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MAESTRÍA EN BANCA VALORES Y SEGUROS( 2DA EDICIÓN – 2DA VERSIÓN )Msc Jorge Mario Jimenez Aviles
10 de 2011Santa Cruz - Bolivia
PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADISTICA
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
TEMA 5
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
El azar resulta en principio algo que engloba una serie de causas complejas que renunciamos a determinar y estudiar en detalles por difíciles de precisar, porque desconocemos
LA PROBABILIDAD CON MEDIDA NUMERICA DE LA POSIBILIDAD DE OCURRENCIA
POSIBILIDAD CRECIENTE DE OCURRENCIA
Probabilidad
0 10,5
La ocurrencia del evento es igualmente probable que improbable
EXPERIMIENTOS Y EL ESPACIO MUESTRAL
CUANDO HAYAMOS DEFINIDO TODOS LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES POSIBLES, HABREMOS IDENTIFICADO EL
ESPACIO MUESTRA
Experimento aleatorio
Aquellos fenómenos con las siguientes propiedades:
a. No se conoce a priori el resultado
b. Se conocen todos los resultados posibles.
c. Se lo puede repetir bajo las mismas condiciones.
Espacio Muestral
Se denomina al conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio.
Se lo nota con la letra S.
Se tiran dos monedas:
S = {(C,C);(C,+);(+,C);(+, +)}
Eventos
Cada subconjunto del espacio muestral (del conjunto de resultados) se denomina evento.
Si el evento consta de un solo elemento de S se lo denomina evento elemental o punto muestral.
Si consta de más elementos recibe el nombre de evento compuesto.
S se lo llama evento seguro
Al evento que no contiene ningún punto muestral se lo llama evento imposible (Ø).
Función de probabilidad
Para una variable discreta es una función que cumple con:
p(x)>=0
Σx p(x)=1
Definición de probabilidad
Supongamos tener un s con un numero finito de eventos simples, igualmente posibles.
Llamaremos probabilidad de un evento A al cociente entre el número de eventos simples contenidos en A sobre el número total de eventos simples.
P(A) = n
nA
n
nA
METODOS PARA DETERMINAR PROBABILIDADES
METODO CLASICOMETODO DE FRECUENCIA
RELATIVAMETODO SUBJETIVO
METODO CLASICO
CUANDO COMO BASE PARA ASIGNAR LAS PROBABILIDADES SE UTILIZA LA SUPOSICION DE UN RESULTADO CON IGUAL POSIBILIDAD, EL PROCEDIMIENTO SE CONOCE COMO METODO CLASICO.EL METODO CLASICO ASIGNARA UNA PROBABILIDAD DE 1/n A CADA RESULTADO EXPERIMENTAL
EjemploConsideremos el experimento de arrojar dos dados:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
ESPACIO
MUESTRAL
Sea el evento A={sacar un total de 8 puntos}.
Numero de eventos simples que están contenidos en A:
(6,2); (5,3); (4,4); (3,5);(2,6). Y el numero total de eventos elementales:
36.
365)( AP 13.9%
Frecuencia relativa
Podemos encarar entonces dos tipos de problemas:
a. Cuando se conoce la probabilidad de un fenómeno, tenemos un valor guía de la frecuencia relativa que debemos esperar al aumentar el numero de experiencias.
b. Cuando no conocemos la probabilidad, y la experiencia es grande, podemos tomar la frecuencia relativa como un valor aproximado de la probabilidad.
% FRECUENCIA LANZAR DOS DADOS
frec uenc ia 254
05
10152025303540
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
frecuencia 60
0
2
4
6
8
10
12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
frecuencia 30
0
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
numerofrec uenc ia
254frec uenc ia
60frec uenc ia 30
% F R E C 254
% F R E C 60 % F R E C 30
2 7 3 3 3% 5% 10%3 14 2 1 6% 3% 3%4 15 2 1 6% 3% 3%5 30 6 4 12% 10% 13%6 40 9 6 16% 15% 20%7 48 10 6 19% 17% 20%8 31 7 3 12% 12% 10%9 34 9 2 13% 15% 7%10 23 7 3 9% 12% 10%11 9 4 1 4% 7% 3%12 3 1 0 1% 2% 0%
254 60 30 100% 100% 100%
METODO SUBJETIVO
METODO CLASICO Y DE FRECUENCIA RELATIVA NO PUEDE APLICARSE EN TODAS LAS SITUACIONES DONDE SE DESEA ASIGNAR PROBABILIDADES
METODO SUBJETIVO
EN EL METODO SUBJETIVO DE ASIGNAR PROBABILIDADES PODEMOS UTILIZAR CUALQUIER DATO DISPONIBLE ADEMAS DE NUESTRA EXPERIENCIA E INTUICION
DEBEN CUMPLIR:
p(x)>=0
Σx p(x)=1
RELACIONES DE PROBABILIDAD BASICAS
• COMPLEMENTO DE UN EVENTO
• LEY ADITIVA– EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
• PROBABILIDAD CONDICIONAL
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
PARA UN EVENTO A, EL COMPLEMENTO DEL EVENTO A ES AQUEL EVENTO QUE CONTIENE TODOS LOS PUNTOS MUESTRALES NO EXISTENTES EN A. EL COMPLEMENTO DE A SE IDENTIFICA COMO A’
P(A’) = 1 - P(A)
E espacio muestral
E espacio muestral
A
E espacio muestral
A
A’
LEY ADITIVA
PARA DOS EVENTOS A y B, LA UNION DE LOS EVENTOS A y B ES AQUEL EVENTO QUE CONTIENE TODOS LOS PUNTOS MUESTRALES EXISTENTES a A o a B o a AMBOS
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A B)
E espacio muestral
A
B
E espacio muestral
A
B
UNIÓN
E espacio muestral
E espacio muestral
A
B
INTERSEC.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
E espacio muestral
100%
E espacio muestral
B
A
SE DICE QUE DOS O MAS EVENTOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES SI LOS EVENTOS NO TIENEN NINGUN PUNTO MUESTRAL EN COMUN, ESTO ES NO EXISTEN PUNTOS MUESTRALES EN LA INTERSECCION DE LOS EVENTOS
PARA EL CASO DE DOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES LA LEY ADITIVA SE CONVIERTE EN:
P(AUB)=P(A)+P(B)
TODA VEZ QUE P(A B) = 0
PROBABILIDAD CONDICIONAL
• Llamaremos probabilidad condicional P(B/A), a la
probabilidad de B habiendo ocurrido A. • Como se sabe que A ha ocurrido, ella se vuelve el nuevo
espacio muestral, reemplazando el S original
)/()()(
)(
)()/(
ABPAPBAP
AP
BAPABP
Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
AULA
Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
MUJERES
70%
HOMB
30%
Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
MUJERES
70%
HOMB
30%
FUMANFUMAN
FUMAN 10% DEL TOTAL 100% DE MUJERES
FUMAN 20% DEL TOTAL DE HOMBRES
Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
MUJERES
70%
HOMB
30%
FUMAN FUMAN10%
90%NO
80%NO
20%
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
= 0,13 =13%
Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
MUJERES
70%
HOMB
30%
FUMAN FUMAN10%
90%NO
80%NO
20%
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
= 0,13 =13%
Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
FUMAN 13%
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
= 0,13 =13%
NO FUMAN 87%
Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
FUMAN 13%
– P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)
NO FUMAN 87%
MUJER HOMB
0,2 x 0,3P(F ∩ H) =
P(H|F) = (0,2 x 0,3)/0,13
= 0,46 = 46%
31
Expresión del problema en forma de arbol
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2
P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)
• Los caminos a través de nodos representan intersecciones.
• Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
• Puedes resolver los problemasusando la técnica de tupreferencia.
32Nombre del Módulo direcció[email protected]
33Nombre del Módulo direcció[email protected]
34Nombre del Módulo direcció[email protected]