Tema 4 Exponentes y Polinomios

MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 1 / 1

Parte I

Algebra elemental


Leyes de los exponentes

Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define

an = a · a · a · · · a︸︷︷︸n veces

Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1

a y a−n = 1an



Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define

an = a · a · a · · · a︸︷︷︸n veces

Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1

a y a−n = 1an



Propiedades

Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0

aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn



Propiedades


aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn



Propiedades


aman = am+n

am

an = am−n

Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn



Propiedades


aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn



Propiedades


aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn



Propiedades


aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn

(ab

)n= an

bn



Propiedades


aman = am+n

am

an = am−n Fam

am = a0 = 1

(am)n = amn

(ab)n = anbn(ab

)n= an

bn


Radicales

Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.

Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a

Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal

que bn = a

Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.

Si a = 0, entonces n√a = 0


Radicales




que bn = a




Radicales




que bn = a




Radicales




que bn = a




Propiedades de los radicales

( n√a)n = a, si n

√a es un numero

real

n√an = a, si a ≥ 0

n√an = a, si a < 0 y n es impar

n√an = |a|, si a < 0 y n es par

( 2√

25)2 = 25

3√

23 = 23√

(−2)3 = −22√

(−4)2 = 4 = |−4|



( n√a)n = a, si n

√a es un numero

realn√an = a, si a ≥ 0



( 2√

25)2 = 253√

23 = 2

3√

(−2)3 = −22√

(−4)2 = 4 = |−4|



( n√a)n = a, si n

√a es un numero




( 2√

25)2 = 253√

23 = 23√

(−2)3 = −2

2√

(−4)2 = 4 = |−4|



( n√a)n = a, si n

√a es un numero




( 2√

25)2 = 253√

23 = 23√

(−2)3 = −22√

(−4)2 = 4 = |−4|



n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64

OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n

√a y n√b no existe.

NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.



n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64






n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64






n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64






n√ab = n

√a n√b

n√

ab =

n√an√b

m√

n√a = mn

√a

2√

36 = 2√

4× 9 = 2√

4 2√

9

2

√3649 =

2√362√49

3√

2√

64 = 6√

64





Exponentes racionales

Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(

a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a

entonces, segun la definicion de la raız n-esima

a1/n = n√a.

En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos

am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.

Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.




a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a


a1/n = n√a.


am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.





a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a


a1/n = n√a.


am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.





a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a


a1/n = n√a.


am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.





a1/n)n

= a(1/n)n = a1 = a


a1/n = n√a.


am/n =(

n√a)m

.

am/n = n√am.



Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54


Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104

=(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54


Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54


Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54


Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54


Exponentes

Ejemplo

Simplificar

45 × 63

92 × 104=

(22)5 × (2× 3)3

(32)2 × (5× 2)4

=210 × 23 × 33

34 × 54 × 24

=213 × 33

34 × 54 × 24

=29

3× 54


Exponentes

Ejercicio

Simplifique las siguientes expresiones.

1(3×5)4×415

26×38

(35

)9

2 22/3×51/4

45/3

35√8×83/2

25/4 · 8√

164


Parte II

Polinomios


Polinomios

Definicion

Un polinomio en la variable x es una expresion de la forma

p(x) := anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0

donde an, an−1, . . . , a1, a0 son reales, x representa una variable y n es unnumero natural.

Si n es la mayor potencia de la variable se dice que el polinomio es degrado n.


Polinomios

Definicion

Un polinomio en la variable x es una expresion de la forma

p(x) := anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0

donde an, an−1, . . . , a1, a0 son reales, x representa una variable y n es unnumero natural.Si n es la mayor potencia de la variable se dice que el polinomio es degrado n.


Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal.

Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.


Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.







Polinomios

Ejemplo








Polinomios

Ejemplo








Polinomios

Ejemplo




Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante.

Por ejemplo,p(x) = 5.




Polinomios

Ejemplo








Polinomios

Ejemplo





3√x + 3x2 + 5

NO es un polinomio.



Polinomios

Ejemplo








Polinomios

Ejemplo






x2/5 + 3x4 − 1

NO es un polinomio.


Polinomios

Ejemplo








Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.

Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:

(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5



Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:

(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5



Suma


(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5



Suma


(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5



Suma


(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5



Diferencia

De forma analoga con la diferencia:

(2x + 3)− (x2 − x + 2)

= −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1



Diferencia


(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1



Diferencia


(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1



Diferencia


(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1



Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2)

= 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6

Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.



Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6




Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6




Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6




Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6




Factorizacion

Si un polinomio p(x) se puede expresar como producto de polinomios demenor grado, decimos que el polinomio se encuentra factorizado.

Por ejemplo,

p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)



Factorizacion

Si un polinomio p(x) se puede expresar como producto de polinomios demenor grado, decimos que el polinomio se encuentra factorizado.Por ejemplo,

p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)



Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3



Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3



Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3



Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3



Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3



Factorizacion

a2 − b2 = (a− b)(a + b)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)



Factorizacion

a2 − b2 = (a− b)(a + b)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)



Factorizacion

a2 − b2 = (a− b)(a + b)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)


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