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Tema 7 Problemas métricos
1. Plano perpendicular. Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A (-4, 0,-2) y B (0, 3, -1) y es perpendicular al plano
.053: zx
n
A
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para resolver este ejercicio, resolveremos el determinante.
Figura 1.
*Recordamos que para calcular un determinante, pinchamos en la pestaña Matrices y a continuación en el botón
Determinante, indicamos cuántas filas y columnas queremos que tenga, las rellenamos y pulsamos el botón igual.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
2. Punto simétrico. Halla el punto simétrico de P (1, 0, 1) respecto del plano .1: zyx
AB nLos vectores y (vector normal del plano ) y uno de
los puntos A o B determinan el plano que buscamos:
03031190
312
03
144
zyx
z
y
x
Matemáticas II – Tema 7 .
2
Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a :
1
1
)1,1,1(
z
y
x
nd r
)1,0,1(P
),,( zyxP
r
Obtenemos el punto M de corte de r y :
3
2,
3
1,
3
2
3
113111 M
M
El punto que buscamos, ),,,( zyx es simétrico de P respecto del punto M. P
Como M es el punto medio de ,PP se tiene:
2
1,
2,
2
1 zyxP
3
2,
3
1,
3
2
3
1,
3
2,
3
1
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para obtener cada coordenada del punto, tenemos que resolver tres ecuaciones:
Figura 2.
*Para obtener el resultado de una ecuación, pinchamos en Operaciones, luego en Resolver ecuación, rellenamos
los datos y pulsamos igual.
**Para poner una fracción, nos vamos dentro de operaciones y pinchamos en el icono representado por dos
cuadrados y una barra entre ellas.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
3
3. Punto simétrico.
Determina el punto simétrico de A (-3, 1, -7) respecto de la recta siguiente: .2
1
2
3
1
1:
zyxr
Hallamos el plano que contiene a A y es perpendicular a r:
01423022:)2,2,1( kkzyxdn r
0152215 zyxk
r
A
AM
Buscamos el punto de corte de r y : M (-3, -1, -5)
El punto A es simétrico de A respecto de M: )3,3,3
(5,1,32
1
2
3
2
3
A
zyx
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
1. Para resolver este ejercicio, utilizaremos la opción ‘simetría’. Calcularemos el punto simétrico escribiendo
‘simetría’ y entre paréntesis los dos puntos sobre los que queremos calcular el tercero:
Figura 3.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Otra forma de hallar M. M es un punto de r. Sus coordenadas son ( ).21,23,1
El vector AM debe ser perpendicular al vector director de r:
201890)2,2,1(62,22,20 rdAM
Sustituyendo este valor de en r, obtenemos M (-3, -1, -5).
Matemáticas II – Tema 7 .
4
4. Distancia punto-recta.
Halla el punto de cuya distancia al punto P (1, 0, 2) sea
21
3:
z
y
x
r .5
El punto que buscamos, Q, es de la forma )21,3,( por pertenecer a la recta r:
5)221()3()1(),( 222 PQQPdist :
3,2,1106126522131 222 Q
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
1. Resolvemos la ecuación que se nos plantea, sabiendo que para introducir una letra como , sólo tenemos que
pinchar en la pestaña Griego y pinchar en ella:
Figura 4.
*Recordamos que para resolver una ecuación pinchamos en Operaciones y luego en Resolver Sistema. Después
solo tenemos que rellenar ambos miembros de la ecuación.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
5. Distancia entre rectas.
Halla la distancia entre las rectas r y s:
3
1
2
:
z
y
x
r
0
012:
zy
yxs
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
5
Estudiamos la posición de las rectas:
Hallamos )1,1,2()1,1,0()0,2,1( rd ; )1,1,2( rd )1,1,2( sd r y s tienen la misma
dirección. A (0, 1, 3,) sAr r y s son paralelas.
sd
A r
sB
Calculamos la distancia de A a s:
Tomamos un punto de s haciendo z = 0: B (1, 0, 0)
89,23
5
6
25
6
50),(
)3,1,1(
)0,0,1(
s
s
d
dABsAdist
AB
B
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
Figura 5.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
6. Volumen de un tetraedro. Un tetraedro tiene por vértices A (2, 1, 0), B (3, 4, 0) y C (5, 1, 0). El cuarto vértice, D, esta sobre la recta
. Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidades cúbicas.
3
2
1
:
z
y
x
r
D es un punto de r. Sus coordenadas son ).3,2,1( D ],,[6
1ADACABVABCD
)0.3.1(AB )0,0,3(AC )3,1,1( AD .
Matemáticas II – Tema 7 .
6
Calculamos el valor absoluto de 36)3(96
311
003
031
6
1
y esta ecuación tiene 2 soluciones
que son 743
143
Hay 2 soluciones del problema: )4,5,8(
)4,3,0(
D
D
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
1. Calculamos el determinante pinchando en la pestaña ‘Matrices’, indicando cuántas filas y columnas queremos
que tenga y rellenamos con nuestros datos. Después escribimos delante del determinante la fracción por la que
queremos multiplicarla y pulsamos igual para obtener el resultado:
Figura 6.
2. En segundo lugar, igualamos el resultado obtenido al calcular el determinante a seis, pero para ello, debemos
poner este en valor absoluto, y para ello, lo seleccionamos y pichamos en el icono de valor absoluto dentro de
la pestaña de ‘Operaciones’:
Figura 7.
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
7
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
7. Punto equidistante de otros dos.
a) Calcula un punto de R de la recta que equidiste de los puntos P (1, 0, -1) y Q (2, 1, 1).
2
5
:
z
y
x
s
b) Calcula el área del triangulo determinado por los puntos P, Q, y R. a) El punto R, por ser un punto de s, tiene por coordenadas ).22,,5( R Este punto debe cumplir:
222 )21()4(),(),( RQdistRPdist2
1024)23()1()3( 222
Por tanto, .1,2
1,
2
9
R
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Resolveremos la ecuación de una manera muy sencilla. Recordaremos que después de pinchar en Resolver
Ecuación, y rellenar los miembros, pulsamos el botón de igual y obtenemos el resultado:
Figura 8.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
b) Área del triangulo PQR: PRPQS2
1)4,7,1(0,
2
1,
2
7;2,1,1(
PRPQPRPQ
2
2
6616491
2
1uS
Matemáticas II – Tema 7 .
8
Como el triangulo PQR es isósceles, podríamos obtener su área calculando su base, ,6PQ
Y su altura, que es la distancia de R al punto medio de PQ, 11:0,2
1,
2
3
RMM así
.2
66
2
116 2uS
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Resolvemos la operación para calcular S (ya sabemos que para incorporar las fracciones y las raíces, vamos a
Operaciones y pulsamos sus correspondientes iconos):
Figura 9.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
8. Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.
dados por: r
2
1
:
z
y
x
0132: zyx Sean la recta r y el plano
n a) Calcula el seno del ángulo que forman r y .
b) Halla la ecuación de la proyección ortogonal de r sobre . d 90º-
a) El ángulo que forman el vector director de r y el vector normal de es el
complementario del ángulo que forman r y .
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
9
84
3
194411
)1,3,2()2,1,1()º90cos(
nd
nd
Por tanto: 84
3)()º90cos( sen
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Haremos el cálculo de la fracción:
Figura 10.
*Deberemos recordar que para hacer una multiplicación de vectores, los pondremos entre corchetes, y que para
insertar una raíz, nos iremos a la pestaña Operaciones.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
b) La proyección ortogonal de r sobre es la recta de intersección de dicho plano con otro
r
r
perpendicular a y que contenga a r.
)1,3,2();2,1,1();0,0,1( ndA r
Ecuación de 01 zyx
Proyección ortogonal:
01
0132:
zyx
zyxr
9. Recta perpendicular. Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P (2, -1, 1) y corta perpendicularmente a la recta
.32
1
1
3:
zyxr
Matemáticas II – Tema 7 .
10
La recta s es la recta de intersección de los planos y .
: es perpendicular a r y contiene a P.
: contiene a r y a P.
Plano 3013)1(22032: kkkzyx ; 0332: zyx
Plano : vectores del plano )3,2,1(rd y ),1,0,1(AP siendo )0,1,3( A un punto de r.
0520
131
021
112
:
zyx
z
y
x
La recta que buscamos es:
052
0332:
zyx
zyxs
Vector director de s: (-8, -2,4) Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, resolvemos la ecuación del plano para obtener el valor de k, que luego sustituiremos para
obtener la primera ecuación de la recta:
Figura 11.
2. En segundo lugar, calculamos el determinante como en otros ejercicios (dentro de la pestaña ‘Matrices’). El
resultado de este determinante es la segunda ecuación de la recta:
Figura 12.
P
r
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
11
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
- Otra forma de resolver el problema Después de hallar el plano , perpendicular a r y que contiene a p,
buscamos el punto de corte de r y , Q. Los puntos P y Q determinan s.
r
P
Q
0333)21(230332: zyx
7
3,
7
5,
7
22
7
1Q
41
21
82
:)4,2,8(7
4,
7
2,
7
8:
z
y
x
sdPQs
- Otro método
También podemos buscar el vector director de s, ),,( cbad teniendo en cuenta que:
1. 0320 cbadddd
2. r y s se cortan 0
101
3212),,(
cba
PAddran Las soluciones del sistema:
02.)2
032.)1
cba
cba
Son los vectores de la recta s
,
2
1,2d para ,4 obtenemos ).4,2,8( d
10. Perpendicular común. Comprueba que las rectas r y s se cruzan, y halla la ecuación de la perpendicular común a ambas.
2
3
1
1
0:
zyxr
31
1
1
1:
zyxs
Tomamos y rA )3,1,0( )3,2,1()0,1,1( ABsB
3)3,2,1)(3,1,1)(2,1,0(ran r y s se cruzan. La recta P, perpendicular a r y s, tiene por vector director
).1,2,5()3,1,1()2,1,0( dd
Daremos la recta P como intersección de los planos y .
Matemáticas II – Tema 7 .
12
Plano : contiene a s y al vector 0
13
211
511
z
y
x
dd
Plano : contiene a s y al vector 0
123
211
50
z
y
x
dd
Ecuaciones de la recta
052
0217165:
zyx
zyxP
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
1. Este ejercicio lo resolveremos como los anteriores, calculando el determinante:
Figura 13.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
- Otro método. Vamos a hallar los puntos de R y S, en los que la recta P corta a r y s. Un punto genérico de r es .23,1,0 Un punto genérico de s es .3,1,1 Un vector genérico de origen en r y extremo en s es:
)323,2,1( RS
r
P
s
R
S s
P
r
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
13
Este vector debe ser perpendicular a r y s.
455064620)2,1,0( RS
121150969210)3,1,1( RS
5
15
8
3
4
)1,2,5(
15
1,
15
2,
3
1
4,3
1,
3
1
3
43,
3
41,
3
41
15
61,
15
7,0
15
163,
15
81,0
d
RS
S
R
Ecuaciones paramétricas de P:
4
231
531
z
y
x
11. Posición relativa de esferas.
Halla la posición relativa de las siguientes esferas: 0131064: 2221 zyxzyxC
.0441282: 2222 zyxzyxC
513532
)35,2(222
1
1
r
O
:1C
3
7,68
:2C344641
)6,4,1(222
2
2
r
O
La distancia entre sus centros es:
68,759173 22221 OO
Como la distancia entre sus centro es 7.68, es menor que la suma de sus radios,
,821 rr las esferas se cortan. Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Obtenemos los dos radios (recordamos que para insertar raíces y potencias, pinchamos en sus respectivos
símbolos en Operaciones):