TEMA 1. VECTORES Y MATRICES - Universidad Autónoma de … · Para el tratamiento de las ecuaciones matriciales, debemos considerar l as propiedades de las matrices. 1.4. APLICACIONES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

1.4. APLICACIONES

1. VECTORES Y MATRICES

1.4. APLICACIONES

1.4.1. Cálculo del rango de una matriz.

1.4.2. Cálculo de la inversa de una matriz.

1.4.3. Resolución de ecuaciones matriciales.

1.4.4. Discusión y resolución de sistemas lineales


MENOR DE ORDEN r DE UNA MATRIZ Dada una matriz A de orden nm , si se eligen r-filas y r-columnas de A

),( nrmr , y consideramos los elementos que pertenecen CONJUNTAMENTE a dichas filas y columnas obtenemos una submatriz cuadrada de orden r. Al determinante de dicha submatriz se le denomina menor de orden r de la matriz A.

EJEMPLO: 1) Dada la matriz

124

321

212

A

obtener todos sus menores de orden 1, de

orden 2 y de orden 3.

2) Dada la matriz

19

03

12

A obtener todos sus menores de orden 1 y de

orden 2.

1.4. APLICACIONES

1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ


RANGO DE UNA MATRIZ Se define el rango de una matriz A , como el máximo número de vectores fila o vectores columna que son linealmente independientes.

CARACTERIZACIÓN DEL RANGO DE UNA MATRIZ

Utilizando la propiedad 9 de los determinantes podemos garantizar que si una matriz cuadrada tiene determinante no nulo, entonces sus vectores fila o sus vectores columna son linealmente independientes.

El rango de una matriz A es el orden del mayor menor no nulo que contiene dicha matriz. Se denota por )(Arg .

1.4. APLICACIONES


EJEMPLO.

Calcula el rango de las siguientes matrices:

02

31A

215

211

012

B


MÉTODOS PARA OBTENCIÓN DEL RANGO Método de menor a mayor rango Consideremos el método general a partir del siguiente ejemplo:

Calcular el rango de la matriz

3353

1010

1111

1353

B .

PASO 1: Menores de orden 1. Como existe un menor no nulo de orden 1 entonces 1)( Arg .

1.4. APLICACIONES



PASO 2: Menores de orden 2. Buscamos un menor no nulo de orden 2 no nulo que

contenga los elementos del menor anterior. El menor 025311

53 . Por tanto,

2)( Arg Si todos los menores de orden 2 hubieran sido nulos el rango de la matriz habría sido 1.

1.4. APLICACIONES



Por tanto, 3)( Arg . Si todos los menores de orden 3 obtenidos por este procedimiento hubieran sido nulos entonces el rango de la matriz hubiese sido 2.

1.4. APLICACIONES


PASO 3: Menores de orden 3. Buscamos algún menor de orden 3 no nulo que contenga los elementos del menor no nulo anterior. Considerando las tres primeras filas de la matriz B , teniendo en cuenta que los menores que buscamos deben contener las columnas 1ª y 2ª, obtenemos dos menores

Considerando las filas 1ª, 2ª (que contienen el menor anterior) y la fila 4ª, se obtienen otros dos menores de orden 3


PASO 4: Menores de orden 4. Buscamos algún menor de orden 4 no nulo que contenga el menor no nulo de orden 3 anterior. En este caso, como la matriz es de orden 4, el único menor de orden 4 es el determinante de la matriz B : Por tanto, el rango de la matriz B es 3.

1.4. APLICACIONES


0

383

121

363

3383

1000

1121

1363

3353

1010

1111

1353

ª3

422

filaladeadjuntospor

ndodesarrollaCCC

EJEMPLO:

Calcula el rango de la matriz:

10111

42780

00102

21543

B


1.4. APLICACIONES


Es útil para calcular el rango en función de parámetros.

EJEMPLO: Calcular el rango de la matriz

451

30

52

a

a

B

2) Método cálculo del rango: de rango mayor posible a menor

Para matrices constante no es útil.

EJEMPLO: Calcular el rango de la matriz

3353

1010

1111

1353

B

EJEMPLOS: Calcular el rango de las matrices:

113212

11210

17001

A y

321

523

002

a

a

a

B


1) Calcula el rango de las matrices:

a)

10

32

21

A b)

7382

1120

2011

B c)

1012

3465

4321

C

2 Calcula el valor del parámetro “ x ” para que el rango de la matriz A sea 2:

11

1

11

x

xx

x

A

1.4. APLICACIONES

1.4.1. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ : EJERCICIOS

EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones

de álgebra lineal”, P. Ortega.

Págs 181-187

Ejercicios 17,18,19,20,21


Sea A una matriz cuadrada de orden n se define la matriz adjunta o adjunta de A y se escribe )(AAdj a la matriz formada por los adjuntos de los elementos de la matriz A :

nnnnn

n

n

n

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

AAdj

321

3333231

2232221

1131211

)(

Por ejemplo, si

132

821

201

A entonces la adjunta de esta matriz es:

2104

336

71722

21

01

81

21

82

20

32

01

12

21

13

20

32

21

12

81

13

82

)(AAdj .

1.4. APLICACIONES

1.4.2. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ


Sea A una matriz cuadrada de orden n que tiene inversa ( 0|| A ). Entonces:

tAAdjA

A ))((||

11

Por ejemplo, para obtener la inversa de la matriz A del ejemplo anterior, calculamos en primer lugar el determinante de la misma para comprobar si

tiene inversa: 036 A , por tanto existe la inversa de .

Aplicando la regla y aprovechando que en el ejemplo anterior hemos calculado la adjunta de la matriz A:

36

11 A

t

2104

336

71722

237

10317

4622

36

1.

1.4. APLICACIONES

1.4.2. INVERSA DE UNA MATRIZ

EJEMPLO. Calcula la inversa de las siguientes matrices:

a)

51

72A b)

231

205

131

B


1) Sea la matriz:

a

A

43

110

211

a) Determina para qué valores de a la matriz tiene inversa. b) Calcula si es posible la inversa de A para 0a

2) Calcula en cada caso la matriz inversa:

a)

131

212

021

A b)

013

425

412

B c)

211

432

111

C

1.4. APLICACIONES

1.4.2. INVERSA DE UNA MATRIZ: EJERCICIOS.



Págs. : 189, 192

Ejercicios 22, 23


Diremos que una ecuación es matricial si su incógnita o incógnitas son matrices.

Para el tratamiento de las ecuaciones matriciales, debemos considerar las propiedades de las matrices.

1.4. APLICACIONES

1.4.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES.

ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES MATRICIALES: 1) Ecuaciones matriciales del tipo AXk , donde AX , son matrices de orden nm y k es un número

real no nulo. Entonces AXk 1 .

Por ejemplo,

24

12

13

3 X

2) Ecuaciones matriciales de la forma BXA , donde XBA ,, son matrices del mismo orden. Entonces ABX .

Por ejemplo,

01

35

31

21X


1.4. APLICACIONES


3) Ecuaciones matriciales de la forma BXA , donde XBA ,, son matrices cuadradas de orden n. Entonces, si existe 1A se verifica que:

BAXBAXAA 111 . En caso de no existir la inversa de A, la ecuación no tiene solución.

Por ejemplo:

12

13XA , siendo

30

21A .

4) Ecuaciones matriciales de la forma BAX , donde XBA ,, son matrices cuadradas

de orden n. Si existe 1A se verifica que: 111 ABXABAAX . En caso de no existir inversa de A, la ecuación no

tiene solución.

Por ejemplo,

12

13AX , siendo

30

21A .


A continuación mostramos algunos esquemas de ecuaciones matriciales y el método de resolución:

1) CBXA BCXA si existe 1A )(1 BCAX .

2) CBAX BCAX si existe 1A 1)( ABCX .

3) DCXBXA DCXBA )( CDXBA )(

si existe 1)( BA )()( 1 CDBAX .

4) CBAX )( si existe 1B 11 BCAXBCAX

5) CBXA . Si existen 11, BA 11 BCAX .

6) BXAX BXIABIXAX )(

si existe 1)( IA 1( )X A I B

1.4. APLICACIONES



1) Resuelve la siguiente ecuación matricial: CBXA 2 , siendo:

67

12,

31

21,

31

02CBA

2) Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

a) CBAXX 34 b) CBX c) BXC

con

30

273,

31

53,

12

31CBA

3) Resuelve la ecuación: AXCBAX si

786

643

51111

,

120

001

113

,

101

110

011

CBA

1.4. APLICACIONES

1.4.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES: EJERCICIOS



Pág. 193-

Ejercicios 24,25,26


Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales en las n-variables comunes a todas las ecuaciones denominadas incógnitas. En general, los sistemas se suelen representar por medio de sus ecuaciones de la siguiente forma:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

Los términos ija con minj ,....,1,,...,1 son los coeficientes del sistema y

mjjb ,...,1 los términos independientes.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA

bxA

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

...

...

nx

x

x

x2

1

mb

b

b

b2

1

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

bAA

21

222221

111211

* ...

...

|

1.4. APLICACIONES

1.4.4. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES.


Sea un sistema de m-ecuaciones con n-incógnitas determinado por bxA

donde A es la matriz de coeficientes del sistema de orden nm , x es el vector

de incógnitas y b el vector de términos independientes. Diremos que el vector nRs es un vector solución del sistema si verifica que bsA .

Por ejemplo, dado el sistema

9

11

421

081

z

y

x

,

el vector

1

1

3

s es solución

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS SEGÚN SUS SOLUCIONES: SISTEMAS INCOMPATIBLES: son sistemas de ecuaciones que no tienen solución. SISTEMAS COMPATIBLES: son sistemas de ecuaciones lineales con solución. Los sistemas compatibles a su vez, se pueden clasificar en: SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS cuando tienen una única solución. SISTEMAS COMPATIBLE INDETERMINADOS cuando tienen infinitas soluciones.

1.4. APLICACIONES


LINEALES.

EJERCICIOS: “Problemas y

cuestiones de álgebra lineal”, P.

Ortega

Pág. 219; ejercicios 3, 4


DISCUSIÓN DE SISTEMAS:

Teorema de Rouché-Fröbenius Sea el sistemas de ecuaciones lineales bxA , siendo A matriz de coeficientes de orden

nm , x el vector de n-incógnitas y b el vector de m-términos independientes. Si

)|(* bAA es la matriz ampliada del sistema, se verifica:

a) El sistema es incompatible )()( *ArgArg .

b) El sistema es compatible )()( *ArgArg ; y en este caso:

i) El sistema es compatible determinado nArg )( nº incógnitas. ii) El sistema es compatible indeterminado nArg )( nº incógnitas.

1.4. APLICACIONES


LINEALES.

EJEMPLO:

Discute los siguientes sistemas utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius:

a)

2

94

132

zyx

zyx

zyx

b)

8754

22

42

zyx

zyx

zyx

c)

245

2

524

zyx

zyx

zyx

EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones de

álgebra lineal”, P. Ortega.

Pág. 221, ejercicio 5


DISCUSIÓN DE SISTEMAS EN FUNCIÓN DE PARÁMETROS:

EJEMPLO:

Discute los siguientes sistemas en función de los valores del parámetro a :

a)

3

132

zyx

azyx b)

5

42

22

yx

yx

ayx

c)

3332

12

54

zyx

zyx

zayx

1.4. APLICACIONES


LINEALES.

EJERCICIOS: “Problemas y cuestiones de

álgebra lineal”, P. Ortega.

Págs. 224-230; 237; 244-256

Ejercicios 6, 7, 13, 18


RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:

A) REGLA DE CRAMER

Sea el sistema de n-ecuaciones y n-incógnitas dado por :

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

, con

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

...

...

la matriz de coeficientes

del sistema. Si 0|| A y, consideramos para cada i=1,…,n, la matriz que se obtiene sustituyendo la columna i-ésima de la matriz A por el vector de términos independientes del sistema:

nnninninn

nii

nii

i

aabaaa

aabaaa

aabaaa

B

......

......

......

1121

2122122221

1111111211

, entonces se verifica que:

, 1,...,

i

i

Bx i n

A

1.4. APLICACIONES


LINEALES.


RESOLUCIÓN DE SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS CON LA REGLA DE CRAMER:

EJEMPLO: Resolver:

02

123

12

zyx

zyx

zyx

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS CON LA REGLA DE CRAMER:

EJEMPLO: Resolver:

6338

224

432

tzy

tzyx

tzyx

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS CON LA REGLA DE CRAMER:

EJEMPLO: 1)

024

02

05

zyx

zyx

zyx

2)

084

095

0

052

zyx

zyx

zyx

zyx

1.4. APLICACIONES


LINEALES.


Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

TRANSFORMACIONES DE GAUSS PARA OBTENER SISTEMAS EQUIVALENTES:

1) Si sustituimos una ecuación por el producto de esta ecuación por un número real, el sistema resultante es equivalente:

Por ejemplo, el sistema

54

143

yx

yx es equivalente a

54

143

yx

yx hemos

multiplicado los dos miembros de la primera ecuación por (-1). 2) Si intercambiamos de orden dos ecuaciones, el sistema resultante es equivalente:


54

143

yx

yx es equivalente a

143

54

yx

yx

3) Si sustituimos una ecuación por la suma de esta ecuación con una combinación lineal de las restantes, el sistema que se obtiene es equivalente:


54

143

yx

yx es equivalente a

44

143

x

yx; hemos

sustituido la segunda ecuación por la suma de ésta con la primera.

1.4. APLICACIONES


LINEALES.


RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS

El método de resolución de sistemas de Gauss, consiste en transformar el sistema de ecuaciones

en otro equivalente y escalonado, utilizando las transformaciones elementales admisibles.

Una vez obtenida la matriz escalonada por el método de Gauss:

b

...

0...00

............ Si 0b entonces el sistema es incompatible

ba

...

...00

............ si 0a y el número de filas es igual al de incógnitas entonces SCD

baa kk

...

...00

............

1

, 0,0 1 kk aa y el número de filas es menor que el número de incógnitas

entonces el sistema es compatible indeterminado.

EJEMPLOS: 1)

2

42

6

z

zy

zyx

2)

2

94

132

zyx

zyx

zyx

3)

8754

22

42

zyx

zyx

zyx

4)

245

2

524

zyx

zyx

zyx

1.4. APLICACIONES


LINEALES.


1) Discute y resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando el método de Gauss:

a)

02

3

33

yx

yx

zyx

b)

42

13

323

zy

zy

zyx

c)

0652

13324

12

zyx

zyx

zyx

d)

1335

52

33

zyx

zyx

zyx

2) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer:

a)

53

42

zyx

zyx b)

33

72

1

zyx

zyx

zyx

c)

04

63

23

zx

zyx

zyx

d)

022

1

22

yx

zx

zyx

3) Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m y resuélvelos cuando sean compatibles determinados:

a)

423

2224

1

mzyx

mzyx

zyx

b)

11410

332

2

zymx

zyx

zyx

4) Discute y resuelve según los valores del parámetro m, los siguientes sistemas homogéneos:

a)

034

0510

02

zyx

zyx

mzymx

b)

03

02

0

mzyx

zyx

zyx

1.4. APLICACIONES


LINEALES. EJERCICIOS.


de álgebra lineal”, P. Ortega

p. 239- , ejercicios 15, 18 y 19

p. 262- ; ejercicios 22,22 y 23

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TEMA 1. VECTORES Y MATRICES - Universidad Autónoma de … · Para el tratamiento de las ecuaciones matriciales, debemos considerar l as propiedades de las matrices. 1.4. APLICACIONES