Tema 11 Cuerpos geométricos

11.1 Poliedros regulares y semirregularesTareas 21/04/17: todos los ejercicios de la página 208. Además, completa la tablaanáloga de los poliedros duales para el icosaedro y el dodecaedro.Tareas 26/04/17: todos los ejercicios de la página 209

11.2 Truncando poliedrosTareas 26/04/2017: todos los ejercicios de la página 210Tareas 27/04/2017: todos los ejercicios de la página 211Tareas 27/04/17: enviar un documento con imágenes de cada uno de los 13 sólidosarquimedianos a la direccion fjsp_maths@outlook.esTareas a entregar 03-05-17: todos los poliedros (11) construidos junto con sus nombresy una tabla donde se verifique que cumplen, o no, la fórmula de Euler (en dicha tablahan de figurar para cada uno, una fila, o columna, donde aparezcan caras, aristas,vértices y fórmula).

11.3 Planos de simetría de una figuraTareas 28/04/17: todos los ejercicios de la página 212

11.4 Ejes de giro de una figuraTareas 28/04/17: todos los ejercicios de la página 213

11.5 Superficie de los cuerpos geométricosTareas 05-05-2017: todos los ejercicios de la página 217

11.6 Volumen de los cuerpos geométricosTareas 24-11-2015: todos los ejercicios de la página 219

Ejemplo1. Hallar el volumen del cuerpo geometrico formado por un cilindro sobre el que

se apoya una semiesfera, sabiendo que el radio del cilindro (esfera) es 1 y laaltura del cilindro es 6

V � 12

43� � 13 � � � 12 � 6 � 20

3� � 20. 944

2. Halla el volumen del cuerpo geométrico formado por un cono sobre el que seapoya una semiesfera, sabiendo que el radio de la esfera (base del cono) es 6y la altura del cono es 12

V � 12

43� � 63 � 1

3�� � 62 � 12� � 288� � 904. 78

11.7 Coordenadas geográficasTareas 26-11-2015: todos los ejercicios de la página 221

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA1.

1

b

ÁreaTendremos que calcular el área de 4 triángulos (iguales) y de uncuadrado.El área de un cuadrado de lado 10cm es 102 � 100cm2

Por otro lado, tenemos un triángulo isósceles de lados 13, 13 y 10cm. Sabemos que el área de un triángulo es b � h

2. Desconocemos

la altura, por lo que habremos de aplicar el Teorema de Pitágoras.

Lo aplicamos en el triángulo ADC

a2 � c2

2� h2 � h � 132 � 52 � 12

Entonces la superficie exterior será:

� � 4 � 12 � 102

� 102 � 340cm2

Volumen

Será V � 13�área de la base� � altura

Hemos de calcular la altura, para ello consideramos el siguiente

2

triángulo rectángulo:

Entonces aplicando el Teorema de Pitágoras será:h2 � d2 � h1

2 � h1 � 122 � 52 � 119 � 10. 909� 11cm

V � 13

102 � 11 � 11003

� 366. 67cm3

Tareas 27-11-2015: todos los ejercicios que faltan del 1Tareas 27-11-2015: 23

d

3

Área

Es una naranja a la que se le ha quitado un gajo. Entonces tenemos quecalcular la superficie de esfera que ha quedado tras quitarle el gajo yluego añadirle los dos semicírculos (es decir, tenemos un círculocompleto).

a. La superficie de la esfera sin cortes es � � 4�r2

Lo que le quitamos es un gajo de arco 30º � 36012

,entonces lo que

tenemos es 1112

de la esfera.

�naranja � 4�r2 � 1112

� �r2 � 4� � 202 � 1112

� � � 202 � 56003

� � 5864.

3cm2

Volumen

El volumen de una esfera sin cortes es V � 43�r3

Vnaranja � 1112

� 43�r3 � 11

12� 4

3� � 203 � 88000

9� � 30718.cm3

Tareas 27-11-2015: todos los ejercicios que faltan del 34

CONO ALTO

Aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la generatriz:g � 122 � 92 � 15cmEl área total será � � �92 � �9 � 15 � 216� � 678. 58cm2

4

El volumen será V � 13�92 � 12 � 324� � 1017. 9cm3

Tareas 01-12-15: todos los ejercicios que faltan del 45

b El área de tu dodecaedro será doce veces el área de una de suscaras.Vamos a calcular el área del pentágono regular.

FG es la apotema que mide 0.6882� 10 � 6. 882cmEntonces el área del pentágono regular es

5 � 6.882� 102

� 172. 05cm2

Finalmente, el área exterior del dodecaedro es� � 12 � 172.05� 2064. 6cm2

Tareas 01-12-15: todos los ejercicios que faltan del 5Tareas 01-12-15: 67

5

PRISMA OCTOGONAL

Tendríamos que calcular la apotema en el triángulo rectángulo IJB,pero en este sólo conocemos la longitud del lado JB � 5cm. Nosharía falta conocer el radio de la circunferencia que pasa por losocho vértices del octógono, pero ese cálculo sólo se puede hacercon Trigonometría que desconocemos.

Tareas 01-12-15: todos los ejercicios que faltan del 78

d

6

Empezamos calculando el volumen pues es más sencillo. Se veclaramente que la figura es 3

4del cilindro de radio de la base 2.5 m

y altura 8 m.

V � 34�r2h � 3

4� � 2.52 � 8 � 37. 5� � 117. 81m3

Calculemos ahora la superficie exterior.Partimos la figura a la altura de 4 m desde la base, de esa forma mequeda un cilindro de radio de la base 2.5 m y altura 4 m (cuyasuperficie exterior es muy fácil de calcular), y medio cilindro dealtura 4 y radio de la base 2.5 m. Entonces calculando la superficieexterior del cilindro completo y sumándole la superficie exterior delrectángulo y el arco de cilindro, tengo la superficie exterior denuestra figura.

� � 2� � 2.5 � 4 � 2 � � � 2.52 � 5 � 4 � 12

2� � 2.5 � 4 � 42. 5� � 20 �

153. 52m2 � 153. 52m2

Tareas 02-12-15: todos los ejercicios que faltan del 8Tareas 02-12-15: 910

En primer lugar vamos a calcular la diagonal de la base:

7

Aplicando el Teorema de Pitágoras será:b � 2402 � 442 � 244cmAhora vamos a calcular la altura del ortoedro a partir del volumen:

h � Varea de la base

� 1235.52� 1000240� 44

� 117.0cm

Ahora aplicamos otra vez el Teorema de Pitágoras en:

D � 2442 � 1172 � 5 2929 � 270. 6cmTareas 02-12-15: 11, 1213

8

Vporcionesfera� Vporcioncilondro� Vporcioncono� 4375� � 2338. 6� � 2036. 4� �

� 6397. 5cm3

Para calcular el volumen del cilindro nos hará falta el radio de la base y laaltura.Vporcioncilondro � � � r2 � h � � � 252 � �15� 8� � 4375�Para calcular el volumen de la porción de cono, tendremos que restar losvolumenes del cono grande y el pequeño. Para calcular el volumen de uncono me hace falta conocer el radio de la base y la altura.

Vporcioncono� Vconogrande � Vconopequeño�13� � rgrande

2 � hgrande �13� � rpequeño

2 � hpequeño�

� 13��202 � �25� 15� � 16.52 � �25� 8�� � 2338. 6�

14

Tareas 03-12-15:15,1617

ciudad longitud hora

Maputo 32º E 3 a.m.

Natal 35º O 11.p.m.

Astaná 71º E 6 a.m.

Temuco 72º O 8 p.m.

Honolulú 157º O 2 p.m.

Dakar 17º O 0 a.m.

Katmandú 85º E 7 a.m.

Melbourne 144º E 11 a.m.

La Habana 82º O 8 p.m.

9

� 82� 32 � 11411415

� 7. 6 � 8

� 82� 35 � 474715

� 3. 1333� 3

� 71� 82 � 15315315

� 10. 2 � 10

� 82� 72 � 101015

� 0.66667� 1

� 157� 82 � 757515

� 5

� 82� 17 � 656515

� 4. 3333� 4

� 82� 85 � 16716715

� 11. 133� 11

� 144� 82 � 22622615

� 15. 067� 15

Tareas 29-05-17: 18,19,21,2220

Vamos a hallar primero el radio de la circunferencia correspondiente alparalelo 45º

En el triángulo del dibujo, resulta que es isósceles rectángulo. Tiene dosángulos de 45º, dado que uno de ellos es el complementario del ángulo de 45ºgrados que forma el paralelo 45º con el ecuador. (Recordamos que en todotriángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 180º)Estamos en condiciones de aplicar el Teorema de Pitágoras en dichotriángulo.

x2 � x2 � R2 � 2x2 � 63712 � x � 63712

2� 4505. 0km

La longitud de APB es la mitad de la circunferencia de radio 4505;

10

2� � 45052

� 4505� � 14153km

Por otro lado, la ruta polar ANB, teniendo en cuenta que estamos en elparalelo 45º, implica recorrer una cuarta parte de la esfera. Hay que fijarse enque desde un extremo a otro de dicha ruta tenemos un ángulo de 90º convértice en el Centro de la Tierra:

Dicha distancia será 14

� 2� � 6371� 10008km

Claramente la ruta polar es más corta!23

B El cuerpo geométrico resultante es el siguiente:

Es decir, tenemos la mitad de una esfera de radio 3 cm, y un conode radio 3 cm y altura 3 cm.

Entonces V � 43� � 33 � 1

2� 1

3� � 32 � 3 � 27� �

� 84. 823cm3

Tareas 29-05-17: todos los ejercicios que faltan del 23Tareas 29-05-17: 2425

Se corta la mitad del salchichón.Entonces por un lado, su volumen será la mitad del salchichón total:

V � 12�� � 52 � 20� � 250� � 785. 40cm3

11

Para el área lateral, tenemos:

En el triángulo rectángulo AFD podemos aplica el Teorema de Pitágoras paraconocer la hipotenusa:FD � 102 � 102 � 10 2 � 14. 142cm

Por lo tanto el la longitud máxima del corte es 14.1422

� 7. 071

La sección del corte es una elipse:

Entonces el área de trozo cortado será:

� � 2�elipse� � lateral � 2 � � � 5 � 7.071� 12�20 � 2� � 5� � 170. 71� � 536. 3cm2

Tareas 29-05-17: 2627

e Como se trata de meter un cilindro dentro de un cubo, tendremosque saber, dado que las alturas de cilindro y cubo son las mismas,si el radio de la base del cilindro es más pequeña o igual que 10

2u.

Tenemos el volumen del cilindro y su altura:

12

V � �r2 � h � 790 � � � r2 � 10 � r2 � 790�10��

� r � 79� � 5. 0146

Entonces, aunque por poco, el cilindro sobresale del cubo.Tareas 31-05-17: todos los ejercicios que faltan del 27Tareas 31-05-17: 28,2930

a. Cuatro planos de simetría, uno por cada eje de simetría de las dosbases.Atención, un eje de simetría de vértice a vértice de una caracuadrada coincide con el eje de simetría de punto medio de ladoopuesto a punto medio del lado opuesto del otro lado.

b. Un eje de giro de orden 4 que pasa por el centro de las carascuadradas.

Tareas 31-05-17: 3132

Lo primero es calcular la longitud de las aristas del octaedro, que estánconstruidas a partir de una varilla de 3m:

3m � 300cm � 30012

� 25cm

13

Ahora calculamos la diagonal del cuadrado de lado 25 cm. Para elloaplicamos el Teorema de Pitágoras:d � 252 � 252 � 25 2 � 35. 355cmEsta es la altura del farol.

Tareas 01-06-17: 33,3435

a. vértices� 12caras� 20

b. pentágonos� 12hexágonos� 20

c. Tendremos que calcular la superficie de cada hexágono y de cadapentágono.Como la arista del icosaedro mide 30 cm, las aristas de lospentágonos y hexágonos medirán 30

3� 10cm(hay que tener en

cuenta como se realiza el truncamiento)Entonces teniendo en cuenta esto resulta que:

apotemahexagono�32

� 10 � 5 3 cm

apotemapentagono� 0.6882� 10 � 6. 882cm

�pentagono�5 � 10 � 6.882

2� 172. 05cm2

�hexagono�6 � 10 � 5 3

2� 259. 81cm2

�total � 20 � 259.81� 12 � 172.05� 7260. 8cm2

Tareas 01-06-17; 36,3738

El rectángulo sería;

14

El primer cilindros sería:

Su volumen será:

V � 20 � � � 282�

2� 3920

� � 1247. 8cm3

El seguno cilindro sería:

Su volumen será:

V � 28 � � � 202�

2� 2800

� � 891. 27cm3

Se consigue mayor volumen con el cilindro A.Recordamos que en la circunferencia L � 2�r � r � L

2�Tareas 01-06-17: 39,40,4241

15

Lo que tendremos que hacer es hallar el precio de las palomitas por cm3.RECIPIENTE A

Consideramos el dibujo siguiente:

Aplicamos la semejanza de triángulos pues tenemos dos triángulos que tienenun ángulo en común y son rectángulos:Se cumple que:105

� 15� xx , Solution is: 15

Entonces:

VA � Vconogrande � Vconopequeño�13� � 102 � 30� 1

3� � 52 � 15 � 875� � 2748. 9cm3

Entonces un cm3 de palomitas cuesta: 1.52748.9

� 5. 4567� 10�4 euros/cm3

RECIPIENTE BConsideramos el dibujo siguiente:

16

Aplicamos la semejanza de triángulos pues tenemos dos triángulos que tienenun ángulo en común y son rectángulos:Se cumple que:105

� 20� xx , Solution is: 20

Entonces:

VB � Vpiramideg rande � Vpiramidepequeña�13

� 202 � 40� 13

� 102 � 20 � 140003

�

4666. 7cm3

El precio del recipiente B ha de ser: 4666. 7� 5. 4567� 10�4 � 2. 5465� 2.5euros

17