TEMA 8 FUNCIONES Y GRÁFICAS

8.1 Las funciones y sus gráficasTareas 16-01-17: todos los ejercicios de la página 146

Ejemplo1.

Tareas 18-01-17: todos los ejercicios de la página 147

8.2 Crecimiento y decrecimiento de una función"Una función es constante cuando al aumentar la variable inde pendiente , x, la variabledependiente , y, no varia ."

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2.5

3.0

3.5

4.0

x

y

Ejemplo1.

1

Tareas 19-01-17: todos los ejercicios de la página 148

Ejemplo1.

a. El dominio de definición de la función es el intervalo de tiempo comprendido entre el 1de mayo de 2003 y el 30 de abril de 2004

b. La función es constante entre el 1 de junio de 2003 y el 30 de agosto de 2003.c. La función presenta un máximo el 1 de febrero de 2004 y presenta un mínimo el 1 de

diciembre de 20032.

a. María adelgazó en tres intervalos de tiempo:i. del 1 de mayo al 1 de junio de 2003ii . del 1 de septiembre al 1 de diciembre de 2003iii . del 1 de febrero al 1 de mayo de 2004

b. María ganó peso entre el 1 de diciembre de 2003 y el 1 de febrero de 2004Tareas 19-01-17; todos los ejercicios de la página 149

8.3 Tendencias de una funciónEjemplo1.

2

a. 1 segundob. 0.5 segundos

Tareas 19-01-17: todos los ejercicios de la página 150

8.4 Discontinuidades . ContinuidadEjemploTareas 20-01-17: todos los ejercicios de la página 151

8.5 Expresión analítica de una funciónEjemplo1.

tiempo (h) 0 1 2 3 4 t

espacio (km) 0 20 40 60 80 20t

Expresión analítica: Espacio � velocidad � tiempo� e � 20t2.

velocidad (km/h) 10 20 40 80 v

tiempo (h) 2010

� 2 2020

� 1 2040

� 12

2080

� 14

20v

Expresión analítica: Tiempo �espacio

velocidad� t � 20

v

3.

3

tiempo (h) 0 1 2 3 4 t

importe del tiempo de trabajo (euros) 0 15 30 45 60 15 � t

importe total (euros) 30 45 60 75 90 30 � 15t

Expresión analítica: I � 30 � 15t4.

A � x2

5.

Por el Teorema de Pitágoras tenemos que:

x2 � x2

2� h2 � h � x2 � x2

4� 4x2 � x2

4� 3x2

4�

3 x2

4�

x 32

A �x � x

32

2� 1

43 x2

6.

4

A � �x2

7.

A � 1 � �4

x2 � x2 � �x2

4Tareas 26-01-17: todos los ejercicios de la página 152,153

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1.

a. Las variables son tiempo y altura.El tiempo en minutos cada dos cuadrados son 2 minLa altura en metros, cada dos cuadrados son 100 mEl dominio de definición (valores que puede tomar la variable independiente que es eltiempo) es �0, 23� (es decir, todos los valores comprendidos entre 0 y 23, ambosinclusive)El recorrido o imagen (valores que toma la variable dependiente que es la altura) dela función es �0, 500� (es decir, todos los valores comprendidos entre 0 y 500, ambosinclusive)

b. Entre el minuto 0 y el minuto 5 el globo pasa de 0 m a 300 m

5

Entre el minuto 5 y el minuto 9 el globo pasa de 300 m a 400 mPor lo tanto, crece más rápidamente de entre 0 y 5 min:

�300

5� 60m/ min

�100

4� 25m/ min

c. Tiende a estabilizarse en 500 m.lim t�� A�t� � 500

d. El globo parte del suelo para ascender, al principio en poco tiempo ascienderápidamente para luego ir estabilizando su altura y navegar casi siempre a la misma.

e. Es una función creciente en todo su dominio sin máximos ni mínimos relativosTareas 27-01-17: 2,34

a. La oscilación es menor en la gráfica II pues es una suave onda (ola).b. Las gráficas son las I y la III pues cuando una tiene altas temperaturas, la otra las

tiene bajas, y viceversa.c. La gráfica IV es absurda pues la temperatura no puede estar subiendo

indefinidamente.d. Para el tiempo (t), que está en el eje horizontal, elegimos dìas y cada cuadrado es un

día, hasta hacer un año, 365 días. Incluso, podemos hacer que cada cuadrado seancinco o diez días.Para la temperatura (T), que está en el eje vertical, elegimos de 0º a 50º y cadacuadrado es 5º.

e. El dominio son los días del año.En la ciudad correspondiente al gráfico I, en los meses de "invierno" tienentemperaturas más altas que en los meses de "verano".En la ciudad correspondiente al gráfico II las temperaturas son muy suaves a lo largode todo el año con pocas variaciones. Es un clima cálido.

Tareas 27-01-17:5,67

6

Teniendo en cuenta lo realizado en el tema anterior para resolver sistemas de ecuaciones deforma gráfica, las expresiones analíticas i e iv, se corresponden con representaciones lineales(B y D). Ahora falta averiguar quien es quien. Para ello, damos valores a la x:

� si x � 0 �y � 0 � 1 � 1

y � �0 � 1 � 1Las dos rectas pasan por ese punto, por lo que no hemos

resuelto nada.

� si x � 2 �y � 2 � 1 � 3

y � �2 � 1 � �1Claramente el punto �2, 3� está en B, mientras que �2,�1�

está en D.Entonces la i � B, iv � DPara hallar los otros emparejamientos, habremos de darles valores a la x, para hallar loscorrespondientes valores de las y. Luego, habrá que buscar dichos puntos en las gráficas quefaltan.

� si x � 2 �y � 23 � 8

y � 22 � 1 � 3Claramente el punto �2, 3� está en A, mientras que �2, 8�

está en C. La conclusión es que ii � C, iii � ATareas 27-01-17: 8,910

a. El tiempo total empleado es 2 � 2 � 2. 5 � 6. 5 hLa otra variable es el espacio; se va a una distancia de 150 km, está un tiempo ahí, yluego vuelve a cero.

7

b. v � et � 150 km

2 h� 75 km/h

c. v � et � 150 km

2. 5 h� 60 km/h

d. Se trata de una función creciente de �0, 2�, constante de �2, 4� ydecreciente de �4, 6. 5�.Por otro lado, es continua en todo su dominio.

Tareas 30-01-17: 11,1213

8

Se trata de una función escalonada, que presenta discontinuidades en los siguientes valores dex:�2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Tareas 30-01-17: 14,15,1617

a.

b. Los mínimos relativos corresponden a 0, 40, 80 segundos (la canastilla está al niveldel suelo)Los máximos relativos corresponden a 20, 60 segundos (la canastilla alcanza lamáxima altura)

c. Si, de período 40 segundos.En dicho intervalo, �0, 40�, la función es creciente en �0, 20� y decreciente en �20, 40�

d. 150 � 120 � 30 � 3 � 40 � 30 s �es decir, tres vueltas completas y 30 segundos de lavuelta cuarta�entonces estamos aproximadamente a 8 m del suelo.Es decir, la altura pasados 150 s será la misma que cuando han pasado 30 s.

e. Es una función continua en todo su dominio

9

El recorrido o imagen de la función es �0, 12�El dominio de la función es �0,��

Tareas 30-01-17: 1819

a.

b. El dominio de definición (valores que puede tomar la variable independiente que eneste caso es el tiempo en horas) es ��4, 9� (es decir, todos los valores comprendidosentre -4 y 9 inclusive)El recorrido de la función (valores que puede tomar la variable dependiente que eneste caso es la temperatura en ºC) es ��4, 4�

c. El corte con el eje horizontal es en el punto �4, 0�. Es decir, a las 4:00 a.m. hay 0º CEl corte con el eje vertical es en el punto �0,�3. 25�. Es decir, a las 00.00 a.m. hay-3.25ºC

d. Asciende más lentamente (crece lentamente) en el intervalo ��4, 1� sobre el eje de lasX.Asciende más rápidamente (crece más deprisa) en el intervalo �4, 6� sobre el eje delas X.La temperatura es máxima a las 6 h que vale 4ºC.A partir de ahí, la temperatura decrece hasta las 8 h. Tenemos en ese momento latemperatura mínima que son 0.5ºC.Luego la función asciende hasta las 9 h.A partir de ahí se estabiliza en 2ºC, es decir, tenemos una tendencia.

e. La función es creciente en ��4, 6� � �8, 9�.La función es decreciente en �6, 8�.La función es constante en �9, 12�.Todo lo anterior confirma que tengamos un máximo relativo en t � 6, y un mínimo

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relativo en t � 8.Por otro lado, presenta las tendencias siguientes;� Cuando las horas se van haciendo números negativos cada vez menores, la

tendencia es a -4.� Cuando las horas van hacia números positivos cada vez mayores, la tendencia

es a 2.Además, es una función continua en todo su dominio.

Tareas 01-02-17: 20,21,23,2422

a. La gráfica azul es el bloque de hielo con sal pues empieza antes a derretirse.b. El bloque de agua con sal tarda en derretirse 4 h, mientras que el bloque de agua

tarda en derretirse 4 h.c. No, pues no ayudaría nada a que se empezase a derretir; habría que esperar a que

fuese -6ºC.

EXAMEN DEL TEMA 8JUEVES 9-02-17

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