5. ANLISI DIMENSIONAL I SEMBLANA

5.1 INTRODUCCI

5.2 EL PRINCIPI DHOMOGENETAT DIMENSIONAL

5.3 EL TEOREMA DE LES DE BUCKINGHAM

5.4 SEMBLANA, MODELITZACI I LES SEVES DIFICULTATS

5.5 CONDICIONS DE COMPATIBILITAT PER OBTENIR SEMBLANA DINMICA

5.1 INTRODUCCI

Resoluci mitjanant frmules analtiques:

1. Relacions integrals per a volums de control macroscpics:

Resultats globals : cabal, fora, etc...

2. Relacions diferencials per a partcules infinitesimals:

Tan sols solucions particulars senzilles: Flux de Couette, etc...

Els mtodes analtics no sn sempre satisfactoris arrel de:

Limitacions derivades de les simplificacions.

Complexitat i/o dificultat duna anlisi detallada.

Alternativa:

La Mecnica de Fluids Computacional (CFD).

Els assaigs experimentals.

Les prdues seran una funci de

Es tracta de caracteritzar experimentalment el seu comportament.

, , , ,h L D c

h

L

0 0 0 0, , ,D c uh

L

1 0 0 0, , ,D c u 100000 exp. 10000 grfics

2. ESTAN MANCATS DUNA DIRECCI CLARA

3. SN CARS, JA QUE CAL:

Planificar i realitzar els experiments.

Representar i interpretar els resultats experimentals.

5.1.1 ASSAIGS EXPERIMENTALS, INCONVENIENTS:

1. CONSUMEIXEN MASSA TEMPS

Ex.: plantejant l eq. de Bernoulli entre

(1) i (2) acabem obtenint (suposant flux

incompressible i tuberia llisa):

1 21 2

P Ph

5.1.2 ANLISI DIMENSIONAL

Ex.: fenomen = f (n variables) = g (k variables adimensionals)

on k = n (n dimensions primries en el problema)

Recordar: dimensions primries {M, L, T, }

Avantatges:

1. Estalvi de temps i diners.

2. Ajuda a pensar i planificar un experiment o teoria

(suggereix formes adimensionals).

3. Proporciona lleis descala que permeten extrapolar els resultats obtinguts

en un model a escala reduda als del prototipus real.

Mtode per redur el nombre i la complexitat de les variables que intervenen

en un fenomen fsic.

5.2 EL PRINCIPI DHOMOGENETAT DIMENSIONAL

Si una equaci expressa correctament una relaci entre variables dun procs fsic, ha

de ser dimensionalment homognia (tots els sumands han de tenir les mateixes

dimensions).

Qualsevol equaci dimensionalment homognia es pot escriure en una forma

equivalent totalment adimensional ms compacta.

Els parmetres descala (variables dimensionalment independents) susen per

adimensionalitzar el problema.

En la segent taula sillustren les dimensions de les magnituds fonamentals que

apareixen en mecnica de fluids:

5.3 EL TEOREMA DE LES DE BUCKINGHAM

5.3.1 ENUNCIAT DEL TEOREMA

Tota relaci entre les n magnituds fsiques pot ser reduda a una expressi de

la forma on intervenen p parmetres adimensionals

El nombre (p) de parmetres adimensionals s igual al nombre de magnituds que intervenen

menys el rang de la matriu dimensional (i.e. ) .

5.3.2 OBSERVACIONS DEL TEOREMA

Permet reduir el nombre de variables.

Requereix un bon coneixement de les magnituds que intervenen en el fenomen. Sovint

poden ser dedudes a priori, per habitualment es requereix experimentaci.

1, , 0nF x x

1, , 0pF 1,i i p

p n r

Els parmetres poden obtenir-se de forma sistemtica.

Resultats aplicables a altres contorns homottics: laplicabilitat daquest teorema per

uns resultats obtinguts en un contorn determinat i sota unes condicions determinades

implica la seva aplicabilitat a altres contorns homottics respecte del primer i sota altres

condicions.

1,i i p

5.3.3 OBTENCI SISTEMTICA DELS GRUPS ADIMENSIONALS

Procedirem a partir de lexemple segent:

Sigui la fora de resistncia a lavan que actua sobre una esfera llisa que es mou en

linterior dun fluid. Exposarem dos sistemes diferents:

DF

SISTEMA 1 1. Definim les variables que intervenen en el sistema:

2. Efectuem el desenvolupament en srie de la funci:

3. Formem la matriu adimensional:

4. Expressem cada magnitud en funci de les fonamentals:

5. Igualem els exponents dambds membres:

D D cF

1 1 2

0 1 0

0 1 1

1 3 0

1 1 1

D

M L T

F

D

c

n = 5 (nombre de magnituds fsiques)

r = 3 (rang de la matriu adimensional)

p = 2 (nombre de parmetres adimensionals)

2 1 3 1 1MLT L LT ML ML T

1

1 3

2

M

L

T

, , ,DF D c

6. Eliminem tants exponents de dimensi com el rang de la matriu adimensional;

en general, sescullen per eliminar:

Aix ens queda que:

7. En lequaci dimensional, substitum els valors obtinguts:

8. Agrupem per igualtat dexponents:

9. Comprovem que els parmetres siguin, efectivament, adimensionals.

Un parmetre de longitud:

Un parmetre de massa:

Un parmetre de temps:

1

1 3 2

2

2 2 1

D

D

F D c

F D c

2 2 2 2D DF F

Dc DcD c D c

SISTEMA 2

1. Definim les variables que intervenen en el sistema:

2. Determinem el nombre de parmetres adimensionals elaborant la matriu adimensional (p=2)

3. Escollim unes magnituds en funci de les quals expressem la resta (tantes com el rang de la

matriu adimensional. En general, prenem:

4. Busquem les magnituds que poden formar-se a partir de les escollides i:

, , ,DF D c

Una longitud:

Una velocitat:

Una densitat:

D L

1c LT

3ML

1

F

D c

2 D c

5. Determinem, per a cada parmetre, el valor dels coeficients que el fan adimensional:

2

1 1 2 21 3

2

0 2

1

MLT F

D cL LT ML

1 1

2 21 3

1

0 1

1

ML T

cDL LT ML

6. Plantejem lequaci funcional:

7. Comprovem que els parmetres obtinguts sn, efectivament, adimensionals.

2 2DF

DcD c

AVANTATGES DEL SEGON SISTEMA

Un error afecta tan sols a un dels sistemes.

En la majoria dels casos intervenen parmetres coneguts que permeten plantejar

directament els grups adimensionals; per exemple:

1 1RecDDc

5.4.1 NIVELLS DE SEMBLANA

Semblana geomtrica

Semblana cinemtica

Semblana dinmica

Tots els parmetres adimensionals rellevants tenen els mateixos valors per al model i

el prototipus. Semblana inclou generalment tres classificacions en mecnica de fluids.

5.4.1.1 SEMBLANA GEOMTRICA

Totes les dimensions lineals del model estan relacionades amb les dimensions

corresponents en el prototipus per un factor descala constant.

5.4 SEMBLANA, MODELITZACI I LES SEVES DIFICULTATS

Consideris la segent secci duna ala davi:

Per aquest cas, la semblana geomtrica requereix:

Escala de longitud:

Tots els angles es mantenen.

Totes les direccions del flux es mantenen.

m m m

p p p

r L Wl

r L W

5.4.1.2 SEMBLANA CINEMTICA

Les velocitats en punts corresponents en el model i el prototipus tenen la mateixa

direcci i tan sols difereixen per un factor descala constant.

Per tant els fluxos han de tenir patrons de lnies de corrent similars i els rgims de flux han

de ser els mateixos.

Fluxos a baixa velocitat cinemticament similars

Si existeix aleshores existeixen i de manera que la semblana cinemtica implica

la semblana geomtrica.

c l t

5.4.1.3 SEMBLANA DINMICA

Sobt bsicament si les forces en punts similars en el model i el prototipus difereixen

per un factor descala constant.

Aix sillustra en la segent figura per a un flux a travs duna comporta:

Si existeix aleshores existeixen i per tant, existeix F ,m a1lt

La semblana dinmica implica les semblances cinemtica i geomtrica

5.5 CONDICIONS DE COMPATIBILITAT PER OBTENIR SEMBLANA DINMICA

Les equacions que cal considerar sn:

Comencem definint les escales de semblana:

Substituint en lequaci de continutat:

obtenim amb la qual cosa veiem que no constitueix cap condici de

compatibilitat.

Continutat

Navier - Stokes (equilibri dinmic)

'' ' ' ' ' 'yc t l x zc t lt x y zc l

1'' ' 'i j k i j k l

x y z x x y y z z

0ct

' ' ' ' 0'

t ct

Substituint ara en lequaci de Navier-Stokes:

Obtenim la cadena de relacions segent:

Per poder treure els coeficients remarcats com a factor com de tota lequaci haurien

de ser tots iguals. Si imposem que ho siguin, obtenim:

dvP dcf v c v cdt

1

2

2 1

1 1 1

' ''

'

''

' ' '

'' ' ' '

'

v v v

d dd

P P PI

f f f

dc dcItdt dt

v c vI It v c

v c v I I It v c

1 11 1 2 1 1dv l tP l f lt vl t

( )

cos _

si fluid incompressible

pressio inercia vis as visc compressiovolumF F F F F

(1) (2)

(3)

CONDICI 1

CONDICI 2

CONDICI 3

12

1 1

' 'Re''1 Re' ReRe

c

c llt llt v

v clvl tv

2

2 2

2

'

' ' '1 '

P

c Eul t Eu EuP EuPc

2

2

2

2 2

''' '

1 '

lgv

cFrl glt Fr Fr

c Frf

Per tant, si pretenem tenir semblana dinmica, cal que es conservin els tres parmetres

adimensionals.

Imposicions de la realitzaci prctica de lexperiment:

Mateixa gravetat:

Mateix lquid:

Mateixa pressi:

Substitunt en les equacions de compatibilitat:

s precs recrrer a la semblana incompleta.

' 1vg g f

' 1

,' 1

' 1P P P

2 1 1 2 1

2 2 12

122

(1) 1 11

(2) 1 1 0

1(3) 1 1

v

v

f

v

l t l tv l

l t P It t GrLLP

Plt ltf

Estudi sobre el model

redut impossible

SEMBLANA INCOMPLETA

Es tracta de prescindir dalgunes condicions de compatibilitat amb la finalitat

daugmentar el nombre de graus de llibertat del sistema.

CONDICI 1

s necessria si les forces viscoses sn importants, s a dir, en rgim laminar o de transici.

ALTERNATIVES:

1. En RGIM TURBULENT prescindim de (1).

2. SOTA CRREGA (flux intern (no cavitaci)) substitum les condicions (2) i (3) per una delles.

3. Efectuem els dos procediments anteriors.

Re iF

F

F

NOMBRE DE REYNOLDS

RE = UL/ INRCIA/VISCOSITAT SEMPRE

NOMBRE DE

MACH MA = U/A VELOCITAT FLUX/VELOCITAT SO

FLUX COMPRESSIBLE

NOMBRE DE

FROUDE Fr = U

2/gL INRCIA/GRAVETAT FLUX AMB SUPERFCIE

LLIURE

NOMBRE DE

WEBER We = U

2L/ INRCIA/TENSI SUPERFICIAL FLUX AMB SUPERFCIE

LLIURE

NOMBRE

DEULER (CAVITACI)

Ca = (p-pv)/ U2 PRESI/INRCIA CAVITACI

NOMBRE DE STROUHAL

St = L/U OSCILACI/VELOCITAT MITJA FLUX

OSCILLATORI

RUGOSITAT RELATIVA

/L RUGOSITAT/LONGITUT DEL COS FLUX

TURBULENT, PARET RUGOSA