TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución de … 38.pdf · 2018-04-09 · El origen de la palabra trigonometría es de origen griego ( trigo-triángulo, ... Si el estudio se hace

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones

TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución de triángulos. Apli-

caciones

1. Introducción.

El origen de la palabra trigonometría es de origen griego ( trigo-triángulo, metron-medida).

Así mediante el estudio de la trigonometría podemos estudiar las relaciones entre los 6 ele-

mentos que lo forman (3 ángulos y 3 lados). Como veremos con sólo 3 elementos de los 6

(siempre que uno al menos sea un lado) podemos determinar el valor de los otros 3.

El triángulo y sus propiedades son sin ninguna duda el polígono más estudiado, su impor-

tancia reside en que todo polígono se puede descomponer en triángulos. Destacar el impulso a

la geometría, y en particular a la geometría del triángulo en la Grecia clásica de manos de ma-

temáticos importantes como Pitágoras, Tales o Ptolomeo. Las razones trigonométricas de los

triángulos rectángulos eran ya conocidas en la Grecia clásica, Ptolomeo tenía tablas de valores

de las mismas respecto a los ángulos cuando estos aumentaban de medio en medio grado.

En la Eda Moderna la trigonometría tuvo gran importancia de manos de la astronomía,

surge así el concepto de función trigonométrica. Copérnico en su libro fundamental dedica el

primer capítulo a la trigonometría.

En la actualidad las funciones trigonométricas son utilizadas en muchos campos de la física

y la ingeniería: la mecánica, cinética, y en general en todas las magnitudes vectoriales la trigo-

nometría es básica para la descomposición vectorial del vector.

2. El ángulos. Definición y distintas unidades de medida.

2.1. Definición de ángulos

Dadas dos semirrectas con origen en común el ángulo que forman

es el espacio comprendido entre ambas, definiendo así dos ángulos:

- Interior: ángulo menor (menos parte del planno)

- Exterior: ángulo mayor (mayor parte del plano)

Los ángulos tiene sentido, así el sentido positivo es el antihorario,

siendo negativo el horario.

2.2. Unidades de media de los ángulos.

Para medir los ángulos se usan tres escalas de medida, todas basadas en la circunferencia:

1. Grados sexagesimales: el valor de un ángulo en grados sexagesimales se basan en el

asignar el ángulo de una circunferencia el valor de 360o. Para calcular el ángulo forma-

do por dos semirrectas se hace por proporcionalidad entre la superficie del sector cir-

cular y el circulo de mismo radio: α=360o·

circuloarea

torarea sec

2. Grados centesimales: en esta escala la circunferencia forma un ángulo de 400og. Al

igual que los grados sexagesimales se calcular por proporcionalidad con el área de l

sector que ocupa y el del círculo de mismo radio: α=400og·

circuloarea

torarea sec



3. Radianes: un radian es el ángulo que hace que el arco que ocupa el ángulo sea igual al

radio de la circunferencia. En una circunferencia hay 2π rad, luego podemos calcular

de forma equivalente a los casos anteriores los grados en radianes como

α=2π·circuloarea

torarea sec

Para convertir unas unidades en otras basta con usar la equivalencia 360o=400

og=2π rad.

2.3. Rango de los ángulos.

Desde un punto de vista geométrico los ángulos definidos entre el ángulo nulo, definida

como el interior de dos semirrectas coincidentes(0o=0

og=0rad) y el ángulo abarcado por toda la

circunferencia, exterior de las anteriores dos semirrectas (360o=400

og=2πrad).

Si el estudio se hace desde un punto de vista analítico (funciones circulares) el ángulo pue-

de tomar cualquier valor real, α∈ℝ. Si queremos definir a un ángulo fuera del rango [0,360o)

de manera geométrica no tenemos más que tomar módulo 360, es decir quedarnos con el

resto de dividir el valor de α entre 360o. Ejemplo: 760

O=40

O.

3. Propiedades fundamentales de los triángulos.

En este apartado veremos dos propiedades fundamentales (teoremas) para la resolución

de los triángulos: Teorema de Pitágoras y Teorema de los ángulos de un triángulo.

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo (un ángulo recto o de 90o) el cuadra-

do del la hipotenusa (el opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos (los otros dos lados). a2=b

2+c

2

Demostración: es uno de los teoremas más demostrados y de más diferentes formas. En

esta demostración usaremos una de las más clásicas basada en el cálculo del área de un cua-

drado dividió en 4 triángulos y un cuadrado más pequeño de lado igual a la hipotenusa.

área total=at=acuadrdo grande= (b+c)2=b

2+c

2+2·b·c

area total=areacuadrado pequeño+4·atriangulo=a2+4·bc/2=a

2+2·b·c

Igualando: b2+c

2+2·b·c= a

2+2·b·c, despejando a

2=b

2+c

2

Teorema de los ángulos: la suma de los ángulos de todo triángulo es 180o:

oCBA 180ˆˆˆ =++

Demostración: trazamos por un vértice del triángulo una

recta paralela al lado opuesto, formándose tras ángulos que

por paralelismo son iguales a los del triángulo, y por tanto

suma un ángulo llano, es decir 180o:



4. Razones trigonométricas. Definición y propiedades.

4.1 Definición de razones a partir de triángulos (ángulos agudos)

Los triángulos rectángulos la semejanza se cumple si tienen entre sí un ángulo común

(además del ángulo recto). Como sabemos los lados de los triángulos semejantes son propor-

cionales, por tanto sabiendo el ángulo de este triángulo rectángulo quedaran determinadas los

valores de las relaciones de los lados de cualquier triángulo rectángulo con este ángulo fijado.

Estas razones entre los lados se llaman razones trigonométricas:

contiguocateto

opuestocatetotg

b

c

b

c

b

c

hipotenusa

contiguocateto

a

b

a

b

a

b

hipotenusa

opuestocatetosen

a

c

a

c

a

c

====

====

====

)(

)cos(

)(

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

α

α

α

Es importante darse cuenta que el valor de las razones trigonométricas depende del ángu-

lo y no del triángulo. El ángulo en esta definición cumple α∈(0o,90

o)

Como sabemos a partir del teorema de Pitágoras el valor de la hipotenusa (a) de un trián-

gulo es mayor que el de los dos catetos (b y c), por tanto se cumple que:0<sen(α)<1,

0<cos(α)<1 cuando α∈(0,90º).

A partir de estas razones trigonométricas fundamentales podemos definir las siguientes:

opuestocateto

contiguocateto

tgg

contiguocateto

hipotenusa

senec

opuestocateto

hipotenusa

==

==

==

)(

1)(cot

)(

1)(cos

)cos(

1)sec(

αα

αα

αα

a3 a2 a1

b1

b2

b3

c3

c2

c1

α

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria


4.2. Razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Para poder definir las razones de ángulos de más de 90

te la circunferencia goniométrica

(x2+y

2=1), de forma que cada punto de la misma define un ángulo midiéndose con relación al

eje positivo de abscisas. De esta forma I cuadrante α

cuadrante α∈[1800, 270

o], IV cuadrante α[270

Sobre esta circunferencia podemos definir el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo

de la siguiente forma:

A partir de esta definición podemos representar la tangente y las demás razones trig

nométricas a partir de la definición y buscando triángulos semejantes donde el denominador

de las razones trigonométricas se haga igual a 1. Veamos en los 4 cuadrantes.

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Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones

4.2. Razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Para poder definir las razones de ángulos de más de 90o tenemos que definir primerame

niométrica: siendo circunferencia centrada en el origen de radio unidad

=1), de forma que cada punto de la misma define un ángulo midiéndose con relación al

eje positivo de abscisas. De esta forma I cuadrante α∈[0,90o], II cuadrante α

], IV cuadrante α[270o,360

o].


sen(α)=Coordenada y del punto=P

cos(α)=Coordenada x del punto=P

tg(α)=Py/Px

artir de esta definición podemos representar la tangente y las demás razones trig


de las razones trigonométricas se haga igual a 1. Veamos en los 4 cuadrantes.

Signo de las razones trigonométricas:

sen(α) cos(α)

I Cuadrante + +

II Cuadrante + -

III Cuadrante - -

IV Cuadrante - +

Nota: si α>360o se divide entre 360

resto (lo que ha dado después de n vueltas)

4


tenemos que definir primeramen-

: siendo circunferencia centrada en el origen de radio unidad

=1), de forma que cada punto de la misma define un ángulo midiéndose con relación al

], II cuadrante α∈[90o,180

0], III


sen(α)=Coordenada y del punto=Py

cos(α)=Coordenada x del punto=Px

artir de esta definición podemos representar la tangente y las demás razones trigo-


gno de las razones trigonométricas:

cos(α) tg(α)

+

-

+

-

se divide entre 360o y se toma el

resto (lo que ha dado después de n vueltas)



4.3. Propiedades elementales.

A partir de la definición de las razones trigonométrica, es decir que P(cos(α),sen(α)) es un

punto de la circunferencia se cumplen las siguientes propiedades que relacionan las razones

trigonométricas.

Propiedad 1: se cumple que seno y coseno valen entre 1 y -1: -1≤≤≤≤sen(α)≤≤≤≤1, -1≤≤≤≤cos(α)≤≤≤≤-1.

Propiedad 2: relación fundamenta, sen2(α)+cos

2(α)=1 . Nota: sen

2(α)=(sen(α))

2

Propiedad 3: Relación con la tangente �� = �� .

Propiedad 4: + �� = ��, + �� =

��

Demostraciones:

Propiedad 1: como sen(α) y cos(α) son coordenadas de los puntos de la circunferencia de

radio la unidad se cumple que siempre serán menores o iguales (extremos) a la unidad

Propiedad 2: al ser P(cos(α), sen(α)) perteneciente circunferencia unidad se cumple ecua-

ción circunferencia x2+y

2=1 � sen

2(α)+cos

2(α)=1

Propiedad 3: Por la definición de tangente tg(α)=Py/Px

Propiedad 4: 1+tg2(α)=1 + ��

�� = �� = �

��

5. Razones trigonométricas en ángulos notables.

α=0,90o, 180

o, 270

o:

α=0o=0 rad: P(1,0) α=90

o=π/2rad:P(0,1) α=180

o=π rad: P(-1,0) α=270

o=3π/2rad: P(0,-1)

sen(α) 0 1 0 -1

cos(α) 1 0 -1 0

tg(α) 0 ∝ 0 ∝

α=30o, 45

o, 60

o:

α=30o=π/6 rad α=45

o=π/4rad α=60

o=π/3 rad

sen(α) 12

√22

√32

cos(α) √32

√22

12

tg(α) √33 1 √3

Demostración 30o y 60

o a partir de triángulo equilátero:

l l

l

h

h= ll l

2

3)( 2

22 =−

sen(30)=cos(60)=�/�

� = ��

sen(60)=cos(30)= √!

� "�� = √#

�

60o

30o



Demostración de 45o a partir de triángulo isósceles rectángulo:

sen(45o)=cos(45

o)=

2

2

2=l

l

l

6. Paso al primer cuadrante.

En este apartado vamos a relacionar las raciones trigonométricas situadas en los cuadran-

tes II, III y IV con las razones situadas en e I cuadrante.

1) Ángulos complementarios (α1+α2=90o=ππππ/2 rad)

Se cumple las siguientes relaciones:

$%&�'� = (ℎ = cos �90 − '�

12$�'� = 3ℎ = sen �90 − '�

67�'� = (3 = cotg�90 − '�

2) Ángulos suplementarios (α1+α2=180o=ππππ rad). Del II al I cuadrante

$%&�'� = sen�180 − '� 12$�'� = −cos �180 − '�

67�'� = −tg�180 − '�

l2 l

l

45o

45o



3) Ángulos que difieren 180o (α2=α1+ 180o). Del III al I cuadrante

$%&�'� = −sen �180 + '�

12$�'� = −cos �180 + '�

67�'� = tg�180 + '�

4) Ángulos que suman 360o (α1+α2=360o). Del IV al I cuadrante

$%&�'� = −sen �360 − '�

12$�'� = cos�360 − '� 67�'� = −tg�360 − '�

7. Razones trigonométricas ángulos suma, diferencia doble y mitad.

7.1. Razones trigonométricas ángulo suma.

En este apartado vamos a ver las razones trigonométricas de los ángulos suma:

(1) sen(α+β)=sen(α)·cos(β)+cos(α)·sen(β)

(2) cos(α+β)=cos(α)·cos(β)-sen(α)·sen(β)

(3) tg(α+β)=<=��<=�β�

�><=��·<=�β�

Demostración: Para demostrar (1) y (2) nos apoyaremos en la siguiente figura, donde te-

nemos tres triángulos rectángulos.

$%&�'� = @AB@ = C@

D@ 12$�'� = BAB@ = CD

D@

$%&�β� = D@BD 12$�β� = B@

BD

sen(α+β)=EDBD = CD�@A

BD = CDBD + @A

BD = cos�'� · D@BD +sen(α)·

B@BD=

= cos(α)·sen(β)+sen(α)·cos(β)

cos(α+β)=BEBD = BA>EA

BD = BABD − EA

BD = cos�β� cos�'� − $%&�β� · $%&�'�



Para calcular la tangente lo haremos en función del sen(α+β) y cos(α+β):

67�' + β� = ��β�FGH ��β� = FGH�β��β�·FGH �I�

FGH�I� FGH�β�>HJK�I�·HJK�β� =LMN�β�OPQ�R�SOPQ�β�·LMN �T�

LMN�T�LMN �β�LMN�T� LMN�β�UNVW�T�·NVW�β�

LMN�T�·LMN �β�= XY�I��XY�β�

�>XY�I�·XY�β�

7.2. Razones trigonométricas ángulo diferencia.

En este apartado vamos a ver las razones trigonométricas de los ángulos diferencia:

(1) sen(α-β)=sen(α)·cos(β)-cos(α)·sen(β)

(2) cos(α-β)=cos(α)·cos(β)+sen(α)·sen(β)

(3) tg(α-β)=<=��><=�β�

��<=��·<=�β�

Demostración: sen(α-β)=sen(α+(-β)) y cos(α+(-β)) y utilizando que sen(-β)=-sen(β),

cos(-β)=cos(β), tg(-β)=-tg(β)

7.3. Razones trigonométricas ángulo doble

Las razones de los ángulos dobles es:

(1) sen(2α)=2·sen(α)·cos(α)

(2) cos(2α)=cos2(α)-sen

2(α)

(3) tg(2α)=�·<=��

�><=��

Demostración: sin más que aplicar las razones trigométricas del ángulo suma

sen(2α)=sen(α+α), cos(2α)=cos(α+α) y tg(2α)=tg(α+α).

7.4. Razones trigonométricas ángulo mitad.

Razones trigonométricas del ángulo mitad:

(1) sen(α)=2

)cos(1 α−

(2) cos(α)= 2

)cos(1 α+

(3) tg(α)= )cos(1

)cos(1

αα

+−

Demostración: en el apartado anterior en el cos(2α) renombramos a 2α como α, y enton-

ces α será α/2: cos(α)=cos2(α/2)-sen

2(α/2)=1-2·sen

2(α/2). Despejando sen(α/2) tenemos la

igualdad primera. Para obtener la segunda no tenemos más que poner el sen2(α)=1-cos

2(α) y

despejar el coseno. La tangente se obtiene dividiendo (1) entre (2).



8. Transformaciones razones trigonométricas sumas en producto.

Muchas veces resulta interesante expresar una suma de razones trigonométricas, de igual

o diferente argumento, como un producto de otras razones trigonométricas. El ejemplo más

clarificador de su utilidad es la resolución de una ecuación trigonométrica donde al transfor-

mar la suma en producto obtendremos una ecuación factorizada. Las transformaciones son:

Demostración: demostraremos las igualdades del cuadro de la derecha pues los de la iz-

quierda se deducen del anterior, llamando A=x+y, B=x-y . La demostración se hace a partir del

ángulo suma y resta del seno y del coseno:

(a) sen(x+y)=sen(x)cos(y)+cos(x)sen(y)

(b) cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)

(c) sen(x-y)=sen(x)cos(y)-cos(x)sen(y)

(d) cos(x+y)=cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y)

(a)+(c) � (1)sen(x+y)+sen(x-y)=2·sen(x)cos(y); (a)-(c)=(2); (b)+(d)=(3) y (b)-(d)=(4)

9. Resolución de triángulos rectángulos

El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, de 90o. En este triángulo el lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, a, y los otros dos lados catetos, b y c. Podemos

aplicar en estos triángulos:

(1) Suma de ángulos (Z[ + \] = 90)

(2) Teorema de Pitágoras: a2=b

2+c

2

(3) Razones trigonométricas.

Para resolver un triángulo rectángulo necesitamos tener dos datos (uno un lado).

1. Conocido los dos catetos (b y c): a=22 cb + ,

=c

barctgB̂ , BC o ˆ90ˆ −=

2. Conocido un cateto y la hipotenusa (b y a): c=22 ba − ,

=a

barcsenB̂ , BC o ˆ90ˆ −=

3. Conocido ángulo e hipotenusa ( B̂ y a): b=a·sen( B̂ ), c=a·cos( B̂ ) , BC o ˆ90ˆ −=

4. Conocido ángulo y cateto contiguo ( B̂ y c): b=c·tg( B̂ ), a=c/cos( B̂ ), BC o ˆ90ˆ −=

5. Conocido ángulo y cateto opuesto ( B̂ y b): c=b/tg( B̂ ), a=b/sen( B̂ ), BC o ˆ90ˆ −=

−

+−=−

−

+=+

−

+=−

−

+=+

2·

2·2)cos()cos()4(

2·cos

2·cos2)cos()cos()3(

2·

2·cos2)()()2(

2·cos

2·2)()()1(

BAsen

BAsenBA

BABABA

BAsen

BABsenAsen

BABAsenBsenAsen ( )

( )

( )

( ))cos()cos(2

1)()·()4(

)cos()cos(2

1))·cos(cos()3(

)()(·2

1)()·cos()2(

)()(2

1))·cos(()1(

yxyxysenxsen

yxyxyx

yxsenyxsenysenx

yxsenyxsenyxsen

−−+−=

−++=

−−+=

−++=

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria


10. Resolución de triángulos no

10.1. Teoremas del seno y coseno.

Para resolver triángulos no rectángulos no podemos aplicar Pitágoras ni razones trig

nométricas, sólo el teorema de la suma de los tres ángulos. Se necesitan dos teoremas nuevos:

Teorema de coseno o de Pitágo

(1) a2=b

2+c

2-2·b·c·cos(A)

(2) b2=a

2+c

2-2·a·c·cos(B)

(3) c2=a

2+b

2-2·a·b·cos(C)

Demostración:

Teorema del seno:

Bsen

b

Asen

a

)()(==

Demostración:

10.2. Resolución triángulos no rectángulos.

Tenemos varios casos:

1. Conocemos los tres lados: a, b, c.

a2=b

2+c

2-2·b·c·cos(A)

b2=a

2+c

2-2·a·c·cos(B)

C=180-B-A

Se cumple que siempre existirá la solución, C>

los otros dos y el menor mayor que la resta de los otros dos.

A

C

a

cb x

y

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Resolución de triángulos no rectángulos.

Teoremas del seno y coseno.

Para resolver triángulos no rectángulos no podemos aplicar Pitágoras ni razones trig


Teorema de coseno o de Pitágoras generalizado:

Si A=90o (1) T. de Pitágoras, (2)cos(B)=c/a, (3) cos(C)=b/a

Rcsen

c2

)(= con R=radio circunferencia circunscrita.

Resolución triángulos no rectángulos.

Conocemos los tres lados: a, b, c.

2·b·c·cos(A) � A=arcos((b2+c

2-a

2)/(2·b·c))

2·a·c·cos(B) � B=arcos((a2+c

2-b

2)/(2·a·c))

Se cumple que siempre existirá la solución, C>0, si el lado mayor menor que la suma de

los otros dos y el menor mayor que la resta de los otros dos.

B

c

x=b·sen(C)

y=b·cos(C)

c2=x

2+(a-y)

2=b

2·sen

2(C)+a

2+b

2·cos

c2=a

2+b

2-2·b·c·cos(C)

Dado el triángulo ABC, denotamos por

mos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segme

to BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que

además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos

inscritos que abren el segmento BC

paz). Por definición de la función trigonométrica s

sen(A)=sen(P)=R

a

BP

BC

2=

Podemos hacer lo mismo sobre los lados b y c :

sen(B)=b/2R y sen(C)=c/2R. Despejando 2R obtenemos el teorema

10


Para resolver triángulos no rectángulos no podemos aplicar Pitágoras ni razones trigo-


(1) T. de Pitágoras, (2)cos(B)=c/a, (3) cos(C)=b/a

con R=radio circunferencia circunscrita.

0, si el lado mayor menor que la suma de

·cos2(C)-2·a·b·cos(C)

ABC, denotamos por O su circuncentro y dibuja-

mos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmen-

hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

es recto, puesto que BP es un diámetro, y

son iguales, porque ambos son ángulos

BC (Véase definición de arco ca-

paz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene:

Podemos hacer lo mismo sobre los lados b y c :

C)=c/2R. Despejando 2R obtenemos el teorema



2. Conocemos un lado y dos ángulos:

A=180-B-C

b=a·sen(B)/sen(A)

c=a·sen(C)/sen(A)

Siempre una solución.

3. Conocemos dos lados y ángulo comprendido (por ejemplo a, b, C)

c=(a2+b

2-2·a·b·cos(C))

1/2

B=arcsen(b·sen(C)/c)

A=180-B-C

Siempre una solución.

4. Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (por ejemplo a,b,A)

Este caso es el más complejo, pudiendo el problema no tener solución, una o incluso dos:

B=arcsen(b·sen(A)/a)

a) Si a<b 3 opciones:

−=−=

−=>

2212

111

o

180,180B

180B:soluciones dos 1<sen(B):b·sen(A)>a

solución una problema ely 90=B:bsen(A)=a

solución no entonces :b·sen(A)<a

BCB

BCyA

b) Si a=b entonces B=A y C=180o-2A (no solución si A≥90ο)

c) a>b solución única: B=arcsen(b·sen(A)/a) con la solución que haga B<A y C=180-B-A.

11. Aplicaciones geométricas.

Las aplicaciones geométricas de las razones trigonométricas y de los teoremas del seno y

coseno son muy amplias, pues todo problema métrico que pueda identificarse con un triángu-

lo se puede resolver con estas expresiones como hemos visto en los apartados anteriores.

Ejemplo 1: Cálculo de la la altura de un edificio conocido un ángulo y distancia horizontal:

h

d

α

h=d·tg(α)



Si la base no accesible (datos α, β y d)

Ejemplo 2: cálculo área de polígono regular de n lados de longitud l

12. Conclusiones

La trigonometría es fundamental para la resolución de problemas métricos, así como para

la descomposición de vectores. Su aplicación ene le mundo de las ciencias e ingeniería es muy

amplio.

En el currículo de 4º ESO (las dos opciones) se aborda la trigonometría, así como la resolu-

ción de triángulos rectángulos. En 1º de Bachillerato de Ciencias la trigonometría es también

otra unidad didáctica, en este caso a demás de repasar lo visto en el curso anterior también se

trabaja los teoremas del seno y coseno y la resolución de triángulos cualesquiera, no sólo

rectángulos.

h

d α

α'

90o-α'

$%&�'�ℎ = $%&�90 − '′�

_

ℎ = _ · $%&�'�$%&�90 − '`�

h

α β

d x

Sistema:

h=(d+x)·tg(α)

h=x·tg(β)

Operando h=a

��<=��>��<=�β�

α

l

α=360/2n=180/n

tg(α)=�/�bc � ap=

��·<=��

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