxima a 1).

c) La recta de regresión de Y sobre X es: 9,11x26,1y)5,19x(93,2

77,1067,12y

2

d) Para x = 20°: 3,139,112026,1y . Como r = 0,98, la estimación es fiable.

Sin embargo, para x = 38° no lo será, pues este valor está muy alejado del valor central.

e) Calculamos la recta de regresión de X sobre Y: 9,9y76,0x)67,12y(77,3

77,105,19x

2

Para y=14º: 51,2087,91476,087,9y76,0x . Como r = 0,98, la estimación es fiable.

Sin embargo, para y=0o no será fiable al estar este valor muy alejado del valor central.

EJERCICIOS: 6, 7 y 13. EJERCICIO: 15 (Presentar como un trabajo antes del examen).




DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.-

1.- Tomando los partidos ganados y los perdidos de la Liga 1997-1998 y utilizando intervalos de amplitud 5,

construye una tabla de doble entrada y calcula medias, desviaciones típicas y covarianza.

2.- Las temperaturas en la provincia de Murcia a lo largo de 1993, mes a mes, han sido:

Máxima 17 16 19 24 26 31 33 34 30 24 19 19

Mínima 3 7 7 9 13 17 20 21 16 12 9 6

Obtén la nube de puntos.

3.- Ajusta una recta a la nube de puntos anterior que pase por el punto de temperatura media.

4.- El número de muertos en accidentes de carretera en los años 1993 y 1994, según la Dirección General de

Tráfico, ha sido:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

1993 386 298 384 397 365 388

1994 354 241 311 284 299 311

Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1993 486 503 419 397 315 397

1994 434 471 373 328 296 377

Llamando x a los datos de 1993 e y a los de 1994, calcula: xyyx ,,,y,x .

5.- Con los datos del ejercicio anterior, calcula: a) Recta de regresión de y sobre x. b) Coeficiente de correlación

lineal.

6.- (Selectividad. Andalucía, 1997). La tabla adjunta representa una muestra de la que se conocen los siguientes

datos:

42yx3

1i

ii

, la Covarianza =2

x 3 4 5

y p 3 q

Calcula los valores p y q.

Solución

p=0 y q=6




7.- Aquí tienes cuatro nubes de puntos correspondientes a ciertas variables bidimensionales:

Indica aproximadamente su correlación: si está entre 5,0 , si es mayor de 0,5 o menor de -0,5. ¿Estará alguna

próxima a 1?

8.- Dada la siguiente distribución bidimensional:

xi 10 15 30 45 50

yi 125 140 150 175 225

Determina: xyyx ,,,y,x .

9.- Utilizando la nube de puntos, comprueba gráficamente el signo de la covarianza obtenida en el caso anterior.

10.- (Selectividad. Comunidad Valenciana, 1997). Las calificaciones obtenidas por ocho alumnos en

Matemáticas y Estadística han sido:

Matemáticas 2 4 6 5 6 8 9 10

Estadística 3 4,5 7 5,5 6 8,5 10 1

Halla el coeficiente de correlación entre ambas calificaciones para los siete primeros alumnos. Calcula también el

coeficiente de correlación entre las notas de las dos asignaturas para todos los alumnos. Justifica la diferencia

entre los resultados obtenidos.

11.- (Selectividad. Alicante, 1995). Una persona se somete a una dieta de adelgazamiento durante cinco

semanas. Su peso al término de cada una de esas semanas es:

Semana de dieta 1 2 3 4 5

Peso en kilos 88,5 87 84 82,5 79

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.

b) A partir del valor de la correlación lineal, ¿resultaría adecuado utilizar la recta de regresión para hacer

predicciones en la evaluación del peso a medida que se prolonga la dieta?

c) Ajusta la mencionada recta de regresión.

d) ¿Qué peso es de esperar que alcance esta persona si mantiene la dieta durante dos semanas más? ¿Y si prolonga

la dieta durante 25 semanas?.

12.- (Selectividad. Barcelona, 1994). La evolución de la venta de televisores de un país en los últimos años está

indicada en la siguiente tabla, donde la variable x indica los años y la variable y la venta de televisores en miles de

unidades.

xi 1980 1981 1982 1983 1984

yi 70 74 75 78 85

Calcula la medía y su desviación estándar.




13.- (Selectividad. Valencia, 1994). La tabla expresa los gastos en electricidad y los ingresos anuales de 6

familias en un mes, en miles de pesetas. Estima el gasto en electricidad de una familia con ingresos de 250 y explica

el método utilizado.

Gasto de electricidad 2 3 5 9 10 19

Ingreso total 40 60 80 100 120 200

14.- La difusión de la prensa española, en miles, durante el período 1984-1992 para los diarios ABC y Marca arroja el siguiente volumen:

ABC Marca

1984 157,2 113,2

1985 218,7 112,2

1986 235,1 92,1

1987 247,2 143,8

1988 267,8 164,8

1989 280,4 199,6

1990 290,5 210,2

1991 292,6 259,0

1992 327,1 315,8

Ayudado de tu calculadora científica obtén el coeficiente de correlación.

15.- Las horas de sol en la provincia de Santander y en la provincia de Murcia a lo largo de 1993 han sido las

siguientes:

Santander Murcia

Enero 117 244

Febrero 142 127

Marzo 155 226

Abril 172 274

Mayo 198 295

Junio 169 350

Julio 223 340

Agosto 198 306

Septiembre 151 261

Octubre 124 204

Noviembre 120 146

Diciembre 62 218

a) Obtén la recta de regresión de y sobre x y el coeficiente de correlación lineal.

b) ¿A cuántas horas de sol en la provincia de Murcia equivalen 100 horas de sol en Santander?




16.- La nube de puntos que presentarnos pertenece a la tabla de un ejercicio anterior.

Una vez localizado el ejercicio, comprueba que los resultados se podían haber estimado a partir de la nube de

puntos.

17.- (Selectividad; País Vasco, 1993). La evolución del precio de la gasolina y el gasóleo en el período 1973 a

1985 viene en la tabla adjunta:

Fecha Gasolina Gasóleo

26-07-1973 13,5 7,40

02-03-1974 20 10,50

24-08-1976 28 14

03-07-1979 46 21

05-12-1980 61 34

09-01-1985 93 58

10-07-1985 93 62

11-12-1985 87 62

a) Calcula el coeficiente de correlación.

b) Interpreta el resultado.

c) ¿Qué dependencia existe entre las variables?

d) ¿Qué precio debería tener la gasolina si se desea bajar el precio del gasóleo a 50 ptas.?

18.- (Selectividad. Cantabria, 1993). La estadística de ingresos en determinadas empresas, en millones de

pesetas, y de empleados en miles, es la siguiente:

Ingresos 5,7 3,8 1,9 1 1

Empleados 16 29 17 6 9

a) Estudia la correlación existente entre ambas variables.

b) Determina la recta de regresión de ingresos en millones, sobre empleados, en miles. Organiza los cálculos

y explica el resultado obtenido, aunque para la realización de los mismos utilices calculadora.




DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL.-

CÁLCULO DE PROBABILIDADES.-

EXPERIMENTOS (O SUCESOS) ALEATORIOS.- Son experimentos que repetidos en igualdad de condiciones

pueden presentar resultados distintos.

Ejemplo: Lanzamos dos dados y anotamos la suma de sus puntuaciones.

SUCESOS.-

Suceso elemental es cada uno de los resultados posibles que aparecen al realizar un experimento

aleatorio.

Ej.: Son sucesos elementales obtener 2, 3, 4, 5, etc.

Espacio muestral )E( es el conjunto formado por todos los sucesos elementales.

Ej.: E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Suceso es un subconjunto del espacio muestral. Ej.: Obtener un número impar = A = {3, 5, 7, 9, 11}.

Los sucesos pueden ser elementales (obtener un 5) o compuestos (como el suceso A).

Suceso contrario ( A ) de A es el que ocurre cuando no sucede A.

Ej.: No obtener un número impar = Obtener un número par = A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Suceso seguro )E( es aquel que ocurre siempre. Ej.: Obtener puntuación comprendida entre 2 y 12

(incluidos).

Suceso imposible )( es aquel que no puede ocurrir. Ej.: Obtener un 13.

OPERACIONES CON SUCESOS.-

Suceso unión BA de dos sucesos A y B es el formado por todos los sucesos elementales de A y de

B. Sucede cuando ocurre A o B.

Suceso intersección BA de dos sucesos A y B es el formado por todos los sucesos elementales

comunes de A y de B. Sucede cuando ocurren A y B.

Ejemplo: Sigamos con nuestro ejemplo inicial, lanzamiento de dos dados y anotación de la suma de

sus puntuaciones.

Como hemos visto el espacio muestral es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Consideremos los sucesos: “Obtener múltiplo de 3” = A = {3, 6, 9, 12}

“Obtener número primo” = B = {2, 3, 5, 7, 11}

Veamos cómo se representan los sucesos antes definidos:




PROBABILIDAD.- Cuando se repite un experimento aleatorio muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso A tiende a aproximarse a un valor fijo llamado probabilidad del suceso A.

Ley de Laplace.- Si suponemos que cada uno de los sucesos elementales tiene la misma probabilidad

(son equiprobables), podemos definir la probabilidad de que se dé un suceso S, como:

posiblescasosdenúmero

favorablescasosdenúmero)S(P

Ejemplo-1: En una baraja española de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una

carta salga un AS?

10

1

40

4

cartasdetotalnúmero

ASESdenúmero)AS(P

Ejemplo-2: Se lanzan dos dados y se anota la suma de sus puntuaciones. Calcula las probabilidades

de los sucesos que se pueden dar.

Los sucesos que se pueden dar son los reflejados en la siguiente tabla de doble entrada:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Luego las probabilidades son:

36

1)12(P.....

36

5)8(P

36

6)7(P

36

5)6(P

36

4)5(P

36

3)4(P

36

2)3(P

36

1)2(P

Consideraciones importantes.-

1) La probabilidad está comprendida entre 0 y 1, es decir 1)A(P0

2) La probabilidad del suceso seguro es la unidad, es decir 1)E(P

3) La probabilidad del suceso imposible es cero 0)(P

4) La probabilidad del suceso contrario es )A(P1)A(P

RECUERDA Frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que aparece cuando repetimos un experimento aleatorio. Frecuencia relativa de un suceso es igual a la frecuencia absoluta dividida por el número total de veces que repetimos un experimento aleatorio.




SUCESOS COMPUESTOS.- Son aquellos sucesos que están formados por dos o más sucesos simples.

Ejemplo: “Lanzar dos dados y sumar sus puntuaciones”. Este suceso está formado por dos sucesos

simpes, “lanzar un dado” y “lanzar otro dado”.

Cuando hablamos de sucesos compuestos consistentes en la extracción sucesiva de varias cartas de una baraja,

bolas de una bolsa, etc. podemos distinguir dos tipos de experiencias compuestas:

Ejemplo: En una baraja española extraemos dos cartas. Calcula la probabilidad de que las dos cartas

sean AS, con reemplazamiento y sin reemplazamiento.

Con reemplazamiento:

01.01600

16

40

4

40

4)ASseaª2layASseaª1laque(P)AS2(P

Sin reemplazamiento:

00769.01560

12

39

3

40

4)ASseaª2layASseaª1laque(P)AS2(P

SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES.- Decimos que dos o más sucesos son:

Ejemplo: Si volvemos al ejemplo anterior:

Con reemplazamiento. En este caso la segunda extracción es independiente de la primera ya

que al devolver la carta no influye en lo que ocurra en la segunda extracción, los sucesos son

independientes.

Sin reemplazamiento. Al hacerlo sin reemplazamiento, lo que ha ocurrido en la primera

extracción si influye en la segunda, son sucesos dependientes. Se dice que el segundo suceso

influye en el primero y se indica )AB(P .

EJERCICIOS: pág. 240 ejemplos resueltos y el 1, 2, 3 y 4 / pág. 241 ejemplos resueltos y el 5 / pág. 255 el 1, 2, 3 y 4.

Extracciones con reemplazamiento, son aquellas en las que después de cada extracción, el elemento

extraído se repone.

Extracciones sin reemplazamiento, son aquellas en las que después de cada extracción, el elemento

extraído no repone.

Extracciones sin reemplazamiento, son aquellas en las que después de cada extracción, el elemento extraído no repone.

Independientes cuando el resultado de cada una de ellas no dependen del resultado de las

demás. )B(P)A(P)BA(P

Dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de las

siguientes. )AB(P)A(P)BA(P




DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.-

Definición.- Es una función que asocia a cada valor de la variable aleatoria X del espacio muestral,

un número p(X) que coincide con el valor de la probabilidad de dicho suceso.

Ejemplo: Cuando lanzamos un dado, los sucesos elementales que se dan son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, la

variable aleatoria X puede tomar los valores X=1, X=2, X=3, ...,X=6. Por otro lado, la distribución de

probabilidad es:

p (X=1) =1/6 p (X=2) =1/6 p (X=3) =1/6 p (X=4) =1/6 p (X=5) =1/6 p (X=6) =1/6

Este reparto de probabilidades se puede visualizar mediante un diagrama de barras:

Tipos de distribuciones de probabilidad.- Pueden ser de dos tipos:

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.- Formalmente podemos expresarla:

1psiendop)xX(PN

1i

iii

Ejemplo-1: “Número de caras al lanzar dos monedas”

Ejemplo-2: “Lanzamiento del dado”

Parámetros de la Distribución de variable discreta.- Si recordamos las expresiones de la media y

la varianza que estudiamos en Estadística, ahora las expresiones son similares:

xi 0 1 2

Pi 1/4 2/4 1/4

xi 1 2 3 4 5 6

Pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta.- Cuando la variable aleatoria X solo toma

valores enteros. (Ej. Lanzamiento del dado: 1, 2, 3, …, 6).

Distribución de probabilidad de variable aleatoria continua.- Cuando la variable aleatoria X toma

valores reales. (Ej. Altura de los alumnos de una clase: 1´4 m., 1´68 m., etc.) -TEMA SIGUIENTE-




Media:

n

1i

i

n

1i

ii

f

xf

x

Ahora la

frecuencia es la

probabilidad y que

N

1i

i 1p

Esperanza matemática

N

1i

ii xp)X(E

Varianza: 2

n

1i

i

n

1i

2

ii

2 x

f

xf

Varianza

N

1i

22

ii2

)x(Exp)x(V

EJERCICIOS: pág. 245 el 1 ®, 3 y 4.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.- Se da cuando el experimento aleatorio tiene dos posibles resultados el

suceso A y el suceso contrario de A.

Definición.- Es aquella cuya función de probabilidad viene dada por rnr

qpr

n)rX(P

, donde:

n es el de veces que se repite el experimento

r es el número de veces que se da el suceso A

p es la probabilidad de que se dé un suceso A

q es la probabilidad de que se dé el suceso contrario de A

Esperanza matemática y desviación típica.- En la distribución binomial son pn y qpn

Ejemplo: Lanzamos un dado cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 4 veces el nº 6?, ¿y de que

salga 3 veces?, ¿y dos?

Es una distribución binomial B( 4, 1/6 ). Tenemos: n=nº de veces que lanzamos = 4; p= probabilidad de que

salga 6=1/6 y q=probabilidad de que no salga 6=5/6.

Probabilidad de salir 4 veces el 6 = 1296

1

6

11

6

11

6

5

6

1

4

4)4X(P

4404

Probabilidad de salir 3 veces el 6 = 324

5

1296

20

6

54

6

5

6

1

!1!3

!34

6

5

6

1

3

4)3X(P

4

313

Prob. salir 2 veces el 6= 216

25

6

25

6

256

6

5

6

16

6

5

6

1

!2!2

!234

6

5

6

1

2

4)2X(P

34

222222

¿Cuál es la probabilidad de que salga 6, al menos, en tres de los cuatro lanzamientos?

Es 1296

21

1296

1

1296

20)4X(P)3X(P)3X(P

EJERCICIOS: pág. 249 el 1 ® y 2 ®, 1 y 2 / pág. 255 el 11 y 13 / pág. 256 el 16, 17 y 24.

NOTA.-

es la

desviación

típica

(raíz

cuadrada

de la

varianza)

NÚMEROS COMBINATORIOS: )!rn(!r

!n

r

n

(“n sobre r”) . Propiedades importantes: 1

n

n

0

n

FACTORIAL DE UN NÚMERO: 123.....)2n()1n(n!n (“n factorial”) Propiedades importantes: 1!0




DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA.LA NORMAL-

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.- Veamos los conceptos más importantes:

Función de probabilidad o función de densidad f(x).- Una función f(x) es la función densidad de

una variable aleatoria continua X si 1dx)x(f

, siendo 0)x(f .

NOTA.- No hemos estudiado integrales, pero para hacernos una idea viene a ser como el sumatoria

en la variable discreta. Estudiaremos un caso particular, la distribución normal, en el que los

cálculos los haremos basándonos en tablas.

Ejemplo:

casosdemáslosen0

1x0six2)x(f

Función de distribución F(xi).- Ahora el concepto sigue siendo similar al caso discreto, se define:

a

dx)x(f)aX(P)a(F

DISTRIBUCIÓN NORMAL.-

Definición.- Es aquella cuya función de densidad viene dada por

2x

2

1

e2

1)x(f

, donde:

es la media

es la desviación típica

La distribución normal se expresa ),(N

Su gráfica es:

Función de distribución.- Es

a

dx)x(f)aX(P)a(F

Recordar que 1dx)x(f

(el área total debe ser 1)

uno)

Si intentásemos representar como antes, mediante un

diagrama de barras, aparecería una línea continua como en la

gráfica.

El área representa la probabilidad



Estadística y probabilidad MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-22

TABLAS.- Para calcular los valores de esta función de distribución resulta algo difícil debido a las

integrales que aparecen, de ahí que se utilice la tabla de valores de la distribución N (0,1)

(Ver hoja 23).

Dos posibilidades:

Para una distribución N (0,1).

Ejemplo: Supongamos que las alturas de los alumnos de 2º de bachillerato siguen una

distribución normal N (0,1). a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de 2º de bachillerato

mida menos de 175 cm? b) ¿Qué proporción de alumnos miden entre 165 cm y 175 cm?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno mida más de 185 cm?

a) Simplemente mirando en la tabla 9599,0)75,1X(P .

b) Es 0094,09505,09599,0)65,1X(P)75,1X(P)75,1X65,1(P .

c) Es 0322,09678,01)85,1X(P1)85,1x(P .

En nuestro ejemplo no tiene sentido una altura negativa, pero, olvidemos el ejemplo y

calculemos:

d) 0764,09236,01)43,1X(P1)43,1X(P)43,1X(P

e) 034,09066,09406,0)32,1X(P)56,1X(P)56,1X32,1(P)32,1X56,1(P

f) )37,0X(P)13,2X(P)37,0X(P)13,2X(P)13,2X37,0(P

6277,0)6443,01(9834,0)37,0X(P1)13,2X(P

Para pasar de una distribución N (µ,σ) a la N (0,1) hay que hacer un cambio de variable

llamado tipificación:

XZ

Ejemplo: Calcular )8X(P en la distribución N (5,3), usando la tabla de N (0,1)

Calculo 8413,0)1Z(P3

58ZP)8X(P

Ejercicios: pág. 263 el 1 / pág. 265 el 2.

Esperanza matemática y varianza.- Se puede demostrar que la esperanza matemática y la varianza de un

distribución binomial vienen dadas por:

pn)X(E

qpn)X(V2

Ejercicios: pág. 277 el 3, 5 y 6 (de la autoevaluación).

NOTA.- Hacer los dibujos para entenderlo mejor.



Estadística y probabilidad MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-23

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