TEMA 2. Dualidad Del Procesado Continuo Discreto

5/11/2018 TEMA 2. Dualidad Del Procesado Continuo Discreto - slidepdf.com

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Fig. 2.1. Clasificación de señales

[2.1]

[2.2]

PROCESADO DE SEÑALCurso 2010/11

2.1. Introducción.

En el tema anterior vimos las propiedades de las señales continuas y discretas, y la relación entre ambas

en el dominio temporal cuando las señales discretas eran obtenidas mediante el muestreo de señales continuas.

Ahora estudiaremos esa misma relación pero en el dominio de la frecuencia, y completaremos el diagrama de

bloques que contiene los elementos necesarios para obtener un sistema de procesado digital de señales. Para

ello comenzaremos por revisar la herramienta matemática que nos permite obtener el espectro (componentes

en frecuencia) de una señal. Posteriormente revisaremos el teorema de muestreo en el dominio de la frecuencia

y las diferentes formas de recuperar la señal de nuevo al dominio analógico.

2.2. Análisis frecuencial de señales y sistemas. Desarrollo en Serie y Transformada de Fourier.

Para el estudio de las componentes de frecuencia de una señal estableceremos en primer lugar una

clasificación de los tipos de señales que nos podemos encontrar en función de sus propiedades en el tiempo:

Dividiremos las señales en periódicas y no periódicas (aperiódicas). Dentro de cada uno de estos tipos las

señales pueden ser de tiempo continuo o de tiempo discreto. A las señales periódicas se les llama también

señales definidas en potencia, ya que tienen energía infinita y potencia media finita. Recordemos que la energía

de una señal x(t) se obtiene como:

y, obviamente, para una señal periódica, que tiene duración infinita en el tiempo por definición, la energía será

infinita. Sin embargo la potencia media en un periodo será finita, obtenida integrando la energía en un periodo

como:

A las señales no periódicas, de duración finita en el tiempo, se les llama también señales definidas en energía,

TEMA 2. Análisis en frecuencia. Dualidad del procesado continuo - discreto.

1



[2.3]

[2.4]

[2.5]

[2.6]

[2.7]

[2.8]

ya que en este caso su energía sí será finita. Estos conceptos serán importantes cuando se estudie la forma del

teorema de Parseval para los diferentes tipos de señales.

2.2.1. Series de Fourier para señales periódicas en tiempo continuo.

Si x(t) es una señal continua, y periódica, de periodo T0=1/F0, se puede descomponer en serie de Fourier

del siguiente modo:

donde los coeficientes ck se obtienen como:

Las condiciones que debe cumplir x(t) para que esto sea así son las siguientes:

1. La señal x(t) tiene un nº finito de discontinuidades en cualquier periodo.

2. La señal x(t) tiene un nº finito de máximos y mínimos en cualquier periodo.

3. La señal es absolutamente integrable, es decir, se cumple que:

4. La señal x(t) tiene energía finita en un periodo, es decir:

El que se cumpla la condición 3 implica que también se cumple la 4, pero no al contrario. Todas las señales

periódicas de interés práctico cumplen esas condiciones. En general los coeficientes ck serán complejos, aunque

x(t) sea real.

Serie de Fourier trigonométrica.

Un caso muy interesante es cuando la señal x(t) periódica es también real (es decir, sólo toma valores

reales, no complejos). Se cumplirá que:

Es decir que los coeficientes ck y c-k son complejos conjugados, y pueden expresarse como:

lo que significa que tienen simetría Hermítica, esto es, su modulo tiene simetría par y su fase simetría impar.

Para este caso podemos obtener una forma particular del desarrollo en serie de Fourier, que llamaremos

2



desarrollo en serie trigonométrico. Para ello escribimos los coeficientes del siguiente modo:

y teniendo en cuenta la fórmula de euler:

es fácil comprobar que los valores ak y bk son:

y con ellos llegamos la serie de Fourier trigonométrica:

Existe un tercer modo de expresar esta serie de Fourier, y es tener en cuenta la siguiente relacióntrigonométrica:

que si la aplicamos a nuestro caso resulta:

donde se ha tenido en cuenta que, según las definiciones anteriores:

[2.9]

[2.10]

[2.11]

[2.12]

[2.13]

[2.14]

3



Fig. 2.2. Ejemplo de espectro de una señal continua periódica.

Espectro de una señal x(t)

La representación gráfica de los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier respecto a la frecuencia se

le llama espectro. Si representamos el módulo se llama espectro de amplitud (o simplemente espectro), y si

representamos la fase se llama espectro de fase.

Observar que para las señales periódicas los coeficientes ck están definidos solamente para frecuencias

±kAF0, es decir, sólo existen componentes en la frecuencia fundamental F0 y en sus múltiplos (armónicos). La

representación gráfica del espectro de la señal sería, por ejemplo, del estilo al mostrado en la siguiente figura:

Si x(t) es real y par, es decir, se cumple que x(t)=x(-t), el valor de bk es cero:

ya que el integrando es una función impar en t. Por tanto, para una x(t) real y par, todos los coeficientes ck son

reales, y el desarrollo en serie de fourier es la suma de los términos que incluyen los cosenos. Del mismo modo,

si x(t) es impar, es decir, x(t)=-x(-t), los que se anulan son los a k, y todos los ck serán imaginarios puros. El

desarrollo en serie de Fourier sólo tiene los términos en seno. Si x(t) no es ni par ni impar los ck serán complejos.

Densidad espectral de potencia. Teorema de Parseval para señales periódicas continuas.

Una señal periódica, de periodo T0, tiene energía infinita (al ser de duración infinita) y potencia media Px

finita, dada por la expresión:

[2.15]

[2.16]

4



[2.17]

[2.18]

Fig. 2.3. Señal cuadrada

[2.19]

Si en la expresión de la potencia media substituimos x(t) por su desarrollo en serie de Fourier obtenemos

el teorema de Parseval, resultando lo siguiente:

que nos indica que la potencia media de la señal se puede obtener también a partir de sus componentes en

frecuencia, simplemente sumando los cuadrados de los módulos de los ck.

Si a la hora de representar el espectro, en vez de representar sólo los módulos de los coeficientes c k se

representan los cuadrados de los módulos se obtiene la llamada densidad espectral de potencia, ya que el valor

de la linea de cada coeficiente, |ck|2, representa directamente la potencia del armónico kAF0.

Ejemplo 1:

Obtener la serie de Fourier de una señal periódica cuadrada, de periodo T0 y amplitud A, como la mostrada

a continuación:

Representar su espectro para un ciclo de trabajo del 50%.

Solución: aplicando la expresión [2.4] que permite obtener los ck tenemos:

que es una función sinc, discreta (como ya nos esperábamos) que sólo tiene valores para las frecuencias kAF0.

Observar también que existirán también valores de k para los que se cumpla que πkF0τ=mπ (es decir, el

argumento del seno es un múltiplo deπ

), y en ese caso el seno se anulará, indicando que el armónico kAF0 tendrápotencia 0. En nuestro caso, por ejemplo, si la señal cuadrada tiene un ciclo de trabajo del 50%, lo que significa

que Tp=2τ (ver gráfica de la señal), entonces esos valores de k serán:

5



[2.20]

Fig. 2.4. Espectro de la señal cuadrada, con ciclo de trabajo 50 %.

es decir, son los armónicos pares los que no tienen potencia. Los ck son entonces:

El espectro, gráficamente:

Como la señal x(t) es real y par podemos escribir su desarrollo en serie de Fourier como:

En la gráfica siguiente se representa cómo se va construyendo la serie de Fourier para la señal x(t), según

vamos añadiendo componentes (aumentamos k). Evidentemente, para k=4

, la serie de Fourier coincidirá conla x(t) original. Notar que sólo se muestran los valores de k impares, puesto que para los pares no existe

componente.

[2.21]

[2.22]

6



[2.23]

2.2.2. Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo continuo.

Una señal aperiódica es una señal que tiene una duración finita en el tiempo. Una forma fácil de llegar ala transformada de Fourier de una señal aperiódica es construir una periódica, repitiendo ese fragmento cada

Tp y luego hacer que Tp 64. Esta idea implica que es posible obtener el espectro de una señal aperiódica a partir

de una periódica construida de la manera anterior. En este caso el desarrollo en serie de Fourier se convierte

en transformada de Fourier, de la forma:

mientras que la obtención de la señal en el tiempo, partiendo de su transformada de Fourier es:

Fig. 2.5. Construcción de x(t) mediante los elementos de su serie de Fourier.

7


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[2.24]

[2.25]

[2.26]

[2.27]

[2.28]

[2.29]

Observar que ahora, el espectro de la señal aperiódica, X(F), es continuo al estar definido para cualquier

valor de F (y no sólo para unas determinadas frecuencias como sucedía para las señales periódicas).

Teorema de Parseval para señales aperiódicas continuas. Densidad espectral de energía.

Una señal aperiódica es una señal con energía finita (ya que tiene duración finita). El teorema de Parseval

nos indica, al igual que en el caso anterior, que la energía de la señal puede obtenerse tanto en el dominio del

tiempo como en el de la frecuencia, es decir, en este caso:

El espectro de la señal está representado por X(F), que en general tendrá valores complejos. Por otra partepodemos definir también, igual que para el caso periódico, la densidad espectral de energía, como:

que tiene el mismo sentido que antes, es decir, nos permita obtener la energía total de la señal, según el

teorema de Parseval, integrando en todo el rango de frecuencias F:

No olvidemos que el espectro X(F) de una señal tiene en general valores complejos, es decir, que puede

expresarse en forma polar como:

Al igual que antes, si la señal x(t) es real puede comprobarse fácilmente que el módulo de X(F) tiene simetría

par, y la fase tiene simetría impar, es decir, que se cumple:

Observar también que la densidad espectral de energía Sxx(F) pierde la información de fase, al elevar al

cuadrado el módulo de X(F). Eso quiere decir que la transformada inversa de Fourier necesita X(F) para poder

recuperar la señal de nuevo en el tiempo, y no Sxx(F), que para esa tarea no contiene suficiente información. Al

igual que el módulo de X(F), Sxx(F) también tiene simetría par, es decir, se cumple que Sxx(-F)=Sxx(F).

Ejemplo 2: obtener la transformada de Fourier del pulso rectangular siguiente:

8



Fig. 2.6. Pulso rectangular.

Fig. 2.7. Espectro de un pulso rectangular de anchura τ

que como se puede observar se ha obtenido truncando la señal periódica del caso anterior entre -τ/2 y τ/2.Aplicando la expresión:

Ahora se obtiene un espectro continuo en F. Gráficamente:

9


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[2.32]

Observar que los valores nulos de |X(F)| aparecen a frecuencias F= ±k/τ, k=1, 2, 3, ... Es interesante

también darse cuenta de que este espectro es la envolvente del espectro calculado en el ejemplo anterior, para

una señal continua periódica (a excepción de un factor de escala 1/Tp). En otras palabras, los coeficientes de

fourier ck de una señal cuadrada periódica, de periodo Tp y amplitud A son muestras de X(F), espectro del pulso

rectangular obtenido eligiendo sólo un periodo de la anterior, a las frecuencias kAF0=k/Tp, escalados por un

factor 1/Tp:

Tabla de transformadas de Fourier más comunes.

x(t) X(F)

10



[2.33]

Ejemplo 3. Calcular la transformada de Fourier de la exponencial x1(t)=e-atu(t)

En este caso tenemos que:

Gráficamente, su espectro de amplitud será:

Propiedades de la transformada de Fourier.

En la tabla siguiente se muestran algunas de las propiedades más importantes de la transformada de

Fourier contínua.

Operación Función Transformada de Fourier

Linealidad a1 x 1(t)+a2 x 2(t) a1 X 1(f)+a2 X 2(f)

Retardo x(t-T) X(f) e-j ωT

Cambio de escala x(at)

Conjugación x*(t) X*(-f)

Dualidad X(t) x(-f)

Fig. 2.8. Espectro de la exponencial e-at, para a=0.5

11



Traslación de frec. real

(x(t) real)

x(t)cos( ωct+θ )

Traslación de frec. Compleja X(f-f c )

Señal pasabanda

Diferenciación (j2π f)n X(f)

Integración

Convolución X 1(f)·X 2(f)

Multiplicación x1(t)·x2(t) X1(f)*X2(f)

Ejemplo 4: Calcular el espectro de la sinusoide amortiguada e-t/T·sen(ω0t) u(t), T>0

Evaluando la transformada de Fourier usando la propiedad de traslación en frecuencia real con θ=-π/2 y

teniendo en cuenta que sen(ω0t)=cos(ω0t-π/2) tenemos que:

La convolución

La operación de convolución que aparece en la tabla de propiedades de la transformada de Fourier es muy

interesante para simplificar el cálculo de la misma en algunas ocasiones y también para calcular la salida de un

sistema lineal, como veremos posteriormente. Se define del siguiente modo:

Dadas las señales x1(t) y x2(t), la convolución x3(t)=x1(t)*x2(t) se calcula como:

El término dentro de la integral se puede ver gráficamente por medio de las operaciones siguientes:

- La inversión temporal de x2(λ) para obtener x2 (-λ)

- El desplazamiento en el tiempo de x2 para obtener x2 (-λ+t)

- Ir “desplazando” x2 respecto a x1 cambiando el valor de t para calcular la integral.

Ejemplo 5: calcular la convolución de un pulso rectangular de amplitud A y anchura T con él mismo.

[2.35]

12



Según la figura anterior tenemos que:

Es decir, el resultado es una señal triangular de anchura entre nulos 2T, doble que la del pulso rectangular, y

amplitud A2T

Ejemplo 6: Aplicando la propiedad de convolución de la transformada de Fourier, calcular la transformada para

el pulso triangular (de amplitud A y anchura 2T) representado en la figura siguiente:

Fig. 2.9. Convolución de un pulso cuadrado de anchura T y amplitud

A con él mismo.

[2.36]

13



Solución:

Según el resultado del ejemplo anterior un pulso triangular de amplitud A y anchura 2T podrá expresarse como

la convolución de un pulso rectangular de anchura T y amplitud consigo mismo. También sabemos que

la transformada de Fourier de ese pulso rectangular será (en virtud del ejemplo 2):

luego la transformada del pulso triangular será el cuadrado de la anterior:

El concepto de anchura de banda.

El ancho de banda de señales es un concepto muy ligado a su espectro en frecuencia y refleja la cantidadde frecuencias que es necesario mantener o utilizar para conservar las propiedades de la señal. Hay diversas

definiciones de ancho de banda, que convendrá usar dependiendo del tipo de problema a resolver. Las más

útiles son las siguientes:

- Ancho de banda absoluto: es el conjunto de frecuencias en las que el espectro es distinto de cero.

- Ancho de banda a 3 dB: Es la diferencia entre las frecuencias a las que la potencia cae a la mitad respecto del

A

T t

x(t)

-T

[2.37]

[2.38]

14



máximo (o 1/%2 en amplitud).

Se puede generalizar y definirse para un valor de caída arbitrario A, en dB. En ese caso f 2 y f 1 son las

frecuencias para las que se cumple:

- Ancho de banda equivalente (o de ruido equivalente): Es el ancho de un rectángulo ficticio, cuya amplitud

coincide con el máximo del espectro, y que contiene tiene la misma potencia que el espectro original, es decir,

que el área de ambos es la misma.

Dado que el espectro de potencia es el cuadrado del espectro de amplitud, el ancho de banda equivalente se

obtendrá como:

[2.39]

[2.40]

15



- Ancho de banda entre nulos: Es la diferencia ente las frecuencias donde primero se anula el espectro.

- Ancho de banda de potencia: Es el ancho de banda que contiene el 99% de la potencia.

Para las frecuencias f 1 y f 2 se cumplirá que:

También esta definición puede generalizarse para cualquier porcentaje de potencia.

2.2.3. Series de Fourier de señales periódicas en tiempo discreto.

Vamos a estudiar a continuación lo que sucede con las señales en tiempo discreto, comenzando con las

señales periódicas. Como sucedía para el caso continuo, al tratarse de una señal periódica, hablaremos de

[2.41]

16



[2.42]

[2.43]

[2.44]

[2.45]

desarrollo en serie de Fourier. Así, para una señal discreta periódica, de periodo fundamental N, el desarrollo

en serie de Fourier se obtiene como:

y los coeficientes ck del desarrollo se obtienen como:

Observar que hay gran similitud entre el desarrollo en serie de Fourier para el caso continuo y para el caso

discreto, siendo las diferencias principales las siguientes:

- Ahora el sumatorio para el desarrollo en serie de Fourier no es infinito, sino que sólo contiene N

armónicos de la señal. Eso es una consecuencia directa de las propiedades de las señales discretas que fueron

estudiadas en el tema 1.

- El coeficiente ck representa la amplitud y la fase asociada al armónico de frecuencia ωk=2πk/N, con k=0,

.., N-1, es decir, sólo hay N frecuencias distintas entre 0 y 2π. Eso implica que la secuencia de los ck es periódica,

de periodo N, es decir, el espectro representado por los ck es periódico, de periodo N.

Teorema de Parseval para señales discretas periódicas.

El teorema de Parseval en esta caso se expresa del siguiente modo:

que tiene el mismo significado que para el caso de señales continuas periódicas, es decir, la potencia media de

la señal (primer término de la igualdad anterior) se puede obtener también en el dominio de la frecuencia, como

suma de las potencias de cada uno de los armónicos (término de la derecha de la igualdad anterior), con la

salvedad de que en caso de que la señal sea discreta, sólo existen N armónicos (N: periodo fundamental), y no

infinitos, como en el caso continuo.

Ejemplo 7: determinar el espectro de la señal x(n)=cos(πn/3).

Primero es necesario averiguar el periodo fundamental de la señal. Para ello escribimos la señal comox(n)=cos(πn/3)= cos(2πn/6), que identificando con cos(2πfn) nos da un valor de f=1/6, luego N=6 (recordemos

que el periodo fundamental era el denominador de la expresión racional de la frecuencia). Según eso, los

coeficientes ck se obtienen como:

expresión que nos permite calcular los 6 coeficientes ck que existen. Una forma más sencilla de obtenerlos es

utilizar la fórmula de Euler para descomponer el coseno, del siguiente modo:

17



[2.46]

[2.47]

[2.48]

Fig. 2.16. Espectro de x(n)=cos(πn/3)

que ya tiene la forma del desarrollo en serie de Fourier, que para este caso sería:

identificando directamente resulta que c0=0 y c1=1/2. Qué sucede con el término que tiene la exponencial

negativa -j2πn/6? Con cuál lo identificamos? Veamos que es equivalente al último término del desarrollo, c5,

ya que:

luego c5=1/2. El truco está en multiplicar por e-j2πn, que vale la unidad, y que nos permite encontrar una forma

equivalente de expresar esa exponencial utilizando un ángulo que está comprendido entre -π y π. Observar

también que, como ya se ha dicho, la secuencia de los ck es periódica, es decir, ck=ck+N. Al tratarse de una señaldiscreta, sólo existen N coeficientes ck representativos, pero eso no me impide calcular más, sabiendo que van

a coincidir con alguno de los comprendidos entre c0 y c5. Si lo representamos gráficamente:

Esa figura se ha obtenido repitiendo periódicamente cada N=6 valores (2π en frecuencia) los coeficientes

ck. Observar que en todos los casos se cumple que ck=ck+6. Por tanto puedo utilizar tanto el intervalo 0-2π para

la representación como el intervalo -π a π. La similitud con el caso continuo es mayor en este segundo caso, en

el que aparecen las componentes espectrales a frecuencias f=1/6 y f=-1/6 (ω=2π/6 y -2π/6). En el caso de tomar

el 0-2π aparecen en f=1/6 y f=5/6, si bien ya hemos comprobado que la componente en f=5/6 es equivalente

a la f=-1/6.

2.2.4. Transformada de Fourier de señales discretas aperiódicas.

Para el caso de señales discretas aperiódicas, igual que sucedía para el caso continuo, hablaremos detransformada de Fourier, que será una función continua en ω, y que se obtiene del siguiente modo:

18



[2.49]

[2.50]

[2.51]

[2.52]

[2.53]

Se puede comprobar muy fácilmente que X(ω+2kπ)=X(ω), y por tanto la transformada de Fourier de una señal

discreta aperiódica es periódica, de periodo 2π. La secuencia x(n) se puede obtener de nuevo a partir de la

transformada como:

Teorema de Parseval para señales discretas aperiódicas.

En este caso, igual que para el continuo, una señal aperiódica discreta es una señal definida en energía.

La igualdad de la misma en ambos dominios se expresa como:

Al igual que para el caso continuo, la cantidad Sx(ω)=|X(ω)|2 es la densidad espectral de energía, y permite

obtener la energía total de la señal integrando en un intervalo de 2π.

En la tabla de la página siguiente se han resumido todos los conceptos vistos hasta ahora, referentes a la

forma y propiedades de las transformadas de Fourier de las diferentes señales.

2.3. El teorema de muestreo en el dominio de la frecuencia.

A continuación veremos que sucede en el dominio de la frecuencia cuando procesamos una señal analógica

de forma discreta, mediante un proceso de muestreo.

Ya vimos que para procesar una señal en tiempo continuo mediante técnicas de procesado digital es

necesario en primer lugar convertirla a una secuencia de números. De esto se encargaba el muestreo, que

establecía una primera relación entre la secuencia discreta y la señal continua. Si la señal continua la llamamos

xa(t) y la discreta obtenida x(n) esta relación está dada por:

donde Ts es el periodo de muestreo. Como acabamos de ver, el espectro de una señal aperiódica de energía

finita se obtiene mediante la transformada de Fourier. En este caso:

19



Resumen de definiciones y propiedades de las Series y Transformadas de Fourier

SEÑALES PERIÓDICAS EN TIEMPOCONTINUO (POTENCIA)

Desarrollo en serie de Fourier

Teorema de Parseval para señales de potencia:

Densidad espectral de potencia Px ÷

Infinitascomponentes en frecuencia, separadas 1/T

|Ck|2 ÷ potencia del armónico k.

Si x(t) es real y periódica se cumple:

C-k=Ck* Y |Ck|

2=|Ck*|2 ÷ el módulo tiene simetría

par y la fase simetría impar.

SEÑALES PERIÓDICAS EN TIEMPODISCRETO

Des. en serie de Fourier (periodo N)

Teorema de Parseval para señales discretas

periódicas:

Periodo fundamental N÷ hay N componentes

separadas 2π/N rad = 1/N Hz en el espectro de

potencia.

Si x(n) tiene periodo N÷ {Ck} es también

periódica de periodo N.

Intervalo de interés: k=0,1,...,N-1

9

0#ω

k=2π

k/N<2π

9

0#F<Fs Fs: Frec. de muestreo

SEÑALES APERIÓDICAS EN TIEMPO CONTINUO(ENERGIA)

Transformada de Fourier

Teorema de Parseval para señales de energía:

Densidad espectral de energía:

÷ espectro continuo en frecuencia.

Si x(t) es real÷Sx(-F)=Sx(F)÷el módulo tiene

simetría par y la fase simetría impar.

SEÑALES APERIÓDICAS EN TIEMPODISCRETO

Transformada de Fourier

Teorema de Parseval para señales discretas

aperiódicas:

Densidad espectral de energía Sxx(ω)=|X(ω)|2 ÷

Espectro continuo en frecuencia

Si x(n) es real, la densidad espectral de energía

Sxx(ω)=|X(ω)|2 cumple:

Sxx(-ω)=Sxx(ω)÷ simetría par

Intervalo de interés: 0#ω#π

]

0#

F#

Fs/2X(ω) en el intervalo -π#ω<0 es simétrica a X(ω) en

el intervalo 0#ω#π.

20



[2.54]

[2.55]

[2.56]

Fig. 2.17. Espectro de x(t)

Fig. 2.18. Espectro de x(n) resultante de x(t) tras el muestreo a FS.

para la señal en tiempo discreto obtenida, x(n), el espectro se obtiene con la expresión:

que como ya hemos visto es un espectro periódico, de periodo 2π. Intuitivamente vemos que de alguna formase tiene que pasar de un espectro no periódico, el de la señal continua, a un espectro periódico, el de la señal

discreta. Además debemos ser capaces posteriormente de recuperar la señal continua utilizando el espectro

discreto obtenido, por lo que debemos tener clara la relación entre ambos para establecer las condiciones que

hacen que eso sea posible.

Para encontrar la relación entre ambos espectros hay que utilizar la relación entre las variables temporales

continua y discreta, y también la relación entre las frecuencias, F y f, que impone el proceso de muestreo.

Recordemos que eran:

Sin entrar en detalle en el desarrollo, se obtiene que la relación entre ambos espectros es la siguiente:

expresión que indica que el espectro discreto, representado utilizando el eje de frecuencias analógicas F, es la

repetición periódica de Xa(F) cada Fs, y multiplicado por Fs. Por ejemplo, supongamos que una determinada señalxa(t) tiene el siguiente espectro:

que es el espectro de una señal limitada en banda, cuya frecuencia máxima es B. Si esa señal se muestrea a una

frecuencia Fs, el espectro de la señal discreta obtenida será:

21



[2.57]

Fig. 2.19. Espectro en una situación de submuestreo.

[2.58]

es decir, es el anterior, multiplicado por Fs y repetido periódicamente cada Fs. En esas figuras se ve muy bien que

el espectro de la señal analógica Xa(F) se puede recuperar perfectamente del espectro de la señal discreta

eligiendo sólo la parte del mismo comprendida entre -Fs/2 y Fs/2, por ejemplo, realizando un filtrado ideal, con

una frecuencia de corte de Fs/2. También se ve muy bien que para que eso sea posible debe cumplirse la

condición:

que es el teorema de Nyquist, deducido en el tema 1 utilizando las propiedades de las señales en el dominio del

tiempo, y vuelto a comprobar ahora examinando los espectros de las señales. Si Fs<2B no se cumple el teorema

de Nyquist, y se producirá un ‘solape’ de los espectros que impedirá su correcta recuperación mediante filtrado,

como se muestra a continuación:

Es decir, ahora un filtrado paso bajo ideal con frecuencia de corte Fs/2 no me proporciona el espectro

original, ya que existirá una distorsión debida al solapamiento de las frecuencias a partir de Fs/2. Recordemos

que a esta frecuencia se le llamaba también ‘frecuencia de plegado’, ya que es la frecuencia a partir del cual se

producen los alias de la señal, que van a superponerse, van a plegarse, con las frecuencias que están entre 0 y

Fs/2.

Una posible solución para evitar este fenómeno es asegurarse de filtrar paso bajo la señal analógica antes

de muestrearla a una frecuencia Fs. La frecuencia de corte del filtro utilizado deberá ser de Fs/2, para evitar que

pasen frecuencias superiores a ésta, que sabemos producirán aliasing. Una vez fijada la frecuencia de muestreo

es preferible limitar en banda la señal a muestrear que permitir el aliasing. Siempre será menos nocivo loprimero que lo segundo.

En condiciones óptimas por tanto, es decir, cuando se cumple el teorema de Nyquist, se puede recuperar

el espectro analógico original Xa(F) a partir del discreto X(f)=X(F/Fs) mediante filtrado ideal, y será:

y ahora podemos recuperar de nuevo la señal analógica xa(t) en el dominio temporal mediante la transformada

inversa de Fourier, en la que los límites de la integral serán -Fs/2 y Fs/2, que es donde está definido el espectro,

22



[2.59]

[2.60]

[2.61]

y X(F) será el de la ecuación anterior:

El espectro discreto X(f), en función de las muestras x(n), y para f=F/Fs según aparece en la integral, se

obtendrá como:

y substituyendo dentro de la integral anterior obtenemos la expresión que nos permite recuperar la señal

analógica a partir de las muestras (no escribimos el desarrollo total):

que es una expresión muy importante, ya que refleja el carácter ideal del filtrado utilizado para la recuperación

de la señal analógica. Pensemos en este proceso de recuperación de la siguiente forma: tenemos las muestras

x(n) tomadas de xa(t) cada Ts como fuente para obtener de nuevo la xa(t). Si tuviese un dispositivo que me

‘dibujase’ de nuevo la señal analógica que existía entre las muestras tomadas, lo tendría solucionado. El ‘dibujar’

de nuevo la señal supone interpolar valores de señal entre las muestras. El sistema que realiza esta interpolación

es lo que se conoce como conversor digital-analógico (D/A), que obviamente tiene la función complementariaal conversor A/D. Matemáticamente hablando, el conversor D/A contiene una función, que llamaremos función

de interpolación, que genera la parte de la señal que falta entre muestras.

La forma de recuperación de la señal que acabamos de ver, reflejada en la expresión anterior, se suele

llamar también ‘interpolación ideal’, indicando que esa interpolación de la que hemos hablado se realiza

utilizando un proceso ideal, que como hemos visto se incluye en el filtrado paso bajo. Examinando la expresión

se puede observar que la señal recuperada se va obteniendo de la siguiente forma: para cada muestra

x(n)=xa(nTs), tomada en el instante n.Ts, se genera una sinc para todos los instantes de tiempo y se multiplican

todos sus valores por el valor de la muestra. Así con todas las muestras, y luego se suman todas las sincs. Está

claro que es un proceso irrealizable en la práctica, ya que son necesarias infinitas muestras hacia adelante de

un determinado instante de tiempo para poder recuperar la señal total en ese instante de tiempo. Es decir, lassincs generadas para la muestras de los instantes de tiempo 2Ts, 3Ts, 4Ts, etc.. influyen en el valor de la señal en

los instantes anteriores, por ejemplo el Ts. Se muestra gráficamente en la figura siguiente.

23



Fig. 2.12. Recuperación de la señal mediante interpolación ideal.

En la práctica será necesario recurrir a mecanismos de interpolación que permitan la recuperación de la

señal utilizando sólo unas cuantas muestras de la señal cada vez. Estudiaremos a continuación el funcionamiento

de los conversores D/A utilizados en la práctica, y de las funciones de interpolación utilizadas.

2.4. Propiedades de la transformada de Fourier de señales discretas.

La transformada de Fourier de señales aperiódicas (energía finita) en tiempo discreto posee diversas

propiedades que son muy útiles para reducir la complejidad del análisis frecuencial en numerosos problemas

prácticos.

Propiedades de simetría.

Como punto de partida supongamos que tanto la señal x(n) como su transformada X(ω) son funciones

complejas:

y teniendo en cuenta que e-jω=cosω - j senω la partes real e imaginaria de la transformada de Fourier resultan:

Señales reales

Si x(n) es real, lo que significa que xR(n)=x(n) y xI(n)=0 entonces:

[2.62]

[2.63]

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Dado que cos(-ωn) = cos(ωn) y sen(-ωn)=-sen(ωn) se tiene que XR(ω) es par ( XR(-ω) = XR(ω) ) y que XI(ω) es impar(XI(-ω) = - XI(ω) ), lo que nos conduce a:

es decir, que el espectro de una señal real tiene simetría hermitiana.

Además, el módulo y la fase también tienen propiedades de simetría:

Un caso particular interesante es cuando x(n) es real y par, es decir, que x(-n) = x(n). Entonces x(n)·cosωn es par

y x(n)·sen ωn es impar de lo que se puede obtener que:

Es decir, que señales reales y pares poseen espectros reales, que además son pares en ω.

Del mismo modo para las señales x(n) impares (es decir, x(-n) = - x(n)) se cumple que x(n)·cos ωn es impar y

x(n)·sen ωn es par, luego:

Es decir, que señales reales e impares poseen espectros puramente imaginarios, que además son funciones

impares enω

.

A continuación se muestra una tabla resumen con las propiedades de simetría de la Transformada de Fourier.

Secuencia Transformada de Fourier

x(n) X(ω)

x*(n) X*(-ω)

x*(-n) X*(ω)

[2.65]

[2.66]

[2.67]

[2.68]

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xR(n)

jxI(n)

XR(ω)

jXI(ω)

Para señales reales

x(n)

real y par

real e impar

X(ω)=X*(-ω)

XR(ω)=XR(-ω)

XI(ω)=-XI(-ω)

|X(ω)|=|X(-ω)|

pX(ω)=pX(-ω)

XR(ω) es real y par

jXI(ω) es imaginaria e impar

Linealidad

Si y entonces

Desplazamiento temporal

Si entonces

Reflexión temporal

Si entonces

El teorema de convolución

Si y entonces

El teorema de la correlación

Si y entonces

El teorema de Wiener

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Fig. 2.21. Esquema de bloques de procesado digital

Si x(n) es real entonces , es decir, la densidad espectral de energía de una señal de energía es

la transformada de Fourier de su función de autocorrelación. Este resultado es muy importante, y nos dice que

la función de autocorrelación de una señal y su densidad espectral de energía contienen la misma información

sobre la señal. Dado que ninguna de estas funciones contiene información sobre la fase es imposible reconstruir

de manera unívoca la señal a partir de su autocorrelación o de su densidad espectral de energía.

Desplazamiento frecuencial

Si entonces

Teorema de modulación

Si entonces

Multiplicación de dos secuencias (teorema de enventanado)

Si y entonces

2.5. Conversión digital-analógica

En este punto conviene hacer un repaso de los bloques que componen el sistema de procesado digital de

señales, para centrarnos después en el conversor D/A. El diagrama de procesado digital de señales que hemos

ido viendo es como el mostrado a continuación:

cuyo significado es el siguiente: queremos procesar la señal analógica xa(t) de forma digital. Para ello la filtramos

paso bajo, con frecuencia de corte Fs/2, obteniendo la señal analógica x(t), ya limitada en banda. Eso es

necesario para evitar el aliasing. Posteriormente se muestrea, para obtener la secuencia discreta x(n), y se

cuantifica, para obtener la secuencia digital Q[x(n)], operaciones que lleva a cabo el bloque que hemos

denominado conversor A/D. Esas muestras cuantificadas se aplican al procesador digital (sistema del que de

momento no hemos hablado, y que será objeto de los siguientes temas), que devuelve las muestras digitales

procesadas y(n), con la misma resolución en bits que tenían las Q[x(n)]. Con ellas, el bloque indicado como

conversor D/A es el encargado de recuperar la señal analógica que hemos llamado y(t). Hasta ahora hemos

considerado que el procesador digital de momento no hace nada, limitándose a dejar pasar las muestras tal cual,

y por tanto la señal analógica y(t) debe ser de nuevo la x(t) original (ojo, la x(t), y no la xa(t), ya que tras el filtrado

paso bajo antialiasing se pierden las componentes de frecuencia a partir de Fs/2, si las hubiere).

En al apartado anterior acabamos de plantear el conversor D/A ideal, que utiliza una función sinc como

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Fig. 2.22. Mantenedor de Orden 0

Fig. 2.23. Recuperación de la señal con un mantenedor de Orden 0.

función de interpolación, y que no se puede implementar en la práctica directamente. Veamos a continuación

dos formas adicionales de conseguir esta recuperación, el mantenedor de orden 0 y el de orden 1.

2.5.1. El mantenedor de orden 0.

Un mantenedor de orden 0 como sistema para recuperar una señal analógica a partir de sus muestras

realiza lo siguiente: genera una señal continua manteniendo el valor de una muestra hasta que llega la siguiente,repitiendo la operación sucesivamente. Esto produce una ‘cuadriculación’ de la señal, y la señal recuperada

difiere bastante de la original. Será necesario un filtrado posterior para ‘suavizar’ la señal, y limitar sus

componentes en frecuencia. El diagrama de bloques de un conversor D/A que utiliza un mantenedor de orden

0 sería el siguiente:

La frecuencia de corte óptima para el filtro paso bajo de la salida será la mitad de la utilizada para el

muestreo, igual que sucede con el filtro antialiasing utilizado antes del muestreo de la señal. Un ejemplo de la

forma que tendría la señal recuperada de esta forma se muestra en la figura siguiente:

Por otra parte, al mantenedor de orden 0 llegarán las muestras representadas por un número de bits, los

mismos que se utilizaron en el proceso de cuantificación del conversor A/D. Tomemos como ejemplo el caso

de 3 bits. La función de transferencia del mantenedor, en condiciones óptimas de funcionamiento, debe ser del

estilo a la siguiente:

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Fig. 2.24. Función de transferencia del cuantificador

Fig. 2.25. Errores en la cuantificación

Fig. 2.26. Circuito práctico de conversión D/A.

es decir, para cada combinación de 3 bits de entrada se proporciona un voltaje de salida, de forma que existe

una diferencia de voltaje constante entre ellos. El valor de Δ lo proporcionará la ganancia del mantenedor, y el

voltaje de salida estará comprendido entre -4Δy 3Δ. Pueden producirse errores en esta función de transferencia.

Los más importantes se muestran a continuación:

Un circuito práctico para realizar esa función de transferencia podría ser el siguiente:

que funciona de la siguiente forma: del procesador digital salen n bits por muestra, que se almacenan en un

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‘latch’ a intervalos regulares (normalmente iguales a Ts) para conseguir que todos ellos se apliquen

simultáneamente a un sumador realizado con un amplificador operacional. En función de los bits a ‘1' se

obtendrá un valor de tensión u otro.

2.5.2. El mantenedor de orden 1.

Puede perfeccionarse un poco el sistema si en vez de simplemente mantener el valor de una muestra hastaque llegue la siguiente se realiza una interpolación lineal entre ellas. El sistema que realiza esa operación se

llama mantenedor de orden 1. Comparándolo con el anterior proporciona una señal menos cuadriculada. Ahora

tendrá una forma más bien triangular, y resulta más fácil de filtrar. Un ejemplo se muestra en la figura siguiente.

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APÉNDICE

La función Delta de Dirac, δ(x)

La función Delta de Dirac δ(x) se define del siguiente modo:

Como función se comporta del siguiente modo:

Operativamente hablando tiene las siguientes propiedades:

• δ(x)=δ(-x)= -xδ’(x)

• δ’(x)= -δ’(-x)

• xnδ(x)=0, w n>0

• (x-a)nδ(x-a)=0

• δ(ax)=a-1δ

• h(x)δ(x-a)=h(a)δ(x-a)

La función pulso unidad,J(x)

Matemáticamente se define del siguiente modo:

De modo que, por ejemplo, un pulso de amplitud A y duración T se podrá expresar como:

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TEMA 2. Dualidad Del Procesado Continuo Discreto