TEMA 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA...Se llama haz de rectas secantes con vértice P(a,b) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto P. La ecuación de cualquier recta

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

TEMA 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA

ÍNDICE:

1. Introducción

2. Ecuaciones de una recta

3. Haz de rectas

4. Posiciones relativas de dos rectas

5. Ángulo de dos rectas

6. Cálculo de distancias


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1. INTRODUCCIÓN


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2. ECUACIONES DE UNA RECTA

a) Ecuación Vectorial

Ejemplo:

Escribe la ecuación vectorial de la recta r que pasa por el punto )1,3(A y tiene como vector

director ).5,2(d

Obtén ahora otros cinco puntos de la recta r.


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b) Ecuaciones paramétricas

Ejemplos:

Escribe la ecuación paramétrica de la recta r que pasa por el punto )1,3(A y tiene como

vector director ).5,2(d

Dada la recta

ty

txs

42

31

a) Obtén director de s.

b) Obtén tres puntos de s.

c) ¿El punto ?)6,2( sP ¿Y el punto ?)3,1( sQ

d) Hallar k para que .),5( skR


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c) Ecuación continua

Ejemplos:

Escribe la ecuación continua de la recta r que pasa por el punto )1,3(A y tiene como vector

director ).5,2(d

Dada la ecuación de la recta 3

3

4

1

yxs

a) Escribe el vector director de s.

b) Obtén ahora tres puntos que pertenezcan a s.

c) Escribe la ecuación paramétrica de la recta s.


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d) Ecuación general o implícita Operando y simplificando en la ecuación continua se obtiene:

2

2

1

1

d

py

d

px

211122 pdydpdxd 0211212 pdpdydxd

0 CByAx

Además, el vector ),( AB y su opuesto son vectores directores de la recta

Ejemplos:

Sea 0432 yxr . Escribe:

a) Vector director de r.

b) Vector perpendicular a r.

c) Tres puntos de r.

Ecuación general de la recta que pasa por )1,3( A y es paralela a la recta

)2,1()5,2(),( tyxs .


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e) Ecuación explícita Se obtiene despejando la “y” en la ecuación general de la recta.

0 CByAx CAxBy B

Cx

B

Ay nmxy

Teniendo en cuenta que 2dA , 1dB , se tiene 1

2

1

2

d

d

d

d

B

Am

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje de abscisas en sentido positivo.

Si 0m la recta es decreciente.

Si 0m la recta es creciente.


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f) Ecuación punto – pendiente

Sea la recta r, sea ),( baP un punto de r y m su pendiente.

La ecuación de la recta en forma punto – pendiente: axmby

Ejemplos:

Halla la ecuación punto – pendiente de la recta que pasa por )1,7( A y es paralela al

vector )1,3(v

.

¿Rectas paralelas tienen la misma pendiente?


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CASOS ESPECIALES

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si queremos determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos A y B, basta

coger uno cualquiera de los puntos y tomar como vector director BAd

.

Ejemplo: Ecuación paramétrica de la recta que pasa por A(0,-2) y B(3, -1).

Rectas paralelas al eje X.

Tienen como vector director ).0,1(d

La ecuación general ky , .Rk

Caso particular: Eje X o Eje de abscisas y=0

Rectas paralelas al eje Y.

Tienen como vector director ).1,0(d

La ecuación general kx , .Rk

Caso particular: Eje Y o Eje de ordenadas x=0


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Ejercicios

1.

2.

3.

4.


11


5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


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12.

13.

14.

15.


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3. HAZ DE RECTAS

a) Haz de rectas secantes

Se llama haz de rectas secantes con vértice ),( baP al conjunto de todas las rectas del

plano que pasan por el punto .P

La ecuación de cualquier recta del haz o ecuación del haz será:

axmby

m es un parámetro que puede tomar

cualquier valor real y representa la pendiente de cada recta. Para cada valor que se asigne a m , se

obtendrá una recta concreta del haz.

Para que el haz quede completo, se deberá añadir la recta ax , paralela al eje OY y que

no está incluida en la ecuación del haz.

Ejemplo: Haz de rectas cuyo vértice es el punto )1,3( P .

b) Haz de rectas paralelas

Se llama haz de rectas paralelas a la recta 0 CByAxr , al conjunto de todas las

rectas del plano que son paralelas a .r


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La ecuación del haz será:

0 kByAx

k es un parámetro que puede tomar

cualquier valor real.

Ejemplos:

a) Haz de rectas paralelas a la recta 0432 yxr .

b) Halla la recta del haz anterior que pasa por el punto )1,2( P .


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4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Gráficamente

Secantes Se cortan en un punto

Paralelas Ningún punto en común

Coincidentes Infinitos puntos en común

Analíticamente Existen varios criterios analíticos para determinar la posición relativa de dos rectas:

Comparando los vectores directores. - Secantes: vectores directores no son paralelos, es decir, tienen distinta dirección.

- Paralelas o coincidentes: vectores directores paralelos.

Comparando las pendientes. - Secantes: tienen pendientes diferentes.

- Paralelas o coincidentes: tienen pendientes iguales.

Estudio del sistema formado por las dos rectas.

Sean 0 CByAxr , 0´´´ CyBxAs

- Secantes: ´´ B

B

A

A (Sistema Compatible determinado) el punto de corte se obtiene

resolviendo el sistema.

- Paralelas: ´´´ C

C

B

B

A

A (Sistema Incompatible).

- Coincidentes: ´´´ C

C

B

B

A

A (Sistema Compatible Indeterminado).


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Ejemplos:

Estudia la posición relativa de las rectas:

a)

0232

0132

yxs

yxr b)

0264

0132

yxs

yxr c)

0425

0132

yxs

yxr

Halla el valor de k para que las rectas 0321 ykxr y 0122 kyxr sean

paralelas.


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5. ÁNGULO DE DOS RECTAS


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Ejemplos:


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6. CÁLCULO DE DISTANCIAS

a) Distancia entre dos puntos

Ejemplo: Halla la distancia entre los puntos )4,2(A y )3,1( B .

b) Distancia de un punto a una recta

Dados un punto P y una recta r , se entiende por distancia del punto P a la recta r a la mínima distancia entre dicho punto y cualquier punto de la recta.

Demostración:


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Ejemplos:

a) Halla la distancia del punto )4,2(P a la recta .053 yxr

b) Halla la distancia del punto )11,2(Q a la recta .053 yxr


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c) Distancia entre dos rectas Se entiende por distancia entre dos rectas a la menor distancia que se puede obtener al tomar un punto de cada una de ellas. Tenemos:

- Si las rectas son secantes o coincidentes 0),( srd .

- Si las rectas son paralelas, tenemos:

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´,),(

BA

CCsPdsrd

donde ,rP 0 CByAxr

0´ CByAxs

Demostración:

Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas 032 yxr y 0124 yxs .


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PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Mediatriz: recta perpendicular a un lado y que pasa por el punto medio de dicho lado.

Circuncentro: punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Altura: recta perpendicular a un lado y que pasa por el vértice opuesto.

Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.


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Mediana: recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Es el centro de gravedad del triángulo.

Bisectriz: recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Incentro: punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

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