Tema 5: Aplicaciones lineales

1. Definición, primeras propiedades y ejemplos

Definición: Sean y dos espacios vectoriales sobre un cuerpo . Una función : →

se dice que es una aplicación lineal si cumple las dos siguientes propiedades:

1. Para todo par de vectores ∈

(+ ) = () + ()

2. Para todo vector ∈ y todo escalar ∈

() = ()

Propiedades:

1. Dada una aplicación : → entre dos espacios vectoriales y se tiene que es lineal

si y sólo si

(+ ) = () + ()

para todo par de vectores ∈ y todo par de escalares ∈ (así las dos propiedades

de la definición pueden resumirse sólo en una).

2. Si : → es una aplicación lineal, entonces (0) = 0

.

La primera propiedad (que resume las dos anteriores de la definición) nos dice que las aplica-

ciones lineales son las que transforman combinaciones lineales de (dos o más) vectores del espacio

vectorial inicial en las correspondientes combinaciones lineales de sus respectivas imágenes. La última

propiedad nos proporciona un criterio útil, en ocasiones, para asegurar que ciertas aplicaciones son

lineales: las que no cumplan el requisito anterior, es decir, las aplicaciones entre espacios vectoriales,

en las que el vector no nulo tenga imagen no nula.

Ejemplos:

1. La aplicación : R2 → R3 definida por

( ) = (−+ 5 2 0)

es lineal.

Para probarlo cojamos vectores ( ) ( ) ∈ R2 y escalares arbitrarios ∈ R. Entonces

([( ) + ( )] = (+ + ) = (−− + 5+ 5 2+ 2 0)

( )+( ) = (−+5 2 0)+(−+5 2 0) = (−+5 2 0)+(−+5 2 0)y ambas cosas coinciden, con lo que la aplicación es lineal.

1

2. La aplicación : R2 → R2 definida por

( ) = (2 − )

no es lineal, pues basta observar que (0 0) = (2 0) 6= (0 0).

3. La aplicación : R2 → R2 definida por

( ) = ( 2)

no es lineal a pesar de que (0 0) = (0 0).

Para probarlo cojamos dos vectores ( ) ( ) ∈ R2 y dos escalares ∈ R. Entonces

[( ) + ( )] = (+ + ) =

= [(+ ) · (+ ) 2(+ )] y

( ) + ( ) = ( 2) + ( 2) = (+ 2+ 2)

y ambas cosas no tienen por qué coincidir, pues si tomamos los valores = 2 = 0 = =

= = 1 se tiene que lo primero vale (4 4) y lo segundo vale (2 4).

4. La aplicación : R2 → R definida por

( ) = −2+ 3

es lineal.

Para probarlo cojamos vectores ( ) ( ) ∈ R2 y escalares cualesquiera ∈ R. Entonces

(( ) + ( )) = (+ + ) = −2(+ ) + 3(+ ) y

( ) + ( ) = (−2+ 3) + (−2+ 3) = −2+ 3− 2+ 3y ambas cosas coinciden.

Cuando tengamos una aplicación : R → R a la expresión del vector (1 2 ) ∈ R

la denominaremos expresión analítica de . Así en el primer ejemplo de los anteriores en el que

teníamos una aplicación lineal su expresión analítica es

( ) = (−+ 5 2 0)Observación: En la práctica para ver que una aplicación

: R → R

es lineal basta observar si en cada una de las componentes de la expresión analítica de aparecen

CL de las incógnitas genéricas 1 2 de R.

2

2. Núcleo e imagen

Dada una aplicación lineal

: →

se llama núcleo de al siguiente conjunto de vectores de

ker = { ∈ |() = 0}

Recordemos que la imagen de la aplicación es el siguiente conjunto de vectores de

Im = { ∈ |∃ ∈ cumpliendo que () = } = {()| ∈ }

El siguiente resultado nos dice que ambos conjuntos son subespacios de los respectivos espacios

vectoriales a los que pertenecen.

Propiedad: Si : → es una aplicación lineal entonces

ker ≤ Im ≤

En la práctica, del núcleo de una aplicación lineal podremos hallar fácilmente las ecuaciones

implícitas, y de la imagen un SG. Lo primero lo veremos en los ejemplos más detalladamente. En

cuanto a lo último he aquí la propiedad exacta:

Propiedad: Si : → es una aplicación lineal y

= {1 2 }

es una base (o SG) de se tiene que

() = {(1) (2) ()}

es un SG de Im .

2.1. Tipos de aplicaciones

Recordemos que había 3 características que estudiábamos para las aplicaciones: el que fueran o

no inyectivas, suprayectivas o biyectivas. En aplicaciones lineales introducimos un nuevo con-

cepto: endomorfismo. Se trata de las aplicaciones lineales cuyos dominio y codominio coinciden. A

continuación veremos, para una aplicación : → , cómo puede verse, en función del núcleo y la

imagen, cuáles de estas propiedades se dan.

Propiedad: Sea : → una aplicación lineal. Entonces

1) es inyectiva si y sólo si ker = 0.

2) es suprayectiva si y sólo si dim Im = dim .

Fórmula de las dimensiones: Si una aplicación : → es lineal entonces se cumple que

dimker + dim Im = dim

Esta fórmula nos permite calcular sencillamente la dimensión de uno de los dos subespacios ker o

Im teniendo la del otro.

3

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R2 → R3 vista anteriormente y definida por

( ) = (−+ 5 2 0)

Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de .

En primer lugar

ker = {( )|( ) = 0} = {( )|(−+ 5 2 0) = (0 0 0)}

Así ker es el subespacio de R2 que tiene por ecuaciones implícitas⎧⎪⎨⎪⎩−+ 5 = 02 = 0

0 = 0

La única solución de este sistema es el vector (0 0). Así ker = 0, luego es inyectiva. Tomando un

SG de R2, por ejemplo {(1 0) (0 1)}, sabemos que los vectores

(1 0) = (−1 2 0)(0 1) = (5 0 0)

forman un SG de Im . Y al ser además LI es claro que forman también una base de Im , luego

dim Im = 2 6= 3 = dimR3

y no es suprayectiva. no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final.

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R5 → R4 definida por

(1 2 3 4 5) = (21 − 4 33 0 51 + 5)

Hallemos tanto el núcleo como la imagen de y veamos las propiedades de .

Las ecuaciones implícitas de ker son

21 −4 = 0

33 = 0

0 = 0

51 +5 = 0

Después de eliminar la tercera ecuación obtenemos una posible escalonación del sistema

−4 +21 = 0

51 +5 = 0

33 = 0

así, eligiendo como parámetros 2 = y 5 = y resolviendo el sistema tendríamos unas

ecuaciones paramétricas de ker ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 = −

5

2 =

3 = 0

4 = −255 =

4

de donde una base de ker sería

{(0 1 0 0 0) (−15 0 0−2

5 1)}

luego no es inyectiva. La imagen de estará generada por los vectores

(1 0 0 0 0) (0 1 0 0 0) (0 0 1 0 0) (0 0 0 1 0) (0 0 0 0 1)

que son, respectivamente,

(2 0 0 5) (0 0 0 0) (0 3 0 0) (−1 0 0 0) (0 0 0 1)

de donde puede obtenerse una base de Im , por ejemplo

{(0 3 0 0) (−1 0 0 0) (0 0 0 1)}

luego no es suprayectiva. no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final.

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R2 → R definida por

( ) = 2− 3

Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de .

En primer lugar

ker = {( )|( ) = 0} = {( )|2− 3 = 0}Así ker ≤ R2 tiene por ecuación implícita 2 − 3 = 0. En consecuencia dimker = 1 y no es

inyectiva. Tomando un SG de R2, por ejemplo {(1 0) (0 1)}, sabemos que los vectores

(1 0) = 2

(0 1) = −3

forman un SG de Im . Como éste subespacio de R debe tener dimensión 1 (= dimR2 − dimker )éste debe ser todo R (al coincidir las dimensiones), por tanto Im = R, y por tanto sería una base

suya, por ejemplo, {2}. Así es suprayectiva. no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicialy el final.

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R4 → R4 definida por

( ) = ( 2− 3+ 2 + 2 4+ + 5 + 7)

Hallemos tanto el núcleo como la imagen de y veamos las propiedades de .

La imagen de estará generada por los vectores

(1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

que son, respectivamente,

(1 2 3 4) (0−1 2 1) (0 0 2 5) (0 0 0 7)

se observa claramente que éstos son una base del codominio R4, por lo que la aplicación es suprayec-

tiva. Luego aplicando la fórmula de las dimensiones se cumple que

dimR4 = dimker + dim Im

5

es decir

4 = dimker + 4

y por tanto dimker = 0. De ahí concluimos que ker = 0.

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : C3 → C2 definida por

( ) = (2− [3− ]+ )

Hallemos su núcleo y su imagen y la clasificación.

En primer lugar

ker = {( ) ∈ C3|( ) = 0} = {( )|2− = 0 (3− )+ = 0}

Así ker es el subespacio de C3 que tiene por ecuaciones implícitas

2− = 0

(3− )+ = 0

Al pasar a paramétricas obtenemos que

=

= (−3 + )

= 2

y por tanto obtenemos una base para ker , que es

{(1−3 + 2)}

luego dimker = 1 y no es inyectiva. De lo anterior se deduce que

dim Im = dimC3 − dimker = 3− 1 = 2 = dimC2

luego sí es suprayectiva. Tomando un SG de C3, por ejemplo la base canónica

{(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)}

sabemos que los vectores

(1 0 0) = (2 3− )

(0 1 0) = (0 1)

(0 0 1) = (−1 0)

forman un SG de Im , de los cuáles sobra 1 pues la dimensión es 2. Se observa que el primer vector

es CL de los otros del modo

(2 3− ) = (3− )(0 1)− 2(−1 0)

luego una base de Im será

{(0 1) (−1 0)}

6

3. Existencia y unicidad de aplicaciones lineales

Para una aplicación lineal : R → R hay otras formas de tener determinada además de la

expresión analítica. Para darnos cuenta de ello y para disponer de un mecanismo de construcción de

aplicaciones lineales resulta de utilidad el siguiente teorema (válido para aplicaciones lineales no sólo

entre espacios vectoriales de la forma R y R):

Teorema: (Existencia y unicidad de aplicaciones lineales) Sean y -espacios vecto-

riales. Dada una base = {1 2 } de y un sistema de vectores 1 2 de existe

una única aplicación lineal : → tal que

(1) = 1

(2) = 2

() =

Nota: Daremos una idea de cómo está definida tal aplicación. Dado ∈ , si sus coordenadas

respecto de la base son = (1 2 ), es decir

= 11 + 22 + +

entonces se tiene que

() = 11 + 22 + +

De esta forma tenemos construida una aplicación que es lineal y que cumple lo requerido (y es la

única que lo cumple).

Ejemplo:

Sea

: R3 → R2

una aplicación lineal de la que se conocen las imágenes de los vectores

(1 0 0) (1 2−1) (2 3 1)

Probar que entonces queda totalmente determinada por dichas imágenes.

Si conseguimos demostrar que el sistema

= {(1 0 0) (1 2−1) (2 3 1)}

es una base de R3 el Teorema de existencia y unicidad de aplicaciones lineales garantizaría en efecto

que la aplicación lineal está totalmente determinada por las imágenes de dichos vectores. Pero es

inmediato que los 3 vectores son LI, pues el rango de la matriz⎛⎜⎝ 1 0 0

1 2 −12 3 1

⎞⎟⎠es 3, luego queda probada la afirmación.

7

Ejemplo: Sea

: R2 → R2

una aplicación lineal que verifica que

(1 1) = (1−1) y (1 0) = (3 2)

Hallar (5 2).

Poniendo el vector (5 2) como combinación lineal de los vectores (1 1) y (1 0) obtenemos

(5 2) = (1 1) + (1 0) = (+ )

de donde se deduce que = 2 y = 3. En definitiva

(5 2) = [2(1 1) + 3(1 0)] = 2(1 1) + 3(1 0) = 2(1−1) + 3(3 2) = (11 4)

Ejemplo: Dada la base de R2 formada por los vectores {(−2 1) (−1 0)} y dada la aplicaciónlineal

: R2 → R3

cumpliendo que

(−2 1) = (1 0 1)

(−1 0) = (2−1 1)

determinar la expresión analítica de . La expresión analítica de una aplicación lineal viene deter-

minada por la imagen de un vector genérico ( ), así que expresaremos este vector como CL de los

vectores de la base

( ) = (−2 1) + (−1 0) = (−2− )

Luego

= −2−

=

y, en definitiva

=

= −− 2

Así hemos obtenido que

( ) = (−2 1) + (−− 2)(−1 0)( ) = [(−2 1) + (−− 2)(−1 0)] = (−2 1) + (−− 2)(−1 0)] == (1 0 1) + (−− 2)(2−1 1) = ( 0 ) + (−2− 4 + 2−− 2) =

= (−2− 3 + 2−− )

8

4. Matriz asociada a una aplicación lineal

Sean y espacios vectoriales cuyas dimensiones son dim = y dim = , sea : →

una aplicación lineal y sean

= {1 2 }0 = {1 2 }

bases de y respectivamente. Llamaremos matriz asociada a respecto de y 0 a la matriz

cuyas columnas son

(1)0 (2)0 ()0

(es decir, las coordenadas en 0 de las imágenes de los vectores de ). Denotaremos a esta

matriz por →0 (), y en el caso particular en que = y = 0 usaremos además de la

notación →

() también la notación ().

Observación: Este concepto es muy similar al de matrices cambio de base, de hecho éste último

es un caso particular del que ahora introducimos, pues la matriz asociada a la aplicación identidad

es la matriz cambio de base. Concretamente, si es un espacio vectorial,

= {1 2 }0 = {1 2 }

son bases de entonces

→0 () =

→0

donde : → es la aplicación identidad.

La matriz asociada a una aplicación lineal respecto de ciertas bases y 0 nos proporciona una

representación de la aplicación lineal, referida a las bases en cuestión, pues la aplicación lineal queda

totalmente determinada por la matriz. Nos permite relacionar las coordenadas de un vector ∈

respecto de la base con las coordenadas de su imagen respecto de la base 0, pues si

= (1 2 )

()0 = (1 2 )

entonces se cumple la siguiente fórmula:⎛⎜⎜⎜⎝1

2

⎞⎟⎟⎟⎠ =→0 () ·

⎛⎜⎜⎜⎝1

2

⎞⎟⎟⎟⎠o abreviadamente

()0 =

→0 () · fórmula en la que tanto

como ()

0 están puestos en forma de vector-columna.

En el caso particular de que = R y = R, es decir, que estemos con una aplicación lineal

: R → R

9

y tomemos las bases canónicas de ambos espacios vectoriales y , la fórmula anterior queda así

()=

→() ·

y como las coordenadas de cualquier vector en la base canónica son las propias componentes del

vector, lo que tenemos realmente es

() =→

() ·

de donde vemos que podemos obtener la expresión analítica de sin más que multiplicar por la

matriz asociada a respecto de las bases canónicas:

(1 2 ) =

→() ·

⎛⎜⎜⎜⎝1

2

⎞⎟⎟⎟⎠obteniendo la expresión analítica en forma de columna.

Observación: Observemos que si

: R → R

es una aplicación lineal y

=→

()

es la matriz asociada a respecto de las bases canónicas, entonces

ker = ker

Ejemplo: Obtener la matriz asociada respecto de las bases canónicas de la aplicación lineal

: R2 → R4

cuya expresión analítica es

( ) = (− 0 3+ 5 7)

Como

(1 0) = (1 0 3 0)

(0 1) = (−1 0 5 7)

la matriz pedida es

2→4

() =

⎛⎜⎜⎜⎝1 −10 0

3 5

0 7

⎞⎟⎟⎟⎠Ejemplo: Para la aplicación lineal

: R3 → R2

cuya expresión analítica es

( ) = (− 4 − 3− )

10

y las bases

= {(1 2 3) (0−1 0) (3−1−2)}2 = {(1 0) (0 1)}

hallar la matriz →2

()

Como las imágenes de los vectores de salen

(1 2 3) = (−10 1)(0−1 0) = (4 1)

(3−1−2) = (9 10)

y la base final es la canónica, la matriz pedida esÃ−10 4 9

1 1 10

!Ejemplo: Obtener la expresión analítica de la aplicación lineal

: R3 → R3

cuya matriz asociada respecto de la base canónica es⎛⎜⎝ 1 −1 2

0 2 1

3 1 0

⎞⎟⎠Ésta es

( ) =

⎛⎜⎝ 1 −1 2

0 2 1

3 1 0

⎞⎟⎠⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝ − + 2

2 +

3+

⎞⎟⎠o puesto en forma de vector-fila

( ) = (− + 2 2 + 3+ )

Ejemplo: Dada la aplicación lineal : R2 → R2 cuya expresión analítica es

( ) = (− + 2)

hallar la matriz asociada a respecto de las bases

= {(3 1) (−1 2)}0 = {(0 1) (1−1)}

Mediante sustitución en la expresión analítica de la función, tenemos que

(3 1) = (2 5)

(−1 2) = (−3 3)

11

Ahora ponemos estos vectores como CL de la base 0. Planteamos entonces las condiciones

(2 5) = (0 1) + (1−1)(−3 3) = (0 1) + (1−1)

Para el primer vector sale

(2 5) = ( − )

o lo que es lo mismo

2 =

5 = −

por lo que sus coordenadas en 0 salen = 7 = 2, es decir (7 2). Haciendo lo mismo para el

segundo vector obtenemos que

(−3 3) = ( − )

o lo que es lo mismo

−3 =

3 = −

por lo que sus coordenadas en 0 salen = 0 = −3, es decir (7 2).De esto deducimos que

→0 () =

Ã7 0

2 −3

!Ejemplo: Dada la aplicación lineal : R2 → R3 cuya expresión analítica es

( ) = (− 2 3− 3)

hallar:

1. La matriz asociada a respecto de las bases

= {(2 1) (1 3)}0 = {(0 0 1) (1 0 1) (1−1 0)}

2. ()0 , siendo ∈ R2 tal que

=

Ã−41

!

1) En primer lugar, y mediante sustitución en la expresión analítica de la función, tenemos que

(2 1) = (1 2 3)

(1 3) = (−2 6−6)

12

Omitiendo los cálculos intermedios para hallar las coordenadas de estos vectores se puede duducir

que

(1 2 3) = 0(0 0 1) + 3(1 0 1)− 2(1−1 0)(−2 6−6) = −10(0 0 1) + 4(1 0 1)− 6(1−1 0)

De esto deducimos que

(2 1)0 = (0 3−2)

(1 3)0 = (−10 4−6)

→0 () =

⎛⎜⎝ 0 −103 4

−2 −6

⎞⎟⎠2) Para el segundo apartado bastaría con multiplicar para obtener

()0 =

→0 () · =

⎛⎜⎝ 0 −103 4

−2 −6

⎞⎟⎠Ã −41

!=

⎛⎜⎝ −10−82

⎞⎟⎠Antes de pasar a ver propiedades de la matriz asociada veamos otras de las aplicaciones lineales

y que nos servirán:

Propiedades:

1. La composición de aplicaciones lineales es lineal.

2. La aplicación identidad (que es el elemento neutro para la composición) es lineal.

3. La inversa de una aplicación biyectiva lineal es de nuevo lineal.

4.1. Propiedades de la matriz asociada

1. Dada una matriz de orden × con coeficientes sobre un cuerpo y dadas dos bases y

0 de R y R, respectivamente, siempre existe una única aplicación lineal

: R → R

de manera que es la matriz asociada a respecto de las bases, es decir,

=→0 ()

2. El rango de la matriz asociada coincide con la dimensión de la imagen (también se llama rango

de la aplicación lineal), sean cuales sean las dos bases elegidas.

Ejemplo: Determinar si la aplicación lineal

: R3 → R4

13

cuya matriz asociada respecto a sendas bases es⎛⎜⎜⎜⎝1 0 −12 0 −2−1 1 1

0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠es inyectiva.

Para ello basta con que calculemos el rango, que es 2. Entonces

dim Im = 2

y

dimker = 3− 2 = 1 6= 0luego no es inyectiva.

Ejemplo: Determinar si la aplicación lineal

: R3 → R3

cuya matriz asociada respecto a una base de R3 es⎛⎜⎝ 1 1 −11 0 2

−1 2 3

⎞⎟⎠es biyectiva.

Para ello basta con que calculemos el rango y veamos que es 3, luego

dim Im = 3

y por tanto la aplicación lineal es suprayectiva. Como

dimker = 3− 3 = 0

es también inyectiva, y en conclusión, biyectiva.

3. Supongamos que tenemos dos aplicaciones lineales

−→

−→

y que tenemos bases 0 y 00, respectivamente de y . Entonces se verifica la siguiente

fórmula

(∗) →00 ( ◦ ) =

0→00 () ·→0 ()

Ejemplo: Consideremos las aplicaciones lineales

R4−→ R2

−→ R3

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definidas del siguiente modo:

(1 2 3 4) = (1 − 32 + 3−2 + 24)( ) = (2− 3 0 + 4)

Considerando las bases canónicas en cada uno de los espacios hallemos la matriz asociada a la

aplicación ◦ .Tenemos dos opciones: O bien hallar la expresión analítica de ◦ y después calcular lamatriz requerida

4→3( ◦ ), o bien hallar dicha matriz como el producto de

2→3() y

de 4→2

(). Haciéndolo de esta última forma resulta que

4→2

() =

Ã1 −3 1 0

0 −1 0 2

!

2→3

() =

⎛⎜⎝ 2 −30 0

1 4

⎞⎟⎠

4→3( ◦ ) =

2→3() ·

4→2() =

=

⎛⎜⎝ 2 −30 0

1 4

⎞⎟⎠ ·Ã 1 −3 1 0

0 −1 0 2

!=

⎛⎜⎝ 2 −3 2 −60 0 0 0

1 −7 1 8

⎞⎟⎠4. Supongamos que tenemos una aplicación lineal

: →

y bases 1 y 01 de , y 2 y 0

2 de . Entonces si aplicamos la fórmula (*), y teniendo en

cuenta que la matriz asociada a la aplicación identidad es la matriz cambio de base, tenemos

que

01→0

2

() =2→0

2

·1→2

() ·01→1

Nota: En el caso particular en que

: R → R

y 1 = y 2 = sean las bases canónicas respectivas, vemos que siempre puede obtenerse

la matriz 01→0

2

() a partir de →

(), pues

01→0

2

() =→0

2

·→

() ·01→

Y teniendo en cuenta que

→0

2

= (02→

)−1

obtenemos la versión más sencilla

01→0

2

() = (02→

)−1 ·

→() ·

01→

15

5. Supongamos que tenemos una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo (un

endomorfismo : → ) y dos bases y 0 de . Entonces si aplicamos la fórmula (*) (o el

apartado anterior) tenemos que

0→0 () =

→0 ·→() ·

0→

Como

→0 = (0→

)−1

la fórmula anterior queda del siguiente modo

0→0 () = (0→

)−1 ·

→() ·

0→

Nota: En el caso particular en que

: R → R

y = sea la base canónica vemos que siempre puede obtenerse la matriz0→0 () a partir

de →

(), pues

0→0 () =

→0 ·→() ·

0→

o equivalentemente

0→0 () = (0→

)−1 ·

→() ·

0→

Definición: Dos matrices cuadradas del mismo tamaño y 0 se dice son semejantes cuando

existe una matriz invertible que cumple que

0 = −1

Con este concepto tenemos que la última fórmula prueba que matrices asociadas a la misma

aplicación lineal respecto de bases distintas,

= →

()

0 = 0→0 ()

son matrices semejantes. Es más, puede comprobarse que 2 matrices que sean semejantes siem-

pre van asociadas a algún endomorfismo del espacio vectorial, cada una respecto de una base

(como se ve en el apéndice del tema).

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal

: R3 → R2

cuya expresión analítica es

( ) = (− 3 + 2− + 3)

Tomemos las siguientes bases respectivas

= {(1 2−1) (2 1 0) (3 0 0)}0 = {(2 1) (3 2)}

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Hallar la matriz asociada a respecto de ambas bases.

Aplicaremos la fórmula

→0 () = (0→2

)−1 ·

3→2() ·

→3

siendo 3 y 2 las bases canónicas respectivas. En primer lugar se tiene que

→3

=

⎛⎜⎝ 1 2 3

2 1 0

−1 0 0

⎞⎟⎠

0→2=

Ã2 3

1 2

!pues cuando la base final es la canónica la matriz cambio de base se obtiene de modo inmediato

poniendo las componentes de los vectores de la primera base por columnas. En segundo lugar

se tiene de modo sencillo que

3→2

() =

Ã1 −3 1

2 −1 3

!Finalmente habría que calcular la inversa

(0→2

)−1=

Ã2 −3−1 2

!(que es un mero cálculo) y realizar la multiplicación de las 3 matrices, que lo hacemos a

continuación

→0 () =

Ã2 −3−1 2

!·Ã1 −3 1

2 −1 3

!·

⎛⎜⎝ 1 2 3

2 1 0

−1 0 0

⎞⎟⎠ =

=

Ã−4 −3 −73 1 5

!·

⎛⎜⎝ 1 2 3

2 1 0

−1 0 0

⎞⎟⎠ =

Ã−3 −11 −120 7 9

!

Ejemplo: Consideremos el endomorfismo de R2 cuya expresión analítica es

( ) = (2− + 4)

Tomemos como bases de R2, la base canónica y la siguiente

= {(1−1) (3 2)}

Hallar la matriz asociada a respecto de , es decir

→

()

Aplicaremos la fórmula

→

() = (→

)−1 ·

→() ·

→

17

Tengamos en cuenta que

→

=

Ã1 3

−1 2

!

→

() =

Ã2 −11 4

!

Finalmente habría que calcular la inversa

(→

)−1=1

5

Ã2 −31 1

!

(que es un mero cálculo) y realizar la multiplicación de las 3 matrices, que lo hacemos a

continuación

→

() =1

5

Ã2 −31 1

!·Ã2 −11 4

!·Ã

1 3

−1 2

!=

=1

5

Ã2 −31 1

!·Ã

3 4

−3 11

!=1

5

Ã15 −250 15

!=

Ã3 −50 3

!

Ejemplo: Consideremos el endomorfismo de R2 cuya expresión analítica es

( ) = (2+ 2+ 3)

Tomemos como bases de R2, la base canónica y la siguiente

= {(1 1) (−2 1)}

Hallar →

()

Aplicaremos la fórmula

→

() = (→

)−1 ·

→()

Tengamos en cuenta que

→

=

Ã1 −21 1

!

→

() =

Ã2 1

2 3

!

Finalmente habría que calcular la inversa

(→

)−1=1

3

Ã1 2

−1 1

!

y realizar la multiplicación de las 2 matrices, que lo hacemos a continuación

→

() =1

3

Ã1 2

−1 1

!·Ã2 1

2 3

!=1

3

Ã6 7

0 2

!=

Ã2 7

3

0 23

!

18

Ejemplo (extraído de un examen): Consideremos en R3 la base

= {1 = (−1 0 1) 2 = (0 1 1) 3 = (0 1 0)}

y el endomorfismo tal que

→

() =

⎛⎜⎝ −1 2

1 0 1

1 −1 0

⎞⎟⎠donde ∈ R cumple que (2 + 3) = (5 1−2).

1. Demuestra que = 1.

2. Calcula la expresión analítica de y la matriz de respecto de la base .

3. Calcula ker e Im . ¿Es inyectiva?¿Es suprayectiva?

Solución:

1. Como (2) = (0 1 1) =→

()·(0 1 1) = (2+ 1−1) y (3) = (0 1 0) =→

()·(0 1 0) =(2 0−1) se tiene que

(5 1−2) = (2 + 3) = (2) + (3) = (0 1 1) + (0 1 0) =

= (2 + 1−1) + (2 0−1) = (4 + 1−2)queda probado que = 1.

2. La expresion analítica de es ( ) = →

()·( ) = (− + 2 + + − ).

Para obtener la matriz de respecto de la base aplicamos la fórmula

→

() = (→

)−1 ·

→() ·

→

Teniendo en cuenta que

→

=

⎛⎜⎝ −1 0 0

0 1 1

1 1 0

⎞⎟⎠se deja como ejercicio el cálculo de la matriz

→().

3. Como ker tiene por ecuaciones implícitas

−+ 2 + = 0

+ = 0

− = 0

al escalonarlo obtenemos

−+ 2 + = 0

2 + 2 = 0

+ = 0

19

y claramente podemos quitar la segunda ecuación y queda

−+ 2 + = 0

+ = 0

Despejamos de la última = −, y nos sale de la primera = −. Por tanto una base del ker es {(−1−1 1)}. Luego este subespacio tiene dimensión 1 6= 0 y no es inyectiva.Para la imagen obtengamos un SG:

Im = (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) = (−1 1 1) (2 0−1) (1 1 0) == (−1 1 1) (1 1 0)

Esto dos vectores son un SG de Im . Luego este subespacio tiene dimensión 2 y por tanto

no es suprayectiva.

5. Endomorfimos con significado geométrico

5.1. Homotecias (cambio de escala)

Sea un espacio vectorial euclídeo y ∈ R. Se llama homotecia de razón a la aplicación

lineal : → definida por () = , ∀ ∈ .

Ejemplo: En R2la homotecia de razón 3 está definida así: ( ) = (3 3)

5.2. Proyecciones

Sea un espacio vectorial euclídeo y sean 1 y 2 subespacios de tales que =1

L2.

Se llama proyección de base 1 y de dirección 2 a la aplicación lineal : → definida por

() =

( si ∈1

0 si ∈2

(en definitiva, para cada vector ∈ , poniendo = 1 + 2, con 1 ∈ 1 y 2 ∈ 2, se tiene que

() = (1) + (2) = 1).

En el caso particular en que 2 = 1⊥ a se le llama proyección ortogonal de base 1, y

la imagen mediante de un vector ∈ , es lo que nosotros denominamos proyección ortogonal del

vector sobre el subespacio 1.

5.3. Simetrías

Sea un espacio vectorial euclídeo y sean 1 y 2 subespacios de tales que = 1

L2.

Se llama simetría de base 1 y de dirección 2 a la aplicación lineal : → definida por

() =

( si ∈1

− si ∈2

(en definitiva, para cada vector ∈ , poniendo = 1 + 2, con 1 ∈ 1 y 2 ∈ 2, se tiene que

() = (1) + (2) = 1 − 2).

En el caso particular en que 2 =1⊥ a se le llama simetría ortogonal de base 1.

20

5.4. Rotaciones en el plano

En R2 se llama giro de ángulo ∈ [0 2) a la aplicación lineal : R2 → R2 cuya matriz asociada

a la base canónica de R2 es Ãcos − cos

!es decir su expresión analítica es

( ) = ( cos − + cos )

Puede comprobarse que para todo vector no nulo ∈ R2 se tiene que el ángulo que forma con() es radianes.

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