TEMA 3: EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES · ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 1 RESOLUCIÓN

Ámbito Científico-Tecnológico-Módulo III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES

Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 1

TEMA 3: EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de primer grado:

a) 23

66315855815 xxxxxxx

b) 411

4444117373837378 xxxxxx

c) 99

81819180980918081

xxxxxx

d) 887117 xxx

e) 997

63637

xxx

f) 383812262612 xxx

g) 772

1414231121132 xxxxx

h) 44812128 xxx

i) 4415

606015 xxx

j) 777

49497 xxx

k) 333315484815 xxx

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis:

a) 227

141477777777)1·(7

xxxxxx

b)

6621

126126216569185324

9318565624)3·(31856)73·(8

xxxxx

xxxx

c) 30121823122318)6·(2)6·(3 xxxxxxx

d)

333

9

939186918699)3·(6)1·(9

xx

xxxxxxx

e) 99123663126)3(12 xxxxx



f)

558

40

4087232241672243216)3·(24)2·(16

xx

xxxxxxx

g) 33512312533125)1·(3 xxxxxxx

h)

336

18

1861444244142)1·(4)7·(2

xx

xxxxxxx

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores:

a)

1115

151515

11824202492420241189241012·2163·3

6

4·6

6

)56·(2·2

6

1

6

)2·(3·34

3

)56·(2

6

1

2

)2·(3

xxx

xxxxxx

xxxx

b)

113

333

423936339642)13·(3)7·(66

13

3

7

xxx

xxxxxxxx

c)

664

2424416884

16884)2·(8)2·(44

2

8

20

4

2

8

2

xxxxx

xxxxxxxx

PROBLEMAS

1. Antonio tiene 5 años, su hermano Roberto 19 y su padre 41. ¿Cuántos años han de

transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

Planteamiento

Edades presentes Edades en x años

Antonio=5 años 5+x

Roberto=19 años 19+x

Padre=41 años 41+x

171954141)19()5( xxxxxxx

Respuesta

Han de transcurrir x=17 años



2. Se han mezclado 60 litros de aceite barato con 20 litros de aceite caro, resultando la

mezcla a 1.75 euros/litro. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendo que el de

más calidad es 4 veces más caro que el otro.

Planteamiento

Cantidad Precio/litro Coste

Aceite barato 60 l x 60·x

Aceite caro 20 l 4x 20·4x

Mezcla 80 l 1,75€ 80·1,75=140€

1140

14014014014080601404·20·60 xxxxxx

Respuesta

El aceite barato cuesta x=1€/litro y el caro 4x=4·1=4€/litro.

3. El padre de Antonio tiene 38 años y él 6. ¿Dentro de cuántos años la edad de su padre

será doble de la de Antonio?

Planteamiento

Edades presentes Edades en x años

Antonio=6 años 6+x

Padre=38 años 38+x

26263812221238)6·(238 xxxxxxxx

Respuesta

Dentro de 26 años la edad de su padre será 64 años, que será el doble de la de Antonio, que tendrá

32 años.

4. Josefa tiene 7 años menos que su prima Begoña y dentro de 15 años la suma de sus

edades será 53 años. ¿Qué edad tiene cada una?

Planteamiento

Edades presentes Edades en 15 años

Josefa x-7 (x-7)+15

Begoña x x+15

152

303027151553531515)7( xxxxxx

Respuesta

Begoña tiene x=15 años y Josefa x-7=8 años.

5. El patio de mi colegio mide 25 metros más de largo que de ancho. Si su perímetro es

270 metros, ¿cuál es su longitud y su anchura? Planteamiento

Ancho=x

Largo=x+25

Perímetro=2·ancho+2·largo



554

22022045027042705022270)25·(22 xxxxxxx

Respuesta

El ancho es x=55 metros y el largo=x+25=55+25=80 metros.

6. En la repoblación de un río mueren la tercera parte de los alevines arrojados al agua.

¿Cuántos alevines se soltaron, si quedan vivos 2748?

Planteamiento

Alevines que se soltaron=x

Alevines que se murieron=3

x

41222

8244

82442)2748·(3227483

32748

32748

3

x

xxxx

xx

xx

Respuesta

Se soltaron x=4122 alevines

7. Se quieren repartir 99 plátanos entre tres monos de modo que el primero reciba 14

plátanos más que el segundo, y el tercero, 16 menos que el primero. ¿Cuántos recibirá

cada uno?

Planteamiento

Primer mono=x plátanos

Segundo mono=x-14 plátanos

Tercer mono=x-16 plátanos

433

129129314169999)16()14( xxxxxxxx

Respuesta

Primer mono=x=43 plátanos

Segundo mono=x-14=43-14=29 plátanos

Tercer mono=x-16=43-16=27 plátanos

8. La valla que rodea un campo rectangular mide 3200 metros. ¿Cuáles son las

dimensiones del campo si su largo es triple que su ancho?

Planteamiento

Ancho=x

Largo=3x

Valla=2·ancho+2·largo

4008

32003200832006232003·22 xxxxxx

Respuesta

El ancho es x=400 metros y el largo 3x=3·400=1200 metros.



EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Resuelve utilizando el método de sustitución los sistemas de dos ecuaciones de dos

incógnitas siguientes:

a)

222020·8

0071181871

18187218)28·(928189

28

yy

xxx

xxxxxyyx

yx

b)

xy

yyx

152

4307

yx

yyx

215

3047

152

3057

yx

yx305)152·(7152 yyyx

c)

151515301515·2

159

135135910530930510514

xx

yyyyy

d)

33963·36

337

212171837

3291832)36·(33663

323

xx

yyyy

yyyyyxyx

yx

e)

2211

114

444

5949559)1·(511

95

xx

yyy

yyyyyyxyx

yx

f)

442·2

2234232·2202

232

xx

yyyyyyxyx

yx



2. Resuelve utilizando el método de igualación los sistemas siguientes:

a)

3

273

230

yx

yx

273)230·(33

273230

3

273

230

yyy

yyx

yx

a. 139

1171179902736273690

yyyyyy

b. 44263013·230 xx

b)

xy

xy

322

51

2

32

51

xy

xy

xx

xx 32)51(2

2

3251

c) 11010·51

00822353252

yy

xxxxxx

d)

9

25

36

100100361993611·913611

9

13611

9

14

9

11911128

81211)23·(411234

11

23

4

11

32

114

xxxxx

x

yyyy

yyyyyy

yx

yx

yx

yx

e)

33581·58

1114

141414241015

10152410)58·(33

1058

3

10

58

103

85

yy

xxxxx

xxxxx

xxy

xy

yx

yx

f)

224642·3

2

25

1010546232643

26

43

62

43

yy

x

xxxxxxxy

xy

yx

yx



3. Resuelve utilizando el método de reducción los sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas siguientes:

a)

2133

4645

yx

yx

5)·2133(

3)·4645(

yx

yx

1051515

1381215

yx

yx

243270

1051515

1381215

y

yx

yx

9927

243

yy

223

6632127321273219·33 xxxxxx

b)

2923

78210

yx

yx

4907

2923

78210

x

yx

yx

77

49

x

442

8827078278270782)7·(10

yyyyyy

c) 45

20205

823

1222

823

2)·6(

823

6

xx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

2005 x

246646 yyyx

d) 77

49497

4026

92

2)·203(

92

203

92

xx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

4907 x

12

27929792 yyyyx

e) 13

333

628

325

)2)·(34(

325

34

325

xx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

303 x

12

2532325321·5325

yyyyyx



PROBLEMAS

1. Una envasadora de agua vende botellas de 2 y 5 litros. Si ha envasado 5392 litros en

1844 botellas. ¿Cuántas botellas de 2 y 5 litros ha usado? Planteamiento:

Número de botellas de 2 litros=x

Número de botellas de 5 litros=y

539252

1844

yx

yx

539252

)2)·(1844(

yx

yx

539252

368822

yx

yx

170430

539252

368822

y

yx

yx

5683

1704y

1276127656818441844568 xxx

Respuesta

Número de botellas de 2 litros=x=1276 botellas

Número de botellas de 5 litros=y=568 botellas

2. Un fabricante de televisores obtiene un beneficio de 44 euros por cada televisor que

vende y sufre una pérdida de 51 euros por cada televisor defectuoso que debe retirar

del mercado. Un día ha fabricado 458 televisores obteniendo unos beneficios de 6092

euros. ¿Cuántos televisores buenos y defectuosos ha fabricado ese día? Planteamiento: Cantidad Beneficios Coste

Buenos x 44€ 44·x

Defectuosos y -51€ -51·y

Totales 458 6092€

60925144

458

yx

yx

14895

14060140609520152609295

6092514420152609251)458·(44

458

yyy

yyyy

yx

310148458 x

Respuesta

Número de televisores buenos=x= 310

Número de televisores defectuosos=y= 148

3. La suma de dos números es 12 y su cociente es 3. Halla estos números. Planteamiento:

Uno de los números es x, el otro es y

3

12

y

x

yx

yx

yx

3

12Método de sustitución 3

4

12124123 yyyy

93·33 yx

Respuesta

Uno de los números es x=9 y el otro es y=3.



4. La suma de las dos cifras de un número es 10 y la cifra de las decenas es cuádruple

de la cifra de las unidades. Halla el número. Planteamiento:

Cifra de las unidades=x

Cifra de las decenas=y

xy

yx

4

10Método de sustitución 2

5

10105104 xxxx

82·44 xy

Respuesta

El número buscado es 82, ya que la cifra de las decenas es y=8 y la de las unidades x=2.

5. Halla las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos años para

tener cinco veces la edad del menor y que si el mayor tuviera seis años menos tendría

la edad del menor. Planteamiento:

Edad del menor=x

Edad del mayor=y

xy

xy

6

52

6

25

yx

yxMétodo de reducción

)1)·(6(

25

yx

yx

84

6

25

x

yx

yx

24

8

x 86226 yy

Respuesta

Edad del menor=x=2 años

Edad del mayor=y=8 años

6. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace diez años la edad del padre era

triple que la del hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo?

Planteamiento

Edades presentes Edades hace 10 años

Hijo=x años x-10

Padre=y años y-10

)10·(310

2

xy

xyMétodo de sustitución 303102)10·(3102 xxxx

2020103032 xxxx

4020·22 xy

Respuesta

La edad del hijo son x=20 años y la del padre y=40 años.



7. Por 560 ptas. se han comprado 6 kg. de azúcar de la clase A y 2 kg. de azúcar de la

clase B. Se mezcla 1 kg. de azúcar de cada clase y se obtiene una mezcla que vale 75

ptas. el kg. ¿Cuánto vale el kilogramo de azúcar de la clase A? ¿Y el de la clase B?

Planteamiento

Cantidad Precio/kg Coste Coste mezcla

Azúcar A 6 kg x 6·x 1·x

Azúcar B 2 kg y 2·y 1·y

560 pts 2kg·75

75·2

56026

yx

yx

150

56026

yx


)2)·(150(

56026

yx

yx

26004

30022

56026

x

yx

yx

654

260x 856515015065 yy

Respuesta

El kilo de azúcar de clase A vale x=65pts y el kilo de azúcar de la clase B vale y=85pts.

8. En una feria de ganado hemos comprado 3 potros y 5 corderos por 1375 €, mientras

que un vecino ha adquirido 1 potro y 8 corderos por 680 €. ¿Cuál era el precio de cada

animal?

Planteamiento

Precio del potro=x

Precio del cordero=y

6808

137553

yx


)3)·(6808(

137553

yx

yx

665190

2040243

137553

y

yx

yx

3519

665

y 40028068068035·8 xx

Respuesta

Precio del potro=x=400€

Precio del cordero=y=35€



ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

1)

17

6

17

66170617

222xxxx No hay solución real

2)

2

2444

4

161640164

2222xxxxx

Solución: 2x;2x

3)

4

2

882082

0

0)82·(0822

xxx

x

xxxx

Solución: 4x;0x

4)

3

6

181860186

0

0)186·(01862

xxx

x

xxxx

Solución: 3x;0x

5)

82

16

2

124

42

8

2

124

2

124

2

1444

2

128164

1·2

)32·(1·4)4(40324

2

2xxx

Solución: 8x;4x

6)

62

12

2

111

52

10

2

111

2

111

2

1211

2

12011

)1·(2

30)·1·(4)1(1030

2

2xxx

Solución: 6x;5x



7)

2

3

4

6

4

15

14

4

4

15

4

15

4

15

4

24255

2·2

3·2·4)5(50352

2

2xxx

Solución: 2

3x;1x

8)

46

24

6

1014

3

2

6

4

6

1014

6

1014

6

10014

6

9619614

3·2

8·3·4)14(1408143

2

2xxx

Solución: 4x;3

2x

9)

210

20

10

911

5

1

10

2

10

911

10

911

10

8111

10

4012111

5·2

2·5·4)11(1102115

2

2xxx

Solución: 2x;5

1x

10)

62

12

2

210

42

8

2

210

2

210

2

410

2

9610010

1·2

24·1·4)10(1002410

2

2xxx

Solución: 6x;4x

11)

2

24x4x

9

36x36x9036x9

2222

Solución: 2x;2x

12)

2

24x4x

49

196x196x490196x49

2222

Solución: 2x;2x



13)

7

1

70

10

70

199

5

2

70

28

70

199

70

199

70

3619

70

280819

35·2

)2·(35·499x02x9x35

2

2

Solución: 7

1x;

5

2x

14)

42

8

2

62

22

4

2

62

2

62

2

362

2

3242

1·2

)8·(1·4)2(2x08x2x

2

2

Solución: 4x;2x

15)

4

1

8

2

8

1311

38

24

8

1311

8

1311

8

16911

8

4812111

4·2

)3·(4·4)11(11x03x11x4

2

2

Solución: 4

1x;3x

16)

38

24

8

1113

4

1

8

2

8

1113

8

1113

8

12113

8

14816913

4·2

3·4·4)13(13x03x13x4

2

2

Solución: 3x;4

1x

17)

54

20

4

911

2

1

4

2

4

911

4

911

4

8111

4

4012111

2·2

5·2·4)11(11x05x11x2

2

2



Solución: 5x;2

1x

18)

72

14

2

113

62

12

2

113

2

113

2

113

2

16816913

1·2

42·1·4)13(13x042x13x

2

2

Solución: 7x;6x

19)

2

1

6

3x3x603x6

0x

0)3x6·(x0x3x62

Solución: 2

1x;0x

20)

8

9x9x809x8

0x

0)9x8·(x0x9x82

Solución: 8

9x;0x

21)

4

1

12

3x3x1203x12

0x

0)3x12·(x0x3x122

Solución: 4

1x;0x

22)

2

1x

2

1

4

2x2x402x4

222

Solución: No tiene solución real.

23)

4

3x

4

3

8

6x6x806x8

222


24)

2x24

8x8x408x4

222




25)

2

24x4

4

16x16x4016x4

222

Solución: 2x;2x

26)

3

39x9

8

72x72x8072x8

222

Solución: 3x;3x

PROBLEMAS

1. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del

padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo? Planteamiento

Edades presentes Edades en 24 años

Hijo x años 24x 24·2242

xx

Padre 2

x años 242x

62

12

2

102

42

8

2

102

2

102

2

1002

2

9642

1·2

)24·(1·4)2(2

02420482424822424·224

2

2222

x

xxxxxxxx

Respuesta

De las dos soluciones, la única válida es x=6. Por tanto:

Edad del Hijo= x = 6 años

Edad del Padre=2

x = 36 años

2. Dados tres naturales pares consecutivos se sabe que si al cuadrado el mayor se le

resta el cuadrado de los otros dos se obtiene el número 12. ¿Cuáles son estos tres

números? Planteamiento

Primer número=x 1224222

xxx

Segundo número=x+2

Tercer número=x+2+2=x+4

4404

0

04·0401241648

0124416812)44(168

2222

222222

xxx

x

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

Respuesta: hay dos respuestas en función de la solución que tomemos

Si x=0 Si x=4

Primer número=x 0 4

Segundo número=x+2 2 6

Tercer número=x+2+2=x+4 4 8

Es decir pueden ser 0,2 y 4 o bien 4,6 y 8.



3. Hay un número natural tal que al sumarle 8 y multiplicar la suma por el número que

resulta al restarle 3 al número natural, da como producto 476. ¿Cuál es ese número

natural? Planteamiento

Número buscado=x 4763·8 xx

202

40

2

455

252

50

2

455

2

455

2

20255

2

2000255

1·2

)500·(1·455

0500504762454762438

2

222

x

xxxxxxx

Respuesta: el número buscado es x=20, ya que es natural. La solución x=-25 no es válida, al no ser

natural.

4. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es

580. ¿Cuáles son esos números? Planteamiento

Primer número=x

Segundo número=x+2 580)2(22 xx

164

64

4

684

184

72

4

684

4

684

4

46244

4

4608164

2·2

)576·(2·444

057642058044258044

2

2222

x

xxxxxxx

Respuesta: de las dos soluciones tomo x=16, ya que es el único natural. Por tanto los números

buscados serán:

Primer número=x=16

Segundo número=x+2=16+2=18

5. El cuadrado de un número menos su duplo es -1. Calcula ese número. Planteamiento

Número buscado=x 122

xx

12

02

2

02

2

442

1·2

1·1·4)2(2012

2

2

xxx

Respuesta: el número buscado es x= 1.



6. El producto de dos números enteros consecutivos es 156. Calcula esos números. Planteamiento

Primer número=x

Segundo número=x+1 156)1·( xx

122

24

2

251

132

26

2

251

2

251

2

6251

2

62411

1·2

)156·(1·4110156

2

2xxx

Respuesta: hay dos pares de soluciones posibles, dependiendo del valor de x que tome:

a) Si el primer número es x=-13, el segundo será x+1=-13+1=-12.

b) Si el primer número es x=12, el segundo será x+1=12+1=13.

7. Si a un número se le añade 3 y a ese mismo número se le resta 2, el producto de los

dos factores resultantes es igual a 24. Halla dicho número.

Planteamiento

Número buscado=x 24)2)·(3( xx

52

10

2

111

62

12

2

111

2

111

2

1211

2

12011

1·2

)30·(1·411

030024624623

2

222

x

xxxxxxx

Al no especificar que sea un número natural, ambas soluciones son válidas.

Respuesta: hay dos soluciones posibles, dependiendo del valor de x que tome:

a) Un número posible es x=-6.

b) Otro número posible es x=5.



8. Un rectángulo tiene 5 m. más de largo que de ancho. Siendo su superficie de 336 m2,

halla sus dimensiones. Planteamiento

Ancho=x

Largo=x+5 336)5·( xx

Área=ancho·largo

162

32

2

375

212

42

2

375

2

375

2

13695

2

1344255

1·2

)336·(1·45503365336)5·(

2

2xxxxx

De las dos soluciones de la ecuación descarto x=-21, ya que no tiene sentido geométrico.

Respuesta: Ancho=x=16 metros; largo=x+5=16+5=21 metros

9. Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea 528. Planteamiento

Primer número=2x

Segundo número=2x+2 528)22·(2 xx

118

88

8

924

128

96

8

924

8

924

8

84644

8

8448164

4·2

)528·(4·444052844

2

2xxx

Al no especificar que sean naturales, ambas soluciones son válidas.

Respuesta: hay dos pares de soluciones posibles, dependiendo del valor de x que tome:

a) Si el primer número es 2·x=2·(-12)=-24, el segundo será 2·x+2=-24+2=-22.

b) Si el primer número es 2·x=2·11=22, el segundo será 2·x+2=22+2=24.

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TEMA 3: EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES · ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 1 RESOLUCIÓN