TEMA 5 Problemas

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Manual de ptica Geomtrica. J.V. Santos ([email protected])

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5. PROBLEMAS RESUELTOS.

1.

Dado un conjunto de tres lminas paralelas de ndices n1, n2 y n3 y espesores d1, d2 y d3, colocadas en contacto y rodeadas de aire, calcular el camino ptico recorrido por la luz dentro de las tres lminas cuando incide en un ngulo de g1 grados sobre la normal a la primera.

El camino ptico es: siendo: AB = d1/cos g'1

L = 'ni.si = n1.AB + n2.BC + n3.CD ; BC = d2/cos g'2 ; CD = d3/cos g'3

por lo que se han de calcular los cosenos de los ngulos g'1, g'2 y g'3.

Aplicando la ley de Snell en el punto A: n0.sen g1 ' n1.sen g)1 ' n1. 1 & cos2 g)1 sen 2g1 ' de donde: cos g)1 ' 1 & sen 2g1 n 02 n 12 n 12 n02

(1 & cos2g)1)

De la misma forma, aplicando la ley de Snell en los puntos B y C: n 12 n 22 n 22 n 32

cos g)2 '

1 & sen 2g)1

y

cos g)3 '

1 & sen 2g)2

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con lo que el camino ptico queda: n1.d1 L ' 1 & sen 2g1 n0 n12 2

%

n2.d2 1 & sen 2g)1 n1 n22 2

%

n3.d3 1 & sen 2g)2 n22

. . . . . . . . . . . . (1) n 32

y por aplicacin sucesiva de la ley de Snell en los puntos A, B y C se obtiene: n0.sen g1 = n1.sen g'1 = n 2.sen g'2 = n3.sen g'3 con lo que sustituyendo en (1) y operando queda: n12.d1 n12 & n02.sen 2g1 n22.d2 n22 & n02.sen 2g1 n32.d3 n32 & n02.sen 2g1 ' j ni2.di ni2 & n02.sen 2g1

L '

%

%

Nota: el ngulo g1 de incidencia en el punto A es igual al de emergencia en D por ser iguales los medios extremos del conjunto de lminas (aire).

2.

Demostrar que el desplazamiento axial producido por una lmina plano-paralela es menor que el espesor de la lmina.

El desplazamiento axial es: En el tringulo ABC: y en el ABD:

d = DC tg g = AB/BC = AB/(e - d) tg g' = AB/BD = AB/e

y dividiendo miembro a miembro ambas expresiones: tg g tg g) ' e e & d Y d ' e 1 & tg g) tg g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

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Discusin de este resultado. a. Si el ndice del medio que rodea a la lmina (n), es menor que el de la propia lmina (n'), entonces es: n < n'

Y

g' < g

Y

tg g' < tg g

Y

(tg g'/tg g) < 1

y, en este caso, segn (1) el desplazamiento axial d es siempre menor que el espesor e de la lmina. b. Si el ndice de la lmina n' es menor que el del medio n en el que est sumergida, el desplazamiento axial, calculado mediante un procedimiento anlogo, viene dado por la expresin: tg g) & 1 tg g

d ' e y, en este caso:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) (tg g'/tg g) > 1

g' > g

Y

tg g' > tg g

Y

por lo que, segn (2), el desplazamiento axial d puede tomar valores mayores que el espesor e de la lmina si su ndice n' es menor que el del medio n en el que est sumergida.

3. Cuando un rayo de luz que forma un ngulo de 450 con la horizontal atraviesa una lminade caras plano-paralelas de espesor e = 20 cm, experimenta una desviacin en su trayectoria de 8,67 cm. Calcular el ndice de refraccin del material de la lmina.

g = 450 ; e = 20 cm ; d = 8,67 cmEn el tringulo ABC: y como: queda: sen = d/AB = g - g' d = AB.sen (g - g')

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En el tringulo ABD: y sustituyendo este valor en d:

cos g' = e/AB

Y

AB = e/cos g'

d ' e.de donde:

sen (g & g)) cos g)

' e.

sen g.cos g) & sen g).cos g cos g)

' e(sen g & tg g).cos g)

tg g) '

e.sen g & d 20.sen 45 & 8,67 ' ' 0,387 e.cos g 20.cos 45

Y

g) ' 21,150

y aplicando la ley de Snell en el punto A:

n '

sen g sen g)

'

sen 45 ' 1,96 sen 21,15

4.

Calcular la desviacin angular que sufre un rayo de luz al atravesar dos lminas planoparalelas de ndices n2 y n3 sumergidas en medios de ndices distintos n 1 y n4.

La desviacin angular viene dada por el ngulo que forma la direccin del rayo incidente con el emergente. Aplicando el convenio de signos para ngulos, y teniendo en cuenta que en el tringulo ABC, el ngulo externo g1 es igual a la suma de los internos opuestos, queda: (- g1) = (+ ) + (- g'3)

Y

= g'3 - g1

En el caso de un sistema formado por i lminas, la desviacin sera: = g'i - g1 siendo g'i el ngulo con que el rayo de luz emerge del conjunto de lminas.

Si las lminas estn sumergidas en medios iguales, al ser

g1 = g'i, la desviacin angular es nula.

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5.

Dado un conjunto de tres lminas plano-paralelas de ndices n1, n2 y n3 y espesores e1, e2 y e3, colocadas una sobre otra y rodeadas de aire, calcular el desplazamiento transversal de un rayo que incide con g1 grados sobre la primera.

El desplazamiento transversal que sufre un rayo de luz al atravesar una lmina plano-paralela sumergida en medios iguales viene dado por la expresin: d ' e sen (g & g)) cos g) Sin embargo, en el sistema formado por las tres lminas, si bien los medios extremos son iguales (aire), cada una de las lminas no est sumergida en aire. As, la lmina de ndice n1 est sumergida en aire (n0 = 1) y en el medio n2; la lmina de ndice n2 est sumergida en los medios n1 y n3 y la lmina de ndice n3 est sumergida en el medio n2 y en aire (n4 = 1), razn por la que no podemos aplicar directamente la expresin anterior para el clculo del desplazamiento producido por cada lmina. Aplicando la ley de Snell a las refracciones producidas en los puntos A, B, C y D: A) 1.sen g1 = n1.sen g1 ' B) n1.sen g2 = n2.sen g2 ' C) n2.sen g3 = n3.sen g'3 D) n3.sen g4 = 1.sen g4 ' y como (ver figura): queda:

g2 = g'1

;

g3 = g'2

;

g4 = g'3

1.sen g1 = n1.sen g'1 = n1.sen g2 = n2.sen g'2 = n2.sen g3 = n3.sen g'3 = n3.sen g4 = 1. sen g'4 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

de donde por comparacin de (1) y (8) se deduce que el ngulo g1 de incidencia al sistema es igual al de emergencia g4. ' De la igualdad de los trminos (1), (2) y (8) se deduce que en la primera lmina de ndice n1 todo sucede como si la luz, que incide en el punto A con un ngulo g1 desde el aire, emergiera tambin al aire por el punto B con un ngulo g4 = g1: ' 1.sen g1 = n1.sen g1 = 1.sen g4 ' ' y en estas condiciones el desplazamiento transversal d1 producido al atravesar la primera lmina ya se puede calcular mediante la expresin (7) obtenida para lminas sumergidas en medios iguales: sen (g1 & g)1) cos g)1

d1 ' e1

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De la misma forma, de la igualdad de los trminos (1), (4) y (8) se deduce que en el punto B todo sucede como si la luz incidiera sobre este punto desde el aire con el ngulo g1 y emergiera, tambin al aire, por el punto C con un ngulo g'4 = g1: 1.sen g1 = n2.sen g'2 = 1.sen g'4 por lo que el desplazamiento transversal d2 producido sobre el rayo al atravesar la segunda lmina es: sen (g1 & g)2) d2 ' e2 cos g)2 Por ltimo, de la igualdad de los trminos (1), (6) y (8) se deduce que en el punto C todo sucede como si la luz incidiera sobre este punto desde el aire con el ngulo g1 y emergiera, tambin al aire, por el punto D con un ngulo g4 = g1: ' 1.sen g1 = n3.sen g'3 = 1.sen g'4 por lo que el desplazamiento transversal d3 producido sobre el rayo al atravesar la tercera lmina es: d3 ' e3 y el desplazamiento total es la suma de todos ellos: d ' d1 % d2 % d3 ' e1 sen (g1 & g)1) cos g)1 % e2 sen (g1 & g)2) cos g)2 % e3 sen (g1 & g)3) cos g)3 sen (g1 & g)3) cos g)3

expresin de la que se puede obtener una expresin general que permita obtener el desplazamiento transversal producido por i lminas sumergidas en medios iguales:i

d ' ji'1

ei

sen (g1 & g) i) cos g) i

6.

Calcular el camino ptico recorrido por un rayo de luz que incide perpendicularmente en la base de un prisma de Porro simple, de base 3 cm e ndice de refraccin 1,621.Un prisma de Porro es un prisma issceles rectngulo. En consecuencia, los ngulos agudos son de 450 y tambin toman este valor los ngulos que el rayo forma con las caras del prisma en su recorrido, tal como se indica en la figura. Cualesquiera que sea la altura de incidencia del rayo de luz, el camino ptico es: L = n.x + n.y + n.z = n.(x + y + z) expresin en la que no se conoce ni el valor de x ni el de y ni el de z. No obstante, debido a la geometra de este prisma, los dos tringulos sombreados son issceles e iguales, por lo que: x = AB = CD = z ; y = BC Con estas consideraciones el camino ptico queda: L = n.(x + y + z) = n.(AB + BC + CD) = n.AD = n.a L = (1,621).3 = 4,86 cm.

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7. Calcular el camino ptico recorrido por la luz en el siguiente prisma de DOVEde ndice n y base a.

En el prisma de DOVE el rayo de luz que incide paralelo a la base sufre una reflexin total en ella y emerge por la cara opuesta a la de entrada, recorriendo un espacio AC + CD en su interior por lo que, cualesquiera que sea la altura de incidencia, el camino ptico es: L = n.s = n.(AC + CD) expresin en la que tanto AC como CD son desconocidos. No obstante, de la simetra de la figura se deduce que el espacio CD recorrido realmente por la luz, es igual a CB por lo que podemos escribir que: L = n.(AC + CB) = n.AB Clculo de AB. cos g' = b/AB y como: a2 ' b2 % b2Y

Y AB = b/cos g'a 2

b '

queda:

AB '

a 2.cos g)

Aplicando la ley de Snell en el punto A: sen g = n.sen g' y teniendo en cuenta que:

Y

sen g' = (sen g)/n

cos g) ' 1 & sen 2g) cos g) ' sen 2g n2 1 n n 2 & sen 2g

al sustituir queda:

1 &

' n.a

con lo que: y el camino ptico: L ' n.AB ' n 2.a 2.(n 2 & sen 2g)

AB '

2.(n 2 & sen 2g)

'

n 2.a 2.(n 2 & sen 245)

'

n 2.a 2.n 2 & 2.( 2/2)2

'

n 2.a 2.n 2 & 1

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8.

Se tiene un recipiente de vidrio de seccin trapezoidal de un determinado ndice de refraccin n. Cuando un rayo de luz monocromtica incide perpendicularmente a su base mayor, se refleja primero en una de las caras laterales y luego en la otra, de tal manera que emerge por la misma cara que entr con una desviacin de 180o respecto al rayo incidente. Si el ngulo formado por la base mayor y las caras laterales es de 45o, calcular: a) Para qu valores del ndice de refraccin de dicho vidrio se cumplen las condiciones del problema? b) Si la longitud de la base mayor es de 7 cm, cul es el espesor de la lmina planoparalela equivalente?

a. Clculo del ndice de refraccin. Para que se cumplan las condiciones requeridas por el problema, se ha de producir reflexin total en los puntos B y C. Para ello el ngulo de incidencia g, que por la geometra de la figura es de 45o, ha de ser mayor o igual que el ngulo lmte gL, ngulo cuyo valor depende del ndice de refraccin del prisma: sen gL = 1/n

Y

n = 1/sen gL

y como, segn se ha dicho, para que se produzca reflexin total en B y en C se ha de cumplir que:

gL # gel ndice n ha de ser: n $ 1 ' 2 sen 45Y

n $ 2

Comentario a este resultado: si n fuera menor que 2 , el ngulo lmite gL sera mayor que 45o y, en consecuencia, no se producira reflexin total en los puntos B y C. b. Clculo del espesor de la lmina equivalente. El espesor de la lmina equivalente es igual al espacio recorrido por la luz en el interior del recipiente. Los tringulos ABF y CDE son issceles rectngulos e iguales cualesquiera que sea la altura del punto F de incidencia de los rayos, por lo que: FB = FA = EC = ED = x y el espacio recorrido por la luz y, por tanto, el espesor de la lmina equivalente, es: e = FB + BC + CE = x + y + x = AD = 7 cm

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9. Cul ha de ser el ndice de refraccin del vidrio con el que habr de construirse unprisma issceles de ngulo de refringencia 400, para que un rayo de luz monocromtica que incida con un ngulo de 450 sobre una de las caras emerja perpendicularmente a la base? Cul sera el ngulo de incidencia para que el rayo emerja rasante a la segunda cara del prisma?a. Aplicando Snell a la refraccin en la primera cara (fig. a): n = sen g1/sen gr 1 Clculo de gr: el ngulo que forman las normales N1 y N2 es 1 igual al ngulo del prisma por tener sus lados perpendiculares. En el tringulo sombreado (fig. a), el ngulo externo es: = g1 + g2 Y g1 = - g2 r r y como: queda:

g2 = (90 - /2) = (90 - 40/2) = 700 gr = 40 - 70 = - 300 ! 1

fig. a

Del signo negativo de gr se deduce que este ngulo tiene signo 1 contrario al que le hemos supuesto en la fig. a, lo que requiere que el rayo refractado en la primera cara est situado por debajo de la normal N1, para lo cual es preciso que incida sobre el prisma en direccin a la base, como se indica en la fig. b. Dicho de otra forma: para este prisma, las condiciones requeridas por el problema nunca pueden darse si la incidencia del rayo se produce por debajo de la normal como se indica en la fig. a. En el tringulo sombreado de la figura b:

g2 = + gr Y gr = g2 - 1 1y como: queda:

g2 = 90 - /2 = 90 - 40/2 = 700 gr = 70 - 40 = 300 1

por lo que: n = sen g1/sen gr = sen 45/sen 30 = 1,41 1 b. Para que el rayo emerja rasante a la segunda cara del prisma, el ngulo de incidencia a esta cara (fig. c) ha de ser el ngulo lmite gL: sen gL = 1/n = 1/1,4

fig. b

gL = 450y en el tringulo sombreado de la fig. c:

gL = + gr 1

Y

gr = gL - = 45 - 40 = 50 1

y aplicando Snell a la refraccin en la primera cara se obtiene el ngulo de incidencia necesario para que el rayo emerja rasante a la segunda cara: sen g1 = n.sen gr = 1,41.sen 5 = 0,123 1fig. c

g1 = 7,080

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10.

Se incide sobre un prisma, cuya seccin es un tringulo equiltero, con un ngulo de incidencia de 800. La cara opuesta a la de incidencia est espejada de forma que el rayo incidente se refleja en ella dirigindose de nuevo a la cara de entrada. Estudiar la refraccin en esta cara, dando finalmente el ngulo de salida del rayo cuando abandona el prisma, as como su desviacin respecto al incidente. (n = 1,72).

Para saber si el rayo se refracta o se refleja en el punto P (fig. 1), es preciso conocer el ngulo de incidencia g3 en este punto. Si g3 resultara mayor que el ngulo lmite habra reflexin total en P. Este ngulo g3 es igual al ngulo que, con vrtice en D, forman la normal N1 y el rayo reflejado en B (fig. 1). El ngulo con vrtice en C (fig. 2) es igual al ngulo del prisma por tener sus respectivos lados perpendiculares. Recordando que, en un tringulo, un ngulo externo es igual a la suma de los ngulos internos opuestos, en el tringulo BCD (fig. 2): g3 = + g2 y, por la misma razn, en el tringulo ABC (fig. 2) es: = gr + g2 Y g2 = - gr 1 1 quedando al sustituir:fig. 1

g3 = 2. - gr = 2.60 - gr = 120 - gr 1 1 1Calcularemos gr aplicando la ley de Snell 1 en el punto A (fig. 2): sen g1 = n.sen gr 1 sen gr = (sen g1)/n = (sen 80)/1,72 = 0,57 1

gr = 34,930 1con lo que g3 queda:

g3 = 120 - 34,93 = 85,070y

g2:g2 = g3 - = 85,07 - 60 = 25,070

fig. 2

Aplicando la ley de Snell en el punto P (fig. 3): n.sen g3 = 1.sen gr = 1,72.sen 85,07 3 sen gr = 1,71 ! 3 y como el seno de un ngulo no puede ser mayor que la unidad, se deduce que en P hay reflexin total, reflejndose el rayo hacia un punto Q de la base del prisma (fig. 4) sobre la que incide con un ngulo g4 que pasamos a calcular.fig. 3

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El ngulo con vrtice en T (fig. 4), formado por las normales N3 y N4, es igual al ngulo del prisma por tener sus respectivos lados perpendiculares. En el tringulo PQT (fig. 4) :

g3 = + g4

Y

g4 = g3 - = 85,07 - 60 = 25,070 Y gr = 46,780 4

Aplicando la ley de Snell en el punto Q: n.sen g4 = sen gr = 1,72. sen 25,07 = 0,73 4

Solucin: el rayo de luz emerge por la base del prisma formando un ngulo de 46,78 con la normal. Clculo de la desviacin.La desviacin sufrida por un rayo de luz viene dada por el ngulo que forma la direccin del rayo incidente con el refractado o, en su caso, con el reflejado. La desviacin total es la suma de las desviaciones producidas en las refracciones y reflexiones, teniendo en cuenta su signo. As, de acuerdo con el convenio de signos utilizado, las desviaciones 1 (fig. 5 ), 2 (fig. 6 ) y 4 (fig. 8) son negativas por tener sentido horario, mientras que 3 (fig. 7) es positiva por tener sentido antihorario:

fig. 4

= - 1 - 2 + 3 - 4

fig. 5

fig. 6

fig. 7

siendo:

1 = g1 - gr = 80 - 34,93 = 45,07 1 2 = 180 - 2.g2 = 180 - 2.(25,07) = 129,86 3 = 180 - 2.g3 = 180 - 2.(85,07) = 9,86 4 = gr - g4 = 46,78 - 25,07 = 21,71 4

por lo que:

= - 45,07- 129,86 + 9,86 - 21,71 = - 186,780

Solucin: de este resultado se deduce que la desviacin total producida por el prisma sobre el rayo incidente es de 186,780 en el sentido horario.

fig. 8

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11. Un prisma issceles tiene un ngulo " = 400 y un ndice n = 1,6.a) calcular la direccin del rayo emergente y la desviacin para un un rayo que incide sobre la primera cara con un ngulo de 450 y que, despus de refractarse, incide sobre la base del prisma. b) cul ser la desviacin si se aade en la base del prisma una lmina de caras planoparalelas de 2 cm de espesor y con un ndice n = 1,75 ?.

a.1. Clculo de la direccin del rayo emergente.Segn el enunciado, despus de refractarse en la primera cara, el rayo de luz ha de incidir sobre la base. En ella (fig. a), si g2 es menor que el ngulo lmite el rayo se refractar emergiendo al aire y si es mayor se producira reflexin total. Calculamos g2. En el tringulo ABC es: g2 = gr + 1 y como + 2. = 1800, es = (180 - 40)/2 = 700, y aplicando Snell en el punto A: sen gr = (sen g1)/n = (sen 45)/1,6 = 0,44 1

gr = 26,230 1con lo que g2 queda:

g2 = 26,23 + 70 = 96,230 !

resultado del que se deduce que si la luz incide por debajo de la normal N1, como se representa en la fig. a, no pueden darse las condiciones requeridas por el problema ya que el ngulo g2 no puede ser mayor de 900. En consecuencia, la luz ha de incidir sobre el prisma por encima de la normal N1, como se indica en la fig. b. Segn se ha visto, para g1 = 450 es gr = 26,230. 1 En el tringulo ABF (fig. b) es:fig. a

= gr + g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) 1

g2 = - gr = 70 - 26,23 = 43,770 1Calculamos el ngulo lmite: sen gL = 1/n = 1/1,6 = 0,625

Y gL = 38,680

y por ser g2 > gL se produce reflexin total en el punto B de la base, dirijindose el rayo hacia la cara opuesta a la de entrada. Estudiaremos a continuacin la refraccin en esta cara. En el tringulo BCD es:

= g3 + g2y de la simple comparacin de esta expresin con la (1) se deduce que g3 = gr = 26,230 y, segn la ley de 1 Snell, tambin ha de ser gr = g1 = 450. En consecuencia, 3 el rayo emerge por la cara opuesta a la de entrada con el mismo ngulo con que incidi inicialmente sobre el prisma.

fig. b

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a.2. Clculo de la desviacin.La desviacin total es la suma de las tres desviaciones que produce el prisma sobre el rayo de luz. En este caso (ver fig. b, pgina anterior)las tres desviaciones tienen sentido antihorario, positivo:

= 1 + 2 + 3 = (g1 - gr) + (180 - 2.g2) + (gr - g3) 1 3y como, segn se ha visto, es

g3 = gr y gr = g1, queda: 1 3

= 2.g1 - 2.(gr + g2) + 180 = 2.g1 - 2. + 180 = 2.(g1 - + 90) = 2.(45 - 70 + 90) = 1300 1 b. Clculo de la nueva desviacin. Al colocar una lmina plano-paralela en la base del prisma, puede ocurrir que el rayo emerja por la cara inferior de la lmina o que sufra reflexin total en ella. Para salir de dudas hemos de calcular el ngulo g3 con que incide el rayo de luz sobre la cara inferior de la lmina (fig. c): si g3 es mayor que el ngulo lmite correspondiente al dioptrio formado por la lmina y el aire, habr reflexin total en el punto P. Del apartado anterior sabemos que Aplicando Snell en el punto A: n.sen g2 = n'.sen gr 2

g2 = 43,770.

sen g)2 '

1,6.sen 43,77 ' 0,63 1,75

g)2 ' 39,23o ' g3El ngulo lmite para el sistema lmina aire es: sen gL = 1/n' = 1/1,75 = 0,57

Y gL = 34,850

por lo que, al ser g3 > gL, se produce reflexin total en P. Para el clculo de la desviacin que ahora sufre el rayo, hagamos las siguientes consideraciones:fig. c

1. Los ngulos gr, g3 y g4 son iguales por tener sus lados paralelos. 2

gr = g3 = g4 = 39,230 22. Por ser

g4 = gr ha de ser, segn la ley de Snell, gr = g2 = 43,770. 2 4

3. De la fig. c se deduce que (ver tringulos sombreados):

= gr + g2 1

y

= gr + g5 = g2 + g5 4

y de la comparacin de ambas expresiones se deduce que

g5 = gr. 1

A la vista de este ltimo resultado, si g5 = gr, tambin ha de ser, segn la ley de Snell, g1 = gr = 450, lo que 1 5 conduce a la conclusin de que la desviacin producida cuando se coloca la lmina es la misma que con el prisma solo, ya que el ngulo con que emerge el rayo en ambos casos es el mismo.

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12. Se pegan dos prismas issceles rectngulos como indica la figura. El prisma ABC estcompuesto de un vidrio de ndice N y el BCD de un vidrio de ndice n = 1,65. Un haz de rayos paralelos incide normalmente a la cara AB y se refracta en la cara BC. Qu condicin deben satisfacer los ndices N y n para que este haz emerja por la cara BD despus de reflejarse por reflexin total sobre la cara CD?

A N

C

nB D

Por ser ambos prismas issceles rectngulos, todos los ngulos son de 45o. Adems, el ngulo de incidencia g1 es igual al ngulo ABC por tener sus lados perpendiculares:

g1 = = 45o

Para satisfacer la trayectoria solicitada en el enunciado debe de cumplirse: 1) Que el rayo no sufra reflexin total en Q para que pueda pasar refractndose al segundo prisma, lo que requiere que el rayo de luz incida con un ngulo g1 menor que el ngulo lmite gL1 sobre la superficie BC que separa los medios de ndices N y n. Dicho de otra forma: el valor ms pequeo que puede tomar este ngulo lmite es 45o ya que ste es el valor de g1: sen gL1 = n/N y como: ha de ser: n/N > sen 45

gL1 > 45 Y

Y

sen gL1 > sen 45o

n/sen 45 > N

Y

(1,65/0,707) > N

Y

N < 1,94

si N fuera mayor que 1,94 el ngulo lmite gL1 sera menor que 45o y se producira reflexin total en Q.

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2) Que el rayo al refractarse en Q se aleje de la normal, con lo cual se garantiza que se dirigir hacia la cara CD y no hacia la base BD, lo que requiere que N sea mayor que n: N > 1,65 3) Que el ngulo de incidencia g2 sea mayor que el ngulo lmite gL2 correspondiente al dioptrio formado por el medio de ndice n y el aire separados por la superficie CD, condicin que garantiza que en el punto P se produzca reflexin total: sen gL2 = 1/n = 1/1,65 = 0,606 Y gL2 = 37,31o Y g2 > 37,31o y como g'1 + g2 = 90o (ver figura), la condicin anterior (g2 > 37,31o) implica que g1 < (90 - g2), es decir, ' g'1 < 52,69o. Aplicando la ley de Snell en el punto Q: N.sen g1 = n.sen g'1

Y

N/n = (sen 52,69)/(sen 45) = 1,12

y por ser 52,69o el valor mximo de g2, el cociente 1,12 obtenido es el valor mximo de la relacin de ndices. En consecuencia: N/n < 1,12 Y N < 1,12.n Y N < (1,12).(1,65) Y N < 1,85 4) Que el ngulo de incidencia g3 sea menor que 37,31o, valor del ngulo lmite gL2 correspondiente al dioptrio naire, con lo cual se garantiza que el rayo no sufrir reflexin total en R, emergiendo por la cara BD. Dado que = g2 + g3 (ver tringulo sombreado), el mximo valor que puede tomar g3 se corresponde con el mnimo de g2 que es 37,31o, por lo que g3 < ( - g2) = 45 - 37,31 = 7,69o, y siendo este valor menor que gL2 (37,31o), queda garantizada la refraccin en R. Conclusin: el cumplimiento de las condiciones requeridas queda garantizado si 1,65 < N < 1,85.

13. Se pegan dos prismas issceles por sus bases como indica la figura. Elprisma superior tiene un ngulo de refringencia " = 40o y est fabricado con vidrio de ndice de refraccin n = 1,56. El prisma inferior ha sido tallado con un ngulo $ = 42o. Un rayo de luz incide perpendicularmente a la cara AB. Cul es el tipo de vidrio que constituye el segundo prisma si el rayo emerge por la cara CD y perpendicularmentea ella? Cul ser entonces su desviacin respecto al rayo incidente?

El rayo no se desva en la cara AB por incidir perpendicularmente a ella, alcanzando la base AC con un ngulo g que es igual al ngulo con vrtice en A por tener sus lados perpendiculares, siendo:

+ 2. = 180 Y = (180 - )/2 = 70o = gPor la misma razn son iguales los ngulos g' y , siendo:

g' = = (180 - )/2 = 69o

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V-27

a. Clculo del ndice n2.Aplicando la ley de Snell en el punto P: n1.sen g = n2.sen g' n2 ' n1.sen g sen g)

'

1,56.sen 70 ' 1,57 sen 69

b. Clculo de la desviacin.De la figura se deduce que:

+ g' = g

!

= g - g' = 70 - 69 = 10

teniendo esta desviacin sentido horario como puede verse en la figura, por lo que: = - 10

14. A una distancia de 20 cm del prisma de la figura se sita una pantalla. Sabiendo que laarista AB del prisma mide 6 cm y la CD 10 cm, cul ser el radio mximo que aparecer en la pantalla cuando un haz de luz incida normalmente a CD iluminndola completamente?. ( = 30o; n = 1,5). Si el ndice del prisma fuera n = 2, cul sera el valor del radio mximo?.

Los rayos que incidan en direccin a la zona central AB no se desvan por incidir normalmente sobre las caras CD y AB. Los rayos que incidan en direccin a las caras AC y BD s que se desvan, siendo los rayos que inciden sobre los puntos A y B los que ms se van a alejar del eje en su impacto sobre la pantalla. La distancia rm desde el eje al punto de impacto de estos rayos es el radio mximo pedido por el enunciado.

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V-28

De la figura se deduce que: tg ' rm % AB/2 APY

rm ' AP. tg &

AB 6 ' 20. tg & ' 20. tg & 3 2 2

y como = g' - g , se hace preciso calcular los ngulos g y g'. El ngulo de incidencia g es igual al ngulo por tener sus lados perpendiculares:

g = = 300Aplicando la ley de Snell en el punto A: n.sen g = sen g'

Y

sen g' = 1,5.sen 30 = 0,75

g' = 48,60por lo que:

= 48,6 - 30 = 18,60

quedando: rm = 20.tg 18,6 - 3 = 3,73 cm Si el ndice del prisma fuera n = 2, al aplicar Snell en el punto A: n.sen g = sen g' sen g' = 2.sen 30 = 1

Y

g' = 900

y, en consecuencia, los rayos que incidan sobre las caras AC o BD emergen tangentes a ellas, alcanzando todos ellos los mismos puntos Q de la pantalla.

Ahora el radio mximo iluminado es: tg ' rm ' AP. tg & y como ahora es: al sustituir queda: rm % AB/2 AP

AB 6 ' 20. tg & ' 20. tg & 3 2 2

= g' - g = 90 - 30 = 600rm = 20.tg 60 - 3 = 31,64 cm

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V-29

15. Calcular el camino ptico que recorre la luz en el prisma ptico de la figura, sabiendoque la desviacin es mnima.

El camino ptico es L = n.s siendo s el espacio recorrido por la luz en el interior del prisma. En condiciones de desviacin mnima, el rayo refractado circula por el interior del prisma paralelamente a su base. En consecuencia el espacio s recorrido por la luz es: Y s = 5 - 2.x 2.x + s = 5

De la figura se deduce que:

tg 60 = 2/x x = 2/tg 60 = 1,16 cm s = 5 - 2x = 5 - 2.(1,16) = 2,68 cm

y el camino ptico queda:

L = n.s = 1,6.(2,68) = 4,29 cm

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V-30

16. Detrs de una lente cuya focal es de 100 mm colocamos un conjunto de dos prismas dengulo recto, tal y como muestra la figura, a una distancia de 50 mm de la lente. El ndice de refraccin de los prismas es de 1,5 y la longitud de los catetos de cada prisma es de 25 mm. Se pide: a) Calcular el cambio de camino ptico introducido por los prismas. b) Si la lente trabaja con un objeto en el infinito, cul es el desplazamiento de la imagen producido por los prismas? c) Si los prismas se cambian por otros idnticos pero de ndice 1,6, cul ser el nuevo desplazamiento de la imagen? d) Cules deben ser las dimensiones de los prismas de ndice 1,6 para dar el mismo desplazamiento que cuando tenan un ndice 1,5 y las dimensiones originales?

a. Desde que entra en el primer prisma hasta que emerge del segundo, la luz recorre un camino ptico que no recorrera si no existiera la combinacin de prismas. Este cambio de camino ptico es el doble del recorrido por la luz en cada prisma: L1 = n.(x + y + x) y por tratarse de un tringulo issceles rectngulo es: x = AB = z = CD ; y = BC

por lo que: L1 = n.(AB + BC + CD) = n.a

siendo a la hipotenusa cuyo valor es: a ' 252 % 252 ' 35,36 mm con lo que el camino ptico recorrido por la luz en uno de los prismas queda: L1 = n.a = 1,5.(35,36) = 53,03 mm y el camino ptico recorrido en los dos prismas: L = 2.L1 = 2.(53,03) = 106,06 mm

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V-31

b. Clculo del desplazamiento de la imagen.

b.1. Primer mtodo: a partir del desplazamiento axial producido por la lmina equivalente.El desplazamiento que van a producir los prismas sobre la imagen es el mismo que producira su lmina equivalente, siendo el espesor de sta el espacio recorrido por la luz en el interior de ambos prismas: e = 2.a = 2.(35,36) = 70,72 mm El desplazamiento producido sobre la imagen por una lmina plano-paralela viene dado por la expresin:

' e. 1 &

1 n

' 70,72. 1 &

1 1,5

' 23,57 mm

b.2. Segundo mtodo: considerando a la lmina equivalente como un sistema formado por dos dioptrios planos.

Por estar el objeto en el infinito, si no estuvieran los prismas la imagen se formara en F' de la lente, es decir, a 100 mm a la derecha de la lente o, lo que es lo mismo, a 50 mm a la derecha de la primera cara de la combinacin de prismas. Esta imagen se comporta como un objeto virtual (O1) para el primer dioptrio plano que forma de ella una imagen (O'1) cuya posicin viene dada por la expresin: n/s = n'/s'

Y

1/s1 = 1,5/s'1

s'1 = 1,5.50 = 75 mm A su vez, esta imagen (O'1) acta como objeto (O2) para el segundo dioptrio formando ste la imagen final (O'2) en una posicin que viene dada por la misma expresin anterior en la que, ahora, la posicin del objeto es (ver figura): s2 = s'1 - e = 75 - 70,72 = 4,28 mm: quedando: 1,5/s2 = 1/s 2

Y

s = 4,28/1,5 = 2,85 mm. 2

El desplazamiento sufrido por la imagen viene dado por la distancia O1O: 2 O1O'2 = e + s - s1 = 70,72 + 2,85 - 50 = 23,57 mm. 2 resultado que concuerda con el obtenido por el primer mtodo.

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V-32

c. Si el ndice de los prismas es 1,6, el espesor de la lmina equivalente sigue siendo el mismo y el desplazamiento producido sobre la imagen queda:

' e. 1 &

1 n

' 70,72. 1 &

1 1,6

' 26,52 mm

d. Para calcular las nuevas dimensiones de los prismas utilaremos la misma expresin del desplazamiento producido por una lmina plano-paralela, teniendo en cuenta que ahora es:

1,6 ' 1, 5 ' e. 1 &

1 1,6

' 23,57 mm

Y

e ' 62,85 mm

y recordando que, en este caso, el espesor de la lmina (e) es el doble de la hipotenusa (a): e = 2.a y el tamao de los lados de cada prisma es: a ' b 2 % b 2 ' b. 2Y

Y

a = e/2 = 62,85/2 = 31,42 mm

b '

a 2

'

31,42 2

' 22,22 mm

17. Qu ngulo de refringencia tiene un prisma delgado de 3 dioptras prismticas? Datos: nC = 1,5204, nF = 1,5293, Abbe = 58,76.Desviacin en un prisma degado. Un rayo que incide sobre un prisma sufre dos refracciones, una en cada cara, producindole una desviacin que viene dada por el ngulo que forma la direccin del rayo incidente con la del emergente. En el tringulo ABC es:

=+y como:

= g1 - g 1queda:

y

= g - g2 2

= (g1 + g) - (g + g2) . . . . . . . . (1) 2 1El ngulo es igual al ngulo del prisma por tener sus lados perpendiculares y como en el tringulo ABD es: = = g + g2 . . . . . . . . . . . . (2) 1 al sustituir este valor en (1) queda:

= g1 + g - . . . . . . . . . . . . (3) 2

Si se trata de un prisma delgado, su ngulo de refringencia es pequeo. Dado que en sus aplicaciones, fundamentalmente en la correccin de forias o estrabismos, va a estar orientado de forma que la luz incide con ngulos pequeos, para su estudio se utiliza la aproximacin gaussiana:

sen

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V-33

Por tratarse de prismas delgados con ngulos de incidencia g1 pequeos, tambin van a ser pequeos g, g2 y g 1 2 con lo que al aplicar la ley de la refraccin a ambas superficies del prisma: 1.sen g1 = n. sen g 1 n.sen g2 = 1. sen g 2 en donde se ha hecho la aproximacin paraxial sen g g. Sustituyendo en la expresin (3) de la desviacin queda:

Y Y

g1 = n.g 1 n.g2 = g 2

= g1 + g - = n.g + n.g2 = n(g + g2) - 2 1 1y como segn (1) es: queda:

g + g2 = 1 = n. - = (n - 1)

expresin que permite calcular la desviacin que produce un prisma delgado de ngulo e ndice n sobre un rayo de luz que incide sobre l con ngulos pequeos. En esta expresin tanto como se pueden expresar en grados o en radianes, siempre que ambos lo hagan en la misma unidad. La dioptra prismtica es la potencia de un prisma que produce una desviacin sobre la lnea D (amarilla) de 1 cm a la distancia de 1 m. En consecuencia con esta definicin, el prisma del problema produce una desviacin sobre la lnea D de 3 cm a la distancia de 1 m. La desviacin para la lnea D es:

100 cm

D3 cm

D = (nD - 1) = D / (nD - 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)siendo nD el ndice del prisma para la lnea amarilla, expresin en la que no se conoce ni D ni nD, pero se pueden calcular.

Clculo de D: Clculo de nD:

tg D = 3 cm/100 cm = 0,03

Y D = 1,7180(nD - 1) = .(nF - nC)

Abbe = = (nD - 1)/(nF - nC)

Y

nD - 1 = 58,76.(1,5293 - 1,5204) = 0,523 en las que: nF = ndice del prisma para la lnea azul. nC = ndice del prisma para la lnea roja. y sustituyendo los valores de D y de (nD - 1) en (4) queda: = D/(nD - 1) = 1,718/0,523 = 3,290

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V-34

18. Calcular la relacin que debe existir entre los ngulos de refringencia de dos prismas delgados para que formen una construccin acromtica, sabiendo que el n de Abbe del primero es doble del segundo y sus ndices nD son iguales. Interpretar el resultado.La condicin de acromatismo, en funcin del n de Abbe viene dada por la expresin (17) de la pg. V-8:

&

2 1

'

n1D & 1 2 . n2D & 1 1

y como, en este caso, los ndices de ambos prismas para la lnea D son iguales (n1D = n2D) queda:

1 = 1 = 2 2 = 2 2 2 2resultado del que se deduce que los ngulos de los prismas guardan la misma relacin que sus n de Abbe. El signo negativo indica que los prismas han de estar colocados con sus vrtices opuestos.

19. Dado un prisma delgado de potencia 5 D.P. para su nD, calcular cul es la variacin depotencia sufrida por el prisma para sus nF y nC.La potencia de un prisma delgado viene dada por la expresin: P = 100. en la que es la desviacin angular expresada en radianes.

Para las lneas D, C y F la potencia del prisma es: PD = 100.D ; PC = 100.C ; PF = 100.F

La diferencia de potencias del prisma para las lneas F y C es: PF - PC = 100.F - 100.C = 100.(F - C) y como la desviacin en un prisma delgado viene dada por la expresin:

= (n - 1)

Y

F = (nF - 1)

;

C = (nC - 1)

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V-35

al sustituir queda: y recordando que el n de Abbe es: queda:

PF - PC = 100.(F - C) = 100..(nF - nC)

= (nD - 1)/(nF - nC)PF - PC = 100..(nD - 1)/

expresin en la que no se conoce ni el ngulo del prisma ni su ndice nD. No obstante, se conoce su potencia para la lnea D: PD = 100.D Y 5 = 100.D = 100..(nD - 1) de donde:

.(nD - 1) = 0,05

e introduciendo este resultado en la expresin de la variacin de potencia queda: PF - PC = 100..(nD - 1)/ = 100.(0,05)/ = 5/ D.P.

20. Dados los prismas delgados 655/453 y 532/453 y = 10 ambos, calcular la potenciaprismtica de la combinacin cuando estn colocados en oposicin y en contacto.De los datos del enunciado se deduce que los ndices de refraccin de los prismas son: n1 = 1,655 ; n2 = 1,532 La potencia de una combinacin de prismas yuxtapuestos viene dada por la expresin:

P ' P12 % P22 % 2.P1.P2.cosen la que P1 y P2 son las potencias de cada uno de los prismas y el ngulo que forman en el acoplamiento. En este caso, si nicamente existiera el primer prisma, un rayo de luz sera desviado por l hasta un punto A. Si por el contrario nicamente existiera el segundo prisma, el rayo de luz sera desviado hasta un punto como el B. La potencia de un prisma delgado viene dada por la expresin: P = 100..(n-1) en la que , ngulo del prisma, ha de estar expresado en radianes. Segn esto: P1 = 100.1.(n1 - 1) = 100.(1./180).(1,655 - 1) P1 = 1,143 D.P. P2 = 100.2.(n2 - 1) = 100.(1./180).(1,532 - 1) P2 = 0,929 D.P. Como el ngulo es de 1800, la potencia de la combinacin queda:

P ' P12 % P22 % 2.P1.P2.cos180 ' P12 % P22 & 2.P1.P2 ' (P1 & P2)2 P ' P1 & P2 ' 1,143 & 0,929 ' 0,214 D.P.

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V-36

21. Se tiene un sistema de dos prismas pegados tal como indica la figura, cuyos ngulos sonrespectivamente 100 y 120. La relacin de ndices es n1/n2 = 1,07. Calcular n1 y n2 para que el conjunto tenga 0 dioptras prismticas. De qu combinacin se trata?.

Si el conjunto tiene potencia prismtica nula se trata de una combinacin de prismas de visin directa y la desviacin total ha de ser nula (ver punto 3.5., pg. V-8):

= 1 + 2 = 0siendo 1 y 2 las desviaciones producidas por cada uno de los prismas, que vienen dadas por la expresin (12) de la pg. V-6: 1 = 1.(n1 - 1) ; 2 = 2.(n2 - 1) y sustituyendo estos valores en la expresin anterior se llega a: 1 % 2 10 % (& 12) n2 ' ' ' 1,54 (n1/n2).1 % 2 (1,07).10 % (& 12) y como n1 = 1,07.n2 , queda: n1 = 1,07.1,54 = 1,65

22. Se dispone de un prisma ptico A, de ngulo = 100 que quiere acromatizarse para laslneas C y F de Fraunhofer, combinndolo con otro prisma B. Se desea conocer: a) el ngulo del prisma B, b) la desviacin que produce la combinacin en la lnea D. Datos: prisma A: nC = 1,5204 nD = 1,5230 nF = 1,5293 prisma B: nC = 1,7131 nD = 1,7200 nF = 1,7377a. Clculo del ngulo del prisma B. La condicin de acromatismo es (ver punto 3.4. pg. V-7):

&

2 1

'

n1F & n1C n2F & n2C

Y

2 ' & 1.

n1F & n1C n2F & n2C

' & 10.

1,5293 & 1,5204 ' & 3,620 1,7377 & 1,7131

deducindose del signo negativo que el segundo prisma est invertido respecto del primero. b. Clculo de la desviacin. La desviacin experimentada por la lnea D es la suma de las desviaciones producidas sobre esa lnea por cada prisma: D = 1D + 2D = [1.(n1D - 1)] + [2.(n2D - 1)] D= [+10.(1,5230 - 1)] + [-3,62.(1.7200 - 1)] = 5,23 - 2,60 = + 2,630

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V-37

23. Calcular la dispersin cromtica axial de una lmina plano-paralela de ndices nF = 1.5234,nD = 1.5230 y nC = 1.5225, sabiendo que el espesor de la lmina es de 5 mm.

Cuando un rayo de luz blanca incide sobre una lmina plano-paralela, en la primera refraccin (punto A) se produce dispersin de la luz. En la figura-1 se han representado las lneas C (roja, la que menos se desva) y F (azul, la que ms se desva). Aplicando Snell en el punto de incidencia P y en los puntos A y B por donde emergen los rayos: punto P: punto A: punto B: sen g1 = nC.sen g'1C =nF.sen g'1F nF.seng2F = sen g 2F nC.sen g2C = sen g 2C

y teniendo en cuenta que:

g2F = g'1F

y

g2C = g'1C

de las expresiones anteriores se concluye que: sen g1 = sen g = sen g 2F 2C

fig. 1.

Y

g1 = g = g 2F 2C

resultado del que se deduce que los rayos C y F emergentes son paralelos entre s y tambin al incidente. En consecuencia en una lmina plano-paralela no se produce dispersin angular. No obstante (ver fig. 2), en una lmina plano-paralela se produce dispersin cromtica axial debido a que este sistema, de un objeto O, forma imgenes O' (roja),...., O'F (azul) en posiciones distintas. La distancia entre estas C imgenes es la dispersin cromtica axial: O' O'F = = F - C C en la que F y C son los respectivos desplazamientos axiales que vienen dados por las expresiones:

F ' e. 1 &

1 nF

;

C ' e. 1 &

1 nC

y sustituyendo y operando queda:

' F & C ' e. ' 5.1 1 & 1,5225 1,5234

1 1 & nC nF' 1,94.10&3 mm

que es el valor de la dispersin cromtica axial.fig. 2.

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V-38

24. En un prisma issceles de ngulo de refringencia 400 que trabaja por reflexin en su base: a) Calcular el ngulo de incidencia para que la desviacin producida sea de 1800. b) Para dicho ngulo de incidencia, qu ndice de refraccin debe tener como mnimo el prisma para que no sea necesario espejar la base?. c) Con este ndice, calcular las desviaciones producidas para ngulos de incidencia de 600 y 800. (La direccin de incidencia es siempre hacia la base del prisma).

a) Clculo del ngulo de incidencia.La desviacin total es la suma de las desviaciones sufridas por el rayo en el interior del prisma:

= 1 + 2 + 3 = (g1 - gr) + (180 - 2.g2) + (gr - g3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) 1 3Calcularemos cada uno de estos ngulos. Por ser un tringulo issceles: + 2. = 180

= (180 - )/2 = (180 - 40)/2 = 700En la fig. a, en el tringulo sombreado de la izquierda es:

gr + g2 = 1y en el de la derecha: g3 + g2 = De la comparacin de ambas se deduce que:

gr = g3 1por lo que, segn la ley de Snell, tambin ha de ser: g1 = gr 3 e introduciendo estos valores en la expresin (1) de la desviacin:

= (g1 - gr) + (180 - 2.g2) + (g1 - gr) = 1800 1 12.g1 - 2.(gr + g2) = 0 1 y como

gr + g2 = , queda: 1 g1 = = 700

De este resultado se deduce que los ngulos g1 y tienen sus lados perpendiculares, lo que requiere que el rayo incidente sea perpendicular a la base del prisma. Como, segn el enunciado, la desviacin ha de ser de 1800, el rayo emergente del prisma ha de ser tambin perpendicular a su base. Por ello, la marcha del rayo dibujada en la fig. a. no responde a las exigencias del problema mientras que s lo hace la de la fig. b.

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V-39

b. Clculo del ndice de refraccin.Si el ndice del prisma fuera igual al del aire (n = 1), el rayo incidente no se desviara (fig. c). A medida que fuera aumentando el ndice del prisma (n2, n3,..), segn la ley de Snell el rayo sufrira una mayor desviacin hasta que, para un determinado valor del ndice del prisma (nL), el rayo emergera tangente a la base. En ese momento el ngulo de incidencia a la base sera el ngulo lmite gL. Para valores de n mayores que nL se producira reflexin total en la base y no sera necesario espejarla. Calcularemos nL.

gL + gr = 1

Y

gL = - gr 1

Y

sen gL = 1/nL = sen ( - gr) = sen .cos gr - cos .sen gr 1 1 1

1 ' sen . 1 & sen2g)1 & cos .sen g)1 nLy teniendo en cuenta que sen gr = (sen g1)/nL, al sustituir 1 y operar queda:

sen . nL2 & sen 2g1 & cos .sen g1 ' 1y como, segn se ha visto, es

g1 = = 700, queda:

sen 70 . nL2 & sen 270 & cos 70 .sen 70 ' 1 nL2 & sen 270 ' 1,41c. Clculo de la desviacin para g1 = 600 y para g1 = 800.Para este valor de n = 1,69 el ngulo lmite es: sen gL 1/n = 1/1,69

Y

nL ' 1,69

Y

gL = 36,250

Para conocer si en la base se produce reflexin total hemos de calcular g2 para ambos casos: sen gr = (sen g1)/n 1 para g1 = 600: para g1 = 800: y como: para para

gr = 30,80 1 gr = 35,60 1

gr + g2 = Y g2 = - gr = 70 - gr 1 1 1 g2 = 39,200 g2 = 34,390

g1 = 600: g1 = 800:

resultados de los que se deduce que para un ngulo de incidencia g1 de 600 si que se produce reflexin total en la base por ser g2 > gL, mientras que no se produce tal reflexin para g1 = 800 por ser, en este caso, g2 < gL. Dado que para g1 = 600 se produce reflexin total, la desviacin se calcula mediante la expresin (1), teniendo en cuenta que, segn se ha visto, en este caso es: gr = g3 y g1 = gr: 1 3

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V-40

60 = (g1 - gr) + (180 - 2.g2) + (gr - g3) = 2.g1 - 2.(gr + g2) + 180 = 2.g1 - 2. + 180 1 3 160 = 2.(60) - 2.(70) + 180 = + 1600 (sentido antihorario) Para g1 = 800 la desviacin es (ver fig. d):

80 = 1 + 2 = (g1 - gr) + (gr - g2) = g1 + gr - (gr + g2) = g1 + gr - 1 2 2 1 2expresin en la que son conocidos todos los valores excepto

gr, que pasamos a calcular. En el punto B: 2Y

sen gr = n.sen g2 = 1,62.sen 34,39 = 0,96 2 quedando la desviacin:

gr = 72,800 2

80 = 80 + 72,80 - 70 = 82,800

25. Si una lmina plano-paralela de espesor 3 mm e ndice 1,52 se coloca delante de unespejo plano y pegada a l, cunto y en qu sentido se desplaza la imagen paraxial de un punto observado en el espejo?Planteamiento del problema.Cuando el objeto O est situado nicamente frente al espejo a una distancia a de l, ste forma una imagen ONequidistante. Cuando se coloca la lmina plano-paralela encima del espejo, los rayos que parten del punto objeto O se refractan en la primera superficie de la lmina dando lugar a la imagen O'1 que, a su vez, hace de objeto para el espejo, que forma una imagen, equidistante del espejo, en O. Esta imagen O acta como objeto en la refraccin 2 2 que sufren los rayos reflejados al salir de la lmina ya que todo sucede como si stos proviniesen de O, formndose 2 en esta refraccin la imagen final O. El desplazamiento pedido por el problema es la distancia entre la imagen 3 ON que forma slo el espejo y la imagen final O formada por el espejo y la lmina. 3 De la figura se deduce que: = ONO = 2.a - x 3 siendo:

a = (s1 + e)

y

x = OO = s1 + s 3 3

quedando la desviacin:

= 2 (s1 + e) - (s1 + s) = s1 + 2 e - s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) 3 3

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V-41

Clculo de s. 3Por ser una imagen formada por un dioptrio plano:

n/s3 = 1/s 3Clculo de s3 :

Y s = s3/n 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

s3 = s + e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) 2Clculo de s. 2Por ser una imagen formada por un espejo plano:

s = s2 = s' + e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4) 2 1Clculo de s'. 1Por ser una imagen formada por un dioptrio plano:

1/s1 = n/s' 1Sustituyendo (5) en (4): y llevando este valor a la (3): por ltimo, sustituyendo en (2): Quedando la desviacin:

Y s'1 = n.s1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

s = n.s1 + e 2 s3 = n.s1 + e + e = n.s1 + 2.e

s3 =

2e ns1 + 2e = s1 + n n2e 2e 1 ) = 2e = 2e 1 n n n

= s1 + 2e s3 = s1 + 2e ( s1 +

= 2.3 1

1 = 2 ,05 mm 152 ,

resultado del que se deduce que la desviacin es independiente de la posicin inicial (a) del objeto.

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V-42

26. Dado el prisma de la figura, calcular el desplazamiento que produce en la imagen y elespesor de la lmina equivalente reducida. Datos: n = 1,5 ; a = 5 cm ; b = 2,5 cm. Se supone que se trabaja en zona paraxial.

El desplazamiento que produce un prisma sobre la imagen de un objeto es el mismo que producira su lmina plano-paralela equivalente. Este desplazamiento viene dado por la expresin:

' e. 1 &

1 n

' e &

e ' e & er n

en la que e es el espesor de la lmina equivalente, es decir, el espesor de una lmina plano-paralela en la que la luz recorriera el mismo camino ptico que en el prisma y er es su espesor reducido. De la figura se deduce que el espesor de la lmina equivalente es: e = AB + BC + CD y como: queda: siendo: AB + CD = c y BC = b

e=b+c

a2 ' c2 % c2

Y

c '

a2

'

5 2

' 3,54 cm

por lo que el espesor de la lmina equivalente queda:

e = b + c = 2,5 + 3,54 = 6,04 cmy el desplazamiento de la imagen:

' e. 1 &siendo el espesor reducido:

1 n

' 6,04. 1 &

1 1,5

' 2,01 cm

er = e/n = 6,04/1,5 = 4,03 cm.

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V-43

27. Dado un prisma issceles de ngulo 30o y base 5 cm, calcular el camino ptico recorrido,dentro del prisma, por un rayo que incide en l a una altura de 2 cm y con un ngulo de 10o. El ndice del prisma es n = 1,5 y est en aire.

PLANTEAMIENTO. El camino ptico recorrido por el rayo en el interior del prisma, si no se produce reflexin total en el punto C, es: L = n.BC siendo n el ndice del prisma y BC el segmento indicado en la figura. Para el clculo de BC, por aplicacin del teorema de los senos en el tringulo ABC, es preciso calcular y AB ya que: AB/sen = BC/sen ; BC = AB.sen / sen a. CLCULO DE . = 90 - g2 y como = g'1 + g2 queda: = 90 - ( - g'1) En el punto B se cumple: sen g'1 = (sen g1)/n sen g'1 = (sen 10)/1,5

g' = 6,65o 1

con lo que: = 90 - (30 - 6,65) = 66,65o En el punto C se producir reflexin total si el ngulo de incidencia g2 es mayor que al ngulo lmite gL: sen gL = nN/n =1/n = 1/1,5 = 0,67 gL = 41,8 y: y como

g2 + g'1 =

Y

g2 = - g'1 = 23,35o

g2 < gL en el punto C no se produce reflexin total.

b. CLCULO DE AB. De la figura se deduce que: AB = AD - BD. Adems, en el tringulo ADF: AD = DF / cos por lo que: y en el tringulo BDE: con lo que AB queda: y el segmento BC: siendo: = (180 - ) / 2 = 75o

AD = 2,5 / cos 75 = 9,66 cm BD = h / sen = 2 / sen 75 = 2,07 cm AB = 9,66 - 2,07 = 7,59 cm BC = AB.sen / sen = 7,59.sen 30 / sen 66,65 = 4,13 cm

c. CLCULO DEL CAMINO PTICO: L = n.BC = 1,5.(4,13) = 6,20 cm

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V-44

28. Qu ndice de refraccin debe tener un prisma de Porro simple para que funcione comotal? Razonar la respuesta.

El rayo incidente, al alcanzar la primera superficie del prisma, no sufre desviacin por incidir perpendicularmente a ella. Por ser este prisma issceles-rectngulo el ngulo g de incidencia a la segunda cara es de 450 y para que funcione como tal prisma de Porro ha de sufrir reflexin total en esta cara, por lo que, si llamamos L al ngulo lmite, ha de ser: L#g o lo que es lo mismo, el valor ms grande que puede tomar L para que se produzca la reflexin total es g. Calcularemos a continuacin el valor que debe tener n cuando L toma su valor mximo, es decir, cuando: L = g = 450 sen L = n'/n = 1/n n = 1/sen L = 1/sen 45 = 1,41 y puesto que existe proporcionalidad inversa entre n y L, del resultado obtenido se deduce que si n > 1,41 ser L < 450 y se producir reflexin total, tanto en la segunda como en la tercera superficie, emergiendo el rayo paralelamente a s mismo.

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V-45

29. Sean dos prismas delgados de ndices B16-64 y 583:320. Calcular la relacin que debehaber entre los ngulos de los dos prismas para que la combinacin sea: a) acromtica, b) de visin directa. En este segundo caso, calcular as mismo la dispersin cromtica en funcin del ngulo del segundo prisma.

a. Valor de los ndices de refraccin y nmeros de Abbe. De la notacin empleada en el enunciado se deduce que (ver pg. I-2): n1 = n1D = 1,516 n2 = n2D = 1,583

1 = 64 2 = 32

siendo n1D y n2D los ndices de los prismas para la lnea amarilla y 1 y 2 sus respectivos nmeros de Abbe. b. Sistema acromtico.

fig. 1

La condicin de acromatismo para una combinacin de dos prismas delgados es:

&

2 1

'

(n1D&1).2 (n2D&1).1

y sustituyendo los valores del apartado a. queda:

&

2 1

'

(1,516 & 1).32 ' 0,44 (1,583 & 1).642 = - 0,44.1

expresin en la que el signo menos indica que los prismas han de estar acoplados con sus vrtices en oposicin (fig. 1), es decir, uno invertido respecto del otro.

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V-46

b. Sistema de visin directa La condicin para que dos prismas delgados constituyan una combinacin de visin directa es (ver pg. V-6): - 2/1 = (n1D-1) / (n2D-1) - 2/1 = (1,516-1) / (1,583-1) - 2 / 1 = 0,88

Y

1 = - 1,13.2

c. Clculo de la dispersin cromtica en funcin de 2. La dispersin cromtica viene medida por el ngulo que forman las lneas C (roja) y F (azul) despus de abandonar la combinacin de prismas (fig.1). Puesto que en las combinaciones de visin directa la lnea D emerge paralela al rayo incidente, la lnea C sufre una desviacin C "hacia arriba" mientras que la lnea F sufre una desviacin F "hacia abajo", de manera que, teniendo en cuenta el convenio de signos para ngulos (positivos en sentido antihorario y negativos en sentido horario), se puede escribir que (ver fig.2): - = C + (-F) ; = F - C Recordando que la desviacin producida por un prisma delgado viene dada por la expresin: = (n-1) aplicndola a la desviacin producida por ambos prismas sobre cada color queda: C = 1C + 2C = 1(n1C-1) + 2(n2C-1) F = 1F + 2F = 1(n1F-1) + 2(n2F-1) y llevando estos valores a la expresin de , y sustituyendo el valor de 1 calculado en el apartado anterior queda, despus de operar:

fig. 2

= 2.[ (n2F - n2C) - 1,13(n1F - n1C) ] expresin en la que ninguno de los ndices que aparecen en ella es conocido. Sin embargo es posible calcular las diferencias de ndices que aparecen en ella recordando que el nmero de Abbe es:

= (nD - 1) / (nF - nC)y aplicndola a cada uno de los prismas:

1 = (n1D-1) / (n1F- n1C) 2 = (n2D-1) / (n2F- n2C)

; ;

(n1F- n1C) = (n1D-1) / 1 = (1,516-1) / 64 = 0,0081 (n2F- n2C) = (n2D-1) / 2 = (1,583-1) / 32 = 0,0182

Por ltimo, sustituyendo estos valores de las diferencias de ndices queda: = 2.[ 0,0182 -1,13.(0,0081) ] = 0,0091.2 rad. siendo la dispersin angular pedida.

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V-47

30. En una lmina planoparalela de ndice n2 rodeada por medios de ndices n1 y n3, qurelacin debe existir entre los ndices y el ngulo de incidencia para que exista reflexin total en la segunda cara de la lmina?

Se trata de encontrar la forma de la funcin:

g = f (n1,n2,n3)para que se produzca reflexin total en la superficie que separa los medios de ndices n2 y n3.

Para que en esta superficie se produzca la reflexin total deseada ha de ser (ver figura):

g' $ gLsiendo g' el ngulo de incidencia a la superficie (n2,n3) y gL el ngulo lmite correspondiente a estos dos medios, es decir, el valor "frontera" a partir del cual se produce la reflexin total. Calculamos el valor de g para el cual g' toma el valor "frontera" gL: n1.sen g = n2.sen g' y como: al sustituir queda: y por ltimo: sen g' = sen gL = n3/n2 n1.sen g = n2 .n3/n2 = n3 sen g = n3/n1

De este resultado y del razonamiento anterior se deduce que se producir reflexin total en la segunda cara de la lmina si: sen g $ n3/n1 Obsrvese, adems, que el ngulo de incidencia g necesario es independiente del propio ndice n2 de la lmina, aunque para que se produzca la reflexin total pedida es preciso que n2 sea mayor que n3.

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V-48

31. Calcular el desplazamiento axial que producen dos lminas planoparalelas de ndices n1 = 1,5 y n2 = 1,7 , de espesores 3 y 5 mm, colocadas en contacto, sobre un objeto situado en la primera cara de la primera lmina.

El desplazamiento axial es la distancia OO = d , siendo O el punto objeto y O el punto imagen formado por 2 2 el sistema.

a. Posicin de la imagen O' formada en la primera refraccin. 1 La luz procedente del objeto O, al pasar desde el medio n1 al n2 sufre una refraccin en los puntos A. Por ser plana la superficie que separa ambos medios la posicin de la imagen O' viene dada por la expresin: 1 n / s1 = n' / s'1 en la que: s1 = e1 = 3 mm. ; n = n1 = 1,5 ; n'= n2 = 1,7 s'= 3.(1,7)/1,5 = 3,4 mm 1

y sustituyendo queda:

b. Posicin de la imagen final Oformada en la segunda refraccin. 2 La imagen O'1 formada en la primera refraccin acta como objeto real en la segunda refraccin, es decir, para la ltima superficie (puntos B) todo sucede como si los rayos procedieran de un punto objeto O'1: s= s2.n'/n 2 en la que: s2 = e2 + s'1= 5 + 3,4 = 8,4 mm n = n2 = 1,7 por lo que al sustituir queda: c. Clculo del desplazamiento axial. d = (e1+e2) - s = (5 + 3) - 4,94 = 3,06 mm 2 ; n'= n3 = 1

s = 8,4/1,7 = 4,94 mm 2

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V-49

32. Dada la combinacin de prismas de la figura, calcular el ngulo que forman el rayoincidente de la figura y el emergente.

Por incidir perpendicularmente a ella, el rayo incidente no se desva al alcanzar la primera superficie incidiendo sobre la segunda (punto A) con un ngulo g1 = 60o. Por aplicacin de la ley de Snell se obtiene el ngulo de refraccin g'1: n1.sen g1 = n2.sen g1 ; 1,7.sen 60 = 1,4.sen g1 ' ' sen g'1 = 1,05 !! y como el seno de un ngulo ha de ser menor o igual que la unidad, de este resultado se deduce que en el punto A no hay refraccin sino que se produce reflexin total, por lo que g'1 = g1 = 60o. Despus de sufrir la reflexin en A, el rayo se dirige hacia un punto B de la cara superior, incidiendo con un ngulo g2 que pasamos a calcular: = 90 - 60 = 30o

= 180 - 60 = 120oy en el tringulo ABC es:

g2 = 180 - - = 30oCalculamos el ngulo de refraccin g'2 en el punto B:

n1.sen g2 = 1.sen g'2

1,7.sen 30 = sen g'2

g'2 = 58,21oEl ngulo que forman el rayo emergente por el punto B y el incidente en A es (ver figura): = 90 - g'2 = 90 - 58,21 = 31,79o

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V-50

33. Una vasija contiene dos lquidos no miscibles, el ms denso de espesor d1 e ndice n1 y elmenos denso de ndice n2. Calcular el espesor d2 de este segundo lquido para que un objeto situado en el fondo de la vasija se vea justamente en la superficie de separacin entre los dos lquidos.

PLANTEAMIENTO. El rayo emergente del punto O sufre una primera refraccin en la superficie que separa ambos medios dando lugar a la imagen O. Esta imagen acta como objeto para la superficie que separa al segundo medio del aire 1 formndose, en la segunda refraccin, la imagen final O'. En ambos casos la posicin de la imagen viene dada por 2 la expresin general: n/s = n/s 1. Clculo de la posicin de la primera imagen O . 1 Puesto que esta imagen se forma al pasar la luz desde el medio de ndice n1 al de n2, en la expresin general es: n = n1 s = s1 ; n= n2 ; s= s 1

y al sustituir estos valores en la expresin general queda:

s1 = s1

n2 n = d1 2 n1 n1

2. Clculo de la posicin de la segunda imagen O' . 2 La posicin s2 de la imagen O referida a la segunda superficie en contacto con el aire es: 1

s2 = s1 + d 2 = d1

n2 + d2 n1

y al sustituir en la expresin general, teniendo en cuenta que ahora n = n2 y n= 1 y que, segn el enunciado, la imagen ha de formarse en la superficie de separacin de ambos medios, queda:

s2 =

s2 = d2 n2

Por ltimo, sustituyendo s2 por su valor y operando, queda:

d2 % d1 d2 ' n2

n2 n1 ; d2 ' n2.d1 n1(n2&1)

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V-51

34. Determinar la ecuacin general que nos da el ngulo de refringencia de un prisma enfuncin del ngulo de incidencia, de forma que el rayo emergente es perpendicular a la primera cara del prisma. Se suponen conocidos el ndice del prisma y el ngulo de incidencia. Comprobar el resultado para el caso de un prisma de ndice 1,4 y un ngulo de incidencia de 60o.

El ngulo g'2 con que emerge el rayo por la segunda cara del prisma es igual al ngulo refringente del prisma por tener sus lados perpendiculares, por lo que aplicando la ley de Snell a la refraccin en esta cara: n.sen g2 = sen g'2 = sen y como

g + g2 = , al sustituir queda: 1n.sen ( - g) = sen 1

y desarrollando el seno de la diferencia: n.sen .cos g - n.cos .sen g = sen 1 1 Teniendo en cuenta que en la primera refraccin es: sen g1 = n.sen g 1 al sustituir y poner el coseno de g en funcin del seno queda: 1

n.sen . 1 & sen 2 g)1 & sen g1.cos ' sen sen . n 2 & sen 2 g1 & sen g1.cos ' sen

y dividiendo por cos :

tg . n 2 & sen 2 g1 & sen g1 ' tg sen g1 n 2 & sen 2 g1 &1

de donde:

tg '

Para

g1 = 60o y n = 1,4 queda:tg = 8,63 ; = 83,4o

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V-52

35. Una lmina plano-paralela de hielo (n = 1,31) tiene un espesor de 1 cm. Dnde habrque colocar un punto objeto para que se vea justamente en el centro de la lmina?Resolveremos este problema aplicando rigurosamente el convenio de signos, aunque no es preciso en el caso de dioptrios planos y lminas, tal como se ha visto en problemas anteriores. El desplazamiento axial d (distancia entre el objeto O y la imagen final O) que produce una lmina planoparalela es: d = e(1 - 1/n) Si el objeto O est a una distancia s = VO de la primera cara de la lmina, como la imagen final O se ha de formar, segn el enunciado, a una distancia e/2, el desplazamiento es: d = OO = OV + VO= - s + (e/2) e igualando ambas expresiones: e(1 - 1/n) = - s + (e/2) s = e/2 - e(1 - 1/n) = e(1/n - 1/2) s = 1.(1/1,31 - 1/2) = + 0,263 cm resultado del que se deduce, por el signo positivo de la distancia s, que el objeto es virtual y estara situado en el interior de la lmina a 0,263 cm a la derecha de V. Otra forma de resolver el problema: puesto que se conoce la posicin de la imagen final O (s = - 0,5 cm), formada 2 2 por la cara derecha de la lmina, la posicin s2 = VO'1 de su objeto O'1 es: n/s = n'/s' ; n2/s2 = n3/s'2 s2 = s.n2/n3 = (-0,5)1,31/1 = - 0,655 cm 2 Al ser O'1 la imagen que forma la primera cara de la lmina del objeto O, se cumple que: n1/s1 = n2/s'1 y como: e = VVN = VO'1 + O'1VN = s'1 - s2 s'1 = e + s2 = 1 + (-0,655) s'1 = + 0,345 cm al sustituir queda: s1= (0,345)/1,31 = + 0,263 cm

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V-53

36. Sean dos prismas delgados de vidrios D48-48 y C70-47. Si el primero tiene un ngulo de5o, cul debe ser el ngulo del segundo prisma para que la combinacin sea acromtica? Si se invierte la posicin del segundo prisma, cul ser entonces la dispersin cromtica que producen?

1) De los datos del enunciado se deduce que el ndice de refraccin para la lnea D y el nmero de Abbe de cada uno de los prismas es: n1D = 1,748 ; 1 = 48 n2D = 1,670 ; 2 = 47 La condicin para que una combinacin de prismas sea acromtica es:

&por lo que despejando 2 y sustituyendo queda:

2 1

'

(n1D&1).2 (n2D&1).1

& 2 ' 5.

(1,748&1).47 ' 5,47 (1,670&1).48

2 ' & 5,47o

resultado del que se deduce, por el signo negativo de 2, que el segundo prisma ha de tener su arista invertida respecto del primero. 2) La dispersin cromtica producida viene dada por el ngulo que forman las lneas C (roja) y F (azul) emergentes de la combinacin de prismas. De la figura se deduce que este ngulo es la diferencia entre las desviaciones sufridas por ambos rayos: = F - C siendo: C = 1C + 2C = 1(n1C-1) + 2(n2C-1) F = 1F + 2F = 1(n1F-1) + 2(n2F-1) y sustituyendo: = 1(n1F - n1C) + 2(n2F - n2C) por ltimo, teniendo en cuenta que el nmero de Abbe es:

= (nD-1) / (nF - nC)al operar queda: = 1(n1D-1) / 1 + 2(n2D-1) / 2 = 5(1,748 - 1) / 48 + 5,47(1,670 - 1) / 47 = 0,156o en la que, ahora, 2 entra con signo positivo por estar colocado el segundo prisma con su arista "hacia arriba", segn el enunciado.

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V-54

37. Un prisma equiltero de 3 cm de lado e ndice de refraccin 1,7, est inmerso en un cubode 5 cm de lado e ndice de refraccin 1,5 tal y como se muestra en la figura. Calcular la desviacin del rayo emergente con respecto al incidente indicado en la figura, si todo el cubo est inmerso en aire.

np = 1,7 nc = 1,5 = 60o El ngulo de incidencia g1 es igual al ngulo inferior izquierdo del prisma por tener sus lados perpendiculares. Como se trata de un prisma equiltero es g1 = = 60o. a. Clculo de g'1. En el punto A: nc.sen g1 = np.sen g'1

sen g'1 = (nC.sen g1) / nP = (1,5.sen 60) / 1,7 = 0,764 b. Clculo de g2. En el tringulo ABD: = g'1 + g2

Y

g'1 = 49,83o

+ (90 - g'1) + (90 - g2) = 180

Y

g2 = - g'1 = 60 - 49,83o = 10,17oc. Clculo de g'2. En el punto B: np.sen g2 = nc.sen g'2

sen g'2 = (np.sen g2) / nc = (1,7.sen 10,17) / 1,5 sen g'2 = 0,200 d. Clculo de g'3. En el punto C: y como nc.sen g3 = sen g'3

Y g'2 = 11,54o

g3 = g'2 queda:sen g'3 = 1,5.sen 11,54 = 0,300

g'3 = 17,47oy como este ngulo es precisamente el que forma el rayo incidente con el emergente, la desviacin es = + 17,47o ,es decir, 17,47o en el sentido antihorario.

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V-55

38. Dado un prisma equiltero de 5 cm de lado, con la base y la cara posterior espejadas (talcomo se indica en la figura), calcular el ndice de refraccin del prisma para que un rayo incidente a una altura de 3 cm, paralelo a la base del prisma, emerja de la primera cara formando un ngulo de 600 con la normal.

Aplicando la ley de Snell en los puntos A y F: sen 30 = n.sen g'1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) sen 60 = n.sen g4 = cos 30 y dividiendo ambas expresiones: tg 30 = sen g'1/sen g4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) En el tringulo ABC, por estar formado por las normales a las caras que delimitan el ngulo , es:

g'1 + g2 = = 60y por la misma razn, respecto de los ngulos y : en el tringulo BCD:

g2 + g3 = = 60en el tringulo DEF:

g3 + g4 = = 60relaciones de las que se deduce que:

g4 = 60 - g'1y sustituyendo este valor en la expresin (2):

tg 30 '

sen g1 sen(60 &) g1)

)

'

sen g1 sen 60.cos) g1

)

& cos 60.sen

) g1

'

1

sen 60 tg g1)

& cos60

de donde:

tg g'1 = 0,39

Y

g'1 = 21,210

Por ltimo, llevando este valor a la expresin (1) queda: n = 1,38

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V-56

39. Se tiene un prisma issceles de ngulo e ndice n en aire. Calcular n y si, un rayo queincide en la primera cara en direccin perpendicular a la base del prisma, est en condiciones de desviacin mnima y otro rayo que incide tambin en la primera cara en direccin paralela a la base del prisma, sale de la primera cara con un ngulo g1 = 9,4O. ' Calcular para estos dos rayos la potencia prismtica.

a. Clculo de y de n. El ngulo con que el rayo -