Tema 6. ANALISIS DE CIRCUITOS EN REGIMEN … · P GENERADOR P RECEPTOR P Eg I > ... Alternador elemental, suponemos una espira de bobina girando con velocidad angular ωen el interior

Tema 6: ANALISIS DE CIRCUITOS EN REGIMEN Tema 6: ANALISIS DE CIRCUITOS EN REGIMEN PERMANENTEPERMANENTE

6.0 OBJETIVOS6.1 CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA (C.C.)

6.1.1 POTENCIA Y RENDIMIENTO DE FUENTES EN CORRIENTE CONTINUA6.1.2 COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTO PASIVOS BÁSICOS6.1.3 TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN C.C.

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.)6.2.1 ALTERNADOR ELEMENTAL6.2.2 REPRESENTACIÓN DE SENOIDES MEDIANTE NUMEROS COMPLEJOS6.2.3 REPRESENTACIÓN FASORIAL6.2.4 COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS PASIVOS BÁSICOS6.2.5 IMPEDANCIA (Z) Y ADMITANCIA (Y) COMPLEJAS6.2.6 DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS DE UN CIRCUITO6.2.7 POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA6.2.8 FUENTES DE ALIMENTACIÓN EN CORRIENTE ALTERNA6.2.9 TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN C.A.

6.3 BIBLIOGRAFIA

2

• Saber porqué en la actualidad no se genera corriente continua de forma directa.• Conocer la respuesta de los elementos almacenadotes frente a la corriente

continua.• Entender la importancia de las corrientes alternas y sinusoidales.• Saber transformar funciones sinusoidales del dominio del tiempo al de la

frecuencia y viceversa.• Entender el concepto de fasor.• Aprender la notación de Kenelly y su correcta interpretación.• Apreciar el concepto de inmitancia frecuencial.

6.0 OBJETIVOS

3

CONSIDERAMOS QUE UN CIRCUITO ESTA ALIMENTADO EN C.C.. CUANDO:

• EN SU CONFIGURACIÓN COMO FUENTE DE TENSIÓN LA TENSIÓN EN LAS FUENTES TIENE UN VALOR MEDIO CONSTANTE A LO LARGO DEL TIEMPO

• EN SU CONFIGURACIÓN COMO FUENTE DE CORRIENTE, LA CORRIENTE EN LAS FUENTES ES LA QUE LO CUMPLE

EN ESTOS CASOS SE DICE QUE LA CORRIENTE O LA TENSIÓN TIENEN UN VALOR CONSTANTE IGUAL AL VALOR MEDIO Y POR GENERALIZACIÓN SE CONSIDERA QUE LA FORMA GRAFICA DE LAS MISMAS ES UN RECTA PARALELA AL ORIGEN DE TIEMPOS

I

Eg

Ig

U

I

GENERADORP

RECEPTORP

IEP g

⇒>⇒<

⋅=

0

0

GENERADORP

RECEPTORP

UIP g

⇒>⇒<

⋅=

0

0

6.1 CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA (C.C.) (1)6.1.1 POTENCIA Y RENDIMIENTO DE FUENTES EN CORRIENTE CONTINUA

4

I

Eg

Rg

Rg·I

U=Eg- Rg·I

GENERADORP

RECEPTORP

PPIRIE

I)IRE(IUP

DISIPADAGENERADAgg

gg

⇒>⇒<

−=⋅−⋅

=⋅⋅−=⋅=

0

0

2

RENDIMIENTO

IRE

E

IRIE

IE

IIRE

IE

P

P

RECEPTOR

E

IRE

IE

IRIE

IE

IIRE

P

P

GENERADOR

gg

g

gg

g

gg

g

ABSORBIDA

ENTREGADA

g

gg

g

gg

g

gg

GENERADA

⋅+=

⋅+⋅⋅

=⋅⋅+

⋅==

⋅−=

⋅⋅−⋅

=⋅

⋅⋅−==

2

2

)(%

)(%

η

η


5

GENERADORP

RECEPTORP

PPUGUI

U)UGI(IUP

DISIPADAGENERADAgg

gg

⇒>⇒<

−=⋅−⋅

=⋅⋅−=⋅=

0

0

2

UGI

I

UGUI

UI

UUGI

UI

P

P

RECEPTOR

I

UGI

UI

UGUI

UI

UUGI

P

P

GENERADOR

gg

g

gg

g

gg

g

ABSORBIDA

ENTREGADA

g

gg

g

gg

g

gg

GENERADA

⋅+=

⋅+⋅⋅

=⋅⋅+

⋅==

⋅−=

⋅⋅−⋅

=⋅

⋅⋅−==

2

2

)(%

)(%

η

η

RENDIMIENTO


U

I=Ig- Gg·U

IR= Gg·URg

Gg

6

I

U

R

Siempre0

GR

GR

1

R

22

>⋅=⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=

P

UIIUP

UUI

IU

6.1 CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA (C.C.) (4)6.1.2 COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTO PASIVOS BÁSICOS

CI

U

221

0

0

UW

Pt

UI

⋅==

==

C

dd

C

221

0

0

IW

Pt

IU

⋅==

==

L

dd

L

I

U

L

7

Teorema de la mTeorema de la mááxima transferencia de potencia en xima transferencia de potencia en C.CC.C.: .:

Dado un dipolo lineal y activo, mediante este teorema se trata dDado un dipolo lineal y activo, mediante este teorema se trata de determinar el e determinar el valor de la carga sobre la que se transfiere mvalor de la carga sobre la que se transfiere mááxima potencia. Para facilitar los xima potencia. Para facilitar los ccáálculos, como paso previo vamos a sustituir el dipolo lineal y aclculos, como paso previo vamos a sustituir el dipolo lineal y activo por su tivo por su equivalente de equivalente de ThThééveninvenin, para a partir del mismo determinar el valor de , para a partir del mismo determinar el valor de ““RR””sobre la que se disiparsobre la que se disiparáá mmááxima potencia. xima potencia.

∧PR

C.L.A..C.C..

i(ti(t ))11

22

∧PR

i(ti(t ))

22

11RThTh

EEThTh

6.1 CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA (C.C.) (5)6.1.3 TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN C.C.

8

∧PR

i(ti(t ))

22

11RRThTh

EEThTh

( )

0:cuando máxima será

22

22

=

+⋅=

+⋅=⇒

+=

⋅=

dR

dPP

RR

RE

RR

ERP

RR

EI

IRP

ThTh

Th

Th

Th

Th

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) Th

Th

Th

ThTh

Th

ThTh

ThTh

ThTh

Th

Th

ThTh

ThThThThThTh

ThTh

Th

Th

ThThTh

R

E

R

RE

R

RE

RR

RE

RR

REP

R

RRRR

RRRRRRRRRRRRRR

RRRRR

RR

RR

RRRRRE

dR

dP

442

:será potencia dicha de valor ely potencia, máxima e transfierse que el sobre de valor el es Este

0

22202

020

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

222222

24

22

=⋅=⋅=+

⋅=+

⋅=

=⇔=−

⇒−=−⋅⋅−+⋅⋅+==+⋅⋅−+

=+⋅⋅−+∞=+

⇔=+

+⋅⋅−+⋅=

∧

6.1. CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA (C.C.) (6)6.1.3. TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN C.C.

9

En la representación gráfica de P(R) se observa que:

� Valores mayores que el máximo no se obtienen con ninguna resistencia

� El valor máximo solo se consigue para R = RTh

� Los restantes valores se pueden conseguir para valores de resistencia que cumplan R < RTh < R

P

R

P

P=0R=0

P(RP(R))

R1R2R=RTh R��∞

P��0

Pmax

00

00

00

02

→=⇒→∞+

=⇒∞=

=

+⋅=⇒

+=⇒=

PR

EIR

R

EP

R

EIR

Th

Th

Th

Th

Th

Th

6.1 CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA (C.C.) (7)6.1.3 TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN C.C.

10

Alternador elemental, suponemos una espira de bobina girando con velocidad angular ω en el interior de un

campo magnetico ⊥ a su eje y atravesada por un flujo Ф(t) = β · S · cos ω t = Ф0 · cos ω t ,

Por aplicación de la ley de faraday, en bornes de la espira aparecera una fuerza electromotriz de valor:

Si en lugar de una sola espira fueran n espiras girando con una velocidad angular uniforme (ω) la expresión del flujo pasa a ser:

Ф(t) =N · β · S · cos (ωt)

S

N

1122

33

44

55 66

77

88aa

bb

cc

dd i(ti(t ))

e(te(t))

XX

XX’’ωω

BB

i(ti(t ))

( ) ( )tEtBt

tte ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅−== ωωωφ

sensenSNd

)(d)( 0

( ) ( )tEtBt

tte ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅−== ωωωφ

sensenSd

)(d)( 0

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (1)6.2.1 ALTERNADOR ELEMENTAL

11

Teniendo en cuenta que el valor eficaz de una funcion sinusoidal

a(t)= A0· cos(ωt+φ)

viene dado como A=A0/√2 ⇒ a(t)= A√2· cos(ωt+ϕ)

esta función se puede representar en el plano complejo como un vector (A) de modulo A0 que gira en el sentido opuesto a las agujas del reloj con velocidad angular ω idéntica a la de la pulsación angular de la función sinusoidal y que para t = 0 ocupa la posición definida por el ángulo φ(respecto al eje real)

{ } )t((t)a)t(a

)t()t()t(a

ϕϖϕϖϕϖ

+⋅==+⋅++⋅=

cosAReal

senjAcosA

0

00

ωωωω t

ωωωω t1 + ϕϕϕϕ

ωωωω t1

ϕϕϕϕ

A0

EJE EJE IMAGINARIOIMAGINARIO

EJE REALEJE REAL

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA (C.A.) (2)6.2.2 REPRESENTACIÓN DE SENOIDES MEDIANTE NUMEROS COMPLEJOS

12

Si empleamos la notación de Euler para la escritura de números complejos

ejα = cosα + jsenα o bien e-jα = cosα - jsenα

podríamos escribir la expresión de a(t) como

a(t) = A0· e j(ωωωωt+ϕϕϕϕ)= (A0· e Jϕϕϕϕ )· e jωωωωt

Si además tenemos en cuenta que la frecuencia y por tanto la pulsación se mantienen constantes dentro de un mismo sistema de generación , se podría obviar el movimiento ya que si comparamos unos vectores con otros todos se mueven con la misma velocidad y por tanto entre ellos se mantienen estáticos, con e sto y si trabajamos a escala √√√√2 veces mayor, estaremos considerando el vector valor efica z de la funcion sinusoidal

EJE EJE IMAGINARIOIMAGINARIO

EJE REALEJE REAL

ϕϕϕϕA

A”

A’

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (3)6.2.3 REPRESENTACIÓN FASORIAL

13

La representación de a(t) como un vector fijo en el espacio se puede expresar como

Representación trigonométrica

Representación exponencial

Forma binómica

Forma polar

( )ϕϕϕϕ senjcosAsenjAcosA ⋅+⋅=⋅+⋅=A

°∠= ϕAA

ϕjeA ⋅=A

jA"A'+=A

Eje Eje imaginarioimaginario

Eje realEje real

ϕϕϕϕA

A”

A’

( ) ( )

A'A"

arctg

A"A'A

senAA"

cosAA'22

=

+=

⋅=⋅=

ϕϕϕ

y


14

No se debe de confundirla representaciNo se debe de confundirla representaci óón del vector fijo con el valor instantn del vector fijo con el valor instant ááneo neo de la funcide la funci óónn

{ }[ ]tA)t(a ωjeReal ⋅= 2

Introduce el movimientoIntroduce el movimiento

Vector fijoVector fijo

Para una funciPara una funci óón coseno, en una seno seria la parte n coseno, en una seno seria la parte imaginariaimaginaria

Cambio de escala a valores Cambio de escala a valores eficaceseficaces


15

RESISTENCIA (R / G) u(t) = R· i(t)

)t(U

)t(Ii(t)

)t(Uu(t)

IUIU

IU

IU

UI

U

IU

tt

IU

ϕωϕω

ϕω

ϕϕϕϕ

ωω

+⋅⋅=+⋅⋅=

+⋅⋅=

=⋅=

⇒⋅⋅=⋅

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅

cosR

cos

cos

realcampoelEn

ReRe

R

eRe

jj

jj

22

2

22

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (6)6.2.4 COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS PASIVOS BÁSICOS

16

CONDENSADOR ( C )

)2π

(cosC2)(cos2

)(cos2

realcampoelEn2π

C1

eC1

e

eeC1

eeC1

e1jj1

Cj1

eCj

12e2

CD1

e2

)(CD1

d)(C1

)(

2π

jj

2π

jjj2π

j

2π

j

jjj

++⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅=

+⋅⋅=

−=

⋅=⇒⋅⋅=⋅

⇒⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅=⇒

⋅=−=

⋅=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅=⋅=

−

⋅−⋅−

⋅−

∞−∫

UI

U

IU

ttt

t

tUtIi(t)

tUu(t)

Iω

UI

ωU

Iω

UIω

U

Iω

U

Iω

IU

tittitu

I

U

IU

ϕωωϕω

ϕω

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ωωω


17

BOBINA ( L )

)2π

(cosL

2)(cos2

)(cos2

realcampoelEn2π

LeLe

eeLeeLe1j

jω

eLj2e2LDe2

)(LD)(d

L)(

2π

jj

2π

jjj2π

j

2π

j

jjj

−+⋅⋅=+⋅⋅=

+⋅⋅=

+=⋅=

⇒⋅⋅=⋅

⇒⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅=⇒⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅=⋅=

+

⋅⋅⋅

UI

U

IU

ttt

tU

tIi(t)

tUu(t)

IUIU

IUIUILU

IIU

tidt

titu

I

U

IU

ϕωω

ϕω

ϕω

ϕϕω

ω

ωω

ω

ϕϕ

ϕϕ

ωωω


18

Con el termino de impedancia y admitancia nos refer imos a un elemento que nos sirve para simplificar las ecuaciones de los circui tos en corriente alterna, estos elementos se comportan de forma paralela a las resi stencias y nos ligan la tensión y la corriente en corriente alterna de form a que podemos decir:

U = Z·I o bien I= Y·U

jBGsenjcose

jXRsenjcosej

j

+=+==⋅=

+=+==⋅=

°∠

°∠

'Y'YYYY

ZZZZZ

'' ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

DONDE:

� R ⇒⇒⇒⇒ RESISTENCIA (Parte real de una impedancia)

� X ⇒⇒⇒⇒ REACTANCIA (Parte imaginaria de una impedancia)

� G ⇒⇒⇒⇒ CONDUCTANCIA (Parte real de una admitancia)

� B ⇒⇒⇒⇒ SUSCEPTANCIA (Parte imaginaria de una admitancia)

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (9)6.2.5 IMPEDANCIA (Z) Y ADMITANCIA (Y) FRECUENCIAL

19

Relaciones entre Impedancia ( Z) y Admitancia ( Y) complejas

2

2

22

2

2

22

2222

1

1

11

Z

XB

ZZ

X

X

X

X

X

XB

Y

BX

YY

B

B

B

B

B

BX

'Y

ZY

Z

'YB

'YB

'

BY

ZX

ZXXZ

−=

=⇒

−=+−=−⋅

+=+

−=

=⇒

−=+−=−⋅

+=+

−=

=⇒=

⋅=⋅=

⇒=

+=

⋅=⋅=

⇒=

+=

RGjR

RjR

j-RjR

jRjG

GRjG

GjG

j-GjG

jGjR

sen

cosG

Garctg

G

sen

cosR

Rarctg

R

2

2

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (10)6.2.5 IMPEDANCIA (Z) Y ADMITANCIA (Y) COMPLEJAS

20

Aplicación a los elementos pasivos basicos

RESISTENCIARESISTENCIA

BOBINABOBINA

CONDENSADORCONDENSADOR

°∠°∠ =⇒=

==⇒==⇔=⇒

==

⇒= 00

0

11

0GY

BR

GGGR

YRZX

RRRZ

°−∠

°∠

=⇒−==

⇒−==

⇔=⇒==

⇒=

90

90

1101

jj

1

0j

ωLY

ωLB

G

ωLωLY

ωLZωLX

RωLZ

L

L

°∠

°−∠

=⇒==

⇒=

⇔=⇒−==

⇒−==

90

90

0j

1101

jj

1

ωCYωCB

GωCY

ωCZ

ωCX

R

ωCωCZ

C

C

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (11)6.2.5 IMPEDANCIA (Z) Y ADMITANCIA (Y) COMPLEJAS

21

Impedancia de un circuito.-Diagrama vectorial

Por aplicación de la segunda ley de Kirchhoff

eg(t) = u(t) = u R(t) + uL(t) + uC(t)

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (12)6.2.6 DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS DE UN CIRCUITO

eegg(t(t)) uuRR(t(t)) uuLL(t(t)) uuCC(t(t))

i(ti(t ))RR LL CC

u(tu(t ))

22

Por estar en corriente alterna

Eg= U = UR + UL + UC

( )CL

CLg

XXRC

LRC

LR

I

UZUI

CLR

IC

ILIRIXIXIRUE

−+=

−+=−+

==⇒=⋅

−+

=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅==

j1

j1

jj

1jj

1jjjj

ωω

ωω

ωω

ωω


EEgg UURR UULL UUCC

IIRR XXLLXXCC

UU

23

RωC

ωLarctg

ωCωLRZ

ZZ 1

212

−=

−+=⇒∠=

ϕϕ

( )

( )ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

−+⋅⋅=⇒==

+⋅⋅=⇒==

−∠

∠

Ugg

Uggg

ωtZ

Ei(t)

Z

E

Z

UI

ωtEu(t)EEU

U

U

cos2

cos2


24

ϕϕϕϕ

R

jXL -jXC

jXZ -ϕϕϕϕ

R

jXL -jXC

jXZ

Considerando que Considerando que II ==II∠∠∠∠∠∠∠∠00ºº

ϕϕϕϕ

R·I

jXL ·I-jXC ·I

jX ·IZ ·I -ϕϕϕϕ

R ·I

jXL ·I -jXC ·I

jX ·IZ ·I


DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS

DIAGRAMA VECTORIAL

25

Suponemos un circuito de impedancia Z = R+jX= Z∠ϕº al que aplicamos una tensón alterna monofásica en el mismo la tensión y la corriente en forma instantánea vendrán dados por

)(cos2)(cos2 ϕωω −⋅⋅=⋅⋅= tIi(t)etUu(t)

Z

UI =Donde además sabemos que

Si calculamos la potencia instantánea p(t) como el producto de la tensión por la corriente entonces tendremos:

FLUCTUANTEPOTENCIA )2(cos

ACTIVA O REAL MEDIA,POTENCIA )(cos

:donde

)(

)2(cos)(cos)(

)(cos)(cos2)()()(

ϕωϕ

ϕωϕϕωω

−⋅⋅=⋅⋅=

+=−⋅⋅+⋅⋅=

−⋅⋅⋅⋅=⋅=

tIU

IUP

Ptp

tIUIUtp

ttIUtitutp

F

F

P

P

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (16)6.2.7 POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA

26

Si consideramos una impedancia:

Cuando la potencia sea mayor

que cero la impedancia estara

disipando potencia y cuando sea

menor que cero la estará cediendo (devolviendo) al s istema de alimentacion

además la potencia activa p es constante en el tiempo y se corresponde con el valor medio de la potencia instantánea

UI

Z

POSIBLE ES NO 0cos0cos

INDUCTIVO CARACTER 0

RESISTIVO CARACTER 0

CAPACITIVO CARACTER 0

2

π

2

π

0cos0cos

<⇒<⋅⋅=

⇒>⇒=⇒<

⇒≤≤−

>⇒>⋅⋅=

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

IUP

IUP


27

Si calculamos la potencia instantánea p(t) como el producto de la tensión por la corriente entonces tendremos:

( ) ( )

(var) (Q)REACTIVA POTENCIA sen(

(W) (P)ACTIVA POTENCIA cos

CONSIDERARA VAMOS DONDE

2sensen(2cos1cos

sen(2sencos(2coscos

2coscos

⇒⋅⋅⇒⋅⋅

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

=−⋅⋅+⋅⋅=⋅=

)IU

)(IU

)t()IU)t()(IU

))t(IU))t(IU)(IU

)t(IU)(IU)t(i)t(u)t(p

ϕϕ

ωϕωϕϕωϕωϕ

ϕωϕ

La potencia activa es positiva y se consume en los elementos pasivos del circuito, la potencia reactiva se intercambia constantemente entre el circuito y las fuentes de alimentación


28

00sen(sen(

0coscos

=°⋅⋅=⋅⋅=⋅=°⋅⋅=⋅⋅=

)IU)IUQ

IU)(IU)(IUP

ϕϕ

Circuito resistivo puro ϕϕϕϕ = 0º

Circuito reactivo puro ϕϕϕϕ = ±90º

IU)IU)IUQ

)(IU)(IUP

⋅±=°±⋅⋅=⋅⋅==°±⋅⋅=⋅⋅=

09sen(sen(

090coscos

ϕϕ


29

ϕϕϕϕ

R

+jXL-jXC

jXZ

ϕϕϕϕ

R·I= Ucos ϕϕϕϕ

+jXL ·I-jXC ·I

jX ·I =UsenϕϕϕϕZ ·I = U

Diagrama de potencias y concepto de potencia aparente

x x II

Si volvemos aSi volvemos amultiplicar pormultiplicar por

II


30

ϕϕϕϕ

U ·I ·senϕϕϕϕ = Q

U ·I = S

U ·I ·cosϕϕϕϕ = P

A la hipotenusa del triangulo de potencias le llamamos potencia aparente (S) o potencia compleja ya que podemos decir que:

(VA)

(var)

(W)

sen

cos

arctg

j

2

222

S

Q

P

IXSQ

IRSP

P

QQPS

SQPS

⋅=⋅=⋅=⋅=

⇔

=

+=

=+= °∠

ϕϕ

ϕ

ϕ


31

Calculo de la potencia aparente (S) en funcion de la tension e intensidad para ello consideramos

{ }{ } ϕϕω

ω

j-j

0jj

ee2Real

ee2Real

⋅=⇒⋅⋅=

=⋅=⇒⋅⋅=− III)t(i

UUUU)t(ut

t

SIUIUIUIU =⋅=⋅⋅≠⋅⋅=⋅ °∠ϕϕϕ j-j ee

Si multiplicamos tensión por intensidad tendremos

Expresión que no se corresponde con la de la potencia aparente, luego vamos a probar a multiplicar tensión por conjugado de intensidad y tendremos:

SIUIUIU * =⋅=⋅⋅=⋅ °∠ϕϕje


32

FUENTES DE CORRIENTE ALTERNA

Eg U= Eg -Zg·I

ZgI

Zg·I Ig

I= Ig -Yg·U

Yg

Yg·U

U

ECUACIONES EN FUENTES DE CORRIENTE ALTERNA

gg

ggg

ggg

gg

EZ

EYI

IZE

YZ

⋅=⋅=

⋅=

=

1

1

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (23)6.2.8 FUENTES DE ALIMENTACIÓN EN CORRIENTE ALTERNA

33

POTENCIA EN FUENTES DE CORRIENTE ALTERNA

Eg U= Eg -Zg·I

ZgI

Zg·I

100%

RECEPTOR100%

GENERADOR

sen

ADOINDETERMIN 0

RECEPTOR 0

GENERADOR 0

cos

jj **

⋅=⋅=

⋅⋅=

⇒=⇒<⇒>

⇒⋅⋅=

+==⋅=+==⋅= °∠°∠

P

PP

P

IUQ

P

P

P

IUP

QPSIESQPSIUS

G

g

gggg

ηη

ϕ

ϕ

ϕϕ


34

POTENCIA EN FUENTES DE CORRIENTE ALTERNA

100%

RECEPTOR100%

GENERADOR

sen

ADOINDETERMIN 0

RECEPTOR 0

GENERADOR 0

cos

jj **

⋅=⋅=

⋅⋅=

⇒=⇒<⇒>

⇒⋅⋅=

+==⋅=+==⋅= °∠°∠

P

PP

P

IUQ

P

P

P

IUP

QPSIUSQPSIUS

G

g

gggg

ηη

ϕ

ϕ

ϕϕ


Ig

I= Ig -Yg·U

Yg

Yg·U

U

35

Teorema de la máxima transferencia de potencia en C.A. Dado un dipolo lineal y activo, mediante este teorema se trata de determinar el valor de la carga sobre la que se transfiere máxima potencia. Para facilitar los cálculos, como paso previo vamos a sustituir el dipolo lineal y activo por su equivalente de Thévenin, para a partir del mismo determinar el valor de “Z” sobre la que se disipará máxima potencia.

∧PZ

C.L.A.C.A.

I1

2

∧PZ

I

2

1ZTh

ETh

En este caso hay que considerar dos posibilidades

�Máximo libre (no se le impone ninguna condición)

�Máximo condicionado (se le impone alguna condición)

6.2 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA (C.A.) (26)6.2.9 TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN C.A.

36

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )P

XXRR

RE

XXRR

ERP

XXRR

EI

jXRjXR

EI

IRP

ThTh

Th

ThTh

Th

ThTh

Th

ThTh

Th

=+++

⋅

=+++

⋅=⇒

+++=

+++=

⋅=

22

2

22

2

22

22

2

( )

2

2

RR

REP

Th

Th +⋅=

∧PZ

I

2

1ZTh

EThLa potencia será máxima cuando el denominador de la expresión sea mínimo

Máximo libre

El denominador será mínimo cuando X = -XTh, con esta condición la potencia quedara expresada como

Expresión idéntica a la obtenida para corriente continua y por tanto será máxima cuando R = RTh luego la impedancia que consigue la máxima potencia será:

Z= RTh-jXTh o lo que es lo mismo Z= ZTh*


37

Máximo condicionado

Condición: Z = R + jX ; donde R es un valor cte. y X puede ser cualquier valor

( ) ( )

( ) ( )

0d

d

22

2

22

22

2

=→⇒

+++⋅=

+++=

⋅=

∧

X

PP

XXRR

ERP

XXRR

EI

IRP

ThTh

Th

ThTh

Th

∧PZ

I

2

1ZTh

ETh

Se puede decir que la potencia será máxima cuando en la ecuación el denominador sea mínimo, lo cual se cumple para XTh + X = 0, es decir X= -XTh


38

MMááximo condicionadoximo condicionado

CondiciCondici óón: n: ZZ= = ZZ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ donde donde ϕϕϕϕϕϕϕϕ es un valor es un valor ctecte . entonces. entonces

( ) ( )( ) ( )

°∠

∧=⇒=⇒=⇔

⋅++⋅+⋅⋅=⇒

+++⋅=

⋅=

ϕ

ϕϕϕ

ThTh

ThTh

Th

ThTh

Th

ZZZZZ

PP

ZXZR

ZEP

XXRR

ERP

IRP

0d

d

sencos

cos22

2

22

2

2

∧PZ

I

2

1ZTh

ETh


39

MMááximo condicionadoximo condicionado

CondiciCondici óón: n: ZZ = R + = R + jXjX ; donde ; donde XX es un valor es un valor ctecte . y . y RR puede ser cualquier valor, puede ser cualquier valor, este caso puede reducirse al anterior, para ello ag rupamos este caso puede reducirse al anterior, para ello ag rupamos ZZThTh= = RRThTh++jXjXThTh con lacon la XXdede ZZ = R + = R + jXjX , con lo que tendremos una , con lo que tendremos una ZZ’’= = RRThTh++j(Xj(XThTh±±X)X) y la impedancia de carga y la impedancia de carga se reduce a se reduce a RR y se puede estudiar como el caso anterior y se puede estudiar como el caso anterior ZZ= = ZZ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ∠ϕ == RR∠∠∠∠∠∠∠∠00ºº LUEGO, LUEGO, si consideramos el caso anterior, si consideramos el caso anterior, RR==ZZ’’

I

2

1RTh+jXTh

ETh

Z= R±jX

I

2

1RTh+j(XTh ±X)

EThZ= R

( )22 XXRR ThTh ±+=


40

6.3 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a Distancia. Madrid 1990. Tema XIII, XIV y XV.

• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.Capitulo V, lecciones 12, 13 y 14.

• J.W. Nilsson, Circuitos Eléctricos, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington 1995.Capitulo 10 y 11.

• Z. Aginako y otros, Zirkuituen Teoriako 100 Ariketa, Elhuyar, Usurbil 2006.1. atala.

• A. Gómez, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madrid 1990. Capitulo 1 y 5.

• A. Gómez Expósito y otros, Teoría de Circuitos, Ejercicios de autoevaluación, Thomson, Madrid 2005. Capítulo 2 y 3.

• L.I. Eguiluz, Pruebas objetivas de Ingeniería Eléctrica, Alambra, Madrid 1986.Parte 1: C y Parte 1: D.

• P. Sánchez Barrios y otros, Teoría de Circuitos, Pearson Educación, Madrid 2007.Capitulo 1.

• UNE-EN 60059: 2000 Valores normalizados CEI para la intensidad de corriente eléctrica.

• UNE 21302-131. Parte 131: Teoría de Circuitos.

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