39
TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA 4 TRIGONOMETRÍA 4.1) INTRODUCCIÓN Trigonometría es una palabra de origen griego que se compone a su vez de dos palabras: trigono (triángulo) y metrón (medida). Podríamos decir entonces que la trigonometría no es más que la medida de los elementos de un triángulo. Esto puede parecer anecdótico, sin embargo es un concepto que no tenés que perder de vista nunca. En este curso, cuando apliquemos trigonometría, siempre estaremos trabajando con los lados y los ángulos de un triángulo, y particularmente de un triángulo rectángulo. El Teorema de Pitágoras y las Razones Trigonométricas son los temas centrales a desarrollar durante este capítulo, pero antes daremos un rápido repaso de algunos conceptos fundamentales de geometría. 4.2) RECAPITULACIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA Repasaremos algunas definiciones y propiedades que vamos a necesitar más adelante. RECTA Definición: sucesión infinita de puntos situados en una misma dirección y en una dimensión (quiere decir que tiene solamente longitud). a La recta posee una dirección y dos sentidos (ver flechas) Tipos de rectas Rectas paralelas :dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto. a // b 1 a b

Tema 4 - Trigonometría

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

4 TRIGONOMETRÍA

4.1) INTRODUCCIÓN

Trigonometría es una palabra de origen griego que se compone a su vez de dos palabras: trigono (triángulo) y metrón (medida). Podríamos decir entonces que la trigonometría no es más que la medida de los elementos de un triángulo. Esto puede parecer anecdótico, sin embargo es un concepto que no tenés que perder de vista nunca. En este curso, cuando apliquemos trigonometría, siempre estaremos trabajando con los lados y los ángulos de un triángulo, y particularmente de un triángulo rectángulo.

El Teorema de Pitágoras y las Razones Trigonométricas son los temas centrales a desarrollar durante este capítulo, pero antes daremos un rápido repaso de algunos conceptos fundamentales de geometría.

4.2) RECAPITULACIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA

Repasaremos algunas definiciones y propiedades que vamos a necesitar más adelante.

RECTA

Definición: sucesión infinita de puntos situados en una misma dirección y en una dimensión (quiere decir que tiene solamente longitud).

a

La recta posee una dirección y dos sentidos (ver flechas)

Tipos de rectas

Rectas paralelas :dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto.

a // b

Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares cuando se intersectan entre sí formando un ángulo recto.

c d

Rectas secantes: dos rectas son secantes cuando se intersectan entre sí.

1

a b

90º

c

d

Page 2: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

e ⁄ f

SEMIRRECTA

Definición: cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos. Es decir, una semirrecta es una porción de una recta que tiene un punto de partida.

Aquí es el punto “A” el que divide a la recta en dos semirrectas

SEGMENTO

Definición: fragmento de recta comprendido entre dos puntos denominados extremos.

VECTOR

Definición: un vector es un segmento orientado que va de un punto A (origen) a un punto B (extremo).

Un vector posee:

2

A

AB

A B

e f

Page 3: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Dirección : Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido: El sentido del vector   es el que va desde el origen A al extremo B. Se representa con la punta de flecha.

Magnitud o Módulo: El módulo del vector   es la longitud del segmento AB, se representa

por  . El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Punto de aplicación: Es el punto desde donde se considera que se aplica el vector. Coincide con el punto A.

¡!Nota!!Cuando se quiere representar gráficamente un vector tenemos que tener en cuenta que hay que respetar su magnitud, su dirección y su sentido. Es decir:

Para representar la dirección: debemos tener presente la inclinación, pendiente o

ángulo que tiene la recta que contiene al vector (usar transportador por ejemplo)

Para representar la magnitud. : hay que elegir una escala (por ejemplo 1cm = 1N ó 10cm= 100 km/h) y graficar en consecuencia.

¡¡PARA TENER EN CUENTA!! Uso del vector en Física

En Física, las magnitudes (longitud, fuerza, temperatura, velocidad etc) pueden clasificarse en Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales.

Las Magnitudes Escalares, como la longitud, la masa y el tiempo solo necesitan para su representación de un valor y una unidad. Por ejemplo: Decimos que un cuerpo tiene una masa de 100 kg . En este caso 100 es el valor y kg es la unidad. Y no necesitamos nada más para decir algo sobre la masa de ese cuerpo.

Pero por otro lado están las Magnitudes Vectoriales, como la velocidad, la fuerza o la aceleración. La velocidad, por ejemplo, es magnitud vectorial pues para definirla completamente no es suficiente con que demos un valor (ej 26 ) y una unidad (ej km/h) , sino que también necesitamos establecer una dirección (ej: una calle) y un sentido (ej: norte o sur). Es decir, estas magnitudes se representan con vectores. ¿Pero por qué necesitan además de una dirección y un sentido?

Ejemplo Imaginemos que Nelson revolea la llave de su auto tranquilamente sentado en un banco de la peatonal mientras espera a una amiga. De pronto ve que su novia Marta se acerca peligrosamente, también por la peatonal, y desde el sur ¡FATALIDAD! ¡Su inconciencia le sugiere que debe huir al galope, como sea, a digamos… 26 km/h! Pero,¿es suficiente decir que Nelson va a correr a 26km/h? La respuesta es …¡NO!

3

AB

AB

Page 4: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

En este caso, tanto Nelson como Marta se encuentran sobre la misma calle peatonal, es decir, sobre una misma recta, por lo tanto comparten la misma dirección. Ahora bien,

* No es lo mismo que Nelson salga corriendo a 26 km/h hacia el norte, que hacia el sur, pues en este último caso se cruzará con Marta. Es decir, hay dos sentidos que Nelson puede elegir para correr a 26km/h, uno lo salvará, el otro nó.

* Pero imaginemos que hay una plaza a esa altura de la peatonal. Entonces Nelson también podrá huir a 26km/h de manera perpendicular a la peatonal, hacia la plaza, para esconderse detrás de un árbol. En este caso Nelson elegirá otra dirección que no está en la misma calle (en la misma dirección) de Marta.

En resumen, no vasta con decir que Nelson va a huir a 26km/h, también es necesario definir un sentido y/o una dirección porque “No es lo mismo que Nelson revolee la llave lejos de Marta, a que Marta lo revolee lejos con una llave Nelson… 1 ”

¡¡¡Recomendación!!!

En Internet existen muchos sitios en donde se pueden practicar descomposición y suma de vectores. Acá te dejamos unas aplicaciones sencillas:

http:/phet.colorado.edu/en/simulation/vector-additionhttp:/www.educaplus.org/cat-93-p1-Vectores_Matemáticas.html

http:/www.vadenumeros.es/geogebra/geometría/sumavectores.html

1 Y podríamos pasar horas filosofando situaciones jocosas con el lema “No es lo mismo…”, pero eso ya sería tema de otro foro.

4

Page 5: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

ÁNGULODefinición: cada una de las cuatro partes en que queda dividido un plano por dos rectas del mismo que se corten entre sí.

Las rectas a y b al cortarse dividen al plano en cuatro ángulos. El punto de intersección M es el vértice común de los 4 ángulos.

Representación y lectura de un ángulo

Un ángulo puede leerse de tres maneras: a) con las letras minúsculas del alfabeto griego; b) por la letra del vértice y c) por tres letras correspondientes al vértice y a dos puntos de los lados (cuidando que la del vértice quede entre las otras dos).

Clasificación de acuerdo a la amplitud

Ángulo agudo: mide menos de 90º y más de 0º

Ángulo obtuso: mide más de 90º

Ángulo recto: mide 90º, se identifica con un rectángulo en la intersección de los lados.

Ángulo llano

Ángulos complementarios y suplementarios

5

< 90º> 90º

90º180º

Page 6: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ángulos complementarios: son aquellos que suman un ángulo recto.

Por ejemplo: y

Ángulos suplementarios: son aquellos que suman un angulo llano.

Por ejemplo: y

Nombre y propiedades de los ángulos formados por dos paralelas y una secante

Cuando dos paralelas son atravesadas por una secante se forman los siguientes ángulos:

Ángulos internos: son los ángulos , , y .Ángulos externos: son los ángulos , , y .

Ángulos alternos externos: son los pares , y , . Se cumple que = y = .

Ángulos alternos internos: son los pares , y , . Se cumple que = y = .

Ángulos correspondientes: son los pares , ; , ; , y , . Se cumple que = ; = ; = y = .

Ángulos opuestos por el vértice: son los pares , ; , ; , y , . Se cumple que = ; = ; = y = .

TRIÁNGULO

6

=90º-

Page 7: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Definición: es un polígono de tres lados (con tres vértices y tres ángulos internos).

¡A tener en cuenta!La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180º.Por ejemplo: si quisiéramos averiguar cuánto vale el ángulo α en el siguiente ejemplo:

α=180º-80º- 75º= 25º => α=25º

Clasificación de acuerdo con sus ángulos

Triángulo rectángulo: Es aquél que posee un ángulo recto (90º).

Triángulo acutángulo: Sus tres ángulos interiores son agudos

Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es obtuso

7

¡¡ATENCIÓN!! Éste es el triángulo que vamos a usar para aplicar el Teorema de Pitágoras y las Razones Trigonométricas.

(hipotenusa) c a(cateto)

b(cateto)

Recordemos que los lados que forman el ángulo recto (a y b) se denominan “catetos”, en tanto que el lado opuesto (c) a ese mismo ángulo es la “hipotenusa”.

A

B C

Por definición: α+β+γ= 180º

Luego, reemplazando β=80º y γ=75º :

α+80º+ 75º= 180º

entonces, al despejar α:

α= ?

β=80º

γ =75º

Page 8: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Clasificación de los triángulos de acuerdo con sus lados

Equilátero: poseen tres lados iguales

Isósceles: dos de sus lados iguales son iguales.

|a| = |b| ≠ |c|

Escaleno: posee tres lados desiguales..

Semejanza de triángulos

Se dice que un triángulo ABC es semejante a otro A’B’C’, cuando los ángulos del primero son respectivamente iguales a los ángulos del segundo y los lados del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo. Entonces:

4.3 EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Tal como se ha señalado en la introducción, la trigonometría tiene por objeto medir los elementos que conforman un triángulo.

En éste curso, cada vez que apliquemos la trigonometría será para obtener o hallar elementos de un triángulo rectángulo. Volvamos entonces al gráfico de la página anterior:

8

a b

c|a| = |b| = |c|

a b

c

a b

c

|a| ≠ |b| ≠ |c|

Page 9: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ahora bien, de la figura anterior podemos decir entonces que son 6 los elementos que nos interesan de esta figura2:

Los ángulos y Los lados: a (cateto), b (cateto) , c (hipotenusa)

4.3.1 TEOREMA DE PITÁGORASEl teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo a través de la

siguiente expresión:

Es decir, conociendo dos de los lados, puedo encontrar el tercero.

Ejemplo 1) Hallar el valor de la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo.

Ya conozco el valor de los catetos, necesito saber el valor de la hipotenusa. Aplico el teorema:

El objetivo es despejar ‘c’, por lo tanto paso el cuadrado del primer miembro como raíz cuadrada de todo el segundo miembro.

Si reemplazo por los valores que son dato:

Al operar obtengo:

2 También los vértices son elementos de un triángulos, es decir los puntos de intersección entre los lados del triángulo, pero en este caso no los consideraremos

9

Page 10: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ejemplo 2) Una variante del problema anterior surge cuando hay que calcular alguno de los catetos. Por ejemplo, calcular el valor de

Igual que en el problema anterior, partimos de…

Pero ahora el objetivo es conocer el valor del cateto ‘ ’Entonces, al despejar ‘ ’ obtenemos:

Si reemplazamos los valores conocidos en la expresión anterior obtenemos:

De donde obtenemos…

Ejemplo 3) Para abstraernos un poco de los problemas que nos da el profesor, imaginemos que estamos en una playa de la costa atlántica y que miramos hacia el horizonte que traza el mar. Suele ocurrir en estas ocasiones que uno se pone a filosofar banalidades del orden de “¿Se terminará el mundo más allá del horizonte?”, “¿no será cierto que caemos en las fauces de un dragón gigantesco?”, ó “¿por qué no le veo las cabezas a las jirafas del África?”

Bueno, para volver al tema que nos convoca, acaso podríamos preguntarnos ¿A qué distancia estoy del horizonte? Bien, la respuesta a esta última pregunta involucra obviamente al teorema de Pitágoras, pero ¿de qué manera?

Supongamos que Ud. mide 2 metros. Luego, sabiendo que desde la superficie de la Tierra hasta su centro hay aproximadamente 6.350 km ¿Cómo haríamos para calcular la distancia al horizonte?

10

Page 11: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Del gráfico vemos una alternativa para responder a esta pregunta. Formamos un triángulo rectángulo con un ángulo recto formado por el radio de la Tierra y la distancia al horizonte. Si llamamos ‘ ’ a la hipotenusa, ‘ ’ al radio de la Tierra y ‘ ’ a la distancia al horizonte al nivel del mar, podemos decir que:

= 6.350 km +2 m =6.350.000 m +2 m = 6.350.002 m=6.350 km=6.350.000 m=?

Entonces, al plantear el teorema:

Despejamos , entonces:

o bién

¡Luego, la distancia al horizonte es de 5039,84 m!

¡¡¡LA ANÉCDOTA DE COLOR!!!

¿Cómo harías para construir un triángulo rectángulo con una cuerda de 12 metros?

11

Page 12: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

El método es muy sencillo y era usado por los antiguos egipcios para poder edificar paredes en ángulo recto. El problema en concreto es conseguir de algún modo un ángulo recto en el terreno que sirva de referencia para levantar las paredes ¿Pero, cómo hacían los egipcios? A pesar de que Pitágoras no había nacido, podían aplicar su teorema aún sin conocerlo como lo conocemos ahora3. Ellos dividían una cuerda con 13 nudos equidistantes; luego, extendiéndola sobre el terreno estacaban la cuerda formando lados de de 3,4 y 5 unidades. Al unir los nudos extremos formaban el triángulo rectángulo. El ángulo recto formado por sus catetos les servía como escuadra. El siguiente gráfico nos da una idea de cómo trabajaban los harpedonautas4 egipcios.

Si en lugar de trabajar con nudos equidistantes, usamos el metro como unidad, podemos verificar fácilmente que:

3m+4m+5m=12m

Ahora bien, para que los lados de 3 y 4 metros ( es decir, los catetos) formen un ángulo de 90º, también se debe verificar el teorema de Pitágoras con la hipotenusa de 5 metros. De modo que :

Para nuestro caso sería…

Si verificamos la igualdad…25=9+1625=25

Problemas para seguir ejercitando con el teorema de Pitágoras…

Complete la tabla considerando un triángulo rectángulo donde ‘a’ y ‘b’ son catetos y ‘c’ es la hipotenusa:

3 ¿Será que Pitágoras podía viajar en el tiempo? ¿O acaso el teorema fue revelado a los egipcios por los siempre generosos alienígenas?... ¡¡¡Gran misterio, gran!!!! (Tengo para mí que en esta civilización no eran tan tontos como creen algunos egiptólogos de occidente.)4 ¡Ojo!, ¡a no confundirse! Del gráfico uno podría conjeturar que se parecen mucho a los “halped-o-nautas” (inevitable cuadrilla en donde uno trabaja y los otros miran), pero no, estos eran “harpedonautas”, es decir “Tiradores de cuerdas”, y eran los ayudantes de los agrimensores y albañiles.

12

Page 13: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ejercicio Cateto ‘a’ Cateto ‘b’ Hipotenusa ‘c’i) 15 ¿? 25ii) ¿? 60 61iii) ¿? 64 80iv) 13 ¿? 85v) 15 112 ¿?vi) ¿? 10 12,84vii) 5 ¿? 9,43

Respuestas:

Ejercicio Cateto ‘a’ Cateto ‘b’ Hipotenusa ‘c’i) 15 20 25ii) 11 60 61iii) 48 64 80iv) 13 84 85v) 15 112 113vi) 8,05 10 12,84vii) 5 8 9,43

4.3.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Recordemos que el teorema de Pitágoras relacionaba los lados de un triángulo rectángulo a través de la expresión . Es decir, podíamos encontrar el valor de cualquiera de sus lados conociendo el valor de los otros dos.

Con las razones trigonométricas podremos relacionar lados y ángulos de un triángulo rectángulo.

13

c a

b

Page 14: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Habíamos dicho también que los seis elementos fundamentales de un triángulo rectángulo eran:

los 3 ángulos internos

y

los 3 lados: a (cateto), b (cateto) , c (hipotenusa)

Ahora, con las razones trigonométricas, podremos encontrar el valor de cualquier ángulo o de cualquier lado conociendo ya sea el valor de un ángulo y un lado o el valor de dos lados.

Por ejemplo:a) Si tenemos como datos un ángulo y un lado

b) Si tenemos como dato dos lados

14

En este caso ‘a’ y ‘ ’ son conocidos y con la ayuda de las razones trigonométricas esto será suficiente para averiguar ‘b’, ‘c’ y ‘ ’.

Aquí los datos son los lados ‘a’ y ‘b’, y esto será suficiente para averiguar ‘c’, ‘ ’ y ‘ ’.

Page 15: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Pero volvamos al tema. ¿Qué es entonces una razón trigonométrica?

Una razón trigonométrica es una manera de relacionar los lados con los ángulos de un triángulo rectángulo. Existen tres razones trigonométricas fundamentales que surgen de relacionar dos lados y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo: seno, coseno y tangente.

¿Cómo se definen las razones trigonométricas fundamentales?

Sea un triángulo rectángulo

Seno de un ángulo: Se abrevia “sen” y se define como la relación entre el cateto opuesto de un ángulo agudo y la hipotenusa.

Para el ángulo

Para el ángulo

15

Antes de seguir adelante, tenemos que terminar con un mito de la escuela secundaria:

¡ LA TRIGONOMETRÍA NO ES COMPLICADA!

Si bien la trigonometría abarca campos muy amplios y muy diversos que van de la ingeniería a la astronomía -pasando por infinidad de otras áreas-, en este curso solo sirve de herramienta para que, dados dos elementos de un triángulo rectángulo se puedan hallar los restantes.

Una vez que conozcas la naturaleza que da origen a la trigonometría y una vez que aprendas los conceptos fundamentales, te darás cuenta de lo sencillo que resulta aplicarla.

c a

b

Page 16: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Coseno de un ángulo: Se abrevia “cos” y se define como la relación entre el cateto adyacente de un ángulo agudo y la hipotenusa.

Para el ángulo

Para el ángulo

Tangente de un ángulo: Se abrevia “tg” y se define como la relación entre el cateto opuesto de un ángulo agudo y el cateto adyacente del mismo ángulo.

Para el ángulo

Para el ángulo

¡¡¡NOTA IMPORTANTE!!!

Es importante señalar que el carácter de “opuesto” o “adyacente” de los catetos no responde a un capricho de un matemático dispuesto a jorobarle la vida al estudiante, sino que tiene su razón de ser.

¡Entiéndase bien! Un cateto va a ser “opuesto” o “adyacente” dependiendo del ángulo agudo que estemos considerando dentro del triángulo rectángulo.

Así por ejemplo:

a) Si consideramos el ángulo (ver dibujo) el “cateto opuesto” será el que tengamos enfrente, que para nuestro ejemplo será “a”.

16

Page 17: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

b) Pero si consideramos el ángulo (vea el dibujo), ahora el cateto opuesto será “b”.

En cualquier caso, la hipotenusa será siempre el lado opuesto al ángulo recto y el cateto adyacente será aquel cateto que no sea el opuesto.

Razones recíprocas

Las razones seno, coseno y tangente tienen su razón recíproca y ellas son:

En este curso no usaremos las razones recíprocas de este inciso.

Razones inversas

Las razones seno, coseno y tangente tienen su razón inversa y ellas son:

17

Page 18: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Arco-seno arc-sen

Arco-coseno arc-cos

Arco-tangente arc-tg

En los ejemplos veremos cuándo y cómo trabajar con ellas.

¡¡¡Para tener en cuenta!!!

El valor de una razón trigonométrica depende solamente de la amplitud del ángulo que estemos considerando y no del tamaño del triángulo.

Para entender esto dibujemos un ángulo agudo ‘α’ con su vértice ‘O’.

Atravesemos las semirrectas que lo forman con dos rectas perpendiculares a una de ellas.

v

(Nótese que sobre los puntos B y B’ se forman ángulos rectos.)

Por propiedad de triángulos semejantes, el triángulo es semejante al triángulo y teniendo en cuenta esta última propiedad podemos plantear las siguientes igualdades:

Y esas constantes se pueden relacionar , por ejemplo, con las razones trigonométricas del ángulo :

18

Page 19: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

¿Cómo trabajar con las razones trigonométricas?

Veremos cómo trabajar con las razones trigonométricas con algunos ejemplos.

Ejemplo 1) Del siguiente triangulo rectángulo se conocen a = 5 m y = 41.7°. Encontrar a) el lado ‘b’, b) el lado ‘c’ y c) el ángulo ‘ ’.

No hay una sola forma de resolver este ejemplo. Sugeriremos una y el alumno podrá plantear otras soluciones.

a) Cálculo del lado ‘b’

Sabemos que =41,7º y a=5m son datos. Luego, ‘b’ es cateto opuesto de .

¡Tenemos que encontrar la manera de relacionar a ‘a’ (cateto adyacente), ‘b’ (cateto opuesto) y al ángulo !

Si voy a las definiciones de las razones trigonométricas me voy a dar cuenta de que la tangente de un ángulo relaciona a estos tres elementos. Entonces, si planteo:

tg =

Si ahora reemplazo lo que tengo como dato y despejo ‘b’:

tg 41,7º= b= 5 m.tg 41,7º

luego

b) Cálculo de ‘c’

19

b=4,45 m

Page 20: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ahora, lo que buscamos relacionar por ejemplo el lado ‘a’ (podría haber elegido ‘b’ ya que ahora sabemos cuánto vale), el ángulo y la hipotenusa ‘c’. Para ello recurrimos a la relación trigonométrica coseno.

cos =

cos 41,7º =

Al despejar ‘c’:

c=

c) Cálculo de

Podemos encontrar el valor del ángulo al considerar que todo triángulo suma 180º en sus ángulos internos,

Entonces 180º= + + 90º donde =41,7º

luego180º= +41,7º+ 90º

Y al despejar :180º-41,7º-90º=

Pero también podemos encontrar de otra forma. Por ejemplo, si plantea alguna relación trigonométrica:

tg =

¡¡¡Obsérvese que como estoy tomando en lugar de , la tangente es ahora ‘a/b’!!!

Luego, si reemplazo por lo que es dato:

tg =

Ahora , para despejar , tenemos que recurrir a la función inversa de la tangente que es el arcotangente (arctg ó tg-1):

=

20

=48,3º

c=6,69 m

Page 21: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Luego

Ejemplo 2) Responder: a) ¿Qué sombra proyectará un poste de 9m de altura cuando el ángulo de elevación del sol es de 25º? b) ¿Qué longitud de alambre se requiere para asegurar el poste si se amarra formando un ángulo de 60º en el suelo?

a) Grafiquemos:

Lo que se pide concretamente es calcular sobre el suelo la longitud de la sombra.Entonces, lo que buscamos relacionar es: el ángulo de 25º, la longitud del poste

(cateto opuesto al ángulo de 25º), y la longitud de la sombra ‘l’(cateto adyacente al ángulo de 25º). La relación trigonométrica que nos sirve entonces es la tangente

Plantemos entonces

tg 25º=

Al despejar ‘l’:

l=

b) Grafiquemos …

21

9m

sol

25º

l

=48,33º

l=19,3 m

Page 22: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Lo que busco ahora es calcular la longitud del alambre (hipotenusa ‘c’), teniendo como datos la longitud del poste (cateto opuesto al ángulo de 60º) y el ángulo de 60º.

La relación trigonométrica que debemos usar es el seno:

sen 60º=

y al despejar ‘c’:

c=

¡¡¡Recomendación!!!

En Internet existen muchos sitios en donde se pueden practica con trigonometría. Acá te dejamos una aplicación sencilla:

http:/www.educaplus.org/games.php?cat=73&page=1%page=2

Problemas típicos en Física

En Física, muchas veces se requiere descomponer un vector (una fuerza por ejemplo) para conocer su proyección sobre los ejes de coordenadas cartesianas.

Ejemplo3) Hallar la proyección de la fuerza sobre los ejes ‘x’ e ‘y’.

22

= 40º

Fx=?

F: fuerza a descomponer o proyectarFx: componente o proyección de F sobre ‘x’ Fy: componente o proyección de F sobre ‘y’ = ángulo que forma F con respecto a ‘x’

F=100 N

x

y

Fy=?

c=10,39 m

Page 23: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

El objetivo es encontrar el valor de Fx y el de Fy .

En este problema lo primero que tenemos que hacer es identificar el triángulo rectángulo sobre el cual vamos a aplicar las razones trigonométricas.

En rigor hay dos triángulos rectángulos, uno “por encima” de F y otro “por debajo” de F. Podemos trabajar sobre cualquiera de ellos, pero por comodidad trabajaremos con el triángulo inferior:

Lo siguiente a tener en cuenta es que el cateto opuesto a es Fy.

23

Page 24: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ahora estamos en condiciones de descomponer F

a) Si planteo cos = Fx/F entonces, reemplazando:

cos 40º = Fx/100N

luego, despejando Fx:

Fx = 100 N x cos 40º = 76,6 N

b) Si ahora planteo sen = Fy/F entonces, reemplazando:

sen 40º = Fy/100N

luego, despejando Fy:

Fy = 100 N x sen 40º = 64,27 N

Ejemplo 2: Una variante al ejemplo anterior se da cuando los datos son ahora las proyecciones Fx y Fy , y las incógnitas son F y .

24

Fx=76,6N

Fy=64,2 N

Page 25: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

El objetivo entonces es encontrar el valor de la fuerza y el ángulo de inclinación con respecto al eje positivo de las x.

Trabajaremos de nuevo con el triángulo inferior teniendo en cuenta que el cateto opuesto a α es igual que en el ejemplo anterior:

a) Si planteo tg = Fy/Fx entonces, reemplazando:

tg = Fx/Fy tg = 2 N / 5 N = 0,40 tg α = 0,40

luego despejando :

b) Ahora podemos encontrar F planteando el Teorema de Pitágoras o alguna relación trigonométrica.

Apliquemos Pitágoras:

25

= ¿? Fx=5 N

F=??

x

y

Fy=2 N

= arctg 0,40= 21,8º

Page 26: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

F= = 5,39 N

¡Nota! Obsérvese que F= 5,39 N es mayor que Fy=2N y que Fx= 5N, lo cual está bien pues se trata de la hipotenusa del triángulo y SIEMPRE la hipotenusa es el mayor de los lados en un triángulo rectángulo.

Ejemplo 3) En este ejemplo, lo que se pide es descomponer vectores fuerza que se encuentran en diferentes cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas.

y F1=30N x F3=55N F2=25N

=25º

=14º

=80º

¡Tenga en cuenta que son 3 vectores distintos, así que hagamos la descomposición por separado!

Para la fuerza F 1

Estamos en el segundo cuadrante. Hay que tener en cuenta que F1x se proyecta en el eje negativo de ‘x’, por lo tanto será negativa , en tanto que F1y se proyecta en el eje positivo de la ‘y’, y será positiva.

Se puede verificar que :

F1x= -F1 . cos = -30N. cos 25º= -27,18 N

F1y= F1. sen = 30N. sen 25º= 12,67 N

Para la fuerza F 2

26

F1y

F1x

=25º

y

x F2y (en eje negativo de ‘y’) =14º

F2=25N F2x (en eje negativo de ‘x’)

y

F1=30N x

(en eje negativo de ‘x’)

Page 27: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Verifíquese que al descomponer F2 en el tercer cuadrante, F2x y F2y se proyectan respectivamente sobre los ejes negativos de ‘x’ y de ‘y’, por lo tanto serán negativas.Según el dibujo, el cateto opuesto ahora es F2x y el adyacente es F2y . Así que cuidado con el planteo de las razones trigonométricas.

Luego :

F2x= -F2 .sen = -25 N. sen 14º= - 6,04 N

F2y= -F2. cos = -25 N. cos 14º= - 24,25 N

Para la fuerza F 3

Ahora estamos en el cuarto cuadrante, y al descomponer F3 vemos que F3x se proyecta sobre el eje positivo de ‘x’, pero F3y se proyecta sobre el eje negativo de ‘y’. Tenga en cuenta también que en este dibujo hemos elegido a F3x como cateto opuesto a .

Entonces:

F3x= F3 . sen = 55 N. sen 80º= 54,16 N

F3y= -F3. cos = -55 N. cos 80º= - 9,55 N

Problemas para seguir ejercitando con razones trigonométricas

Ejercicio 1) Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 3m de largo y uno de sus ángulos 30º. a)¿ Cuál es la longitud del lado opuesto al ángulo de 30º? b) ¿Cuál es el lado adyacente al ángulo de 30º ?

Respuestas: a) 1,5m b) 2,6m

Ejercicio 2) El tratamiento post operatorio de un paciente con problemas en la columna vertebral requiere que la posición del respaldo de una silla especial reclinable tenga una inclinación de α= 15º. Si el respaldo de esta silla se encuentra inicialmente a 90º con respecto al asiento (horizontal) ¿cuál deberá ser el desplazamiento horizontal (Δx) del mismo para conseguir el ángulo α=15º?

27

y

x F3y F3=55N (en eje nega- F3x tivo de ‘y’)

Page 28: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Respuesta: 20,70 cm

Ejercicio 3) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

Respuesta: 39,8º

Otros problemas de trigonometría

Ejercicio 1) En cierto triángulo rectángulo, los dos lados que son mutuamente perpendiculares miden 5m y 7 m . ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

Respuesta: 8,6 m

Ejercicio 2) Dado un triángulo rectángulo, calcule el ángulo β siguiendo los datos que se consignan en la tabla.

Ejercicio Hipotenusa ‘c’ Cateto ‘a’ Cateto ‘b’ Ángulo

28

Page 29: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

i) 8 - 2 ¿?ii) - 4,5 8,7 ¿?iii) 987 123 - ¿?iv) - 50 50 ¿?

Respuestas:Ejercicio Hipotenusa ‘c’ Cateto ‘a’ Cateto ‘b’ Ángulo

i) 8 - 2 14,47º

ii) - 4,5 8,7 62,65º

iii) 987 123 - 82,84º

iv) - 50 50 45º

Ejercicio 3) En la siguiente figura identifique

a) el lado opuesto a

b) el lado adyacente a y luego encuentre:

c) cos

d) sen

e) tan

Respuestas: a) 3 b) 3 c)4/5=0,80 d)4/5=0,80 e) 4/3=1,33

Ejercicio 4) Completo la tabla usando una calculadora.

Ángulos 1º Cuadrante

sen 70º= cos 65º= tg 25º=

Ángulos 2º Cuadrante

sen 115º= cos 148º= tg 91º=

Ángulos 3º Cuadrante sen 215º= cos 245º= tg 230º=

29

3 5

4

Page 30: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ángulos 4º Cuadrante

sen 215º= cos 286º= tg 290º=

Respuestas:

Ángulos 1º Cuadrante

sen 70º=0,939 cos 65º=0,422 tg 25º=0,466

Ángulos 2º Cuadrante

sen 115º=0,906 cos 148º=-0,848 tg 91º=-57,28

Ángulos 3º Cuadrante

sen 215º=-0,573 cos 245º=-0,422 tg 230º=1,191

Ángulos 4º Cuadrante

sen 290º=-0,939 cos 286º=0,275 tg 290º=-2,747

Ejercicio 5) Una escalera de 4m de largo se apoya contra un muro formando un ángulo de 75º con el suelo. a) ¿A qué altura del muro está apoyada la escalera? b)¿A qué distancia del muro está ubicado el pie de la escalera?

Respuestas: a) H=3,86m, b) d=2 m

Ejercicio 6) Resolver el siguiente problema, utilizando propiedades trigonométricas y/o el teorema de Pitágoras.

Un traumatólogo le pide a usted que coloque la pierna inmovilizada de un paciente quebrado a 30º respecto a la horizontal, para disminuir la hinchazón en la zona distal de la misma.

a) calcule la altura a la que se encuentra el talón del paciente respecto a la horizontal (h)b) calcule el largo de la pierna del paciente (L) en cm.

Respuestas: a) 45cm b) 90cm

30

Page 31: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Ejercicio 7) De los ángulos indicados en los siguientes sistemas de coordenadas cartesianas calcule el seno y el coseno ¿ Por qué ocurren los cambios de signo ?

Respuestas: sen 40º=0,64 ; cos 40º= 0,76 ; sen 150º=0,5 ; cos 150º=-0,86 sen225º=-0,707 ; cos 225º=-0,707 ; sen 315º=-0,707 ; cos 315º=0,707

Ejercicio 8) ¿Qué sucede con el valor numérico del seno de un ángulo agudo a medida que el ángulo se acerca a 90º? Interprete el resultado con la ayuda de un gráfico.

Ejercicio 9) ¿Qué sucede con el valor numérico del coseno de un ángulo agudo a medida que el ángulo se acerca a 0º? Interprete el resultado con la ayuda de un gráfico.

10 Bibliografía usada

Alsina Claudi, “La secta de los números. El teorema de Pitágoras”, RBA Coleccionables S.A.,2011

Abramson, Guillermo, “Viaje a las estrellas, de cómo (y con qué) los hombres midieron el universo”, (Colección Ciencia que Ladra…), Siglo Veintinuno Editores,2011

Amster, Pablo, “La matemática como una de las bellas artes”, (Colección Ciencia que Ladra…), Siglo Veintinuno Editores,2011

Marred,Enciclopedia Temática Color, “Matemáticas y Computación” , THEMA EQUIPO EDITORIAL S.A., 2002

31

Page 32: Tema 4 -  Trigonometría

TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICA

Repetto, Linskens, Fesquet, “Matemática moderna. Álgebra.”, Editorial Kapelusz S.A., 1967.

Documental de Antonio Pérez Sanz , “Universo Matemático. I Pitágoras, mucho más que un teorema”, La 2, Televisión Española.

http://www.vitutor.com

32