Tema 3: Series estadística de un carácter. Tablas estadísticas ...personal.us.es/jmayor/ficheros/t03_gestp.pdf · Tema 3: Series estad´ıstica de un car acter.´ Tablas estad´ısticas

Tema 3: Series estadıstica de un caracter.Tablas estadısticas. Distribuciones de

frecuencias y representaciones graficas.

Jose Antonio Mayor Gallego

Departamento de Estadıstica e Investigacion Operativa

Universidad de Sevilla. Facultad de Matematicas

Curso Academico 2006-2006

Jose A. Mayor. Universidad de Sevilla. [email protected] Estadıstica Administrativa. 2006-2007. TEMA 3. Dip.G.A.P. 1/77

Contenidos1 Introduccion2 Resumenes numericos

Tablas de frecuenciasDiagramas de tronco y hojas o tallo y hojas o “Stem andLeaf”

3 Resumenes graficosResumenes graficos para variables cualitativas

Diagramas de rectangulosDiagramas de sectores

Resumenes graficos para variables cuantitativasDiagramas de barrasHistogramasPolıgono de frecuenciasCurva acumulativa

Otros tipos de graficosPictogramasCartogramasPerfil ortogonalGraficas temporales


Datos

Transformaciones reductivas

La investigacion de un colectivo, poblacion completa omuestra, proporciona un conjunto mas o menos extenso, dedatos numericos o de otro tipo, que pretendemos estudiar conla finalidad de abarcar la naturaleza de dicho colectivo, enrelacion a las caracterısticas que nos interesan.

Tenemos una masa de informacion, usualmente extensa,grande, lo que obliga a realizar sobre la misma diversastransformaciones , de tipo reductivo , que permitan captarestructuras y patrones latentes, que de otra forma permanecenocultos a nuestra percepcion.


Resumenes

Dichas transformaciones producen como resultados finaluna serie de objetos o resumenes, de interpretacion masinmediata, y que clasificaremos de la siguiente forma,

MASA DE DATOS −→ RESUMEN

Resumenes numericos.

Resumenes graficos.


Resumenes numericos. Tablas de frecuencias.

Ordenacion y reduccion

El primer paso en el estudio estadıstico descriptivo de unconjunto de datos sera la construccion de tablas u otros tiposde esquemas que permitan resumir y ordenar la estructura dedichos datos, facilitando ası la posterior extraccion deconclusiones.

Notacion

Se dispone de una variable estadıstica, X , constituida porn valores, X1, X2, . . . , Xn, procedentes de la observacion de uncaracter sobre n individuos.

Esta variable puede ser tanto cualitativa como cuantitativa,y supondremos que presenta k modalidades que denotamosx1, x2, . . . , xk . Notese que los valores originales de cadaelemento se denota por Xi , y las modalidades por xi .


Frecuencias

Concepto fundamental

El numero de individuos que presentan la modalidad xi dedenomina frecuencia absoluta de dicha modalidad, y sedenota ni . Obviamente

∑i ni = n.

Modalidades Frecuencias absolutasx1 n1

x2 n2...

...xk nk


Distribucion de frecuencias

El conjunto de valores,

n1, n2, n3, . . . , nk

determinan una distribuci on de frecuencias .

Observacion

Si las modalidades estan medidas en alguna escala detipo ordinal o superior, usualmente dichas modalidades sedisponen ordenadas de menor a mayor. En caso contrario, esdecir, cuando la escala es nominal, se disponenarbitrariamente.


Frecuencias relativas y acumuladas. Porcentajes.

Frecuencias absolutas: ni

Frecuencias relativas: fi = ni/nFrecuencias acumuladas absolutas:

N1 = n1

N2 = n1 + n2 = N1 + n2

N3 = n1 + n2 + n3 = N2 + n3

N4 = n1 + n2 + n3 + n4 = N3 + n4

... y ası sucesivamente ...

Frecuencias acumuladas relativas: Fi = Ni/nPorcentajes: pi = 100× fiPorcentajes acumulados: Pi = 100× Fi

Observacion

Aunque siempre es posible calcularlas, las frecuenciasacumuladas son mas apropiadas para variables medidas enescala ordinal o superior.


Ejemplo

Se han estudiado 150 familias con hijos observando para cada una elnumero de los mismos, habiendose obtenido los siguientes datos,

0 0 0 1 1 6 5 1 0 0 50 0 0 0 0 1 1 1 1 1 15 4 4 4 3 3 4 4 0 0 03 0 1 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 2 2 3 2 3 3 2 12 2 2 2 2 3 3 2 3 2 30 0 0 0 1 1 1 2 1 1 10 0 2 2 2 2 3 2 1 1 22 2 2 2 2 3 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 2 13 3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2


Tabla de frecuencias

xi ni fi Ni Fi pi(%) Pi(%)

0 20 20/150 20 20/150 100× 20/150 100× 20/1501 35 35/150 55 55/150 100× 35/150 100× 55/1502 62 62/150 117 117/150 100× 62/150 100× 117/1503 24 24/150 141 141/150 100× 24/150 100× 141/1504 5 5/150 146 146/150 100× 5/150 100× 146/1505 3 3/150 149 149/150 100× 3/150 100× 149/1506 1 1/150 150 1 100× 1/150 100× 1

150 1 100


Tabla de frecuencias. Calculos completos.

xi ni fi Ni Fi pi(%) Pi(%)

0 20 0, 13333 20 0, 13333 13, 333 13, 3331 35 0, 23333 55 0, 36667 23, 333 36, 6672 62 0, 41333 117 0, 78000 41, 333 78, 0003 24 0, 16000 141 0, 94000 16, 000 94, 0004 5 0, 03333 146 0, 97333 3, 333 97, 3335 3 0, 02000 149 0, 99333 2, 000 99, 3336 1 0, 00667 150 1, 00000 0, 667 100, 000

150 1 100


Agrupacion en intervalos o clases

Si la variable es cuantitativa y es continua y/o presenta unagran cantidad valores distintos, la construccion de una tabla defrecuencias con todas las posibles modalidades observadaspodrıa dar lugar a una tabla inmanejable por su gran extension.En tal caso los valores se agrupan en clases o intervalos,usualmente de la forma (a, b], que actuan como modalidades.

Intervalo (a, b]

Esta constituido por los valores mayores estrictamente quea y menores o iguales que b. Por ejemplo, un intervalo deedades de la forma (20, 25] incluirıa todas las edades depersonas de mas de 20 anos y menores o iguales de 25.


Intervalos y marcas de clase

Notaremos por (ei−1, ei] el intervalo que representa lamodalidad i-esima.

En este caso, se asocia a cada modalidad un valorrepresentativo de la misma, denominado marca de clase, quese denota xi , y que usualmente es el punto medio del intervalo.Dicho valor se calcula sumando los valores extremos ydividiendo por dos, es decir,

x i =ei−1 + ei

2


Observaciones

Empleamos la letra e por extremo pues los dos valoresque determinan un intervalo se denominan ası. Tambiense emplea a veces la notacion (L i−1, L i] para denotar losintervalos.

Es posible emplear intervalos del tipo [a, b).


EjemploLos siguientes valores proceden de una prueba de evaluacion realizadasobre 175 estudiantes. Su rango de valores es el intervalo [0, 100].

76 66 77 50 81 69 75 73 84 62 6571 93 54 70 55 86 63 84 76 80 8878 69 77 75 52 60 68 71 84 70 8978 87 98 80 76 55 65 77 64 82 7075 73 82 72 84 75 85 78 83 74 8168 76 77 61 66 85 58 92 96 51 8778 77 90 75 62 81 63 72 68 76 7286 80 92 79 84 70 50 70 71 77 6975 91 80 87 83 64 85 61 77 65 6774 90 78 82 73 88 85 89 65 75 7684 55 81 75 77 69 83 70 86 69 9679 98 51 97 63 90 54 74 71 89 7682 71 83 77 84 78 90 53 98 75 6964 70 81 77 67 83 79 85 76 72 5776 65 71 74 94 75 66 95 80 91 8056 83 82 60 74 81 79 80 61 79


Como puede verse, estos datos presentan una grancantidad de valores distintos. Por ello, debido a su elevadadiversidad, la tabla de frecuencias se realizara agrupando losdatos en intervalos, obteniendose por ejemplo,

Tabla de frecuencias

(ei−1, ei] x i n i Ni f i Fi

(46′5, 55′5] 51 11 11 11/175 11/175(55′5, 64′5] 60 16 27 16/175 27/175(64′5, 73′5] 69 39 66 39/175 66/175(73′5, 82′5] 78 63 129 63/175 129/175(82′5, 91′5] 87 35 164 35/175 164/175(91′5, 100′5] 96 11 175 11/175 175/175

175 1


Tabla de frecuencias. Calculos completos.

(ei−1, ei ] x i n i Ni f i Fi p i(%) Pi(%)

(46′5, 55′5] 51 11 11 0, 06286 0, 06286 6, 286 6, 286(55′5, 64′5] 60 16 27 0, 09143 0, 15429 9, 143 15, 429(64′5, 73′5] 69 39 66 0, 22286 0, 37714 22, 286 37, 714(73′5, 82′5] 78 63 129 0, 36000 0, 73714 36, 000 73, 714(82′5, 91′5] 87 35 164 0, 20000 0, 93714 20, 000 93, 714(91′5, 100′5] 96 11 175 0, 06286 1, 00000 6, 286 100, 000

175 1 100

Recuerdese

p i = 100× f i . Porcentaje de cada modalidad.

Pi = 100× Fi . Porcentaje acumulado


Observacion importante

No hay ninguna regla fija para decidir el numero yestructura de los intervalos. El terminos generales, serecomienda, si es posible, que los intervalos tengan la mismaamplitud y que su numero no sea muy elevado.

La logica y el sentido comun nos indicaran la marcha aseguir cuando tengamos que tomar esta decision. Cuando seemplea algun programa informatico de tipo estadıstico, esteproceso esta usualmente automatizado.


Diagramas de tronco y hojas o tallo y hojas o “Stemand Leaf”. Complemento no evaluable

Son una variacion de las tablas de frecuencia,conservando los datos originales y anadiendo algunainformacion adicional.

Realmente, este diagrama tiene una gran similitud con untipo de grafico que veremos mas adelante, denominadohistograma, pero representa directamente los dıgitos de losvalores observados en vez de barras o rectangulos.

La observacion de un diagrama de tronco y hoja revelapropiedades y caracterısticas tales como,

Rango de valores de los datos, ası como concentracion ysimetrıa de los mismos.

Valores que se separan marcadamente del resto, y valorespoco observados o lagunas.


Pasos para construir un diagrama de tronco y hoja

1 Examinar los datos para decidir cuantos dıgitos se van aconservar, truncando a partir del ultimo dıgito retenido.Todos los dıgitos, salvo el ultimo, forman el tronco de laobservacion, el ultimo dıgito es la hoja.

2 Escribir la lista de posibles troncos desde el menor almayor y cada hoja a la derecha del tronco al quepertenece. Adicionalmente, se pueden ordenar las hojassobre cada tronco en orden ascendente.

3 Anadir una serie de anotaciones indicando de que formase pueden leer los datos a partir del diagrama y el numerode datos. Ademas, si hay valores que se separan enexceso del resto, se anotan aparte indicando el sentido dedistanciamiento. De esta forma, se obtiene un diagramamas compacto.


Particularidades

A veces, cuando los dıgitos correspondientes a las hojasson unidades, se originan diagramas con pocos troncos pero sise toman decimas, aparecen demasiados. En estos casos, sepuede dividir un tronco en dos partes, diferenciando cada partecon un “*” para las hojas de 0 a 4, y con un “.” para las de 5 a 9.

Tambien es posible diferenciar cinco partes distintasempleando “*”, “T”, “F”, “S” y “.” para hojas de 0 a 1, 2 a 3, 4 a5, 6 a 7, y 8 a 9 respectivamente.


EjemploConsideremos nuevamente los valores procedentes de realizar la unaprueba de evaluacion sobre 175 estudiantes.

76 66 77 50 81 69 75 73 84 62 6571 93 54 70 55 86 63 84 76 80 8878 69 77 75 52 60 68 71 84 70 8978 87 98 80 76 55 65 77 64 82 7075 73 82 72 84 75 85 78 83 74 8168 76 77 61 66 85 58 92 96 51 8778 77 90 75 62 81 63 72 68 76 7286 80 92 79 84 70 50 70 71 77 6975 91 80 87 83 64 85 61 77 65 6774 90 78 82 73 88 85 89 65 75 7684 55 81 75 77 69 83 70 86 69 9679 98 51 97 63 90 54 74 71 89 7682 71 83 77 84 78 90 53 98 75 6964 70 81 77 67 83 79 85 76 72 5776 65 71 74 94 75 66 95 80 91 8056 83 82 60 74 81 79 80 61 79


Diagrama de tronco y hojas. Resultados sobre elgrupo de 175 estudiantes.

unidad = 1 1|2 representa 12

5*|001123445.|5556786*|00111223334446.|55555666778889999997*|00000001111112222333444447.|55555555556666666667777777777888888999998*|00000001111112222233333344444448.|55555666777889999*|00001122349.|5667888


EjemploConsideremos ahora los siguientes datos que representan las calificacionesobtenidas para otro grupo de 120 alumnos, de caracterısticas diferentes a losanteriores,

41 46 54 60 54 61 50 50 53 5551 58 61 48 51 60 43 53 62 5556 62 45 49 55 59 56 53 59 5358 55 50 48 61 62 57 58 58 5361 50 62 49 53 60 54 34 49 5860 53 56 53 59 52 61 53 56 6039 54 50 60 57 52 55 59 53 5554 59 54 60 57 50 45 57 60 5555 59 55 54 49 58 52 53 60 5451 56 58 53 54 49 61 50 60 5358 55 51 56 62 54 58 50 53 5561 60 54 51 53 54 55 48 58 62


Diagrama de tronco y hojas. Resultados sobre elgrupo de 120 estudiantes.

unidad = 1 1|2 representa 12INF|34,39,41

4T|34F|554S|64.|888999995*|00000000111115T|2223333333333333335F|4444444444445555555555555S|66666677775.|88888888889999996*|0000000000011111116T|222222


Observaciones y comentarios

En la primera fila, se da informacion sobre la unidadutilizada y como estan representados los valores sobre eldiagrama. Si hay valores extremos, se representan en lafila siguiente, indicando si son superiores o inferiores. Porejemplo en los datos del ejemplo anterior (120 alumnos) semanifiestan tres valores extremos inferiores, 34, 39 y 41,no ası en los datos correspondientes a los 175 alumnos.

Para los datos de los 175 alumnos se observa una gransimetrıa. Por contra, para los de 120 alumnos, el diagramamuestra asimetrıa . Tambien, en terminos generales, seconstatas peores resultados para estos que para aquellos.


Resumenes graficos

Impacto visual

Los resumenes o representaciones graficas producen unimpacto visual que permite captar rapidamente y sin granesfuerzo las principales caracterısticas de un conjunto odistribucion de frecuencias.

Son un medio complementario aunque muy importantepara realizar un analisis estadıstico de los datos.


Tipos de resumenes graficos

Los resumenes graficos basicos estan asociados a losresumenes numericos o tablas de frecuencias y son,

Diagramas de barras e histogramas: Representanfundamentalmente frecuencias, ya sean absolutas orelativas. Los diagramas de barras se empleanbasicamente para variables discretas, mientras que loshistogramas se asocian a variables agrupadas enintervalos.

Polıgonos de frecuencia acumulada : Representanfrecuencias acumuladas.

Otras representaciones son los diagramas derect angulos , los diagramas de sectores , los pictogramas ylos perfiles ortogonales


Diagramas de rectangulos

Para variables cualitativas, podemos emplear losdiagramas de rectangulos. Segun que estos se representen enhorizontal o vertical, se denominan diagramas de barras odiagramas de columnas.

Veamos los primeros. Basicamente consisten enrepresentar las frecuencias mediante barras o rectanguloshorizontales de longitudes iguales o proporcionales a lasmismas.

Por ejemplo, si una modalidad presenta una frecuenciadoble que otra, su correspondiente barra tendra tambien unalongitud doble a la de la otra.


Diagrama de barras

En vertical aparecen las modalidades, xi . Las longitudes de lasbarras de cada modalidad son proporcionales a sus frecuencias.

fi , ni o proporcionales

xi


Observacion

En principio, es indiferente emplear frecuencias absolutaso relativas, pues unas y otras son proporcionales entre si, perosi se compara una variable para diferentes conjuntos deelementos, hay que tener precaucion pues el numero total deelementos de cada conjunto puede influir indirectamente en laslongitudes de las barras, falseando en cierta medida lainterpretacion. Por este motivo, en tales caso hay que emplearfrecuencias relativas.


Ejemplo

Se ha preguntado a un grupo de 100 varones, y a ungrupo de 143 mujeres, sobre sus preferencias de ocio, siendolas modalidades los siguientes espectaculos: CINE, TEATRO,MUSICA y FUTBOL.

Una vez recogidos los datos se han contado, clasificado ytabulado, obteniendose los siguientes resumenes,diferenciados por sexo.


Ejemplo

PREFERENCIAS DE OCIO. VARONESESPECTACULOS ni fi

CINE 48 0’48TEATRO 12 0’12MUSICA 10 0’10FUTBOL 30 0’30

100

PREFERENCIAS DE OCIO. MUJERESESPECTACULOS ni fi

CINE 60 0’419580420TEATRO 17 0’118881119MUSICA 23 0’160839161FUTBOL 43 0’300699301

143


Diagrama de barras. Preferencias del grupo devarones. Realizado con EXCEL.


Observacion importante

Insistimos en el cuidado que se ha de tener al realizarcomparaciones cuando las series de datos que se comparanse refieren a grupos o conjuntos de elementos, de diferentestamanos.

Ası, si queremos comparar, en terminos generales, laspreferencias entre varones y mujeres, mediante diagramas deeste tipo, por ejemplo con barras apiladas, tendrıamos queemplear las frecuencias relativas, pues hay 143 mujeres y 100hombres, y esta diferencia podrıa producir una falsa impresionsi usamos frecuencias absolutas.


Diagrama de barras apiladas. Preferencias de varonesy mujeres. Realizado con EXCEL.


Diagramas de sectores

Construcion

Sobre un cırculo, se dibujan, para cada modalidad,sectores circulares de amplitud proporcional a lasfrecuencias. Es indiferente emplear frecuencias absolutaso relativas.

La amplitud en grados sexagesimales, correspondiente acada modalidad se calcula mediante la formula,

αi = fi × 360o


Ejemplo. Preferencias de ocio. Varones.

ESPECTACULOS ni fi αi = fi × 360o

CINE 48 0’48 172′80o

TEATRO 12 0’12 43′20o

MUSICA 10 0’10 36′00o

FUTBOL 30 0’30 108′00o

100 360o

Construccion

Para construir el diagrama de sectores, habra que tomarun cırculo y dividirlo en sectores con las respectivas amplitudesangulares anteriores. Para ello se necesita algun instrumentopara poder medir angulos. La utilizacion de algun programa deordenador adecuado nos evita este proceso manual.


Diagrama de sectores. Preferencias de varones ymujeres. Realizado con EXCEL


Observacion

Aunque los diagramas de rectangulos y sectores sonespecıficos para variables de tipo cualitativo, es posible porsupuesto aplicarlos a variables cuantitativas, incluso continuas.Por ejemplo, recordemos que los datos relativos a los 175estudiantes que se resumen numericamente en la siguientetabla,

(ei−1, ei ] x i n i Ni f i Fi p i(%) Pi(%)

(46′5, 55′5] 51 11 11 0, 06286 0, 06286 6, 286 6, 286(55′5, 64′5] 60 16 27 0, 09143 0, 15429 9, 143 15, 429(64′5, 73′5] 69 39 66 0, 22286 0, 37714 22, 286 37, 714(73′5, 82′5] 78 63 129 0, 36000 0, 73714 36, 000 73, 714(82′5, 91′5] 87 35 164 0, 20000 0, 93714 20, 000 93, 714(91′5, 100′5] 96 11 175 0, 06286 1, 00000 6, 286 100, 000

175 1 100


Aunque para este tipo de datos no sea lo mas apropiado,pues ya existen resumenes graficos especıficos para elloscomo el histograma, que se vera mas adelante, no hay ninguninconveniente en construir un diagrama de barras como el queaparece en la siguiente figura, realizado con el programaEXCEL.

Observemos que ha de entenderse meramente como unacomparacion grafica entre las frecuencias de los diferentesintervalos en los que ha sido agrupada la variable.


Diagrama de barras. Puntuaciones de 175 estudiantes,

agrupadas en intervalos. Realizado con EXCEL


Resumenes graficos para variables cuantitativas

Resumenes graficos especıficos

Las variables de tipo intrınsecamente cuantitativo, comonumero de hijos, puntuaciones en un examen o tallas y pesos,tienen graficos especıficos, adaptados a sus particularidades.Recordemos que las variables de este tipo pueden serdiscretas o continuas, siendo esta distincion mas bien teorica.A su vez, una variable cuantitativa puede estar o no agrupadaen intervalos.


Agrupar o no agrupar. Esta es la cuestion.

En los ejemplos que venimos manejando continuamenteen este presente Tema, la variable NUMERO DE HIJOS NO seagrupa en intervalos, pues sus valores presentan pocavariedad. Por contra, las PUNTUACIONES de los 175estudiantes SI se agrupan ya que presentan numerososvalores distintos, aunque teoricamente tenga un caracterdiscreto pues ningun profesor califica por ejemplo con74′3337664553443656664.

Por consiguiente, distinguiremos basicamente que losvalores de las variables esten o no agrupados, yconsideraremos como ejemplos paradigmaticos los yamencionados, es decir,

NUMERO DE HIJOS de las 150 familias. Datos noagrupados.

PUNTUACIONES de los 175 estudiantes. Datosagrupados.


Diagramas de barras

Son especıficos para las variables no agrupadas. En el ejede abscisas, es decir, el horizontal, se colocan los distintosvalores de la variable, en su sitio segun su valor y la escala quese considere. Sobre cada uno de ellos, se levanta una lıneaperpendicular al eje. Las longitudes pueden ser las frecuenciasabsolutas, las relativas o magnitudes proporcionales a lasmismas. Realmente lo que importa es la relacion entre lasbarras, y el tomar una u otra opcion solo hace variar la escaladel grafico.


Diagrama de barras para una variable cuantitativa

En la horizontal aparecen las modalidades, xi . Laslongitudes de las barras de cada modalidad son lascorrespondientes frecuencias o cantidades proporcionales

x1 x2 xk


Variaciones

Sobre este esquema basico existen numerosasvariaciones. Por ejemplo, se pueden considerar lıneas o barrasfinas de diferentes colores. Tambien se pueden comparardiferentes conjuntos de datos, de forma similar a como sehacıa con variables cualitativas, mediante diagramas decolumnas adheridas o apiladas.

Recuerdese que para este tipo de comparaciones, y segunel objetivo que se quiera conseguir, las frecuencias absolutaspueden no resultar apropiadas. Vease lo dicho para losdiagramas de rectangulos.


Diagrama de barras para el numero de hijos de 150 familias. Las

alturas de las barras coinciden con las frecuencias, ni .


Histogramas

Son especıficos para variables agrupadas en intervalos.En el eje de abscisas se colocan los intervalos, y sobre cadauno de ellos se levanta un rectangulo de area o superficieigual, o proporcional, a la frecuencia del mismo, que enprincipio puede ser tanto absoluta como relativa.

Si por ejemplo queremos que las areas de los rectanguloscoincidan con las frecuencias absolutas, la altura, hi , delrectangulo sobre el intervalo (ei−1, ei ] de amplitud ai sera talque ni = ai hi y por consiguiente,

h i = n i/ai i = 1, 2, . . . , k

formula que nos permite calcular las alturas de los rectangulos.


Histograma para una variable cuantitativa agrupada

En la horizontal aparecen los intervalos, (ei−1, ei ]. Lassuperficies de las barras sobre cada intervalo son lascorrespondientes frecuencias o cantidades proporcionales.

e0 e1 e2 ek


Observaciones

Para un mismo valor de la frecuencia, cuanto mayor es laamplitud del intervalo menor es la altura del rectangulo, pues elelemento representativo del histograma es la superficie.Notemos tambien que si todos los intervalos son de igualamplitud, se pueden tomar las alturas directamente iguales alas frecuencias, conservando la proporcionalidad. Esto se hacepor ejemplo en la siguiente grafica. Lease la nota previa.

A veces, la aplicacion rigurosa de la formula, bajo unadeterminada escala, da lugar a graficos poco esteticos, porejemplo muy aplastados o muy estirados en vertical,pudiendose entonces introducir un factor de proporcionalidadque produzca una grafica mas proporcionada. Esto equivalesimplemente a un cambio de escala, y no distorsiona enabsoluto la finalidad del histograma.


Ejemplo

En la siguiente figura se expone un histograma realizadocon EXCEL para los datos de las puntuaciones de 175estudiantes, agrupadas en intervalos. En este caso, todos losintervalos tienen la misma amplitud, y en la grafica, la altura delos rectangulos construidos sobre cada intervalo se ha hechocoincidir con la frecuencia absoluta, ni .

De esta forma se consigue que las superficies de losdiferentes rectangulo guarden una relacion de proporcionalidadcon las frecuencias de cada uno, que como ya hemosmencionado, es la idea fundamental de este tipo de grafico.


Histograma para los datos de las puntuaciones de 175

estudiantes, agrupados en intervalos. Realizado con EXCEL.


Polıgono de frecuencias

Este grafico se puede construir tanto para variables noagrupadas como agrupadas en intervalos, y tanto confrecuencias absolutas como relativas.

Nosotros lo veremos con frecuencias absolutas.


Polıgono de frecuencias. Variables no agrupadas enintervalos.

Consiste en construir, a partir de un diagrama de barras,existente o hipotetico, segmentos rectilıneos que unan losextremos de las barras, formando ası una lınea poligonal queune los puntos (x1, n1), (x2, n2),...,(xk , nk ).

Usualmente, este grafico se proporciona en combinacioncon el diagrama de barras, pero no es estrictamente necesario.


Polıgono de frecuencias para una variable cuantitativano agrupada en intervalos

x1 x2 xkxi

!!!!�

��

HHHHH

HH


Polıgono de frecuencias. Numero de hijos de 150familias. Realizado con EXCEL.


Polıgono de frecuencias. Variables agrupadas enintervalos.

Consiste en construir, a partir de un histograma, existenteo hipotetico, segmentos rectilıneos que unan los puntos mediosde las bases superiores de cada rectangulo, formando ası unalınea poligonal.

Ası, si xi son las marcas de clases de los intervalos, y hi

son las alturas de los rectangulos construidos sobre losintervalos, dicha lınea poligonal es la que une los puntos(x1, h1), (x2, h2),...,(xk , hk ).

Usualmente, este grafico se proporciona en combinacioncon el histograma, pero no es estrictamente necesario.


Polıgono de frecuencias para una variable cuantitativaagrupada en intervalos

e0 e1 e2 ek

��

��

�cc

ccZ

ZZZ


Polıgono de frecuencias para las puntuaciones de 175estudiantes. Realizado con EXCEL.


Curva acumulativa

Finalidad

Este grafico pretende plasmar visualmente la acumulacionde la frecuencia, al aumentar los valores de la variable.

Usualmente emplea frecuencias relativas acumuladas, esdecir, las cantidades Fi , y se puede realizar tanto paravariables no agrupadas como agrupadas en intervalos.

Para este tipo de grafico es indispensable que los valoresde la variable se coloquen ordenados de menor a mayor.


Curva acumulativa. Variables no agrupadas enintervalos.

Cuestiones relevantes

Para este tipo de datos, la curva acumulativa se obtienedibujando segmentos horizontales entre los valores x1, x2,...,xk ,y a diferentes alturas F1, F2, etc.

Observemos que el crecimiento de esta lınea indica laforma en que se distribuyen las observaciones en losdiferentes valores de la variable. Puntos de gran crecimiento secorresponden con observaciones mas frecuantes.

Dicha lınea es la representacion de una funcionmatematica que denotamos F (x).



x1 x2 x3 xk

F1

F2

1

)

[ )

[ )[ )

F (x)

[



Observacion

Recuerdese que,

El extremo abierto, ), indica que el segmento NO llega alextremo.

El extremo cerrado, [, indica que el segmento SI llega alextremo.


Curva acumulativa. Variables agrupadas en intervalos.

Cuestiones relevantes

Para este tipo de datos se aplica la hipotesis teorica deque las observaciones se distribuyen uniformemente en losintervalos, con lo cual la acumulacion se supone exenta dediscontinuidades.

Concretamente, esta grafica se obtiene uniendo porsegmentos rectilıneos los puntos,

(−∞, 0), (e0, 0), (e1, F1), (e2, F2), · · · , (ek−1, Fk−1), (ek , 1), (+∞, 1)

formando ası una lınea poligonal continua y creciente que indica laforma en que se distribuyen las observaciones en los diferentesvalores de la variable. Esta lınea es la representacion de una funcionmatematica que denotamos, con en el caso anterior, F (x).


Curva acumulativa. Variables agrupadas en intervalos.

La funcion de distribucion.

Para un valor cualquiera x , F (x) es la frecuencia relativa oproporcion de individuos cuyo valor de la variable en estudio esmenor o igual que x . Ası, para el ejemplo de las puntuacionesde 175 estudiantes, F (67′5) es la frecuencia relativa oproporcion de estudiantes que han obtenido 67′5 o menos.


Observacion

Observese la continuidad y su caracter creciente.

e0 e1 e2 ek

��

!!!�

��

!!!!!!1

F1

F2

F3

F (x)


Otros tipos de graficos

Pictogramas.

Cartogramas.

Perfil ortogonal.

Graficas temporales.


Pictogramas

Estos graficos utilizan figuras relacionadas con elfenomeno que se estudia de forma que su tamano o cantidadindique la frecuencia de cada modalidad.

Ejemplo

Supongamos que se ha estudiado la produccion lacteamedia diaria de tres granjas de ganado vacuno, denominadasGRANJA A, GRANJA B y GRANJA C, siendo las produccionesen litros,

GRANJA PRODUCCION LACTEAGRANJA A 495GRANJA B 2456GRANJA C 1567


Pictograma para la produccion lactea de las granjas A,B y C.


Cartogramas

Sobre un mapa se indica, para cada region geografica, lafrecuencia o intensidad de la caracterıstica en estudio. Parahacerlo se pueden emplear diferentes colores o tramas, otambien cantidades numericas.

A modo de ejemplo, se expone a continuacion. uncartograma en el que se quiere representar las diferencias deporcentaje de aulas de ensenanza concertada sobre el total dela ensenanza privada, en diferentes comunidades. Estecartograma se ha extraıdo de un Boletın Informativo elaboradopor el Instituto Nacional de Estadıstica en Junio de 2002, sobrela ensenanza privada en Espana.


Cartograma con porcentajes de aulas de ensenanzaprivada concertada sobre el total de la ensenanzaprivada. Fuente: I.N.E., Junio de 2002.


Observacion

Como es facil de comprender, ni los pictogramas ni loscartogramas pueden considerarse graficas muy representativani exactas. Este problema puede eliminarse en parteacompanando el grafico de las cantidades numericas, como enel caso del anterior cartograma.


Perfil ortogonal

Se emplea para representar diferentes caracterısticas deun mismo individuo. Se usa en estudios psicologicos opedagogicos. En un eje horizontal se colocan las distintascaracterısticas en estudio, y en el eje vertical los valores decada una.

Calificaciones de un alumno de Primero de Estadıstica

Asignatura Calificaci onEstadıstica Descriptiva 8Analisis Matematico 5Algebra 6Calculo de Probabilidades 4Informatica 5Teorıa de la Probabilidad 2Investigacion Operativa 6


Perfil ortogonal. Calificaciones de un alumno dePrimero de Estadıstica. Realizado con EXCEL.


Graficas temporales

Se emplean para representar la evolucion de unamagnitud en el tiempo. Esta magnitud puede ser un ındice deprecios, una frecuencia, o cualquier otra cantidad.

Son muy usuales en los medio de comunicacion comoprensa o television y permiten captar rapidamente el devenirtemporal de un fenomeno.


Estudio sociologico. Fuente: El Paıs 9/11/2003


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Tema 3: Series estadística de un carácter. Tablas estadísticas ...personal.us.es/jmayor/ficheros/t03_gestp.pdf · Tema 3: Series estad´ıstica de un car acter.´ Tablas estad´ısticas