Tema 9. Diseños Factoriales · MODELO ASOCIADO A UN EXPERIMENTO FACTORIAL Hipótesis de interés en el modelo 1. Hipótesis de interacción H0 :(τβ) ij = 0 ∀ij vs. H1 : al menos

Diseño de Experimentos

Tema 9.

Diseños Factoriales

JAIME MOSQUERA RESTREPO

EXPERIMENTOS CON ESTRUCTURA FACTORIAL

Generalidades

� El objetivo de experimento factorial consiste en valorar el efecto demas de un factor sobre la variable respuesta

� Se realizan todas las combinaciones posibles entre los niveles de� Se realizan todas las combinaciones posibles entre los niveles delos factores

� En cada ensayo o réplica completa del experimento se investigantodas las combinaciones posibles de los niveles de los factores.

� Se plantea la posibilidad de que los factores presenten un efecto deinteracción. Es decir la diferencia en la respuesta entre niveles deun factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores


Efecto interacción

� Cuando la conclusión de un factor depende de otro factor, se diceque hay interacción, la presencia de interacción indica que no seque hay interacción, la presencia de interacción indica que no sepuede estudiar el efecto de un factor sobre la respuestaindependiente del otro factor.

� Uno de los objetivos más importantes de un experimentofactorial es detectar si existe interacción de los factores.

Experimento Factorial (Ejemplo)

Se sabe que existen dos características que afectan la resistencia a la rupturade un espécimen de asfalto:

1) Tipo de mezcla.2) Método de Compactación.

Para medir el efecto de estas dos características se ha diseñado un experimentoPara medir el efecto de estas dos características se ha diseñado un experimentocuyos resultados se resumen a continuación

De forma empírica

que sugieren los

resultados?


Gráficamente se puede ilustrar el efecto interacción:


Arreglo general de un diseño factorial de dos factores

“Cada combinación de los niveles de los factores representa un tratamiento

diferente, en total a*b tratamientos y a*b*n unidades muestrales”

EJEMPLO

Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en undispositivo que se someterá a variaciones de temperaturaextremas. El único parámetro del diseño que puedeseleccionar en este punto es el material de la placa o ánodode la batería y tiene tres elecciones posibles. El ingenierodecide probar los tres materiales de la placa con tres nivelesde temperatura – 15, 70 y 125ºF – ya que estos niveles detemperatura son consistentes con el medio ambiente dondese usará finalmente el producto. Se prueban cuatro bateríascon cada combinación del material de la placa y latemperatura (36 baterias), y a cada batería se le asigna deforma aleatoria la temperatura de prueba.

EJEMPLOSe obtuvieron los siguientes resultados:

Datos de la vida (en horas) para el ejemplo del diseño de la batería

Especificaciones del ModeloTipo de Diseño: Factorial Completamente al Azar

Factores de Diseño: Material Base, Temperatura de Operación

Niveles de los factores: Material TemperaturaI 15II 70II 70III 125

Tratamientos (Material, Temperatura): (I,15) (I,70) (I,125)(II,15) (II,70) (II,125)(III,15) (III,70) (III,125)

Numero de Replicas: 4

“A este tipo de diseños suele llamársele como diseño 3 x 3 con 4 replicas”

Análisis Descriptivo

200

150

100

50

tiempo

Individual Value Plot of tiempo

Grafico de Observaciones Individuales

Material

Temp

321

125701512570151257015

0

321

150

140

130

120

110

100

90

80

70

60

1257015

Material

Mean

Temp

Main Effects Plot for tiempoData Means

Grafico de efectos Principales.

Se grafican los promedios por

nivel de factor

Análisis Descriptivo

150

125

100

75

Mean

1

2

3

Material

Interaction Plot for tiempoData Means

Grafico de Interacción

Se grafican los promedios por

tratamiento

321

150

125

100

75

50

Material

Mean

15

70

125

Temp

Interaction Plot for tiempoData Means

1257015

50

Temp

MODELO ASOCIADO A UN EXPERIMENTO FACTORIAL

( )

=

=

=

++++=

nk

bj

ai

y ijkijjiijk

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1

ετββτµ

Donde:

= Valor aleatorio que toma la variable respuesta en la k - ésima replica que hasido expuesta al j - ésimo nivel del factor B y al i - ésimo nivel del factor A.

= Parámetro de centralidad o efecto medio general.

= Efecto del i - ésimo nivel del factor A.

= Efecto del j - ésimo nivel del factor B.

= Efecto debido a la interacción de primer orden entre los factores A y B.

= Efecto debido al error experimental.

ijky

µ

iτ

jβ

( )ijτβ

ijkε

MODELO ASOCIADO A UN EXPERIMENTO FACTORIAL

Hipótesis de interés en el modelo

1. Hipótesis de interacción

( ) ( ) 0 una menos al : vs. 0: 10 ≠∀= ijijij HH τβτβ

2. Hipótesis de Efectos Principales

Existe Interacción entre

los factores A y B

El efecto de los factores A y B

se da de forma independiente

DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIANZA PARA EL EXPERIMENTO FACTORIAL

EABBAT SSSSSSSSSC +++=

Tabla Análisis de la Varianza Modelo Factorial

Fórmulas para el cálculo

a

i

iA

a

i

b

j

n

k

ijkT

abn

yy

bnSS

abn

yySS

−=

−=

∑

∑∑∑

=

= = =

1

2

...2

..

1 1 1

2

...2

1

SubtotalesTEBAABTE

BASubtotalesAB

a

i

b

j

ijSubtotales

b

j

jB

i

SSSSSSSSSSSSSSSS

SSSSSSSSabn

yy

nSS

abn

yy

anSS

abnbn

−=→−−−=

−−=⇒−=

−=

∑∑

∑

= =

=

=

2

...

1 1

2

.

1

2

...2

..

1

1

1

ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EL EXPERIMENTO FACTORIAL

478547

ANOVA FACTORIAL

Two-way ANOVA: tiempo versus Material. Temp Source DF SS MS F P

Material 2 10683,7 5341,9 7,91 0,002

Temp 2 39118,7 19559,4 28,97 0,000 Temp 2 39118,7 19559,4 28,97 0,000

Interaction 4 9613,8 2403,4 3,56 0,019

Error 27 18230,8 675,2

Total 35 77647,0

S = 25,98 R-Sq = 76,52% R-Sq(adj) = 69,56%

PRUEBAS POSTANOVA

El procedimiento Postanova variara dependiendo de la aceptación de lahipótesis de interacción:

Caso I: Existe Interacción entre las factores

Se realiza un procedimiento postanova para cada uno de los niveles deun factor, analizando diferencias entre los niveles del otro factorun factor, analizando diferencias entre los niveles del otro factor

“una prueba por cada nivel de factor de referencia”

Caso II: No existe Interacción entre factores

Se efectúan pruebas postanova para comparar los niveles de losfactores cuyos efectos principales sean significativos (valor p <α)

“Una prueba por cada factor significativo”

COMPARACIONES MÚLTIPLES

Ejemplo (Prueba de Tukey):

“la prueba ANOVA identifico la existencia de interacción, por tanto laspostanova deben hacerse condicionales”.

Temperatura 15º Temperatura 70º Temperatura 125º

75.145

75.119

25.57

32

22

12

=

=

=

y

y

yMaterial 1

Material 2

Material 3 144

75,155

75,134

31

21

11

=

=

=

y

y

y

5.85

5.49

5.57

33

23

13

=

=

=

y

y

y

47.454

2.67550.305.0)27;3(05.005.0))1(;( ==⇒=⇒= − T

n

MSqT

n

MSqT EE

nabaαα

Numero de niveles a comparar

Grados de libertad error

Temperatura 15º

Temperatura 70º*47.4550.8825.5775.145 :1M vs.3 =>=− TM

47.452175.13475.155 :M1 vs.2

47.4575.1114475.155 :M3 vs.2

47.4525.975.134441 :1M vs.3

05.0

05.0

05.0

=<=−

=<=−

=<=−

TM

TM

TMM3 M2 M1

Temperatura 145º

*47.4550.6225.5775.119 :M1 vs.2

47.4500.2675.11975.145 :M2 vs.3

*47.4550.8825.5775.145 :1M vs.3

05.0

05.0

05.0

=>=−

=<=−

=>=−

TM

TM

TMM1 M2 M3

M2 M1 M3

47.4585.497.55 :M2 vs.1

47.45365.495.58 :M2 vs.3

47.45285.575.58 :1M vs.3

05.0

05.0

05.0

=<=−

=<=−

=<=−

TM

TM

TM

Validación de SupuestosEstimadores del Modelo

1, 2, ...,

( ) 1, 2, ...,

1, 2, ...,

ijk i j ij ijk

i a

y j b

k n

µ τ β τβ ε

=

= + + + + = =

.............

........

)ˆ( ˆ

ˆ ˆ

yyyyyy

yyy

jiijijjj

ii

+−−=−=

−==

βτβ

τµ

.

..................... ) (

ˆ

ijijkijk

jiijjiijkijk

ijkijkijk

yye

yyyyyyyyyye

yye

−=

+−−+−+−+−=

−=

“Valor Observado menos promedio por tratamiento”

VALIDACIÓN DE SUPUESTOS

Los Errores Tienen Distribución Normal?

99

95

90

80

Mean 0

StDev 22,82

N 36

AD 0,340

P-Value 0,478

Probability Plot of RESI1Normal

50250-25-50-75

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI1

Percent


Los Errores Tienen Promedio = 0?

50

25

0

dual

Versus Fits(response is tiempo)

1501251007550

-25

-50

-75

Fitted Value

Resid


Los Errores Tienen Varianza Constante?

4000

3000

Scatterplot of res2 vs FITS1

1501251007550

2000

1000

0

FITS1

res2


Los Errores Tienen Varianza Constante?

Temp Material

15

3

2

1Test Statistic 5,24

P-Value 0,732

Test Statistic 0,80

P-Value 0,608

Bartlett's Test

Levene's Test

Test for Equal Variances for RESI1

125

70

3

2

1

3

2

1

4003002001000

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

P-Value 0,608


Los Errores son Independientes?

50

25

0al

Versus Order(response is tiempo)

50

25

0

0

0

e(i) vs e(i-1)

35302520151051

0

-25

-50

-75

Observation Order

Residua

50250-25-50-75

-25

-50

-75

e(i-1)

e(i)

Runs test for RESI1

Runs above and below K = 0

The observed number of runs = 21The expected number of runs = 18,944419 observations above K. 17 belowP-value = 0,486


Caso Ejemplo Anova Factorial


EJEMPLO5-1 The yield of a chemical process is being studied. The two most important variables are thought to be

the pressure and the temperature. Three levels of each factor are selected, and a factorial experiment with

two replicates is performed. The yield data follow:

Pressure

Temperature 200 215 230 Temperature 200 215 230

150 90.4 90.7 90.2

90.2 90.6 90.4

160 90.1 90.5 89.9

90.3 90.6 90.1

170 90.5 90.8 90.4

90.7 90.9 90.1

Diseño Factorial 3 x 3 con 2 repeticiones

Analisis Descriptivo

91,0

90,8

90,6

Individual Value Plot of Resp

Temperatura

Presion

170160150

230215200230215200230215200

90,4

90,2

90,0

Resp

Analisis Descriptivo

90,9

90,8

90,7

90,6

90,5n

200

215

230

Presion

Interaction Plot for RespData Means

170160150

90,5

90,4

90,3

90,2

90,1

90,0

Temperatura

Mean

ANOVA

Analysis of Variance for Resp, using Adjusted SS for Tests

1, 2, ...,

( ) 1, 2, ...,

1, 2, ...,

ijk i j ij ijk

i a

y j b

k n

µ τ β τβ ε

=

= + + + + = =

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Temperatura 2 0,30111 0,30111 0,15056 8,47 0,009

Presion 2 0,76778 0,76778 0,38389 21,59 0,000

Temperatura*Presion 4 0,06889 0,06889 0,01722 0,97 0,470

Error 9 0,16000 0,16000 0,01778

Total 17 1,29778

S = 0,133333 R-Sq = 87,67% R-Sq(adj) = 76,71%

ANOVA

=

=

=

+++=

nk

bj

ai

y ijkjiijk

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1

εβτµ

Analysis of Variance for Resp, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Temperatura 2 0,30111 0,30111 0,15056 8,55 0,004

Presion 2 0,76778 0,76778 0,38389 21,80 0,000

Error 13 0,22889 0,22889 0,01761

Total 17 1,29778

S = 0,132691 R-Sq = 82,36% R-Sq(adj) = 76,94%

POSTANOVATukey Simultaneous Tests

Response Variable Resp

All Pairwise Comparisons among Levels of Temperatura

Temperatura = 150 subtracted from:

Difference SE of Adjusted

Temperatura of Means Difference T-Value P-Value

160 -0,1667 0,07661 -2,176 0,1131

170 0,1500 0,07661 1,958 0,1621



Tukey Simultaneous Tests


All Pairwise Comparisons among Levels of Temperatura




160 -0,1667 0,07661 -2,176 0,1131

170 0,1500 0,07661 1,958 0,1621


Difference SE of Adjusted Difference SE of Adjusted


170 0,3167 0,07661 4,134 0,0031



170 0,3167 0,07661 4,134 0,0031



All Pairwise Comparisons among Levels of Presion

Presion = 200 subtracted from:


Presion of Means Difference T-Value P-Value

215 0,3167 0,07661 4,134 0,0031

230 -0,1833 0,07661 -2,393 0,0777




230 -0,5000 0,07661 -6,527 0,0001



All Pairwise Comparisons among Levels of Presion




215 0,3167 0,07661 4,134 0,0031

230 -0,1833 0,07661 -2,393 0,0777




230 -0,5000 0,07661 -6,527 0,0001



Runs test for RESI2

Runs above and below K = -1,73472E-18

The observed number of runs = 12The expected number of runs = 9,8888910 observations above K. 8 below* N is small, so the following approximation may be invalid.P-value = 0,299


One-Sample T: RESI2

Test of mu = 0 vs not = 0

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PRESI2 18 -0,0000 0,1160 0,0273 (-0,0577. 0,0577) -0,00 1,000


CASOS ESPECIALES

Diseños Factoriales sin replicas

“Para solucionar el problema algunos autores renuncian al termino interacción

alimentando con ello la suma de cuadrados del error”

Diseños Factoriales con mas de tres factores

“Lo revisamos en la sala de computo”


Caso Ejemplo Factorial 3 Factores


EJEMPLO

DATOS

Solución en Minitab

Documents

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