Tema 4: Ahorro óptimo y

crecimiento económico

• Introducción

• Relación entre el capital por trabajador y el consumo per capita en el estado estacionario: la regla de oro de acumulación del capital

• Horizontes infinitos: el modelo de Ramsey (1928), Cass (1965) y Koopmans (1965)

• Horizontes finitos: el modelo de Diamond (1965)

• Según el modelo neoclásico de crecimiento, la economía converge a un estado estacionario en el cual la relación capital-trabajo (en unidades de producto o en unidades de eficiencia si hay progreso tecnológico) es constante y depende de la tasa de ahorro.

• Dadas las restricciones tecnológicas (la función de producción agregada) y la tasa de ahorro, existe una cierta relación entre el capital por trabajador y el consumo per capita ¿existe una estado estacionario “óptimo” asociado a una determinada tasa de ahorro (y a un nivel de consumo “óptimo”) en el que alguna medida de bienestar social alcanzara su “nivel máximo”?

Problemas:

1. Elegir los argumentos de la función de bienestar social en cada momento t

2. Decidir en que periodo o periodos maximizamos la función de bienestar social

Estado estacionario óptimo: aquel en el que alguna

medida de bienestar social alcance su nivel máximo

¿Existe?

Elección de una función de bienestar social

Todos los individuos son iguales: funciones de bienestar social igualitarias

1. En un momento dado: en el estado estacionario regla de oro

2. Suma ponderada de utilidades del consumo per capita en cada momento del tiempo modelos de Ramsey-Cass-Koopmans y de Diamond

Relación entre la relación capital trabajo y consumo per

capita en el estado estacionario:

la regla de oro de acumulación del capital

•Los gobiernos pueden influir sobre la tasa de ahorro (a través de políticas fiscales): ¿cuál debe de ser la tasa de ahorro a la que deben aspirar los gobiernos?

•Objetivo de una sociedad: aumentar el bienestar de los individuos. Este bienestar depende del nivel de consumo de las economías, luego el objetivo seráescoger una tasa de ahorro que comporte un mayor nivel de consumo per capita.

•El estado estacionario que conlleve mayor nivel de consumo per capita cumple una condición que se denomina la regla de oro de la acumulación del capital (la relación capital/trabajo que maximiza el consumo per capita se llamará koro).

Sabemos que si aumenta el ahorro, aumenta la inversión y por lo tanto aumenta la producción y al aumentar la producción aumenta el consumo, pero, ¿ésta relación se mantiene siempre? ¿Aumenta el consumo a largo plazo cuando aumenta el ahorro? No necesariamente

•Ejemplo:

•Tasa de ahorro = 0•Capital = 0•Producción = 0•Consumo = 0

•Tasa de ahorro = 1•Consumo = 0•Toda la producción se dedica a reponer la depreciación

Tiene que haber algún valor de la tasa de ahorro comprendido entre 0 y 1 con el que el nivel de consumo en el estado estacionario alcance un valor máximo

¿Cuál será el stock de capital de regla de oro (koro)?– Estamos hablando del estado estacionario:– El ahorro es igual a la producción menos el consumo: S=Y-C, en

términos per cápita, sy = y-c, luego, sustituyendo en la ecuación fundamental de Solow:

0 = f(k*)-c*-(δ+n)k* c*= f(k*)-(δ+n)k*

– En el estado estacionario el consumo es igual a la diferencia entre la producción y la depreciación

– Un aumento en el capital por trabajador tiene dos efectos sobre el consumo en el estado estacionario (relación de U-invertida):

• Aumenta el consumo dado que aumenta la producción• Disminuye el consumo dado que aumenta la cantidad de máquinas que hay

que reemplazar

0.=k

knksfk )()(.

+−= δ

• Para encontrar el capital de regla de oro hay que maximizar el consumo respecto al capital:

max c*= f(k*)-(δ+n)k*k*

(1) nkf

nkfdkdc

oro +=

=+−=

δ

δ

)('

0)(*)('**

Es decir, la productividad marginal del capital debe ser igual a la suma de las tasas de depreciación y de crecimiento de la población

• Como en estado estacionario:sf(koro)=(δ+n)koro koro=sf(koro)/(δ+n) (2)

entonces existe una única tasa de ahorro que permite alcanzar dicha condición y que puede obtenerse a partir de las ecuaciones (1) y (2).

y=f(k)

(n+δ)k

k

Pendiente= (n+δ)

koro

c*oro

c*= f(k*)-(n+δ)k*

En el estado estacionario:

•La distancia entre la recta de depreciación y la función de producción es el consumo

•El consumo es máximo cuando esa distancia es máxima, para lo que ha de cumplirse que la pendiente de la función de producción sea igual a la pendiente de la recta de depreciación

•El capital asociado a dicho nivel de consumo y renta será el capital de regla de oro

y

y=f(k)

(n+δ)k

k

y

Estado estacionario

k*oro

c*orosoro y

Tasa de ahorro quegenera la regla de oro

Supongamos que la tasa de ahorro es superior al de la regla de oro: la economía se encuentra a la derecha de la regla

de oro – Esta economía podría aumentar claramente el consumo de

estado estacionario si reduce s a soro, ya que por definición, el consumo asociado con esta tasa de ahorro es máximo

– Reducir la tasa de ahorro es equivalente a aumentar el consumo inmediatamente a c0

– A partir de este momento sf(k) < (n+δ)k , por lo que k empieza a decrecer y la economía se mueve hacia la izquierda

– A largo plazo la economía converge a koro donde el consumo es superior al que correspondía a k* (también lo es a lo largo de todo el periodo de transición)

– Si a los ciudadanos les gusta el consumo, bajar la tasa de ahorro elevará su bienestar una economía que está a la derecha de la regla de oro se encuentra en una zona de ineficiencia dinámica

y=f(k)

(n+δ)k

kk*

y

koro

c*oro

soro y

c*s y

Disminuir s

c0

0

Se reduce s

c’

c*oro

ct

Tiempo

Comportamiento del consumo cuando se reduce s y la tasa de ahorro inicial está por encima de soro

El consumo a corto plazo aumenta

El consumo a largo plazo aumenta

Conclusión: las economías que están a la derecha de koro son ineficientes

Supongamos que la tasa de ahorro es inferior al de la regla de oro: la economía se encuentra a la izquierda de la

regla de oro

– Esta economía podría aumentar claramente el consumo de estado estacionario si aumenta s a soro, ya que por definición el consumo asociado con esta tasa de ahorro es máximo

– Aumentar la tasa de ahorro es equivalente a disminuir el consumo inmediatamente a c0

– A partir de este momento sf(k) > (n+δ)k , por lo que k empieza a aumentar y la economía se mueve hacia la derecha

– A largo plazo la economía converge a koro donde el consumo es superior al que correspondía a k*

y=f(k)

(n+δ)k

kk*

y

koro

c*orosoro y

c0

s yAumentar s

c*

0

Aumenta s

c’

c*oro

ct

Tiempo

Comportamiento del consumo cuando se incrementa s y la tasa de ahorro inicial está por debajo de soro

El consumo a largo plazo aumenta

El consumo a corto plazo se reduce

Conclusión: no podemos afirmar sin ambigüedad que las economías que están a la izquierda de koro sean ineficientes

Conclusión:• Ahorrar e invertir demasiado es malo

Invertimos demasiado

Reducir la inversión

Aumenta el consumo

Aumenta el consumo

Solución

Corto plazo

Largo plazo

Invertimos demasiado poco

Aumentamos la inversión

Disminuye el consumo a corto plazo

Aumenta el consumo a largo plazo

Ambigüedad en el resultado final Para determinar la bondad de la política hay que evaluar el efecto

del corto y el largo plazo (depende de las preferencias, consumo inmediato y consumo futuro)

Conclusión:• Ahorrar e invertir demasiado poco puede ser bueno

o malo

Modelo de Solow: los individuos

ahorran en cada momento una

fracción fija de su renta

Sin embargo, el proceso de

acumulación de capital es el resultado de

decisiones tomadas por individuos

racionalesDecisiones de ahorro e

inversión son endógenas

Recursos de los individuos

Consumo inmediato

Invertir en distintos activos con el fin de aumentar las posibilidades futuras de consumo

Objetivo: maximizar el valor descontado del flujo de utilidades a lo largo de su ciclo vital bajo las limitaciones de su restricción presupuestaria

Según este enfoque, el incentivo a ahorrar depende

de la rentabilidad de la inversión

Nueva vía por la que el descenso en el producto marginal del

capital tiende a limitar el crecimiento

La duración del ciclo vital de los individuos determina la acumulación de capital en el estado estacionario

Horizontes infinitos: modelo de Ramsey, Cassy Koopmans

Horizontes finitos: modelo de generaciones sucesivas (el modelo de Diamond)

Resultados de los modelos de Ramsey (y Cass-Koopmans) y de Diamond frente al modelo de Solow

• Son similares: existe un estado estacionario que además es estable.

• Se mantiene la relación negativa unívoca entre acumulación de capital y rendimiento de la inversión (esto es lo que hace que converja hacia el estado estacionario).

• La tasa de crecimiento de la renta per capita es igual a la tasa de progreso tecnológico.

• Diferencia en la regla de oro: la regla de oro del modelo de Solow maximiza el consumo en estado estacionario mientras que la regla de oro modificada maximiza una función de utilidad intertemporal (en ésta aparece la tasa de descuento) la acumulación de capital es menor.