Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Dinámica de Sistemas
- 2.1 -
TEMA 2: Modelado de Sistemas en
tiempo continuo
2.1.- Modelado Matemático.
2.2.- Descripción interna / externa.
2.3.- Modelado de Sistemas.
2.4.- No linealidades, linealización.
2.5.- Problemas
2.1 MODELADO MATEMÁTICO
2.1.1 Introducción
Para el estudio del comportamiento de sistemas resulta conveniente el análisis del
mismo en distintas condiciones. Por otra parte, cualquier tentativa de diseño parte de una
predicción del funcionamiento del sistema antes de que pueda construirse físicamente. La
existencia de un modelo permite la ejecución de ambas tareas.
Por tanto, modelar cualquier sistema permitirá caracterizar las relaciones existentes
entre los atributos con el fin de estudiar su comportamiento (análisis), o reproducir su
evolución temporal bajo ciertas condiciones (simulación).
Un modelo matemático es un conjunto de expresiones que caracterizan la evolución de
las variables de estado o bien de las salidas del sistema para distintas situaciones. Cuando
este estudio se realiza en sistemas en tiempo continuo, esta caracterización se realiza
mediante ecuaciones diferenciales.
Si se trata de modelar un sistema físico, hay que buscar las Leyes Físicas que definen
las relaciones entre las magnitudes fundamentales. Posteriormente dichas relaciones se
representan mediante ecuaciones diferenciales.
Dinámica de Sistemas
- 2.2 -
Ejemplos:
• La Segunda Ley de Newton
aMF ⋅= 2
2
dt
xdM
dt
dvMF =⋅=→
(F = Fuerza, M = Masa , a = aceleración, v= velocidad, x = espacio recorrido).
• La Ley de Ohm
RiV =dt
dqRV =→
(V = Diferencia de potencial aplicada, R = Resistencia i = Intensidad de
corriente, q = carga ).
Si el sistema a modelar presenta interacciones de naturaleza distinta a la física
(relaciones económicas, sociales etc...) habrá que estudiar que relaciones establecen los
flujos de cambio de los atributos del sistema; esta caracterización se estudiará con detalle
a lo largo del tema.
2.1.2 Parámetros concentrados y Distribuidos
Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o sistemas reales con
frecuencia se utilizan entidades ideales: (masa puntual, carga concentrada en un punto
del espacio etc... es decir, consideramos que los valores que determinan las características
físicas de los objetos se encuentran concentrados en un punto. Estas entidades que no
tienen existencia real reciben el nombre de elementos de parámetros concentrados.
Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones diferenciales
ordinarias.
Ejemplo:
)2sin(22
2
txdt
dx
dt
xd⋅=−⋅+
En el mundo real las masas no son puntuales, las resistencias eléctricas presentan un
efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del componente etc... Los modelos que
Dinámica de Sistemas
- 2.3 -
tienen en cuenta este tipo de características se denominan modelos de parámetros
distribuidos. Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales.
Ejemplo:
02 =∂∂
⋅+∂∂
y
x
t
x
Los modelos matemáticos para representar elementos de parámetros distribuidos son
complejos, Además, la aparición de este tipo de elementos implica que la transmisión de
señales entre sistemas no se hace de forma instantánea, hay que considerar un tiempo de
transmisión. Sin embargo, existen numerosas circunstancias en las que el tiempo de
propagación es menor que el tiempo de respuesta del sistema, además, en muchas
situaciones se puede considerar, sin cometer mucho error, que el valor de los parámetros
está concentrado en un punto determinado. Por tanto, son numerosos los casos en los que
pueden utilizarse modelos de parámetros concentrados que aproximen con exactitud el
comportamiento del sistemas real.
2.1.3 Modelos determistas y no deterministas
Se dice que un modelo es determinista cuando el comportamiento del sistema queda
determinado por la especificación de las condiciones iniciales y la evolución de las
magnitudes de entrada.
Se dice que un modelo es no determinista cuando intervienen fenómenos aleatorios,
imposibles de modelar y predecir. Para unas mismas condiciones iniciales e igual
evolución de las magnitudes de entrada, el sistema evolucionará cada vez de una forma
distinta. En estos casos el comportamiento del sistema suele modelarse mediante las
evoluciones estadísticas de las magnitudes fundamentales del mismo.
En este tema se abordará el estudio de modelos deterministas.
Dinámica de Sistemas
- 2.4 -
2.1.4 Ecuaciones variantes e invariantes en el tiempo.
Normalmente, la variable independiente que usaremos en el análisis de la dinámica
de los sistemas será el tiempo, designado como t, excepto en las Ecuaciones en
Diferencias en las que se usará k para designar el orden de la muestra.
• Una ecuación diferencial es variable en el tiempo, si alguno de los
coeficientes que multiplican a la variable dependiente o a sus derivadas es
función del tiempo.
o La ecuación: )(232
tuxdt
xdt ⋅=⋅+⋅ es variable en el tiempo.
• Una ecuación diferencial es invariante en el tiempo si todos los
coeficientes que multiplican a la variable dependiente o a sus derivadas son
constantes.
o La ecuación: tttuxdt
dx
dt
xd+⋅⋅=+⋅+ 2
2
)(24 es invariante en
el tiempo.
2.1.5 Linealidad y no linealidad
La linealidad o no linealidad de un sistema está determinada por la naturaleza lineal o
no lineal de la ecuación diferencial que lo modela. Una ecuación diferencial lineal es
aquella que consiste en una suma de términos lineales, o sea, términos de primer grado en
la variables dependientes y en sus derivadas.
Ejemplo:
)()()()(
3 tutytydt
tdy=++ describe un sistema no es lineal
32
)(2 tuydt
dy
dt
yd=++ describe un sistema lineal.
Dinámica de Sistemas
- 2.5 -
En realidad la mayor parte de los sistemas son No Lineales, sin embargo en muchas
situaciones pueden describirse por modelos lineales que dan buena información del
comportamiento dinámico del sistema. A lo largo de este tema se expondrán técnicas para
el modelado de sistemas dinámicos mediante ecuaciones Lineal Invariante en el
Tiempo, son los llamados sistemas LTI
Los sistemas LTI pueden escribirse de una manera general en la forma:
i
ik
iii
ik
ii dt
tudb
dt
yda
)(
00
⋅=⋅ ∑∑==
donde u(t) representa una función que depende implícitamente del tiempo que suele
modelar la interacción con el exterior. Como se ha referido anteriormente, suele
denominarse función o señal de entrada.
Todo lo dicho con anterioridad respecto a la invariabilidad en el tiempo y a la
linealidad puede extenderse a las ecuaciones en diferencias, con la excepción de que en
éstas, en lugar de aparecer una combinación lineal de las derivadas de la variable
dependiente, aparece una combinación lineal de una secuencia ordenada de valores de la
variable dependiente espaciados regularmente. Sistema Discreto. LTI:
)()(00
jkubikxam
ji
n
ii +⋅=+⋅ ∑∑
==
2.2 DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA
Existen distintas formas de expresar el modelado matemático de un sistema dinámico.
En este texto se hace referencia a dos formas fundamentales: descripción interna y
descripción externa.
Las representaciones que consideran ecuaciones diferenciales que modelan la
evolución de las variables de estado se denominan descripciones internas. Las
Dinámica de Sistemas
- 2.6 -
ecuaciones diferenciales que componen una representación interna suelen llamarse
modelos de estado
Las representaciones que únicamente consideran las ecuaciones diferenciales que
relacionan las variables de entrada y salida se denominan descripciones externas. Las
ecuaciones de las descripciones externas se obtienen eliminando las variables de estado
de las ecuaciones diferenciales del sistema.
2.2.1 Representación externa
La descripción externa de un sistema LTI suele presentar un aspecto del tipo:
i
ik
iii
ik
ii dt
tudb
dt
yda
)(
00
⋅=⋅ ∑∑==
donde la variable dependiente x coincide con la variable de salida que se desea estudiar y
u(t) representa las señales de entrada. Es decir nos referimos a una representación externa
cuando se pretende encontrar la evolución de la magnitud de salida respecto a la entrada,
sin que sea necesario saber como varían el resto de magnitudes.
Este tipo de descripciones suelen estar vinculadas a una representación gráfica, en
forma de bloques, que vincula de forma causal la entrada con la salida, Figura.-2.1:
Figura.-2.1 Diagrama de bloques
Si la interacción con el exterior no involucra términos con derivadas la ecuación suele
tener el aspecto:
)(0
tudt
yda
i
ik
ii =⋅∑
=
Dinámica de Sistemas
- 2.7 -
En los epígrafes que restan del presente tema se considerarán, sin perder generalidad,
los sistemas que no presentan derivadas en la señal de entrada. En el tema siguiente se
detallará cómo extender los métodos aquí presentados en el caso de que las derivadas
también afecten a la señal de entrada.
Ejemplo: Encontrar un modelo de representación externa que modele el
comportamiento de S2 en función de S0 sin que aparezca para nada ni h1 ni h2.
Figura.-2.2 Sistema de llenado de dos depósitos
Las ecuaciones diferenciales que relacionan las principales magnitudes son:
→⋅=dt
dhC
dt
dV
1
10
11 R
hS
dt
dhC −=⋅ ;
2
2
1
122 R
h
R
h
dt
dhC −=⋅ ;
2
22 R
hS = .
Si se manipulan un poco estas ecuaciones (derivando la tercera ecuación, y
sustituyendo: el valor de dt
dh1 que se obtiene de despejar en la segunda ecuación;
el valor de h1 obtenido de despejar en la tercera ecuación; y el valor de h2 por S2
) se alcanza una expresión de segundo orden donde solo aparece la salida S2 y la
entrada S0 (t).
( ) 022
1122
2
1221 )( SSdt
dSCRCR
dt
SdCCRR =+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅
Dinámica de Sistemas
- 2.8 -
2.2.2 Representación interna: modelo de estado
En el análisis mediante variables de estado, el sistema se caracteriza por una
ecuación diferencial de primer orden que engloba el conjunto de ecuaciones que
describen la dinámica del sistema.
De esta forma, el análisis se lleva a cabo resolviendo una ecuación diferencial
vectorial o matricial de primer orden en lugar de ecuaciones diferenciales de orden
superior, ya que, en numerosos casos, es mayor la manejabilidad que se obtiene al
describir un sistema mediante una ecuación de primer orden que mediante una
representación externa que involucre una o más ecuaciones de orden superior. Además,
este método simplifica el problema y es muy ventajoso cuando se utiliza el ordenador
para obtener la solución en base a técnicas numéricas de integración.
Usualmente, se utiliza la representación por modelo de estado cuando:
o Interesa conocer la evolución global del sistema.
o Se pretenda trabajar con ecuaciones de primer orden.
o En general para trabajar con sistema de múltiples entradas y
múltiples salidas (MIMO).
Ejemplo: Encontrar un modelo de estado que represente al sistema del ejemplo
anterior considerando que la entrada del sistema es S0.
Se consideran como variables de estado las magnitudes h1 y h2, ya que, cualquier
otro atributo (volumen de líquido en los depósitos, flujo de líquido de salida
etc.) puede ser escrito en función de estas magnitudes. Por tanto, las ecuaciones
anteriores pueden escribirse en la forma:
1
10
11 R
hS
dt
dhC −=⋅ ;
2
2
1
122 R
h
R
h
dt
dhC −=⋅ ;
012
1
2212
11
2
1
0
1
11
01
SCh
h
RCRC
RC
dt
dhdt
dh
⋅
+
⋅
⋅−
⋅
⋅−
=
Dinámica de Sistemas
- 2.9 -
Como puede comprobarse esta expresión representa una ecuación diferencial
matricial de primer orden. Si ahora se quisiera saber el valor de S2 bastaría con
multiplicar la variable de estado h2 por 2
1
R.
2.2.2.1 Expresión General de un modelo de estado lineal
Un modelo de estado lineal para un sistema LTI adquiere la forma:
( ))()( tuBtxA
dt
txd rrr
⋅+⋅=
Si se desea asociar un vector salida al modelo, se añade la expresión:
uDtxCty rrv +⋅= )()(
donde:
o )(txr se denomina vector de Estado.
o )(tyr es conocido como vector de salida.
o )(tur es llamado vector de entrada.
o A se denomina Matriz de Estado.
o B se conoce cómo Matriz de Entrada.
o C es llamada Matriz de Salida.
o D es conocida cómo Matriz de Transmisión Directa.
Un ejemplo de modelo de estado es el siguiente:
⋅
+
⋅
=
2
1
2
1
2
1
10
01
)(
)(
00
10
u
u
tx
tx
dt
dxdt
dx
un ejemplo de ecuación de salida es:
⋅
+
⋅
=
2
1
2
1
2
1
00
11
01
10
u
u
x
x
y
y
Dinámica de Sistemas
- 2.10 -
2.2.2.2 Conversión de representación externa a modelo de estado
Una ecuación diferencial de orden n siempre puede reemplazarse por un modelo de
estado formado por una ecuación de primer orden cuyo vector de estado es de dimensión
n.
Ejemplo:
Sea el sistema descrito por: )()(
2
2
tudt
tyd=
Puede hacerse la siguiente elección de variables de estado )(1 tx y )(2 tx :
)()(1 tytx = ; )(21 tx
dt
dx=
es posible escribir:
)()( 2
2
2
tudt
dx
dt
tyd==
Por lo que se definen dos matrices A y B:
=
00
01A ;
=
1
0B
Si la salida es [ ]0,1)()( 1 =→= Ctxty ; [ ]0=D .
De manera que el sistema queda representado por
)(1
0
)(
)(
00
10
2
1
2
1
tutx
tx
dt
dxdt
dx
+
⋅
=
[ ] [ ] )(0012
1
2
1 tux
x
y
y⋅+
⋅=
De forma general, considerando la ecuación:
)()(
0
tybdt
tyda
u
ii
i
i ⋅=∑=
Dinámica de Sistemas
- 2.11 -
pueden definirse un vector de estado en la forma:
[ ])(),.....,(),()( 21 txtxtxtx u=r
tal que :
ga
bxa
adt
dx
dt
yd
xdt
dx
dt
ydx
dt
dx
dt
dyxy
n
n
iii
n
nn
+
−==
=====
∑−
=
1
0
32
2
21
1
1
;.....;;;
Por tanto la ecuación diferencial puede escribirse en forma matricial:
x·[ ]
0 1 0 …0 0 1 …0 0 … 1
a0–
an--------
a1–
an-------- …
a1n 1––
an-------------------
x[ ]⋅
0
00
ban-----
u⋅+= y 1 0 0 … 0, , , ,[ ] x[ ] 0[ ] u⋅+⋅=
Esta forma particular de escribir el modelo de estado se conoce como: forma
canónica de control.
2.2.2.3 Transformación del modelo de estado
La representación por modelo de estado no es única, de hecho existen infinitos
modelos de estado que representan el mismo sistema. Si el vector estado es de dimensión
n, siempre se pueden encontrar n nuevas variables en la forma:
Z[ ] P x[ ]⋅=
donde P es una matriz cuadrada de términos constantes. La nueva ecuación de estado
queda:
x·[ ] A[ ] x[ ]⋅ B[ ] u[ ]⋅+=
x·[ ] A[ ] P1–
Z[ ]⋅ ⋅ B[ ] u[ ]⋅+=
P 1– x·[ ]⋅ P 1– A[ ] P 1– Z[ ]⋅ ⋅ B[ ] u[ ]⋅+ ⋅=
Z·
[ ] P A[ ] P1–
Z[ ]⋅ ⋅ ⋅ P B[ ] u[ ]⋅ ⋅+=
Dinámica de Sistemas
- 2.12 -
La nueva ecuación para la salida queda:
Y[ ] C[ ] P1–
Z[ ]⋅ ⋅ D[ ] u[ ]⋅+=
2.3 MODELADO DE SISTEMAS
2.3.1 Generalidades
Siempre que se trata de modelar cualquier sistema hay que realizar un clasificación
previa de las magnitudes que estarán presentes en el modelo. Así se denominan variables
de acumulación a aquéllas cuyo valor actual es la suma de un valor anterior más los
incrementos debido a ciertas variables llamadas de flujo.
Ejemplos:
Capital (dinero), n.º de habitantes, productos almacenados, habitantes infectados etc.
Se denominan variables de flujo a aquellas que representan el incremento de una
variable de acumulación por unidad de tiempo.
Ejemplos:
Ingresos, gastos, nacimientos, muertes, pedidos, ventas.
Por último, las variables auxiliares son variables que determinan la forma en que los
flujos influyen en las variables de acumulación.
Ejemplos:
Tasa de nacimientos, intereses bancarios, discrepancias etc.
Las variables de acumulación representan magnitudes que acumulan los resultados de
acciones aplicadas en el pasado. Pueden asemejarse al nivel alcanzado por un líquido en
un depósito, de ahí que también se denominen variables de nivel. Las variables de flujo
caracterizan las interacciones que determinan la evolución del sistema, es decir
representan las acciones internas o externas ejercidas sobre el sistema. Finalmente, las
variables auxiliares pueden considerarse como los parámetros que determinan los valores
de los flujos.
Dinámica de Sistemas
- 2.13 -
De lo dicho anteriormente es posible expresar que la relación fundamental que liga las
variables de un sistema es:
Ecuación General
),...,,( 1 ni ppxFdt
xd ∑=
x.- variable de acumulación
Fi.- variables de flujo
p1...pn.- variable auxiliares
2.3.2 Evolución de una Población
El estudio de la evolución de poblaciones representa un problema complejo que puede
ser abordado mediante ecuaciones en tiempo continuo o ecuaciones en tiempo discreto
(Fulfor y otros, 1997).
Cuando se trata de modelar una población, donde los individuos solo se aparean en
periodos del año espaciados regularmente (este es el caso de muchas especies de
mamíferos), se emplean aproximaciones en tiempo discreto.
Por el contrario, cuando se trata de modelar poblaciones con gran número de
individuos, que se pueden aparear o morir en cualquier momento, puede realizarse una
aproximación y considerar que la reproducción o la muerte de individuos tiene lugar de
forma continua. Esta última situación es la que se estudia en este apartado, dejando el
caso del problema discreto para abordarlo en el último tema.
Por tanto, el problema consiste en encontrar una función N(t) que represente el
número de habitantes que componen la población en el instante de tiempo t. N puede
tomar cualquier valor real; esto no supone ningún inconveniente ya que la población se
considera tan grande que la diferencia entre uno o dos individuos no trae ningún tipo de
consecuencias.
Como es lógico, las ecuaciones que se presentan aquí representan situaciones ideales,
aunque son la base de modelos más realistas que han tenido mucho éxito a la hora de
estudiar diversos tipos de poblaciones animales (Romero y García, 1998).
Dinámica de Sistemas
- 2.14 -
Las hipótesis de trabajo son las siguiente (Fulfor y otros, 1997).:
§ Como el número de pobladores es muy alto, la población se considera como
un todo, sin distinguir entre individuos, se entiende que el crecimiento de la
población se modela mediante un comportamiento que representa la media de
los componentes de la población.
§ Cada individuo tendrá la misma probabilidad de procrear y de morir.
§ Para asegurar la anterior hipótesis, la relación entre machos y hembras ha de
mantenerse constante y han de ser igual en número.
§ No es tenida en cuenta la diferencia de edad entre los miembros de la
población.
§ La población está aislada.
Existen distintos modelos que no consideran esta última hipótesis y abordan el
problema de la evolución de dos especies que compiten entre sí. Es el llamado modelo de
presa-depredador cuyo ejemplo más conocido es la ecuación de Lotka-Volterra.
En el caso que se trata en este apartado se definen las siguientes magnitudes:
N = Número de habitantes: Variable de acumulación
F1 = Número de nacimientos por unidad de tiempo: Variable de Flujo
F2= Número de muertes por unidad de tiempo: Variable de Flujo
µ= Tasa de nacimiento (nacimiento por habitante y u. tiempo): Variable Auxiliar
β = Tasa de mortandad (muerte por habitante y u. de tiempo): Variable Auxiliar
La ecuación de flujo será pues:
21 FFdt
Nd−=
El planteamiento de esta ecuación puede verse, gracias a un diagrama causal, como
una estructura donde compiten dos bucles de realimentación (Aracil y Gordillo, 1997).
Dinámica de Sistemas
- 2.15 -
Figura.-2.3 Diagrama causal para el modelo de una población
En efecto, el bucle que afecta a los nacimientos presenta dos influencias positivas por
lo que representa un bucle de realimentación positiva. En cambio, el bucle que afecta a
las muertes presenta un numero impar de influencias negativas por lo que se trata de un
bucle de realimentación negativa.
La ecuación de flujo puede desarrollarse más según se consideren distintas
situaciones:
a) Recursos ilimitados. Se supone que se dispone de recursos ilimitados y que la
tasa de mortalidad y natalidad se mantienen constantes, en cuyo caso:
números de nacimientos por unidad de tiempo = µ · N
números de muertes por unidad de tiempo = β · N.
Por tanto:
Ndt
Nd⋅−= )( βµ
b) Recursos limitados. Hay diversas situaciones en las que, debido a la limitación
de recursos (o incluso a razones de índole cultural ), cuando aumenta la
población disminuye la tasa de natalidad. Uno de los modelos que más
aproximan esta situación es:
)()( 10 tNN ⋅−= µµµ
por tanto:
NNdt
Nd⋅−⋅−= )( 10 βµµ
Dinámica de Sistemas
- 2.16 -
[ ] )()( 1 tNtNmdt
Nd⋅⋅−= µ
donde 1
0
µβµ −
=m
Esta última expresión es la llamada ecuación logística que ha sido utilizada para
modelar distintos tipos de poblaciones animales, como es el caso de la mosca de la fruta
en un recipiente cerrado (Edwards y Penney, 1993).
También suele utilizarse este tipo de modelos para caracterizar situaciones tales
como la difusión de una innovación tecnológica o un rumor en un determinado medio
social (Aracil y Gordillo, 1997).
Uno de los argumentos utilizados para criticar la aplicación del modelo logístico,
consiste en la suposición de que el aumento de población afecta inmediatamente a la
variación de nacimientos, sin considerar el tiempo que necesitan las crías para crecer y
poder reproducirse. Una solución a este problema ha sido tratada en Hutchinson (1948) y
por Wangersky y Cunningham (1957), introduciendo un retardo en la parte del modelo
que afecta a la tasa de nacimiento:
[ ] )()( 1 tNTtNmdt
Nd ⋅⋅−−= µ
donde T representa el periodo de maduración de los individuos.
Finalmente, comentar que existen otro tipo de opciones para escoger la función µ(N), es
el caso del uso de funciones exponenciales ( Greenwell y Ng, 1984):
[ ] µµ ⋅−−⋅= )()()( TtNmetNN
2.3.3 Gestión de un Almacén
La gestión de un almacén, donde se realizan ventas y pedidos de un producto, es
también susceptible de ser modelada matemáticamente ( Aracil y Gordillo, 1997). De
forma similar a lo que ocurría con la evolución de una población, puede ser modelada
tanto con ecuaciones en tiempo discreto como mediante ecuaciones en tiempo continuo.
Para utilizar ecuaciones en tiempo continuo realizaremos las siguientes suposiciones:
Dinámica de Sistemas
- 2.17 -
§ Se considera que el número de unidades almacenadas, pedidas y vendidas es
lo suficientemente grande como para que la diferencia entre una o dos
unidades no suponga ningún tipo de consecuencias. Por tanto, pueden
utilizarse números reales para representar estas magnitudes.
§ Las ventas no dependen de las unidades almacenadas, el material se recibe sin
retraso, es decir, inmediatamente que se pide se recibe.
§ Las ventas y pedidos se realizan en cualquier momento, y a lo largo de un
tiempo suficientemente amplio como para que puedan ser consideradas
magnitudes que varían de forma continua en el tiempo. Por tanto, de forma
ideal, puede interpretarse que se están comprando y recibiendo unidades de
forma continua.
§ El interés del responsable de la gestión consiste en mantener un stock de
productos almacenados igual a un valor determinado.
Las variables que definen el sistema son:
x = Cantidad almacenada de un producto: Variable de acumulación
F1 = Pedidos al distribuidor/unidad de tiempo: Variable de Flujo
F2= Ventas realizadas/unidad de tiempo: Variable de Flujo
xd= valor deseado para x: Variable Auxiliar
D = xd - x: Variable Auxiliar
A partir de la definición de estas variables y las hipótesis anteriores la ecuación de
flujo para modelar el sistema es:
)()( 21 tFtFdt
xd−=
Esta ecuación puede evolucionar de distinta forma según la política de pedido que
siga el responsable de la gestión del almacén, así hay distintas posibilidades:
a) Los pedidos al distribuidor son igual a un número constante.
Dinámica de Sistemas
- 2.18 -
→= cteF1 )(21 tFFdt
xd−=
b) Los pedidos son proporcionales a la discrepancia entre la cantidad almacenada
x(t) y la cantidad que se desea tener de stock xd: D(t) = xd - x(t)
→⋅= )(1 tDkF )(2 tFxkxkdt
xdd −⋅=⋅+
c) Los pedidos son proporcionales a la discrepancia entre la cantidad almacenada
y la cantidad que se desea tener de stock y a un número que se calcula
realizando la integración de dicha discrepancia respecto del tiempo.
∫ ⋅+⋅= )()()(1 tdtDtDkF -> dt
dFxkxk
dt
dxk
dt
xdd
22212
2
−⋅=⋅+⋅+
El planteamiento de las dos últimas políticas de pedido puede interpretarse, gracias a
un diagrama causal, como una estructura de realimentación negativa, ver Figura.-2.4
(Aracil y Gordillo, 1997)
x
+F2
D_ +_
F1
xd
-
+
Figura.-2.4 Diagrama causal para el modelo de gestión de un almacén
Donde la acción de los pedidos trata de mantener constante el numero de unidades
almacenadas.
2.3.4 Sistemas eléctricos
Los sistemas eléctricos están caracterizados por la interconexión de una serie de
elementos (resistencias, condensadores etc..) por los que circula una carga eléctrica q.
Existe una analogía entre los sistemas eléctricos y los hidráulicos. Así, el líquido circula
Dinámica de Sistemas
- 2.19 -
en éstos últimos debido a la diferencia de presión mientras que en los circuitos eléctricos
la circulación de la carga es debida a la diferencia de potencial.
La cantidad de carga que atraviesa una superficie por unidad de tiempo se denomina
intensidad. Por tanto, la ecuación de flujo que determina la dinámica en este tipo de
sistemas es:
dt
dqI =
q = Carga: Variable de acumulación; I = Intensidad: Variable de Flujo
Cada uno de los elementos que pueden verse involucrados en un sistema eléctrico
presenta unas características especificas que determinan el aspecto final que tomará la
ecuación de flujo y por tanto el modelo del sistema. A lo largo de este punto se describen
los elementos que aparecen con más frecuencia. Finalmente, resaltar que el modelo del
sistema está fuertemente determinado por la forma en que se interconectan estos
elementos ( serie , paralelo...), dichas ecuaciones se obtienen mediante la aplicación de
las Leyes de Kirchoff que pueden ser consultadas en cualquier manual básico de Física .
2.3.4.1 Resistencia:
Se trata de un elemento por el que circula una corriente eléctrica proporcional a la
diferencia de potencial existente en sus extremos. Como consecuencia de ello disipa
energía calorífica.
Figura.-2.5 Resistencias eléctricas
La expresión que determina la ecuación de flujo en estos elementos es la conocida
Ley de Ohm:
RtV
dt
dqI
)(== 21)( VVtV −=
Dinámica de Sistemas
- 2.20 -
Donde V(t) es la diferencia de potencial a que se somete al elemento y R es la
resistencia del elemento. Una resistencia en un circuito eléctrico cumple una función
similar a la realizada por una tubería en un sistema hidráulico.
2.3.4.2 Condensador:
Es un elemento que acumula carga eléctrica. Dicha carga es proporcional a la
diferencia de potencial existente en sus extremos.
Cv2v1
Figura.-2.6 Condensador
La ecuación del modelo de este elemento es:
dttdV
Cdt
dqI
)(⋅==
El condensador hace las veces de depósito en un sistema hidráulico.
2.3.4.3 Bobina:
Se trata de un elemento que al ser sometido a una variación de la intensidad de
corriente que lo recorre, genera una caída de tensión proporcional a dicha variación.
Figura.-2.7 Bobinas
Las bobinas almacenan energía en forma de energía magnética. La ecuación que
modela el sistema es:
2
2
)(dt
qdL
dt
dILtV ⋅=⋅=
Dinámica de Sistemas
- 2.21 -
2.3.4.4 Fuente
Este elemento crea una diferencia de potencial. Se conecta a los elementos de un
circuito con el fin de generar una circulación de cargas. Las fuentes que se utilizarán aquí
generan una diferencia de potencial continua en el tiempo; suelen denominarse fuentes de
corriente continua
Figura.-2.8 Circuito con fuente de corriente continua
Ejemplo: Encontrar el modelo que caracterice la evolución de la intensidad en el
circuito de la figura Figura.-2.8
La entrada del sistema es Vi y la salida I.
La ecuación de la malla: IRVVi ⋅=− 0
La tensión en el condensador : C
qV =0 ;
derivando en las dos ecuaciones :
dt
dIR
dt
dV
dt
dVi ⋅=− 0
dt
dq
Cdt
dV 10 = ; -> ICdt
dV 10 = .
Combinando ambas ecuaciones queda:
dt
dVI
Cdt
dIR i=+⋅
1
2.3.5 Sistemas mecánicos translacionales
Un sistema mecánico es aquel formado por cuerpos cuya posición y orientación varían
ante la acción de una o más fuerzas y sus momentos.
Dinámica de Sistemas
- 2.22 -
Se llama grado de libertad a cada movimiento independiente que puede tener un
sólido. Cualquier movimiento de un cuerpo rígido en el espacio puede ser descompuesto
en tres traslaciones y tres rotaciones independientes entre sí. Por tanto un sólido sin
ligaduras tendrá seis grados de libertad. La aparición de elementos que ligan al cuerpo
(superficies, ataduras o articulaciones que restringen las direcciones de movimiento etc..)
determinan la disminución del número de grados de libertad.
En este apartado se estudian los sistemas mecánicos translacionales, es decir, aquellos
en los que se considera el estudio de los desplazamientos sin tener en cuenta el cambio
de orientación.
La ecuación de flujo que caracteriza a estos sistemas es la Ley de Newton:
Fdt
xdM
dt
dvM ∑=⋅=⋅
2
2
donde M representa la masa del cuerpo.
Con frecuencia estos sistemas son representados mediante un diagrama de bloques,
como el de la figura siguiente, que refleja la relación causa efecto existente entre la fuerza
y el cambio en las magnitudes de naturaleza cinemática.
Mx (posición)v (velocidad)a (aceleración)
F
Figura.-2.9 Masa impulsada por una fuerza
Los principales elementos que se pueden encontrar formando parte de un sistema
mecánico de esta naturaleza se detallan a continuación.
Dinámica de Sistemas
- 2.23 -
Ejemplo: modelo de un cohete que se mueve en dos dimensiones.
Figura.-2.10 Modelo de un cohete
• Las entradas del sistema son: la fuerza ( )tF , la gravedad m·g y la fuerza
de rozamiento del aire
• Las salidas son la coordenada x y la coordenada y.
• Las ecuaciones del sistema son:
( ) ( ) →⋅−⋅=⋅•••
µθ xtFtxm cos Horizontal
( ) ( ) →⋅−⋅−⋅=⋅•••
gmytFtym µθsin Vertical
Si se desea expresar estas ecuaciones como un modelo de estado hay que
considerar cuatro variables de estado ya que hay dos ecuaciones de segundo
orden se toman. Por tanto se consideran las siguientes variables:
( ) ( )txtx =1 ; ( ) ( )txtx•
=2 ; ( ) ( )tytx =3 ; ( ) ( )tytx•
=4 ; ( ) ( )tFtu =1 ; ( ) gmtu ·2 =
Entonces:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) mxgmtutx
txtx
mxtutx
txtx
/)·sin(
/)cos(
314
43
212
21
µθ
µθ
⋅−−=
=
⋅−=
=
••
•
••
•
Dinámica de Sistemas
- 2.24 -
tomando la Forma Canónica:
( )
( )
( )
( )
⋅
−+
⋅
−
−=
=
•
•
•
•
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
10
0
0
sin0
cos0
000
1000
000
0010
u
u
mm
m
x
x
x
x
m
m
tx
tx
tx
tx
x
θ
θ
µ
µ
( )( )
⋅
=
4
3
2
1
0100
0001
x
x
x
x
ty
tx
2.3.5.1 Muelle o resorte
Es un elemento elástico que se deforma si sobre sus extremos se aplica una fuerza. El
muelle ejerce en cada uno de sus extremos una fuerza de la misma dirección y de sentido
contrario a la fuerza aplicada. Por tanto es importante diferenciar entre las fuerzas
ejercidas sobre el muelle ( son iguales en ambos lados) y las fuerzas que el muelle ejerce
sobre los objetos que se encuentren en ambos lados.
Figura.-2.11 Modelo de un muelle
Los resortes que se considerarán en adelante son resortes lineales, en los que la
relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento del extremo del resorte es lineal.
Esta linealidad está gobernada por una relación que establece que la fuerza que el muelle
realiza sobre los cuerpos es directamente proporcional y de sentido contrario al
desplazamiento debido a la deformación:
)( 122 lxxkF −−−= )( 211 lxxkF +−−=
Dinámica de Sistemas
- 2.25 -
donde k se conoce como constante de elasticidad, y l representa la longitud en reposo del
resorte (es decir, la longitud cuando no hay fuerza aplicada). En el caso de considerar un
muelle donde solo se mueve uno de sus extremos, se puede realizar un cambio de
coordenadas de forma que el origen se sitúe en el extremo en el que se desea estudiar el
movimiento. En este caso, las expresiones anteriores adoptan una forma más sencilla:
kxF −=
Figura.-2.12 Resorte con extremo fijo
2.3.5.2 Rozamiento viscoso y amortiguador :
F x·
Figura.-2.13 Masa deslizándose sobre superficie con rozamiento
Las fuerzas de rozamiento aparecen siempre que se produce el deslizamiento de un
cuerpo sobre otro. Dichas fuerzas se oponen a dicho deslizamiento. En numerosas
ocasiones tales fuerzas no adquiere un valor constante sino que su valor es proporcional a
la velocidad con la que se deslizan los dos cuerpos. Es lo que habitualmente de denomina
rozamiento viscoso.
Según lo dicho, en el caso de un cuerpo que se desliza sobre una superficie estática en la
que aparece este tipo de rozamiento, la ecuación que determina la fuerza de rozamiento
es:
Dinámica de Sistemas
- 2.26 -
dt
dxF ⋅−= µ
donde µ recibe el nombre de coeficiente de fricción viscosa.
Por otra parte, un amortiguador consiste en un pistón y un cilindro lleno de aceite,
cualquier movimiento entre el pistón y el cilindro encuentra resistencia debido a la
viscosidad del aceite, ya que éste debe fluir por orificios realizados sobre el pistón. En
este caso aparece una fuerza de rozamiento viscoso que es proporcional al movimiento
relativo entre ambos extremos del amortiguador. El modelo que en este caso determina
la fuerza de rozamiento es:
)( 122 xxF && −⋅−= µ )( 211 xxF && −⋅−= µ
Figura.-2.14 Sistema de amortiguadores
Ejemplo: Considere el sistema representado en la Figura.-2.15:
)(tf es la Fuerza que excita al sistema es decir la entrada.
( )ty es el desplazamiento que se produce en el sistema desde la posición de
equilibrio, es la salida.
Figura.-2.15 Sistema de masa con resorte y amortiguador
Dinámica de Sistemas
- 2.27 -
La fuerzas aplicadas a la masa son: la fuerza externa f; la fuerza de rozamiento
dt
dyFr ⋅−= µ (observe que un de los extremos del amortiguador se encuentra
estático); y la fuerza del muelle kyFm −= . Por lo que La ecuación diferencial
que describe el sistema es: ykytfym ⋅−⋅−=•••
µ)( . Por tanto, la representación
externa del sistema es:
)(tfykyym =⋅+⋅+•••
µ
Si se pretende obtener un modelo de estado hay que elegir dos variables de
estado por ser una ecuación de 2º orden:
)()(
)()(
2
1
tytx
tytx•
=
=
así
)(1
)(1
2
21
tfm
ybkym
x
xx
++−
=
=••
•
o bien
)(1
212
21
tfm
xm
bx
m
kx
xx
+−−=
=•
•
La salida será:
( ) ( )txty 1=
Escribiendo la ecuación en forma matricial:
)(1
010
2
1
2
1tf
mx
x
m
b
m
k
x
x
BA
⋅
+
⋅
−−=
•
•
[ ] [ ] )(00;12
1 tfx
xy
DC⋅+
⋅=
Dinámica de Sistemas
- 2.28 -
2.3.6 Sistemas mecánicos rotacionales
En este epígrafe se considerará la mecánica que describe los giros realizados por los
sólidos rígidos alrededor de un eje
Figura.-2.16 Sistema mecánico rotacional
El estudio de este tipo de sistemas guarda un gran paralelismo con el realizado para los
sistemas translacionales. Así, la ecuación de flujo que caracteriza a estos sistemas es
similar a la Ley de Newton solo que, en lugar de fuerzas, la magnitud involucrada es
involucra el momento de las mismas τ, y en lugar de la masa, el parámetro involucrado es
el momento de inercia del sólido I :
∑=⋅=⋅ τ2
2
dt
xdI
dt
dvI
Igualmente, estos sistemas pueden ser representados por un diagrama de bloques que
refleja una relación causa efecto similar a la que se describió en los sistemas
translacionales :
Figura.-2.17 Diagrama de bloques de un par de fuerzas aplicado a un sistema rotacional
Los principales elementos que se pueden encontrar formando parte de un sistema
mecánico de esta naturaleza se detallan a continuación.
Dinámica de Sistemas
- 2.29 -
2.3.6.1 Muelle con torsión
Es un mecanismo que se opone a ser girado, desarrollando un par proporcional al
ángulo de giro.
Figura.-2.18 Muelle con torsión
Es este apartado, se consideran los resortes con torsión lineal donde el valor del
momento producido por el muelle es directamente proporcional y de sentido contrario al
aplicado en sus extremos:
)( 122 θθτ −−= k )( 211 θθτ −−= k
2.3.6.2 Rozamiento viscoso
Cuando el deslizamiento entre dos cuerpos es debido a movimientos rotacionales, las
fuerzas de rozamiento generan pares de rozamiento. Si el rozamiento es de naturaleza
viscosa el par de rozamiento es proporcional a la velocidad angular y de dirección
contraria a la misma.
Figura.-2.19 Amortiguador rotacional
La expresión que modela dicho rozamiento es:
ωµθ
µτ ⋅−=⋅−=dt
d
Dinámica de Sistemas
- 2.30 -
2.3.6.3 Engranajes y cajas de reducción
Se trata de mecanismos que transmiten el movimiento giratorio. Existen también otros
dispositivos similares: Correas de transmisión, etc. Son utilizados con frecuencia para
reducir la velocidad de giro, amplificar el par o para obtener una transferencia de
potencia más eficiente.
Teniendo en cuenta que, al no haber deslizamiento, los desplazamiento y las
velocidades lineales en el punto de contacto de los dos engranajes han de ser iguales:
2211 rr ⋅=⋅ ωω ; ⇒⋅=⋅ 2211 rr θθ 1
2
2
1
2
1
r
r==
θθ
ωω
Si se desprecian las pérdidas por fricción la potencia de entrada al sistema es igual a la
potencia de salida, por tanto:
⇒⋅=⋅ 2211 ωτωτ2
1
1
2
1
2
2
1
r
r===
θθ
ωω
ττ
En consecuencia, un conjunto de engranajes se representa por una ganancia que es
igual a la proporción entre los radios de los engranajes.
Figura.-2.20 Sistemas de engranajes: par de acción
Además, a la hora de encontrar el modelo completo del sistema hay que tener en
cuenta que a cada par de acción sobre los engranajes corresponde un par de reacción ( ver
la figura):
Figura.-2.21 Sistemas de engranajes: par de reacción
Dinámica de Sistemas
- 2.31 -
2.3.7 Sistemas electromecánicos
Por elementos electromecánicos se entiende aquellos que transforman energía eléctrica
en energía mecánica. Bajo este epígrafe pueden incluirse muchos tipos de actuadores,
pero en el presente tema solo se abordará la descripción de motores de corriente continua.
de imán permanente controlado por inducido. Básicamente este tipo de motores consiste
en unas bobinas (inducido) por las que se hace circular una corriente. Debido a esta
circulación se genera un campo magnético, que interacciona con el campo magnético de
un imán, lo que produce el giro del inducido.
Para modelar este sistema hay que considerar tanto el aspecto mecánico como el
eléctrico. Son varias la representaciones y modelos que se pueden obtener de este tipo de
motores. No obstante, teniendo en cuenta que fundamentalmente un motor se utiliza para
conseguir una rotación a partir de una señal eléctrica de entrada, en este punto se
encontrará un modelo que presenta la velocidad de giro ω como salida y la tensión de
entrada ∆V como señal de entrada.
Figura.-2.22 Diagrama de bloques de un motor
Considerando la parte eléctrica, la tensión eléctrica de entrada V1-V2 se aplica a un
circuito que tiene una resistencia R, una autoinducción L y una caída de tensión (o fuerza
contraelectromotriz) Vce que es proporcional a la velocidad angular ω con la que gira el
motor ( ver figura 2.23). Por tanto estas relaciones pueden expresarse en la forma:
ceVdt
diLiRVV ++⋅=− 21 ; )(tkV cce ω⋅=
donde i es la intensidad que recorre el circuito (denominada intensidad de armadura) y kc
recibe el nombre de constante electromotriz.
Dinámica de Sistemas
- 2.32 -
Figura.-2.23 Esquema de un motor
Considerando la parte mecánica, la interacción entre los campos magnéticos genera
un par que al ser aplicado a un sistema de momento de inercia J y rozamiento viscoso de
constante µ (ver figura) permite escribir las ecuaciones:
dt
dJ
ωµωτ ⋅=−
Por otra parte, el par debido a la interacción entre los campos magnéticos es proporcional
a la intensidad que recorre el circuito:
ik p ⋅=τ
A partir de estas ecuaciones es posible escribir la siguiente ecuación diferencial L.T.I.
que permite modelar el comportamiento de la velocidad de giro ω respecto de la tensión
de entrada.
Vkk
R
dt
d
k
RJL
dt
d
k
JLc
ppp
∆=
++
++⋅ ωµωµω2
2
Obsérvese, que resulta una ecuación de segundo orden, si bien en aplicaciones prácticas
es habitual considerar el valor de L como despreciable, con lo cual la expresión se reduce
a una ecuación de primer orden.
2.3.8 Sistemas Hidráulicos
En este tipo de sistemas se trata de modelar la circulación de líquidos debido a la
diferencia de presión. Anteriormente se han introducido como ejemplos modelos
simplificados de sistemas hidráulicos. Los modelos introducidos en este apartado no son
Dinámica de Sistemas
- 2.33 -
tan sencillos como en aquellos ejemplos, ya que contemplan la aparición de fenómenos
no lineales. No obstante, en la última parte de este tema se introducen las técnicas de
linealización que permiten convertir estas ecuaciones no lineales en otras lineales como
las expuestas en los ejemplos.
La ecuación de flujo que se aplica en estos sistemas surge de la ley de conservación de
masas, es decir, la variación de masa en el sistema es igual a la cantidad de masa que
entra menos la que sale.
A continuación se detallan los elementos más frecuentes en estos sistema.
2.3.8.1 Tuberías, válvulas y grifos
Son elementos por los que circula líquido debido a una diferencia de presión. La
tubería ejerce una resistencia natural al paso del líquido, aunque ésta puede ser
aumentada gracias a la conexión de válvulas o con grifos.
Figura.-2.24 Tubería con una válvula o grifo
Existen distintos tipos de comportamientos y modelos de circulación de los líquidos,
el más común es el llamado de circulación en régimen turbulento. En este régimen el
caudal o flujo de líquido por unidad de tiempo q(t) ( es decir, el volumen de líquido que
atraviesa la sección de la tubería por unidad de tiempo) es proporcional a la raíz cuadrada
de las diferencias de presiones:
21)( ppktq p −⋅=
donde p1 y p2 representan respectivamente las presiones al principio y al final de la
tubería y kp es un parámetro que depende del diámetro de la tubería, del material del que
está hecha o puede depender de la geometría de una válvula que tenga instalada la tubería
o de lo más o menos apretado que estuviera un grifo que pudiese tener la tubería.
Dinámica de Sistemas
- 2.34 -
2.3.8.2 Depósito
Se trata de un elemento que es capaz de acumular líquido. Normalmente cuenta con un
canal de alimentación en el que hay un caudal de entrada y un canal de salida por el que
se suministra un caudal de salida. Debido al efecto de la presión hidrostática la presión de
que impulsa el caudal de salida es proporcional a la altura del líquido acumulado.
Dada la incompresibilidad de los líquidos, la ley de conservación de masas puede ser
convertida en una relación entre volúmenes que determina la ecuación de flujo:
0qqdt
dVi −=
donde V es el volumen de líquido, qi es el caudal entrante y qo es el caudal de salida.
Si se considera la presión hidrostática y que el líquido circula en régimen turbulento,
la anterior relación entre volumen y caudal puede convertirse en una relación entre caudal
de entrada y alturas. Por ejemplo, para el caso el caso de la siguiente figura donde dos
depósitos están enlazados por una tubería, considerando la presión hidrostática y la
relación entre volumen y altura:
11 )( hgdtp ⋅⋅= ; 00 )( hgdtp ⋅⋅= ; hCV ⋅=
Figura.-2.25 Depósitos conectados
el caudal intermedio q1 y el de salida qo pueden escribirse como:
011 )( ppktq p −⋅= ; →⋅= 020 )( pktq
0121 )( hhktq p −⋅= ; 020 )( hktq p ⋅=
Por tanto, las ecuaciones que modelan el sistema quedan:
para el primer depósito:
Dinámica de Sistemas
- 2.35 -
ip qhhkdt
dhC =−⋅+⋅ 012
1
y para el segundo:
0)( 01020 =−−⋅+⋅ hhhk
dt
dhC p .
Si se considera el modelo de un solo depósito como el representado en la figura,
Figura.-2.26 Sistema de llenado de un depósito
el modelo queda en la forma:
ip qhkdt
dhC =⋅+⋅
Como puede observarse, las expresiones obtenidas son ecuaciones no lineales, pues
involucran el término raíz cuadrada de la función incógnita. A continuación, se abordará
el problema de su linealización.
2.4 No linealidades, Linealización
La mayoría de los fenómenos del mundo real presentan características no lineales.
Los sistemas lineales resultan convenientes por la sencillez en su tratamiento y análisis.
Las ecuaciones con no linealidades son de difícil manejo. Gracias a la linealización de
ecuaciones no lineales es posible aplicar numerosos métodos de análisis lineal que
producirán información acerca del comportamiento del sistema no lineal.
Por otra parte, los sistemas suelen evolucionar en torno a un punto de trabajo. Se
denomina punto de trabajo al valor que toman las variables de estado, en las condiciones
en las que el sistema se encuentra normalmente.
Dinámica de Sistemas
- 2.36 -
Una función no lineal puede aproximarse en un determinado rango por una función no
lineal. A este procedimiento se le llama linealización. Es posible aproximar el modelo no
lineal de un sistema por un modelo lineal en torno al punto de trabajo del sistema. El
proceso de linealización que aquí se presenta se basa en la aproximar la función no lineal
mediante una serie de Taylor en la vecindad del punto de operación, despreciando los
términos de más alto orden y reteniendo sólo el término lineal.
El modelo linealizado tiene una serie de propiedades:
§ Mantiene las características del sistema en el entorno del punto de trabajo.
§ Es posible tratarlo con la facilidad de los sistemas lineales.
§ Tiene asociado un error que será mayor cuanto más se aleje el sistema del
punto de trabajo.
Supóngase que se dispone de una función que depende de dos variables f(x1, x2),
mediante el Polinomio de Taylor dicha función puede aproximarse en un intervalo del
punto x0 (x10, x20) en la forma:
)()(),(),( 202
02101
01201021 xx
x
fxx
x
fxxfxxf
xx
−∂∂
+−∂∂
+= +términos de orden superior
Si se desprecian los términos de orden superior, esta ecuación puede escribirse:
)()( 202
02101
010
xxx
fxx
x
ff
xxx
−∂∂
+−∂∂
=∆
Hay que señalar que los términos 01 x
x
f
∂∂
y 02 x
x
f
∂∂
son dos números constantes que se
obtienen al evaluar las derivadas parciales de f respecto a las variables en el punto x0.
Por tanto, está claro que el incremento de la función 0x
f∆ en el entorno del punto x0 se
puede expresar como una relación lineal e invariable en el tiempo.
Para aplicar estos razonamientos a la Linealización de un sistema no lineal, se supone
que se dispone de una representación externa donde hay una señal de entrada U(t) y una
función de salida x(t), expresada mediante una ecuación diferencial no lineal en la forma:
Dinámica de Sistemas
- 2.37 -
),,...,(),,...,()( 1 xxxfxdt
dx
dt
xdftU n
n
n
==
observe que por comodidad se ha cambiado la notación y la enésima derivada n
n
dt
xd se
escribe xn .
La idea es encontrar una ecuación diferencial que aproxime la ecuación no lineal en el
punto de trabajo: t = 0, U(0), X0 (x0, 1x0, ....,
nx0 ) y que además sea lineal. Para ello se
desarrolla la función mediante el polinomio de Taylor, considerando como variables cada
una de las derivadas de x, es decir:
)()(...)( 00
011
010
00
xxx
fxx
x
fxx
x
fU
xx
nn
Xnx
−∂∂
+−∂∂
++−∂∂
=∆
Llamando 0
)(x
Utu ∆= , 0X
nnx
fa
∂∂
=0
11xx
fa
∂∂
=K0
0xx
fa
∂∂= , )( 0xxy −= , esta
última expresión puede escribirse en la forma:
yadt
dya
dt
ydatu
n
n
n 01...)( +++= .
La cual representa una ecuación lineal donde la función de entrada u(t) representa el
incremento del valor de U respecto al punto de trabajo y la variable de salida y es el
incremento de x respecto del valor que toma en el punto de trabajo.
Ejemplo: Linealizar la ecuación que modela el llenado de un depósito como el
descrito en los puntos anteriores, cuya ecuación es:
)(tQHkdt
dHC p =⋅+⋅
En este caso HkHCf p ⋅+⋅= 1 y se considera que el punto de trabajo es
H0 , 1H0 y Q0 . Se tiene que:
CH
f
H
=∂∂
01
1
;00 2 H
k
H
f
H
=∂∂
; h = H(t)-H0; q(t)= Q(t)-Q0.
Dinámica de Sistemas
- 2.38 -
Aplicando lo dicho con anterioridad el desarrollo queda:
))(())(()( 00
011
010 HtH
H
fHtH
H
fQtQ
HH
−∂∂
+−∂∂
=−
y por lo tanto:
)(tqR
h
dt
dhC =+⋅
donde 02
1
H
k
R= .
Lo que representa una ecuación lineal e invariante en el tiempo tal y como se ha
introducido en los primeros ejemplos del tema.
Dinámica de Sistemas
-2.39-
2.5 PROBLEMAS
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1
En una empresa con P(t) empleados se producen unidades del producto A, cada uno de los
empleados produce 5 unidades por día. Se pretende que el número de unidades almacenadas,
N(t), sea igual a Ad; para ello diariamente se contratan o despiden a C empleados. Se supone que
V representa el número de unidades vendidas diariamente y que el período en que se estudia el
proceso es suficientemente grande como para considerar que las magnitudes evolucionan de
forma continua en el tiempo. Encuentre ecuaciones diferenciales que modelen la aplicación de
las siguientes políticas de contratación:
a) Se contratan o despiden un número de empleados igual a la diferencia Ad - N(t).
b) Se contratan o despiden un número de empleados igual a Ad - N(t)-(dN(t)/dt)
Dibuje un diagrama causal que permita interpretar el comportamiento del sistema.
Solución:
N
C
V+
tdd 2
N 5td
d Ptd
dV–⋅
= 5 Ad N–( )td
dV–⋅=
tdd 2
N 5N+ 5Adtd
dV–=
tdd
P C Ad N t( )–td
dN t( )–= =
tdd 2
N 5 Ad N t( )–td
d N t( )–
tddV
–=
tdd
P C Ad N t( )–= =
tddN
5 P V–⋅=
derivando en (1)
tdd 2
N 5td
d N 5N++ 5Adtd
dV–=
(1)a)
b)
P+
Diagrama causal:
Ad+
Dinámica de Sistemas
-2.40-
PROBLEMA 2
Obtenga los modelos de representación externa y modelo de estado de los sistemas mostrados en
las figuras.
i) Sistema Mecánico:
Solución:
ii) Sistemas eléctrico
Solución:
mk1
x1(t)
µ
x2(t)V. Salida V. Entrada
k2
mx1·· ΣF k1 x1⋅– µ x1
·⋅– k2 x1 x2–( )⋅– mx1·· µx1
·x1 k1 k2+( )⋅+ + k2x2= = = =
Modelo de estado:
y1 x1=
y2 x1·
=
y1·
y2=
y2·
x1·· k2x2
m------------ µ
m----x1
·–
k1 k2+( )
m-----------------------x1–= =
y1·
y2·
0 1
k1 k2+( )
m-----------------------–
µm----–
y1
y2
0
k2m-----
x2⋅+⋅=
vi(t)
V. Entrada vo(t)V. Salida
R
L
IVi V0–
R------------------ V0 0–; L
tddI= = Vi RI V0+=
td
dViR
tdd I
td
dV0+ R
L---V0 td
dV0+= =
td
dVi
tdd V0
RL---V0+=
;
Dinámica de Sistemas
-2.41-
iii) Sistema hidráulico
Solución:
H0+h(t)
Fi+fi(t)
Fo+fo(t)
V. Entrada
V. SalidaRC
-href
+
fi t( ) k1 href h t( )–( ) k2 href h t( )–( ) td∫+=
El modelo linealizado quedaría: Ctd
dh⋅ fi1R---h–=
fi k1 href h–( ) k2 href h–( ) td∫+ Ctd
dh⋅⇒ k1 href h–( ) k2 href h–( ) 1R---h–∫+= =
Derivando, ordenando y reagrupando:
Ct
2
dd h k1
1R---+
+td
dh k2h+ k2href=
Dinámica de Sistemas
-2.42-
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
PROBLEMA 3
Obtenga los modelos de representación externa y modelo de estado de los sistemas mostrados en
las figuras.
i) Sistemas Mecánicos:
Solución:
m
kµ
x(t)
x0(t)m
k1f(t)
x1(t)
m
k2
µ
x2(t)
V. Entrada
V. Salida
V. Entrada
V. Salida V. Salida
a) b)
mx·· t( ) ΣF k x t( ) x0–( )– µ x· t( ) x·0–( )– mx·· t( ) µx· t( ) x t( )+ + kx0 µx·0+= = = =
Como hay 2 masas hay 2 ecuaciones:
mx··1 ΣF k1x1– µx·1– k2 x1 x2–( )–= =
mx··2 ΣF µx·2– k2 x2 x1–( )– F t( )+= =
mx1·· µx1
·k1 k2+( )x1+ + k2x2=
mx2·· µx2
·k2x2+ + k2x1 f t )( )+=
a)
b)
y1·
y2·
y3·
y4·
0 1 0 0
k1 k2+( )
m-----------------------–
µm----–
k2
m---- 0
0 0 0 1
k2
m---- 0
k2
m----–
µm----–
y1
y2
y3
y4
00
0
1m----
f t( )⋅+⋅=
y1 x1=
y2 x1·
=
y1·
y2=
y2·
x1·· k2
m---- x2
µm----x1
·–
k1 k2+( )m
---------------------x1–⋅= =
y3 x2=
y4 x2·
=
y3·
y4=
y4·
x2·· k2
m---- x1
µm----x2
·–
k2m-----x2 f t( )+–⋅= =
Modelo de estado:
Dinámica de Sistemas
-2.43-
ii) Sistemas eléctricos
Soluciones:
vi(t)V. Entrada
V. Salidavo(t)
R1 R2
C1 C2
+
-vi(t)V. Entrada
V. Salidavo(t)
C
R1
R2
R3
a)
b)
I1 I2 I3+=
Vi V1–
R1------------------ I1=
td
dV1 I2C1-------=
C1 td
dV1 I2=
V1 V0–
R2------------------- I3= V1 R2I3 V0+ R2C2 td
d V0 V0+= =
td
dV1R2C2 t
2
dd V0 td
dV0+=
Vi R1I1 V1+= Vi R1 I2 I3+( ) V1+⋅=
Vi R1 C1 tdd V1 C2 td
dV0+
V1+⋅=
Vi R1C1R2C2 t
2
dd V0 R1C1 td
d V0 R1C2 tdd V0 R2C2 td
d V0 V0++++=
Vi R1C1R2C2 t
2
dd V0 R1C1 R1C2 R2C2+ +( )
tdd V0 V0++=
Vi
R2
I2 I1
V0
I3V1
R1
C2C1
a) El circuito puede dibujarse:;
(2)
td
dV1De (1) y (2) puede sustituirse en (3) el valor de V1 y de
(3)
tddq
I=
V1q
C1
------=C2 td
dV0 I3=
(1)
Dinámica de Sistemas
-2.44-
PROBLEMA 4
El sistema de tracción de un robot puede ser modelado de acuerdo al esquema de la figura; es
decir, la rueda se mueve por acción de un par aplicado a través de un sistema de engranajes que
presentan un coeficiente de rozamiento viscoso µ. Encontrar una ecuación diferencial que
modele el desplazamiento longitudinal del sistema, considerando como entrada, τ(t), el par
aplicado a los engranajes.
Solución:
b)
V0Vi
V1
I1 I2
C
R1
R2
R3
El circuito puede dibujarse:
Vi V1–qC----= V1 R1 I1⋅=
V0 V– 1 R2 I2⋅= V1 R3 I2⋅=
;
;
tddq
I1= ;
V1
R3
R2 R3+------------------ V0⋅=
td
dVi
td
dV1 V1
C R1⋅--------------+=
td
dVi R3
R2 R3+------------------
td
dV0 R3
R2 R3+( ) C R1⋅ ⋅------------------------------------------
V0+=
Ι,Μ
R
τ(t)
x(t)
θ
V. Salida
e)
n1
n2
µ
FR
τ2Sobre la rueda actúan:
-El par τ2, aplicado por los engranajes
- El rozamiento viscoso de los engranajes
-La fuerza de rozamiento Fr aplicada por el suelo
Dinámica de Sistemas
-2.45-
It
2
dd θ⋅ τ2 µ
tddθ⋅– Fr R⋅–=
mt
2
dd x Fr=
θ R⋅ x= Rt
2
dd θ
t
2
dd x
=
IR---
t
2
dd x⋅ τ2
µR---
tddx m
t
2
dd x R⋅ ⋅–⋅–=
I mR2
+R
-------------------
t
2
dd x µ
R---
tddx+ τ2=
Como τ1τ2-----
N1N2------- τ2→
N2N1-------τ1= =
I mR2
+R
-------------------
t
2
dd x µ
R---
tddx+
N2N1-------τ1=
Dinámica de Sistemas
-2.46-
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 5
2) Obtenga los modelos de representación externa de los sistemas mostrados en las figuras.
PROBLEMA 6
En una población de bacterias x(t) representa el numero de bacterias en cada instante de tiempo.
La población presenta un índice de reproducción de N reproducciones por bacteria y segundo, y
un índice de mortandad de M muertes por bacteria y segundo. Se incorporan o eliminan bacterias
de una forma continua, a un ritmo de R bacterias segundo Encuentre las ecuaciones diferenciales
que modelan las siguientes situaciones:
a) N = 0.02, M =0.05, R =1.
b) N = 0.03, M =0.01, R =-1.
b) El índice de mortandad presenta una relación lineal en la forma M = M0+ k x(t)
con N = 3, M0 =1, k= 0.1, R =-5.
m
µ1
f(t) x(t)
k1
k2µ2
Ι
R
f(t)
θ
x(t)
V. Entrada V. Salida
V. Salida
V. Entrada
a) b)v0(t)
V. Entradai(t)
V. Salida
R L C
c)