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Tema 46. Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1
TEMA 46. Distintas coordenadas para describir el
plano y el espacio. Curvas y superficies.
1. Introducción.
El estudio y representación de algunas curvas es bastante previo a la definición y
utilización de los sistemas de referencia, teniendo tales curvas un enfoque sistémico.
Se considera a la Grecia clásica la primera cultura en estudiar curvas. Los conocimientos
del saber griego perduran por los años y han tardado en superarse, en especial la geometría.
Los pensadores más relevantes de la Grecia clásica en estudio de las curvas pueden ser
Arquímedes (la espiral), Apolónio (las cónicas) y Ptolomeo (ciclos epiciclos).
Las curvas eran entendidas como lugares geométricos y como tales se construían a partir
de herramientas propias, por esta razón se denominaron curvas mecánicas.
Descartes en el S XVII define los sistemas de coordenadas (ejes cartesianos), a partir de
este momento las curvas se interpretan de forma algebraica siendo una relación de y frente x.
Esta nueva forma de entender las curvas se ha mantenido y ha dado a nuevas
herramientas que nos ayudan a la representación gráfica a partir de la expresión analítica, es el
cálculo infinitesimal.
El sistema de coordenadas polar surge de su utilización por los matemáticos y físicos
Newton y Leibnitz.
2. Sistemas de coordenadas en el plano.
2.1. Planos afines.
Los sistemas de coordenadas en el espacio afín permiten representar de forma sencilla y
concreta puntos y curvas en el plano.
Plano Afín(A2): es una estructura formada por la terna ( Π 2, V2, p) donde se cumple:
- Π 2 es el conjunto de puntos en el plano ℝ2, P=(x,y).
- V2 es el espacio vectorial de 2 dimensiones: (ℝ2, +, ·)
- p aplicación que nos relaciona dos puntos A,B∈ ℝ2 con un vector: p(A,B)= ABv = y
que está definida de la siguiente forma ),( ABAB yyxxABv −−==
Sobre el plano Afín definimos un sistema de referencia cartesiano ℛ={O, 21 ,uu } donde O
es un punto de Π 2 y 21 ,uu dos vectores base de V2. Las rectas que contienen el origen O y
con direcciones 21 uyu se llaman ejes coordenados del sistema de referencia ℛ.
Por ser 21 uyu base, todo vector v se puede expresar como combinación lineal de
estos: =v 2211 ·· uu λλ + , siendo 2211 ·· uyu λλ las proyecciones del vector v en los dos ejes.
Los valores de 21 λλ y se denominan coordenadas de v en ℛ. De igual forma podemos definir
las coordenadas de un punto P∈Π 2 a los valores x e y que cumplen: 21· uyuxOP += y se
expresan como P(x,y).
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2.2 Plano Euclideo, coordenadas cartesianas.
La diferencia entre el plano afín y el euclideo es que el segundo tiene una aplicación
métrica asociada, denominada producto escalar, que nos relaciona dos vectores con el cuerpo
(los números reales). A partir de esta aplicación se define la norma del vector como veremos.
Producto escalar:
·: V2xV2 ℝ
21 , uu λ=21 ·uu
Norma: se define a partir producto escalar
||: V2 ℝ
u uuu ·=
Plano Euclideo E2 es un espacio Afín donde el espacio vectorial dotado de una aplicación
del tipo producto escalar, y por tanto de norma: E2( Π 2, V2, p).
Nota: si V2= ℝ2 entonces el producto escalar definido de la siguiente forma:
212121 ··· yyxxuu += y por tanto la norma: 22· yxuuu +==
Para fijar el plano euclideo es necesario definir el sistema de referencia, denominado en
este caso cartesiano: ℛ={O, 21 ,ee } donde se cumple que O es un punto (centro del sistema) y
los vectores , 21 ,ee son base de V2 y ortonormales, es decir 0,· 21 =ee y 121 == ee . En el
caso de que V2= ℝ2 los vectores serán perpendiculares y de tamaño unidad. Fijado el sistema
de referencia se llaman ejes cartesianos a las rectas que pasando por O tiene dirección 21 eye
Todo vector y todo punto se podrán poner en función del sistema cartesiano de la
siguiente forma: 21 ·· eyexv += y P(xp,yp)= 21 ·· eyexOP pp += .
2.3 Cambio de base en ejes Euclideos.
Tenemos infinidad de sistemas de referencias distintos, sin más que cambiar el centro y/o
los vectores de la base. Muchas veces es necesario pasar de un sistema de referencia ℛ={O,
21 ,ee } a otro ℛ′={O’, ',' 21 ee }, para esto se suele trabajar con la matriz de cambio de sistema
de referencia. Veamos como relacionar las coordenadas de un punto P(x,y) y P(x’,y’):
'·'·
'·'·
2221212
2121111
ecece
ecece
+=
+= �
=
2221
1211
cc
ccC
y '·'·' 21 eyexOO oo += .
O 1e x· 1e
y· 2e
2e
v
P
Propiedades producto escalar:
1) 1221 ·· uuuu =
2) ( ) 3121321 ··· uuuuuuu +=+
3) 0· ≥uu
4) 00· =↔= uuu
5) ( ) ( )1221 ·· uuuu αα =
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Las propiedades de los 4 vectores (ortonormales) nos limitan los cambios de base y por
tanto las matrices C, ya que deben cumplir: 12
12
2
111 =+= cce , 12
22
2
212 =+= cce y
0··· 2212211121 =+= ccccee . Sólo hay tres tipos de cambios de coordenadas:
a) Traslación del origen: ℛ={O, 21 ,ee } ℛ′={O’, 21 ,ee }: por lo que si P(x’,y’) en ℛ�
entonces en ℛ se cumple P(x,y)=(x’+xo ,y’+yo):
b) Simetría axial: ℛ={O, 21 ,ee } � ℛ′={O’, 21 , ee − } o ℛ′′={O,- 21 ,ee } de tal forma que si
P(x,y) en ℛ entonces P(x’,y’)=(x,-y) en ℛ′ y P(x’’,y’’)=(-x,y) en ℛ��.
c) Giro o rotación de los ejes (α): Si giramos un ángulo α los ejes la relación de los
elementos de la base es: ')·(')·cos( 211 esenee αα −= , ')·(cos')·( 212 esesene αα +=
O
1e '' 1e = 1e ’
2e = 2e ’’
2e ’
==
10
01IdC
=
'
'
1
·
10
01
0011
0
0
y
x
y
x
y
x
−==
10
01' IdC
−
=
'
'
1
·
100
010
0011
y
x
y
x
−==
10
01' IdC
−=
''
''
1
·
100
010
0011
y
x
y
x
−=
)cos()(
)()cos(
αααα
sen
senC
−=
'
'
1
·
)cos()(0
)()cos(0
0011
y
x
sen
sen
y
x
αααα
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Todas las matrices de cambio de sistema de referencia ortonormal cumplen A-1
=At. Si
tenemos varios cambios de referencia la nueva matriz de cambio de base se obtiene
multiplicando las matrices.
2.4 Coordenadas polares.
Se basan en la relación de equivalencia entre los conjuntos de ℝ2 y ℂ. De esta forma
podemos definir cada punto P o vector v en función del módulo de v o distancia al origen del
punto P y del ángulo que forma el vector v o el vector OP con el eje positivo OU1
(generalmente denotado como OX).
P(x,y) ≡P(ρ,θ) donde
- Polares en función de cartesianas: ρ=22
yx + y )/(1 xytg −=θ
- Cartesianas en función de polares: x= ρ·cos(θ), y= ρ·sen(θ).
Se pueden definir los vectores unitarios en polares ( θρ uu , )
pero son distintos en cada punto del plano, no como los
cartesianos que son siempre los mismos.
3 Sistemas de coordenadas en el espacio.
3.1 Espacio Cartesiano.
En el espacio con tres dimensiones el espacio afín asociado será la terna A3=( Π 3, V3, p)
donde Π 3 es el conjunto de todos los puntos en el espacio (ℝ3), V3 es el espacio vectorial de
dimensión 3 (ℝ3,+, ·) y p la aplicación que asocia dos puntos A, B a un vector AB . Si además
se define un producto escalar en V3 obtenemos el espacio euclideo E3( Π 3, V3, p). En este
espacio definimos el sistema de referencia ℛ={O, ),, 321 eee } donde los vectores son
ortonormales, es decir
≠
===
jisi
jisiuu ijji
0
1· δ . Los ejes coordenados son las rectas que
pasan por O y tienen vector director 321 , eyee
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3.2 Cambio de sistema de coordenadas ortonormal.
Si tenemos dos sistemas de referencia ortonormales ℛ={O,321 ,, eee } y ℛ′={O, ',',' 321 eee }.
Las coordenadas de cualquier punto P se podrá poner en cualquier sistema de referencia . La
ecuación matricial es semejante al plano afín con la diferencia de una coordenada más. Se
tiene que cumplir que los coeficientes de la matriz aij : 1||2
3
2
2
2
1 =++= iiii cccu si i≠j se
cumple 0···· 332211 =++= jijijiji ccccccuu . Veamos algunos casos de cambios de sistema:
A) Traslación del Origen de O(0,0,0) a O’(xo,yo,zo):
+=
+=
+=
'
'
'
zzz
yyy
xxx
o
o
o
La matriz asociada es :
=
'
'
'
1
·
100
010
001
00011
0 z
y
x
z
y
x
z
y
x
o
o
B) Inversión o simetría: para que se cumpla el orden ( 213 uuu ×= ) hay que invertir 2
ejes, tenemos tres opciones:
=
−=
−=
'
'
'
zz
yy
xx
La matriz asociada es :
−
−=
'
'
'
1
·
1000
0100
0010
00011
z
y
x
z
y
x
=
=
−=
'
'
'
zz
yy
xx
La matriz asociada es :
−
−=
'
'
'
1
·
1000
0100
0010
00011
z
y
x
z
y
x
−=
−=
=
'
'
'
zz
yy
xx
La matriz asociada es :
−
−=
'
'
'
1
·
1000
0100
0010
00011
z
y
x
z
y
x
C) Rotación: A diferencia en 2-d hay muchas formas de rotar los ejes, aunque se puede
demostrar que toda rotación es composición de los 3 ángulos de Euler y no de los 9
ángulos siguientes:
∠+∠+∠=
∠+∠+∠=
∠+∠+∠=
3332321313
3232221212
3132121111
))',(cos())',(cos())',(cos('
))',(cos())',(cos())',(cos('
))',(cos())',(cos())',(cos('
uuuuuuuuuu
uuuuuuuuuu
uuuuuuuuuu
Aplicando la ortogonalidad ijjiijji eeyee δδ == ''·· vemos que sólo 3 ángulos
independientes (ángulos de Euler) que se identifican como
- Α=φ (rotación): giro del eje Z � (x1, y1, z1=z)
- Β=ψ (nutación) : giro del eje x1 � (x2, y2, z2)
- γ =θ (precesión): giro del eje z2 � (x3, y3, z3)
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Matriz de giro:
−=
0
cos()(
)cos(
sen
sen
z
y
x
γγ
3.3 Coordenadas cilíndricas.
Cuando las curvas o superficies estudiadas
coordenadas más útiles son las cilíndricas, que se basan en las coordenadas polares en el
espacio. Veamos el significado de las tres coordenadas cilíndricas y su relación con x,y,z
ρ=distancia del punto al eje OZ=
ϕ=ángulo de la proyección del punt
z, z∈(-∞,∞)
3.4 Coordenadas esféricas.
Estas coordenadas se denominan de esta manera pues se representan de forma muy
sencilla la ecuación de la esfera. Estas coordenadas son las que se utilizan para situarse en la
Tierra. Las coordenadas esféricas son las siguie
r=distancia del punto al origen (módulo del vector OP)
ϕ=ángulo de la proyección del punto P en el plano XY con el eje OY en sentido positivo.
θ=ángulo del vector OP y el eje OZ positivo.
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
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−
−
0
)(
)cos(
·
)cos()(0
)()cos(0
001
·
10
0)cos(
0)(
sen
sen
sen
sen
αα
ββββγ
γ
Coordenadas cilíndricas.
uperficies estudiadas tiene simetría axial respecto al eje OZ las
coordenadas más útiles son las cilíndricas, que se basan en las coordenadas polares en el
espacio. Veamos el significado de las tres coordenadas cilíndricas y su relación con x,y,z
ρ=distancia del punto al eje OZ= 22
yx + : ρ∈(0,∞)
=ángulo de la proyección del punto sobre el plano XY y el eje OX, ϕ=tg-1
(y/x):
El cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas es
sencillo:
x=ρ·cos(ϕ)
y= ρ·sen(ϕ)
z=z
Coordenadas esféricas.
Estas coordenadas se denominan de esta manera pues se representan de forma muy
sencilla la ecuación de la esfera. Estas coordenadas son las que se utilizan para situarse en la
Tierra. Las coordenadas esféricas son las siguientes:
r=distancia del punto al origen (módulo del vector OP)
=ángulo de la proyección del punto P en el plano XY con el eje OY en sentido positivo.
=ángulo del vector OP y el eje OZ positivo.
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
6
'
'
'
10
0)cos()
0)(
z
y
xsen
αα
tiene simetría axial respecto al eje OZ las
coordenadas más útiles son las cilíndricas, que se basan en las coordenadas polares en el
espacio. Veamos el significado de las tres coordenadas cilíndricas y su relación con x,y,z
(y/x): ϕ∈(0,2π)
El cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas es
Estas coordenadas se denominan de esta manera pues se representan de forma muy
sencilla la ecuación de la esfera. Estas coordenadas son las que se utilizan para situarse en la
=ángulo de la proyección del punto P en el plano XY con el eje OY en sentido positivo.
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esfericacartesiana
z
yxtg
x
ytg
rzyxr
→
∈
+=
∈
=
∞∈++=
−
−
),0(
)2,0(
),0(
22
1
1
222
πϑϑ
πϕϕ
cartesianaesferica
rz
senrseny
senrx
→
=
=
=
)cos(
)()(
)()cos(
ϑϑϕϑϕ
Al igual que en las coordenadas cilíndricas las coordenadas esféricas no tienen ejes
definidos, de forma que los vectores directores ϑϕ uuu r ,, son distintos en cada punto P.
4. Curvas y superficies. Generalidades.
4.1 Distintas formas definir curvas y superficies en plano y espacio
A) Curvas en el plano: una curva es una línea de 1 dimensión, siendo la relación de dos
variables (x e y). Pueden definirse de distintas maneras.
• Análitica o funcional: cuando una variable (generalmente la y ) se puede poner
en función de la otra x, de manera que a cada valor de x le corresponde un
único valor de y: y=f(x) o x=f(y). Ejemplo: y=f(x)=x2-2x+5
• Algebraica: los puntos de la curva son las soluciones de una ecuación
algebraica de dos incógnitas (x e y). Toda expresión analítica se puede poner
de forma algebraica pasando la y al otro lado de la igualdad (F(x,y)=x2-2x+5-y)
pero el sentido inverso no siempre es posible al no poderse despejar ninguna
variable. Ejemplo: x2+y
2-25=0
• Paramétrica: los valores de x e y se expresan en función de un parámetro, t.
Este parámetro puede tener significado geométrico (ángulo) o no. Tenemos
entonces 2 ecuaciones con 3 variables, es decir un parámetro libre. Siempre es
posible pasar de expresión analítica a pramétrica llamando a x=t, en sentido
inverso no siempre es posible. Ejemplo: x=5·cos(t), y=5·sen(t) t∈(0,2π)
• En polares: es una relación funcional entre ρ y θ: ρ =f(θ). Ejemplo ρ=θ.
Por lo general es posible relacionar las distintas representaciones entre si, aunque no
siempre es posible pues para la expresión analítica es necesario que la relación entre la
variable y y la x sea inyectiva (f(x)=y una única solución).
B) Curvas en el espacio: en el espacio tenemos que añadir una variable más (x, y, z). Dos
posibles representaciones:
• Algebraica: dos igualdades que con 3 variables nos darán un parámetro libre
(curva). Esta forma de definirla es como intersección de dos superficies:
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� sCartesianazyxF
zyxF
=
=
0),,(
0),,(
2
1
� sCilíndricazF
zF
=
=
0),,(
0),,(
2
1
ϕρϕρ
� EsféricasrF
rF
=
=
0),,(
0),,(
2
1
ϕϑϕϑ
• Paramétricas: las 3 variables en función de un parámetro t: Cartesianas
{x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t)}; polares {ρ=f1(t), ϕ=f2(t), z=f3(t) }; esféricas {r=f1(t),
θ=f2(t), ϕ=f3(t)}.
C) Superficies en el espacio: en el plano no hay superficies, si en el espacio. Las
superficies se caracterizan por dos tener dos grados de libertad. Al igual que con las
curvas en el plano hay tres formas de definir una superfice:
• Analíticamente: cuando podemos poner una de las tres variables en función
de las otras dos. De esta forma la superficie vendrá definida por la expresión
� Cartesianas: z=f(x,y), y=f(x,z) o x=f(y,z)
� Cilíndricas: ρ=g(z,ϕ), z=g(ρ,ϕ) o ϕ=g(ρ,z)
� Esféricas: r=h(ϕ,θ), ϕ=h(r,θ) o θ=f(ϕ,r)
• Algebraica: los puntos de la superficie son las soluciones de una ecuación con
tres incógnitas (los tres variables que definen el espacio).
� Cartesianas: F(x,y,z)=0
� Cilíndricas: G(ρ,ϕ,z)=0
� Esféricas: H(r,θϕ)=0
• Paramétricas: las 3 variables están en función de dos parámetros. Modificando
los parámetros obtenemos los distintos puntos de la superficie.
� Cartesiana: x=f1(t,s), y=f2(t,s), z= f3(t,s)
� Cilíndricas: ρ= g1(t,s), ϕ= g2(t,s), z= g3(t,s)
� Esféricas: r= h1(t,s), θ= h2(t,s), ϕ= h2(t,s)
Nota: no siempre es posible pasar de una expresión a otra. Por ejemplo la expresión
analítica sólo es posible si podemos despejar una variable en función de las otras dos,
siendo solamente posible si esta variable es inyectiva con las otras dos.
5. Algunas curvas planas importantes.
5.1 En forma analítica (Cartesiana).
Pueden ser de dos tipos y=f(x), y inyectiva ( toda recta x=cte corta sólo una vez a la curva)
o x=g(y), x inyectiva ( toda recta y=cte corta sólo una vez a la curva) o x=g(y).
1) Recta : y=mx+n. Siendo m la pendiente y n la ordenada origen.
2) Parábola inyectiva en x: y=ax2+bx+c , y=a(x-x0)
2+y0 con vértice en V(x0,y0 )
3) Parábola inyectiva en y: x=ay2+by+c , x=a(y-y0)
2+x0 con vértice en V(x0,y0 )
4) Proporcionalidad inversa: y=(ax+b)/(cx+d)
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5) Gaussiana (típica en distribuciones normales): y=2
20
·2
)(
σ
xx
e
−−
6) Función exponencial: y=A·ek(x-xo)
+y0 o y=A·e-k(x-xo)
+y0
7) Función logarítmicas: y=y0 + A·lga(x-x0) con dos opciones a>1 y 0<a<1.
8) Trigonométricas: y=A·cos(kx-α0), y=A·sen(kx-α0), y=A·tg(kx-α0), y=A·sec(kx-α0),
y=A·cosec(kx-α0), y=A·cotg(kx-α0)
5.2 En forma paramétrica y/o algebraica (Cartesiana).
Muchas curvas no pueden expresarse en forma analítica al no ser inyectivas en ninguna de
las dos ejes, para expresar estas curvas es necesario expresar la curva en forma paramétrica o
algebraica. Veamos algunos ejemplos:
a) Las cónicas: son curvas que se obtienen por la intersección de un plano sobre un cono,
fueron estudiados por Apolonio.
• Circunferencia (plano perpendicular al eje del cono): puntos que equidistan del
centro O(x0,y0) una distancia r.
- Algebraica: (x-xo)2+(y-y0)
2=r
2
- Paramétrica: )2,0[)(·
)·cos(
0
0 π==
+=
+=ángulotcon
tsenryy
trxx
• Elipse (plano con ángulo mayor que la generatriz respecto al eje): se cumple que la
suma de las distancias de todos los puntos a 2 focos es constante e igual a 2·a:
- Algebraica: 1)()(
2
2
0
2
2
0 =−
+−
b
yy
a
xx
- Paramétrica: )2,0[)(·
)·cos(
0
0 π==
+=
+=ángulotcon
tsenbyy
taxx
• Hipérbola (plano con ángulo menor que la generatriz respecto al eje): se cumple
que la diferencia de las distancias de todos los puntos a 2 focos es constante:
- Algebraica: 1)()(
1)()(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0 =−
+−
−=−
−−
a
yy
b
xxo
b
yy
a
xx
- Paramétrica: )2,0[)(·
)(·
)(·
)(·
0
0
0
0 π==
+=
+=
+=
+=ángulotcon
tchayy
tshbxxo
tshbyy
tchaxx
(x-3)2+(y+1)
2=5
2 1
1
)1(
2
)1(2
2
2
2
=−
+− yx
11
)1(
2
)1(2
2
2
2
=+
−− yx
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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria
b) Curva de generación mecánica:
una curva (generalmente circunferencia) en torno a otra curva (recta u otra
circunferencia). Muchas de estas curvas se representan de forma polar.
• Cicloide: lugar de los puntos que se obtiene de recorrer la posición de un
punto de una circun
ry
sentrx
cos(1·(
··(
−=
−=
• Hipociclide:
una circunferencia
circunferencia
)(
)(
21
21
−=
−=
rry
rrx
Si k= Qr
r∈
2
1entonces las hipocicloides se pueden poner de forma algebraica.
Por ejemplo el
3
3
(·
(·cos
tsenry
trx
=
=
• Curvas de Lissajous
como una circunferencia de frecuencia f
cumpliéndose
q=nº cortes con el eje OY.
=
=
·cos(
·cos(
y
x
fry
frx
Dependiendo de r
2r
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
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Curva de generación mecánica: curvas obtenidas por lo general por
una curva (generalmente circunferencia) en torno a otra curva (recta u otra
circunferencia). Muchas de estas curvas se representan de forma polar.
lugar de los puntos que se obtiene de recorrer la posición de un
punto de una circunferencia cuando esta rueda sin deslizamiento.
movimientotgirogirott
tsen:)2,0[
))cos(
))(=∈=
ϑπ
es la trayectoria descrita por un punto situado sobre
circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra
circunferencia directriz, sin deslizamiento.
)2,0[
1·cos)(
1·cos)cos(
2
12
2
12
π∈=
−+
−+
girot
r
rtrtsen
r
rtrt
entonces las hipocicloides se pueden poner de forma algebraica.
Por ejemplo el Astroide donde 42
1 =r
r:
3/23/23/2
)
)ryx
t
t=+→
Curvas de Lissajous: es la curva que se origina cuando en el eje OX se mueve
como una circunferencia de frecuencia fx y en eje OY frecuencia f
cumpliéndose Qeirreduciblq
p
f
f
y
x ∈= )( siendo p=nº cortes con eje OX y
q=nº cortes con el eje OY.
+
+
)·
)·
yy
xx
tf
tf
ϕϕ
Dependiendo de rx/ry y de fx/fy y ϕx-ϕy curvas
2πr
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
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curvas obtenidas por lo general por movimientos de
una curva (generalmente circunferencia) en torno a otra curva (recta u otra
circunferencia). Muchas de estas curvas se representan de forma polar.
lugar de los puntos que se obtiene de recorrer la posición de un
ferencia cuando esta rueda sin deslizamiento.
trcentromovimiento ·=
es la trayectoria descrita por un punto situado sobre
que rueda sin deslizar por el interior de otra
entonces las hipocicloides se pueden poner de forma algebraica.
el eje OX se mueve
y en eje OY frecuencia fy
siendo p=nº cortes con eje OX y
r
Tema 46. Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria
5.3 Curvas planas en polares.
Existen curvas que por sus características son más sencillas tener su expresión algebraica
en forma polar, por ejemplo la circunferencia centrada en el origen (ρ=r). Veamos otras:
• Cardiode: lugar descrito por un punto de una
circunferencia cuando esta rueda en torno a otra de
mismo radio. Se asemeja a la forma de un corazón:
cos(1·(2 ϕρ += r
• Leniscata: sea una circunferencia de radio r y centrada en O(r,r) si trazamos las
secantes a la misma por el origen que cortan en C y C’ el lugar geométrico de los
puntos P que cumplen
• Espiral de Arquímides:
centro de una circunferencia de forma radial con velocidad constante mientras el
círculo gira con frecuencia constante.
··
·ϑρ
ωϑρ
at
tv=
=
=
• Rosas: son curvas que responden a ecuaciones de la forma ρ=a·cos(n·
- Si n=par � 2·n pétalos
- Si n=impar �
ρ=cos(3θ)
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)
Curvas planas en polares.
Existen curvas que por sus características son más sencillas tener su expresión algebraica
en forma polar, por ejemplo la circunferencia centrada en el origen (ρ=r). Veamos otras:
: lugar descrito por un punto de una
circunferencia cuando esta rueda en torno a otra de
mismo radio. Se asemeja a la forma de un corazón:
))ϕ
: sea una circunferencia de radio r y centrada en O(r,r) si trazamos las
secantes a la misma por el origen que cortan en C y C’ el lugar geométrico de los
puntos P que cumplen 'CCOP ±= es la leniscata girando 45o(forma de hélice).
Espiral de Arquímides: lugar geométrico de los puntos que se desplazan desde el
centro de una circunferencia de forma radial con velocidad constante mientras el
círculo gira con frecuencia constante.
)(ω
ϑv
acon =
son curvas que responden a ecuaciones de la forma ρ=a·cos(n·
2·n pétalos
� n pétalos
ρ2=r
2·cos(2ϕ)
ρ=cos(2θ)
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
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Existen curvas que por sus características son más sencillas tener su expresión algebraica
en forma polar, por ejemplo la circunferencia centrada en el origen (ρ=r). Veamos otras:
: sea una circunferencia de radio r y centrada en O(r,r) si trazamos las
secantes a la misma por el origen que cortan en C y C’ el lugar geométrico de los
(forma de hélice).
lugar geométrico de los puntos que se desplazan desde el
centro de una circunferencia de forma radial con velocidad constante mientras el
son curvas que responden a ecuaciones de la forma ρ=a·cos(n·θ). Casos
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6. Algunas curvas en el espacio importantes.
Las más importantes curvas en el espacio que no pueden representarse en el plano son las
hélices. Las hélices surgen de la combinación de dos movimientos un circular o elíptico en el
plano (generalmente OXY) y un desplazamiento vertical en el eje perpendicular al plano (z).
Hélice cilíndrica: proyección en el plano es una elipse (muelle):
nciacircunferebasi
tcz
tsenay
tax
=
=
=
=
·
)(·
)cos(
Hélice cónica: proyección en el plano es una espiral:
=
=
=
tcz
tsenty
ttx
·
)(·
)cos(
7. Algunas superficies.
Algunas superficies vienen descritas de forma analítica de forma sencilla. Veamos ejemplos
- En coordenadas cilíndricas:
- z=cte:(plano OXY
- ρ=cte: cilindro de eje simetría eje OZ
- ϕ=cte: semiplano de eje OZ y ángulo ϕ respecto eje OX
- En coordenadas esféricas:
- r=cte: esfera centro en origen
- θ=cte: cono de revolución con eje simetría OZ
- ϕ=cte: semiplano de eje OZ y ángulo ϕ respecto eje OX
Otras superficies con ecuaciones sencillas:
A) Planos: en forma algebraica π: Ax+By+Cz+D=0, en vectorial
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+λ·(vx,vy,vz)+β·(ux,uy,uz) y analíticamente despejando una variable.
B) Superficie esférica: (x-x0)2+(y-y0)
2+(z-z0)
2=r
2
C) Superficie helicoidal:en paramétricas x=λ·cos(β), y=λ·sen(β), z=λ·u con λ ∈ ℝ, β∈[0,2π)
D) Toroide: en paramétricas x=r·sen(β), y=(r·cos(β)+a)·cos(λ), z=(r·cos(β)+b)·sen(λ)
E) Las cuádricas: a11·x2+ a22·y
2+ a33·z
2+2(a12·xy+ a13·xz+ a23·yz+ a01·x+ a02·y+ a03·z)+ a00=0
Tema 46. Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria
Helicoide
8. Conclusiones.
En la secundaria y el bachillerato los únicos sistemas de referencia que se utilizan son los
cartesianos. Los sistemas cartesianos en dos dimensiones se empiezan a trabajar desde 1º de
las ESO, trabajándose sólo el sistema referencia en tres dimensiones en
de Bachillerato en la rama de ciencias.
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
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Helicoide Toroide
Cuádricas
En la secundaria y el bachillerato los únicos sistemas de referencia que se utilizan son los
cartesianos. Los sistemas cartesianos en dos dimensiones se empiezan a trabajar desde 1º de
las ESO, trabajándose sólo el sistema referencia en tres dimensiones en Matemáticas II de 2º
de Bachillerato en la rama de ciencias.
Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies
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En la secundaria y el bachillerato los únicos sistemas de referencia que se utilizan son los
cartesianos. Los sistemas cartesianos en dos dimensiones se empiezan a trabajar desde 1º de
Matemáticas II de 2º