TEMA 12. DETAŞAREA SUPRAFEŢELOR

Detaşarea unei suprafeţe este operaţia prin care se separă o suprafaţă impusă "s" dintr-o suprafaţă mai mare cunoscută "S" în anumite condiţii date.

Problema se reduce la determinarea elementelor care definesc dreapta de detaşare (coordonatele extremităţilor ei sau direcţia şi lungimea ei).Prin detaşare se rezolvă următoarele condiţii:

- condiţia de suprafaţă (s - suprafaţa exactă impusă a fi detaşată din S)- condiţia de detaşare (se indică direcţia şi punctul prin care trebuie să treacă linia de detaşare)

Situaţii frecvente:- dreapta de detaşare să treacă printr-un punct dat, situat pe conturul suprafeţei, in interiorul

sau în exteriorul acesteia;- dreapta de detaşare să fie paralelă sau perpendiculară la o latură a conturului suprafeţei, sau

la o direcţie oarecare (detaşare "paralelă" sau "perpendiculară");- detaşarea să fie făcută astfel încât să se respecte un raport de proporţionalitate impus

(detaşare "proporţională").Partea tehnică a detaşării comportă întocmirea proiectului de parcelare (calcule de birou) şi

aplicarea acestuia pe teren.La birou se execută:

- determinarea suprafeţelor;- calculul elementelor necesare rezolvării detaşării (coordonate, unghiuri, distanţe);- efectuarea detaşării propriu-zise.

Metode folosite:1. numerice

a) rezolvare analitică (reducere la calculul unui punct pe segment)b) rezolvare trigonometrică (reducere la metoda radierii sau la intersecţie înainte - cu

avantaj la aplicarea pe teren)2. grafice - pentru suprafeţe mici, cu formă regulată, pe planuri precise la

scări mari.Alegerea metodelor se face în funcţie de precizia cerută la aplicarea proiectului pe teren.

12.a. Detaşarea suprafeţelor printr-o dreaptă care trebuie să treacă printr-un punct obligat

12.a.l. Punctul obligat este un vârf al conturului suprafeţeiDetaşarea în triunghi

Procedeul analiticDate:

A, B,C (Xi,Yi); SABC=S; s - suprafaţa care se detaşează; dreapta de detaşare să treacă prin B.

Se cere: M (XM,YM) a. î. SAMB = s.

1

Figura 12.1. Detaşarea în triunghi (punct obligat vârf al triunghiului) - analitic

;

Procedeul trigonometric- se calculează din coordonate DAB, θAB, θAc;

- se determină

- se face diferenţa orientărilor:

- se calculează

- se calculează

Procedeul grafic

2

Figura 12.2 Detaşarea în triunghi (punct obligat vîrf al triunghiului) – grafic- se măsoară grafic DAB pe plan;

- se determină

- se reduce h la scara planului şi se aplică pe o perpendiculară ridicată pe dreapta AB într-un punct oarecare;

- prin extremitatea lui h se duce o paralelă la AB care va intersecta pe AC în M;- se uneşte M cu B => s a fost detaşată.

Detaşarea într-un patrulater sau poligon oarecareCazul patrulateruluiDate:

A, B,C, D (Xi,Yi); s - suprafaţa care se detaşează din ABCD; dreapta de detaşare să treacă prin B.

Se cere: M (XM,YM) a. î. SAMB = s

3

Figura 12.3. Detaşarea în patrulater (punct obligat un vârf) – analiticSe reduce la detaşarea lui s din ΔABD.Cazul poligonuluiDate:

A, B,C, D, E, F (Xi,Yi); s - suprafaţa care se detaşează din ABCDEF; dreapta de detaşare să treacă prin C.

Se cere: M (XM,YM) a. î. SAMCB= s

Figura 12.4. Detaşarea în poligon (punct obligat un vârf) - analitic- s = SABCM;- se calculează SABC;- se calculează Δs = s – SABC

- Δs se detaşează din ΔACF.

4

12.a.2. Punctul obligat se găseşte pe o latură a conturului suprafeţeiDetaşarea în triunghi

Date: A, B,C (Xi,Yi); N şiAB s - suprafaţa care se detaşează; dreapta de detaşare să treacă prin N.

Se cere: M (XM,YM) a. î. SAMN = s

Figura 12.5. Detaşarea în triunghi (punct obligat pe latură) - analiticSe uneşte N cu C, iar problema se reduce la cazul precedent 8.a.l.Procedeul trigonometric - analogProcedeul grafic – analogDetaşarea într-un patrulater sau poligon oarecareCazul patrulateruluiDate:

A, B,C, D (Xi,Yi); NϵAB s - suprafaţa care se detaşează din ABCD; dreapta de detaşare să treacă prin N.

Se cere: M (XM,YM) a. î. SAMN = s

5

Figura 12.6. Detaşarea în patrulater (punct obligat pe latură) - analiticSe reduce la detaşarea lui s din ΔAND.Cazul poligonuluiDate:

A, B,C, D, E, F (Xi,Yi); s - suprafaţa care se detaşează din ABCDEF; N şi AB dreapta de detaşare să treacă prin N.

Se cere: M (XM,YM) a. î. SABMN = s

Detaşarea suprafeţei s se reduce la detaşarea suprafeţei Δs din ΔANF.Observaţie:Pe teren, pentru toate cazurile prezentate se va trasa punctul M prin aplicarea distanţei d din

punctul A . "d" se calculează din coordonate, ca la procedeul trigonometric sau se determină grafic.

12.a.3. Punctul obligat se găseşte în afara conturului suprafeţei Detaşarea în triunghiProcedeul analiticDate:

A, B,C (Xi,Yi), un triunghi; D (X, Y) un punct exterior triunghiului; s - suprafaţa care se detaşează din ΔABC; dreapta de detaşare să treacă prin D,

Se cere: M (XM,YM) şi N (XN,YN) a. î. SAMN = s

6

Figura 12.7 Detaşarea în triunghi (punct obligat în afara conturului) – analiticSe aplică formulele de la punct pe segment:

şi M

Notaţii: cu ρ1 ρ2 necunoscute.

(17)

(18)

Dar:

(19)

(20)

înlocuind relaţia (19) în (20) =>

(21)

Din relaţia (17) se scade relaţia (18) => s

; (22)

Relația (21) se egalează cu (22) şi se obţine:

(23)

Se scoate ρ1 în funcţie de ρ2:

7

(24)

Se scoate ρ2 în funcţie de ρ1:

(25)

Înlocuind pe rând relaţiile (24) şi (25) în (21), se obţine:

(26)

Se grupează termenii după necunoscutele ρ1 şi ρ2:

(26`)

(27)

(28)

Valorile obţinute pentru ρ1 şi ρ2 înlocuite în relaţiile de la punct pe segment fac posibilă determinarea coordonatelor punctelor M şi N.Verificare: Samn din coordonate trebuie să fie egală cu s dată.Procedeul graficPentru rezolvarea pe cale grafică a problemei se procedează astfel:

- se duce prin D o dreaptă care să determine în AABC suprafaţa s = SAM’N’

- se determină această suprafaţă pe cale grafică;- se calculează diferenţa Δs'=s-s';- cu baza M'N' se calculează înălţimea h, care corespunde diferenţei de suprafaţă Δs,

considerată ca fiind un dreptunghi;- pe o perpendiculară pe M'N' se aplică valoarea lui h redusă la scara planului;- prin extremitatea lui h se duce o paralelă la M'N', rezultând punctele M" şi N";- se alege punctul N1 astfel încât să realizeze o compensare a suprafeţei cedate cu cea primită

(zonele haşurate);- se uneşte D cu N1;- se determină grafic aria suprafeţei detaşate şi se compară cu s dat iniţial;- dacă diferenţa dintre ele se încadrează în toleranţa T = s/200, se consideră problema

rezolvată;- dacă diferenţa este mai mare decât toleranţa, operaţiile descrise mai sus se repetă până când

condiţia este îndeplinită.

8

Figura 12.8. Detaşarea în triunghi (punct obligat în afara conturului) – grafic12.b. Formula generală a detaşărilor "proporţionale", "paralele" şi "perpendiculare"- procedeul analitic

Pentru deducerea formulei generale a detaşărilor specificate, se va considera patrulaterul oarecare ABCD, din care se va detaşa o suprafaţă s, printr-o dreaptă oarecare.

Figura 12.9. Detaşări particulare în patrulater – formula generalăCoordonatele punctelor M şi N care definesc poziţia dreptei de detaşare se vor determina

aplicând relaţiile de la punct pe segment, astfel:

M ;

Rapoartele ρ1 şi ρ2 sunt necunoscute, ele putând fi exprimate sub forma:

9

(29)

din care rezultă:

(30)

Pentru obţinerea formulei generale, se exprimă suprafaţa s care trebuie detaşată ca o sumă de suprafeţe, ţinând cont şi de relaţiile de mai sus:

(31)

La rândul său, suprafaţa necunoscută SANMD poate fi exprimată astfel:

(32)

Ţinând seama de relaţiile de mai sus, rezultă:

(33)

Ca urmare, relaţia (31) devine:

(34)

Cu notaţiile:

(35)

relaţia (34) devine:

(36)

Relaţia (3.36) reprezintă formula generală a detaşărilor şi permite calculul rapoartelor necunoscute ρ1 şi ρ2 prin particularizarea ei pentru flecare detaşare în parte.

12.C. Detaşări "proporţionale"Cazul patrulaterului

La detaşările proporţionale dreapta de detaşare împarte laturile neadiacente ale patrulaterului în acelaşi raport, deci:

(37)

Ca urmare, formula generală a detaşărilor va fi:

(38)

Notând paranteza (A+B)=G, relaţia (38) devine:

(39)

Se rezolvă ecuaţia (39) şi rezultă:

(40)

În cazul în care laturile neadiacente ale patrulaterului tind către paralelism, suprafaţa E tinde către zero, deci ρ nu poate fi calculat. În acest caz, se determină valoarea l/ρ, şi în acest scop se

împarte relaţia (39) cu valoarea , rezultând:

, deci

10

(41)

Valorile care au fost obţinute cu relaţiile (40) sau (41) se introduc în formulele de calcul de la punct pe segment pentru obţinerea coordonatelor punctelor M şi N care definesc dreapta de detaşare.Cazul poligonului

Detaşarea proporţională într-un poligon se reduce la detaşarea proporţională într-un patrulater. Acest lucru este valabil nu numai pentru poligoane simple, ci şi pentru poligoane complexe ca în figura de mai jos.

Figura 12.9. Detaşarea proporţională în poligonCând se cere să se detaşeze o suprafaţă s prin detaşare "proporţională", se va împărţi

poligonul complex într-o serie de patrulatere, urmând ca linia frântă de detaşare să împartă laturile fiecărui patrulater în acelaşi raport.

Scriind formula generală a detaşărilor pentru flecare patrulater, se obţine:

de unde rezultă valoarea raportului necunoscut p sau l/ρ , cu relaţiile:

În cazul când pe o parte a poligonului este un număr mai mare de vârfuri decât pe cealaltă parte, atunci se va considera o serie de puncte arbitrare (vezi figura de mai sus - 4',2'), care să permită formarea unor patrulatere în care să se aplice formula generală a detaşărilor.

Valorile obţinute cu relaţiile anterioare se vor introduce în relaţiile de la punct pe segment pentru obţinerea coordonatelor punctelor a, b, c, d, e care definesc poziţiile dreptelor de detaşare în fiecare patrulater.

11

12.d. Detaşări "paralele"La detaşările paralele, dreapta de detaşare este paralelă cu o latură a conturului suprafeţei şi,

ca urmare, se va face particularizarea:

(42)

Se va considera cazul general al unui poligon oarecare şi se va scrie formula generală a detaşărilor ţinând seama de (42):

a) în funcţie de ρ1

(43)

Dacă laturile neadiacente ale patrulaterului tind spre paralelism, deci suprafaţa notată cu E tinde către zero, se va determina raportul 1 / ρ1 , din ecuaţia (43) împărţită cu ρ1

2.

b) în funcție de ρ2

(44)

Dacă laturile neadiacente ale patrulaterului tind spre paralelism, deci suprafaţa notată cu E tinde către zero, se va determina raportul 1 / ρ2, din ecuaţia (43) împărţită cu ρ2

2.

Valorile astfel obţinute pentru p se introduc în relaţiile de la punct pe segment pentru obţinerea coordonatelor punctelor M şi N, care definesc poziţia dreptei de detaşare.12.d.1. Detaşarea "paralelă"în trapez - analiticParticularizări:

A = B şi

Dacă laturile neadiacente converg, se ia pentru p soluţia cu semnul în faţa radicalului, iar pentru 1 / ρ semnul"+" în faţa radicalului.14.d.2. Detaşarea "paralelă" în triunghi - analiticDetaşarea de la vârf spre bază

12

Figura 12.10. Detaşarea paralelă în triunghi de la vârf spre bază – analiticParticularizări:

A = 0; B = 0; E = -S și

Înlocuind în formula generală a detaşărilor, rezultă:

Detaşarea de la bază spre vârf

Figura 12.11. Detaşarea paralelă în triunghi de la bază spre vîrf – analiticParticularizări:

A = S; B = S; E = S şi

Înlocuind în formula generală a detaşărilor, rezultă:

Coordonatele punctelor M şi N se calculează cu relaţiile de la punct pe segment.

Detaşarea "paralelă" în serie - de la bază spre vârf

13

Figura 12.12. Detaşarea paralelă în triunghi în serie de la bază spre vârf – analiticSe cere să se detaşeze de mai multe ori suprafaţa s dintr-un triunghi prin drepte paralele cu

baza lui.Pentru ρ se folosesc aceleaşi relaţii, schimbându-se s.

Coordonatele punctelor 1, 1', 2, 2', 3, …., se calculează cu relaţiile de la punct pe segment.Pe teren, dreapta MN este determinată mai uşor prin distanţe măsurate de-a lungul laturilor

conturului suprafeţei, de la un vârf al conturului la punctele M şi N. Distanţele se determină din coordonate.

12. d.3. Detaşarea "paralelă" în triunghi - trigonometricDetaşarea de la vârf spre bază

Date: A, B, C (Xi;Yi) coordonatele vârfurilor triunghiului ABC; s - suprafaţa impusă detaşării; MN // AC.

Se cer: M, N (Xi,Yi); c1, a1, b1, h1 - elemente de detaşare.

14

Figura 12.3. Detaşarea paralelă în triunghi de la vârf spre bază – trigonometricSe determină din coordonate orientările: θAB, θAC, θCB, apoi unghiurile  şi Ĉ: = θAB - θAC

Ĉ = θCA - θCB.Din ΔMNB rezultă:

15