tema 2

ANEJO TEMA 02 CAPA LÍMITE HIDRÁULICA FJPL

1

1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA.

Como se conoce de temas anteriores la viscosidad es una propiedad inherente de

los fluidos, así la viscosidad es el parámetro del fluido que controla el transporte de la

cantidad de movimiento en el fluido; determina la relación entre el esfuerzo o tensión

local en un fluido en movimiento con la velocidad con que se produce la deformación

del fluido, a lo que se denomina proceso de fluir.

Para flujos muy ordenados en los cuales las partículas se mueven en trayectorias

rectas y paralelas, Newton enunció lo que se denomina la ley de Newton de la

viscosidad: “el esfuerzo cortante en cualquier entrefase tangente a la dirección del flujo

es proporcional a la variación de la velocidad en la dirección normal al movimiento”:

( = dv/dy);

Durante el siglo XVIII se propusieron soluciones a flujos en los que se

despreciaba la viscosidad. Estas teorías eran útiles para describir el movimiento de los

fluidos en regiones del flujo para las cuales los gradientes de velocidad eran pequeños,

pero estaban en completa contradicción con la experimentación en cuanto a las fuerzas

que se oponían al movimiento, es decir, fuerzas de arrastre sobre los cuerpos. Las

consideraciones de flujos no viscosos llegaban a la conclusión de que el arrastre de un

cuerpo al moverse a través de un fluido era nulo (paradoja de d’Alembert); así como

eran incapaces de determinar las fuerzas perpendiculares al flujo (sustentación).

Si un cuerpo se moviera en el vacío a en el seno de un fluido no viscoso ( = 0),

la resistencia sería nula ( = dv/dy); por lo que el desplazamiento del cuerpo no

consumiría energía.

Siendo el aire y el agua fluidos poco viscosos, puede parecer lógico que ofrezcan

poca resistencia al cuerpo (avión o submarino, por ejemplo). Sin embargo esto no

sucede puesto que la resistencia es grande. La explicación a esta aparente contradicción

la dio el profesor alemán Ludwig Prandtl (1875-1953) que desarrolló en 1904, su teoría

de la capa Límite.


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2.- CONCEPTO Y DEFINICIÓN DE CAPA LÍMITE.-

En 1904 Ludwing Prandtl1 publicó uno de los más importantes artículos de la

Mecánica de Fluidos, consiguiendo enlazar la teoría clásica con los resultados sobre

fricción de cuerpos sumergidos.

Prandtl introdujo el concepto de capa límite, una delgada zona de fluido cercana a la

superficie de los cuerpos, en la cual se presentan grandes variaciones de la velocidad y

donde se concentran los esfuerzos viscosos.

Descubriendo que existe una capa próxima al contorno, a veces con sólo unas

micras de espesor, en la que tiene lugar todo el gradiente de velocidad. Fuera de la

misma, el fluido se comporta como no-viscoso.

En términos generales se puede decir que, puesto que la viscosidad es bastante

pequeña en casi todos los fluidos, los esfuerzos cortantes deben ser apreciables

únicamente en las regiones en donde existan grandes gradientes de velocidad; el flujo en

otras regiones se podría describir con gran exactitud por medio de las ecuaciones para

flujo no viscoso.

Las características más sobresalientes de la capa límite pueden describirse a

través del caso del flujo sobre una superficie plana y fija, sobre la que se hace incidir

una corriente uniforme de velocidad U0 como la de figura 1. Sea una placa plana lisa, de

longitud y anchura indefinidas, moviéndose tangencialmente en el seno de un fluido a la

velocidad u.

El borde de ataque (Fig. 2) será muy afilado, en evitación de alguna

perturbación a la entrada que modifique el desarrollo de la capa límite que pretendemos

analizar.

Supongamos la placa fija y un flujo libre, o sin deslizamiento, antes de llegar a

la placa (en A, v = u = Cte. ; Fig. 6.3 a).

Figura 1. Perfiles del campo de velocidades en la capa límite (flujo en placa plana)


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Por efecto de la viscosidad, las partículas de fluido que están en contacto con

una pared se oponen a la velocidad de la pared; en nuestro caso las partículas en

contacto con la placa fija tendrán velocidad nula. En el borde de ataque (BA) de la placa

hay una discontinuidad de la velocidad, puesto que antes del borde de ataque la

velocidad es la del flujo uniforme e inmediatamente después la velocidad de las

partículas que tocan la placa es nula.

Al principio, el espesor de la capa límite es pequeño (nulo en el borde de

ataque), y el gradiente de velocidad y el esfuerzo cortante o en la pared resultan

elevados. Este esfuerzo cortante controla la tendencia a la turbulencia que todo flujo

tiene. Así, la capa limite es laminar en sus comienzos.

A partir del borde de ataque, la velocidad pasa gradualmente desde cero en la

superficie de la placa hasta el valor de flujo uniforme (U0 ) a una altura a partir de la

cual la velocidad no varia (du/dy=0) siendo esta distancia el espesor de la capa

límite; es decir la zona afectada por la viscosidad va desde la placa plana hasta el borde

de la capa límite, fuera de la capa límite es fluido, aunque sea viscoso, no tiene

intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas partículas porque el gradiente

de velocidades es nulo.


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Figura 2

En su recorrido por la placa, cada vez un mayor número de capas de fluido son

frenadas por sus vecinas, por lo que el espesor de la capa límite aumenta en el sentido

del flujo (Fig. 2). Esto, hace que el perfil de velocidades dé un gradiente de velocidad en

la pared (dv/dy)y=0 , y por tanto un o , cada vez más pequeño.

A una determinada distancia xc (longitud crítica), o, ha disminuido tanto que la

tendencia a la turbulencia no puede ser controlada, y la capa límite deja de ser laminar.

Aparece la turbulencia que agita, mezcla y provoca intercambios de cantidad de

movimiento entre las distintas láminas de la capa límite, y aumenta su espesor.

A medida que se avanza en la dirección x, más y más partículas son frenadas y por lo

tanto el espesor de la zona de influencia viscosa va aumentando, con las partículas

alineadas direccionalmente en lo que se denomina capa límite laminar, hasta que en un

cierto punto el flujo se hace inestable, dando lugar a un engrosamiento más rápido de la

capa límite acompañado de un aumento de la turbulencia, es la zona denominada capa

límite turbulenta; de todas formas, aún dentro de la región turbulenta existe una delgada

capa pegada a la superficie, en la cual las partículas están ordenadas direccionalmente

en un flujo laminar, es lo que se denomina subcapa límite laminar.

Estos intercambios promedian más las velocidades de las distintas láminas por lo

que aparece en la pared un gradiente de velocidad mucho más pronunciado (Fig. 1), ha

aparecido simultáneamente la subcapa laminar, que hace aumentar bruscamente el

esfuerzo cortante, o , en la misma. Más lejos aún del borde de ataque, el flujo sigue

frenándose, o disminuye y con él el gradiente de velocidad, y el espesor de la capa

límite aumenta. En placa plana, o disminuye indefinidamente, y la curva o = o (x)

(Fig. 1), resulta asíntota al eje x.


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En cuanto al esfuerzo cortante (), en un determinado punto de la placa, varía en

las distintas láminas desde un valor máximo o en la pared hasta un valor prácticamente

nulo en la frontera (C, Fig. 1).

En principio podría pensarse que el aumento de o en, la zona de capa límite

turbulenta es debido no sólo al aumento del gradiente de velocidad en la pared,

(dv/dy)y=0 , sino también a la presencia de la viscosidad de turbulencia, :

oy

dy

dv

0

Sin embargo, no siempre es así. El intercambio de cantidades de movimiento, o

agitación del flujo, no llega a la pared; por lo que existirá en la zona de capa limite

turbulenta una subcapa laminar (s , Fig. 1), en la que = 0. Puede ocurrir:

a) pared lisa (considerada como tal cuando su rugosidad queda cubierta por la

subcapa laminar): ningún punto de la misma queda afectado por la viscosidad de

turbulencia; en cuyo caso,

oydy

dv

0

b) pared rugosa (cuando su rugosidad emerge de la subcapa laminar en mayor o

mayor grado): las protuberancias que sobresalen de la subcapa sí quedan afectadas por

la viscosidad de turbulencia.

Como experimentalmente es difícil situar el punto en donde se anula el gradiente

de velocidad, se suele definir el espesor de la capa límite, como la distancia desde el

punto de contacto con la placa plana al punto vertical para el cual la velocidad es el 99%

de la velocidad de flujo uniforme:

Puesto que v = u (ó v/u = 1) cuando y = no podría establecerse el espesor de la

capa límite, a menos que se fije un valor de v/u algo inferior a la unidad. Se acostumbra

a elegir como espesor el valor para el cual v/u = 0,99

= y / u(y) = 0,99 U0 (2)


6

Prandtl estableció las ecuaciones para el flujo en la capa límite laminar, a partir de las

ecuaciones de Navier-Stokes, con las siguientes hipótesis: el espesor de la capa límite es

pequeño en comparación con otras dimensiones geométricas, el flujo es estacionario y

bidimensional, y la presión es constante a través de cualquier sección transversal.

Un discípulo de Prandtl, Blasius, resolvió analíticamente las ecuaciones para la capa

límite laminar sobre una placa plana sin gradiente de presión ( p/x 0), obteniendo

una expresión del espesor de la capa límite en la zona laminar, que se adapta bastante

bien a los resultados obtenidos de forma experimental:

x

x

Re

·91.4

En donde Rex es el número de Reynolds asociado a la distancia x desde el borde de

ataque a la sección considerada:

xuox

·Re

Cuando el espesor de la capa límite es pequeño, las laminas de fluido dentro de

la misma pasan muy rápidamente de una velocidad nula en la pared hasta prácticamente

el valor u en la frontera: las láminas más próximas a la pared deslizan mucho; o lo que

es igual, la velocidad de deformación en ella, (dv/dy)v=o, es muy grande. Así, aunque

sea pequeño, el esfuerzo cortante en la pared o puede resultar muy elevado.

0

0

ydy

dv

Conviene señalar que el tema de capa límite sólo afecta a flujos subsónicos, en

los que la resistencia se debe a efectos viscosos. En movimientos supersónicos, la

resistencia se debe a efectos de compresibilidad, o fuerzas elásticas.

3.- ESTABILIZACIÓN DE LA CAPA LÍMITE EN FLUJOS INTERNOS

A la entrada de un conducto la capa límite se desarrolla de forma similar

a la contemplada anteriormente de una placa plana, en un flujo interno es como si

estuviese entre dos placas, y se estabiliza cuando todo el flujo queda dentro de la capa

límite, es decir, a partir del punto en que se produzca la unión de ambas capas límite.


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Si dichas capas se unen en régimen laminar, el flujo a partir de la unión será

también laminar, y si se unen en régimen turbulento será turbulento con su

correspondiente subcapa laminar en cada placa.

Figura 3

En el primer caso la velocidad está repartida primeramente de una forma uniforme en

toda la sección pero, inmediatamente se organiza una capa límite laminar, cuyo espesor

nulo al principio de la tubería, va creciendo hasta llenar totalmente el conducto partir de

una cierta sección situada a una distancia L´ de la entrada, el núcleo central con

velocidades uniformes desaparece al llegar a B y a partir de aquí la distribución de

velocidades es parabólica.

En el caso de régimen turbulento el fluido entra con una velocidad

sensiblemente uniforme. A partir de la entrada, las partículas de fluido próximas a la

pared de la tubería se adhieren a ésta y el efecto de retraso que resulta de ello provoca la

aparición de la capa límite, esta es primeramente laminar y su espesor aumenta

gradualmente hasta un valor en que se hace inestable, desarrollándose entonces una

capa turbulenta hasta casi las mismas paredes de la tubería en que se organiza una capa

sublaminar. Se establece así una configuración permanente a lo largo de la tubería y el

régimen está dinámicamente establecido.

Este tipo de régimen es el que se establece normalmente en las tuberías industriales, de

ahí el interés que tiene el estudio de las pérdidas de carga provocadas por la turbulencia

del mismo y que son distintas de las del régimen laminar por la configuración distinta

de éste.


8

Figura 4

Tomando como referencia la figura anterior podemos decir que debido a que el

gradiente de velocidad por definición está dentro de la capa límite y a la entrada su

espesor prácticamente nulo, las láminas de flujo quedan sin dicho gradiente, es decir, no

hay efectos viscosos.

Observamos en ambos casos, laminar y turbulento, que es en el punto B en el

que las velocidades consiguen el perfil desarrollado. También B es donde el núcleo no

viscoso alcanza su velocidad máxima, ya que, es entre las capas límite donde resulta

acelerado.

En el caso del régimen turbulento el esfuerzo cortante T en la placa disminuye

en el tramo AC, aumente en el punto C al entrar en la turbulencia y disminuye hasta el

punto B. Lo mismo ocurre con el espesor E de la subcapa laminar.

En el punto B, para régimen laminar y régimen turbulento, el esfuerzo constante

y el espesor tendrán un valor definido que permanecerá constante mientras no

cambien las características de la conducción y el régimen del flujo permanezca

uniforme.

Si la conducción es circular, la longitud, L en la figura, dependerá del diámetro,

la velocidad de flujo y la viscosidad del fluido: L´ = L´ (D, v, ) = L´ (D, v,,)

Y en forma adimensional: L/D = f( D · v / ) = f(Re )

· Régimen laminar: L´/D 0.058 Re

· Régimen turbulento, debido a que la capa límite crece más rápido, L resulta

algo menor:

L´/D 4.4 Re


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ANEXO:

I.- DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA LÍMITE.

Consideramos un flujo en el cual la presión que varia en la dirección del flujo no es constante con lo que se puede afectar en forma muy grande el comportamiento del fluido.

Considérese el flujo sobre una superficie curva como la ilustrada en la Fig. 6 (En cualquier punto, el radio de curvatura es grande en comparación con el espesor de la capa de límite.) Al desviarse el fluido alrededor de la superficie, éste se acelera sobre la sección del lado izquierdo hasta que en el punto C, la velocidad apenas fuera de la capa de límite alcanza un máximo. En este punto la presión es mínima, como lo muestra la gráfica abajo de la superficie. Así, de A a C, el gradiente de presión p/x es negativo y la fuerza neta de presión que se ejerce sobre un elemento en la capa de límite, tiene dirección hacia adelante. De un gradiente de presión como éste, se dice que es favorable: éste contrarresta hasta cierto grado el efecto de "retardación" del límite sobre el fluido y, por lo tanto, el régimen bajo el cual engruesa la capa de límite, es menor que aquel para una placa plana con gradiente de presión cero (a un valor correspondiente de Rex).

Sin embargo, más allá de C, aumenta la presión y, por lo tanto, la fuerza neta de presión sobre un elemento en la capa de límite, se opone al flujo hacia adelante. Aunque el gradiente de presión p/x tiene prácticamente el mismo valor a través de la sección transversal de la capa de límite, su efecto más significativo se realiza sobre el fluido más cercano a la superficie. Esto se debe a que ahí el fluido tiene menos cantidad de movimiento que el fluido más alejado y, por lo tanto, cuando su cantidad de movimiento se reduce aún más por la fuerza neta de presión, pronto es llevado al reposo. Entonces, el valor de u/y en la superficie, es de cero en el punto D. Más corriente abajo, por ejemplo, en el punto E, el flujo cercano a la superficie ha sido realmente invertido. El fluido, ya incapaz de seguir el contorno de la superficie, se separa de ésta. Esta separación antes que se alcance el extremo de la superficie, recibe el nombre de separación y ésta ocurre primero en el punto de separación en donde (u/y)y=0 se hace cero. La separación se causa por la reducción de velocidad en la capa de límite, combinada con un gradiente de presión positivo (al que se conoce como gradiente de presión adverso, ya que se opone al flujo). Por lo anterior, la separación sólo puede ocurrir cuando existe un gradiente de presión adverso; el flujo sobre una placa plana con gradiente de presión cero o negativo, no se separará nunca antes de alcanzar el extremo de la placa, sin importar qué tan larga sea ésta. (En un fluido ideal, nunca ocurriría la separación desde una superficie continua, aun cuando existiera un gradiente de presión positivo, porque no habría fricción para producir una capa de límite a lo largo de la superficie.)

FIGURA 6


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La línea de velocidad cero que divide a los flujos hacia adelante e inverso, deja a la superficie en el punto de separación, y se le conoce como la línea de corriente de separación. Como resultado del flujo inverso, se forman grandes remolinos irregulares en los cuales se disipa como calor una gran cantidad de energía. La capa de límite separada tiende a enrollarse en el flujo inverso, y la región de flujo perturbado por lo general se extiende a cierta distancia corriente abajo. Ya que la energía de los remolinos se disipa como calor, la presión corriente abajo permanece aproximadamente igual a la existente en el punto de separación.

La separación ocurre tanto en las capas de límite laminares como en las turbulentas, y por las mismas razones, pero las capas laminares son mucho más propensas a la separación que las turbulentas. Esto se debe a que en una capa laminar, es menos rápido el aumento de velocidad con la distancia a partir de la super-ficie y el gradiente de presión adverso puede detener con mayor facilidad el fluido que se mueve lentamente cerca de la superficie. Una capa turbulenta puede subsistir bajo un gradiente de presión adverso por cierta distancia antes de separarse. Sin embargo, para cualquier capa de límite, cuanto más grande sea el gradiente de presión adverso, tanto más pronto ocurrirá la separación. La capa engruesa con rapidez en un gradiente de presión adverso, y deja de ser válida la suposición de que a es pequeña.

Por supuesto, no se necesita que una superficie sea curva para producir un gradiente de presión. Por ejemplo, se encuentra un gradiente de presión adverso en un difusor y el mismo es causa de la separación que ocurre ahí a menos que el ángulo de divergencia sea muy pequeño.

La separación en el límite afecta en grande al flujo como un total. En particular, la formación de una estela de fluido perturbado corriente abajo, en la cual la presión es casi constante, altera radicalmente el patrón de flujo. Entonces, el límite efectivo del flujo no es ya la superficie sólida, sino una forma desconocida que incluye la zona de separación. Debido al cambio en el patrón de flujo se puede alterar la posición de presión mínima y moverse el punto de separación corriente arriba de donde la presión se encontraba originalmente en un mínimo (por ejemplo, el punto C en la Fig. 6.).

Una vez que la capa laminar se ha separado del límite, se puede volver turbulenta. El mezclado de las partículas de fluido que ocurre puede, en ciertas circunstancias, hacer que la capa se reúna por sí misma al límite sólido, de modo que la zona de separación consista de una burbuja aislada sobre la superficie. Aunque ésta no es una ocurrencia común, ciertas veces se da en el borde de ataque de una superficie en la que la excesiva rugosidad causa la separación de la capa laminar, lo que se sigue por una capa turbulenta corriente abajo.

II.- ESPESORES DE LA CAPA LÍMITE

Establezcamos primero las distintas. magnitudes físicas que influyen sobre el espesor , y también sobre el espesor s de la subcapa laminar. Lógicamente son la velocidad u del flujo externo, la viscosidad ( = /) del fluido y por supuesto la distancia x al borde de ataque: = (x,,u) y s = s(x,,u)

Como existen cinco magnitudes dimensionales (, x, , , u) y tres magnitudes básicas (masa, longitud y tiempo), el problema lo transformamos en otro con dos variables adimensionales. Como interviene la viscosidad, una agrupación adimensional es el número de Reynolds: x·u/, ó ·u/ (aunque lo lógico y habitual es tomar el primero, Rex = x·u/) ya que x es dato); y como hay dos longitudes características, y x, la segunda agrupación adimensional está claro que es el cociente entre ambas (/x). En consecuencia, podemos escribir:

)(Re1 xfx

y )(Re2 x

s fx


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Figura 7

Mediante experimentación, podrían obtenerse los correspondientes valores de /x (y/o s/x) para diversos números de Reynolds Rex, que llevaríamos a un diagrama, (/x)-Rex (Fig. 7). Utilizando escalas logarítmicas nos encontraríamos con que los puntos ensayados en la zona laminar están en una recta de pendiente tg = -1/2, y los ensayados en la zona turbulenta están en otra recta de pendiente tg = -1/5. La ecuación de estas rectas es:

a) zona laminar:

91.4logRelog2

1log 101010

xx

21Re

91.4

xx

b) zona turbulenta:

377.0logRelog5

1log 101010

xx

51Re

377.0

xx

En el contorno plano de la Figura, el flujo no sufre gradiente de presión a lo largo de la placa; en cuyo caso, el paso de capa límite laminar a turbulenta tiene lugar cuando Rexc ~ 5·105 (Fig. 7):

5105

uxc ; 5105 u

xc

Rexc, llamado número crítico de Reynolds, tiene en realidad una valor entre 1·105 y 6·105. Para gradientes favorables de presión (flujo convergente), puede resultar considerablemente mayor que 6·105 . De la misma manera, para la subcapa laminar se llega a la expresión:

109Re

29

x

s

x


12

ESFUERZO CORTANTE EN LA PARED

Igual que el espesor de la capa límite, el esfuerzo cortante en la pared depende de las mismas magnitudes físicas, x, , u:

uxux ,,,,, 000

que también podemos transformar en un problema con solo dos variables adimensionales. Una agrupación adimensional es lógicamente Rex (Rex = x·u/); y como o tiene dimensiones de presión, el adimensional correspondiente será análogo al coeficiente de presión:

fx Cu

Re22

0

siendo Cf lo que se llama coeficiente de fricción local a la distancia x del borde de ataque. A lo largo de la longitud l (o de toda la longitud L), el valor medio de o vendría dado por la expresión:

fCful

fu

120 Re

2

siendo Cf lo que se llama coeficiente de fricción medio, o simplemente coeficiente de fricción.

Figura 8

Midiendo la resistencia, o arrastre, en distintos casos de números de Reynolds diferentes, pueden obtenerse los valores de Cf correspondientes. Llevando los resultados a un diagrama Cf -ReX, con escalas logarítmicas (Fig. 8), determinaremos unas líneas, a las que pueden buscársele expresiones matemáticas que las satisfagan. La Fig. 8 pone de manifiesto que pueden utilizarse las mismas líneas teóricas para superficies planas, perfiles de alas y cuerpos de aeronaves; aunque con la condición de que estos dos últimos resulten aerodinámicos, o sin desprendimiento de capa límite. Las expresiones matemáticas de estas curvas son:


13

(14)

(13)

(11)

a) capa límite laminar (cuando, Rel <(3 a 5) • 105:

21Re

328.1

lfC

b) capa límite turbulenta:

cuando 5·105< Re< 107: 51Re

074.0

lfC

cuando 107< Re < 109:

58.210 Relog

455.0

l

fC

Las expresiones 12 y 13 corresponden exclusivamente a la zona de turbulencia; o bien a toda la longitud l, si en el borde de ataque ponemos una rugosidad adecuada que provoque la ruptura de la capa limite laminar y ésta resulte turbulenta casi desde sus comienzos. Cuando hay un desarrollo normal de capa límite (laminar en la longitud crítica xc y turbulenta en el resto; Fig. 6.), Schlichting propone restar a las ecs. 12 y 13 el termino Cl·Rel

-1 En el que Cl depende del número crítico de Reynolds, xc·u/. Veamos la siguiente tabla:

Rexc =3·105

5·105

106 3·106

Cl = 1050 17003300

8700

En el caso usual de Re 5·105, las ecs. 12 y 13 se transformaran en las siguientes:

cuando 5·105< Rel< 107:

llfC

Re

1700

Re

074.051

cuando 107< Re < 109:

ll

fCRe

1700

Relog

455.058.2

10

(15)

(12)


14

RESISTENCIA DE SUPERFICIE La resistencia de superficie en el seno de un flujo seria, para la superficie elemental rayada:

dFr = o·dA = o·b·dx y para toda la superficie:

LbdxbFL

r ····0 00

Fr = 0 ·A

Si sustituimos el valor de 0 obtenemos: 2

···2u

ACF fr

BIBLIOGRAFÍA 1.- Mecánica de Fluidos con aplicaciones en Ingeniería. J.B. Franzini; E.J. Finnemore.. MC Graw Hill. 1999. 9ª Ed 2.- Mecánica de Fluidos Incompresibles y Turbomáquinas Hidráulicas. J. Agüera. E.C. 3.- Mecánica de Fluidos Aplicada. R.L. Mott Prentice Hall. 1996 4ª Ed. PÁGINAS WEB www.uam.es/personal_pdi/ ciencias/mrey/Material/Fluidos21.ppt batchelor.uc3m.es/iiif/cilindro.pdf

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