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TRANSDUCTORES ACÚSTICOS 2014-15
Tema 1. FUNDAMENTOS 1.1. CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS TRANSDUCTORES
1.1.1. Altavoces. 1. Sensibilidad y Rendimiento. 2. Respuesta en frecuencia. 3. Potencia 4. Impedancia eléctrica. 5. Distorsión 6. Parámetros para la descripción de la directividad en emisores. 7. Modelos para la predicción de la directividad de agrupaciones de fuentes. 8. El modelo del pistón 1.1.2. Micrófonos. 1. Sensibilidad. 2. Respuesta en frecuencia. 3. Impedancia. 4. Ruido. 5. Parámetros para definir la direccionalidad de micrófonos.
1.1.1. Altavoces
En la cadena de conversión de señales eléctricas acústicas el altavoz constituye el último eslabón, y éste se diseña por lo tanto para radiar energía audible en un medio fluido que generalmente es el aire.
Un altavoz en esencia está constituido por la combinación escalonada de dos transductores, uno electromecánico y otro mecanico-acústico que permite la transformación de la energía eléctrica acústica.
Tal y como se ve en la figura 1, la señal que activa al altavoz es eléctrica y procede del amplificador al que se halla conectado. La señal, reproducción eléctrica del sonido que la produjo, actúa sobre el transductor electromecánico, el cual a su vez activa al transductor mecánico-acústico entrando este en vibración, sincrónicamente con la fuente original de sonido. El mecanismo vibratorio del altavoz excita al aire circundante, desplazándole hacia adelante y hacia atrás, convirtiéndose así en una fuente sonora dentro de nuestra zona de audición.
T.E.M T.M.AV(t)
i(t)
F(t)
u(t)
P(t)
U(t)
Figura 1
Conviene no obstante tener en cuenta lo siguiente: si el altavoz actúa sobre el aire circundante, éste debe reaccionar sobre el altavoz, constituyendo éste, según las leyes fundamentales de la física la reacción que el medio (aire) opone a entrar en vibración. Esta reacción del medio se pone de manifiesto por la presencia de una carga acústica, función de la frecuencia de la señal y de las características geométricas del sistema vibrante, que de alguna forma modifica las vibraciones del altavoz. En esto se basa pues el diseño de un altavoz, es decir: será preciso que
2
la acción del altavoz sobre el medio y la consiguiente reacción del medio sobre el altavoz reproduzcan fielmente el sonido original.
La filosofía de funcionamiento de los altavoces no ha sufrido grandes cambios, pues la teoría de funcionamiento de todos ellos descansa sobre principios físicos elementales como tendremos ocasión de ver. Más bien se puede decir que a medida que ha ido progresando la tecnología de los materiales de fabricación se han ido obteniendo unidades más o menos sofisticadas, pero casi siempre dentro de una misma teoría física. Salvo los denominados “altavoces iónicos” todo el resto de los distintos tipos de altavoces han estado estancados en su teoría de base y tan solo han logrado mejoras técnicas actuando sobre su tecnología de fabricación.
Al llegar a este punto cabe preguntarse: ¿Cuales serán los requisitos que en teoría deben reunir los altavoces? Bajo nuestro punto de vista, estos requisitos pueden enunciarse:
• Rendimiento electroacústico elevado. • Respuesta (su salida acústica) independiente de la frecuencia. • Ausencia de resonancias mecánicas. • Tamaño moderado. • Bajo coste. • Gran durabilidad.
A medida que se desarrolle elcurso iremos aclarando los conceptos enumerados, bien de forma general, o en cada caso concreto.
Existen varios criterios para realizar la clasificación de los altavoces de los cuales citaremos tres:
A. Atendiendo a la naturaleza o mejor dicho a la filosofía de funcionamiento del primer transductor electromecánico: • Altavoces magnéticos. • Altavoces de conductor móvil • Altavoces de condensador electrostático • Altavoces piezoeléctricos • Altavoces magnetrostictivos • Altavoces iónicos • Altavoces neumáticos
B. Atendiendo a la banda de frecuencias reproducidas: • Altavoces de uso general. • Altavoces especiales para graves • Altavoces especiales para agudos • Altavoces especiales para medios • Altavoces múltiples o compuestos
C. Atendiendo a la forma de radiar la energía: • Altavoces de radiación directa. • Altavoces de radiación indirecta (bocina)
Para más información al respecto ver NORMA ESPAÑOLA UNE 21-302-73 parte III.
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Características generales de los altavoces
Las características más importantes a tener en cuenta a la hora de elegir un determinado altavoz y de las cuales se debe tener un perfecto conocimiento podemos resumirlas en:
Impedancia eléctrica Respuesta en frecuencia Potencia consumida y radiada (distorsión) Rendimiento o sensibilidad Directividad Características magnéticas, mecánicas y eléctricas.
Aunque algunas de estas características serán tratadas con más detalle en secciones posteriores para tipos concretos de altavoces, conviene no obstante realizar un breve comentario de las características enunciadas.
1. Sensibilidad y Rendimiento
La sensibilidad S, es el nivel de presión sonora que se obtiene a 1 metro de distancia de la caja cuando se excita con 1 W de potencia eléctrica (normalmente a 1 kHz).
Se define el rendimiento como la relación entre la potencia acústica que radia el altavoz y la potencia eléctrica entregada al mismo. Se denota por la letra η , y normalmente viene
expresado en %. En altavoces de radiación directa nunca se supera el 5% de rendimiento. Para alcanzar rendimientos superiores se debe recurrir a sistemas de radiación indirecta. Así por ejemplo, las cajas acústicas pueden tener un rendimiento del orden del 2´5 %, y altavoces que incorporan bocinas de gran tamaño y utilizados para sonorización pueden tener rendimientos del orden del 15%.
La relación entre el rendimiento y la sensibilidad es relativamente fácil de obtener utilizando la relación:
0 0
0
( , ) 10log ( ) 20log 11
10log ( ) 20log 109p W
A
L r L Q r
W DI r
θ θθ
= + − − =
= + − +
Sustituyendo A EW Wη= y aplicando la ecuación para el caso r=1 m y WE=1w se obtiene
la relación entre la sensibilidad y el rendimiento
010 log ( ) 109S DIη θ= + +
Asimismo, es fácil demostrar que la potencia acústica radiada por un altavoz, al ser excitado por una potencia eléctrica, We, viene dada por:
w10WW 10
Qlog10109S
ea
−−
=
4
Atendiendo al valor de la sensibilidad, las cajas se pueden clasificar en tres grupos:
a) Bajo rendimiento: Sensibilidad inferior a 85 dB. b) Rendimiento medio: Sensibilidad entre 85 y 93 dB. c) Alto rendimiento: Sensibilidad superior a 93 dB.
No debemos confundir el rendimiento o sensibilidad de una caja con la calidad de reproducción de la misma.
2. Respuesta en frecuencia
Sensibilidad absoluta o relativa en función de la frecuencia.
La respuesta en frecuencia se suele expresar mediante una gráfica que nos da los niveles de presión a una determinada distancia del eje al altavoz (generalmente a 1 metro) en función de la frecuencia y con una potencia de entrada específica (1 Vatio). Las medidas para obtener estos datos se llevan a cabo en campo libre (cámara anecóica) y el aspecto que adopta generalmente es el que se indica en la figura 2.
Como se verá posteriormente, la respuesta de un altavoz simple no puede abarcar toda la gama de audio. Para conseguirlo es preciso recurrir a la combinación de varios altavoces simples, diseñados cada uno de ellos para recubrir con buenas características, una determinada zona de audio, o bien emplear unidades múltiples que abarquen toda la gama.
Figura 2. Curva de impedancia eléctricay respuesta en frecuencia de un altavoz dinámico
comercial Como veremos más adelante, la caída en bajas frecuencias se debe a que el altavoz trabaja controlado por la compliancia (rigidez) y al ser muy baja la frecuencia, el cono debe realizar grandes desplazamientos pero la suspensión se lo impide. La caída en altas frecuencias es debida a que el altavoz está controlado por masa, el cono debería realizar pequeños desplazamientos a gran velocidad y la inercia de las masas se lo impide.
A medida que avancemos en la teoría de los altavoces iremos justificando el aspecto de esta curva.
Los fabricantes, junto con la curva que nos indica la curva de respuesta, suelen especificar las condiciones en que ha sido obtenida, así como la información relativa de la frecuencia de resonancia.
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3. Potencia
Las diferentes potencias que debemos tener en cuenta en los altavoces y que normalmente suelen ser especificadas por los fabricantes son:
• Potencia admisible: • Es aquella potencia que puede soportar el altavoz sin que este se deteriore. Si a un
altavoz se le suministra una potencia superior a la admisible, éste quedaría muy pronto fuera de servicio.
• La potencia admisible puede ser soportada por el altavoz si esta se aplica a cortos intervalos de tiempo. En algunos catálogos a esta potencia se le suele denominar “potencia máxima de punta” (music power speak).
• Hay que hacer notar que no es necesario hacer trabajar altavoz al máximo de su potencia. Es preciso dejar una reserva para que pueda restituir sin distorsión los más potentes parajes musicales. Una buena regla a adoptar para el altavoz principal es una potencia de 1´5 veces la suministrada por un canal del amplificador.
• Por ejemplo, para un amplificador estereofónico de 30 W, o sea de 30/2 = 15 W por canal se elegirán altavoces de 15 × 1´5 = 22´5 W, o sea prácticamente de 20 a 25 W.
• Por lo tanto, la potencia del altavoz principal no debe ser nunca inferior a la de un canal del amplificador, pues se correrá el riesgo de deteriorar el altavoz si se pone el amplificador a todo volumen.
• Potencia de Servicio: • Es aquella potencia necesaria para producir a una distancia determinada un nivel de
presión predeterminado. Por ejemplo: potencia necesaria para producir a una distancia de 3 metros del altavoz un nivel de presión de 86 dB (4 bar).
• Potencia Nominal: • Es la máxima potencia eléctrica que puede aplicarse al altavoz y que en servicio no
debe sobrepasarse.
4. Impedancia eléctrica
La impedancia eléctrica del altavoz, ZET, es la impedancia que se mediría a la salida del amplificador mirando hacia el altavoz. Su conocimiento es de vital importancia pues de alguna forma nos indica el grado de acoplamiento óptimo en cuanto a la impedancia de salida del amplificador y la impedancia del altavoz (figura 3).
Amplificador de
potencia
ZETZE
Figura 3. Impedancia eléctrica total de un altavoz
El procedimiento para la obtención experimental de la curva de impedancia de un transductor emisor se explica en la memoria de la práctica 3 para el caso de un altavoz dinámico.
Uno de los objetivos de esta sesión es comprender que la impedancia eléctrica total de un altavoz tiene dos contribuciones: la electrica pura, que llamaremos ZE y otra que está asociada al movimiento del conjunto móvil del transductor, que llamaremos impedancia del movimiento. En la misma sesión de prácticas se explica el procedimiento para obtener las partes reales e imaginarias de estas impedancias eléctricas.
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Tomando el caso del altavoz dinámico, que es el que manejaremos mayormente durante el curso, la expresión general de ZET consta de los siguientes términos:
• ZE = Impedancia eléctrica del primer transductor asociado al altavoz y es debida a: - Resistencia de la bobina móvil - Autoinducción de la bobina móvil - Corrientes inducidas en la bobina por su desplazamiento en el campo magnético.
• ZMOV = Impedancia mecánica del primer transductor electromecánico asociado al transductor y es debida a:
- Masa de la bobina y cono
- Resistencia de pérdidas de la suspensión y del cono
- Compliancia de la suspensión y rigidez del cono.
• ZMR = Impedancia mecánica de radiación (efecto del medio o carga del aire sobre las dos caras del diafragma). Se explicará este concepto en el tema 1.2.
Conviene aclarar que la impedancia mecánica de radiación ZMR depende de las dimensiones geométricas del elemento vibrante, de la ubicación de este elemento vibrante en un recinto acústico y, por supuesto, de la frecuencia.
Los altavoces dinámicos son los que, por su sencillez, economía y calidad de reproducción, (aceptable al menos dentro de un determinado margen de frecuencias), más han proliferado y en los comentarios que hacemos en este apartado nos referimos, salvo que se indique lo contrario, a estos tipos de altavoces.
El módulo de la impedancia eléctrica de un altavoz dinámico en función de su frecuencia nos viene indicado en la figura 4. En esta figura se puede observar la falta de regularidad del módulo de la impedancia y extraer la conclusión de que existirá una desadaptación permanente de impedancias entre el altavoz y la impedancia de salida del amplificador (que en los amplificadores modernos, debido a la fuerte dosis de realimentación negativa se mantiene en valores bajos).
f
f0
ETZ
Figura 4. Módulo de la impedancia eléctrica totalde un altavoz dinámico
El valor máximo de la impedancia se obtiene a la frecuencia de resonancia mecánica del altavoz. Como veremos más adelante, esta frecuencia de resonancia nos viene dada por:
7
1
2o
MS MS
fM Cπ
=
• MMS = Masa mecánica del elemento vibratorio (suspensión). • CMS = Compliancia mecánica del elemento vibrante (suspensión).
Debe observarse que para desplazar la frecuencia de resonancia mecánica fo hacia frecuencias muy bajas es preciso aumentar MMS (altavoces con un conjunto móvil más pesado) y aumentar CMS (altavoces con un sistema de suspensión muy poco elástico). La desadaptación entre el amplificador y el altavoz a la frecuencia de resonancia es total, aunque paradójicamente a esta frecuencia, el sistema vibrante (diafragma) alcanza el máximo valor de amplitud.
La denominada impedancia nominal se suele establecer para el valor del primer mínimo después de la frecuencia de resonancia. Normalmente este valor suele ser del orden del 20% respecto al valor que adquiere a la frecuencia de resonancia. Este valor de alguna forma nos indica el valor máximo de la corriente que el altavoz absorbe del amplificador, suponiendo éste como un generador de tensión constante.
Los fabricantes suelen especificar la impedancia del altavoz para la frecuencia de 1 kHz. Este valor es, aproximadamente un 20% superior al valor de la resistencia en corriente continua (figura 5). Debe observarse también que fuera de esta zona de baja impedancia, y a medida que aumenta la frecuencia, la impedancia aumenta debido a que el valor inductivo de la impedancia eléctrica es el efecto predominante y su valor es aproximadamente
ELω (volveremos más
adelante sobre este asunto).
Del examen detenido de una curva de impedancia se pueden predecir algunos aspectos del comportamiento del altavoz. Para que este comportamiento sea aceptable para un altavoz que esté, por ejemplo, encargado de reproducir los tonos graves (woofer), la curva de impedancia debe tener:
1º. Baja frecuencia de resonancia.
2º. Bajo valor de la impedancia a la frecuencia de resonancia.
3º. Amplia zona de baja impedancia.
4º. Crecimiento lento de la impedancia cuando aumenta la frecuencia (escala lineal).
Los cuatro puntos comentados quedan reflejados en la figura 5.
0 500 1000 1500 2000
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Resisten ciaen CCRcc
Crecimien to p o r au to in d u cció n d e
la b o b in a ωL E
for
ETZ
maxETZ
f
Figura 5
8
Conviene hacer constar que lo comentado se corresponde con un altavoz dinámico sin estar acoplado a ningún tipo de recinto acústico (pantalla, caja acústica, etc.). Cuando las mediciones de la impedancia se realizan, por ejemplo, a un altavoz montado en una caja acústica, la curva de la impedancia muestra el aspecto que se indica en la figura 6. En A se representa la impedancia del altavoz al aire libre. En B, montado en una caja cerrada. Como se puede observar, la frecuencia de resonancia aumenta. Esto será objeto de estudio en la primera sesión de prácticas.
forA forB
A
B
ETZ
f
Figura 6. Impedancia eléctrica total correspondiente a: A) Altavoz libre, B) Montado
cargando sobre una caja cerrada
5. Distorsión
En general, la historia de los métodos de evaluación de las no linealidades en equipos de audio
puede dividirse en diferentes etapas. Una primera etapa en los inicios de la industria basada
fundamentalmente en las medidas de distorsión armónica total (THD), distorsión armónica total
más ruido y medidas de distorsión por intermodulación de dos tonos.
Distorsión armónica total (THD)
Para medir la distorsión armónica se hace referencia a la llamada distorsión armónica total, que
es precisamente la cantidad de armónicos que el equipo introduce y que no estaban en la señal
original. Si en un sistema no lineal introducimos un tono de frecuencia f1, en la salida tendremos
ese mismo tono (con una amplitud y fase posiblemente diferentes) y sumados a él otros tonos de
frecuencia 2f1, 3f1… llamados armónicos del tono fundamental f1. Para normalizar las medidas
se introduce un tono de 1KHz y se mide la señal de salida. La distorsión armónica total se da en
forma de porcentaje. El porcentaje representa la parte del total de la energía a la salida que
pertenece a los armónicos, es decir, qué porcentaje es distorsión. Los fabricantes de equipos
suelen facilitar este dato. El THD se puede expresar en función de la de la potencia o de la
tensión.
= 100∑
∑
= 100 + +⋯+ + +⋯+
= 100 + +⋯+
9
Donde Pi es la potencia del armónico i-ésimo con i >1 y P1 es la potencia del tono fundamental
de frecuencia 1KHz. A continuación se muestra una representación del espectro de salida de un
aparato con distorsión armónica al introducir un tono de 1 KHz.
Figura 7. Distorsión armónica de un dispositivo en respuesta a una señal de entrada de 1 kHz
Si intentáramos representar la distorsión armónica para todas las frecuencias de la respuesta de
un altavoz de la misma forma que en la figura, tendríamos que hacer muchos gráficos para cada
frecuencia de interés o se haría un gráfico muy confuso. Es mucho más cómodo representar el
nivel de cada armónico de interés para cada frecuencia como una línea continua por debajo de la
curva de presión sonora emitida por el altavoz, tal y como aparece en la siguiente figura. En esta
vemos dos curvas, denominadas H2 y H3, correspondientes al nivel de amplitud del segundo y
tercer armónico. Estos armónicos son el segundo y tercer múltiplo de la frecuencia fundamental.
Se incluyen estos dos armónicos en los catálogos de los fabricantes porque suelen ser los que el
altavoz reproduce con mayor amplitud. De esta forma, podemos observar el nivel de ambos
armónicos para cada frecuencia.
Figura 8. Representación de la distorsión armónica introducida por los dos primeros armónicos en función de la frecuencia.
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THD+N
En ocasiones se proporciona una medida denominada THD+N (distorsión armónica
total más ruido) en lugar de la THD. El método para su obtención está basado en el mismo
procedimiento que la THD pero este parámetro incluye cualquier otro ruido que esté presente en
el sistema.
Distorsión de intermodulación
La distorsión de intermodulación es debida a que varias frecuencias pertenecientes a una
señal de entrada interactúan dentro del dispositivo no lineal generando unas terceras no
deseadas. Estas frecuencias adicionales que aparecen en la salida se conocen con el nombre de
productos de intermodulación . Considerando que a la entrada del dispositivo no lineal tenemos
dos tonos de frecuencia f1 y f2, a su salida se producirán productos de intermodulación a
frecuencias suma y diferencia de múltiplos de las frecuencias originales, es decir:
= ±
Donde m y n son números enteros mayores o iguales que la unidad. El orden de la distorsión no
lineal queda determinado por la suma de m y n. En los casos particulares de m=0 o n=0, a la
salida del dispositivo se obtienen armónicos a frecuencias múltiplos de las frecuencias de
entrada: = ; = .Este tipo de distorsión se conoce con el nombre de
distorsión armónica y ha sido explicada en el apartado anterior. El orden de un determinado
producto de intermodulación es la suma de los enteros m y n. La siguiente tabla muestra algunos
ejemplos de productos de intermodulación y su orden.
producto orden
f2-f1 2
f1+f2 2
2f1-f2 3
f1-2f2 3
3f1-f2 4
3f1+2f2 5
Existieron dos métodos ampliamente difundidos para la obtención de medidas de distorsión por
intermodulación de dos tonos. El primero de ellos estaba basado en la aplicación de dos tonos
muy cercanos en frecuencia y en la medida de diferencias del producto de intermodulación de
segundo orden. Este método, conocido como CCIF (Comité Consultatif International
Téléphonique) tuvo gran popularidad en Europa en primer lugar y posteriormente en Estados
Unidos al ser introducido por Scott (Voishvillo A. , 2006). El método CCIF generalmente
utilizaba un tono de 3 kHz y otro de 3.05 kHz de igual amplitud y medía el producto de
11
intermodulación de segundo orden en la diferencia f2-f1. Otro método, concebido inicialmente
para medir la distorsión en equipos destinados a salas de proyección cinematográfica fue
desarrollado por (Hilliard, 1941) y se conoce como método SMPTE. El método utiliza un tono
de baja frecuencia y otro tono de alta frecuencia y menor nivel de amplitud. De esta forma, se
produce una modulación del tono de alta frecuencia por el de baja. El método de Hilliard
utilizaba generalmente un tono de 60 Hz y otro de 3 kHz, siendo la amplitud del tono de 3 kHz
12 dB inferior respecto de la amplitud del tono de 60 Hz.
Figura 9. Medidas de distorsión de intermodulación
Actualmente, el método más extendido para la medición de la IMD es el SMPTE o el DIN,
cuyos estándares RP120-1983 y 45403 son similares. Ambos establecen una señal de test
formada por dos tonos: uno de baja frecuencia y mayor amplitud y otro de alta frecuencia cuya
amplitud es de ¼ de la amplitud de la señal de baja frecuencia (-12.04 dB). En el caso del
estándar americano estas señales son 60 Hz y 7 kHz, mientras que el estándar alemán ofrece
más posibilidades de elección en baja y alta frecuencia. Un par muy usado en el estándar DIN es
250 Hz y 8kHz. (Metzler, 1993). Cuando estas señales se inyectan en un sistema no lineal, los
productos de intermodulación aparecerán como una serie de bandas laterales alrededor del tono
de alta frecuencia. El espacio – en hertzios - entre el tono de alta frecuencia y el primer par de
bandas laterales (productos de segundo orden, f2±f1) es equivalente al tono de baja frecuencia.
El segundo par de bandas laterales (productos de tercer orden, f2±2f1) estará separado del tono
de alta frecuencia dos veces el tono de baja frecuencia. El porcentaje de distorsión de
intermodulación se define como el porcentaje de modulación de amplitud que estas bandas
laterales representan sobre la portadora de alta frecuencia (el tono f2).
12
6. Parámetros para la descripción de la directividad en emisores.
Directividad
Se define la directividad ( ),D θ ϕ de una fuente como el módulo entre la presión eficaz P a
una distancia ro y posición angular ( ),θ ϕ y una presión eficaz Po de referencia que suele ser
la máxima que produce la fuente y que coincide generalmente con la presión que se provoca en el eje de simetría de la fuente. Según esto, considerando fuentes con simetría de revolución:
( ) ( ) ( )max
2
max
log20P
PD
P
PD dB
θθθ =⇒=
La representación de la directividad, casi siempre en escala logarítmica, conduce a los diagramas polares direccionales de las fuentes, de uso extendido para el cálculo de los niveles de presión sonora.
Factor de directividad e Índice de Directividad
Se define el factor de Directividad Q de un radiador en una dirección determinada (dada por las
coordenadas esféricas 0( , , )o or θ ψ ) como la relación entre la intensidad acústica que en
esa dirección emite la fuente en estudio y la intensidad que produciría una fuente isotrópica (fuente puntual y omnidireccional) que radia igual potencia que la fuente que estamos tratando. Según la definición:
( ) ( )ISO
oooo I
,I,Q
ψθ=ψθ
Para abordar el cálculo del factor de directividad, hay que calcular previamente el valor de IISO, es decir, la intensidad que radia la fuente isotrópica. La intensidad isotrópica la definimos como el cociente entre la potencia que emite la fuente y la superficie de una esfera de radio r que rodea a la fuente puntual, es decir:
2ISO r4
WI
π=
13
θ
ψX
Y
Z
r
dψ
dθ
drrsenθ
ψθθ= ddsenrds 2
ψθθ= ddrdsenrdV 2
Figura 1: Coordenadas esféricas
Por otra parte la potencia W que emite la fuente podemos evaluarla según siguiente expresión:
( )∫ ψθ=S
ds,IW
donde I() representa la intensidad acústica que radia la fuente para cualquier posición angular. Por lo tanto:
( ) ( )
esf
S2
SISO S
ds,I
r4
ds,I
I∫∫ ψθ
=π
ψθ
=
Obsérvese que la expresión de IISO representa el valor medio de la intensidad de la fuente promediado sobre una superficie esférica de radio r.
Según todo lo comentado resulta para Q la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )( )
2
S
oo
ISO
oooo r4
ds,I
,I
I
,I,Q π
ψθ
ψθ=
ψθ=ψθ
∫
Utilizando ahora el diferencial de superficie, ds, en coordenadas esféricas, que nos viene dado por(figura 2):
ψθθ= ddsenrds 2
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Figura 2: Obtención del diferencial de superficie en coordenadas esféricas
tendremos por lo tanto:
( ) ( )( )∫ ψθθψθ
ψθπ=ψθ
S
oooo
ddsen,I
,I4,Q
En la mayoría de los casos los focos sonoros dan lugar a características direccionales con simetría de revolución, por lo que tomando el eje Z como eje de simetría, la expresión anterior nos permite una simplificación ya que I tan só1o depende de θ, que varía entre 0 y π, y φ varia
entre 0 y 2π.
( ) ( )
( )
( )
( )∫∫∫ππ
θθθ
θ=
ψθθθ
θπ=ψθ
0
o2
0S
ooo
dsenI
I2
ddsenI
I4,Q
Al factor de directividad expresado en dBs se le llama índice de directividad:
DI (Índice de directividad) = 10 log Q
En el caso de que el índice de directividad sea positivo entonces se trata de direcciones con intensidades superiores a la media isotrópica, y si es negativo la dirección tiene una intensidad inferior a la media isotrópica.
Para efectuar el cálculo del factor de directividad en una dirección determinada es preciso conocer la expresión matemática de la intensidad acústica que, generalmente, tal y como hemos dicho anteriormente, tan só1o será función de (fuente con diagramas direccionales con simetría de revolución). En el caso de que no se conozca la expresión matemática de I() se recurre a medir los niveles de intensidad que una determinada fuente provoca a una distancia ro variando la posición angular del equipo medidor respecto a la fuente, obteniéndose de esta forma un juego de medidas (cuantas más mejor) que nos permiten el cálculo de Q(o).
Hemos visto que en el caso de conocer I(θ), el factor de directividad nos viene dado por:
θ
ψ
X
Y
Z
dψ
dS
r
dθ
15
( ) ( )
( )∫π
θθθ
θ=ψθ
0
ooo
dsenI
I2,Q
En el caso de tomar una serie de medidas discretas, la integral del denominador se nos convierte en un sumatorio. es decir:
( ) ( )∑∫=
=
π
θ∆θθ≅θθθni
1i
iii
0
senIdsenI
Siendo I(θ i) = Intensidad para una posición angular, n = número de mediciones y iθ∆ =
intervalo angular entre mediciones
El factor de directividad para este caso "discreto" será:
( )
( ) ( )( )∑∑
=
=
=
=
θ∆θθθ
=θ∆θθ
θ=
ni
1i
iio
i
ni
1i
iii
o
senI
I
2
senI
I2Q
donde I(o) es la intensidad acústica para un ángulo o (precisamente para el cual se evalúa Q).
El índice de directividad será entonces:
( )( )∑
=
=
θ∆θθθ
=ni
1i
iio
i senI
I
2log10DI
Para el caso que nos ocupa conviene preparar una tabla como la siguiente:
θi I(θi) sen (θi) ( )( )o
i
I
I
θθ
iθ∆
( )( ) ii
o
i senI
Iθ∆θ
θθ
Diagrama de directividad
El diagrama de directividad es un diagrama polar en el que la distancia al centro es la directividad expresada en dB. Para la determinación experimental del diagrama de directividad de una fuente sonora, en la figura 3 se indica un posible montaje de medida.
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Generador
Amplificador
Mesa Giratoria
Cámara anecoica
Registrador Amplificador Filtro paso banda
Figura 3: Montaje de medida del diagrama de directividad
Es muy usual observar en los diagramas direccionales la especificación del índice de directividad máximo, es decir, dar el dato del índice de directividad para la dirección de máxima radiación que coincide generalmente con el eje de simetría de la fuente (Figuras 4, 6 y 7).
Dado el índice de directividad máximo, DImax, y conocida la potencia que radia la fuente, W, podemos calcular la intensidad máxima, Imax, mediante las relaciones:
iso
maxmax I
Ilog10DI =
2ISO r4
WI
π=
Puede observarse, sin embargo, que el resultado es función de la distancia. En el cálculo de la intensidad isotrópica, Iiso, se han despreciado 1as pérdidas que se provocan en el aire o medio en cuestión.
En el caso de conocer DImax y el diagrama de directividad, se puede calcular el índice de directividad en cualquier dirección mediante las siguientes ecuaciones:
( ) ( )
θ=θ=θmaxiso
max
iso I
I
I
Ilog10
I
Ilog10DI
( ) ( )max
maxmaxiso
max
I
Ilog10DI
I
Ilog10
I
Ilog10DI
θ+=θ+=θ
En función de la presión:
17
( ) ( )max
max2max
2
max p
plog20DI
p
plog10DIDI
θ+=θ+=θ
El término ( )maxp
plog20
θ se calcula siempre que se conozca el diagrama de directividad de la
fuente (figura 4).
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
1800
θ
( )maxp
plog20X
θ=
Figura 4: Cálculo del índice de directividad El índice de directividad en cualquier dirección se calcula mediante la siguiente expresión:
XDIDI max +=θ
siendo X la lectura en dBs que obtenemos para la posición angular en el diagrama de directividad (figura 4).
Ancho de haz y ángulo de cobertura
Se define el ancho de haz de una fuente sonora, como el ángulo sólido bajo el cual se radia con intensidad constante e igual a la máxima en todos sus puntos toda la potencia capaz de suministrar la fuente. Independientemente de la forma del diagrama de directividad, el ancho de haz se corresponde con el ángulo sólido de un casquete esférico de radio r y superficie S.
Según la definición dada tendremos: W total radiada = Imax Scasquete = Imax r
2B
Siendo B el ángulo sólido (ancho del haz) (figura 5).
18
r
Casquete esférico
Figura 5
Por otra parte la potencia total radiada viene dada por:
( ) ( )∫∫ ψθθψθ=ψθ=S
2
S
T ddsenr,Ids,IW
Igualando ambas expresiones tendremos:
( )∫ ψθθψθ=Smax
ddsen,II
1B
y si existe simetría de revolución:
( )∫π
θθθπ=0max
dsenII
2B
Para mediciones discretas de la intensidad, el ancho del haz se calcula por la expresión siguiente:
( )∑
=
θ∆θθ
π=n
1i
iimax
i senI
I2B
Un concepto más práctico que el ancho de haz es el que viene definido como el ángulo sólido formado por dos direcciones cuyas intensidades correspondientes caen a la mitad de la intensidad máxima. Puesto que el ángulo sólido es un concepto espacial (volumétrico), interesa obtener en el plano el ángulo correspondiente a este ángulo sólido. Este ángulo es de fácil evaluación a partir de las siguientes relaciones:
Scasquete = r2B
∫∫ ψθθ==s
2
s
casquete ddsenrdsS
Igualando ambas expresiones:
( )θ−π=ψθθ= ∫∫πθ
cos1r2ddsenrBr 2
2
00
22
o
y despejando:
19
( )
θθθ−=θ ∫
π
0maxo dsenI
I
11arccos
Un parámetro de gran importancia en el diseño de sistemas de refuerzo sonoro, es el ángulo de cobertura –x dB, que se define como el doble del ángulo para el cual la directividad se reduce en x dB.
Relación entre el nivel de presión, la distancia y el factor de directividad
Recordemos que el nivel de presión y el nivel de intensidad coinciden si estamos en el medio de referencia (aire) .La relación entre el nivel de intensidad y el factor de directividad es:
Qr4
WI
2π=
Pasando la relación a dBs:
11rlog20DILIlog104log10rlog20Qlog10Wlog10
Ilog10Qr4
Wlog10Ilog10Ilog10LI
Wref
ref2ref
−−+=−π−−+=
=−π
=−=
20
7. Modelos para la predicción de la directividad de agrupaciones de fuentes 6.1. Fuente esférica pulsante
La fuente esférica pulsante es un emisor de ondas esféricas (dentro del campo sonoro que se denomina lejano) y su conocimiento es de gran interés para realizar posteriormente el estudio de los radiadores reales. Esta fuente consiste en una esfera cuyo radio a (a<landa/6) varía sinusoidalmente con el tiempo, provocando por consiguiente y debido a la simetría de la esfera, ondas esféricas en el medio en el cual se encuentra inmersa si éste se supone homogéneo e isótropo.
Tal tipo de fuente no es normal encontrarla en la práctica. Sin embargo, su estudio resulta necesario como introducción a fuentes más complejas debido a que, como se verá más adelante, cualquier tipo de fuente puede suponerse que está formada por un conjunto de fuentes esféricas de características determinadas. Por otro lado, existen fuentes que, cuando sus dimensiones son pequeñas comparadas con la longitud de onda de la perturbación sonora que emiten, pueden considerarse en primera aproximación como fuentes esféricas.
Si nuestra esfera pulsante en estudio está radiando en un medio indefinido, la expresión matemática de la presión a una distancia r del centro de la esfera es:
( )krtj1 er
A2)t,r(p −ω=
donde:
A1 = presión sonora eficaz compleja a la unidad de distancia de la fuente
k = constante de fase, definida como:
λπ=π=ω= 2
c
f2
ck
Se puede observar la ausencia de onda regresiva y la omisión de Re (parte real)
Se sabe también que la velocidad u de las partículas del medio están relacionadas con la presión por la siguiente relación fundamental:
t
u
r
po ∂
∂ρ−=∂∂
expresión que, por integración, nos permite obtener u:
( )krtj
o
1 ejkr
11
cr
A2)t,r(u −ω
+
ρ=
La esfera de radio a que vibra sinusoidalmente, tiene una velocidad radial en los puntos de su superficie dada por:
tjefeu2)t,a(u ω=
siendo uef el valor de la velocidad eficaz compleja de los puntos situados en la periferia de la esfera.
Como el medio (fluido) que rodea la esfera está en contacto con ella, la velocidad de vibración
21
de las partícu1as próximas a la esfera tiene que ser la misma que la de ésta, es decir:
( ) tjef
katj
o
1 eu2ejka
11
ca
A2 ω−ω =
+
ρ
lo que permite despejar 1A2 :
jka1
kecau2j
jka
11
caeu2A2
jka2oef
jkaoef
1 +ρ
=+
ρ=
En el caso de ka < 1, o lo que es lo mismo, a< l/6 tendremos:
jka2oef1 kecau2jA2 ρ≅
y llevando este resultado a la ecuación general de la presión:
)ar(jk2
otj
ef er
a2jfeu2)t,r(p −−
ω πρ=
Multiplicando numerador y denominador por 2, tendremos:
[ ])ar(ktj2
oef er2
a4jfu2)t,r(p −−ωπρ
=
expresión que se puede escribir de forma más compacta definiendo el poder de la fuente o velocidad eficaz volumétrica de la superficie de la fuente, Uef:
Sua4uU ef2
efef =π=
de la siguiente forma:
[ ])ar(ktjoef er2
fU2j)t,r(p −−ωρ=
Para el caso de campo lejano, es decir, para r >> a, se tiene que el valor de la presión es:
[ ]krtjoef er2
fU2j)t,r(p −ωρ=
que también se puede escribir como:
)krt(joef er4
ckU2j)t,r(p −ω
πρ=
El valor eficaz complejo de la presión será:
jkroefef e
r4
ckUjp −
πρ=
La intensidad acústica a una distancia será:
2o
22ef
o
2
ef
cr4
fU
c
pI
ρ=ρ
=
y la potencia media radiada:
22
c
fU
cr4
fUr4Ir4W o
22ef
2o
22ef22 πρ=ρπ=π=
Se observa por tanto que la intensidad y la potencia así como la presión dependen, para una distancia determinada de Uef (flujo volumétrico).
Variación con el espacio de radiación
La expresión de la presión p(r,t) evaluada anteriormente, se ha obtenido en base a suponer que la fuente esférica radia a todo el espacio, es decir, bajo un ángulo sólido 4. En el supuesto de que la fuente radie bajo un ángulo la expresión de p(r,t) puede demostrarse que viene dada por:
)krt(joef er
ckU2j)t,r(p −ω
Ωρ=
Obsérvese que esta expresión es similar a la obtenida anteriormente si = 4. Se observa, de acuerdo con esta expresión, que cuando se reduce el ángulo sólido en el cual está repartido el flujo volumétrico, se obtienen incrementos en las presiones acústicas.
Este principio se usa para aumentar la potencia aparente radiada de una fuente sonora, ya que si ésta se coloca en las proximidades de una pared rígida infinita, radia a un semiespacio de ángulo sólido 2, obteniéndose una presión doble, una potencia y una intensidad cuádruple del caso de radiación a todo el espacio:
2p
p
er2
ckUjp
er4
ckUjp
4ef
2ef
jkroef2ef
jkroef4ef
=⇒
πρ=
πρ=
π=Ω
π=Ω
−π=Ω
−π=Ω
Del mismo modo para la intensidad:
4p
p
I
I
c
pI
c
pI
2
4ef
2
2ef
4
2
o
2
2ef2
o
2
4ef4
==⇒
ρ=
ρ=
π=Ω
π=Ω
π=Ω
π=Ω
π=Ωπ=Ω
π=Ωπ=Ω
Para el cálculo de la potencia tendremos que:
Ω== 2IrS·IW de forma que queda:
22
1
I
I
W
W
2rIW
4rIW
4
2
4
2
222
244 ==⇒
π=
π=
π=Ω
π=Ω
π=Ω
π=Ω
π=Ωπ=Ω
π=Ωπ=Ω
En la siguiente tabla se muestra el denominado método de las imágenes de fuentes sonoras cuando éstas radian enfrentadas en medios infinitos.
Los ejemplos ilustrados en la tabla 1 se corresponden a los siguientes casos:
a) Fuente radiando libremente en todo el espacio b) Fuente radiando frente a pared infinita, es decir en medio espacio. Aparece una imagen
que representa el efecto de la pared infinita
23
c) Fuente radiando en las proximidades del ángulo que forman dos paredes infinitas. Aparecen tres imágenes que representan el efecto de esas paredes.
d) Fuente radiando en las proximidades de la esquina de tres paredes infinitas (en un rincón). Siete imágenes representan su efecto.
6.2. Par de fuentes simples
Según hemos visto en el apartado anterior, la expresión de la presión que una fuente esférica simple produce a una distancia r es:
)krt(joef er4
ckU2j)t,r(p −ω
πρ=
expresión que para simplificarla podemos identificarla con:
)krt(j1 er
A2)t,r(p −ω=
donde:
πρ=
4
ckUjA oef
1
En ambas expresiones se observa que el desfase provocado en la presión a una distancia r depende tan sólo de la propia distancia (kr). En el supuesto de que la fuente esté alimentada con una fase inicial , la expresión de la presión será:
)krt(joef er4
ckU2j)t,r(p ψ+−ω
πρ=
ó, también:
)krt(j1 er
A2)t,r(p ψ+−ω=
Superficie Imágenes p I W
Q=1
Fuente
4
p
I
W
FuenteImagen
d d
2
2p
4I
2W
24
Q=2
Q=4
FuenteImagend d
d dImagen Imagen
d
d
d
d
4p
16I
4W
Q=8
2d
d
d
8p
64I
8W
Tabla 1
Consideremos ahora una agrupación de un par de fuentes simples, tal y como muestra la figura 8.
A
br2
r1
r
θ
Figura 8
Admitiendo que, en general, las fuentes simples no emiten en fase, las presiones que las dos fuentes producen en un punto A son:
)krt(j
2
22
)krt(j
1
11
22
11
er
A2p
er
A2p
ψ+−ω
ψ+−ω
=
=
25
Considerando el caso en que r >> b, (campo lejano) tendremos las siguientes relaciones para r1 y r2 (figura 9):
θ+=
θ−=
cos2
brr
cos2
brr
2
1
221 rrr ≈
θ≈− cosbrr 12
A
br2
r1
r
θ
θ
θcos2
b
Figura 9
La presión compleja en el punto campo A vendrá dada por la superposición de las presiones de las fuentes puntuales:
+−−
+−
+−+−
+≅
=+=+=
21
2211
cos2
bkj
kr)tj(2cos
2
bkj
kr)tj(1
)krtj(
2
2)krtj(
1
121
eer
A2ee
r
A2
erA2
erA2
ppp
ψθω
ψθω
ψωψω
En el caso de que las fuentes emitan con la misma potencia:
A1=A2=A tendremos, pues:
+=
θ−ψ
θψ−ω
cos2b
kjj
cos2b
kjj)krt(j eeeee
r
A2p 21
En esta expresión se puede observar que la presión a una distancia r depende de los ángulos de fase φ1 y Φ2 así como de la posición angular θ del punto en cuestión.
Dos fuentes simples en fase
Vamos a estudiar el caso particular de dos fuentes simples que emiten con la misma potencia y
26
cuyas fases iniciales de alimentación también lo son:
φ1=φ2=φ Partiendo de la expresión de presión anterior tenemos:
+=
θ−
θψ−ω
cos2b
kjcos2b
kjj)krt(j eeee
r
A2p
relación que se puede arreglar, teniendo en cuenta la relación:
( ) ( ) xcos2xsenjxcosxsenjxcosee jxjx =−++=+ −
de la siguiente forma:
θ= ψ−ω cos2
bkcosee
r
A22p j)krt(j
El valor eficaz complejo de la presión será:
θ= ψ−− cos2
bkcose
r
A2p )kr(j
ef
y en módulo:
θ= cos2
bkcos
r
A2pef
Se puede observar que para un ángulo = π/2 rad se obtiene el máximo valor de la presión, que es:
r
A2p
maxef =
La directividad, de acuerdo con lo comentado en apartados anteriores, se puede calcular con la relación:
( )
θ=θ= cos2
bkcos
p
pD
max
que en dBs queda:
( )
θ=θ= cos2
bkcoslog20
p
plog20)dB(D
max
expresión que también se puede expresar en función de la longitud de onda:
θλ
π= cosb
coslog20)dB(D
Por tanto, para un valor determinado de b y λ se obtiene la directividad en función de θ.
Podemos calcular ahora el valor del factor de directividad a partir de la función de directividad:
27
θ
θλ
π−
θλ
ππλ−
=θθ
θλ
π=
∫∫ππ
dsenb
cosb
cosb
2
dsencosb
cos
2Q
0
2
0
2
La integral se puede resolver aplicando el siguiente cambio:
θθλ
π−=
θλ
π=
dsenb
dt
cosb
t
quedando, los límites de integración siguientes:
λπ−=
λπ=
bt
bt
2
1
Por tanto, el factor de directividad queda:
2
b2sen
b1
2
2
b2sen
bb
2
4t2sen
2t
b
2
dttcosb
2Q b
b
b
b
2
λπ
πλ+
=
λπ
+λ
ππλ
=
=
+πλ−
=
πλ−
=λ
π−
λπ
λπ−
λπ
∫
Para el caso, por ejemplo, de / 1b λ = , se tiene:
( ) 2
22sen
1
2Q =
ππ+
=
con lo cual, el índice de directividad es:
dB32log10DI == Los diagramas de directividad de estos sistemas radiantes se pueden analizar utilizando el programa en matlab CATRANS facilitado por el profesor.
Dos fuentes simples en oposición de fase: dipolo acústico
Analicemos ahora el caso del dipolo acústico, consistente en la agrupación de un par de focos que emiten la misma potencia y están alimentados en oposición de fase, es decir:
1 1ψ ψ π= +
Debido a la relación de fases podemos poner que:
112 jjjj eeee ψπ−ψψ −==
28
y operando de la misma forma que en la agrupación anterior:
−=
θ−
θψ−ω
cos2
bkjcos
2
bkj
j)krt(j eeeer
A2p 1
relación que se puede arreglar, teniendo en cuenta que:
( ) ( ) xsenj2xsenjxcosxsenjxcosee jxjx =−−+=− −
de la siguiente forma:
θ= ψ−ω cos2
bksenee
r
A22jp 1j)krt(j
El valor eficaz complejo de la presión será:
θ= ψ−− cos2
bksene
r
A2jp )kr(j
ef1
y en módulo:
θ= cos2
bksen
r
A2pef
Se puede observar que para el ángulo 0 rad se obtiene el máximo, cuyo valor es:
=2
bksen
r
A2p
maxef
La directividad viene dada por la relación:
θ= cos2
bksenD
Los diagramas de directividad son los mismos que los de el caso de dos fuentes sin desfase
salvo que hay que desplazar los máximos π/2 radianes, es decir, los máximos ahora son nulos y al revés.
Debe observarse la posibilidad de variar la directividad con tal de modificar las fases de alimentación. Este técnica en general se utiliza en los equipos de SONAR para lograr un barrido en el campo de exploración de los equipos emisores, sin más que alimentar a los elementos vibrantes que constituyen el equipo emisor con señales eléctricas desfasadas unas respecto a las otras.
Par desigual
El par desigual está constituido por dos focos elementales alimentados en fase y con distinta potencia. La presión de cada uno de los focos es:
)krt(j
2
22
)krt(j
1
11
2
1
er
A2p
er
A2p
ψ+−ω
ψ+−ω
=
=
29
La presión resultante viene dada por:
+=+=
θ−
θψ+−ω
cos2b
kj
1
2cos
2b
kj)krt(j1
21 eA
Aee
r
A2ppp
y la expresión de la directividad es:
θ−
θ+=
cos2b
kj
1
2cos
2b
kj
eA
AeD
Esta expresión, como puede verse, puede modificarse con tal de variar la relación A2/A l. Vemos, pues, otra posibilidad de variar la directividad actuando sobre los niveles de excitación de la fuente . La expresión también se puede escribir en función del cociente b/landa:
θλ
π−
θλ
π+=
cosb
j
1
2cos
bj
eA
AeD
Agrupación lineal de fuentes
Supongamos n fuentes isotrópicas puntuales alimentadas con la misma potencia y desfasadas una respecto a la otra un ángulo φ, tal como muestra la figura siguiente.
La distancia entre focos es b y admitiremos que vamos a calcular la presión que una agrupación crea en un punto P lo suficientemente alejado del sistema radiante para que se cumpla que:
ri >> nb donde ri es la distancia que existe entre el foco i-ésimo y el punto P. Comparando con lo obtenido para un par de fuentes, las relaciones de distancia son las siguientes:
θ−−=
θ−−=
θ−=θ−=
=
cosb)1n(rr
...
cosb)1i(rr
...
cosb2rr
cosbrr
rr
1n
1i
13
12
11
1 2 3 n
r1 r2 r3 rn
θ
b
0º -Ψ -2Ψ -(n-1)Ψ
Figura 13: Agrupación lineal de fuentes
30
Las relaciones entre las fases iniciales son:
ψ−−=ψ
ψ−−=ψ
ψ−=ψψ−=ψ
=ψ
)1n(
...
)1i(
...
2
º0
n
i
3
2
1
La expresión general de la presión que crea un foco genérico i en un punto P suficientemente alejado del mismo será:
)krt(j
ii
iier
A2p ψ+−ω=
De acuerdo con el principio de superposición, la presión total creada en dichos puntos por todas las fuentes consideradas viene dada por:
∑=
=
ψ+−ω=ni
1i
)krt(j
iT
iier
A2p
Veamos como se puede desarrollar esta fórmula general después de realizar algunas simplificaciones. El valor de ri que figura en el denominador a los efectos de cálculo se puede transformar en un único valor que por comodidad será r1. Esto es factible ya que b << ri.
Sin embargo, el término ijkre− que figura en el numerador no se puede simplificar por 1jkre− , ya que esto supondría admitir que no va a existir desfase individual debido a las distintas distancias ri de cada foco al punto P en cuestión. Sustituyendo, por tanto, el valor exacto:
[ ]θ−−−− = cosb)1i(rjkjkr 1i ee La expresión de la presión total en P será:
[ ])coskb)(1n(j)coskb(j2)coskb(j)krt(j
1
ni
1i
)krt(j
iT
e...ee1er
A2
er
A2)t,r(pp
1
ii
ψ−θ−ψ−θψ−θ−ω
=
=
ψ+−ω
++++=
=== ∑
La expresión entre corchetes es una progresión geométrica de razón )coskb(je ψ−θ cuya suma viene dada por:
1e
1e
1r
1raS
)coskb(j
)coskb(jnn
1n −−=
−−= ψ−θ
ψ−θ
expresión que puede arreglarse de la forma siguiente:
31
−
−
=ψ−θ−ψ−θψ−θ
ψ−θ−ψ−θψ−θ
)coskb(2
1j)coskb(
2
1j)coskb(
2
1j
)coskb(2
nj)coskb(
2
nj)coskb(
2
nj
n
eee
eee
S
Me)coskb(
21
sen
)coskb(2n
seneS
)coskb(2
1nj
)coskb(2
1nj
n
ψ−θ−
ψ−θ−
=
ψ−θ
ψ−θ=
Por lo tanto, la expresión de P viene dada por:
Meer
A2)t,r(pp
)coskb(2
1nj
)krt(j
1T
1ψ−θ
−−ω==
ψ−θ
ψ−θ=
)coskb(21
sen
)coskb(2n
senM
El módulo de la presión eficaz será:
ψ−θ
ψ−θ==
)coskb(21
sen
)coskb(2n
sen
r
AM
r
Ap
11ef
La expresión anterior también puede formularse como:
Φ
Φ
=
2senn
2n
sen
r
nAp
1ef
con
ψ−θ=Φ coskb .
La expresión
Φ
Φ
2senn
2n
sen recibe el nombre de factor de Array, y no es ni más ni menos que la
expresión de la directividad del sistema.
En la figura 14 se muestra el factor de Array en función de y del número n de fuentes.
Se puede observar que el máximo valor del factor de Array es la unidad y se obtiene para valores de 0 y de 2 radianes. Los máximos de radiaciones se obtienen para = 0 que corresponde con un ángulo:
32
ψ=θkb
arccos
Los nulos de radiación, si los hay, se pueden calcular con ayuda de la figura 14 para aquellos valores de que anulan al factor de Array y en consecuencia quedan determinados los valores de correspondientes. Analíticamente se demuestra que
-150 -100 -50 0 50 100 1500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 14: Evolución del factor de Array en función del número de fuentes La línea recta es el caso de n = 1. Conforme aumentamos n aumenta la directividad (el diagrama se hace más
estrecho). los nulos nos vienen dados por la expresión:
n
pº360=Φ
siendo p el orden del nulo y n el número de elementos del Array. El ángulo correspondiente a los nulos será:
π+ψ=θn
2p
kb
1arccos
Rendija radiante
La rendija radiante constituye un caso particular del sistema lineal de fuentes (figura 15), ya que puede considerarse formada por un número infinito de fuentes puntuales (que emiten en fase), separadas una distancia que tiende a cero.
33
θ
bd
Figura 15: Rendija radiante
Si se denomina d a la longitud total de la rendija y b la separación entre focos consecutivos, se tiene que d = (n-1)b. Ahora bien, cuando n tiende a infinito d=nb y la expresión de la directividad podemos expresarla como:
θ
θ=
cos2
dk
cos2
dksen
D
Se puede observar que el máximo de radiación se da para 90º. En la figura 16 se muestran distintos diagramas polares en función de d/λ.
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
d/λ =1/2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
d/λ =1
34
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
d/λ =3/2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
d/λ =2
Figura 15: Directividad de la rendija radiante en escala lineal en función de d/λ. Conviene aclarar que la ranura debe ser excitada acústicamente por medio de algún sistema. En el caso de que tal ranura sea una franja o cinta elemental, de tal forma que ésta se montase en una pantalla infinita, podríamos asimilar esto al caso de la columna sonora. 8. Directividad de un altavoz. Modelo del pistón El estudio que hasta el momento hemos realizado, se ha centrado en la esfera pulsante o foco puntual elemental, por considerar que un radiador rea1 está en esencia constituido por una agrupación elevada de focos de esta naturaleza. La forma usual de radiadores es la de una superficie plana o curva cuyos puntos o elementos superficiales vibran con amplitudes iguales o distintas en fase o desfasadas. Así tenemos los pistones, placas y membranas como ejemplos típicos de elementos radiantes radiales y de los que haremos un somero comentario. Un pistón es una superficie cuyos puntos se mueven todos con igual amplitud frecuencia, fase y dirección. Ordinariamente el pistón es plano y circular y puede ir montado en un “bafle” (pantalla) o en un tubo, etc., dando lugar a características directivas distintas según el montaje adoptado. Las velocidades de los puntos de la superficie del pistón son iguales y normales a la superficie del pistón. En algunos casos particulares el pistón puede no ser plano, si bien, puede asimilarse como tal si la dimensión máxima de separación de los puntos de su superficie en la dirección de la velocidad es pequeña respecto a la longitud de onda, d < /10 (figura 16)
Pantalla
PistónF
λ/10
Pantalla
35
Figura 16 Las placas constituyen elementos que presentan cierta elasticidad al ser dobladas. Esto da lugar a que una vibración introducida en un punto de su superficie se propague en todas las direcciones reflejándose en los puntos de apoyo y se formen, por lo tanto, ondas estacionarias en su seno con los correspondientes nodos y vientres. Puesto que los distintos elementos que componen la placa se encuentran en estados vibratorios aleatorios, el estudio de las características direccionales de las placas es muy complejo. Las membranas están constituidas por materiales que tienen cierta resistencia a la tracción pero no a la flexión. La velocidad de propagación de la perturbación en placas y membranas depende, de la tensión mecánica aplicada a éstas, así como del módulo de elasticidad del material del cual están constituidas. En el curso en que nos encontramos supondremos que todos los puntos de las placas presentan el mismo estado de vibración y por tanto se asimilan a un pistón. Para predecir el comportamiento directivo de un altavoz, se recurre a tres modelos:
• Pistón montado en pantalla infinita • Pistón montado en el extremo de un tubo • Pistón radiando libremente
Pistón montado en pantalla infinita En la figura 17 se muestra un pistón de radio a montado en una pantalla indefinida y por lo tanto radiando en un semiespacio. Se demuestra que la presión p que provoca en un punto P del semiespacio considerado nos viene dado por:
θθ
πρ= −ω
senka
)senka(J2e
r2
ckUj)t,r(p 1)krt(joomax
siendo:
Uomax = Velocidad volumétrica máxima de la superficie del pistón, 20,max oU a uπ=
uo = Amplitud de velocidad de cada uno de los puntos del pistón.
oρ = Densidad del medio
c = Velocidad de propagación de la perturbación k = Constante de fase J1(kasenθ) = Función de Bessel de orden 1 de (kasenθ)
θ
rPantallainfinita
2a
p
Figura 17: Pistón montado sobre pantalla infinita
36
La función de Bessel 1( )J x con x kasenθ= , viene dada por:
+
+
−= ...2
x
!3!2
1
2
x
!2
11
2
x)x(J
42
1
Se puede observar que 2J1(x)/x = 1 para x = 0, y x es igual a 0 para 0º 2kθ π= + El máximo valor que puede tomar la presión es, por consiguiente, el módulo de esa expresión, y por lo tanto la expresión de la directividad es:
x
)x(J2
senka
)senka(J2D 11 =
θθ=
En la tabla 2 se reflejan los valores tabulados de 2J1(x)/x para el cálculo de de la directividad,D. En la tabla 3 aparecen los primeros ceros de dicha relación. En la figura 18 se representan distintos diagramas de directividad para diferentes valores de k a.
-30
-20
-10
0
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
k·a=1
-30
-20
-10
0
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
k·a=4
-30
-20
-10
0
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
k·a=10
-30
-20
-10
0
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
k·a=15
Figura 18: Directividad del pistón en pantalla infinita en escala logarítmica para distintos valores de ka
. Puesto que la directividad viene dada por:
+
+
−= ...2
x
!3!2
1
2
x
!2
11
2
x)x(J
42
1
con:
37
x kasenθ=
Se pueden realizar los siguientes comentarios: 1º- En bajas frecuencias en las que se cumpla que k a << l, la directividad vale 1. Por lo tanto la radiación es omnidireccional en el semiespacio en el cual radia. Esto también ocurre cuando el diámetro del pistón es muy pequeño. 2º- Al crecer la frecuencia o su diámetro, la directividad, D, se hace más acusada. 3º- Si la frecuencia es lo suficientemente elevada para anularse
1( )J kasenθ aparecen
direcciones de presión nula seguida de lóbulos secundarios.
x kasenθ= x 2J1(x)/x x 2J1(x)/x x 2J1(x)/x 0 1 5.4000 -0.1279 10.8000 -0.0263
0.2000 0.9950 5.6000 -0.1194 11.0000 -0.0321 0.4000 0.9801 5.8000 -0.1073 11.2000 -0.0364 0.6000 0.9557 6.0000 -0.0922 11.4000 -0.0390 0.8000 0.9221 6.2000 -0.0751 11.6000 -0.0400 1.0000 0.8801 6.4000 -0.0568 11.8000 -0.0394 1.2000 0.8305 6.6000 -0.0379 12.0000 -0.0372 1.4000 0.7742 6.8000 -0.0192 12.2000 -0.0338 1.6000 0.7124 7.0000 -0.0013 12.4000 -0.0291 1.8000 0.6461 7.2000 0.0151 12.6000 -0.0236 2.0000 0.5767 7.4000 0.0296 12.8000 -0.0174 2.2000 0.5054 7.6000 0.0419 13.0000 -0.0108 2.4000 0.4335 7.8000 0.0516 13.2000 -0.0041 2.6000 0.3622 8.0000 0.0587 13.4000 0.0025 2.8000 0.2926 8.2000 0.0629 13.6000 0.0087 3.0000 0.2260 8.4000 0.0645 13.8000 0.0143 3.2000 0.1633 8.6000 0.0634 14.0000 0.0191 3.4000 0.1054 8.8000 0.0600 14.2000 0.0229 3.6000 0.0530 9.0000 0.0545 14.4000 0.0257 3.8000 0.0067 9.2000 0.0473 14.6000 0.0274 4.0000 -0.0330 9.4000 0.0386 14.8000 0.0279 4.2000 -0.0660 9.6000 0.0291 15.0000 0.0273 4.4000 -0.0922 9.8000 0.0189 15.2000 0.0257 4.6000 -0.1115 10.0000 0.0087 15.4000 0.0232 4.8000 -0.1244 10.2000 -0.0013 15.6000 0.0198 5.0000 -0.1310 10.4000 -0.0107 15.8000 0.0158 5.2000 -0.1320 10.6000 -0.0191 16.0000 0.0113
Tabla 2
Ceros de 2J1(x)/x
3.83
7.02
10.15
38
13.15
0.9221
Tabla 3
El caso estudiado se corresponde al de un altavoz montado en una pantalla infinita, pues el diafragma de un altavoz puede considerarse como un pistón elemental tal y como se verá más adelante. La pantalla infinita puede asimilarse, en la práctica a una pared. De lo comentado se desprende el interés que presenta este estudio para poder generalizarlo a casos eminentemente prácticos. Pistón montado en el extremo de un tubo En la figura 19 se muestra este segundo caso. En ella puede observarse que el pistón radia en todo el espacio, existiendo, como es lógico, fenómenos de difracción en el extremo radiante del tubo.
θ
Pistón
Tubo
Figura 19: Pistón montado en el extremo de un tubo
Este caso se nos plantea cuando el pistón está situado en la pared de una caja cerrada con paredes forradas de materiales absorbentes que impidan reflexiones y ondas estacionarias dentro de la cavidad. También en el caso de que el pistón radie por medio de una bocina en cuya boca se supone que existe un diafragma o pistón ideal sin masa. El cálculo de la directividad para este caso resulta complicado y es por esta razón por la que se suelen dar las curvas de directividad. Pistón radiando libremente El pistón puede estar radiando libremente, es decir, sin pantalla o sin tubo, y en este caso por supuesto radia a todo el espacio produciendo por una cara una radiación en oposición de fase con la que produce la otra. Estamos en presencia de un dipolo acústico y la directividad será similar a la del dipolo.
